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Profa. Silvia Modesto [email protected]
Raciocínio Aproximado
• Relações Clássicas
• Relações Difusas
• Implicação: se A então B– Lógica Clássica– Lógica Difusa : regras difusas e operações de
composição• Princípio de Extensão e Raciocínio Aproximado:
se A’ então B’
Ross – cap 7: Classical Logic and Fuzzy Logic
Profa. Silvia Modesto [email protected]
Raciocínio aproximado: regra difusa e operação de composição
• Regra difusa: A e B são conjuntos difusos.– Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B
– Regra 1: A B = R=(AxB)U(AxY) Produto Cartesiano
• Considerando uma nova entrada (antecedente) A’ teremos a saída (conseqüente) B’:
B’= A’ R Relação R
Operação de Composição
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Sistema Difuso: raciocínio aproximado
Entradas “crisp”
Fuzzificação
Regras
Inferência
Fuzzy
Desfuzzifica-ção
Saídas “crisp”
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Relações Clássicas
• Produto Cartesiano:– Uma seqüência ordenada de n elementos
(a1, a2, a3, ... , an)
é chamada de n-tupla ordenada.
– Sejam os conjuntos A1, A2, A3, ... , Ar então o conjunto de todas as r-tuplas, onde a1A1, a2A2 e arAr , é chamado de PRODUTO CARTESIANO
A1xA2xA3x ... xAr
– Quando Ar são iguais a A então o produto cartesiano
A1xA2xA3x ... xAr é denotado por Ar
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Produto Cartesiano: exemplos
• Para os conjuntos A={0, 1} e B={a, b, c} temos os seguintes produtos cartesianos:
– AxB= {(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)}
– BxA= {(a, 0), (b, 0), (c, 0), (a, 1), (b, 1), (c, 1)}
– AxA=A2= {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}
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Produto Cartesiano: relações n-árias
• Um subconjunto do Produto Cartesiano A1xA2x ... xAn é chamada de um RELAÇÃO n-ária sobre A1,A2, ... ,An.
• O PRODUTO CARTESIANO de dois universos X e Y é definido como:
X x Y = {(x,y) | xX e yY} xX e yY
• A força desta RELAÇÃO entre os pares ordenados de
elementos é definida pela função característica א a seguir:
XxY (x,y) =1 se (x,y) XxY (completamente relacionado)א
0 se (x,y) XxY (não relacionado)
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Produto Cartesiano: representação
• Um subconjunto do Produto Cartesiano A1xA2x ...xAn é chamada de um RELAÇÃO n-ária sobre A1,A2, ... ,An.
– Diagrama Sagittal– Matriz de Relação
- Cardinalidade da relação R : nx*ny
X Y 1 a 2 b 3 c
R =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
2
3
a b cR
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Relações Clássicas: operações
Sejam duas relações R e S no universo cartesiano X x Y:
• União: RS RS(x,y) = max [ R(x,y) , S(x,y) ]
• Intersecção: RS RS(x,y) = min [ R(x,y) , S(x,y) ]
• Complemento: R R(x,y) = 1 - R(x,y)
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Relações Clássicas: operações
Sejam duas relações R e S no universo cartesiano X x Y:
• Contido: RS– R(x,y) S(x,y)
• Identidade: O e X E onde a relação O é a relação nula (matriz nula) e
a relação E é a relação universal ou completa (matriz identidade)
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Relações Clássicas: composição
X Y Z
x1 y1
x2 y2 z1
x3 y3 z2
R S
A relação T é uma relação de COMPOSIÇÃO na forma T= RS
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Relações Clássicas: composição T= RS
S =
0 1
0 0
0 1
y1
y2
y3
z1 z2
R =
1 0 1
0 0 0
0 0 0
x1
x2
x3
y1 y2 y3
T =
0 1
0 0
0 0
x1
x2
x3
z1 z2
COMPOSIÇÃO: max-min
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Relações Clássicas: exemplos de composição
Sejam as relações R, S e T= RS:
• Composição max-min: T(x,z) = max [min(( R(x,y) , S(y,z) )]
yY
• Composição max-produto ou max-dot : T(x,z) = max [( R(x,y) * S(y,z) )]
yY
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Inferência Dedutiva: exemplo
Sejam os universos de discurso X e Y definidos por X={1,2,3,4} e Y={1,2,3,4,5,6}.
Sejam os conjuntos clássicos A={2,3} e B={3,4}.
Obtenha a matriz de relação para a regra “Se A então B”, utilizando
R= (AxB) (A x Y)
R(x,y) = max [( A(x) B(y) ), ((1- A(x)) 1) ]
(cap. 7, pag 195 - ROSS)
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Relações Difusas: princípio da extensão
• Mapeiam os elementos de um universo X para outro universo Y
• Produto Cartesiano X x Y
• A força da relação para os pares (x,y) é definida em [0;1] por uma Função de Pertinência.
• A cardinalidade de uma relação difusa R é infinita
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• Sejam dois conjuntos difusos A em X e B em Y então o produto cartesiano AxB=R XxY
• A relação difusa R tem a seguinte função de pertinência
R(x,y) = AxB(x,y) =min [ A(x) , B(y) ]
Relação Difusa R: princípio da extensão
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Raciocínio aproximado: regra difusa e operação de composição
• Regra difusa: A e B são conjuntos difusos– Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B
– Regra 1: A B = R=(AxB)U(AxY) Produto Cartesiano
• Considerando uma nova entrada (antecedente) A’ teremos a saída (conseqüente) B’:
B’= A’ R Relação R
Operação de Composição
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Relações Difusas: operações padrão
• União: RS RS(x,y) = max [ R(x,y) , S(x,y) ]
• Intersecção: RS RS(x,y) = min [ R(x,y) , S(x,y) ]
• Complemento: R R(x,y) = 1 - R(x,y)
• Contido: RS– R(x,y) S(x,y)
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Relações Difusas: propriedades
• ATENDEM:– Comutatividade, associatividade, distributividade,
involução e idempotência.
• NÃO ATENDEM:– Leis do meio excluído:
• R R E (relação completa, identidade)• R R O (relação nula, nula)
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Lógica Difusa:
• Raciocínio aproximado:
– proposições imprecisas
– extensão da lógica de predicados
– valores de verdade [0, 1]
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Lógica Clássica: inferência dedutiva (Modus Ponens)
Regra R: Se A então B – onde A é definido no universo X e B é definido no universo Y– A regra é considerada uma RELAÇÃO entre os conjuntos A e B
– R= (AxB) (A x Y)
– supondo um novo antecedente A’ então temos um novo conseqüente B’
– regra: Se A’ então B’– onde B’ = A’ R = A’ ((AxB) (A x Y))
R(x,y) = max [( A(x) B(y) ), ((1- A(x)) 1) ]
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Lógica Difusa: Raciocínio aproximado
• Regra difusa: A e B são conjuntos difusos.– Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B
– Regra 1: A B = R=(AxB)U(AxY) Produto Cartesiano
• Considerando uma nova entrada (antecedente) A’ teremos a saída (conseqüente) B’:
B’= A’ R Relação R
Operação de Composição
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Formas de Implicação Difusa
Para a relação difusa R com base na regra SE A então B, isto é R = A B, temos:
Mamdani: R(x,y) = min [ A(x) , B(y) ]
Lukasiewicz: R(x,y) = min [1, ( 1- A(x)+ B(y) ]
Soma Limitada: R(x,y) = min [ 1, ( A(x) + B(y)) ]
Goguen: R(x,y) = min [1, ( B(y)/ A(x) ]
Ross – cap 7: pag 209
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Formas de Composição Difusa
Composição B’ = A’ R temos para todo xX:
max-min: B’(y) = max{min [ A’(x) , R(x,y) ] }
max-produto: B’(y) = max { A’(x)* R(x,y)}
min-max: B’(y) = min{max [ A’(x) , R(x,y) ] }
max-max: B’(y) = max{max [ A’(x) , R(x,y) ] }
min-min: B’(y) = min{min [ A’(x) , R(x,y) ] }
Ross – cap 7: pag 210