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Proporção Divina, em 1509Escrito por Luca Paccioli (1445-1514)
Seção Dourada ou Segmento de OuroNomes sugeridos por Leonardo da Vinci (1452-1519),
que foi o artista que ilustrou a Proporção Divina de Paccioli.
Prof. Denis Mandarino
A C
B
a
x a-x
(?)
Divisão em média e extrema razão de Euclides
Prof. Denis Mandarino
A C
B
a
x a-x
(?)
(a-x) = xx a
Prof. Denis Mandarino
A C
B
a
x a-x
(?)
(a-x) = xx a
X2 = a2 – ax
Prof. Denis Mandarino
(a-x) = xx a
X2 = a2 – ax
02 02X2 + a = a2 – ax + a
2 2
Prof. Denis Mandarino
(a-x) = xx a
X2 = a2 – ax
02 02X2 + a = a2 – ax + a
2 2
02 02X + a = a2 + a
2 2
Prof. Denis Mandarino
(a-x) = xx a
X2 = a2 – ax
02 02X2 + a = a2 – ax + a
2 2
02 02X + a = a2 + a
2 2
a
a2
x + a2
Prof. Denis Mandarino
a
a2
x + a2
Prof. Denis Mandarino
A M B a
a
a2
x + a2
Prof. Denis Mandarino
A M B C
D
a
a2
a
a2
x + a2
Prof. Denis Mandarino
A M B C
D
a
a2
a
a2
x + a2
Prof. Denis Mandarino
a
a2
x + a2
a
a2
x + a2
Prof. Denis Mandarino
A
E
E’
M B C
D
a
a2
x + a2
Raio= a/2
Prof. Denis Mandarino
A
E
M B C
D
a
a2
x + a2
Prof. Denis Mandarino
A
E
M B C
D
a
a2
x + a2
Prof. Denis Mandarino
A
E
M B C
D
a
a2
x + a2
Prof. Denis Mandarino
A
E
E’
M B C
D
C’ a
a2
x + a2
Prof. Denis Mandarino
Prof. Denis Mandarino
Série Fibonacci - Século XI, (1202) Leonardo de Pisa
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 etc..
Prof. Denis Mandarino
1 dividido por 1 = 1,0000000000000000000000000000002 dividido por 1 = 2,0000000000000000000000000000003 dividido por 2 = 1,5000000000000000000000000000005 dividido por 3 = 1,6666666666666700000000000000008 dividido por 5 = 1,60000000000000000000000000000013 dividido por 8 = 1,62500000000000000000000000000021 dividido por 13 = 1,61538461538462000000000000000034 dividido por 21 = 1,61904761904762000000000000000055 dividido por 34 = 1,61764705882353000000000000000089 dividido por 55 = 1,618181818181820000000000000000144 dividido por 89 = 1,617977528089890000000000000000233 dividido por 144 = 1,618055555555560000000000000000377 dividido por 233 = 1,618025751072960000000000000000610 dividido por 377 = 1,618037135278510000000000000000987 dividido por 610 = 1,618032786885250000000000000000
1597 dividido por 987 = 1,6180344478216800000000000000002584 dividido por 1597 = 1,6180338134001300000000000000004181 dividido por 2584 = 1,6180340557275500000000000000006765 dividido por 4181 = 1,61803396316671000000000000000010946 dividido por 6765 = 1,61803399852180000000000000000017711 dividido por 10946 = 1,61803398501736000000000000000028657 dividido por 17711 = 1,61803399017560000000000000000046368 dividido por 28657 = 1,61803398820532000000000000000075025 dividido por 46368 = 1,618033988957900000000000000000121393 dividido por 75025 = 1,618033988670440000000000000000196418 dividido por 121393 = 1,618033988780240000000000000000317811 dividido por 196418 = 1,618033988738300000000000000000514229 dividido por 317811 = 1,618033988754320000000000000000832040 dividido por 514229 = 1,618033988748200000000000000000
1346269 dividido por 832040 = 1,6180339887505400000000000000002178309 dividido por 1346269 = 1,6180339887496500000000000000003524578 dividido por 2178309 = 1,6180339887499900000000000000005702887 dividido por 3524578 = 1,6180339887498600000000000000009227465 dividido por 5702887 = 1,61803398874991000000000000000014930352 dividido por 9227465 = 1,61803398874989000000000000000024157817 dividido por 14930352 = 1,61803398874990000000000000000039088169 dividido por 24157817 = 1,61803398874989000000000000000063245986 dividido por 39088169 = 1,618033988749900000000000000000102334155 dividido por 63245986 = 1,618033988749890000000000000000165580141 dividido por 102334155 = 1,618033988749890000000000000000Prof. Denis Mandarino
1 dividido por 1 = 1,0000000000000000000000000000001 dividido por 2 = 0,5000000000000000000000000000002 dividido por 3 = 0,6666666666666670000000000000003 dividido por 5 = 0,6000000000000000000000000000005 dividido por 8 = 0,6250000000000000000000000000008 dividido por 13 = 0,615384615384615000000000000000
13 dividido por 21 = 0,61904761904761900000000000000021 dividido por 34 = 0,61764705882352900000000000000034 dividido por 55 = 0,61818181818181800000000000000055 dividido por 89 = 0,61797752808988800000000000000089 dividido por 144 = 0,618055555555556000000000000000
144 dividido por 233 = 0,618025751072961000000000000000233 dividido por 377 = 0,618037135278515000000000000000377 dividido por 610 = 0,618032786885246000000000000000610 dividido por 987 = 0,618034447821682000000000000000987 dividido por 1597 = 0,618033813400125000000000000000
1597 dividido por 2584 = 0,6180340557275540000000000000002584 dividido por 4181 = 0,6180339631667070000000000000004181 dividido por 6765 = 0,6180339985218030000000000000006765 dividido por 10946 = 0,618033985017358000000000000000
10946 dividido por 17711 = 0,61803399017559700000000000000017711 dividido por 28657 = 0,61803398820532500000000000000028657 dividido por 46368 = 0,61803398895790200000000000000046368 dividido por 75025 = 0,61803398867044300000000000000075025 dividido por 121393 = 0,618033988780243000000000000000
121393 dividido por 196418 = 0,618033988738303000000000000000196418 dividido por 317811 = 0,618033988754323000000000000000317811 dividido por 514229 = 0,618033988748204000000000000000514229 dividido por 832040 = 0,618033988750541000000000000000832040 dividido por 1346269 = 0,618033988749648000000000000000
1346269 dividido por 2178309 = 0,6180339887499890000000000000002178309 dividido por 3524578 = 0,6180339887498590000000000000003524578 dividido por 5702887 = 0,6180339887499090000000000000005702887 dividido por 9227465 = 0,6180339887498900000000000000009227465 dividido por 14930352 = 0,618033988749897000000000000000
14930352 dividido por 24157817 = 0,61803398874989400000000000000024157817 dividido por 39088169 = 0,61803398874989500000000000000039088169 dividido por 63245986 = 0,61803398874989500000000000000063245986 dividido por 102334155 = 0,618033988749895000000000000000
102334155 dividido por 165580141 = 0,618033988749895000000000000000Prof. Denis Mandarino
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Prof. Denis Mandarino
Prof. Denis Mandarino
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Cânone de Leonardo da Vinci
Prof. Denis Mandarino
Cânone Grego
Prof. Denis Mandarino
A
A
A
B B
B
A
B
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Prof. Denis Mandarino
Prof. Denis Mandarino
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PRINCIPAIS FONTES:
O PODER DOS LIMITES (1981), GYORGY DOCZI
EL NÚMERO DE ORO 1 E 2 (1968). MATILA C. GHYKA
DONALD NO PAÍS DA MATEMÁGICA (1959), DISNEY
ESTRATÉGIAS DE APLICAÇÃO DO SEGMENTOÁUREO NO DESIGN (1999), ANA JÚLIA ROCHA (tese de doutorado baseada numa aula do Prof. Delton Capozzi)
DESENHO GEOMÉTRICO, CONSTRUÇÕES COM RÉGUA E COMPASSO (2008) - MANDARINO, BASTOS, CAPELLARI
UNIVERSOS DA ARTE (1983) – FAYGA OSTROWER
Prof. Denis Mandarino
