Professor:

Queiroz

Matemática para Administração

2 Bimestre

Regra da sociedade:

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação destes capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.

Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:

pk = Ck tk

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais dos participantes:

C = C1 + C2 + ... + Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.

Regra da sociedade:

Três sócios têm que dividir um lucro de R$60.000,00 sendo que o sócio A investiu R$5.000,00 , o B com R$15.000,00 e C com R$30.000,00.

Sendo: A / 5.000,00 = B / 15.000,00 = C / 30.000,00 e; A + B + C = 60.000,00, então:

A / 5.000,00 = 60.000,00 / 50.000,00

A / 5.000,00 = 1,2 => A = 6.000,00

B / 15.000,00 = 1,2 => B = 18.000,00

C / 30.000,00 = 1,2 => C = 36.000,00

300001500050005000

CBAA

Regra da sociedade – Exemplo 1

A + B + C = 90.000A + B + C = 90.000

Três sócios têm que dividir um lucro de R$90.000,00 sendo que o sócio A investiu R$15.000,00 durante 2 anos, B durante 4 anos aplicou R$5.000,00 e C investiu R$30.000,00 durante 1 ano e 3 meses.

Primeiramente devemos colocar os dados na mesma unidade; assim 1 ano e 3 meses é 1 ano + 3/12 a = 1 + 0,25 = 1,25 ano.

Regra da sociedade – Exemplo 2

14,857.30

500.37000.20000.30

000.90000.30

500.37000.20000.30000.30

25,1000.304000.52000.15

A

A

CBAA

x

C

x

B

x

A

B / 20.000 = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 )B = 20.571,43

C / 37.500 = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) C = 38.571,43

B / 20.000 = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 )B = 20.571,43

C / 37.500 = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) C = 38.571,43

Regra da sociedade – Exercícios para entregar1)Uma sociedade teve um lucro de R$117.000,00. O primeiro sócio entrou com R$1.500,00 durante 5 meses, e o outro, com R$2.000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um?R: R$45.000,00 e R$ 72.000,00

2) Jonas e Paulo se associaram para jogar na loteria. Jonas deu R$18,00 e Paulo R$12,00. Tendo acertado um terno, eles ganharam R$1.600,00. Quanto receberá cada um? R: R$960,00 e R$640,00

3) Ao constituírem uma sociedade, dois sócios entraram com os capitais de R$56.000 e R$42.500, respectivamente. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu R$518,00 a mais que o segundo. Quanto recebeu cada sócio? R: R$2.148,74 e R$1.630,74

4) Em certa sociedade comercial, o sócio A entrou com 2/5 do capital durante ¾ do tempo, e o sócio B entrou com o resto do capital durante 2/3 do tempo. Sabendo que houve um prejuízo de R$49.210,00, calcule que parte desse prejuízo caberá a cada sócio. R: R$21.090,00 e R$28.120,00

5) Em certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5. Sabendo que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a sociedade teve o prejuízo de R$311.100,00, calcule a parte de cada sócio nesse prejuízo? R$103.700 e R$207.400

1)Uma sociedade teve um lucro de R$117.000,00. O primeiro sócio entrou com R$1.500,00 durante 5 meses, e o outro, com R$2.000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um?R: R$45.000,00 e R$ 72.000,00

2) Jonas e Paulo se associaram para jogar na loteria. Jonas deu R$18,00 e Paulo R$12,00. Tendo acertado um terno, eles ganharam R$1.600,00. Quanto receberá cada um? R: R$960,00 e R$640,00

3) Ao constituírem uma sociedade, dois sócios entraram com os capitais de R$56.000 e R$42.500, respectivamente. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu R$518,00 a mais que o segundo. Quanto recebeu cada sócio? R: R$2.148,74 e R$1.630,74

4) Em certa sociedade comercial, o sócio A entrou com 2/5 do capital durante ¾ do tempo, e o sócio B entrou com o resto do capital durante 2/3 do tempo. Sabendo que houve um prejuízo de R$49.210,00, calcule que parte desse prejuízo caberá a cada sócio. R: R$21.090,00 e R$28.120,00

5) Em certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5. Sabendo que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a sociedade teve o prejuízo de R$311.100,00, calcule a parte de cada sócio nesse prejuízo? R$103.700 e R$207.400

Porcentagem:

É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Exemplos:· A gasolina teve um aumento de 15% - Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

· O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Razão centesimal:

· Toda a razão que tem o número 100 no denominador representa uma razão centesimal.

exemplos:

Lê-se: Sete por cento

Lê-se: dezesseis por cento

Lê-se: cento e vinte cinco por cento%12525,1100

125

%1616,0100

16

%707,0100

7

Exercícios de porcentagem:

1. Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150,00 e obtém-se um desconto de 20%. Qual é o valor do desconto? Resposta: R$ 30,00

2. Quatro é quantos por cento de cinco? Resposta: 80%

3. Quanto é 23% de 200 000? Resposta: 46 000

4. Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

1. Resposta: 37 520 pessoas.

Aumento Percentual :

Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento.

Exemplos:

Desconto Percentual :

Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto.

Exemplos:

Aumentos e Descontos Sucessivos:

Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V2 o valor após os aumentos, temos:.

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%. O V2 é o valor com os descontos:

Aumentos e Descontos Sucessivos: Exercícios

1. Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de?

2. Dois aumentos sucessivos de 20% corresponde a um único aumento de quantos por cento? Resposta = 0,44 ou 44%

3. Um salário teve 2 aumentos sucessivos de 20% e 10% respectivamente. Qual o reajuste único? Resposta = 32%

4. Alegando prejuízos com a inflação, um comerciante aumentou seus preços em 50%. Logo em seguida notando grande queda nas vendas, anunciou um desconto geral de 50%. Qual foi a variação sofrida pelos preços em termo de valores iniciais. Resposta = -25%

Porcentagem, Aumentos e Descontos Sucessivos: Exercícios para entregar

1. Reduzir o valor 300 em 30 %. Resposta: 2102. Das 1200 pessoas entrevistadas numa pesquisa eleitoral, 55%

eram mulheres. Das mulheres, 35% eram casadas. O número de mulheres casadas participantes da pesquisa foi:a) 132 b) 231 c) 312 d) 321

3. Se o valor 4.000 sofrer três aumentos sucessivos de 5%, qual o valor resultante? Resposta: R$ 4.630,50

4. Reduzir o valor 2.000 sucessivamente em 10%, 20% e 30%. Resposta: 1.008

5. Se dermos dois descontos sucessivos, um de 5 % e outro de 10%, a uma mercadoria que tem preço inicial de R$ 40,00 , qual será o seu preço final? Resp. : R$ 34,20

6. Expresse a fração 31/125, em porcentagem. Resp. : 24,8 % 7. Um produto sofreu um aumento de 25%. Em seguida, devido a variações no mercado, seu preço teve que ser reduzido também em 25%, passando a custar R$ 225,00. O preço desse produto, antes do aumento, era, em reais:a) 225,00 b) 240,00 c) 260,00 d) 300,00 8. Reduzir o valor 400 em 2,5 %. Resposta: 390 9. Numa sala há 100 pessoas, das quais 97 são homens. Para que os homens representem 96% das pessoas contidas na sala, deverá sair que número de homens?a) 2 b) 5 c) 10 d) 15 e) 25

Porcentagem, Aumentos e Descontos Sucessivos: Exercícios para entregar

Operações com mercadorias:

Vendas com lucro: A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo (preço de compra) ou sobre o preço de venda.

Lucro sobre o preço de custo:L = PV – PC L = i . PC PV = (1 + i).PC

Onde: PV: Preço de venda; PC: Preço de compra; L: Lucro; i: taxa unitária do lucro

Operações com mercadorias:

Lucro sobre o preço de venda:L = PV – PC L = i . PV PV = PC / (1 – i)

Onde:

PV: Preço de venda; PC: Preço de compra; L: Lucro;i: taxa unitária do lucro

Operações com mercadorias:

Vendas com prejuízo:

Analogicamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o preço de custo (preço de compra) ou sobre o preço de venda. Basta trocar na fórmula:

P = - L

1) Um imóvel, cujo preço de custo é R$ 36.000,00, foi vendido com lucro de 6%. Qual foi o preço de venda? R: R$ 38.160,00

2) Compramos certa mercadoria por R$ 200,00 e, ao vendê-la, desejamos ganhar 4% sobre o preço de custo. Por quanto deverá ser vendida? R: R$208,00

3) Na venda de certo bem adquirido por R$ 200,00, desejamos obter lucro de 4% sobre o preço de venda. Por quanto deverá ser vendido o bem? R: $ 208,33

4) Um eletrodoméstico que custou R$ 600,00 foi vendido com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Qual foi esse preço? R: R$566,04

Operações com mercadorias: Exemplos

Operações com mercadorias:Exercícios para entregar

1) Certa pessoa, tendo comprado uma calculadora por R$ 120,00, vendeu-a com prejuízo de 10% sobre o preço de custo. Por quanto vendeu a calculadora? R: R$108,00

2) Vendi um objeto por R$ 2.460,00, ganhando 23% de lucro sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto? R: R$2.000,00

3) Comprei um móvel por R$ 700,00 e desejo vendê-lo com lucro de 10% sobre o preço de venda. Por quanto deverei vender o móvel?

R: R$777,78

4) Qual foi o valor do prejuízo de quem vendeu um objeto por R$ 178,00, perdendo na transação o equivalente a 5% do preço de custo? R: $9,37

5) João deseja vender seu carro com lucro de 6% sobre o preço de venda. O carro custou R$ 20.000,00. Qual será seu lucro?

R: $1.276,60

1) Certa pessoa, tendo comprado uma calculadora por R$ 120,00, vendeu-a com prejuízo de 10% sobre o preço de custo. Por quanto vendeu a calculadora? R: R$108,00

2) Vendi um objeto por R$ 2.460,00, ganhando 23% de lucro sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto? R: R$2.000,00

3) Comprei um móvel por R$ 700,00 e desejo vendê-lo com lucro de 10% sobre o preço de venda. Por quanto deverei vender o móvel?

R: R$777,78

4) Qual foi o valor do prejuízo de quem vendeu um objeto por R$ 178,00, perdendo na transação o equivalente a 5% do preço de custo? R: $9,37

5) João deseja vender seu carro com lucro de 6% sobre o preço de venda. O carro custou R$ 20.000,00. Qual será seu lucro?

R: $1.276,60

Juros Simples :

Principais conceitosCapital ou valor presente (vp): É o Capital Inicial (Principal) em uma transação financeira, referenciado, geralmente, na escala horizontal do tempo, na data inicial (n=0).

JUROS (J): Representam a remuneração pela utilização de capitais de terceiros, ou por prazos concedidos. Podem ser, também, a remuneração por capital aplicado nas instituições financeiras. São considerados rendimento se você os recebe, e são considerados despesa se você os paga.

Juros Simples :

Principais conceitos

TAXA DE JUROS (i) Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, expresso como porcentagem do capital inicial. Pode ser expresso da forma unitária ou percentual (0,25 ou 25%, respectivamente). Exemplo: Se um banco paga R$ 600,00 de juros sobre um capital de R$ 6.000,00 aplicado durante um ano, Qual a taxa de juros?

Juros Simples :

Principais conceitos

Prazo ou períodos (n) As transações financeiras são feitas tendo-se

como referência uma unidade de tempo (como um dia, um mês, um semestre e etc.) e a taxa de juros cobrada nesse determinado tempo.

Montante ou valor futuro (VF): É a soma do Capital aplicado mais o Juros

Juros Simples : Conversão de Prazos ou Períodos

Converter os valores abaixo em: Dias, Mês, Bimestre, Trimestre, Quadrimestre, Semestre, ano

150 dias – R: 5m; 2,5b;1,67t; 1,25q; 0,83s; 0,46a

2,5 meses – R: 75d; 1,25b; 0,83t; 0,63q; 0,42s; 0,21a

4 bimestre - R: 240d; 8m; 2,67t; 2q; 1,33s; 0,67a

4,5 trimestre – R: 405d; 13,5m; 6,75b; 3,38q; 2,25s; 1,13a

2 a 3m 15d – R: 825d; 27,5m; 13,75b; 9,17t; 6,875q; 4,58s; 2,29a

3 a 2b 10d – R:1210d; 40,33m; 20,17b; 13,44t; 10,08q; 6,72s; 3.36a

Juros Simples :

Fórmulas básicasMontante (M)

Juros (J)

Taxa de Juros (i):

).1.( niCM

JCM

1C

Mi

niCj ..

Juros Simples : Exemplo

Você tem R$ 2.346,00 hoje, mas daqui a três meses terá que pagar uma dívida de R$ 3.123,00. Para honrar a sua dívida, alguém sugere que você aplique seu dinheiro para que, no futuro, tenha o que precisa. A qual taxa de juros você precisaria aplicar esse capital?

Juros Simples :

Taxas equivalentes

Normalmente temos que transformar a taxa de juros de um período para outro período, esse cálculo é muito usado em transações financeiras em geral e as taxas que procuramos são denominadas taxas equivalentes, isto é, que produzem o mesmo montante se aplicadas sobre um mesmo capital em um mesmo intervalo de tempo.

Exemplo: Qual a taxa anual em juros simples, equivalente à taxa mensal de 2,5 % a.m?

1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 30% ao mês R: R$1.500,00

2) Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$ 7.850,00. Determinar a taxa correspondente. R. 0,045 ou 4,5% ao mês

3) Uma aplicação de $ 50.000 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anula correspondente a essa aplicação? R: 0,33 ou 33% ao ano

4)  Sabendo-se que os juros de $ 6.000 foram obtidos com a aplicação de $ 7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. R. 10 trimestres ou 2,5 anos

Juros Simples: Exemplos

Juros Simples – Exercícios para entregar

1) Uma aplicação de $ 50.000 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anula correspondente a essa aplicação? R: 0,33 ou 33% ao ano

2)  Sabendo-se que os juros de $ 6.000 foram obtidos com a aplicação de $ 7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. R. 10 trimestres ou 2,5 anos

3) Qual o capital que, à taxa de 4% ao mês, rende juros de $ 9.000,00 em um ano? R: $ 18.750,00

4) Um empréstimo de $ 23.000,00 é liquidado por $ 29.200,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros. R: 0,1773% x 30 = 5,32%

5) Calcular o valor dos juros e o do montante de uma aplicação de $ 20.000,00, feita a uma taxa de 4,94% ao mês, pelo prazo de 76 dias. R: $ 22.502,93

1) Uma aplicação de $ 50.000 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anula correspondente a essa aplicação? R: 0,33 ou 33% ao ano

2)  Sabendo-se que os juros de $ 6.000 foram obtidos com a aplicação de $ 7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. R. 10 trimestres ou 2,5 anos

3) Qual o capital que, à taxa de 4% ao mês, rende juros de $ 9.000,00 em um ano? R: $ 18.750,00

4) Um empréstimo de $ 23.000,00 é liquidado por $ 29.200,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros. R: 0,1773% x 30 = 5,32%

5) Calcular o valor dos juros e o do montante de uma aplicação de $ 20.000,00, feita a uma taxa de 4,94% ao mês, pelo prazo de 76 dias. R: $ 22.502,93