MECÂNICA APLICADA Prof. Michel Sadalla Filho

Referências

HIBBELER, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005, 540p.

ELIAS, Moisés; CHAVES, Wanrley – Coleção Abril – FÍSICA Volumes 29/30 – 1978, São Paulo.

GASPAR, Ricardo: Mecânica dos Materiais. http://professor.ucg.br/siteDocente/admin/arquivosUpload/13796/material/Resistência%20dos%20Materiais.pdf

BEER, Ferdinand P; JOHNSTON Jr, E. Russel; EISENBERG, Elliot Berg: Mecânica Vetorial para Engenheiros – Mc Graw Hill, 7ª Edição,2006

Centros de Gravidade, Centro de Massa, Centróides de uma figura plana

DOC 06

14 Fev 2013 Ver. 01

INTRODUÇÃO

• Os conceitos de CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA e CENTRÓIDE, muitas vezes são utilizados como se fossem a mesma coisa, pois, na prática são originários de um mesmo princípio, o desenvolvimento do primeiro, leva aos outros dois, com algumas particularidades.

• Antes, porém, vamos retomar o TEOREMA DE VARIGON, utilizado para desenvolver o conceito de centro de gravidade.

• TEOREMA DE VARIGNON

• “O momento da resultante de um sistema de forças coplanares, em relação a um ponto qualquer de seu plano, é igual a soma algébrica dos momentos parciais das forças constituintes do sistema em relação ao mesmo ponto.”

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TEOREMA DE VARIGNON EXEMPLO

O sistema abaixo, compõem-se de uma viga com as três forças

indicadas (F1, F2, F3), tendo como resultantes: FR = - 14 N e MRO = - 33 N.m (sentido horário)

+ ΣM0 = (3x1) – (12x3)

ΣM0 = 3 – 36

MRo = - 33 N.m

Determinação do ponto (XG) onde se

pode colocar a FR que terá o mesmo efeito de translação e rotação.

MR0 = FR . XG

-33 = -14N . XG

XG = -33/-14 = 2,4m 3

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE UMA FIGURA PLANA

BARRA PRISMÁTICA Secção longitudinal

Secção transversal

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CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE UMA FIGURA PLANA

1. Área

2. Momento Estático de Área

3. Centro de Gravidade; Centro de Massa, Centróide

4. Momento de Inércia

5. Raio de Giração

5

1 - ÁREA de uma figura plana é a superfície

limitada pelo seu contorno.

b

h

Unidade de área: [L2] – unidade de comprimento ao quadrado

Sistema Internacional [m2] outras unidades: in2 ; cm2; mm2

A área é utilizada para a determinação das tensões normais

de tração e compressão (σ) e das

tensões de cisalhamento ou corte (τ) A = b.h

A = b.h/2

A = (b+B)/2 . h A = a2

A = π (R2 – r2)

A = π R2

a

a

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3.1 – CENTRO DE GRAVIDADE Seja sistema três partículas de pesos P1, P2 e P3, conforme mostrado na figura ao lado.

- P. XG = - P1.x1 - P2.x2 - P3.x3

P. XG = P1.x1 +P2.x2 + P3.x3

Aplicando o Teorema de Varignon ponto O:

XG = P1.x1 + P2.x2 + P3.x3

P

XG = m1.g.x1 + m2.g.x2 + m3. g.x3

m.g

Como m = m1 + m2 + m3

XG = m1.x1 + m2.x2 + m3.x3

m1+ m2.+ m3

( 05 )

( 06 )

Também denominada de centro de massa

7

3.1 – CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRO DE MASSA

Girando-se o sistema de partículas de 90º e no sentido horário, mantêm-se a mesma relação das forças-pesos destas partículas.

Analogamente, a ordenada YG da linha de ação da resultante será dada por:

CENTRO DE GRAVIDADE: quando se utiliza as forças-pesos

CENTRO DE MASSA: quando se utiliza as massas

Mas ambos são conceitos semelhantes, na prática se diz Centro de Gravidade, ou ainda o termo CG

( 07 )

8

3.2 – CENTRÓIDE DE UMA SUPERFÍCIE Quando consideramos uma superfície (figura

no plano XY) ao invés de um corpo sólido

(volume), a expressão centro de gravidade é

denominada por alguns autores de

CENTRÓIDE, ou ainda de BARICENTRO de uma

superfície.

Utilizando o conceito de densidade (d)

d = m / V m = d . V = d . A. h

Para casos de densidade homogênea (mesmo

material) e superfícies de mesma espessura

(h), as expressões ( 06) e (07) desenvolvidas

para o centro de gravidade:

XCG = d h (X1 A1 + X2 A2 + X3 A3)

d. h. (A1 + A2 + A3)

YCG = Y1 . A1 + Y2 A2 + .Y3 A3

A1 + A2 + A3

XCG = X1 . A1 + X2 A2 + X3 A3

A1 + A2 + An ( 08 )

ANALOGAMENTE,

( 09 ) 9

3.2 – CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRÓIDE DE UMA SUPERFÍCIE

Se ao invés de três elementos em que a área é dividida, aumentarmos para n elementos, as equações (8) e (9) ficam:

Considerando a totalidade das partículas, temos:

XCG = ∫ x dA YCG = ∫ Y dA

XCG = X1 . A1 + X2 A2 + ... Xn An

A1 + A2 + ... An

YCG = Y1 . A1 + Y2 A2 + ... Yn An

A1 + A2 + ... An ( 10 ) ( 11)

( 12 ) ( 13)

A A

Na prática usamos as equações (10) e (11) que também são expressas por

( 14 ) ( 15 )

10

CENTRO GRAVIDADE –composição de figuras

11

No exemplo abaixo, desmembramos a figura (a) em duas formas:

Fig (a)

Fig (a)

X1 A1 + X2 A2 + X3 A3

A1 + A2 + A3

XCG =

XCG = X1 A1 + X4 A4 - X5 A5

A1 + A4 - A5

5

1

2 3

1

4

Analogamente

para YCG

CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRÓIDES Algumas observações

1. Para este curso, utilizaremos a expressão centro de gravidade com mesmo significado de centróide de uma superfície plana, ou ainda baricentro.

2. trabalharemos no plano XY

3. existem diversas notações para expressar o centro de gravidade:

XG; XCG e analogamente YG; YCG e

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CENTROS DE GRAVIDADE (CENTRÓIDES) DE SUPERFÍCIES PLANAS

Retângulo Quadrado Triângulo

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CENTROS DE GRAVIDADE (CENTRÓIDES) DE SUPERFÍCIES PLANAS

Círculo ¼ Círculo Semicírculo

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EXEMPLO 1: Localize o CG da figura abaixo

15

EXEMPLO 1 - Solução

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EXEMPLO 2: Localizar e calcular o centróide da peça abaixo.

17

EXEMPLO 2 – Solução

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EXEMPLO 3 – Localizar o centróide da figura abaixo

EXEMPLO 3 – Solução

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EXEMPLO 4 Determinar o centro de gravidade da figura, utilizando o Momento Estático de Área

1 – Cálculo das Áreas:

SOLUÇÃO

3- Cálculo do CG

YCG = 7,36 cm

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YCG Na direção x há simetria....

EXEMPLO 5 – Determinar o Centro de Gravidade utilizando Momento Estático de Área

A Figura hachurada pode ser o resul-tado de um retângulo (12×6) cm2 do qual foram retirados um triângulo e um semicírculo.

SOLUÇÃO 1- ÁREA

RESPOSTAS CENTRO DE GRAVIDADE

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EXERCÍCIOS – Calcular o CG das figuras abaixo:

A1 = a2; x1 = a/2; y1 = a/2

A2= a2/2 ; x2=4a/3; y2=a/3

XG = 0,777a; YG = 0,444a

Ex. 01 Ex. 02 Ex. 03

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Ex. 04 Ex. 05

EXERCÍCIOS CENTRO DE GRAVIDADE

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EXERCÍCIOS – CENTRO GRAVIDADE

EX. 06 – Calcule o centro de gravidade da figura abaixo (repare que a figura pode ser expressa pela composição de duas outras)

- =

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