Professor Alisson de Souza

Análise Combinatória

A análise combinatória Procura resolver problemas de contagem.

As vezes contar pode ser algo bastante confuso ou trabalhoso. Nestes casos,através de métodos especiais, é possível obter resultados de um modo mais Rápido

Exemplo

Determinar as combinações possíveis de placas de carros no planejamento urbano, na teoria dos jogos e etc.

Se um evento depende de duas ou mais etapas independentes, a quantidade de ocorrências é o produto das etapas intermediarias.

Exemplo

Um homem possui 3 camisetas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes, ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa?

Resposta

3 ∙ 2 = 6 maneiras diferentes.

Representação que facilita a enumeração de eventos relacionados.

Exemplo 1

Um homem possui 3 camisetas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes, ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa?

Camiseta 1

Camiseta 2

Camiseta 3

Calça 1

Calça 2

Calça 1

Calça 2

Calça 1

Calça 2

6 Possibilidades.

Exemplo 2

Um homem joga sucessivamente uma moeda e ele irá parar se obter OU duas caras OU três lançamentos ( o que primeiro ocorrer ). Quantos resultados diferentes ele pode obter?

Coroa

Cara

Cara

Coroa

Cara

Coroa

7 Possibilidades.

Cara

CoroaCara

Coroa

Cara

Coroa

Exemplo 3

Sabendo que as placas de carros possuem 3 letras e 4 números, quantas combinações são possíveis? (indique os calculos)

x26 26 26 10 10 10 10

26³ ∙ 10 4

12167 ∙ 10000

12167 0000

Ou seja teríamos 121670000 combinações possíveis de placas

Exemplo 4

Quantos números (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) podemos montar com os números 1, 2, 3, 4 e 5?

x5 4 3

x = 60

Ou seja poderemos montar 60 números com 3 algarismos distintos

Exemplo 5

Quantos números (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) podemos montar com os números 0, 1, 2, 3, e 4?

Cuidado 023, 045 são números de 2 algarismos, porque quando um número começa com 0 o mesmo é ignorado.

x4 4 3

x =48

Ou seja poderemos montar 48 números com 3 algarismos distintos

Exemplo 6

Quantos números (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) que começam com 2 podemos montar com os números 0, 1, 2, 3, e 4?

x1 4 3

x =12

Ou seja poderemos montar 12 números que começam com o número 2

Exemplo 7

Quantos números pares (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) podemos montar com os números 0, 1, 2, 3, e 4?

x x0

Cuidado ao considerar os pares, não esqueça que o 0 não pode vir no começo! Divida o exercicio em casos.

1° Caso – Pares com 0 no final

143=12

x x

2° Caso – Pares sem o 0 no final

233=18

Ou seja 12 + 18 = 30 números pares distintos

Através do principio fundamental da contagem, podemos criar alguns conceitos que facilitam muito os cálculos e a resolução de problemas de combinatória.

Um arranjo pode ser de dois tipos:

- Arranjo com repetição

- Arranjo simples (também chamado de arranjo)

Nos arranjos com repetição ou simples, (a ordem é importante). Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjos.

Se em um grupo for possível repetir os elementos (como o próprio nome sugere) teremos um Arranjo com Repetição

-Equação do arranjo com repetição

(AR) = nn,r

r

Exemplo 8: Quantos números de 3 algarismos, podemos fazer com 1,2,3 e 4?

x4 4 4

x = 4³ ou 64 combinações (AR) = 44,3

3 64

9 – Em uma urna há 4 fichas diferentes numeradas de 1 a 4. Uma pessoa retira uma ficha, anota o número da mesma em um papel e recoloca a ficha na urna, repetindo o processo mais três vezes, criando uma sequência de quatro números. Quantas sequências são possíveis nesse caso?

x xx4 4 4 4

= 44

(AR) = nn,r

r(AR) = 4

4,44

(AR) = 2564,4

No arranjo (ou simplesmente arranjo) a ordem também é importante. Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjos.

Se tivermos grupos sem repetição, teremos um arranjo

Equação de arranjo simples:

A = n,p

n !

(n – p)!! = fatorial

10 – Quantos números de 3 algarimos distintos, podemos fazer com os números 1,2,3 e 4?

x4 3 2

x = 24 combinações A = 4,3

4 !

(4 – 3)!4 !1!

=4.3.2.1 !

1!

4.3.2.1 !

1!= 24 combinações