PROPORÇÃO: SEÇÃO ÁUREA e TRAÇADO REGULADORtulo-4-v2.pdf · A arquitetura serve-se do número, da forma, da grandeza e dos materiais, por via da especulação, ... que a altura

PROPORÇÃO:SEÇÃO ÁUREA e

TRAÇADOREGULADOR

4

O Modulor : Sistema demedição proporcionada de

Le Corbusier.

61 PROPORÇÃO: SECÃO ÁUREA e TRAÇADO REGULADOR

A CONCEPÇÃO de uma obra arquitetônica depende de um variado conjunto decondicionantes. O programa de necessidades, as particularidades do contexto físico, asdiferentes alternativas técnicas, as limitações econômicas, o meio sócio-cultural e, finalmente,as preferências plásticas conduzem a um sem número de conclusões individuais. Umdeterminado espaço pode ter infinitas soluções dimensionais, compatíveis com diferentessituações e ênfases projetuais diversas. O arquiteto, ao estabelecer alguma forma deordenação, começa a buscar dentro do universo das infinitas possibilidades algo que atendaà sutil idéia de uma justa medida, uma relação proporcional necessária ao objetivo final deuma definição espacial harmônica e bela.

Em arquitetura proporção é um conceito fundamental e importantes autores vêm, há muito,fazendo uso deste termo até quando buscam definições para a própria arquitetura:

Michelangelo Buonaroti: A arquitetura não é senão a ordem, a disposição, a bela aparência, a proporção das partes face aotodo, a proporção e a distribuição.

Vincenzo Scamozzi:A arquitetura serve-se do número, da forma, da grandeza e dos materiais, por via da especulação,e serve-se ainda das proporções e das correspondências nos mesmos modos por que o faz omatemático.

G. Winckelmann: Na arquitetura o belo consiste essencialmente nas proporções: somente corn a proporção e semqualquer ornamentos um edifício pode ser belo.

Carlo Lodoli: A arquitetura é uma ciência intelectual e prática que visa estabelecer, com o raciocínio, o bomuso e as proporções do que constrói.

Louis Hautecoeur:A arquitetura, que de todas as artes é a mais submetida às condições materiais, econômicas esociais, é também aquela que graças às proporções e as formas geométricas exprime as especulaçõesmais abstratas do pensamento humano.

PROPORÇÃO

Capitel jônicosegundo Viñola.

PROPORÇÃO: SEÇÃO ÁUREA e TRAÇADO REGULADOR 62

Para muitos teóricos é uma concepção que dá sentido, alicerça e consolida a própria açãoprojetual. No entanto, como já observado anteriormente, algumas vezes a noção de escalaé confundida com a noção de proporção, sendo aquela explicada por esta e vice-versa,portanto é necessário esclarecê-las novamente (ver capítulo 1).

Em termos matemáticos proporção é uma igualdade entre razões. Uma razão é o resultadode uma divisão, de uma distribuição fracionária [ratio = rateio]. Quando essa distribuiçãonão deixa sobras diz-se que é exata. Não há disperdício ou desequilíbrio. Quando duasrazões são iguais, diz-se que são proporcionais. Ou seja, uma proporção refere-se a umaequivalência fracionária.

Em arquitetura grande parte das definições de proporção reconhecem uma relaçãoquantitativa, expressa numericamente, entre tamanhos de partes de um edíficio com atotalidade da edificação ou com outras partes do mesmo edifício. Por exemplo, se dissermosque uma janela tem de altura 2/3 de uma porta estaremos estabelecendo uma proporção.Neste caso, a relação se efetua através do transporte dimensional de um elemento de umadada edificação a outro elemento da mesma edificação, sendo o conjunto (toda edificação)considerado como um sistema fechado.

No entanto, as relações de proporção de uma edificação, por si só, não nos permitem conheceras medidas de tal edificação. Para medí-la é necessário a utilização de uma referênciadimensional externa a esse conjunto fechado, como, por exemplo, o metro. Se agora dissermosque a altura da porta será de 2,10m, aplicando-se a relação de proporção saberemos entãoque a janela terá 1,40m de altura.

Como já visto anteriormente, necessariamente a noção de escala supõe, portanto, que asmedidas de um edifício, ou de parte dele, sejam relacionadas a uma referência dimensionalexterior à edificação. Para os arquitetos, esta referência vai levar em conta o tamanho do serhumano. Na figura ao lado, as duas fomas espaciais guardam a mesma proporção 2 : 1, noentanto se considerarmos a figura humana, as duas formas são distintas e por isso diferentes.

Proporção e escala.

1

2

63 PROPORÇÃO: SEÇÃO ÁUREA e TRAÇADO REGULADOR

É importante ressaltar que esta abordagem pragmática da noção de proporção não ésuficiente para explicar a sutileza da sua aplicação pelos arquitetos na busca das medidasadequadas para os elementos arquitetônicos numa composição harmônica ou bela. Umacompreensão mais ampla daquilo que significa “a relação das partes de uma determinadacomposição entre si e das partes com o conjunto” pouparia-nos de visões excessivamentereducionistas que possam eventualmente transformar-se em dogmas.

A questão da busca do belo se caracteriza como uma das áreas de interesse humano maisbem documentada desde a antigüidade. Os antigos textos examinam principalmente o beloarquitetônico e dentre as tradições que perduram até os nossos dias está a da beleza comoum atributo das coisas. Os escritos de Platão sobre a beleza estão baseados na sua concepçãode essência. Argumenta que tudo o que sabemos pela experiência cotidiana é opinião e quese deve procurar um saber real e permanente (episteme) que consistiria de essências. Umadessas essências seria a da beleza, propriedade permanente de todos os objetos belos e quepermanece imutável independentemente da admiração daquele objeto por algum indivíduo.

Um dos aspectos constantes dessa beleza permanente seria a proporção. Se atribui aPitágoras a primeira tentativa de utilizar a linguagem matemática para conceber umaabordagem para esta idéia. Se crê que Pitágoras descobriu as relações dimensionais deproporção no comprimento das cordas de instrumentos musicais que produzem a harmoniade tons. A partir daí a noção de harmonia extraída da música passa ser aplicada a todo ocosmo: os números formam a essência de todas as coisas.

Pitágoras, ainda, nutria certa admiração mística e sagrada pelo pentágono regular e pelopentagrama, o polígono regular estrelado de cinco pontas inscrito neste pentágono regular.Sobre estas bases buscou explicar também a proporção geométrica ideal dos aspectos físicosdas coisa naturais, principalmente aquela de um corpo humano ideal, e de aplicá-la naarquitetura e na arte. Definiu, então, uma relação de proporção particular que se encontra nopentágono regular e no pentagrama, a da divisão de um segmento em média e extrema razão.

PROPORÇÃO E O BELOARQUITETÔNICO

Pentágono e pentagrama.


Euclides iria definir esta relação da seguinte maneira: “um segmento se divide em média eextrema razão quando todo o segmento está para a parte maior como esta última esta paraa menor”.

Alguns historiadores, como Hugh Casson, vão afirmar que as regras de semelhança eproporção matemática, se estabeleceram como forma eficiente de comunicar intençõesarquitetônicas e controlar a execução da construção, quando não existia um sistema demedida padronizado e a transmissão de instruções construtivas era precária. No entanto, atradição grega de proporção se manteve na arquitetura romana clássica, e chegou até nossosdias através do texto, já citado, de Vitruvio.

Vitruvio afirma que um edifício é belo não só quando a aparência da obra é de bom gosto eagradável mas também quando seus elementos são proporcionados de acordo com com osprincipios corretos de si-metria, aqui entendida no sentido original grego, como umaconcordância correta ou justa de medidas entre os elementos de uma mesma obra e de suarelação com o esquema geral do conjunto e de uma certa parte, deste mesmo conjunto,eleita como módulo. Em geral, através da unidade modular do diâmetro das colunas (“canon”ou cânone) de uma determinada ordem eram definidas todas as medidas dos outros elementosque compunham as construções. As ordens (dóricas, jônicas, coríntias e toscanas) erampara os gregos e romanos, na antigüidade, a forma mais perfeita de expressão de beleza eharmonia.

Mesmo durante a Idade Média, onde os textos da antigüidade clássica não eram muitoutilizados, as proporções e relações geométricas e numéricas continuaram sendo consideradasatributos importantes como se pode observar nestas páginas do caderno de esboços de Villardde Honnecourt (Século XIII) célebre arquiteto e construtor de igrejas góticas.

O Renascimento ocasionou um novo interese pelos conhecimentos da antiguidade e reavivouo estudo das proporções pitagóricas. Um estudo de Leonardo DaVinci mostra as relações deproproção no rosto humano.

Teorema dePitágoras.

Segmentosproporcionais no

pentagrama.


O maior tratadista de arquitetura do Renascimento Leon Battista Alberti, no seu textofundador De Re Ædificatoria, deu enorme enfâse aos aspectos formais dos edifíciosprincipalmente com relação a proporção, definindo-a da forma geral como a entendemoshoje: “a relação das partes de uma determinada composição entre si e das partes como conjunto”.

No entanto, o ressurgimento, no Renascimento, pelo interesse na divisão proporcional dePitágoras de média e extrema razão se deve ao matemático Lucca Pacciolli di Borgo. Noseu livro De Divina Proportione, apresentado em Veneza em 1509 e ilustrado por LeonardoDaVinci, vai denominá-la proportio divinæ. Esta divisão proporcional veio, mais tarde aser chamada de seção áurea (veja a próxima seção) pelo próprio Leonardo DaVinci econtinua sendo muito aplicada ainda hoje com essa denominação:”Um segmento de retaestá dividido de acordo com a seção áurea quando é composto de duas partes desiguais,das quais a maior está para a menor assim como o todo está para a maior”. Derivadeste conceito o que veio a se conhecer como retângulo de ouro ou áureo: um retângulocuja razão entre os lados maior e menor é equivalente ao chamado número de ouro [? =1,618...].

Depois do Renascimento a concepção platônica de beleza como atributo do objeto foicriticada e alguns estudiosos começaram a adotar uma concepção mais ampla em que abeleza não é só resultado das propriedades do objeto mas que depende também dascircunstâncias que envolvem a pareciação ou fruição deste objeto. Já na antigüidade nemtodos os filósofos concordavam com a posição de Platão. Epicuro foi um que apresentouuma teoria distinta argumentando que quando um indivíduo aprecia a beleza entra emjogo um sentimento de prazer.

No entanto, de acordo com o modelo estabelecido pelos teóricos do Renascimento – Alberti,Serlio, Vignola, Palladio entre outros – a partir do seculo XVII as novas normas para a boaarquitetura que começaram a ser elaboradas, principalmente, por teóricos de escolas dearquitetura francesas, nunca deixaram de incluir considerações sobre a proporção.

Leonardo Da Vinci:Relações de proporçãono rosto humano.

Villard de Honnecourt:Proporções e relaçõesgeométricas e numéricas.


Viollet-le-Duc, um dos mais importantes teóricos do Século XIX, viu como missãodesenvolver uma concepção de arquitetura baseada, na mesma forma que a filosofia deDescartes, na razão. De acordo com seu famoso Dictionnaire Raisonné de l’Architectureo termo proporção vai ser definido como:

Por proporções, entendem-se as relações entre o todo e as partes, relações lógicas, necessárias,que satisfazem ao mesmo tempo a razão e aos olhos. Deve-se estabelecer uma distinção entreproporção e dimensão. As dimensões indicam simplesmente alturas, larguras e superfíciesenquanto que as proporções são relações entre as partes segundo uma lei.

Ao contrário do que é frequentemente pensado, as proporções, em arquitetura, não implicamrelações fixas entre as partes, mas relações variáveis, em vista de obter uma escala harmônica. Asproporções não derivam de um método cego nem de uma fórmula inexplicável, mas de relaçõesentre os cheios e os vazios, as alturas e as larguras, as superfícies e as elevações; relações dasquais a geometria cuida e cujo estudo demanda grande atenção e varia segundo o lugar do objeto.O arquiteto, enfim, não é escravo de um sistema de proporções fixo. Ele pode modificá-lo achandoaplicações novas e relações proporcionais, assim como acha aplicações variadas das leis dageometria. Com efeito, as proporções são filhas da geometria. Em arquitetura, elas se estabeleceramprimeiramente sobre as leis da estabilidade e estas derivam da geometria. Um triângulo é umafigura inteiramente satisfatória, perfeita, dá a idéia mais exata de estabilidade. Foi por meio dostriângulos que os egípcios, os gregos e mais tarde os arquitetos da Idade Média estabeleceramsuas regras de proporção, para que estivessem submetidas às leis da estabilidade.

A primeira abordagem arquitetônica mais independente da tradição formal da antiguidadefoi chamada de Art Noveau que começou a fazer uso de formas puras da geometria. A partirdeste movimento alguns dos arquitetos mas hábeis do século XX passaram a propor formasparticulares de interpretar a questão da proporção.

Um dos primeiros foi Le Corbusier que propôs um sistema de medição proporcionadadenominado Modulor.

Le Corbusier acreditava que o seu sistema de medidas satisfaria tanto às exigências debeleza – porque ser derivado da seção áurea – quanto às funcionais – porque adequado às

Viollet-le-Duc:Proporção

estabelecidaatravés de relações

geométricas.

Le Corbusier: Medidas em função das necessidades humanas.


dimensões humanas. Para ele, este era um instrumento universal, fácil de empregar, e quepodia ser usado no mundo inteiro para obter beleza e racionalidade nas proporções de tudoo que é produzido pelo homem”.

Le Corbusier, inicialmente, estabeleceu como estatura média do ser humano a medida de1,76 m. No entanto, sob pretexto de considerar a média de altura dos policiais ingleses eciente da progressiva evolução da estatura do ser humano, ao menos na Europa, resolveuadotar 1,829 m, como ponto de partida para o Modulor. Embora sob o prisma científico,as conclusões possam ser consideradas questionáveis: pela inadequação na aplicaçãoantropométrica geral; por desconsiderar variações anatômicas individuais e por idealizarsituações.

O grande mérito dessa análise, em que Le Corbusier, através de duas séries numéricas,considera as alturas do ser humano e de seu braço erguido, é que possibilita a criação futurado conceito de “desenho universal”. Apesar de não ter sido a intenção preliminar deLeCorbusier, com a evolução do ideal de cidadania e os traumas das guerras recentes doséculo XX, este conceito, ao invés da usual tendência de excludência do ser humano, procurapossibilitar, ao contrário, o máximo de acesso aos equipamentos, mobiliários, edificaçõesetc., em geral, no âmbito público.

“Eu penso que o trabalho secreto que

faz atribuir valores profundos, é o

melhor significado que se pode dar à

minha obra de arquiteto”.

O Modulor deLe Corbusier.


TRAÇADOS GEOMÉTRICOS

DIVISÃO DE UM SEGMENTO DE RETA EM

MÉDIA E EXTREMA RAZÃO

CONSTRUÇÃO DE UM

RETÂNGULO ÁUREO

Velasquez: O ‘ponto dourado’ naAdoração dos Reis Magos.


RELAÇÕES GEOMÉTRICAS NO

RETÂNGULO ÁUREO: DIAGONAIS,QUADRADOS GIRANTES E ESPIRAL DE

CRESCIMENTO DINÂMICO.

Espiral de crescimento dinâmico e natureza.


CONSTRUÇÃO DO PENTÁGONO

DADO O SEU LADO

CONSTRUÇÃO DO PENTÁGONO

DADO O RAIO DO CÍRCULO

CIRCUNSCRITO

Géricault:O pentagrama

em L’amourvache.


RETÂNGULOS ESTÁTICOS

E DINÂMICOS

Para Hambridge a decomposição de um arranjo emseus retângulos mais elementares é suficiente parapor em evidência o esquema harmônico de suasproporções. Segundo este autor o que distingue umretângulo é a razão entre seus lados. De umretângulo de razão n diz-se que tem módulo n.Partindo desta noção de módulo ?, Hambridge vaiagrupar os retângulos em estáticos e dinâmicos.

Retângulos Estáticos

São aqueles em que o módulo n é um número inteiro(1, 2, 3, 4 ...) ou fracionário (3/4, 2/3, 5/8 ...).

Retângulos Dinâmicos

São aqueles em que o módulo n é um númeroincomensurável. São retângulos que crescem emproporção descontínua, gerados pelos rebatimentosdas diagonais, cujos valores partem de 2, comincremento constante de 1 ao número sob o radical.

√


TRAÇADOS DE RETÂNGULOS COM

BASE NA SÉRIE DE FIBONACCI

A seção de ouro apresenta importantes relaçõesgeométricas que, como anteriormente apresentado,

podem ser expressas graficamente através dediagramas e traçados geométricos. No entanto,

suas medidas se apresentam na forma de númerosincomensuráveis.

A solução algébrica da expressão[(a : b) = (a + b : a)] resulta numa equação desegundo grau (∞2 − ∞ − 1= 0) cujas raízes são

± [( 5 + 1 ) : 2] = ± 1,618... = Φ.

Na Idade Média o matemático Leonardo de Pisa(Fibonnacci) vai apresentar, baseado no

conhecimento matemático desenvolvido pelosárabes, uma série de números reais positivos, que

crescem em proporção contínua, onde cadanúmero é o resultado da adição de seus dois

atencedentes. Esta série tem como peculiaridade ofato de cada número guardar com o seu

antecedente uma razão próxima ao número deouro, bem como um certo par em relação ao par

subseqüente. A Série de Fibonnacci, como ficouconhecida, é um recurso para se obter uma

proporção próxima a áurea, sem a necessidade dese lidar com números incomensuráveis.

Assim pode-se facilmentedesenhar retângulos ditosestáticos, retângulos cuja razãoentre seus lados é inteira oufracionária, que guardam umarelação de proporção muitopróxima àquela do retânguloáureo.

√


Na busca da boa proporção, artistas e arquitetos estabeleceram uma idealização abstrata-geométrica denominada traçado regulador. Se pode definí-lo como um traçado geométricocom uma lógica ou lei de formação proporcional que ordena e regula a disposição dosprincipais elementos de uma composição arquitetônica. Este sistema de proporcionalidadeprocura estabelecer as linhas gerais de uma espécie de esqueleto estrutural que determina oposicionamento e as relações intrínsecas, no âmbito da plástica arquitetônica, de seuselementos geradores (linhas, planos e volumes). Funciona como uma retícula ou gradeimaginária que contribui para a organização dos elementos da composição, segundo umadeterminada regra geral, procurando unificar visualmente múltiplos elementos, relacionando-os dentro de uma mesma família de proporções.

Não é um esquema geométrico fechado e rígido cujo uso pudesse ser rigorosamente prescrito,como uma tabela de coeficientes matemáticos, mas um esquema geral que contempla diversaspossibilidades operativas permanecendo aberto à engenhosidade e à livre intuição do artista.

Este recurso compositivo é conhecido desde a antigüidade e vem sendo aplicado formalmentepor arquitetos desde Palladio, na Renascença , a Le Corbusier no século XX. Na ilustração aolado o autor Colin Rowe no seu artigo The Mathematics of the Ideal Villa compara a aplicaçãodeste recurso por Palladio na Villa Malcontenta e por Le Corbusier na Villa Garches.

Le Corbusier, considerava o traçado regulador “uma garantia contra o arbitrário”. No seulivro Vers une Architecture (Por uma Arquitetura) faz uma apaixonada defesa pelo empregodeste recurso de composição, e vai argumentar que:

O traçado regulador é uma satisfação de ordem espiritual que conduz à busca de relaçõesengenhosas e de relações harmoniosas [...] que traz essa matemática sensível que dá a agradávelpercepção da ordem. A escolha de um traçado regulador fixa a geometria fundamental da obra;ele determina então uma das impressões fundamentais. A escolha de um traçado regulador é umdos momentos decisivos da inspiração, é uma das operações capitais da arquitetura.

TRAÇADO REGULADOR

O recurso compositivo do‘Traçado Regulador’ naVilla Garches e na Villa

Malcontenta.


EXEMPLOS DE TRAÇADOS

REGULADORES

Na pesquisa histórica que serviu de basepara a restauração do prédio que hoje abrigaa Casa França - Brasil, a professora Sandra

Alvim sugere que o seu autor, o arquitetoGrandjean de Montigny, tenha feito uso deum traçado regulador. A ilustração ao ladoapresenta o esquema de proporcionalidade

que sugere-se ter sido empregado naelaboração do projeto desta edificação que é

considerada como uma importantemanifestação do espírito do neoclassicismo

francês no Rio de Janeiro.

Casa França-Brasil

Perspectiva interna.


Casa França - Brasil

Grangjean de Montigny:Desenhos de projeto.

Foto do interior.

Diagrama analíticos.


Habitação popularmultifamiliar

Lucio Costa e Gregori Warchavchik.

Pesrpectiva.

Pesrpectiva.

Gamboa: Diagramas analíticos.


Gamboa: Diagramas analíticos.

Planta baixa pavimento superior.

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