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Prof. Jorge
A pirâmide e suas formas
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Definição
Observe a animação.
O conjunto de todos esses segmentos com extremos no ponto V e um dos pontos do polígono é um poliedro chamado pirâmide.
V
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Elementos principais do prisma
A pirâmide tem dois tipos de faces
A base (polígono ABCDEF).
faces laterais (triângulos).
Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.
V
A
B CD
EF
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Elementos principais do prisma
A pirâmide tem dois tipos de arestas
arestas da base(AB, BC, CD, DE, EF e FA).
arestas laterais(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
V
A
B CD
EF
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Elementos principais do prisma
h
A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.
V
A
B CD
EF
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Classificação
Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrado
P. triangulartriângulo
PirâmidePolígono da base
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Veja algumas dessas pirâmides
Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal
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Pirâmide regular
Pirâmide regular é aquela em que
A base é um polígono regular;
A projeção do vértice sobre o plano da base é o centro dessa base.
As arestas laterais são congruentes.
Como conseqüência as faces laterais são triângulos isósceles, congruentes entre si.
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Pirâmides regulares
A base da pirâmide é um quadrado
⇒
Pirâmide quadrangular regular
A base da pirâmide é um hexágono regular
⇒
Pirâmide hexagonal regular
V
h
O
V
h
O
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V
A B
CD
Apótema da pirâmide
VM é o apótema (p) da pirâmidep
M
⇒
BM = MC
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Segmentos notáveis na pirâmide regular
VO = h, altura;
V
B
A
MO
ah
m
r
p
b
VA = a, aresta lateral;
AB = b, aresta da base;
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Segmentos notáveis na pirâmide regular
OM = m, apótema da base;
V
B
A
MO
ah
m
r
p
b
OA = r, raio da base;
VM = p, apótema pirâmide;
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A pirâmide e oteorema de Pitágoras
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A pirâmide e o teorema de Pitágoras
p2 = h2 + m2
V
B
A
MO
h
m
p
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A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
A
O
ah
r
a2 = h2 + r2
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A pirâmide e o teorema de Pitágoras
a2 = p2 + (b/2)2
V
B
A
M
ap
b/2
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Exemplos
Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e o apótema da base mede 3 cm. Calcular o raio da base, a aresta da base, a altura e o apótema da pirâmide.
O
V
A
M
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Exemplos
Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e a área da base 144 cm2. Achar sua área lateral.
V
B
A
M
ap
b
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Volume da pirâmide
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Volume da pirâmide
A figura a seguir mostra um prisma e uma pirâmide regulares de mesma base e mesma altura.
Qual dos dois tem maior volume? Qual a relação entre os dois volumes?
Pode-se provar que a razão entre os dois volumes é exatamente igual a 3.
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Volume da pirâmide
Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma.
AB.hV =31
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Exemplo
Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 2, e a área lateral é o dobro da área da base. Obter a área total e o volume da pirâmide.
V
B
A
M
h p
m
b
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Tronco de pirâmide
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Tronco de PirâmideR
C
A
h
B
D
A’ B’
C’D’h’
C
A
h – h’
B
D
A’ B’
C’D’R
A’ B’
C’D’h’
Tronco de pirâmide
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Razão de semelhança - Comprimentos
R
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’h’
B
=RA’RA
A’B’AB =... =
h’h = k
Razão de semelhança
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Razão de semelhança - Áreas
R
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’h’
B
=A’B
AB
A’L
AL =A’T
AT = k2
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Razão de semelhança - Volumes
R
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’h’
B
= k3
V’V
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Exemplos
A superfície de um recipiente tem forma de pirâmide regular de altura x, conforme figura. Colocam-se, dentro dele, 100 mL de água. Com isso, ela atinge o nível x/3. Achar a capacidade do recipiente.
x
x/3
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Exemplos
Num tronco de pirâmide quadrangular regular, a altura mede 6 m. Suas bases têm 16 m2 e 64 m2 de área. Calcular o volume desse tronco.
6
V
h
h + 6
64 m2
16 m2
