Propostas de Resolução - Abre Horizontes- Porto Editora · A’ =r2 A =22 *3x =12x m2 Resposta: (B). 1. Pág. 21 1.1 Sim. Dois círculos são sempre semelhantes. 1.2 Como as “pizzas”

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Exercícios deMATEMÁTICA A 10.° ano

Como utilizar este ficheiro e localizar rapidamente a resolução pretendida?

• Verifique se na Barra de Ferramentasdeste documento existe a “caixa de pes-quisa” do seu Adobe Reader.

Se tal não suceder, active-a, clicando como botão direito do rato e seleccionando aopção pretendida.

• Na “caixa de pesquisa” (Find), digitePág., com o “P” maiúsculo e sem esquecero ponto final, seguido de um espaço e donúmero de página onde se encontra oexercício ou problema do qual pretendeconhecer a resolução.

• Depois de validar a informação,teclando em Enter, surgirá no ecrã apágina do documento PDF com todas asresoluções dos exercícios da página selec-cionada do livro.

Dependendo da sua extensão, a resoluçãopoderá estar na coluna ou até na páginaseguinte do PDF.

Propostas de Resolução

online

Maria Augusta Ferreira NevesLuís Guerreiro | António Leite

P

2.

2.1 x - x = 1 § x = 1 § x = §

§ x = § x = §

§ x = - 1 - .

2.2 x - x = § x §

§ x = § x = §

§ x = § x = § x = - .

3.

3.1 a) F2 = =

= = 1 + F ;

b) =

= = F - 1 .

3.2 x = ; x2 - x - 1 = 0

- 1 = 0 §

§ - 1 = 0 §

§ - 1 = 0 §

§ = 0 § = 0 § 0 = 0 .

4. Pág. 15

4.1

P = 4 * = 4 * = 4 * 3 = 12

P = 12 cm .

4.2

§ = 18 § = 18 §

§ = 9 = 3

P = 4 * = 4 * 3 = 12 cm .

4.3 Em [ABCD]: § §

§

Em [AFBE]: .

5.

5.1 = 20

= 20 + 20 § §

§

= m .2 œ10FC

FC = œ4 * 10 § 2 œ10

FC = œ40FC2 = FB2 + BC2 § FC2

FB = œ20∑∑∑FB>0§FB2

AB

AF= œ18

3=

3 œ23

= œ2

ACAB

=6

œ18=

6 œ1818

=6 * œ9 * 2

18=

6 * 3 œ218

= œ2

AC2 = 36 § AC = 6

AC2 = (œ18)2 + (œ18)2AC2 = AB2 + BC2

AF

AF∑∑∑AF>0§AF2

2 AF2AF2 + AF2AF2 + FB2 = (œ18)2AB = œ18

œ2

œ2œ2œ9 * 2œ18

AB = œ18

02

3 + œ5 - 1 - œ5 - 22

3 + œ52

-1 + œ5

2

1 + 2 œ5 + 54

-1 + œ5

2

11 + œ52 2

2

- 11 + œ52 2

1 + œ52

- 1 + œ52

=(1 + œ5) - 2

2=

1 + œ52

-22

1F

=2

1 + œ5=

2 (1 - œ5)(1 + œ5) (1 - œ5)

=2 (1 - œ5)

1 - 5

2 + (1 + œ5)2

=22+

1 + œ52

11 + œ52 2

2

=1 + 2 œ5 + 5

4=

6 + 2 œ54

=3 + œ5

2

œ15 + 52

œ15 + 5- 2

œ15 + 53 - 5

œ5 (œ3 + œ5)(œ3 - œ5) (œ3 + œ5)

œ5

œ3 - œ5

(œ3 - œ5) = œ5œ5œ5œ3

œ2

1 + œ21 - 2

1 * (1 + œ2)(1 - œ2) (1 + œ2)

1

1 - œ2(1 - œ2)œ2

1. 42 + 72 = h2 § h2 = 65 h = Pág. 12

Resposta: (C).

2. d2 = 52 + 42 §

§ d2 = 41 d =

P = 2p r = (2r)p = p

P = p cm

Resposta: (B).

3. (A) § § , é falso;

(B) § = 2 , é falso;

(C) § §

§ § , é falso;

(D) = - 2 § 2 - 2 * 2 = - 2 §

§ - 2 = - 2 , é verdadeiro.

Resposta: (D).

4. = 8 - 2 = 6 Pág. 13

§ = 12 + 36 §

P = = 2 + + 8 + =

= 10 + = 10 + 2 + 4 = 10 + 6

Resposta: (D).

5. = 10

Comprimento do arco AC = = 5p

= 102 + 102 §

§ = 102 * 2

§ = 10

P = 5p + 10 + 10 ) 39,9

Resposta: (A).

6. =

= 3 + 2 * 2 - * 6 = 3 + 4 - 3 = 4

Resposta: (D).

1. Pág. 14

1.1 Falsa: .

1.2 Verdadeira: .

1.3 Falsa: .

1.4 Verdadeira: .

1.5 Falsa: = = 3 0 .

1.6 Falsa: = = .

1.7 Falsa: = 3 - 2 = 4 - 2 0 3 .

1.8 Falsa: = = 0 .3 - 3 œ2

33 - œ6

3(œ3 - œ2) œ3

œ3 * œ3

œ3 - œ2

œ3

œ3œ3 + 1(œ3 - 1)27 œ2œ16 * 2 + 3 œ2 = 4 œ2 + 3 œ2œ32 + 3 œ2

œ8 + 1œ9œ8 + 1

3Œ16= Œ9 *

16= Œ3

2

(2 œ5)2 = 4 * 5 = 20

œ32 = 3

(œ5)2 = 5

œ6œ6œ6œ6œ612œ6œ6

œ54 + 2 œ24 -12

œ216 = œ9 * 6 + 2 * œ4 * 6 -12

œ36 * 6

œ2

œ2BC

BC2

BC2

2 * 5 * p2

AC

œ3œ3œ3œ4 * 3 + œ16 * 3

œ48œ12EB + CB + DC + DE

DE = œ48DE 2DE 2 = (œ12)2+ 62

AE

œ2 * œ2 - 2 (œ2)2

3 œ2 = 4 œ22 œ2 + œ2 = 4 œ2

(œ2)2* œ2 + œ2 = œ16 * 2(œ2)3

+ œ2 = œ32

2 œ22 œ2 = (œ2)2

œ22

= 2 œ2œ2

œ2 œ2= 2 œ2

1

œ2= 2 œ2

œ41

œ41

œ41d>0§

œ65h>0§

Capítulo 1

1

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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 10.° ANO

5.2 § §

§ § = 45 §

§

= m .

5.3 ) 13,03 § ) 13,03 m .

5.4 V = Área da base * altura = 20 * 5 = 100

V = 100 m3 .

5.5 AT = 4 * + 2 * 20 = 4 * 5 * + 40 =

= 20 * + 40 = 20 * 2 + 40 = 40

AT = 40 m2 .

6.

6.1

§ = 52 + 52 § = §

§ = m .

6.2 Acírculo = p * r2 = p * = p * = 12,5p

4 * Acírculo = (4 * 12,5p) m2 = 50p m2 .

6.3 A = Aquadrado - 2 Acírculo = 102 - 25p m2 = (100 - 25p) m2 .

1. (Razão)2 = Pág. 19

Razão = 2

2 = 12 cm § = 6 cm

Resposta: (B).

2. (Razão)3 = ;

r3 = 27 § r = 3

= 32 = 9

Resposta: (D).

3. § = 5

Razão de semelhança: r = = 3

P[ABCD] = 2 * 4 + 2 * 3 = 14 cm

P[EFGH] = 3 * 14 cm = 42 cm

Resposta: (D).

4. A área de cada tijoleira nova é 32 = 9 vezes a área Pág. 20de uma tijoleira velha.

Logo, a Cristina precisa de = 100 tijoleiras.

Resposta: (B).

5. Os triângulos [ACD] e [ABD] são semelhantes (têm dois ângulosgeometricamente iguais: DCWA = BDWA e DAWB = CAWD) .

‚M

202 = x2 + 42x § x2 + 42x - 400 = 0 x = 8

Resposta: (C).

x>0§

20x

=x + 42

20

9009

EG

AC=

155

ACAC = œ42 + 32

A’A

32412

ABAB

369

25 * 2415 œ2

2 22

5 œ2MN

œ50MNMN2MN2 = MB2 + BN2

MB = BN = 5

(œ5 + 1)(œ5 + 1)œ5œ4 * 5

œ20AB * BF

FC + HFFC + HF = 2 œ10 + 3 œ5

3 œ5HF

HF = œ9 * 5 § HF = œ5

HF = œ45∑∑∑HF>0§HF2HF2 = 52 + (œ20)2

HF2 = AB2 + FG2HF2 = EF2 + EH2 6.

6.1

x = 850

850 cm = 8,5 m

Resposta: (C).

6.2

x = 30 cm

Resposta: (B).

7. Razão de semelhança: r = 2

A’ = r2 A = 22 * 3x = 12x m2

Resposta: (B).

1. Pág. 21

1.1 Sim. Dois círculos são sempre semelhantes.

1.2 Como as “pizzas” têm a mesma altura, consideremos apenas assuas áreas.

A1 = p * 152 cm2 = 225p cm2 .

A2 = p * 102 cm2 = 100p cm2 .

A3 = p * 52 cm2 = 25p cm2 .

= A3 § = 25p § n = 4

A “pizza” média deve ser cortada em quatro fatias iguais.

1.3 a) = 2,25 ∫ N

Não é possível.

b) = 9

Corta-se a “pizza” grande em 9 partes iguais.

1.4 * 100 ) 1,44 Æ 1 dm2 = 100 cm2

* 100 ) 1,59 Æ

* 100 ) 1,53 Æ

O preço de uma fatia com 1 dm2 de área é de 1,44 Æ na “pizza”grande, 1,59 Æ na média e 1,53 Æ na pequena. Logo, a ”pizza”com melhor preço é a grande e a que tem pior preço é a média.

2.

2.1

r = .

2.2 ;

.

2.3 V = 33 * VA = 27 * p * 32 * 10 cm3 = 2430p cm3 .

2.4 = 22 = 4 .AA

AB

VA

VB

= 8

VB

VA

= 1122

3

=18

12

510

=36=

12

1,2025p

5,00100p

10,20225p

225p25p

225p100p

100pn

A2

n

x150

=170850

x170

=25050

2

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 1


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2.5 VC = 120p cm3

VA = p * 32 * 10 cm3 = 90p cm3

R3 = § R =

Sejam: altura de C = h ; raio da base de C = r

§ h = § h ) 11,01 cm ;

§ r = § r ) 3,30 cm .

3. Pág. 22

3.1 a = 3 * 2 cm = 6 cm ;

A aresta do cubo maior é 6 cm .

3.2 rL = 3 .

3.3 ra = 32 = 9 ; ra = (rL)2 .

3.4 rv = 33 = 27 ; rv = (rL)3 .

4.

4.1 = 30

30 dm = 3 m

A aresta do cubo mede 3 metros.

4.2 rvolumes = 2

rarestas =

a = 3 * m ) 3,78 m .

5.

5.1 8 * 2 * 3 * 4 = 192

192 bolas.

5.2 r = = 2

8 cm * 2 = 16 cm

4 cm * 2 = 8 cm

Comprimento: 16 cm ; largura: 8 cm .

5.3 A razão dos volumes é 33 = 27

27 * 8 = 216

216 bolas.

5.4 r =

* 4 cm = 3 cm ; * 2 cm = 1,5 cm

Largura: 3 cm ; altura: 1,5 cm .

6. Pág. 23

6.1 Vesfera =

a) Vcone = Vesfera § * Ab * h = §

§ * p * 52 * h = § 25h = 500 § h = 20

Altura do cone: 20 cm .

b) Vcilindro = Vesfera § p * 52 * h = §

25h = § h =

Altura do cilindro: cm .203

203

5003

500p3

500p3

13

500p3

13

43p * 53 =

500p3

34

34

68=

34

42

œ3 2

œ3 2

œ3 27 000

3 * Œ3 43

r3= Œ3 4

3

10 * Œ3 43

h10

= Œ3 43

Œ3 43

43

VC

VA

=120p90p

=43

6.2 a) As alturas do cone e do cilindro também aumentaram 30% . A

altura do cone aumentou 0,3 * 20 cm = 6 cm e a altura do

cilindro aumentou 0,3 * cm = 2 cm .

Resposta: 6 cm e 2 cm .

b) As dimensões dos sólidos aumentaram 30% . Logo, forammultiplicadas por 1,3 . Os seus volumes foram multiplicadospor 1,33 = 2,197 .O volume da nova esfera é:

.

Para determinar o aumento do volume dos sólidos, calcula-se adiferença entre o volume da nova esfera e o volume da esfera ini-cial (por exemplo):

= 199,5p .

Os volumes aumentaram 199,5p ou seja, 119,7% .

7.

7.1 Atotal = 8 * 20 * 2 + 10 * 20 * 2 + Atopos =

= 720 + Acilindro =

= 720 + p * 52 * 2 + 2p * 5 * 8 =

= 720 + 50p + 80p = 720 + 130p

A1 = (720 + 130p) cm2 .

7.2 Se cada uma das dimensões d é aumentada em 30% então é mul-tiplicada por 1,3 , pois d + 0,3 d = (1 + 0,3) d = 1,3 d .

Então, a área correspondente, A1 , é multiplicada por 1,32 = 1,69,ou seja, A2 = 1,69 A1 .

1. Pág. 25

+ 62 = 102

= 64

= 8

A = Acírculo - Aquadrado =

= p * 52 - 8 * 6 =

= 25p - 48

Resposta: (C) .

2. Acírculo = 3p

p r2 = 3p § r2 = 3 § r =

Atriângulo =

Resposta: (D) .

3. Lado do quadrado = L =

P = 4L =

Resposta: (C) .

4 œ32 = 4 œ16 * 2 = 4 * 4 œ2 = 16 œ2

œ32

b * h2

=(2r) * r

2= r2 = (œ3)2 = 3

œ3

DC

DC2

DC2

DC2 + BC2 = BD2

BD = 2 BO = 10

BC = 6

1098,5p3

-500p

3

500p3

* 1,33 =1098,5p

3

203

3


EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 10.° ANOC

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Por

to E

dito

ra

4. r + a = h Pág. 26

h2 + 32 = 62

h = § h =

A[ABC] =

±

r = h - a = .

Resposta: (B) .

5. O lado do hexágono é L = = 4 cm .

O lado do hexágono regular é igual ao raio da circunferência cir-cunscrita. Logo, r = 4 cm .

Acírculo = pr2 = p * 42 = 16p .

Resposta: (C) .

6. Acírculo = 5ppr2 = 5p § r2 = 5 §

§ r = , pois r > 0

d = 2r = 2

L2 + L2 = d2

2L2 =

2L2 = 20

L2 = 10

Aquadrado = 10 m2

Resposta: (D) .

1. Pág. 27

1.1 Um polígono é regular se tiver todos os lados com o mesmo com-primento e todos os ângulos geometricamente iguais.

1.2 Por exemplo:

1.3 Porque o ângulo interno de umpentágono regular tem 108° deamplitude e 108 não é divisorde 360 .

(2œ5)2

œ5

œ5

246

3 œ3 - œ3 = 2 œ3 ) 3,5

3a = 3 œ3 § a = œ3

edfdg

A[AOB] =13* 9 œ3 = 3 œ3

A[AOB] =6 * a

2= 3a

AB * h2

=6 * 3 œ3

2= 9 œ3

3 œ3œ27

1.4 Quatro lados: 90° ;

Cinco lados:

a = = 72°

2b = 180° - 72°

Ângulo interno = 2b =

= 180° - 72° = 108° ;

Dez lados:

Ângulo interno = 2b =

= 180° - = 144° ;

n lados:

Ângulo interno =

= 180° - .

1.5 Quanto aos lados:

Escaleno: tem os lados todos diferentes.

Isósceles: tem pelo menos dois lados iguais.

Equilátero: tem os três lados iguais.

Quanto aos ângulos:

Obtusângulo: tem um ângulo obtuso.

Acutângulo: tem os ângulos todos agudos.

Rectângulo: tem um ângulo recto.

1.6 a) Um triângulo isósceles tem um eixo de simetria ou três, no casode ser equilátero.

b) Um polígono regular de 18 lados tem 18 eixos de simetria.

1.7 (A) , (D) e (E) são afirmações verdadeiras.

1.8 a) A = = 10 ; A = 10 cm2 ;

b) A = * 6 = 3 * 6 = 18 ; A = 18 cm2 ;

c) A = + 6 * 3 - * p * 22 = Pág. 28

= 6 + 18 - 2p = 24 - 2p ; A = (24 - 2p) cm2 ;

d) A = 6 * 8 - A1 - A2 - A3 =

= 48 -

= 48 - 18 - 4 - 8 = 18

A = 18 cm2 ;

e) A = 8 * 9 - 2A1 - 2A2 =

= 72 - 4 * 7 - 4 * 2 =

= 72 - 28 - 8 =

= 36

A = 36 cm2 ;

6 * 62

-2 * 4

2-

8 * 22

=

12

6 * 22

4 + 22

4 * 52

360°n

360°10

360°5

4



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f) A1 = Aquadrado - Aquarto de círculo =

= 82 - * p * 82 = 64 - 16p

A = Aquadrado - 2A1 =

= 82 - 2 (64 - 16p) =

= 82 - 128 + 32p =

= 32p - 64

A = (32p - 64) cm2 ;

g) A1 = * p * 22 = p

A = 14A1 = 14p

A = 14p cm2

2.

2.1 P = 6 * 2 + 3 * 2 = 18

P = 18 m

2.2 A = 2 * 6 + 1 * 2,5 = 12 + 2,5 = 14,5

A = 14,5 m2

3. Pág. 29

3.1 Se L é o lado do quadrado, então temos:

(2r)2 = L2 + L2 § (2 * 3 )2= 2L2 § 72 = 2L2 § L2 = 36 .

A área do quadrado é 36 cm2 .

3.2 Considere as seguintes figuras:

A1 A2

A1 = Aquadrado + 4 * Asemicírculo = 62 + 4 * * p * 32 = 36 + 18p

(2r)2 = 62 + 62

4r2 = 2 * 36 § r2 = 18

A2 = pr2 = p * 18 = 18p

A = A1 - A2 = 36 + 18p - 18p = 36 = Aquadrado (c.q.m.)

4.

4.1 h2 + = 52

h = § h = §

§ h =

Ahexágono = 6 * Atriângulo =

= 6 *5 *

5 œ32

2= 15 *

5 œ32

=75 œ3

2

5 œ32

Œ754

Œ25 -254

1522

2

12

œ2

14

14

Ahexágono = cm2 .

4.2 Acolorida = 6 * Asemicírculo + Ahexágono - Acírculo

= 6 * - p * 52

= - 25p

=

Acolorida = cm2 .

Neste caso, a área da parte colorida é diferente da área do hexá-

gono.

5. P = 42 cm

L =

h2 + 72 = 142

h = § h = §

§ h = §

§ h = 7

Atriângulo =

Atriângulo = 49 cm2 .

6.

6.1 O triângulo [ABC] é rec-

tângulo em C porque o

ângulo inscrito numa semi-

circunferência é recto.

6.2 = 30 cm

= sin 35° §

§ = 30 * sin 35°

= cos 35° §

§ = 30 * cos 35°

Atriângulo = ) 211,4308

A = Acírculo - Atriângulo ) 152p - 211,4308 ) 495,43 .

A área da parte da figura representada a azul é 495,43 cm2 .

1. V = 72 cm3 Pág. 32

Ab * h = 72

x = Comprimento da aresta do cubo.

x2 * x = 72

x3 = 216

x =

x = 6

Resposta: (C) .

œ3 216

13

13

AC * BC2

=30 cos 35° * 30 sin 35°

2

AC

AC

AB

BC

BC

AB

AB

œ3

14 * 7 œ32

= 49 œ3

œ3

œ49 * 3

œ147œ196 - 49

423

= 14

175 œ32

-25p4 2

75 œ32

-25p4

75p4

+75 œ3

2

12* p * 15

222

+75 œ3

2

75 œ32

5



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

2. Área total = 2ab + 2ac + 2bc = 2 (ab + ac + bc)

(A) AT = 2 (1,8 * 3 + 1,8 * 5 + 3 * 5) = 58,8

(B) AT = 2 (1,5 * 2 + 1,5 * 9 + 2 * 9) = 69

(C) AT = 2 (3 * 3 + 3 * 3 + 3 * 3) = 54

(D) AT = 2 (2,25 * 3 + 2,25 * 4 + 3 * 4) = 55,5

Resposta: (C) .

3. h2 + 32 = 52 Pág. 33

h2 = 16 h = 4

V = Ab * h

V = * p * 32 * 4 = 12p

Resposta: (C) .

4. AT = 72p cm2

Raio da base: r =

AT= AL + 2Ab

= 2p rb * h + 2p r2b

= 2p * h + 2p

= 2p

AT = 72p § h2 = 72p §

§ h2 = 81 h = 9

Raio da base = rb = = 3

V = Ab * h = p * 32 * 9 = 81p cm3

Resposta: (A) .

5. V = Vcaixa - 3Vesfera = Ab * h - 3 * p r3

‚M

h = 6r

= p * r2 * 6r - 4p r3 = 6p r3 - 4p r3 = 2p r3

Resposta: (C) .

1. Pág. 34

= 102 + 152

cm

A formiga tem de percorrer uma distância mínima de cm .5 œ13

AI = 5 œ13

AI = 5 œ13

AI = œ325

AI2

AI2 = AE2 + EI2

43

h3=

93

h>0§

8p9

h2

3+ 2p h

2

9=

8p9

h2

1h32

2h3

12*

23

h =h3

13

13

h>0§

2.

2.1

2.2 = 182 + 7,52 § § = 19,5 ou

= 152 + 10,52 § § ) 18,31

A joaninha tem de percorrer uma distância mínima de 18,31 cm .

3. = 12,52 + 1,252

) 12,56 m ;

= 102 + 3,752

) 10,68 m ;

= 2,52 + 11,252

) 11,52 m ;

O comprimento do fio é 10,68 m .

4. Como o caracol não pode percorrer a face [ABCD] , restam-lheduas opções: partir sobre a face [BCGF] – face O1 – ou sobre aface [CDHG] – face O2 . Para cada uma destas opções tem aindadois caminhos alternativos. Há portanto quatro caminhos a consi-derar:

MN

MN = œ132,8125

MN2

MN

MN = œ114,0625

MN2

MN

MN = œ157,8125

MN2

PJPJ = œ335,25PJ2

PJPJ = œ380,25PJ2

6



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

O1a

+ (2a)2

‚M

a > 0

O2a

+ a2

‚M

a > 0

O1b

= (2a)2 +

‚M

a > 0

O2b

= a2 + ‚M

a > 0

A distância mínima é (O caracol atravessa a face [CDHG]

e corta uma das arestas, [HG] ou [HD] , em direcção a M) .

5. Trata-se de determinar o volume do cone de raio da Pág. 35base = 5 cm e altura = 5 cm :

V = p * 52 * 5

V = cm3 .125p

3

13

BCAB

œ132

a

MC = œ132

a

132

a22

MC2

MC2 = CG2 + GM2

MC =52

a

MC = Œ254

a2

132

a22

MC2

MC2 = AC2 + AM2

MC = œ132

a

MC = Œ134

a2

MC2 = 132

a22

MC2 = MD2 + DC2

MC = œ172

a

MC = Œ174

a2

MC2 = 112

a22

MC2 = MH2 + HC2 6. Aresta do cubo: a = 10 cm

Raio, r , da esfera inscrita (metade da aresta do cubo)

r = = 5

Raio, R , da esfera circunscrita (metade da diagonal espacial do cubo)

d2 = 102 + 102 + 102 § d =

R = .

6.1 V1 = p r3 = p * 53 =

V1 = cm3 .

6.2 V2 = p R3 = p = * p * 125 *

=

V2 = cm3 .

6.3 A1 = 4p * 52 = 100p cm2

A2 = 4p * = 4p * 25 * 3 = 300p cm2

A2 - A1 = (300p - 100p) cm2 = 200p cm2 .

7. • Vágua + Vesfera = p * 102 * 6 = 600p

• Vesfera = p * 33 = 36p

• Vágua = 600p - 36p = 564p

V = 564p cm3 .

8. Pág. 36

8.1 a) O dual do tetraedro é o tetraedro;

b) O dual do octaedro é o cubo;

c) O dual do dodecaedro é o icosaedro;

d) O dual do icosaedro é o dodecaedro.

8.2 a) a2 = 52 + 52

a =

a = cm ;

b) A face do octaedro é um triângulo equilátero.

P = 3 *

P = cm ;

c)

h2 = 25 * 2 - * 2

h =

Atriângulo =

A = cm2 .25œ3

2

5œ2 * Œ752

2=

5œ752

=5 * 5œ3

2

Œ752

254

h2 + 152

œ222

= (5œ2)215œ2

5œ2

5œ2

œ52 * 2

43

(5œ3)2

1500 œ3p3

1500 œ3p3

3œ343

(5œ3)343

43

500p3

500p3

43

43

5œ3

10œ3

102

7



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

d) V = 2 * Ab * h

= 2 *

=

V = cm3 .

8.3 O dual do cubo é um octaedro regularque pode ser decomposto em duaspirâmides quadrangulares regulares dealtura , metade da aresta do cubo.

A base comum às duas pirâmides é umquadrado de lado L , sendo:

L2 =

L2 = 2 *

Voctaedro = 2 * Vpirâmide = 2 * Ab * altura =

= 2 * * L2 * (c.q.m.).

8.4 Seja x o comprimento da aresta do cubo, em centímetros:

= 26 244 § x3 = 157 464 § x = § x = 54

A aresta do cubo mede 54 cm .

9. A área da secção produzida a azul pode ser calculada Pág. 37como a diferença de duas áreas, como se ilustra na figura seguinte:

9.1 A = 25 * 2,7 - * 1,7 = 36,9

A = 36,9 m2 .

9.2 V = Ab * altura = 36,9 * 8 = 295,2

V = 295,2 m3 = 295 200 dm3 .

A piscina tem 295 200 litros de água.

9.3 V = (295,2 - 50) m3 = 245,2 m3 .

A = 25x - * 1,7

A = 25x - 30,6

Então, temos que:

V = (25x - 30,6) * 8

V = 245,2 §

§ (25x - 30,6) * 8 = 245,2

§ 25x - 30,6 = 30,65

§ 25x = 61,25

§ x = 2,45

x = 2,45 m .

10.

10.1 Vcopo = Ab * altura = * p * * 6 = 2 *254p = 25p

21522

213

13

20 + 162

20

16x

5

25

1,7

x - 1,7

20 + 162

œ3 157 464x3

6

x2=

23*

x2

2*

x2=

x3

613

13

x2

4=

x2

2

1x22

2

+ 1x22

2

x2

5003

103

* 25 * 2 =5003

13

(5œ2)2* 5

13

cm3 ) 39,3 cm3

10 cm3 = 1 cL

V ) 3,9 cL .

10.2 Vesfera = p cm3

Vlíquido = Ab * h

Pela semelhança de triângulos tem-se:

§ r = 2,5 * § r =

Vlíquido = * Ab * h = * p r2 * h = p * h

= p

Vlíquido = Vesfera

§

§ h3 = §

§ h3 = 123,48 § h =

§ h ) 4,98

h = cm ) 4,98 cm .

10.3 Vcopo = p cm3

Vgelado =

) 1,7

Depois de derretido cabe apenas um gelado inteiro.

1. A face oposta a é . Pág. 40

A face oposta a é .

A face oposta a é .

A face oposta a é = 0,(1) .

Resposta: (D) .

2.

Resposta: (C) .

3. I – É verdadeira. Um prisma com n lados tem 2n vértices.

II – É verdadeira. O dual do dodecaedro é o icosaedro que tem 20faces, 12 vértices e 30 arestas.

19œ3

3

œ16

75

œ319

œ497

13

Vcopo

Vgelado

=25 * 482 * 343

343p48

252

œ3 123,48

œ3 123,48

34348

*43225

25p432

h3 =343p48

25144

h3 =25p432

h313

1 512

h221

313

13

512

hh6

r2,5

=h6

13

13,52 2

3

=343p48

43

25p2

8



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

III – Falso. Um poliedro convexo com 10 arestas e 6 vértices tem6 faces (Lei de Euler: F + V = A + 2) . Logo, o seu dual tem6 vértices.

Resposta: (A) .

4. A intersecção do plano com a esfera é, neste caso, Pág. 41um círculo de raio r = 5 cm .

PÇ = 2 * p * 5 = 10p cm ;

AÇ = p * 52 = 25p cm2 .

Resposta: (C) .

5. A secção pedida é um rectângulo de que [BH] e [HM] são doislados.

Resposta: (B) .

6. (A) [EHXY] é um rectângulo

(A) é verdadeira.

(B)

= 22 + 62

A[EXYH] = 2 * 4 = 8 cm2

(B) é verdadeira.

(C) P[EXYH] = 2 = 2 * 2 + 2 * 4 = cm

(C) é verdadeira.

(D) A secção em causa é o rectângulo [EBCH] .

= 62 + 32 § = 45 §

§

A[EBCH] = = 3 * 4 = 12 cm2

(D) é falsa.

Resposta: (D) .

7. Vcubo = a3 Pág. 42

Vorifício =

Vorifício = § Vcubo = 27 * Vorifício

Resposta: (C) .

8. Um plano intersecta planos paralelos segundo rectas paralelas.

Resposta: (D) .

1. Pág. 43

1.1 Planos DHE e GHD , por exemplo.

1.2 Planos ABC e ABF , por exemplo.

1.3 [ABGH] é um rectângulo.

1.4 cm = 5 cm

= 52 + 62 §

P = 2 * + 2 * = 2 * 5 + 2 * = 10 + 2

P = cm ) 25,6 cm .

1.5

= 62 + 1522

2

BN2

BN2 = BF2 + FN2

(10 + 2œ61)œ61œ61BGAB

BG = œ61BG2

BG2 = BC2 + CG2

AB = œ25

Vcubo

27

1a32

3

=a3

27

œ5œ5EB * BC

EB = 3œ5EB = œ45

EB2EB2

(4œ10 + 8)œ10EX + 2 XY

œ10œ10

XY = 4

EX = 2œ10

EX = œ40

EX2

EX2 = XF2 + EF2

XF =23

BF =23* 3 = 2

A = * = 5 *

A = 32,5 cm2 .

2.

2.1 Planos AEF e AEH , por exemplo.

2.2 a) Rectas AB e EG , por exemplo;

b) Planos ABC e ABG , por exemplo.

2.3 a) Concorrentes não perpendiculares;

b) Concorrentes não perpendiculares. A intersecção é a recta BC ;

c) Concorrentes.

2.4 = 12 cm ; * 12 = 8 ; = 8 cm ;

V = 576 cm3 .

a) V = 576 cm3

Abase * altura = 576 cm3

8 * * 12 = 576

= 6 cm (c.q.p.).

b) A = 2 * (12 * 8) + 2(6 * 12) + 2 * (6 * 8)

A = 432 cm2 ;

c) = 82 + 62

• = 10 cm

• = 6 cm

= 102 + 62

•

P = cm = cm ;

d) A = = 30

A = 30 cm2 .

e) O plano ABM divide o sólido em dois: o sólido que contém abase [HEFG] e o sólido que contém a base [ABCD] .

• O sólido que contém a base [ABCD] é o prisma de base[BCM] e altura .

V1 = Ab * altura = * 8 = 144 cm3

• No caso do sólido que contém a base [EFGH] :

V2 = volume do prisma - 144 =

= 12 * 8 * 6 - 144 = 432 cm3

Assim, o volume de cada um dos sólidos é 144 cm3 e 432 cm3 .

3. Pág. 44

3.1

BC * CM2

* DC =6 * 6

2

DC

AC * CM2

=10 * 6

2

(16 + 2œ34)(10 + 6 + 2œ34)AM = 2œ34

AM = œ136

AM2

AM2 = AC2 + CM2

CM

AC

AC2

FG

FG

(EF * FG) * BF = 576

ABAB =23

BF =23

BF

132

BNAB

BN =132

BN = Œ1694

9



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

3.2 Aresta do cubo = 10 cm

= 102 + 102 § §

P = 2 + 2 = 2 * + 2 * 10 = + 20

P = cm ;

A = * 10 = cm2 .

4. Aresta = 6 cm

[AMGN] é um losango.

= 62 + 62 § §

§ = 62 * 2 + 62

§ §

ou

Sendo a a aresta de um cubo, temos que: a diagonal facial de umcubo é igual a e a diagonal espacial de um cubo é igual a

; então, e .

Alosango =

A = cm2 .

5.

5.1 = 4,5 cm

= 82 + 122

cm

cm

[ELT] é um trângulo rectângulo em L .

A[ELT] =

A = cm2 .

5.2

= 10

[MNG] é um trângulo isósceles

h2 + = 102

h = 100 - 18

h =

A[MNG] = =

= 3 * 2

A = cm2 .6œ41

œ41 = 6œ41

6œ2 * œ822

= 3œ164

œ82

(3œ2)2

MG = NG = œ62 + 82

MN = œ62 + 62 = 6œ2

9œ13

EL * LT2

=4,5 * 4œ13

2= 9œ13

TL

E

4,5

134V√√ √√√√√

LT = EG = 4œ13

EG = œ208 = 4œ13

EG2

EL =12

EA

18œ6

AG * NM2

=6œ3 * 6œ2

2= 18œ6

AG = 6 œ3NM = 6 œ2a œ3a œ2

NM = AC = 6œ2

AG = 6œ3AG = œ62 * 3

AG2AG2 = AC2 + CG2

AC = 6œ2AC = œ62 * 2AC2

100œ2BD * BF = 10œ2

(20œ2 + 20)20œ210œ2BFBD

HF = BD

BD = 10œ2BD = œ102 * 2BD2

6.

6.1

cm

= 10 cm

A[MPON] = 5 * 10 = 50

A = 50 cm2 .

6.2

cm

cm

=

= =

[HPOF] é um trapézio isósceles de altura h .

h2 + § h2 = 125 -

§ h = § h = § h =

A = = 112,5

A = 112,5 cm2 .

6.3 Trata-se do triângulo isósceles [ANM] .

h2 +

h2 = 125 -

h =

h =

A =

= 37,5

A = 37,5 cm2 .

7.

7.1 • Lado [LM]

LM = 5œ6

LM = œ150

LM2 = 52 + 102 + 52

LM2 = 52 + (HD2 + DM2)

LM2 = LH2 + HM2

MN * h2

=

5œ2 *15

œ22

=5 * 15

2

15

œ2

Œ2252

252

15œ22 2

2

= (5œ5)2AN = MA = OF = 5œ5

MN = PO = 5œ2

10œ2 + 5œ22

*15œ2

2=

15œ22

*15œ2

2=

2252

15œ22

15

œ2Œ225

2

25215œ2

2 22

= (5œ5)2

5œ22

10œ2 - 5œ22

QH =FH - OP

2

HP = FO = 5œ5

FO = œ125

FO2 = 52 + 102

PO = 5œ2

HF = 10œ2

HF = œ102 * 2

HF2 = 102 + 102

œ2

œ2œ2

NO

PO = 5œ2

PO = œ52 * 2

PO2 = 52 + 52

10



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

• Lado [LN]

• Lado [MN]

P =

P = cm ;

[LMN] é um triângulo equilátero

de lado cm

h2 +

h2 = 150 - 37,5

h =

A =

A = 37,5 cm2 .

7.2 ;

= 102 + 52 + 102 §

§ = 15

P = cm = cm .

7.3 A altura da pirâmide é = 5 cm

V = Abase * altura = * 102 * 5 =

V = cm3 .

1. Pág.45

1.1 a)

b) Em qualquer um dos caminhos a formiga percorre 6 metros.

1.2 a) Partindo do vértice A , a formiga tem oito opções para atingir M :

Atravessa a face Corta as arestas Opções

[ABCD] [BC] [DC] e [CG] [DC] e [HG]

�

�

�

[ADHE] [EH] [DH] e [CG] [DH] e [HG]

�

�

�

[ABFE] [BF] [EF]

�

�

5003

5003

13

13

FN

(20 + 5œ6)(5 + 5œ6 + 15)FM = œ225 § FM

FM2 = 102 + (MA2 + AB2) § FM2

FM2 = FB2 + MB2

MN = 5œ6

FN = 5

œ3

5œ6 * œ112,52

=5œ675

2=

5 * 15œ32

= 37,5œ3

œ112,5

(2,5œ6)2 = (5œ6)25œ6

15œ6

5œ6 + 5œ6 + 5œ6

MN = 5œ6

MN2 = 52 + 102 + 52

MN2 = 52 + (AB2 + BN2)MN2 = MA2 + AN2

LN = 5œ6

LN2 = 52 + 102 + 52

LN2 = 52 + (GF2 + FN2)LN2 = LG2 + GN2

Planificações

b) Comprimento dos diversos caminhos

� e � : ;

� e � : ;

� e � : ;

� e � : .

Caminhos � e � : m ; caminhos � e � : m ;

Caminhos � e � : 5 m ; caminhos � e � : m.

A menor distância entre A e M é m ) 3,6 m e corres-ponde aos caminhos � e � que consistem em atravessar aface [ABFE] e seguir em direcção a M , cortando a aresta[BF] ou [EF] .

1.3 Volume da pirâmide de base [HGM] e vértice em C :

Vpirâmide = * Ab * h = * * 2 =

Volume da parte do depósito “abaixo” do plano HCM :

V = 23 - = 8 - = m3

m3 ) 7,333 m3 = 7333 dm3

Colocando o depósito de forma que o plano HCM fique horizon-tal este fica com uma capacidade de aproximadamente 7333 litros.

223

223

23

23

23

1 * 22

13

13

œ13

œ29

œ17œ13

œ52 + 22 = œ29

œ42 + 32 = œ25 = 5

œ42 + 12 = œ17

œ22 + 32 = œ13

11



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

2. Pág. 46

2.1 A secção produzida no cubo pelo plano EMC é o losango[EMCN] .

2.2

= 202 + 102 § § §

§

P = 4 * 10 = 40 cm .

2.3 Diagonal D1 = = (diagonal facial do cubo).

Diagonal D2 = = (diagonal espacial do cubo).

Alosango = .

A = 200 cm2 .

2.4

a) O cubo truncado tem 14 faces, 24 vértices e 36 arestas.

b) Octógonos regulares (seis) e triângulos equiláteros (oito).

2.5

a) Aresta do cuboctaedro

a2 =

a =

a =

Área de cada face triangular:

h2 +

h2 =12-

18

1œ24 2

2

= 1œ22 2

2

12* œ2

2= œ2

4

12

œ2 = œ22

Œ1122

2

* 2

1122

2

+ 1122

2

œ6

D1 * D2

2=

20 œ2 * 20 œ32

= 200 œ6

20 œ3EC

20 œ2NM

œ5œ5

EM = 10œ5

EM = œ100 * 5EM = œ500EM2

EM2 = EF2 + FM2

h =

Atriângulo =

Área de cada face quadrada:

Aquadrado = a2 =

Atotal = 8Atriângulo + 6Aquadrado = 8 * + 6 * = + 3

A = cm2 (c.q.p.).

b) Volume de cada pirâmide “truncada”:

V = Ab * altura

A base é um triângulo rectângulo

cujos catetos medem cm cada.

V = * Ab * altura =

Vcuboctaedro = Vcubo - 8 * Apirâmide = 13 - 8 *

V = cm3 .

c) Seja a a aresta do cubo.

Vcubo = a3

Volume de cada pirâmide “truncada”:

V = Ab * altura

V =

V =

V =

Vcuboctaedro = Vcubo - 8 * Vpirâmide = a3 - 8 * =

= a3 - a3 .

Logo, Vcuboctaedro = Vcubo (c.q.p.).

3. Pág. 47

3.1 Os dois triângulos são triângulos rectângulos.

DEWF = FCWG por serem ângulos agudos de lados paralelos.

Logo, os triângulos são semelhantes porque têm dois ângulos geo-metricamente iguais.

56

a3

6=

56

a3

48

a3

48

16* 1a

223

13*

a2*

a2

2*

a2

13

56

148

=56

13*

12*

12

2*

12=

13*

18*

12=

148

13

12

13

(œ3 + 3)

œ312

œ38

1œ22 2

2

=12

œ22

* œ3

2œ22

= œ38

Œ38= œ3

œ8= œ3

2œ2

12



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

3.2 = 8 * raio = 8 * 3 = 24

= 24 cm .

3.3 = 3 + 6 + 3 = 12 ;

= 3

= 242 - 122

cm .

3.4 = 3

Pela semelhança de triângulos:

Altura do triângulo ABC

= 3 + 12 + 6 = 9 + 12

Seja x o lado do triângulo ABC

x2 =

x2 =

x2 =

x =

x =

x = (6 + 24) cm .

3.5 Atriângulo =

=

) 512,2 cm2 .

3.6 a) Distância percorrida =

= 2 * diagonal + 1,5 =

= + 1,5 =

= + 1,5 )

) 7,85 m ;

b) Distância percorrida =

= +

+ 3 * +

= )

) 9,72 m .

(medidas em metros)

œ0,752 + 2,82

œ1,42 + 0,752

œ152 + 1,42

œ10,09

œ(2,8)2 + (1,5)2

(3œ3 + 12) (9 + 12œ3)

Base * altura2

=(6œ3 + 24) (9 + 12œ3)

2

œ3

2œ33

(9 + 12œ3) § x = 2œ3(3 + 4œ3)

2

œ3 (9 + 12œ3)

43

(9 + 12œ3)2

34

x2 = (9 + 12œ3)2

x2

4+ (9 + 12œ3)2

1x22

2

+ (9 + 12œ3)2

œ3œ3HC = HD + DF + FC

CF

FE=

FG

DE§

CF24

=3

12§ CF = 6

DH

CG = 3 œ3

CG

12œ3=

312

§ CG = 3œ3

CG

FD=

FG

DE

FD = 12œ3

FD = œ432

FD2

FD2 + DE2 = FE2

FG

DE

FE

FE 4. Pág. 48

4.1 Abase = 32 = 9

Face triangular

h2 + = 32

h =

h =

Atriângulo =

Atotal = Aquadrado + 4Atriângulo = 9 + 4 * = 9 + 9

A = cm2 .

4.2 V = * Ab * altura

Altura da pirâmide

h2 +

h2 =

h =

V = §

V =

V = cm3 .

4.3 Altura do paralelepípedo = 2 * altura da pirâmide

= 2 *

Vparalelepípedo = 32 * 3

= 27

V = Vparalelepípedo - Vpirâmide

= 27 -

V = cm3 .

4.4 Dado que a // ABC , a © BCE = FG e ABC © BCE = BC , tem-seque FG // BC , porque um dado plano intersecta planos paralelossegundo rectas paralelas.

4.5 Os triângulos [EBC] e [EFG] são semelhantes (têm ângulos geo-metricamente iguais).

Então, § § = 1,5

= 1,5 cm .FG

FGFG3

=1,53

FG

BC=

EF

EB

45 œ22

9 œ22

=45 œ2

2œ2

œ2

œ2

3œ22

= 3œ2

9œ22

9œ22

13* 32 *

3œ22

Œ184

§ h =3œ2

2

274

-94

1322

2

= 13œ32 2

2

13

(9 + 9œ3)œ3

9œ34

3 *3œ3

22

=9œ3

4

Œ274

§ h =3œ3

2

Œ9 -94

1322

2

13



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

4.6 As pirâmides [ABCDE] e [IFGHE]são semelhantes.

A razão de semelhança é .

Logo, a razão de semelhança dassuas áreas é

e a razão de semelhança dos seusvolumes é

.

a) V[IFGHE] = * V[ABCDE] =

V[ABCDIFGH] =

V[ABCDIFGH] = cm3 ;

b) A[IFGHE] = * A[ABCDE] =

A = cm2 .

5. Pág. 49

5.1 Recorrendo à semelhança de triân-gulos, vem:

§

§ (c.q.m.).

5.2 §

(6) (4)

§ 6h - 150 = 4h §

§ 2h = 150 § h = 75

h - 25 = 75 - 25 = 50

O cone menor tem 50 cm de altura.

5.3 Vbacia = Vcone maior - Vcone menor =

= * p * 22,52 * 75 - * p * 152 * 50

) 27 979,810 cm3 .

5.4 § r = 18,75

Vágua = p * 18,752 * 62,5 - p * 152 * 50 ) 11 228,739 cm3 .

5.5 Vcilindro = Vbacia cheia - Vbacia até metade de altura =

= 27 979,810 - 11 228,739 ) 16 751,071

Vcilindro = 16 751,071 § p * 152 * h = 16 751,071 §

§ h ) 23,7 cm .

13

13

r15

=62,550

13

13

h - 2515

=h

22,5

h - 2515

=h

22,5

h - 25h

=15

22,5

(9 + 9 œ3)14

(9 + 9 œ3)14

14

63œ216

9 œ22

-9 œ216

=6316

œ2

18

*9 œ2

2=

9 œ216

18

1122

3

=18

1122

2

=14

12

6. Pág. 50

6.1 Vcubo = a3

Vpirâmide = Vcubo

Ab * h =

a2 * h =

2a2 h = a3 § h =

A altura da pirâmide é metade da aresta do cubo.

Altura da base lateral da pirâmide: k

k2 =

k2 =

Aresta lateral da pirâmide: L

L2 = k2 +

L2 =

L2 =

L = a

Altura da pirâmide: u. c.;

Aresta lateral da pirâmide: u. c.

6.2 Vpirâmide = = u. v.

6.4 a) Vcubo =

Vcubo = cm3 ;

b) Altura da pirâmide = h =

h = cm ;

c) Volume da pirâmide =

= Vcubo = cm3 = cm3 ;

d) Diagonal de cubo = d

d2 =

d =

d = 3 cm ;

e)

cm ;

f) Altura da face lateral =

Atotal = Abase + 4 * Atriângulo =

= =

= 3 + 2 = 3 + 2 * = 3 + 3

Atotal = cm2 .(3 + 3œ2)

œ23œ2

23

œ2

(œ3)2 + 4 *

œ3 * œ3

œ22

Œ a2

2= Œ (œ3)2

2= Œ3

2

FG = œ6

FG2 = (œ3)2 + (œ3)2

œ9

(œ3)2 + (œ3)2 + (œ3)2

œ32

3œ36

16

œ32

œ32

3œ3

(œ3)3 = 3œ3

a3

6Vcubo

6

œ32

a2

œ32

3a2

4

a2

2+

a2

4

1a22

2

a2

2

1922

2

+ 1922

2

a2

a3

613

a3

613

16

14



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

7. Pág. 51

7.1 Diagonal do quadrado: d

d2 = 202 + 202

d = 20

Diâmetro da caixa maior:

2R = 20 + 10 + 10 =

= 20 + 20

O diâmetro da caixa maior é: cm .

7.2 (10 + r)2 = 102 + 102

10 + r = 10

r = cm § 2r = cm

ou

10 + 2r + 10 = diagonal do quadrado [ABCD]

2r + 20 = 20

2r = 20 - 20

O diâmetro da caixa mais pequena é:

cm .

7.3 Altura do triângulo [ABC]

h2 + 102 = 202

h =

h = 10

A[ABC] =

Área dos três sectores circulares:

Como 3 * 60° = 180° , os três sectores têm a área de um semicír-culo de raio 10 cm .

Determinemos essa área:

A = p * 102 = 50p .

Logo, a área, A , da parte da figura colorida a cor verde é:

A = cm2 .

8. Pág. 52

8.1 [AOB] é um triângulo equilátero (o ladode um hexágono regular é igual ao raio dacircunferência circunscrita).

8.2 Lado do hexágono = = 10 cm

= 102 + 122

cm .VA = 2œ61

VA = œ244

VA2

606

(100 œ3 - 50p)

12

20 * 10œ32

= 100œ3

œ3

œ300

(20 œ2 - 20)

œ2

œ2

(20 œ2 - 20)(10 œ2 - 10)œ2

(20 œ2 + 20)œ2

œ2

œ2

8.3 a) = (12 - 4) cm = 8 cm ;

b) Dado que os triângulos [AOV] e [DCV] são semelhantes:

§ §

§

cm .

8.4 A secção é um hexágono regular. Como o lado do hexágono é igualao raio da circunferência circunscrita tem-se que o lado é igual a

cm .

Logo, P = 6 * = 40 cm .

8.5 A1 = Abase pirâmide maior = * apótema

Determinação do apótema:

102 = ap2 + 52 § ap2 = 100 - 25

§ ap =

§ ap = 5

Então, tem-se:

A1 =

A1 = 30 * 5

A1 = 150

A2 = Abase pirâmide menor = * apótema

Determinação do apótema:

= ap2 +

§ = ap2 +

§ ap2 = -

§ ap =

§ ap =

§ ap =

Então, tem-se:

A2 =

A2 =

Desta forma, temos:

V = * 150 * 12 - * * 8

V = 600 -

V = cm3 .3800

9 œ3

16009

œ3œ3

2003

œ313œ3

13

200 œ33

402

*10 œ3

3

10 œ33

œ3003

Œ3009

1009

4009

1009

4009

1103 2

2

1203 2

2

Perímetro da base2

œ3

œ3

602

* 5 œ3

œ3

œ75

Perímetro da base2

203

CD =203

CD =203

CD =203

CD10

=812

CD

AO=

VC

VO

VC

15



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

2.

2.1 A 1 (- 4 , 0) ; O 1 (0 , 0) ; B 1 (4 , 0) ; D 1 (4 , 4) ; C 1 (0 , 4) e E 1 (- 4 , 4) .

2.2 a) P = = 2(8 + 4) = 24 ;

b) A = = 8 * 4 = 32 ;

c) A = ;

d)

P = = 8 + 4 + 4 = 8 + 8

P = 8 + 8 ) 19,3 ;

e) A = A[OBC] + A[ACE] = A[ABC] = 16 ;

f) A = * 4 = 24 ;

g) P = =

= 8 + 4 + 4 + 4

= 16 + 4 ) 21,7 .

3. = 22 + 12 § Pág. 59

A 1 ; B 1 ; C 1 (2 , 1) ;

D 1 ; E 1 e F 1 .

4.

4.1 Por exemplo, o referencial o. m. Oxy seguinte:

4.2 a) A = A[OBCD] - A[OAE] .

A = 8 * 3 - = 24 - = 20

A = 20 m2 .

b) V = Abase * altura

= 20 * 14 = 280

280 m3 = 280 000 dm3 = 280 000 litros.

5.

5.1 x - > 0 ‹ y - 2 > 0 § x > ‹ y > 2 .

5.2 x - > 0 ‹ y - 2 < 0 § x > ‹ y < 2 .

6. Pág. 60

6.1 a) Q' 1 (- 1 , - 2) ;

b) Q'' 1 (1 , 2) ;

c) Q''' 1 (- 1 , 2) .

6.2 a) P' 1 (- a , b) ;

b) P'' 1 (a , - b) ;

c) P''' 1 (- a , - b) .

12

12

12

12

4 * 22

OA * OE2

(œ5 , - œ2)(- œ5 , 0)(0 , œ5)(œ5 , 0)(0 , - œ2)

OC = œ5OC2

œ2

œ2

AB + BD + CD + AC

AB + CD2

* BD =8 + 4

2

œ2

œ2œ2œ2AB + BC + AC

BC = œ42 + 42 = 4œ2

AB * OC2

=8 * 4

2= 16

AB * BD

2(AB + BD)

1. Pág. 56

1.1 F 1 (- 4 , - 2) ; A 1 (4 , - 2)

Resposta: (C) .

1.2 H 1 (0 , 1) ; I 1 (0 , - 1)

Resposta: (A) .

1.3 B 1 (3 , 1) ; E 1 (- 3 , - 1)

Resposta: (B) .

2. [ABDC] é um rectângulo

Resposta: (C) .

3.1 B 1 (10 , 10) Pág. 57

A 1 (10 , 0)

E 1 (7,5 ; 2,5)

G 1 (2,5 ; 7,5)

Resposta: (C) .

3.2 A = A[DEFG] - 4Aquarto de círculo = 52 - Acírculo =

= 25 - p * 2,52 = 25 - 6,25p cm2 .

Resposta: (A) .

4.1 C 1 (3 , 4)

B 1 (8 ; 2,5) ; B' 1 (8 ; - 2,5)

A 1 (2 ; 2,5) ; A' 1 (- 2 ; - 2,5)

O ponto A tem abcissa 2 e o ponto E tem abcissa 3 .

Resposta: (C) .

4.2 A[ABCD] = A[ABCF] + A[FCD] =

= * (4 - 2,5) + =

= 5,25 + - 2 = 3,25 +

= 3,25 +

Resposta: (D) .

1. Pág. 58

5œ22

œ502

œ502

1 * (œ50 - 4)2

6 + 12

Capítulo 2



16

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

CEXMA10-RES-2

7. B 1 (- x2 - 1 , x + 1)

B å 4.o quadrante?

Terá de ter a abcissa positiva e a ordenada negativa:

- x2 - 1 > 0 ‹ x + 1 < 0

Como - x2 - 1 é sempre negativo, o ponto B não poderá perten-cer ao 4.o quadrante.

8. C 1 (x2 , - y2 + 1)

C å 3.o quadrante?

Terá de ser x2 < 0 ‹ - y2 + 1 < 0 § x2 < 0 ‹ y2 > 1

É impossível, porque x2 ≥ 0 , para todo x å R .

9. O 1 (0 , 0) ; A 1 (2 , - 3) ; B 1 (4 , 0) ; C 1 (2 , 3) .

9.1 O' 1 (0 , 0) ; A' 1 (- 2 , - 3) ; B' 1 (- 4 , 0) ; C' 1 (- 2 , 3) .

9.2 O'' 1 (0 , 0) ; A'' 1 (- 2 , 3) ; B'' 1 (- 4 , 0) ; C'' 1 (- 2 , - 3) .

9.3 O simétrico do ponto B relativamente ao eixo Ox é o próprioponto B 1 (4 , 0) .

1. x - 1 > 0 § x > 1 Pág. 64

Resposta: (C) .

2. x - y ≥ 0 § y ≤ x

Resposta: (A) .

3. x > 1 ‹ y ≤ 2

Resposta: (A) .

4. x ≥ 1 › y ≤ x

Resposta: (A) .

5. x ≤ 0 ‹ y ≤ 0 Pág. 65

Resposta: (A) .

6. x ≥ ‹ y ≥ 3

Resposta: (D) .

7. (y ≥ 0 ‹ y ≤ x ‹ x ≤ 1) › (y ≤ 0 ‹ x ≥ - 1 ‹ y ≥ x)

Resposta: (A) .

1. Pág. 66

1.1 a) A 1 (0 , 3) ; B 1 (0 , - 3) ; C 1 (6 , - 3) e

D 1 (6 , 3) ;

b) O 1 (0 , 0) ; E 1 (3 , - 3) ; F 1 (6 , 0) e

G 1 (3 , 3) ;

c) H 1 (2 , - 1) ; I 1 (4 , - 1) ; J 1 (4 , 1) e

K 1 (2 , 1) .

1.2 a) y = 3 ; b) x = 6 ;

c) y = 0 ; d) x = 0 ;

e) y = x ; f) y = - x .

1.3

P = 4 * 3 = 12 .

1.4 A[ABCD] = 62 = 36

A[HIJK] = 22 = 4 ; = 9 364

œ2œ2

OG = œ32 + 32 = œ32 * 2 = 3œ2

œ2

Razão entre as áreas: 9 ; razão entre os lados: 3 .

A razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados.

2.

2.1

C é o ponto de abcissa menor do que 3 , intersecção dos arcos deraio , com centros em A e B , respectivamente.

2.2 x = 3 .

2.3 y = - 1 .

2.4 .

2.5 h2 +

h2 + = 10

h =

Atriângulo =

= (c.q.m.).

3. Pág. 67

3.1 e 3.2

4.

4.1 4.2

5œ122 * 2

=5 * 2œ3

2 * 2=

5œ32

œ10 * œ15

œ22

= œ150

2œ2=

5œ6

2œ2=

5œ6 œ2

2œ2 œ2

Œ152

= œ15

œ2

104

1œ102 2

2

= (œ10)2

AB = œ12 + 32 = œ10

AB

17



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

4.3 4.4

4.5 4.6

5.

5.1 a) y = 6 ; b) y = 4 ;

c) y = 0 ; d) x = 2 ;

e) x = 5 ; f) x = 7 ;

g) x = 0 .

5.2 (2 ≤ x ≤ 5 ‹ 0 ≤ y ≤ 4) › (0 ≤ x ≤ 7 ‹ 4 ≤ y ≤ 6) .

6.

6.1

6.2 A 1 (- 2 , 7) ; B 1 (7 , 7) e C 1 (- 2 , - 2) .

6.3 = 9 ; = 9 .

Atriângulo = = 40,5 u. a.

7. Pág. 68

7.1 y ≥ 3 .

7.2 y ≥ - 1 ‹ y ≤ ou - 1 ≤ y ≤ .

7.3 x ≥ - 1 ‹ x ≤ 3 ou - 1 ≤ x ≤ 3 .

7.4 y ≥ - 2 ‹ y < 2 ou - 2 ≤ y < 2 .

7.5 x ≥ 0 ‹ y ≥ 0 .

7.6 x ≥ 0 ‹ y ≥ x .

7.7 - 3 ≤ x ≤ 3 ‹ - 2 ≤ y ≤ 2 .

7.8 (- 1 ≤ x ≤ 0 ‹ 0 ≤ y ≤ 1) › (0 ≤ x ≤ 1 ‹ - 1 ≤ y ≤ 0) .

7.9 y ≥ - x ‹ y ≥ 0 .

7.10 (y > x ‹ x ≥ 0) › (y < x ‹ x ≤ 0) ›

› (y < - x ‹ y ≥ 0) › (y > - x ‹ y ≤ 0) .

14

14

9 * 92

ACAB

1. A = {(x , y) å R2 : } (\x| ≥ 1)} Pág. 72

} (\x| ≥ 1) § \x| < 1 § - 1 < x < 1

Resposta: (D) .

2. x ≤ 2 § } (x > 2)

Resposta: (D) .

3. x ≤ 5 ‹ y ≥ - 2 ‹ y < 1 § Pág. 73

(y < 1 ‹ y ≥ - 2) ‹ x ≤ 5 §

} (y ≥ 1 › y < - 2) ‹ x ≤ 5

Resposta: (D) .

4. y = x ‹ 0 ≤ x ≤ 2 §

§ y = x ‹ (x ≥ 0 ‹ x ≤ 2)

§ y = x ‹ } (x < 0 › x > 2)

Resposta: (C) .

1. Pág. 74

1.1 } (x ≥ 1) § x < 1 .

1.2 } (y < 2) § y ≥ 2 .

1.3 } (x = 7) § x 0 7 .

2.

2.1 } (x ≥ 5) § x < 5 .

2.2 } (y 0 7) § y = 7 .

2.3 } (x ≤ 1) ‹ x ≥ 2) § x > 1 › x < 2 .

2.4 } (x < 3) ‹ y ≤ 5) § x ≥ 3 › y > 5 .

2.5 } (x = 2 › y - 1 < 5) § x 0 2 ‹ y - 1 ≥ 5 .

2.6 } (x + 1 0 5 › y ≥ 1) § x + 1 = 5 ‹ y < 1 .

2.7 } (- 1 < x < 2) § } (x > - 1 ‹ x < 2) § x ≤ - 1 › x ≥ 2 .

2.8 } (\y - 1|< 1) § \y - 1| ≥ 1 .

3.

3.1 x < - 1 § } (x ≥ - 1) .

3.2 y ≤ 1 ‹ y ≥ - 2 § } (y > 1 › y < - 2) .

4. y ≤ x ‹ x > - 2 .

1. Pág. 79

1.1 E 1 (5 , 12 , 6)

Resposta: (A) .

1.2 ABE : x = 5

Resposta: (D) .

1.3 EF : y = 12 ‹ z = 6

Resposta: (C) .

1.4 [AB] : x = 5 ‹ z = 0 ‹ 0 ≤ y ≤ 12

Resposta: (B) .

1.5 § = 62 + §

§ = 62 + 52 + 122 §

§

Resposta: (A) .

BG = œ205

BG2

(OA2 + AB)2BG2BG2 = OG2 + OG2

18



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

2. Pág. 80

2.1 B 1 (0 , 2 , 0) ; A 1 (2 , 0 , 0) ; J 1 (2 , 2 , 0) ;

I 1 (0 , 2 , - 2)

Resposta: (D) .

2.2 C 1 (0 , 0 , 2) ; F 1 (- 2 , 0 , 2) ; D 1 (- 2 , 2 , 2) ;

E 1 (- 2 , 2 , 0)

Resposta: (B) .

2.3 AGH : x = 2

AG : x = 2 ‹ y = 0

H.G : x = 2 ‹ z = 2 ‹ y ≥ - 2

[CG] : y = 0 ‹ z = 2 ‹ 0 ≤ x ≤ 2

Resposta: (C) .

1. Pág. 81

1.1 O 1 (0 , 0 , 0) ; R 1 (3 , 0 , 0) ; Q 1 (3 , 3 , 0) ;

P 1 (0 , 3 , 0) ; S 1 (0 , 0 , 3) ; V 1 (3 , 0 , 3) ;

U 1 (3 , 3 , 3) e T 1 (0 , 3 , 3) .

1.2

= (32 + 32) + 32

.

1.3 P = 2 * = 2 = 2 =

= 6 + 6 .

2.

2.1 V 1 (2 , 2 , 0) ; B 1 (0 , 4 , 3) ; C 1 (0 , 0 , 3) e

D 1 (4 , 0 , 3) .

2.2 E 1 (2 , 2 , 3) .

2.3 V = Ab * altura = * 42 * 3 = 16

V = 16 u. v.

2.4 O plano de equação z = 1,5 “corta” a pirâmide nos pontos D' ,A' , B' e C' , pontos médios das arestas laterais da pirâmide.

Atendendo à semelhança dos triângulos [ADV] e [A'D'V'] , de

razão , tem-se que * 4 = 2 .

Logo, [D'A'B'C'] é um quadrado de lado 2 e área 22 = 4 .

3. Pág. 82

3.1 x = - 2 .

3.2 z = - 10 .

3.3 y = - 5 .

D'A' =12

DA =12

12

13

13

œ2

(3 + 3œ2)(3 + œ32 + 32)(VR + VT)RT = 3œ3

RT = œ3 * 32

RT2

RT2 = RP2 + TP2

3.4 z = 4 .

3.5 x = - 4 ‹ y = 2 .

3.6 x = ‹ z = 2 .

4. A 1 (0 , 2 , 0) ; B 1 (0 , 0 , 2) ; C 1 (- 1 , - 1 , 2) ;

D 1 (- 1 , 0 , 1) ; E 1 (1 , - 1 , 0) ; F 1 (2 , 0 , - 1) ;

G 1 (1 , 1 , - 1) e H 1 (0 , 2 , - 1) .

5.

5.1 Se A pertence ao plano de equação x = 1,5 , D pertence aoplano de equação x = - 1,5 . Logo, = 1,5 - (- 1,5) = 3 .

A base do prisma é um quadrado de lado 3 .

Vprisma = 90 cm3

Abase * altura = 90

32 * = 90

Logo, a cota de F = 10 : 2 = 5 (c.q.v).

F 1 (1,5 ; 1,5 ; 5) .

5.2 A 1 (1,5 ; - 1,5 ; - 5) ; B 1 (1,5 ; 1,5 ; - 5) ;

C 1 (- 1,5 ; 1,5 ; - 5) ; D 1 (- 1,5 ; - 1,5 ; - 5) ;

E 1 (1,5 ; - 1,5 ; 5) ; G 1 (- 1,5 ; 1,5 ; 5) e

H 1 (- 1,5 ; - 1,5 ; 5) .

5.3 a) x = - 1,5 ;

b) y = - 1,5 ‹ z = - 5 ;

c) 0 ≤ x ≤ 1,5 ‹ 0 ≤ y ≤ 1,5 ‹ 0 ≤ z ≤ 5 .

5.4 A secção produzida no prisma pelo plano OFG é o rectângulo[AFGD] .

= 3

= 32 + 102 §

A = = 3 cm2 .

1. Pág. 83

1.1 a) x = 7 ; b) y = x ; c) y = - x .

1.2 a) y ≤ x ‹ x ≤ 4 ‹ y ≥ 0 ;

b) y ≥ - x ‹ y ≥ x ‹ x ≤ 5 ‹ y ≤ 7 ;

c) y ≥ - x ‹ y ≥ 7 ‹ y ≤ 9 ‹ x ≤ 6 ;

d) y ≥ x ‹ y ≥ - 5 ‹ x ≥ - 8 ‹ y ≤ 0 .

1.3 = 22 + 22

km

) 2,8 km .

1.4 a) A =

A = 8 km2 ;

b) A = 3 * 5 + = 15 + 12,5 .

2. Pág. 84

2.1 P 1 (8 , - 10 , - 3) ; Q 1 (8 , 0 , - 3) ;

R 1 (0 , 0 , - 3) ; S 1 (0 , - 10 , - 3) ;

T 1 (8 , - 10 , 3) ; U 1 (8 , 0 , 3) ;

V 1 (0 , 0 , 3) e X 1 (0 , - 10 , 3) .

5 * 52

4 * 42

OH

OH = 2œ2

OH = œ22 * 2

OH2

œ109FG * AF

AF = œ109AF2

AF2 = AB2 + BF2

FG

BF = 10

BF

AD

13

19



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10 ©

Por

to E

dito

ra

2.2 a) Q' 1 (- 8 , 0 , 3) ;

b) Q'' 1 (- 8 , 0 , - 3) .

2.3 a) PQU : x = 8 ;

b) [TUXY] : z = 3 ‹ 0 ≤ x ≤ 8 ‹ - 10 ≤ y ≤ 0 ;

c) VU : y = 0 ‹ z = 3 ;

d) [PQ] : x = 8 ‹ z = - 3 ‹ - 10 ≤ y ≤ 0 .

e) [PQRSTUVX] : 0 ≤ x ≤ 8 ‹ - 10 ≤ y ≤ 0 ‹ - 3 ≤ z ≤ 3 .

2.4 a) Recta XT ;

b) Recta PS ;

c) Segmento de recta [TU] ;

d) Segmento de recta [VR] .

2.5 A secção é o rectângulo [SPUV] .

= 8

A = 8 * 2

A = 16 cm2 .

3. Pág. 85

3.1 P 1 (3 , - 3 , 0) ; S 1 (- 3 , - 3 , 0) e

R 1 (- 3 , 3 , 0) .

3.2 V = 84

Ab * altura = 84

* 62 * = 84

12 * = 84

= 7 . (c.q.m.)

3.3 a) y = 3 ;

b) y = - 3 ;

c) x = - 3 .

3.4 a) Os triângulos [VOA] e [VCB] são semelhantes:

§

§

A secção produzida na pirâmide peloplano a é um quadrado de

lado .

A = = u. v.

b) A pirâmide “acima” do plano de equação z = 5 é semelhante à

pirâmide [PQRSV] . A razão de semelhança é .

Logo, o volume desta pirâmide é 84 * .

Vtronco = 84 - = u. v.402049

9649

1272

3

=9649

27

14449112

7 22

2BC = 2 *67=

127

BC =67

BC3

=27

BC

AO=

VC

VO

OV

OV

OV13

13

œ34

œ34

PU = œ102 + 62 = œ136 = 2œ34

SP

4. Pág. 86

4.1 G 1 (4 , 4 , 0)

= 4

A = 42 = 16 u. a.

4.2 V = 48

Ab * altura = 48

* 16 * = 48

= 9

a) E 1 (4 , 0 , 0) ; F 1 (0 , 4 , 0) ; A 1 (4 , 0 , 9) ;

D 1 (4 , 4 , 9) ; C 1 (0 , 4 , 9) e B 1 (0 , 0 , 9) .

b) H 1 (2 , 2 , 9) .

4.3 a) A secção produzida pelo plano a é um quadrado.

b) Os triângulos [HMN] e [HEG] são semelhantes.

Então, tem-se:

(M é o ponto médio de [HE])

= 2

Aquadrado = = 22 = 4 .

4.4 a) A secção produzida no prisma pelo plano DCO é o rectângulo[DCOE] .

b) = 4

= 42 + 92

P = 2 * + 2 *

P = 2 * 4 + 2 *

P = 8 + 2 u.c. œ97

œ97

EDDC

ED = œ97

ED2

ED2 = EG2 + GD2

DC

MN2

MN

MN4

=12

MN

EG=

HM

HE

OB

OB13

13

EG

20



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

4.2 A[AEGC] = * altura = * 6 = 36 .

4.3

A razão de semelhança é 2 . A razão dos perímetros também é 2 .

5. A 1 (3 , 5) ; B 1 (- 3 , 1) ; C 1 (- 6 , - 1) .

5.1 = 2 .

= .

5.2 Os triângulos [CBE] e [BDA] são semelhantes porque têm doisângulos iguais: os ângulos CBE e DBA são verticalmente opos-tos e os ângulos BCE e BAD são agudos de lados paralelos.

5.3 r = = 2 .

5.4 E e C estão na mesma recta vertical.

Logo, como C 1 (- 6 , - 1) , tem-se E 1 (- 6 , y1)

pois, B 1 (- 3 , 1) e E 1 (- 6 , y1) .

= 9 + (y1 - 1)2

; = 13

(o triângulo [CBE] é isósceles)

9 + (y - 1)2 = 13

(y1 - 1)2 = 13 - 9

(y1 - 1)2 = 4

y1 - 1 = 2 › y1 - 1 = - 2

y1 = 3 › y2 = - 1

Como y1 > 0 , tem-se y1 = 3 .

Logo, E 1 (- 6 , 3)

D tem a mesma abcissa de A . Então D 1 (3 , y2)

pois, B 1 (- 3 , 1) e D 1 (3 , y2) .

= 36 + (y2 - 1)2

; = 4 * 13 = 52

(o triângulo [BDA] é isósceles)

36 + (y2 - 1)2 = 52

(y2 - 1)2 = 16

y2 - 1 = - 4 › y2 - 1 = 4

y2 = - 3 › y2 = 5‚

M

y2 < 0y2 = - 3

D 1 (3 , - 3)

E 1 (- 6 , 3) e D 1 (3 , - 3) .

5.5 A 1 (3 , 5) ; E 1 (- 6 , 3) ;

D 1 (3 , - 3) ; C 1 (- 6 , - 1) .

A[ADCE] = * altura

= * \- 6 - 3|

= * 9 = 54 u. a. 8 + 4

2

\5 + 3|+ \3 + 1|2

AD + EC2

DB2 = AB2

DB = AB

AB2AB = 2œ13

DB2

DB = œ(3 + 3)2 + (y2 - 1)2

BE2 = BC2

BE = BC

BC2BC = œ13

BE2

BE = œ(- 6 + 3)2 + (y1 - 1)2

AB

BC=

2œ13

œ13

œ13BC = œ(- 6 + 3)2 + (- 1 - 1)2 = œ9 + 4

œ13AB = œ(- 3 - 3)2 + (1 - 5)2 = œ36 + 16 = œ52

AB = 2 BG

8 + 42

AC + EG2

1. Lado do triângulo [ABC] : L = 90 : 3 = 30 . Pág. 90

Altura do triângulo [ABC] : h

h2 + 152 = 302

h =

h = 15

Logo, A 1 .

Resposta: (D) .

2. = 42 + 42 + 102

Resposta: (C) .

3. A (0 , 1) ; B (2 , 3) ; C (3 , - 2)

P = 2 + 3 + = (5 + ) cm

Resposta: (D) .

4. A = 25p

pr2 = 25p

r2 = 25

r = 5 (r > 0)

C (0 , - 5 , 0)

Resposta: (D) .

1. A 1 (1 , 3) ; B 1 (- 5 , 4) ; C 1 (- 1 , 2) Pág. 91

1.1 a) ;

b) ;

c) .

1.2 O triângulo [ABC] é escaleno.

2. M 1 (- 2 , 5) ; A 1 (- 4 , - 1) ; R 1 (4 , 3)

O triângulo [MAR] é rectângulo, porque eisósceles, porque .

3.

3.1 = 2 cm .

3.2 = 2 cm .

3.3 = 3 cm .

3.4 = 2 cm .

3.5 = 2 cm .

3.6 = cm .

4. Pág. 92

4.1 a) A[ABCD] = = 42 + 42 = 32 ;

b) A[BEFG] = = 22 + 22 = 8 .BE2

AB2

œ89JF = œ82 + 52

œ2AC = œ22 + 22 = œ8

œ2FD = œ22 + 22 = œ8

œ5IE = œ62 + 32 = œ45

œ10HF = œ62 + 22 = œ40

AB

MA = MRAR2 = MR2 + MA2

AR = œ(4 + 4)2 + (3 + 1)2 = œ64 + 16 = œ80

MR = œ(4 + 2)2 + (3 - 5)2 = œ36 + 4 = œ40

MA = œ(- 4 + 2)2 + (- 1 - 5)2 = œ4 + 36 = œ40

AC = œ(- 1 - 1)2 + (2 - 3)2 = œ4 + 1 = œ5

BC = œ(- 1 + 5)2 + (2 - 4)2 = œ16 + 4 = œ20 = 2œ5

AB = œ(- 5 - 1)2 + (4 - 3)2 = œ36 + 1 = œ37

œ26œ2œ26œ2œ2

BC = œ(3 - 2)2 + (- 2 - 3)2 = œ1 + 25 = œ26

AC = œ(3 - 0)2 + (- 2 - 1)2 = œ9 + 9 = 3œ2

AB = œ(2 - 0)2 + (3 - 1)2 = œ4 + 4 = 2œ2

EC = 2œ33

EC = œ132

EC2

(- 15 , 15œ3)œ3

œ302 - 152

Capítulo 3

21



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Por

to E

dito

ra

6.

6.1 O 1 (0 , 0 , 0) ; A 1 (3 , 0 , 0) ; B 1 (3 , 3 , 0) ;

C 1 (0 , 3 , 0) ; G 1 (0 , 0 , 3) ; D 1 (3 , 0 , 3) ;

E 1 (3 , 3 , 3) e F 1 (0 , 3 , 3) .

6.2 .

6.3 a) A secção produzida é o rectângulo [ACFD] .

= 32 + 32 §

§ §

A[ACFD] = cm2 .

b) A secção produzida é o triângulo equilátero [DBF] .

A[DBF] = .

Vamos determinar h :

h2 +

§ h2 + = 9 * 2

§ h2 = § h = (h > 0)

Então, tem-se:

A[OBF] =

A[DBF] = cm2 .

1. Centro (- 2 , 5) ; r = Pág. 97

(x - (- 2))2 + (y - 5)2 = § (x + 2)2 + (y - 5)2 = 3

Resposta: (C)

2. C 1 (- 4 , - 5) e A 1 (- 2 , 0)

r =

(x - (- 4))2 + (y - (- 5))2 = § (x + 4)2 + (y + 5)2 = 29

Resposta: (C)

3. Fronteiras:

Circunferência:Raio: r = 2 ; Centro (1 , 2) Equação: (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4

Rectas: x = 0 ; y = x

Condição:

[(x - 1)2 + (y - 2)2 ≤ 4 ‹ x ≤ 0] ›› [(x - 1)2 + (y - 2)2 ≥ 4 ‹ x ≥ 0 ‹ y ≥ x]Resposta: (D)

4. O raio da esfera é a distância do centro ao plano Pág. 98xOy , ou seja, é a cota de C : r = 4

(x - 2)2 + (y - 3)2 + (z - 4)2 ≤ 42

Resposta: (D)

5. x = 1 define o plano perpendicular a Ox que passa no centro dasuperfície esférica definida por (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 25 . Aintersecção é uma circunferência.

Resposta: (A)

(œ29)2CA = œ(- 2 + 4)2 + (0 + 5)2 = œ4 + 25 = œ29

(œ3)2œ3

9 œ32

3 œ2 *œ27

œ22

=3 œ27

2=

9 œ32

Œ272

272

9 * 24

13œ22 2

2

= (3œ2)2

DF * h2

AC * FC = 3 œ2 * 3 = 9 œ2

AC = 3 œ2AC = œ2 * 32

AC2 = AB

2 + BC2 § AC2

FC = 3

AF = œ32 + 32 + 32 = œ32 * 3 = 3œ3

6. P = 8p

2pr = 8p

r = 4

Seja R o raio da superfí-cie esférica:

R2 = 32 + 42 §

§ R2 = 25

x2 + y2 + z2 = 25 é umaequação da uperfície esfé-rica.

Resposta: (C) .

7.

A esfera definida x2 + (y - 7)2 + z2 ≤ 9 tem centro C 1 (0 , 7 , 0) e raio 3 . Logo, esta esfera contém uma partedo eixo Oy .

Resposta: (B) .

1. Pág. 99

1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 1.6

22



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

1.7 1.8

1.9

2.

2.1 x2 + y2 = 9 .

2.2 x2 + (y + 1)2 = 3 .

2.3 + (y + 2)2 = 8 .

2.4 (x - 0,5)2 + (y - 1,3)2 = 0,01 .

3.

3.1 x2 + y2 = 4

Centro: (0 , 0) ; raio: 2 .

3.2 (x - 1)2 + y2 = 2

Centro: (1 , 0) ; raio: .

3.3 (x + 3)2 + (y - 2)2 =

Centro: (- 3 , 2) ; raio: .

3.4 x2 +

Centro: ; raio: = .

4.

4.1 4.2

œ4 2ŒŒ2(0 , - œ4 5)(y + œ4 5)2 = œ2

œ32

34

œ2

(x - œ3)2

1

4.3

4.4 4.5

4.6

4.7

23



EX

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10 ©

Por

to E

dito

ra

5. Pág. 100

5.1 Cento da circunferência: C 1 (3 , 2) .

O raio da circunferência é a distância de C à recta de equação y = - 2 : r = 4 .

Equação da circunferência:

(x - 3)2 + (y - 2)2 = 16 .

5.2 A 1 (5 , a)

Substituindo as coordenadas de a na equação da circunferência,vem:

(5 - 3)2 + (a - 2)2 = 16 § (a - 2)2 = 16 - 4 §

§ (a - 2)2 = 12 § a - 2 = - › a - 2 = §

§ a = 2 - › a = 2 +

Logo,

A 1 ou A 1 .

5.3 (x - 3)2 + (y - 2)2 > 16 ‹ x ≥ 0 ‹ y > - 2 .

6.

6.1 Área do triângulo [ABC] :

A1 = = 81

Área do semicírculo de raio 9 :

A2 = p * 92 = p

Área do semicírculo de raio :

r =

A3 = * p *

= * p * * 2

= p

A área do semicírculo de raio é, também, igual a p .

Alúnulas = A1 + 2A3 - A2 =

= 81 + 2 * p - p

= 81

Área das lúnulas = 81 = Área do triângulo [ABC] .

6.2 Circunferência de centro O : x2 + y2 = 81

Circunferência de centro Q :

Circunferência de centro P :

Condição pedida:

x2 + y2 ≥ 81 ‹ ›

› .1x -922

2

+ 1y -922

2

≤812 4

31x +922

2

+ 1y -922

2

≤812

1x -922

2

+ 1y -922

2

=812

1x +922

2

+ 1y -922

2

=812

1A3A 3A

1A + 2A 3

2A

1A + 2A 3 2- A

812

814

814

BP

814

814

12

192

œ2221

2

AQ =AC2

= œ92 + 92

2=

92

œ2

AQ

812

12

18 * 92

(5 , 2 +œ12)(5 , 2 -œ12)

œ12œ12

œ12œ12

7. Pág. 101

7.1 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 .

7.2 (x - 3)2 + y2 ≤ 9 ‹ (x ≥ 4 › y ≥ 2) .

7.3 x2 + y2 ≤ 9 ‹ (x + 3)2 + (y - 3)2 ≥ 9 ‹ (x - 3)2 + (y - 3)2 ≥ 9 .

7.4 x2 + y2 ≤ 9 ‹ [(x + 3)2 + y2 ≤ 9 › (x - 3)2 + y2 ≤ 9] .

8.

8.1 (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 12 ;

(x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 ≤ 12 .

8.2 x2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 9 ;

x2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 ≤ 9 .

8.3 (x + 5)2 + y2 + z2 = 18 ;

(x + 5)2 + y2 + z2 ≤ 18 .

9.

9.1 Centro: (- 1 , 0 , 3) ; raio: 2 .

9.2 Centro: ; raio: .

9.3 Centro: ; raio: .

10. Centro: C 1 (2 , 1 , - 1) ; A 1 (- 2 , 0 , 1) Pág. 102é um ponto da superfície esférica.

Raio: r = =

=

(x - 2)2 + (y - 1)2 + (z + 1)2 = 21 .

11.

11.1 x2 + y2 + z2 + 2x + 4y = 0

§ (x2 + 2x) + (y2 + 4y) + z2 = 0

§ (x2 + 2x + 1) - 1 + (y2 + 4y + 4) - 4 + z2 = 0

§ (x + 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5

Centro: (- 1 , - 2 , 0) ; raio: .

11.2 x2 + y2 + z2 - 2x + 2z = 0

§ (x2 - 2x) + y2 + (z2 + 2z) = 0

§ (x2 - 2x + 1) - 1 + y2 + (z2 + 2z + 1) - 1 = 0

§ (x - 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 2

Centro: (1 , 0 , - 1) ; raio: .

11.3 (x - 3)2 + (y + 1)2 + 2 (z - 1)2 + 3 (2y - 3) = z2

§ (x - 3)2 + y2 + 2y + 1 + 6y - 9 + 2 (z2 - 2z + 1) - z2 = 0

§ (x - 3)2 + (y2 + 8y) - 8 + (z2 - 4z) + 2 = 0

§ (x-3)2+ (y2+8y+16) -16 -8 + (z2-4z+4) -4 +2 =0

§ (x - 3)2 + (y + 4)2 + (z - 2)2 = 26

Centro: (3 , - 4 , 2) ; raio: .

12. x2 + y2 + z2 - 2y - 3 = 0

12.1 Por exemplo:

Se x = 0 e y = 0

02 + 02 + z2 - 0 - 3 = 0 § z2 = 3 § z = - › z =

e , por exemplo, são pontos dasuperfície esférica.

(0 , 0 , œ3)(0 , 0, -œ3)œ3œ3

œ26

œ2

œ5

œ16 + 1 + 4 = œ21

AC = œ(- 2 - 2)2 + 12 + (1 + 1)2

3œ55

(œ3 ; 0,1 ; 0)

œ2141- 1

3 , -

13

, -122

œ2

24



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

12.2 A 1

(- 1)2 + 12 + - 2 * 1 - 3 = 1 + 1 + 3 - 2 - 3 = 0

A pertence à superfície esférica;

B 1 (1 , 5 , 7)

12 + 52 + 72 - 10 - 3 = 1 + 25 + 49 - 10 - 3 > 0

B é exterior à superfície esférica;

C 1 (- 1 , 0 , - 1)

(- 1)2 + 02 + (- 1)2 - 2 * 0 - 3 = 1 + 1 - 3 < 0

C é interior à superfície esférica.

13.

13.1

Circunferência de centro (0 , 0, 0) e raio 1 , contida no planode equação z = 0 (plano xOy)

13.2

Circunferência de centro (0 , - 3, 0) e raio , con-tida no plano de equação y = - 3 .

13.3

Semiesfera de cota não negativa com centro no ponto (0 , 0 , 0) e raio 1 .

13.4

Círculo de centro (0 , 0 , 0) e raio 1 , contido no plano yOz .

13.5

Círculo de centro no ponto (0 , 0 , 1) e raio 2 , contido noplano xOz .

14.

14.1

14.2

14.3 Vamos considerar o plano paralelo ao plano xOy definido pelaequação z = 5 :

§ (x + 3)2 + (y - 4)2 ≤ 1 ‹ z = 5

(x + 3)2 + (y - 4)2 ≤ 1 ‹ z = 5 (por exemplo).

14.4 Plano perpendicular a Oy no ponto de ordenada 4 ; y = 4 .

§(x - 1)2 + (4 - 2)2 + (z - 3)2 ≤ 9

y = 4

abc

§

§(x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 ≤ 9

y = 4

abc

§(x + 3)2 + (y - 4)2 + (z - 5)2 ≤ 1

z = 5

abc

§ (y - 2)2 + z2 ≤ 2 ‹ x = 0 .x2 + (y - 2)2 + z2 ≤ 2

x = 0

abc

x2 + z2 ≤ 9 ‹ y = 0 .§x2 + y2 + z2 ≤ 9

y = 0

abc

x2 + (z - 1)2 ≤ 4

y = 0

abc

§x2 + y2 + (z - 1)2 ≤ 4

y = 0

abc

y2 + z2 ≤ 1

x = 0

abc

x2 + y2 + z2 ≤ 1

z ≥ 0

abc

œ27 = 3œ3

x2 + z2 = 27

y = - 3

abc

§x2 + (- 3)2 + z2 = 36

y = - 3

abc

§x2 + y2 + z2 = 36

y = - 3

abc

x2 + y2 = 1

z = 0

abc

§x2 + y2 + z2 = 1

z = 0

abc

(œ3)2(- 1 , 1 , œ3)

§ (x - 1)2 + (z - 3)2 ≤ 5 ‹ y = 4 .

1. A (1 , 0) Pág. 106

B (- 3 , 2)

P (k + 1 , 3k)

(k + 1 - 1)2 + (3k - 0)2 = (k + 1 + 3)2 + (3k - 2)2

§ k2 + = (k + 4)2 + - 12k + 4

§ = + 8k + 16 - 12k + 4

§ 4k = 20 § k = 5

Resposta: (C) .

2. P 1 (x , 0) ; A 1 (1 , 1) ; B 1 (5 , 4)

(x - 1)2 + (0 - 1)2 = (x - 5)2 + (0 - 4)2

§ - 2x + 1 + 1 = - 10x + 25 + 16

§ 8x = 39

§ x = , logo, .

Resposta: (B) .

3.

3.1 E 1 ; E 1 (2 , 2 , - 2)

Resposta: (C) .

3.2 C (4 , 4 , 4) ; E (2 , 2 , - 2) ; P (x , y , z)

(x - 4)2 + (y - 4)2 + (z - 4)2 = (x - 2)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2

§ - 8x + 16 + - 8y + 16 + - 8z + 16 =

= - 4x + 4 + - 4y + 4 + + 4z + 4

§ - 8x + 4x - 8y + 4y - 8z - 4z + 48 - 12 = 0

§ - 4x - 4y - 12z + 36 = 0

§ x + y + 3z - 9 = 0

Resposta: (D) .

1. A 1 (- 3 , 4) ; B 1 (4 , - 2) ; P 1 (0 , y) Pág. 107

(0 + 3)2 + (y - 4)2 = (0 - 4)2 + (y + 2)2

§ 9 + - 8y + = + + 4y + 4

§ - 8y - 4y = 4 - 9

§ - 12y = - 5 § y =

P 1 .10 , 5

122

512

y21616y2

AP = BP

z2y2x2

z2y2x2

CP = EP

142

, 42

, 4 - 62

P 1398

, 02398

x2x2

AP = BP

k2k2

9k29k2

AP = BP

§(x - 1)2 + (z - 3)2 ≤ 5

y = 4

abc

§

§(x - 1)2 + 4 + (z - 3)2 ≤ 9

y = 4

abc

§

25



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

2.1 O 1 (0 , 0 , 0) ; A 1 (3 , 0 , 0) ; B 1 (3 , 4 , 0) ;

C 1 (0 , 4 , 0) ; G 1 (0 , 0 , 2) ; F 1 (3 , 0 , 2) ;

E 1 (3 , 4 , 2) e D 1 (0 , 4 , 2) .

2.2 O centro é M , ponto médio de [GD]: M 1 (0 , 2 , 2) ;

O raio é 2 .

Superfície esférica de diâmetro [GD]:

x2 + (y - 2)2 + (z - 2)2 = 4 .

2.3 a) Plano mediador de [FG]:

É o plano perpendicular a Ox que passa em

N 1 , ponto médio de [FG]:

Equação do plano: x = .

b) D 1 (0 , 4 , 2) ; F 1 (3 , 0 , 2) ; P 1 (x , y , z)

§ (x - 0)2 + (y - 4)2 + = (x - 3)2 + (y - 0)2 +

§ + - 8y + 16 = - 6x + 9 +

§ 6x - 8y + 16 - 9 = 0

§ 6x - 8y + 7 = 0 .

3. P 1 (t , 2t , 0) ; A 1 (0 , 1 , - 2) ; B 1 (- 1 , 0 , 3) ;

§ (t - 0)2 + (2t - 1)2 + (0 + 2)2 = (t + 1)2 + (2t - 0)2 + (0 - 3)2

§ + - 4t + 1 + 4 = + 2t + 1 + + 9

§ - 4t - 2t + 5 - 10 = 0

§ - 6t = 5

§ t = - .

4. A 1 (- 4 , 1) ; B 1 (2 , - 3) ;

C 1 (4 , 13) e I 1 (3 , 5) .

4.1 ;

;

;

= 52 + 208 = 260 =

± O triângulo [ABC] é rectângulo em A

(Teorema de Pitágoras).

4.2 ;

;

± I pertence à mediatriz de [BC] .

4.3 ;

;

.

4.4 ;

;

;

. A , B e C são equidistantes de I logo,

pertencem à mesma circunferência de centro I .

5. A 1 (4 , 5 , 5)

B 1 (2 , 7 , 0) ; C 1 (6 , 7 , 0) ; D 1 (6 , 3 , 0) ;

E 1 (2 , 3 , 0) .

AI = BI = CI = œ65

CI = œ(3 - 4)2 + (5 - 13)2 = œ1 + 64 = œ65

BI = œ(3 - 2)2 + (5 + 3)2 = œ1 + 64 = œ65

AI = œ65

AI = œ65 ; BC = 2œ65 ; BC = 2 AI

BC = œ(4 - 2)2 + (13 + 3)2 = œ4 + 256 = œ260 = 2 œ65

AI = œ(3 + 4)2 + (5 - 1)2 = œ49 + 16 = œ65

IB = IC = œ65

IC = œ(3 - 4)2 + (5 - 13)2 = œ1 + 64 = œ65

IB = œ(3 - 2)2 + (5 + 3)2 = œ1 + 64 = œ65

AB2 + AC2 = BC2

BC2AB2 + AC2

BC = œ(4 - 2)2 + (13 + 3)2 = œ4 + 256 = œ260

AC = œ(4 + 4)2 + (13 - 1)2 = œ64 + 144 = œ208

AB = œ(2 + 4)2 + (- 3 - 1)2 = œ36 + 16 = œ52

56

4t2t24t2t2

PA = PB

y2x2y2x2

(z - 2)2(z - 2)2

PD = PF

32

132

, 0 , 22

5.1 ;

;

;

;

.

5.2 ± A pertence ao plano mediador de [CB] .

De igual modo, como , e ,

A pertence ao plano mediador de cada uma das arestas [BE] ,

[ED] e [DC] .

5.3 B 1 (2 , 7 , 0) ; C 1 (6 , 7 , 0) ; P 1 (x , y , z)

(x - 2)2 + + = (x - 6)2 + +

- 4x + 4 = - 12x + 36

8x = 32

x = 4 .

5.4 . Logo, o triângulo [ADB] é isósceles e, como G é o

ponto médio de [DB] , o triâmgulo [AGB] é rectângulo.

é a altura da pirâmide.

=

= =

= =

= =

=

§

§

§ = 5

Aresta da base: = 4

Vpirâmide = Ab * = * * 5 =

= * 42 * 5 =

=

= 5 u. c. ; V = u. v.

6. Pág. 108

6.1 (A) Triângulo isósceles;

(B) Rectângulo.

6.2 Prisma A

A 1 (0 , 2 , 0) ; B 1 (0 , 0 , 2) ; O 1 (0 , 0 , 0) ;

C 1 (- 6 , 2 , 0)

Lado do quadrado da base: = 2 .

Altura do prisma: = 6 AC = œ(- 6)2 + (2 - 2)2 + 02

OB

803

AG

803

13

BC213

AG13

BC = œ(6 - 2)2 + (7 - 7)2 + 02

AG

AG = œ33 - 8

AG2 + (2œ2)2 = (œ33)2AG2 + GB2 = AB2

AB = œ33

2œ2

12* 4œ2

12

œ16 + 16

12

œ(6 - 2)2 + (3 - 7)2 + 0

GB =12

DB

AG

AD = AB

x2x2

z2(y - 2)2z2(y - 2)2

PB = PC

AD = ACAE = ADAB = AE

AC = AB

AB = AC = AD = AE = œ33

AE = œ(4 - 2)2 + (5 - 3)2 + 52 = œ4 + 4 + 25 = œ33

AD = œ(4 - 6)2 + (5 - 3)2 + 52 = œ4 + 4 + 25 = œ33

AC = œ(4 - 6)2 + (5 - 7)2 + 52 = œ4 + 4 + 25 = œ33

AB = œ(4 - 2)2 + (5 - 7)2 + 52 = œ4 + 4 + 25 = œ33

26



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

Lados do triângulo: a e b

• a2 = 12 + 12

§ a =

• b2 = 32 + 12

§ b =

Ptriângulo = a + 2b =

= + 2 .

Altura do triângulo

h2 +

§ h2 = 10 -

§ h =

Atriângulo = .

Prisma B

A 1 (0 , 0 , 2) ; B 1 (4 , 0 , 2) ; C 1 (4 , 0 , - 8)

= 4

= 10

Lados do rectângulo: a e b

• a = = 4

• b2 = 52 + 22

§ b =

Prectângulo = 2 * 4 + 2 =

= 8 + 2

Arectângulo = 4

Triângulo: P = cm ;

A = cm2 .

Rectângulo: P = cm ; A = 4 cm2 .

7.

7.1 B 1 (1 , 0 , 1) ; E 1 (0 , 1 , 1) ;

D 1 (1 , 2 , 1) e C 1 (2 , 1 , 1) .

œ29(8 + 2œ29)

œ192

(œ2 + 2œ10)œ29

œ29

œ29

œ29

AB

BC = œ(4 - 4)2 + 0 + (2 + 8)2

AB = œ42 + 0 + (2 - 2)2

œ2 * œ19

œ22

= œ192

Œ192

12

1œ22 2

2

= (œ10)2

œ10œ2

œ10

œ2

7.2 Centro: G 1 (1 , 1 , 1) ; raio: 1

(x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1 .

7.3 A 1 (1 , 1 , 2) ; B 1 (1 , 0 , 1) ; P 1 (x , y , z)

§ + (y - 1)2 + (z - 2)2 = + y2 + (z - 1)2

§ - 2y + + - 4z + 4 = + - 2z +

§ - 2y - 4z + 2z + 4 = 0

§ y + z - 2 = 0 .

7.4 É um losango. A medida do lado é igual à altura do triângulo equi-

látero [AEB] .

h2 +

§ h2 = 2 -

§ h =

P = 4 * .

A secção produzida por a no octaedro é um losango de lado 2 .

1. Pág. 109

1.1

B 1 (0 , 8 , 7) ; C 1 (0 , 0 , 7) ; D 1 (8 , 0 , 7) ;

E 1 (4 , 4 , 7) e V 1 (4 , 4 , 0) .

1.2 a) z = 7 ‹ 0 ≤ x ≤ 8 ‹ 0 ≤ y ≤ 8 ;

b)

1.3 D 1 (8 , 0 , 7) ; B 1 (0 , 8 , 7) e P 1 (x , y , z) .

§ (x - 8)2 + y2 + = x2 + (y - 8)2 +

§ - 16x + + = + - 16y +

§ - 16x = - 16y

§ x = y .

1.4 Centro: E 1 (4 , 4 , 7)

Raio:

(x - 4)2 + (y - 4)2 + (z - 7)2 = 32 .

EC = œ42 + 42 + (7 - 7)2 = œ32

64y2x2y264x2

(z - 7)2(z - 7)2

DP = BP

x2 + z2 ≤ 4 ‹ y = 0 .§x2 + y2 + z2 ≤ 4

y = 0

abc

œ6

œ62

= 2œ6

Œ32= œ3

œ2= œ6

2

12

1œ22 2

2

= (œ2)2

BE = œ(1 - 0)2 + (0 - 1)2 + (1 - 1)2 = œ2

1z2y2z21y2

(x - 1)2(x - 1)2

AP = BP

27



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

1.5 = 8

= 9

P = 9 + 9 + 8 = 26 u. c.

1.6 Altura da pirâmide: 7

V = * Ab * altura = * 82 * 7 =

V = u. v.

1.7 O 1 (0 , 0 , 0)

E 1 (4 , 4 , 7)

F 1 (2 , k , - 2k)

§ 22 + k2 + (- 2k)2 = (2 - 4)2 + (k - 4)2 + (- 2k - 7)2

§ - 8k + 16 + 4 + 28k + 49

§ 20k = - 65

§ k = - .

2. Pág. 110

2.1 Centro: C 1 (- 2 , - 1)

Raio: r = = 3

(x + 2)2 + (y + 1)2 = 9 .

2.2 Recta AC : y = - 1 .

A recta r é perpendicular à recta y = - 1 e passa no ponto de tan-gência A 1 (- 5 , - 1) .

r : x = - 5 .

2.3 P (- 3 , b) é um ponto da circunferência:

(- 3 + 2)2 + (b + 1)2 = 9 § (b + 1)2 = 8 §

§ b + 1 = › b + 1 = - §

§ b = - 1 + › b = - 1 -

; .

2.4 (x + 2)2 + (y + 1)2 < 9 ‹ x > 0 .

2.5 = 3 ; C 1 (- 2 , - 1) ;

- 2 + 3 = 1 .

A recta pedida é tangente à circunferência no ponto (1 , - 1) .

Como é paralela à recta r tem como equação, por exemplo, x = 1 .

AC

(- 3 , - 1 - 2œ2)(- 3 , - 1 + 2œ2)2 œ22 œ2

2 œ22 œ2

AC

134

k24 + k2 + 4k2 = 4 + k2

OF = EF

4483

4483

13

13

VC = œ42 + 42 + 72 = œ81

DC 2.6 a)

b) D 1 (- 2 , b)

(- 2 + 2)2 + (b + 1)2 = 9 § (b + 1)2 = 9

§ b + 1 = 3 › b + 1 = - 3

§ b = 2 › b = - 4 ‚

M

b < 0§ b = - 4

D 1 (- 2 , - 4) ; A 1 (- 5 , - 1) ; B 1 (1 , - 1)

= \- 5 - 1| = 6

P = 3 + 3 + 6 =

= 6 + 6 ; o triângulo [ABD] é isósceles.

c)

c1) C é um ponto da mediatriz de [AD] porque (sãoraios da circunferência);

c2) A 1 (- 5 , - 1) ; D 1 (- 2 , - 4) e P 1 (x , y) .

§ (x + 5)2 + (y + 1)2 = (x + 2)2 + (y + 4)2

§ + 10x + 25 + + 2y + 1 = + 4x + 4 + + 8y + 16

§ 6x - 6y + 26 - 20 = 0 § 6x - 6y + 6 = 0

§ x - y + 1 = 0 .

y2x2y2x2

AP = DP

CA = CD

œ2

œ2œ2

BD = œ(- 2 - 1)2 + (- 4 + 1)2 = œ9 + 9 = 3œ2

AD = œ(- 5 + 2)2 + (- 1 + 4)2 = œ9 + 9 = 3œ2

AB

28



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

2.3 a) F + = F + = A ;

b) O + = P ;

c) D + = A ;

d) A + = B ;

e) E + = E + = F ;

f) O + = O + = C .

3.

3.1 \\ |\2= \\ |\

2+ \\ |\

2

§ \\ |\2= 82 + 62

§ \\ |\2= 100

§ \\ |\ = 10 .

3.2 \\ |\2= \\ |\

2+ \\ |\

2

§ \\ |\2= \\ |\

2+ 52

§ \\ |\2= 100 + 25

§ \\ |\ =

§ \\ |\ = 5 .

3.3 \\ |\ = \\ |\ = \\ |\ = \\ |\

, por exemplo.

3.4 , por exemplo.

3.5 e por exemplo.

1. Pág. 120

Resposta: (B) .

2.

2.1 • = 2 0 2

• = +

=

• (verdade)

• = - = - 0 -

Resposta: (C) .

2.2 C + = G ; C - = G

»v =

Resposta: (B) .

1. Pág. 121

1.1

= .

1.2

= = .

1.3 -

= = .

1.4

= = .

1.5 = .EB«»ED«» + DB«»AC«»AB«»+ BC«»

AE«»+ EB«»+ AD«» = AB«»+ AD«»DB«»DA«» + AB«»

BA«»+ (- AD«») = AB«»+ DA«»BC«»BA«»+ AC«»

BA«»+ (AD«» + DC«»)AC«»

DC«» + AD«» = AB«»+ BC«»

GC«»GC«»CG«»

BC«»CB«»ED«»DE«»

GE«» =12

GC«»

12

AD«» + DE«» 0 AE«»12

AF«»=12

(AD«» + DF«») = 12

AD«» +12

DF«»

DE«»AD«»AE«»BA«»AB«»AC«»

AD«» - FB«»= AD«» + BF«»= AD«» + DH«» = AH«»AB«»- HG«» = AB«»- AB«»= 0»HF«»+ EA«»= HF«»+ FB«»= HB«»AB«»+ CG«» = AB«»+ BF«»= AF«»

FA«»GD«»

GD«»

CF«»GB«»CF«»ED«»AH«»

œ5AG«»œ125AG«»

AG«»EG«»AG«»

CG«»AC«»AG«»

EG«»EG«»EG«»

FG«»EF«»EG«»

OC«»FO«»EF«»CB«»

AB«»DA«»OP«»

FA«»DC«»1. , , , , Pág. 115

8 vectores

Resposta: (C) .

2. Resposta: (D) .

3. Não se define soma de um vector com um ponto.

Logo, A e D não são verdadeiras.

D + = D + = E

G + = G + = A

Resposta: (B) .

1. Pág. 116

1.1 a) [A , B] , [B , C] , [C , D] , [D , A] ,

[B , A] , [C , B] , [D , C] e [A , D] ;

b) [A , B] , [B , C] , [C , D] , [D , A] , [C , A] , [B , D] ,

[B , A] , [C , B] , [D , C] , [A , D] , [A , C] e [D , B] ;

c) , , , ;

d) , , , ,

.

1.2 a) \\ |\ = \\ |\ = 2,5 ;

b) \\ |\ = \\ |\ = * 3 = 1,5 ;

c) \\ |\2+ \\ |\

2= \\ |\

2

§ \\ |\2+ 1,52 = 2,52

§ \\ |\2+ 6,25 - 2,25

§ \\ |\ =

§ \\ |\ = 2

\\ |\ = 2 \\ |\ = 2 * 2 = 4 .

1.3 a) A + = B ;

b) O + = O + = C ;

c) D + = B ;

d) A + = O ;

e) O + = B ;

f) C + = A .

1.4 [D , C] , [A , B] , [D' , C'] e [A' , B'] .

2. Pág. 117

2.1 a) Seis ;

b) Por exemplo, e ;

c) \\ |\2+ = 32

\\ |\2=

\\ |\ = cm . -

2.2 A[ODE] = .

Ahexágono = 6 * .

Ahexágono = cm2 .27œ3

2

9œ34

=54œ3

4

\\ED«»||* \\OP«»||2

=3 *

3œ32

2=

9œ34

3œ32

OP«»

274

OP«»

1322

2

OP«»

OA«»EF«»

CA«»OB«»AO«»DB«»

OC«»AO«»AB«»

OC«»AC«»OC«»

œ4OC«»OC«»OC«»

CD«»DO«»OC«»

12

DB«»12

DO«»

DC«»BC«»DB«» , BD«» , AC«» e CA«»

CB«»= DA«»BC«»= AD«»BA«»= CD«»AB«»= DC«»CB«»= DA«»BC«»= AD«»BA«»= CD«»AB«»= DC«»

GA«»IC«»DE«»HI«»

AC«» , CA«» , DB«» e BD«»

DA«» = CB«»AD«» = BC«»BA«»= CD«»AB«»= DC«»

Capítulo 4

29



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

2.

2.1 3k»v = 15»v

3k = 15 § k = 5 .

2.2 5k (2k»u) = 9»u § (10k2)»u = 9»u

10k2 = 90 § k2 = 9 § k = 3 › k = - 3 .

3.

3.1 »a = - »b . 3.2 »e = - »f .

3.3 »g = - 2 »h . 3.4 - »c = - »d .

3.5 \\»b|\= 2,5 \\»a|\ . 3.6 \\»f |\= \\»i |\ .

1. »a = (- 1 , 3) ; »a = ; Pág. 126

A 1 (0 , 5) ; B 1 (x , y)

= B - A

(- 1 , 3) = (x , y) - (0 , 5)

B 1 (- 1 , 8)

Resposta: (B) .

2. »u = (2 , 3 - k) ; »v = (2k2 , 4)

»u = »v § 2 = 2k2 ‹ 3 - k = 4 §

§ k2 = 1 ‹ k = - 1 §

§ (k = - 1 › k = 1) ‹ k = - 1 § k = - 1

Resposta: (C) .

3. A (2 , - 1) ; B (- 1 , - 3)

P (x , y)

P - A = B - P

(x - 2 , y + 1) = (- 1 - x , - 3 - y)

Resposta: (A) .

4. Aresta do cubo = = 3

R 1 (3 , 0 , 0) ; T 1 (0 , 3 , 3)

= T - R = (- 3 , 3 , 3)

Resposta: (D) .

1. Pág. 127Vector Coordenadas Componentes

»a (3 , 1) 3»i e »j

»b (2 , 1) 2»i e »j

»c (0 , 3) 0»i e 3»j

»d (2 , - 1) 2»i e - »j

»e (- 2 , - 2) - 2»i e - 2»j

»f (- 3 , - 3) - 3»i e - 3»j

»g (- 3 , 0) - 3»i e 0»j

RT«»

œ3 27

P 112

, - 22

x =12

y = - 2

abc

§2x = 1

2y = - 4

abc

§x - 2 = - 1 - x

y + 1 = - 3 - y

abc

AP«»= PB«»

x = - 1

y = 8

abc

§x = - 1

y - 5 = 3

abc

§(- 1 , 3) = (x , y - 5)

AB«»

AB«»

34

12

23

25

2.

2.1 = (0 , - 1) =

( e têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmocomprimento).

2.2 Por exemplo:

e e e .

2.3 J (1 , 5) ; G (4 , 7) ; E (5 , 5) e C (5 , 3) .

2.4 = (1 , 1) ; = (1 , 1) ; = (2 , 1) ;

= (0 , - 3) e = (3 , 0) .

2.5 .

2.6 Por exemplo:

= (- 2 , 0) ; = (0 , - 2) ; = (- 2 , - 2) e = (5 , 6) .

3. = (- 10 , - 12) ; S (- 5 , 2) ; T 1 (x , y)

T - S =

(x , y) - (- 5 , 2) = (- 10 , - 12)

T 1 (- 15 , - 10) .

4.

4.1 a) A (0 , 3) ;

b) B (3 , 0) ;

c) C (0 , - 3) ;

d) D (- 3 , 0) .

4.2 a) = B - A = (3 , - 3) ;

b) = A - B = (- 3 , 3) ;

c) = C - A = (0 , - 6) ;

d) = D - C = (- 3 , 3) .

4.3 = (3 , 3) =

4.4 a) A + = A + = B = (3 , 0) ;

b) A + 2 = A + = C = (0 , - 3) .

5. Pág. 128

5.1

5.2

C (3 , 5) e D (5 , 2) ou

C' (- 3 , 1) e D' (- 1 , - 2)

AC«»OC«»AB«»DC«»

CB«»DA«»CD«»AC«»BA«»AB«»

x = - 15

y = - 10

abc

§x + 5 = - 10

y - 2 = - 12

abc

ST«»ST«»

OF«»EB«»IB«»IJ«»

BD«» = DE«»HF«»GD«»

AC«»BD«»JH«»

BD«»AC«» , JH«»ID«» , IF«»HI«»

FE«»BA«»FE«»BA«»

30



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

5.3 P (x , y)

= (- 1 , 3) ; Q 1 (- 1 , 5)

P - Q =

(x , y) - (- 1, 5) = (- 1 , 3)

P (- 2 , 8) .

5.4 Por exemplo:

Há uma infinidade de representações para »a , »b e »c .

6.

6.1 É um polígono com seis lados.

6.2 A (- 2 , - 1) ; B (1 , - 1) ; C (3 , 1) ;

D (2 , 3) ; E (- 1 , 3) e F (- 3 , 1) .

6.3 = B - A = (3 , 0) ;

= C - B = (2 , 2) ;

= D - C = (- 1 , 2) ;

= E - D = (- 3 , 0) ;

= F - E = (- 2 , - 2) ;

= A - F = (1 , - 2) ;

= F - A = (- 1 , 2) .

6.4 = (3 , 1) ; = (2 , 3) ; = (- 1 , 3) ;

= (- 3 , 1) ; = (- 2 , - 1) e = (1 , - 1) .

As coordenadas destes vectores são iguais às dos pontos C , D , E , F , A e B , respectivamente.

7.

7.1 As diagonais de um paralelogramo bissectam-se.

Logo, .

7.2 A + = A + = L .

7.3 a) M + = M + = O ;

b) A + = A + = M ;

c) ;

d) M + = M + = I .

1. = B - A = (0 , 4) - (3 , 2) = (- 3 , 2) Pág. 132

= D - C = (2 , - 2) - (- 4 , 0) = (6 , - 2)

= (- 3 , 2) + (6 , - 2) = (3 , 0)

Resposta: (C) .

2. A 1 (x , 0 , 0) , x > 0

B 1 (0 , y , 0) , y > 0

= B - A = (- x , y , 0) ; - x < 0 ‹ y > 0

Resposta: (C) .

AB«»

AB«»+ CD«»CD«»AB«»

AL«»MI«»(M + IL«») + MI«»= (M + MA«») + MI«»= A + AL«»= L

AM«»LI«»MO«»OL«»

AL«»MI«»AO«» = OI«»

OB«»OA«»OF«»OE«»OD«»OC«»

AF«»FA«»EF«»DE«»CD«»BC«»AB«»

x = - 2

y = 8

abc

§x + 1 = - 1

y - 5 = 3

abc

QP«»QP«»

3. A 1 (- 2 , 1) ; B 1 (1 , 3) ; C 1 (- 1 , - 2)

= C - B = (- 1 , - 2) - (1 , 3) = (- 2 , - 5)

= B - A = (1 , 3) - (- 2 , 1) = (3 , 2)

= (- 2 , - 5) - (3 , 2) = (- 5 , - 7)

Resposta: (C) .

4. As coordenadas do vector »u são negativas.

Logo, como k < 0 e »v = k»u , as coordenadasdo vector »v são positivas.

Resposta: (D) .

1. P 1 (2 , - 1) ; Q 1 (5 , - 2) ; Pág. 133

R 1 (3 , - 1) e S 1 (- 3 , - 1) .

1.1 Q + = R

Ponto R 1 (3 , - 1) .

1.2 = Q - P = (5 , - 2) - (2 , - 1) = (3 , - 1)

= S - R = (- 3 , - 1) - (3 , - 1) = (- 6 , 0)

= (3 , - 1) + (- 6 , 0) = (- 3 , - 1)

Vector (- 3 , - 1) .

1.3 = S - Q = (- 3 , - 1) - (5 , - 2) = (- 8 , 1)

3 = 3 (- 8 , 1) = (- 24 , 3)

R + 3 = (3 , - 1) + (- 24 , 3) = (- 21 , 2)

Ponto (- 21 , 2) .

1.4

= = P - S = (2 , - 1) - (- 3 , - 1) = (5 , 0)

Vector (5 , 0) .

2. A 1 ; B 1 ;

C 1 e D 1 (- 2 , - 3) .

P 1 (x , y) .

2.1 = (x , y)

= B - A = - =

(x , y) =

P 1 .

2.2 - = C - D = - (- 2 , - 3) =

= (x , y)

(x , y) =

P 1 .

2.3 ;

= P - A = (x , y) - =

= C - A = - =

=

P 1 . 1- 12

, 02

x = -12

y = 0

abc

§x + 3 =

52

y -12= -

12

adbdc

152

, -1221x + 3 , y -

122

AP«»= AC«»

152

, -1221- 3 ,

1221- 1

2 , 02AC«»

1x + 3 , y -1221- 3 ,

122AP«»

AP«»= AC«»AP«»= AB«»+ BC«»

132

, 32132

, 32OP«»

132

, 321- 12

, 02CD«» = DC«»

15 , -562

15 , -562

15 , -5621- 3 ,

12212 , -

132AB«»

OP«»

1- 12

, 0212 , -

1321- 3 ,

122

SP«»PP«»- PS«»= O» + SP«»

QS«»QS«»

QS«»

PQ«» + RS«»RS«»PQ«»

QR«»

BC«»- AB«»AB«»BC«»

31



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

2.4 = B - P = - (x , y) =

= C - A = - =

= D - B = (- 2 , - 3) - =

= - 2 = + =

=

=

P 1 .

3. »a = (- 3 , 0 , 1) ; »b = (0 , 0 , 2) e »c = (1 , 1 , 1) .

3.1 »u = »a + »b = (- 3 , 0 , 1) + (0 , 0 , 2) = (- 3 , 0 , 3) .

3.2 »v = 2 »b = 2(0 , 0 , 2) = (0 , 0 , 4) .

3.3 »w = 3 »c - b = 3(1 , 1 , 1) - (0 , 0 , 2) = (3 , 3 , 3) - (0 , 0 , 2) =

= (3 , 3 , 1) .

3.4 »t = 3 »a - 2 »c - 5 »b = 3(- 3 , 0 , 1) - 2(1 , 1 , 1) - 5(0 , 0 , 2) =

= (- 9 , 0 , 3) + (- 2 , - 2 , - 2) + (0 , 0 , - 10)

= (- 11 , - 2 , - 9) .

1. A 1 (- 2 , - 1) ; B 1 (- 1 , - 2) Pág. 137

M 1 e M 1 .

Resposta: (B) .

2. A 1 (- 1 , - 1 , - 1) ; B 1 (1 , 1 , 1)

O centro C é o ponto médio de [AB] .

C 1 ; C 1 (0 , 0 , 0)

Raio: r =

x2 + y2 + z2 = 3

Resposta: (C) .

3. A 1 (1 , 1 , 1) ;

Centro: C 1 (2 , 3 , 4)

= C - A = (1 , 2 , 3)

B = C +

= (2 , 3 , 4) + (1 , 2 , 3)

= (3 , 5 , 7)

Resposta: (B) .

4. A (2 , 0 , 3) ; B (- 1 , 2 , - 1)

= A - B = (3 , - 2 , 4)

\\ |\=

Resposta: (B) .

5. A 1 (2 , - 3) ; B 1 (- 1 , - k)

= B - A = (- 3 , - k + 3)

\\ |\=

\\ |\= 3 AB«»œ(- 3)2 + (3 - k)2 = œ9 + (3 - k)2AB«»

AB«»

œ32 + (- 2)2 + 42 = œ9 + 4 + 16 = œ29BA«»BA«»

AC«»AC«»

BC = œ12 + 12 + 12 = œ3

1- 1 + 12

, - 1 + 1

2 ,

- 1 + 12 2

1- 32

, -3221- 2 - 1

2 ,

- 1 - 22 2

1- 172

, -316 2

x = -172

y = -316

adbdc

§x = 2 -

212

y = -13-

296

adbdc

§2 - x =

212

-13- y =

296

adbdc

1212

, 296 212 - x , -

13- y2

PB«»= AC«» - 2 BD«»

1212

, 296 2

18 , 163 215

2 , -

1221- 4 , -

83215

2 , -

122AC«» - 2 BD«»

1- 4 , -83212 , -

132BD«»

152

, -1221- 3 ,

1221- 1

2 , 02AC«»

12 - x , -13- y212 , -

132PB«» § = 3

± 9 + (3 - k)2 = 9

§ (3 - k)2 = 0

§ 3 - k = 0

§ k = 3

Resposta: (B) .

1. Pág. 138

1.1 »a = (- 3 , 0)

\\»a|\ = = = 3 .

1.2 »b = (0 , - 5)

\\»b|\ = .

1.3 »c = (- 1 , 2)

\\»c|\ = = .

1.4 »d = (- 3 , 5)

\\»d|\ = = .

1.5 »e = (2 , - 1 , 2)

\\»e|\ = = = 3 .

1.6 »f =

\\»f |\ = = .

2.

2.1 A 1 (0 , 3) ; B 1 (3 , 0)

= B - A = (3 , - 3)

\\ |\= = 3 .

2.2 ; ;

= B - A =

\\ |\= = .

2.3 A 1 ; B 1 (1 , - 1 , 1)

= B - A =

\\ |\= =

= = .

3.

3.1 »u = (1 , 3) ; »v =

- 2 = (1 , 3)

São colineares: »u = - 2»v .

3.2 »u = (- 1 , 3) ; »v = (1 , - 3)

São colineares: »u = - 1»v .

3.3 »u = (6 , - 8) ; »v = (9 , - 12) ;

»u = k»v § (6 , - 8) = k (9 , - 12) §

§ (6 , - 8) = (9k , - 12k)

§ k =

São colineares: »u = »v .

3.4 »u = (0 , 0 , 0) ; »v = (4 , 6 , 9)

São colineares. O vector nulo é colinear com qualquer vector.

23

23

k =69

k =812

adbdc

§6 = 9k

- 8 = - 12k

abc

§

1- 12

, -322

1- 12

, -322

œ2107Œ210

49

Œ1137 2

2

+ 1 - 572

2

+ 1472

2

= Œ16949

+2549

+1649

AB«»

1137

, -57

, 472AB«»

1- 67

, -27

, 372

œ14Œ(Œ2)2 + (- 2Œ3)2 = œ2 + 12AB«»(œ2 , - 2 œ3)AB«»

B 1 (2 œ2 , - œ3)A 1 (œ2 , œ3)œ2œ32 + (- 3)2 = œ9 * 2AB«»

AB«»

œ6Œ(Œ2)2 + 02 + 22

(œ2 , 0 , 2)œ9œ22 + (- 1)2 + 22

œ34œ(- 3)2 + 52

œ5œ(- 1)2 + 22

œ0 + (- 5)2 = œ25 = 5

œ9œ(- 3)2 + 0

œ9 + (3 - k)2

32



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

CEXMA10-RES-3

4.

4.1 »a = (2 , x) ; »b = (20 , 30)

»a = k »b § (2 , x) = k (20 , 30)

x = 3 .

4.2 »a = (x , - 2) ; »b = (0 , 16)

»a = k »b § (x , - 2) = k (0 , 16) §

x = 0 .

4.3 »a = (5 , x) ; »b = (0 , 0)

Como »b é o vector nulo. »a e »b são colineares qualquer que seja ovalor de x .

4.4 »a = ; »b =

»a = k »b § = k

x = .

5.

5.1 A 1 (1 , 3) ; B 1 (2 , 4) ; C 1 (4 , 6)

= B - A = (1 , 1)

= C - B = (2 , 2)

= 2

Os vectores e são colineares.

Logo, os pontos A , B e C estão alinhados.

5.2 A 1 (2 , 0 , 1) ; B 1 (4 , 0 , 2) ; C 1 (- 2 , 0 , - 1)

= B - A = (2 , 0 , 1)

= C - B = (- 6 , 0 , - 3)

= - . Logo, os pontos A , B e C estão alinhados.

6. Pág. 139

6.1 = (1 , 3) e = (3 , 9) .

6.2 = B - A = (2 , 6)

\\ |\= = 2 .

6.3

7.

7.1 »v = (1 , 3)

»u = k »v § »u = (k , 3k)

\\»u|\ = 10

§ = 10

± k2 + 9k2 = 100

§ 10k2 = 100

§ k2 = 10 § k = - › k =

»u = ou »u = .(œ10 , 3œ10)(- œ10 , - 3œ10)œ10œ10

œk2 + (3k)2

r = 3 .§3 = r

9 = 3r

abc

§(3 , 9) = r (1 , 3)

OB«» = r OA«»œ10œ22 + 62 = œ40AB«»

AB«»OB«»OA«»

BC«»13

AB«»

BC«»AB«»

BC«»AB«»AB«»BC«»

BC«»AB«»

3œ35

k = -35

x =3œ3

5

adbdc

§- 3œ2 = 5kœ2x = - œ3k0 = 0

adbdc

§

(5œ2 , - œ3, 0)(- 3œ2 , x , 0)(5œ2 , - œ3, 0)(- 3œ2 , x , 0)

x = 0

k = -18

abc

§x = 0

- 2 = 16k

abc

§

k =110

x = 3

abc

§k =

110

x = 30 *110

adbdc

§2 = 20k

x = 30k

abc

§

7.2 »b =

»a = k»b § »a =

\\»a|\ = 10

§ = 10

± 4k2 + 16k2 + 5k2 = 100

§ 25k2 = 100

§ k2 = 4 § k = - 2 › k = 2

»a = ou »a = .

8.

8.1 = 4 ;

O hexágono não é regular ( , por exemplo).8.2 A 1 (2 , 0) ; F 1 (6 , 7)

= F - A = (4 , 7)

B 1 (6 , 0) ; D 1 (8 ; 3,5)

= D - B = (2 ; 3,5)

§ (4 , 7) = k (2 ; 3,5) §

§ (4 , 7) = (2k ; 3,5k) §

e têm a mesma direcção, pois = 2 .

8.3 a) = (8 , 0)

= (4 , 0)

= 2

k = 2 ;

b) = D - F = (8 ; 3,5) - (6 , 7) = (2 ; - 3,5)

= G - B = (2 , 7) - (6 , 0) = (- 4 , 7)

= -

k = - .

8.4 Por exemplo:

Ahexágono = 2 A[AGI] + A[ABFG]

= + 4 * 7 = 42 u. a.

9. A 1 (- 1 , 3) ; B 1 (2 , - 4) ; Q 1 (- 5 , 0)

P (3 , y) (P pertence à recta de equação x = 3)

= Q - P = (- 8 , - y)

= B - A = (3 , - 7)

= k

§ (- 8 , - y) = k (3 , - 7) § (- 8 , - y) = (3k , - 7k) §

P 1 .

10.

Logo, e são colineares (c.q.m.).DE«»BC«»BC«»= 2DE«»BC«»= 2(DA«» + AE«»)BC«»= 2DA«» + 2AE«»BC«»= BA«»+ AC«»

13 , -563 2

k = -83

y = -563

abc

§3k = - 8

- y = - 7k

abc

§

AB«»PQ«»AB«»PQ«»

2 *7 * 2

2

12

12

BG«»FD«»BG«»FD«»

GF«»HE«»GF«»HE«»

BD«»AF«»BD«»AF«»

k = 2 .§2k = 4

3,5k = 7

abc

§

AF«»= k BD«»BD«»

AF«»

AB 0 BD

BD = œ22 + 32 = œ13AB

(4 , 8 , - 2œ5)(- 4 , - 8 , 2œ5)

Œ(2k)2 + (4k)2 + (-Œ5k)2

(2k , 4k , - œ5k)(2 , 4 , - œ5)

33



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

11. (i) e , porque Pág. 140

[PQRS] é um paralelogramo;

(ii) , porque M e Nsão os pontos médios de [PS]e [QR] .

= =

= =

= =

= (c.q.m.).

12.

12.1 P 1 (5 , 3) ; Q 1 (4 , 7)

M 1 ; M 1 .

12.2 P 1 (- 1 , 9) ; Q 1 (8 , 9)

M 1 ; M 1 .

12.3 P 1 ; Q 1

M 1 ; M 1 .

12.4 P 1 (1 , 2 , 3) ; Q 1 (- 1 , 3 , 3)

M 1 ; M 1 .

12.5 P 1 (- 4 , 1 , 1) ; Q 1 (- 3 , - 2 , 2)

M 1 ; M 1 .

13.

13.1 B 1 (3 , 5) ; M 1 (6 , 3)

A = M + = (6, 3) + (3 , - 2) = (9 , 1)

A 1 (9 , 1) .

13.2 B 1 (0 , 0) ; M 1

A = M + = + =

A 1 .

13.3 B 1 (1 , - 1 , 0) ; M 1 (- 2 , 1 , 1)

A = M + = (- 2, 1 , 1) + (- 3 , 2 , 1) = (- 5 , 3 , 2)

A 1 (- 5 , 3 , 2) .

13.4 B 1 (3 , 4 , 5) ; M 1 (0 , 1 , 0)

A = M + = (0, 1 , 0) + (- 3 , - 3 , - 5) = (- 3 , - 2 , - 5)

A 1 (- 3 , - 2 , - 5) .

14.

14.1 A 1 (2 , 3) ;

B 1 (7 , 6) ;

C 1 (4 , - 4)

M1 1 ; M1 1 ;

M2 1 ; M2 1 .

14.2 = C - A = (2 , - 7) ;

= M2 - M1 = .

14.3 2 = 2 = (2 , - 7) = .AC«»11 , -722M1M2

«««»

11 , -722M1M2

«««»

AC«»

1112

, 1217 + 42

, 6 - 4

2 2192

, 92212 + 7

2 ,

3 + 62 2

BM«»

BM«»

(4 , 2œ2)(4 , 2œ2)(2 , œ2)(2 , œ2)BM«»

(2 , œ2)

BM«»

1- 72

, -12

, 3221- 4 - 3

2 ,

1 - 22

, 1 + 2

2 2

10 , 52

, 3211 - 12

, 2 + 3

2 ,

3 + 32 2

176

, 3221

23+

53

2 ,

12+

52

22153

; 2,52123

, 122

172

, 921- 1 + 82

, 9 + 9

2 2

192

, 5215 + 42

, 3 + 7

2 2

SN«»

SR«»+ RN«»RN«» + SR«»MP«» + PQ«»MQ«»

MP«» = RN«»

PQ«» = SR«»PS«»= QR«» 15. M 1 (4 , 3) ; N 1 (6 , 3) ; A 1 (2 , 2) Pág. 141

B = N + = (6 , 3) + (4 , 1) = (10 , 4)

B 1 (10 , 4)

D = M + = (4 , 3) + (2 , 1) = (6 , 4)

D 1 (6 , 4) .

C = D + 2 = (6 , 4) + 2 (4 , 1) = (6 , 4) + (8 , 2) = (14 , 6)

C 1 (14 , 6) .

16. M 1 (- 2 , 6) e C 1 (1 , 2) .

16.1 = C - M = (3 , - 4) ;

r = \\ |\= = 5 .

16.2 A = C + = (1 , 2) + (3 , - 4)

= (4 , - 2) .

16.3 N 1 (x , y)

= N - M = (x + 2 , y - 6)

= C - N = (1 - x , 2 - y)

=

(x + 2 , y - 6) = (1 - x , 2 - y)

(x + 2 , y - 6) =

N 1 .

17. A 1 (- 2 , 4 , - 3) e B 1 (1 , - 1 , 2) .

Centro: C 1

C 1

Raio; =

= =

=

Equação da superfície esférica:

.

18.

18.1 A 1 (1 , 1) ; B 1 (- 5 , 0) ; C 1 (2 , - 3)

M1 1 ; M1 1 ;

M2 1 ; M2 1 ;

M3 1 ; M3 1 ;

««»M1A = A - M1 =

P = M1 + ««»M1A =

=

=

««»M2B = B - M2 = 1- 132

, 121- 2

3 , -

232

1- 32

, -322 + 15

6 ,

562

1- 32

, -322 +

13

152

, 522

13

152

, 522

1- 2 , 12211 - 5

2 ,

1 + 02 2

132

, - 1211 + 22

, 1 - 3

2 21- 3

2 , -

3221- 5 + 2

2 ,

0 - 32 2

1x +122

2

+ 1y -322

2

+ 1z +122

2

=594

12

œ59

12

œ9 + 25 + 25

12

AB =12

œ(1 + 2)2 + (- 1 - 4)2 + (2 + 3)2

1- 12

, 32

, -122

1- 2 + 12

, 4 - 1

2 ,

- 3 + 22 2

1- 1 , 143 2

x = - 1

y =143

abc

§2x + 4 = 1 - x

2y - 12 = 2 - y

abc

§x + 2 =

1 - x2

y - 6 =2 - y

2

abc

11 - x2

, 2 - y

2 2

12

12

NC«»MN«»NC«»MN«»

MC«»

œ32 + (- 4)2MC«»MC«»

AN«»

AM«»

AN«»

34



CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

Q = M2 + ««»M2B =

=

=

««»M3C = C - M3 =

R = M3 + ««»M3C =

=

=

P = Q = R = .

18.2 .

1. Pág. 142

1.1 G é um ponto de abcissa e cota nulas e ordenada negativa que per-tence à superfície esférica:

G 1 (0 , b , 0) , b < 0 ;

(0 - 1)2 + (b - 1)2 + (0 - 1)2 = 11

§ 1 + (b - 1)2 + 1 = 11

§ (b - 1)2 = 9

§ b - 1 = 3 › b - 1 = - 3

§ b = 4 › b = - 2 ‚M

b < 0§ b = - 2

G 1 (0 , - 2 , 0) (c.q.v.).

1.2 B 1 (0 , 1 , 1) ; C 1 (0 , - 2 , 1) ; D 1 (1 , - 2 , 1) ;

E 1 (1 , 1 , 0) ; F 1 (0 , 1 , 0) e H 1 (1 , - 2 , 0) .

1.3 a) = E - C = (1 , 3 , - 1) ;

b) = B - D = (- 1 , 3 , 0) .

1.4 = F - D = (- 1 , 3 , - 1)

= (0 , 1 , 1)

- 3 = (- 1 , 3 , - 1) - 3 (0 , 1 , 1) =

= (- 1 , 3 , - 1) + (0 , - 3 , - 3)

= (- 1 , 0 , - 4)

\\ - 3 |\= = .

1.5 = E - G = (1 , 1 , 0) - (0 , - 2 , 0)

= (1 , 3 , 0)

»u = k = k (1 , 3 , 0) = (k , 3k , 0)

\\»u|\= 2

§ = 2

± k2 + 9k2 = 40

§ 10k2 = 40

§ k2 = 4 § k = - 2 › k = 2

»u = (2 , 6 , 0) ou »u = (- 2 , - 6 , 0) .

1.6 H 1 (1 , - 2 , 0) ; B 1 (0 , 1 , 1)

Centro 1

Raio: r = =

=12

œ1 + 9 + 1 = œ112

12

HB =12

œ12 + ( - 2 - 1)2 + 12

112

, - 2 + 1

2 ,

122 = 11

2 , -

12

, 122

œ10œk2 + (3k)2

œ10

GE«»GE«»GE«»

œ17œ(- 1)2 + 0 + (- 4)2OB«»DF«»

OB«»DF«»OB«»DF«»

DB«»CE«»

1- 23

, -232

1- 23

, -232

1- 23

, -232

1- 2 , 122 + 14

3 , -

762

1- 2 , 122 +

13

14 , -722

13

14 , -722

1- 23

, -232

132

, - 12 + 1- 136

, 132

132

, - 12 + 13

1- 132

, 1213

.

1.7 a) = 3 ; = 1 ; = 1

Vparalelepípedo = * * = 3 * 1 * 1 = 3

Vpirâmide = * altura

= * 3 * 1 * (c - 1) = c - 1

Vsólido = 3 + (c - 1) = 2 + c ;

b) Vpirâmide = 4 * Vparalelepípedo

c - 1 = 4 * 3

c = 13 .

2. A 1 (2 , 3 , 10) ; B 1 (10 , 13 , 25) Pág. 143

C 1 (98 , 123 , 190) .

2.1 = B - A = (8 , 10 , 15)

= C - B = (88 , 110 , 165)

= 11 *

e são colineares. Logo, A , B e C estão alinhados, oque significa que o projéctil segue em trajectória rectilínea, logo oalvo é atingido.

2.2 a) = C - A = (96 , 120 , 180)

\\ |\= ) 237

\\ |\) 237 u. c. < 300 u. c.

b) = (88 , 110 , 165)

\\ |\=

\\ |\- \\ |\=

=

= ) 19,7 u. c.

2.3 a) M 1

M 1 (50 , 63 , 100) ;

b) = (8 , 10 , 15)

= (48 , 60 , 90)

= k § (8 , 10 , 15) = (48k , 60k , 90k)

§ 48k = 8 ‹ 60k = 10 ‹ 90k = 15

§ k = .

2.4 A 1 (2 , 3 , 10) ; B 1 (10 , 13 , 25)

P 1 (x , y , z)

§ (x - 10)2 + (y - 13)2 + (z - 25)2 = (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z - 10)2

§ - 20x + 100 + - 26y + 169 + - 50z + 625 =

= - 4x + 4 + - 6y + 9 + - 20z + 100

§ - 16x - 20y - 30z + 781 = 0

§ 16x + 20y + 30z - 781 = 0 .

2.5 D 1 (0 , y , 0)

D pertence ao plano mediador de [AB] pois é equidistante de Ae B .

16 * 0 + 20y + 30 * 0 - 781 = 0 §

§ 20y = 781

§ y = 39,05

D 1 (0 ; 39,05 ; 0)

z2y2x2

z2y2x2

BP«»= AP«»

16

AM«»AB«»AM«»AB«»

198 + 22

, 123 + 3

2 ,

190 + 102 2

œ389

12 œ389 - 11 œ389

œ56 016 - œ47 069BC«»AC«»œ882 + 1102 + 1652 = œ47 069BC«»

BC«»

AC«»œ962 + 1202 + 1802 = œ56 016AC«»

AC«»

BC«»AB«»AB«»BC«»

BC«»AB«»

13

13* DA * AB

EAEFHE

EAEFHE

1x -122

2

+ 1y +122

2

+ 1z -122

2

≤114

35



EX

MA

10 ©

Por

to E

dito

ra

1. A (- 3 , 0) ; B (1 , 5) Pág. 149

1.1 a) = B - A = (4 , 5)

AB : (x , y) = (- 3 , 0) + k (4 , 5) , k å R (por exemplo);

b) A.B : (x , y) = (- 3 , 0) + k (4 , 5) , k å R0+ (por exemplo);

c) [AB] : (x , y) = (- 3 , 0) + k (4 , 5) , k å [0 , 1] (por exemplo).

1.2 AB : (x , y) = (- 3 , 0) + k (4 , 5) , k å R ; C (- 2 , 6)

(- 2 , 6) = (- 3 , 0) + (4k , 5k) , k å R

O sistema é impossível. C não pertence a AB .

1.3 AB : (x , y) = (- 3 , 0) + k (4 , 5) , k å R ;

= (- 3 , 0) + (4k , 5k) , k å R

= (- 3 + 4k , 5k) , k å R

.

2.

2.1 (x , y , z) = (1 , 1 , 1) + k (1 , 0 , 0) , k å R (por exemplo).

2.2 A (1 , 2 , 3) ; = (1 , 2 , 3)

(x , y , z) = (0 , 0 , 0) + k (1 , 2 , 3) , k å R (por exemplo).

2.3 A (1 , 2 , 3) ; B (4 , 0 , 2)

= B - A = (3 , - 2 , - 1)

(x , y , z) = (1 , 2 , 3) + k (3 , - 2 , - 1) , k å R (por exemplo).

3. A (1 , 0 , 0) ; B (1 , 1 , 2) ; C (0 , 0 , 1)

M1 ;

M1

««»AM1 = M1 - A =

m1 : (x , y , z) = (1 , 0 , 0) + k , k åR (por exemplo).1- 12

, 12

, 322

1- 12

, 12

, 322

112

, 12

, 322

11 + 02

, 1 + 0

2 ,

2 + 12 2

AB«»

OA«»

x = -4915

x = -4915

k = -115

abc

§x = - 3 -

415

k = -1

15

abc

§x = - 3 + 4k

-13= 5k

abc

1x , -132

1x , -132

P 1x , -132

k =14

k =65

abc

§, k å R- 2 = - 3 + 4k

6 = 5k

abc

AB«»

1. P 1 (0 , 5 , 4) ; Pág. 148

Q 1 (3 , 5 , 0)

= Q - P = (3 , 0 , - 4)

PQ : (x , y , z) = (3 , 5 , 0) + k (3 , 0 , - 4) , k å R

Resposta: (C) .

2. Plano xOz : y = 0

(x , y , z) = (- 1 , 2 , 0) + k (2 , - 1 , 3) , k å R ‚M

y = 0(x , 0 , z) = (- 1 , 2 , 0) + (2k , - k , 3k) , k å R

(x , 0 , z) = (- 1 + 2k , 2 - k , 3k) , k å R

Logo, P 1 (3 , 0 , 6)

Resposta: (D) .

3. T 1 (2 , 0 , 2) ; P 1 (2 , 0 , 0)

= P - T = (0 , 0 , - 2)

A recta TP tem a direcção do eixo Oz .

Qualquer vector colinear com (0 , 0 , 1) é um vector director da

recta TP .

T 1 (2 , 0 , 2) pertence à recta.

(x , y , z) = (2 , 0 , 2) + k (0 , 0 , 3) , k å R é uma equação de TP .

Resposta: (B) .

4. r : (x , y , z) = (1 , 3 , 0) + k (2 , - 3 , 1) , k å R

r : (x , y , z) = (1 , 3 , 0) + (2k , - 3k , k) , k å R

r : (x , y , z) = (1 + 2k , 3 - 3k , k) , k å R

Ponto (2 , - 3 , 1)

(2 , - 3 , 1) = (1 + 2k , 3 - 3k , k) , k å R

O sistema é impossível. O ponto não pertence a r .

Ponto (5 , 9 , 2)

(5 , 9 , 2) = (1 + 2k , 3 - 3k , k) , k å R

O sistema é impossível. O ponto não pertence a r .

Ponto (3 , 0 , 1)

(3 , 0 , 1) = (1 + 2k , 3 - 3k , k) , k å R

O ponto pertence à recta r .

Resposta: (C) .

§ k = 1

k = 1

k = 1

k = 1

abc

§

3 = 1 + 2k

0 = 3 - 3k

1 = k

abc

k = 2

k = - 2

k = 2

abc

§

5 = 1 + 2k

9 = 3 - 3k

2 = k

abc

Sistema impossível

1k = –– 2

k = 2

k = 1

adbdc

§

2 = 1 + 2k

- 3 = 3 - 3k

1 = k

adbdc

TP«»

x = 3

k = 2

z = 6

abc

§

x = - 1 + 2k

0 = 2 - k , k å R

z = 3k

abc

PQ«»

Capítulo 5



36

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora

37

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



4.1 Seja a a aresta do cubo.

As coordenadas de D , B , e H em função de a são:

Como os três pontos pertencem ao plano de equação x + y = 10tem-se:

D 1 (a , 0 , a)a + 0 = 10 x = a e y = 0

a = 10

Logo,

D (10 , 0 , 10) , B (0 , 10 , 10) e H ( 5 , 5 , 0).

4.2

DH: (x , y , z) = (10 , 0 , 10) + k (– 5 , 5 , – 10) , k ∈ R (p. e.).

4.3 O (0 , 0 , 0) ; G (0 , 10 , 0)

A (0 , 0 , 10)

AI : (x , y , z) = (0 , 0 , 10) + k (0 , 5 , – 10) , k ∈ R (p. e.).

1. ur

= (3 , – 2) é um vector director de uma recta r Pág. 154

se o declive de r for m = .

Logo, ur

= (3 , – 2) não é um vector

director de r.

I é falsa.

A (2 , 5) ; B (– 1 , 0)

II é verdadeira.

Resposta: (D).

2. Atriângulo = 4

B 1 (4 , 0) e A (0 , 2) são pontos da recta r .

Resposta: (D). m =

2 – 00 – 4

= –12

.

OB OA OBOB

2= 4

22

= 4 = 4× ⇔ × ⇔

m =

0 – 5– 1 – 2

=53

O declive de é –

32

r .

r y x y x y: 2 + 3 = 5 2 = – 3 + 5 = –

32

⇔ ⇔ xx +52

–

23

AI I A"

= – = (0 , 5 , – 10)

I I0 ,

0 + 102

, 0 ; (0 , 5 ,

00)

DH H D"

= – = (– 5 , 5 , – 10)

¡

D a a B , a a, , ; , e1 10 0( ) ( ) HH

a a2

,2

, 01

.

M M2 21 + 0

2, 0 ,

0 + 12

;12

,

0 ,12

= – =12

, – 1

BM M B22

"– , –

32

: ( , , ) = (1 ,

m x y z2 11 , 2) + –12

, – 1 , –32

,k k

,

∈

+

R (p. e.);

1 + 12

,0 + 1

2M3

0 222

3

; 1 ,12

, 1

=

M

CM M

3

"

33

3

C

m x y

– = 1 ,12

, 0

: ( , ,

) = (0 , 0 , 1) + 1 ,12

, 0z k

, (p. e.).k ∈R

3. mr > mt > ms

mt > ms ⇔ mt – ms > 0

Resposta: (C) .

1. A (3 , 5) , B (– 2 , 1) , C (– 5 , 2) Pág. 155

1.1 a)

b)

c)

1.2

1.3

1.4

2. C 1 (1 , 2)

2.1 Raio da circunferência

r OC

x y

= = 1 + 2 = 5

– 1 + – 2 = 5

2 2

2 2( ) ( ) .

AC C A

mt

"– – , –

; ,

= = ( )=

8 3

38

1 00

038

1

( )= +

= × + ⇔

∈:

t

t y mx b

b b –

: – .

=

=

38

38

38

t y x

A C

M

3 , 5( ) ( ); – ,

–,

5 2

3 52

5 ++

=

; – ,

:

22

172

M

s y

–

–

mx b

M s b

m

+=

= × ( )∈ e 2

72

1 –

– – –

: –

2

72

2112

1

m m

s y

= ⇔ =

= 112

2– .x

r y mx b

m r

: = +

= –12

; – 2 , 1

1

( ) ∈

= –12

– 2 +

= 0

: = –12

× ( ) b

b

r y x .

m

y

BC =2 – 1

– 5 + 2=

1– 3

= –13

– 1 = –13

+ 2 = –13

–23

+ 1

= –1

x y x

y

( ) ⇔

⇔33

+13

x .

m

y

AC =2 – 5

– 5 – 3=

– 3– 8

=38

– 5 =388

– 3 =38

–98

+ 5

=38

+3

x y x

y x

( ) ⇔

⇔ 118

;

m

y

AB =1 – 5

– 2 – 3=

– 4– 5

=45

– 5 =455

– 3 =45

–125

+ 5

=45

+

x y x

y x

( ) ⇔

⇔ 1135

;

38

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



1. Pág. 159

r : (x , y , z) = (1 , 0 , 0) + k (2 , 1 , – 3) , k ∈ R

Se r e AB são paralelas os vectores rr

= (2 , 1 , – 3)

Logo, m = – 1

Resposta: (B).

2.

A intersecção de α com E é o ponto de coordenadas (0 , 4 , 0).

Resposta: (A).

3. r : y – x = 6 ⇔ y = x + 6 ; mr = 1

a : y = – x + 3 ; ma = – 1 0mr

b : (x , y) = (– 1 , 1) + k (– 2 , 2) , k ∈ R

0mr

r e c são paralelas não coincidentes (as ordenadas na origem sãodiferentes); r e c são estritamente paralelas.

Resposta: (C).

4. P (3 , – 1)

r : (x , y) = (2 , 0) + k (– 2 , 3) , k ∈ R

A recta pedida passa em P e tem declive :

Resposta: (D).

y x y x+ 1 = –32

– 3 = –32

+92

– 1( ) ⇔ ⇔

yy x= –32

+72

–

32

mr =

3– 2

= –32

cx y

x y:– 32

=– + 1

– 2– 3 = – 1⇔ ⇔

–⇔ =y x 2

mcc rm= 1 = .

mb =

2– 2

= – 1

y

x y z

y

x

= 4

+ – 2 + = 4

= 42 2 2( )

⇔

22 2 2

2

+ 4 – 2 + = 4

= 4

+

( )

⇔

z

y

x z22 = 0

= 4

= 0 = 0

⇔

y

x z‹

e = – 2 , , 3 são colineares:AB m"

( )AB r

m

"=

– 2 , , 3 = 2 ,

λ

λ( ) 11 , – 3

– 2 = 2

=

3 = – 3( ) ⇔

⇔λ

λλ

m

λλ

λ

= – 1

=

= – 1

m

AB m"

= – 2 , , 3( )2.2 Determinemos os pontos da circunferência pertencentes à recta de

equação x = – 1 :

Logo, A (– 1 , 1) e B (– 1 , 3) .

A (– 1 , 1) ; C 1 (1 , 2)

2.3 Seja P (x , y) um ponto da mediatriz de [AC] :

2.4 Trata-se da recta CD , sendo

3.1

3.2 Por exemplo: (2 , 1) e (– 1 , 3) .

3.3

x y= 2 = –23

2 +73

= –43

+73

= 1 ;⇒ ×

xx y= – 1 = –23

(– 1) +73

=23

+73

⇒ × = 3 .

x yx

– 23

–1 –

2= 0 2 ( – 2) – 3 (

(2) (3)

⇔ 11 – ) = 0

2 – 4 – 3 + 3 = 0

3 = –

y

x y

y

⇔

⇔⇔ 22 + 7

= –23

+73

x

y x⇔ .

mCD =

32

– 2

0 – 1=

–12

– 1=

12

C D1 , 2 e 0 ,

32

( )

.

AP CP

x y x y

=

+ 1 + – 1 = – 1 + –2 2 2( ) ( ) ( ) 2

+ 2 + 1 + – 2 + 1 = – 2 +

2

2 2 2

( )x x y y x x 1 + – 4 + 4

– 2 + 4 = – 2 – 2 + 4

2y y

y y x x –– 1

2 = – 4 + 3

= – 2 +

y x

y x32

.

m

AC y x

AC =2 – 11 + 1

=12

: – 1 =12

+ 1(( ) ⇔ y x

y x

=12

+12

+ 1

=12

+322

.

x

x y

x= – 1

– 1 + – 2 = 52 2( ) ( )

⇔

= – 1

– 1 + – 2 = 52 2

– 1( ) ( )

⇔

⇔

y

xx

y

x

y

= – 1 = – 12

– –2 1 2( ) =

⇔

== =

⇔

⇔=

– –1 2 1

3

›

›

y

x

y

= – 1

y

x

y

x

=

⇔=

1 3

= – 1 = –›

11

y = 1

»

39

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XM

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© P

orto

Edi

tora



5.

Intersecção de r com s :

Recta AB

Resposta: (C).

1. A 1 (– 2 , 3) ; B 1 (1 , – 1) Pág. 160

1.1

As rectas são paralelas.

1.2

2.1

As rectas s e t são concorrentes, intersectam-se no ponto de coor-

denadas (x , y) = .

2.2

0

As rectas são estritamente paralelas. –

32

m mr s= e –15

r y x y x y: – 5 – 1 = – – 5 = – + 1 =⇔ ⇔ 115

–15

: 2 =25

– 3 =15

–32

x

s y x y x⇔

79

13

,

s x y y x y: 3 + 2 = 3 2 = – 3 + 3 =⇔ ⇔ ––32

+32

: = 3 – 2

= 3 – 2

= –3

x

t y x

y x

y22

+32

= 3 – 2

3 – 2 = –32

x

y x

x x

⇔

++32

= 3 – 2

6 – 4 = – 3 + 3

⇔

y x

x x

⇔

⇔

⇔y x

x

y= 3 – 2

9 = 7

=13

xx =79

s kx y y kx: 3 – – 2 = 0 2 = – + 3⇔ ⇔ yyk

x

mk

m mk

s

s AB

= –2

+32

= –2

= –2

=⇔ –43

=83

⇔ .k

r y x y x mr: 3 = – 1 – 4 = –43

–13

;⇔ == –43

= – = 3 , – 4

=– 43

=

AB B A

mAB

"( )

mr

m

y x

AB =2 +

14

1 +34

=

9474

=97

– 2 =97

–– 1 =97

–97

+ 2 =97

( ) ⇔ ⇔y x y x +57

x y

x y

y x+ + 1 = 0

3 – + 2 = 0

= – –

⇔1

3 – – – 1 + 2 = 0

= – – 1

x x

y x

( )

⇔

4 = – 3

= –14

= –34

x

y

x

⇔

⇔

; B

A

–34

, –14

(1 , 2)

r x y

sx k

y k

: + + 1 = 0

:= 1 –

= 5 – 3

⇔=

∈

–,

– 1 = –

– 53

kx k

yk

R ,,

: – 1 =– 53

3 – 3 = –

k

s xy

x y

∈

⇔

R

5 3 – + 2 = 0⇔ x y

2.3

As rectas r e s são concorrentes, intersectam-se no ponto de

coordenadas (x , y) = .

3. r : 2x + 11y – 49 = 0s : 3x + 4y – 11 = 0t : 4x – 3y + 2 = 0

3.1 Ponto A : r ∩ s

A (– 3 , 5) ;Ponto B : t ∩ s

B (1 , 2) ;Ponto C : t ∩ r

Ponto D

3.2

t x y y x y: 4 – 3 + 2 = 0 3 = 4 + 2⇔ ⇔ ==43

+23

= (3 , 4) é um

x

d tt ;= 43

vvector director de

: , = – 3

t

t x y' ( ) ,, 5 + 3 , 4 (por exemplo)( ) ( ) ∈k k, R ..

BC C B

D A BC

"

"

= – =32

, 2

= + = –

33 , 5 +32

, 2 = –32

, 7( )

DD –32

, 7

.

4 – 3 + 2 = 0

2 + 11 – 49 = 0

x y

x y

⇔×4

– 11 + 492

– 3 + 2 = 0

=– 11 + 4

yy

xy 992

– 22 + 98 – 3 + 2 = 0

=

⇔

⇔y y

x–– 11 + 49

2

– 25 = – 100

=– 1y

y

x

⇔ 11 + 49

2

= 4

=52

52

y

y

x

C

⇔

,, 4

;

4 – 3 + 2 = 0

3 + 4 – 11 = 0

=x y

x y

x

⇔

33 – 24

33 – 2

4+ 4 – 11 = 0

y

yy×

⇔

⇔x

y

y y

=3 – 2

49 – 6 + 16 – 44 = 0

⇔

⇔

xy

y

x=3 – 2

425 = 50

= 11

= 2y

2 + 11 – 49 = 0

3 + 4 – 11 = 0

x y

x y

x

⇔=

– 11 + 492

– 11 + 492

4 – 11 =

y

yy3 × + 00

=– 11 + 49

2– 33 + 147 +

⇔

⇔x

y

y 8 – 22 = 0

=– 11 + 49

2–y

xy

⇔

225 = – 125

= – 3

= 5y

x

y

⇔

27

, –137

r x y

s x y

x y

: 5 – 3 = 7

: 3 + = – 1

5 – 3 = 77

3 + = – 1

5 – 3 – 1 – 3 = 7

x y

x x

⇔( )

= – 1 – 3

14 = 4

= – 1 – 3y x

x

y

⇔

xx

x

y

x

⇔

⇔=

=

⇔– –

27

167

==27

= –137

y

»

40

CE

XM

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© P

orto

Edi

tora



Pág. 161

5.1 O (0 , 0 , 0) ; D (0 , – 4 , 0) ; A (3 , – 4 , 0) ; B (3 , 0 , 0)

G (0 , 0 , 2) ; H (0 , – 4 , 2) e F (3 , 0 , 2) .

5.2

5.3

6.1 2x + y – 2 > 0 ‹ x – y + 2 ≥ 0 ⇔

y > – 2x + 2 ‹ y ≤ x + 2 .

6.2 (x – 2)2 + (y + 3)2 ≤ 4 ‹ y ≥ – x .

7.1

Recta com 0 , 5 e – 4 , 6BC B C( ) ( )mm

BC y x

BC =6 – 5

– 4 – 0= –

14

: = –14

+ 55 .

54

+ 5 –14

+ 5 .y x y x< ‹ >

Recta com – 4 , 0 e 0 , 5AB A B( ) ( )mm

AB y x

AB =5 – 00 + 4

=54

: =54

+ 5 .

x y = x + 2

0– 2

20

x y = – 2x + 2

01

20

Por exemplo:

= 0 + 2 = 0 , 0 , 0 +P OA"

( ) 22 3 , – 4 , 0 = 6 , – 8 , 0 .( ) ( )

AG G A

AG x y

"= – = – 3 , 4 , 2

: , ,

( )= 3 , – 4 , 0 + – 3 , 4 , 2z k( ) ( ) ( )) ∈, (p. e.) .k R

3.3

3.4

3.5 r ∩ BD :

4.

4.1

4.2

4.3

4.4

PR R P

mPR

"= – = 1 , 3 2 – 2

=3 2 – 2

1=

( ) .

3 2 – 2

: – 2 = 3 2 – 2 + 1PR y x( ) ( ) ⇔ yy x

PR y

= 3 2 – 2 + 3 2 – 2 + 2

: = 3 2 – 2

( )(( ) x + 3 2 .

RQ Q R

T R

"= – =

12

, – 3 – 3 2

= –

.

2 = 0 , 3 2 – 212

, – 3 – 3 2RQ" ( )

( )= 0 , 3 2 ++ –2

2, 3 2 + 6

= –2

2, 6 2 + 6

–2

2, 6

T 22 + 6

.

R R' tem a mesma abcissa que e ordenada siimétrica:

' 0 , – 3 2R ( ) .

M

M

– 1 +12 ;

–14

,

22 3

2,

–

–12

.

P R Q– 1 , 2 ; 0 , 3 2 e

12

, – 3( ) ( )

.

r x y

mBD –

: 2 + 11 – 49 = 0

=5

–52

= 52×55

= – 2

: – 2 = – 2 – 1

( ) ⇔BD y x y x

y x

x y

= – 2 + 4

= – 2 + 4

2 + 11 – 49 = 0

⇔ ( )y x

x x

= – 2 + 4

2 + 11 – 2 + 4 – 499 = 0

= 2 + 4

2 – 22 + 44 –

⇔

⇔y x

x x 49 = 0

= – 2 + 4

– 20 5

⇔

⇔y x

x =

,

y

x

x y

=92

= –14

–14

,

( ) = 992

.

B D

BD

1 , 2 ; –32

, 7

= –52

( )

",, 5

: , = 1 , 2 +

( ) ( )BD x y k ––52

, (por exemplo) ., 5

∈k R

s x y y x: 3 + 4 – 11 = 0 4 = – 3 + 11⇔ ⇔ = –34

+114

= = –34

52

, 4

s

y x

m m

C

s'

∈ '

' : – 4 = –34

–52

s

s y x = –34

+158

+ 4

' : = –34

+4

⇔ y x

s y x778

.

41

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Edi

tora



7.2

(y ≥ – x + 7 ‹ x ≤ 2) › (y ≤ – x + 7 ‹ 2 ≤ x ≤ 7) .

7.3

Circunferência de centro na origem e raio 2.

x2 + y2 = 4

x2 + y2 ≥ 4‹ y ≤ + 2‹ y ≥ – 2‹ x ≤ 0 .

7.4

(x – 3)2 + (y + 1)2 ≥ 5 ‹ y ≥ 0 ‹ 1 ≤ x ≤ 5 ‹ y ≤ x + 3 ‹ y ≤ – x + 9.

1.1 a) r1 passa em (0 , 4) e (2 , 5) Pág. 162

mr1=

r1 :

b) r2 passa em (– 1 , 0) e (0 , – 3)

mr2=

r2 : y = – 3x – 3 ;

c) r3 passa em (6 , 0) ;mr3

= – 3r3 : y – 0 = – 3 (x – 6)r3 : y = – 3x + 18 .

1.2

A r r

y x

y x

=

=12

+ 4

= – 3 – 3

1 ∩

⇔

2

=12

+ 4

– 3 – 3 =12

+ 4

y x

x x

⇔=

12

+ 4

– 6 – 6 = + 8

=12

y x

x x

y x

+ 4

7 = – 14

= 3

= – 2x

y

x

⇔

.A – 2 , 3( )

– 3 – 00 + 1

= – 3

y x=

12

+ 4 ;

5 – 42 – 0

=12

Circunferência de centro 3 , – 1 e rF ( ) aaio

3 , – 1 1 , 0

r FD

F D

r

;

=

( ) ( )= 11 – 3

– 3

( ) + +( ) = + =

( ) +

2 2

2

0 1 4 1 5

x yy +( ) =1 52

Recta com 3 , 6 e 5 , 4AB A B

m

( ) ( )==

– 4 = – 1 – 5

4 65 3

1––

–=

( ) ⇔y x yy x= – + 9

Recta com 1 , 4 e 3 , 6EA E A

mE

( ) ( )

AA

EA y x

=

: – 4 = 1 – 1

6 43 1

1––

=

( ) ⇔ y x= + 3

–

27

x

27

x

Recta com – 7 , 0 e 0 , – 2AC A C( ) ( ))=m

y x

AC =– 27

= –27

– 2

–27

Recta com – 7 , 0 e 0 , 2AB A B

m

( ) ( )

AAB

AB y x

=

: =27

+ 2

27

Recta com 7 , 0 e 0 , 7AB A B

mA

( ) ( )

BB

AB y x

=7

– 7–

: –

=

= +

1

7

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7 O conjunto de pontos equidistantes de A e C é a mediatriz de

[AC] . Seja P (x , y) um ponto desta recta:

A recta AB é a recta r1 . Logo, o ponto pedido é a intersecção da

mediatriz de [AC] como r1 :

16 6 23 0

12

4

16x y

y x

x– – –=

= +

⇔

–612

4 23 0

12

4

x

y x

+

=

= +

– – –16 3 24 23 0

12

4

x x

y x

=

= +

⇔⇔

=

= +

⇔

=13 47

12

4

4713

x

y x

x

y =

⇔

⇔ ( )

15126

, =4713

,15

x y11

26

.

AP CP

x y x y

=

+ 2 + – 3 = – 6 +2 2 2⇔ ( ) ( ) ( ) 22

2 2 2+ 4 + 4 + – 6 + 9 = – 12 +⇔ x x y y x x 336 +

16 – 6 + 13 – 36 = 0

16 – 6

2y

x y

x y

⇔

⇔ –– 23 = 0

A C

M

– 2 , 3 ; 6 , 0

– 2 + 62

,3

( ) ( )

++ 02

2 ,32

M .

AB B A"

= – = 4 , 6 – – 2 , 3 = 6 ,( ) ( ) 33

= – = 6 , 0 – 0 , – 3 =

( )( ) ( )

;

DC C D"

66 , 3

Como = , é um

( )

;

AB DC ABCD" "

paralelogramo.

C D

mCD

6 , 0 , 0 , – 3

=0 + 36 – 0

( ) ( )

=12

: =12

– 3 .CD y x

B r r

y x

y x

=

=12

+ 4

= – 3 – 18

1 ∩

⇔

3

=12

+ 4

12

+ 4 =

y x

x x– 3 18+

⇔yy x

x x

y x

=12

+ 4

+ 8 =

=12

– 6 36+

++ 4

7 = 28

= 6

= 4

4 , 6

x

y

x

B

⇔

(( ) .

1.8

Pág. 163

2.1 Centro (2 , 0) ; raio: 2

(x – 2)2 + y2 = 4 .

2.2 Centro (0 , 0) ; raio: 4

x2 + y2 = 16 .

2.3

A A A

A A

laranja 2 3

2 2

= – 2

= – 2 –

= 2 –1

1 2

A

A A

( )

= 2 – 4

– = 2 – 4 (c.laranja verde

ππA A q. m.) .

A

A

A

1

22

verde

= 2 = 4

=14

= × =

×

14

22π π

π 44 – 2 –

= 4 – 2 – 4

21 2A A

π π= 2 – 4π

y x r

y x

=12

+ 4 define

= – 3 – 3 define

1

rr

x y

22 2+ 1 + = 16 é a circunferência d( ) ee centro no ponto de

coordenadas – 1 , 0( )) e raio 4.

2.4

2.5

2.6 [(x – 2)2 + y2 ≤ 4 ‹ x2 + (y – 2)2 ≤ 4] › [(x – 2)2 + y2 ≥ 4 ‹‹ x2 + (y – 2)2 ≥ 4 ‹ x2 + y2 ≤ 16 ‹ x ≥ 0 ‹ y ≥ 0] .

2.7 a)

b) [PQRS] é um quadrado

<2 = 42 + 42

<2 = 32

A = 32 u.a.

Intersecção com o eixo

+ = 16

= 0

2 2

Oy

x y

x

⇔

= – 4 = 4

= 0

Inter

y y

x

›

ssecção com o eixo

+ = 16

= 0

2 2

Ox

x y

y

= – 4 = 4

= 0

4 , 0

⇔

( )

x x

y

P

›

, 0 , 4 , – 4 , 0 e 0 , –Q R S( ) ( ) 4( ) .

Centro de : 0 , 0

Centro de :1

2

C O

C V

( )2 , 0

= 2 , 0

, = 0 , 0

( )( )

( ) ( )OV

x y

"

+ 2 , 0 , (p. e.).k k( ) ∈R

Centro de : 2 , 0

Centro de : 02

3

C

C

( ), 2

=2

– 2= – 1

– 2 = –1 = –

( )

⇔

m

y x y x + 2 .

42

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XM

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© P

orto

Edi

tora



1.3 [0 , 3] ; [4 , 7] e [10 , 11].

1.4 240 km/h.

1.5 A velocidade de 180 km/h foi atingida três vezes.

2. Resposta: (D).

Não pode ser a opção (A) pois a variável t (tempo) tem de au-

mentar, não se pode voltar “atrás” no tempo.

Tembém, não pode ser a opção (B) pois a variável tempo não pode

parar.

O gráfico representado na opção (C) também não está correcto,

uma vez que ao instante inicial (t = 0) deve corresponder d = 0.

3.1 a) Df = [– 3 , 4[ ; Pág. 177

b) D’f = [– 2 , 3[ .

c) Os zeros são: – 1 , 0 e 3.

3.2 a) não tem;

b) não tem;

c) f (– 3) = – 2 é mínimo relativo;

f (2) = – 1 é mínimo relativo;

d) f (– 3) = – 2 é o mínimo absoluto;

e) não tem;

f) os minimizantes são: – 3 e 2.

3.3

Intervalos de monotonia:

a função é crescente em [– 3 , 0[ e em [2 , 4[ ;

é decrescente em [0 , 2].

3.4 a) ]– 1 , 0[ ∪ ]3 , 4[ ;

b) [– 3 , – 1[ ∪ ]0 , 3[ .

4.1 Por exemplo:

4.2 (A) s (x) = – 1 ⇔ x = – 1 ; a afirmação é falsa.

(B) s (x) ≥ – 1 , A x ∈ Ds ; a afirmação é verdadeira.

(C) s é crescente em [– 1 , 3] e decrescente em [3 , 5] , logo s(3) = 1

é o valor máximo de s em R+ ; a afirmação é verdadeira.

(D) Por observação do gráfico construído na alínea anterior, facil-

mente se constata que a afirmação é verdadeira, uma vez que o

gráfico intersecta o eixo Ox em três pontos.

x – 3 0 2 4

f (x) – 2 £ 0 ¢ – 1 £

1. Pág. 174

Resposta: (A).

2. Teste da recta vertical: uma curva representada num referencial é o

gráfico de uma função se e só se qualquer recta vertical intersecta o

gráfico, no máximo, num ponto.

Resposta: (C).

3. (A) A função g tem apenas um zero: – 5; Pág. 175

afirmação falsa.

(B) O mínimo absoluto da função g é 0 (o minimizante é – 5);

afirmação verdadeira.

(C) O contradomínio de g não é R porque g(x) ≥ 0 , A x ∈ Dg.

afirmação falsa.

(D) A equação g (x) = 1 pode ter três soluções; afirmação falsa.

Resposta: (B).

4. O perímetro p da secção produzida na esfera pelo referido plano é

máximo quando o ponto P se encontra na origem do referencial.

Logo as opções (A) e (B) ficam excluídas.

1. Pág. 176

1.1 As variáveis que aparecem relacionadas no gráfico são:

a distância, em km, que é a variável independente (a unidade no

eixo horizontal é o km);

a velocidade, em km/h, que é a variável dependente (a unidade no

eixo vertical é 20 km/h).

1.2Distância

(km)Velocidade

(km/h)

0 0

1 60

3 160

7 240

13 140

14 0

Sendo a ordenada de e o raio doy P r círculo tem-se que:

pelo q2y r+ =2 25 uue = 25 –

Logo, o perímetro dess

2r y

p

.

aa secção é dado por:

= 2 25 – o qu2p yπ , ee exclui a opção (D).

Resposta: (C).

Capítulo 6


43

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora


44

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



5.1 Pág. 178

Df1 = ]– 3 , 2] e D’f1 = [1 , 4[ ;

Df2 = [– 2 , 3] e D’f2 = [– 2 , 5] ;

Df3 = R e D’f3 = {– 2 , 0 , 3} ;

Df4 = [0 , + ?[ e D’f4 = [0 , + ?[ ;

Df5 = ]– ? , – 1[ ∪ ]– 1 , + ?[ ou R \ {– 1} e

Df6 = ]– ? , – 1] ∪ [0 , 3] e D’f6 = ]– ? , 2] ∪ {3} ;

Df7 = ]– ? , 4[ e D’f7 = ]– ? , 6[ ∪ {7} ;

Df8 = ]– ? , 2[ ∪ ]2 , 4] e D’f8 = [0 , + ?[ ;

Df9 = ]– ? , 2[ ∪ ]2 , + ?[ ou R \ {2} e

D’f9 = ]– ? , – 1] ∪ [3 , + ?[ .

5.2 a) f1 (0) = 2,2 ; b) f3 (– 1) = 0 ;

c) f3 (0) = 3 ; d) f6 (0) = 0 ;

e) f6 (2) = 2 ; f) f7 (1) = 7 ;

g) f7 (– 2) = 3 ; h) f8 (4) = 0 .

5.3 a) f3 (x) = – 2 ⇔ x < – 1 ;

b) f6 (x) = 0 ⇔ x = – 2 › x = 0 ;

c)

d) f7 (x) = 0 ⇔ x = – 4 › x = 0 ;

e) f9 (x) = 0 é impossível, x ∈ ∅ .

6.1 Pág. 179f é crescente em [– 6 , – 3] , em [– 1 , 2] e em [6 , 10].

f é decrescente em [– 3 , – 1] e em [2 , 6].

6.2 f (10) = 7 é o máximo absoluto e também é máximo relativo.

f (– 3) = 3 é um máximo relativo.

f (2) = 6 é um máximo relativo.

f (x) = 1 , com x ∈ [– 2 , – 1] é máximo relativo.

6.3 O mínimo absoluto é f (– 6) = – 6.

minimizantes: – 6 ; [– 2 , – 1] e 6.

6.4 Os zeros são: – 4 , 4 e 8.

6.5 A função é positiva em ]– 4 , 4[ e em ]8 , 10] e é negativa em [– 6 , – 4[ e em ]4 , 8[ .

6.6 Por exemplo, [– 6 , – 5] .

6.7 Por exemplo, [1 , 3].

7.1 Das 0 às 6 horas, das 14 às 16 horas e das 16 às 17 horas.

7.2 Das 16 horas às 17 horas, porque o consumo de electricidade pas-sou, bruscamente, a ser zero.

7.3 Foi crescente das 6 horas às 12 horas e das 17 horas às 20 horas efoi decrescente das 12 horas às 14 horas e das 20 horas às 24 horas.

7.4 Às 20 horas foi atingido o valor máximo; o valor mínimo ocorreudas 0 horas às 6 horas.

7.5 Máximos relativos: 0 horas às 6 horas; 12 horas e 20 horas.Mínimos relativos: 0 horas às 6 horas; das 14 horas às 16 horas;das 16 horas às 17 horas e às 24 horas.

f x x x6 ( ) = 1 = –

32

0 1 ;⇔ › < ≤

D'f5 = – ,

32

32

, + o? ?

∪

uu \32

R

.

1.1 Pág. 180

(A) O gráfico não é o correcto uma vez que a Ana não esteve sem-pre à mesma distância do solo.

(B) O gráfico, também, não é o correcto pois a distância a que aAna se encontrava do solo não aumentou continuadamente,com o decorrer do tempo.

(C) Este gráfico, também, não é o correcto já que a distância a quea Ana se encontrava do solo é igual nos instantes em que o ba-loiço está numa posição vertical relativamente ao solo (igual àposição a que se encontra o baloiço quando está parado).Logo o gráfico correcto é o (D).

1.2 Resposta (A)

• O gráfico (B) é incorrecto porque, segundo este gráfico, existe uminstante no qual a bandeira ocupa uma infinidade de posições, oque é impossível (não é o gráfico de uma função).

• O gráfico (C) é incorrecto porque a velocidade a que a bandeirasobe ou desce não é constante.

• O gráfico (D) é incorrecto porque, segundo este gráfico, depois deo sistema avariar, a bandeira apenas subiu duas vezes e não trêsconforme o enunciado.

2.1 A distância da casa do João à universidade é de 3,5 km. Pág. 181

2.2 Dos 0 min aos 10 min percorreu 500 metros;Dos 60 min aos 80 min percorreu 500 metros;Dos 200 min aos 210 min percorreu 500 metros;Dos 230 aos 240 min percorreu 500 metros;No total o João percorreu a pé 2000 metros.

2.3 10 min (para a viagem de ida) e 20 min (para a viagem de volta).No total o João esperou 30 minutos pelos autocarros.

2.4 210 min – 80 min = 130 min = 2 h 10 min11 h 40 min – 2 h 10 min = 9 h 30 minO João chegou à universidade às 9 h 30 min.

2.5 Determinação da velocidade média da viagem de ida:

Determinação da velocidade média da viagem de volta:

A velocidade média da viagem de volta (10,5 km/h) foi superior àvelocidade média da viagem de ida (5 km/h).

2.6 Por exemplo:O João saiu de casa dirigindo-se para praia a uma velocidade médiade 40 km/h. Quando chegou à praia passeou na pista paralela àcosta durante 15 minutos. Depois regressou a casa a uma velocidademédia de 30 km/h, chegando a casa 50 minutos após de ter partido.

3.1 Gráfico (A) : António. Pág. 182Gráfico (B) : Nuno.Gráfico (C) : Pedro.

3.2 Por exemplo:O Joaquim saiu de casa, algum tempo depois verificou que estavaatrasado e decidiu por isso aumentar a velocidade. Antes de chegarao campo de futebol parou para descansar.

3,513

= 3,531

= 10,5 .

repare que 280 min

×

– 260 min = 20 min =13

hora

3 – 0,50,5

=2,50,5

= 5 (repare que 50 min –– 20 min = 0,5 horas)

45

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



Pág. 185

6. • O gráfico (B) é incorrecto porque quando P percorre o lado[AB], durante o primeiro segundo, a distância d decrescequando P percorre metade do segmento e cresce quando P per-corre a parte restante. O mesmo acontece quando P percorre olado [CD].

• O gráfico (C) é incorrecto porque, por exemplo, como tem-se que d(2) > d(1) ao contrário do que se apresenta nestegráfico.

• O gráfico (D) também se rejeita porque, por exemplo, d (0) = d (1)dado que .O gráfico correcto é o (A).

OA OB= = 1

OC OB>

4.2 Pág. 183

4.3

4.4

5.1 a) O recipiente E. Pág. 184

b)

5.2 Por exemplo:

Recipiente Gráfico

A 1

B 3

C 4

D 2

Capítulo 7

46


CE

XM

A10

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Edi

tora


1. (A) f(x) = πx2 , não é uma função afim. Pág. 190

(B) f(x) = x2 , não é uma função afim.

(C) f(x) = , não é uma função afim.

(D) f(x) = 100x – 50 , é uma função afim.

Resposta: (D).

2.1 Se cada toalha de praia custa 6 euros então n toalhas de praia cus-

tam 6n . Como a Inês comprou um jogo de banho por 12 euros e

n tolhas de praia, a sua despesa é dada por: 12 + 6n.

Resposta: (B).

2.2 12 + 6n < 100 ⇔ 6n < 100 – 12 ⇔ 6n < 88 ⇔ n < 14,(6).

A Inês, no máximo, comprou 14 toalhas de praia.

Resposta: (A).

3.

Resposta: (D).

1. a) Pág. 191

Os gráficos das três funções são três rectas paralelas;

b) As rectas ficam mais próximas da vertical;

c) As rectas obtidas são simétricas às iniciais relativamente o eixo

Oy;

d) f3 (x) = 2x + 1 (por exemplo).

São rectas paralelas.

1.2 a)

São três rectas a que pertence o ponto (0 , – 3);

b) São rectas a que pertence o ponto (0 , – 3).

f 2

2=

2 2 – 1

2=

2 – 1

2=

1

2=

1 2

2 2=

( ) × ××

222

.

10 +2

2x x

1.3

São rectas a que pertence o ponto (0 , 0).

1.4

São rectas a que pertence o ponto (0 , 0).

1.5 Se m > 0 , a função é crescente.Se m < 0 , a função é decrescente.

1.6 a) Pág. 192

b) A abcissa é zero, pois, em todas as funções o objecto zero temimagem nula;

c) m > 0;

d) f1 , f2 e f3 em ]– ? , 0[ ;f4 , f5 e f6 em ]0 , + ?[ ;

e) (A) O contradomínio das funções dadas é R e estes são estrita-mente crescentes ou estritamente decrescentes logo não temextremos.

(B) Só são crescentes as que tem declive positivo, no caso f1 , f2

e f3.

(D) f6 (– 10) = – 5 × (– 10) = 50 e não 2.

Todas as funções têm um zero para x = 0.

Resposta: (C).

47

2.1

13

x x x

f

– ;

(

+ = ⇔ + = ⇔ =23

0 2 0 2

0)) ;= × + =

= ×

13

023

23

13

13

13

f ++ = + = + =

+

;

( )

23

29

23

29

69

89

13

23

3

x ;

( )

= ⇔ + = ⇔ =

= ×

1 2 3 1

213

x x

f 2223

23

23

43

313

323

;

( )

+ = + =

= × +f == + = .33

23

53

Graficamente:

6.1

Logo, o ponto de coordenadas pertence ao gráfico da

função f.

6.2

6.3

Mas como o domínio da função é [– 5 , 5[ , o conjunto-solução da

condição

6.4

7.1 Pág. 194

Ponto de intersecção com o eixo :

( ) =

Oy

f 0

O gráfico de inter

4 0 32

32

–– .

× =

f ssecta o eixo no ponto de coordenadasOy

00 , –32

.

Se = 4 , ( =4 – 3

2Ponto de inte

a f x)x

.

rrsecção com o eixo :

( ) = 04 –

Ox

f xx⇔ 332

= 0 4 – 3 = 0 =34

O gráfic

⇔ ⇔ .x x

oo de intersecta o eixo no ponto df Ox ee coordenadas

34

, 0 .

A função é decrescente.

(5) = –3 5

f

f× – 1

2

(– 5) = –3 (– 5) –

– –= =

×

142

7

f1

2= –7 , 8

–– –= = =

15 12

162

8

D'f .

f x( ) – 3 é – 5 ,

73

>

.

f xx x

( ) – 3 –3 – 1

2–

–> > <⇔ ⇔3

3 12

33

3 1 6 3–⇔ ⇔x x< << < .773

⇔ x

f

f

2 = –3 2 – 1

2=

1 – 3 22

– 2 = –3 – 2

( )

( ) – 1

2=

– 3 2 – 12

=1 + 3 2

2

2 – 2

( )

( ) ×f f (( ) ×( ) ( )

=1 – 3 2

21 + 3 2

2=

1 – 3 2 1 + 3 2

44

=1 –2 3 2

4=

1 – 9 24

= –174

2( ) ×.

–

12

,54

f –12

= –3 –

12

– 1

2= –

–32

– 1

2= –

–52

2

=

522

=52

×× .12

=54

x – 2 0

13

1 2 3

f (x) 0

23

79

1

43

53

2.2 f(1) = 1 , daí que o número que é imagem de si mesmo pela funçãof é 1.

2.3 , pois se os gráficos são paralelos as rectas que os re-

presentam têm o mesmo declive.Como o ponto de coordenadas (1 , 0) pertence ao gráfico de g ,tem-se:

Donde,

3.1 Pág. 193

a)

b)

3.2 – 2x + 18 = 7x

⇔ – 2x – 7x = – 18

⇔ – 9x = – 18

⇔ x = 2 .

4.

5.1

5.2 Por exemplo:

Se x = 1 então y = 11 ;

Se x = 2 então y = 10 ;

Se x = – 3 então y = 15 .

Resposta: 1 e 11 ; 2 e 10 ; – 3 e 15 .

5.3

Os números são: 4 e 8 .

x x xx x

+ 22

= 632

= 6 3 = 12 =⇔ ⇔ ⇔ 4

x yx y y x

+2

= 6 + = 12 = 12 – .⇔ ⇔

f x h f x a x h b ax b( + ) – ( ) = ( + ) + – ( + ))

= + + –ax ah b –

=

ax b

ah

(c. q.. m.)

A x A x=

10 + 42

= 7 .× ⇔

A

xA x A=

(9 – ) 42

= (9 – ) 2× ⇔ × ⇔ == – 2 + 18x .

g x x( ) =

13

–13

.

0 =

13

1 + = –13

× ⇔ .b b

g x x b( ) =

13

+

CE

XM

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© P

orto

Edi

tora



48

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



7.2

7.3

7.4 A função é decrescente se a recta que representa o gráfico da funçãotem declive negativo; assim tem-se:

8.1 f1 (t) representa o espaço percorrido, em metros, pelo rato ao fim det segundos.f2 (t) representa o espaço percorrido, em metros, pelo gato ao fim det segundos.Nota: t = 0 corresponde a 20 h 12 min 3 s.

8.2 O gato apanha o rato quando o espaço percorrido por ambos é omesmo, ou seja, f1 (t) = f2 (t) .

5 + 6t = 8t ⇔ 2t = 5 ⇔ t = 2,5

O gato apanhou o rato ao fim de 2,5 segundos, ou seja, às 20h 12 min 5,5 s.

9.1 O lado do passeio, é dado em função de x , por x + 1. Pág. 195Logo, a área do passeio é igual a:

9.2 2x + 1 = 49 ⇔ 2x = 48 ⇔ x = 24 .A área do jardim é 242 m2 = 576 m2 .

10.1 Não representa uma função uma vez que existem valores de t aque corresponde duas distâncias.

10.2 O Pedro saiu de casa e demorou 2 horas a chegar ao local A quefica a 5 km de sua casa. No regresso a casa, que ocorreu de ime-diato, o Pedro gastou apenas uma hora.

10.3 O Nuno saiu de casa e esteve 30 minutos a conversar com umvizinho, em seguida andou durante 1 h 30 min a pé, até ao localA, que dista 4 km de sua casa. Acelerando o passo, percorreu deseguida mais 5 km até ao local B, a 9 km de casa, tendo gastouma hora. Esteve em B uma hora e regressou a casa de autocarro,tendo gasto uma hora na viagem.

10.4 a)

Assim, uma expressão analitica para a função representada em (A) é:

;

b)

D A12

, 0 e 2 , 4

( )

m =4 – 0

2 –112

=432

= 423

=83

= + ; =83

×

y mx b y xx b+

se 0 ≤ t ≤ 2

se 2 < t ≤ 3

d tt

t( ) =

52– 5 + 15

O A

m

0 , 0 e 2 , 5

=5 – 02 – 0

=5

( ) ( )

22

= + ; =52

+ , como =y mx b y x b b 0 , tem-se: =52

.

2 , 5 e 3

y x

A C( ) , 0

=0 – 53 – 2

= – 5

= + ;

( )m

y mx b yy x b

b

= – 5 +

3 , 0 : 0 = – 5 (3) +( ) ⇔ b y x= 15 , donde, = – 5 + 15 .

A x x A x x x= + 1 – = + 2 + 1 –

2 2( ) ⇔2 2 ⇔⇔ A x= 2 + 1 (c. q. m.) .

aa a

20 0 , logo .< < R–⇔ ∈

axa

– 32

0= é impossível se = 0 .

(1 , 3) : 3 =

1 – 32

6 = – 3a

a× ⇔ ⇔ a = 9 .

Uma expressão analítica para a função representada em (C) é:

1. Pág. 202

Resposta: (D) .

2. (A) g(x) = 0 ⇔ 3x – x2 = 0 ⇔ x (3 – x) = 0

⇔ x = 0 › 3 – x = 0 ⇔ x = 0 › x = 3

A afirmação é falsa.

(C) A parábola que representa graficamente a função tem a conca-

vidade voltada para baixo e vértice no ponto de coordenadas

, donde .

A função não tem mínimo absoluto. A afirmação é falsa.

(D) A função é crescente em ]– ? ; 1,5] e é decrescente em

[1,5 ; + ?[ . A afirmação é verdadeira.

Resposta: (D) .

D'g = – ,

94

?

32

,94

(B) ( , ) , com:

=0 + 3

2=

V h k

h332

;

=23

= 332

–32

k g

×

2

=92

–94

=184

–94

=94

.

32

V ,94

A afirmação é falsa.

.

f x x x

x x

( ) = – 5 + 6

= – 5 +254

2

2

+ 6 –254

é metade de 5 ao qu254

aadrado

= –52

–14

2

x

d t( ) =

E F

=0 – 95 – 4

= –

(4 , 9) e (5 , 0)

m 9

= + ; = – 9 +

:

y mx b y x b

(5 , 0) 00 = – 9 5 + = 45 , donde,

= –

× ⇔b b

y 99 + 45 .x

2 , 4( ) × ⇔: 4 =83

2 + 4 =163

+b b = 4 –163

= –43

, donde , =

⇔

⇔

b

b y83

–43

.

( 2 , 4) e (3 , 9)

=9

x

A B

m– 4

3 – 2= 5

= + ; = 5 +y mx b y x b

(3 , 9) : 9 = 5 3 + 9 = 15 +× ⇔ ⇔b b b

y x

= – 6 .

Donde, = 5 – 6 .

0 se 0 ≤ t ≤

se < t ≤ 2

5t – 6 se 2 < t ≤ 3

9 se 3 < t ≤ 4

– 9t + 45 se 4 < t ≤ 5

12

83

–43

t

12

1.5 A parábola tem vértice no ponto de coordenadas e tem

a concavidade vontada para baixo, pois .

O contradomínio da função .

Como , resulta daqui que a inequação f(x) > 2 é impossível,

o máximo absoluto de

2.1 A função g tem dois zeros reais se o sinal do binómio discriminantefor positivo.

∆ = b2 – 4ac ; tem-se então que:(– 4)2– 4(1)t > 0 ⇔ 16 – 4t > 0 ⇔ – 4t > – 16 ⇔ 4t < 16 ⇔ t < 4.

2.2 A função g tem um único zero real se o binómio discriminante fornulo. Logo, t = 4.

2.3 A função g não tem zeros reais se o sinal do binómio discriminantefor negativo. Logo, t > 4.

3.1

3.2 Graficamente:

Por observação dos gráficos representados em 3.1. , resulta que f(x) > g(x) ⇔ x ∈ ]2 , 6[ (procuram-se os valores de x para osquais o gráfico de f está acima do gráfico de g).

Analiticamente:

Cálculo auxiliar:

Uma representação gráfica da função y = – x2 + 8x – 12 é :

Daqui resulta que – x2 + 8x – 12 > 0 ⇔ x ∈ ]2 , 6[ .

–

– 8 8 – 4 (–1) (

2

2

x x

x

–+ =

⇔ =± × ×

8 12 0

–– 12)2 (– 1)

– 8 + 4– 2

– 8 –×

⇔ = =x x›44

– 22 6⇔ = =x x›

f x g xx

xx

x

x

( ) ( ) –4

+ 3 – 64

–

–

2 2

2

> >⇔

⇔44

–4

+ 3 + – 6 0 –2

+ 4 –2 2x

x xx

x> ⇔ 66 0

– + 8 – 12 02

>

>⇔ x x

f é

118

.

118

2<

f é – ,

118

?

–

23

0<

34

,118

49

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3. y = a (x – h)2 + k

A parábola tem vértice no ponto de coordenadas (2 , 2) e contém o

ponto de coordenadas (4 , 0).

0 = a (4 – 2)2 + 2 ⇔ 0 = a (2)2 + 2 ⇔ 0 = 4a + 2 ⇔ 4a = – 2

⇔

Tem-se então:

Resposta: (D) .

4. h (t) = 0 ⇔ 30t – 4,9t2 = 0 ⇔ t (30 – 4,9t) = 0

⇔ t = 0 › 30 – 4,9t = 0

⇔ t = 0 › 4,9t = 30

⇔ t = 0 › t ¯ 6,1224

Resposta: (A) .

1.1 Pág. 203

1.2

1.3

Por exemplo os objectos e são diferentes e têm a

mesma imagem (são os zeros da função).

1.4

f x x( ) =118

–23

–34

+118

=1

2

⇔

118

–23

–24

=2

⇔

x 0 –34

= 02

⇔

⇔x

.⇔ ⇔x x–34

= 0 =34

3 – 334

3 + 334

f x x( ) = 0 –23

–34

+118

= 02

⇔

⇔ –23

–32

+9

16+

118

= 0 –22x x

⇔33

+ –1848

+118

= 0

–23

+ + 1 =

2

2

x x

x x⇔ 0 – 2 + 3 + 3 = 0

=– 3 3 – 4 –

2

2

⇔

⇔± ×

x x

x22 3

2 – 2

=– 3 33

– 4

=– 3

( ) × ( )× ( )

⇔ ±

⇔

x

x–– 33– 4

=– 3 + 33

– 4

=3 + 33

4

› x

x⇔ =3 – 33

4› x

x =

34

.

V

34

,118

.

y x

y x x

= –12

– 2 + 2

= –12

– 4 + 4

2

2

( )

( ) ++ 2

= –12

+ 2 – 2 + 2

= –12

+ 2

2

2

y x x

y x x

y =12

4 – 2x x( )

a = –

12

50

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



4.1 Pág. 204

Por outro lado tem-se (aplicação do Teorema dePitágoras).

4.2

4.3 a) Determinação dos zeros de A (x) :

b)

Cálculo auxiliar : – x2 + 100x – 1875 = 0⇔ x = 25 › x = 75

Assim, tem-se que – x2 + 100x – 1875 > 0 ⇔ x ∈ ]25 , 75[ .

5.1 A caixa tem 2 cm de altura.

5.2 Volume = área da base × altura

V = x2 × 2

V = 2x2 .

5.3

5.4 Área da superfície total da caixa = Área da base + Área lateral= x2 + 4 × 2x = x2 + 8x .

5.5 a)

b) x2 + 8x < 180 ⇔ x2 + 8x – 180 < 0Cálculo auxiliar: x2 + 8x – 180 = 0 ⇔ x = – 18 › x = 10 ⇔

⇔ x = 10 (pois x > 0)Logo x2 + 8x – 180 < 0 ⇔ x ∈ ]0 , 10[.

6. Jardim com a forma de uma quadrado: Pág. 205

Área relvada = 52 – –π π5

225

254

2

=

⇔ ⇔± ×

+ 8 – 345 = 0 =– 8 64 – 4 (12x x x

)) (–345)2

=– 8 + 38

2=

– 8 –

×

⇔ x x›338

2= 15 = – 23

= 15

⇔⇔

x x

x

›

((pois 0) ;x >

2 = 200 = 100

= – 10

2x x

x

⇔

⇔

2

› = 10 = 10 .x xx⇔> 0

A xx

x

x

( 937,5 –2

+ 50 – 937,5 0

–

) > >⇔

⇔

2

22 + 100 – 1875 0x >

–2

2xx x x x– (+ = ⇔ + = ⇔50 0 100 02 –– )

–

x

x x

+ =

⇔ = + = ⇔

100 0

0 100 0› x x

V h k h

= =0 100›

( , ) ; =0 + 1000

2= 50 .

A área é máxima para = 50

⇔ h

x metros.

AAB BC

Ax x

Ax x

=×

=( )

=

–

–

2100

2

1002

2ou .A

xx–= +

2

250

)

AC AB BC

AC x x

2 2 2

2 2

= +

= + (100 –⇔ 22

2=⇔ + ( )–AC x x1002

AC AB BC2 2 2

= +

AB BC

x BC

BC

+ = 100

+ = 100

= 1

⇔

⇔ 000 – x

Jardim com a forma de uma rectângulo não quadrado:

Pretende-se que a área relvada da segunda figura não seja inferior àárea relvada da primeira figura, tem-se então que:

≥

≥ 0

Recorrendo à calculadora gráfica determinam-se as abcissas dospontos de intersecção do gráfico da função

7.

A área do jardim não deve exceder metade da área do terreno, logo

2x2 – 22x + 120 ≤ 602x2 – 22x + 60 ≤ 0

Cálculo auxiliar

Uma representação gráfica da função y = 2x2 – 22x + 60 é :

Resulta, assim que, 2x2 – 22x + 60 ≤ 0 ⇔ x ∈ [5 , 6] .

8.1 Pág. 206Os triângulos [ABC] e [PCQ] são semelhantes porque têm de umpara o outro dois ângulos geometricamente iguais, a saber:

Como os triângulos são semelhantes têm os comprimentos doslados directamente proporcionais, assim tem-se:

PQ

BA

CQ

AC

y x= , ou seja ,

20=

48 –48

.

PCQ BCAˆ ˆ= (ângulo comum aos dois triânguloos) ;

= (ângulos rectos) .BAC PQCˆ ˆ

–

–

2 22 60 0

11 30

2

2

x x

x x

+ =

⇔ + = 00

11 11 4 1 302

11 12

2⇔ = ± × ×

⇔ = +

–x

x–

›

›

x

x x

=

⇔ = =

11 12

6 55

Área do terreno = 12 10 = 120 .

Área do ja

×

rrdim = 120 – 210 –

2×

( )×

( )x x x–

–2

12

– –

x

x

2

120 10= – –x x x2 212( ) ( )= 120 – 10 + – 12 +2 2x x x x

= 2 – 22 + 1202x x

yx

x Ox= –4

+ 5 – 25 +254

com o eixo :2

π π

xx x

x

≈ ∈

1,37 = 5.

Logo 1,37 ; 5

›

.

–

4+ 5 – 25 +

254

2xxπ π

25 –

254

π 5

4

2x

x– π

Área relvada = 5x

xx

x– –π ×

=2

52 2

44π .

8.2

8.3

O terreno vedado tem 24 metros de comprimento e 10 metros de

largura, quando a sua área é máxima.

9.1

A largura máxima do túnel é 4 metros.

9.2 A altura máxima do túnel corresponde à ordenada do vértice.

O túnel tem uma altura máxima de 7 metros.

9.3 2,78 : 2 = 1,39

2 – 1,39 = 0,61

h (0,61) ¯ 3,6188

3,6188 – 0,9 = 2,72

A altura máxima do contentor é h ¯ 2,72 m .

V h k h h

k f

( , ) ; =0 + 4

2= 2

= (2)

⇔

== 7 2 –27

= 7 (2 – 1) = 72

t x xx

( ) = 0 7 –4

2⇔

= ⇔0 xx

x

xx

x

–

–

2

40

14

0 0

=

⇔

= ⇔ = –›

›

14

0

04

1

x

xx

x

=

⇔ = = ⇔ = 00 4› x =

Determinação dos zeros de :

( ) = 0

A

A x 20 –5

12⇔ =

⇔

=

x x

x x

2 0

205

12– –0 0 20

512

0

0

⇔ = =

⇔ =

xx

x

›

›5

1220 0 20

125

x x x

x

= ⇔ = = ×

⇔

›

== =0 48› x

V h k h( , ) , com =0 + 488

2= 24.

Daqui resulta que o comprimento doo terreno é 24 metros.

A largura é igual a yy

y y

, daí que:

=20 (48 – 24)

48= 10.⇔

Área do terreno rectangular = × ( –x

20 48 )

– –

x

xx x x

48

960 2048

960 2048

92= × = = 660

482048

205

12

2

2

x x

x x

–

–= (c. q. mm.)

Área do terreno rectangular = AQ QP×= xx y

y

(1)

mas por tem-se20

=8.148 –

48, ou seja,

=20 (48 – )

48,

x

yx

substituindo em (1) , vem que:

1. Pág. 210Uma função afim não linear tem apenas um zero e esse zero nãopode ser x = 0 (senão seria uma função afim linear). Logo a opçãocorrecta só pode ser a (D)

Resposta: (D) .

2.

o que excluí a opção (D).

(A)

também não é a opção correcta

(B)

não é a opção correcta

(C)

Resposta: (C) .

3. x ≤ 0 ⇔ x = 0Logo a condição |x| ≤ 0 tem uma e uma só solução.

Resposta: (C).

4. O gráfico da função módulo tem de ter dois objectos diferentescom a imagem 5 e tem de ter zeros, logo só pode ser a opção (B).

Resposta: (B) .

1.1 2 – 7 – – 2 + 7 = – 5 – 5 = 5 – 5 = 0; Pág. 211

1.2 1,3 – 5,2 – 2 – 0,5 + 1 = – 3,9 – 2 0,5 == 3,9 – 2 × 0,5 = 3,9 – 1 = 2,9.

2.1 x = 7 ⇔ x = 7 › x = – 7 .

2.2 2x + 5 = 7 ⇔ 2x + 5 = 7 › 2x + 5 = – 7⇔ 2x = 7 – 5 › 2x = – 7 – 5⇔ x = 1 › x = – 6 .

2.3 Para que duas expressões tenham o mesmo módulo ou são iguais ousão simétricas, assim:

1 – = 8 – 3

1 – = 8 – 3

x x

x x⇔ 1 – = – 8 + 3

– + 3 = 8 – 1

› x x

x x⇔ – – 3 = – 8 – 1

2 = 7 – 4

›

›

x x

x x⇔ == – 9

=72

=94

.⇔ x x›

= f(x)x – 1 se x > 1

– x + 1 se x ≤ 1

=

x – 1 se x ≥ 1

– x + 1 se x < 1

=

x – 1 se x – 1 ≥ 0

– x + 1 se x – 1 < 0

x – 1 =

– x – 1 se x ≤ – 1

x + 1 se x > – 1

=

– x – 1 se – x – 1 ≥ 0

x + 1 se – x – 1 < 0

– – 1 =x

x + 1 se x ≥ – 1

– x – 1 se x > – 1

=

x + 1 se x + 1 ≥ 0

– x – 1 se x + 1 < 0

x +

1 =

– x + 1 se x ≤ 1

x – 1 se x > 1

=

1 – x se 1 – x ≥ 0

– 1 + x se 1 – x < 0

f x x( ) = 1 – =

51

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



52

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



2.4

3.1 3.2

3.3 3.4

3.5 3.6

4.1 x> 3 ⇔ x > 3 › x < – 3x ∈ ]– ? , – 3[ < ]3 , + ? [ .

4.2 x≤ 2 ⇔ x ≤ 2 ‹ x ≥ – 2x ∈ [– 2 , 2] .

4.3 1 – x ≥ 1 › 1 – x ≥ 1 › 1 – x ≤ – 1

⇔ – x ≥ 1 – 1 › – x ≤ – 1 – 1

⇔ – x ≥ 0 › – x ≤ – 2

⇔ x ≤ 0 › x ≥ 2

x ∈ ]– ? , 0] < [2 , + ? [ .

4.4 1 – x < 5 ⇔ x – 1 < 5 ‹ x – 1 > – 5

⇔ x < 6 ‹ x > – 4

x ∈ ]– 4 , 6[ .

5.1 5.2

5.3 5.4

6.1

–32

–32

3x + 3 se x ≥

– x – 3 se x <

=

–32

–32

2x + 3 + x se x ≥

– 2x – 3 + x se x <

2 3x x+

+ =

–32

–32

2x + 3 se x ≥

– 2x – 3 se x <

=

2x + 3 se 2x + 3 ≥ 0

– 2x – 3 se 2x + 3 < 0

2 3x +

=

O

– ,

– ,

xx

x x

0 53

0 5 3

=

⇔ = ⇔ x x

x x x

– ,

– , – ,

0 5 3

0 5 3 0

=⇔ = › 55 3

3 0 5 3 0 5

–

– , ,

=⇔ = + =⇔

x

x x x x›

– , ,

– ,

2 0 5 4 0 5

0 25

x x

x

= =⇔ =

›

,

–

›

›

x

x x

=

⇔ = =

0 125

14

.18

6.2

6.3

7.1 2x – 5 ≤ 5 ‹ 2x – 1 ≥ 1

⇔ (2x – 5 ≤ 5 ‹ 2x – 5 ≥ – 5) ‹ (2x – 1 ≥ 1 › 2x – 1 ≤ – 1)

⇔ (2x ≤ 10 ‹ 2x ≥ 0) ‹ (2x ≥ 2 › 2x ≤ 0)

⇔ (x ≤ 5 ‹ x ≥ 0) ‹ (x ≥ 1 › x ≤ 0)

x ∈ {0} < [1 , 5] .

7.2

7.3

7.4 x2 – 5x + 6 ≥ 2 ⇔ x2 – 5x + 6 ≥ 2 › x2 – 5x + 6 ≤ – 2

⇔ x2 – 5x + 4 ≥ 0 › x2 – 5x + 8 ≤ 0

A condição x2 – 5x + 4 ≥ 0 tem como conjunto-solução ]– ? , – 1] < [4 , + ? [ .A condição x2 – 5x + 8 ≤ 0 é impossível, já que x2 – 5x + 8 > 0 , A x ∈ R.Logo, x ∈]– ? , 1] < [4 , + ? [ .

Cálculo auxiliar:

2x x– 5 4 0+ = ⇔ xx

x x

–

–

= ±

⇔ = + =

5 25 162

5 32

5 3›

224 1

5 82 –

⇔ = =

+ =

x x

x x

›

00 ⇔ = ±x

5 25 – 322

, impossível em .R

6 2 2 2 2 6

2 2

2 2

2

– –

–

> < x x

x

⇔

⇔ << ‹ >

< ‹

– –6 2 2 6

2 8

2

2

x

x⇔ –

–

2 4

4 2

2

2 2

x

x x

>

< ‹ >⇔

–

condição universal emR

>⇔ x 2

] – , [ .

‹ <x

x

2

2 2∈

2 0 1 2 1

2 0 1 2 1 2

2

2 2

x

x x

– , ,

– , ,

=

⇔ = › – , – ,

,

0 1 2 1

2 2 2 22

=

⇔ =x x› 22

2 2

2

1 1

–

, –

=

⇔ = =x x› 11

–

condição impossível emR

⇔ =x , , .1 1 1 1› x =

D'f = –32

Zeros : – 3 e, ;+

? – 1 ;

intervalos de monotonia: é estrf iitamente crescente em –32

e é

, +

?

estritamente descrescente em –32

– ,?

.

0

–

32

x y = 3x + 3

y = 3

y = –

32

– 2

–

32

x y = – x – 3

y = – 1

y = –

32

¢

¢

1.1 a) Opção 1 : 12 × 37 = 444. Pág. 212

Opção 2 : 19 × 12 + 310 = 538.

O Sr. Joaquim na opção 1 gasta 444 euros e na opção 2 gasta538 euros.

b) y1 = 37x ;

c) Apenas a função y1 = 37x é de proporcionalidade directa, já que éa única cuja expressão analítica é do tipo y = mx , com m 0 0.

d)

No mínimo, o Sr. Joaquim deve efectuar 18 trajectos, ou seja,deve ir 9 vezes à feira para que a opção 2 seja mais vantajosaque a opção 1.

1.2 a) Se o grilo cricila 31 vezes em 15 segundos então num minuto cri-cila 124 vezes; assim tem-se:

b) 7 × 30 – n = 30 ⇔ 210 – n = 30 ⇔ n = 210 – 30n = 180.180 vezes por minuto, ou seja, 3 vezes por segundo.

2.1 Relativamente à folha: Pág. 213• cor-de-laranja: 0 < x < 20 .• verde: 0 < x < 30 .

2.2 Volume do cilindro da figura 1:

Volume do cilindro da figura 2:

2.3

V V

x x

'

– –

=

⇔( )

=( )

⇔

225 20 100 30

45π π

000 225 3000 100

225 100

– –

–

x x

x x

=⇔ + = 33000 4500

125 1500

150012

–

– –⇔ =

⇔ =

x

x55

12⇔ = .x

2 = 20

=202

=10

π

π

π

r

r

r

V

V

'

'

= área da base altura×

= ×

ππ

102

×× ( )

× × ( )

–

' –

'

30

30

x

V x

V

=100

=10

2π

π00 30 – x( )

π

2 = 30

=302

=15

π

π

π

r

r

r

V

V

= área da base altura

=15

×

×

ππ

2

×× ( )

= × ( )

= ×

–

–

20

22520

225

2

x

V x

V

ππ

π220

225 20

–

–

x

Vx

( )

=( )

π

7 – 124 = 30 7 = 154 =154

7T T T⇔ ⇔ ⇔⇔ = 22

A temperatura ambiente esperada é

T

dde 22º C.

19 + 310 37

19 – 37 – 310

–

x x

x x

<

<⇔⇔ 118 – 310

31018

x

x

x

<

>

>

⇔

⇔ , ( )17 2

2.4 Se aumentarmos uma unidade ao valor de x , no caso do cilindro dafigura 1 , temos:

Por outro lado temos que:

Conclui-se, assim, que se aumentarmos uma unidade ao valor de x ,

o volume do cilindro da figura 1, diminui cm3.

Se aumentarmos uma unidade ao valor de x , no caso do cilindroda figura 2 , temos:

Por outro lado temos que:

Concluí-se, assim, que se aumentarmos uma unidade ao valor de x , o

volume do cilindro da figura 2, diminui cm3.

3.1 Pág. 214

Os gráficos intersectam-se no ponto I, de coordenadas (40 , 180).Interpretação: A frequência cardíaca máxima recomendada parauma pessoa de 40 anos de idade, em ambas as relações, é de 180pulsações por minuto.

3.2 a) Como o Pedro tem 35 anos, tems que n = 35 .

f2 (35) = 208 – 0,7 × 35 = 183,5 .

E como 183,5 × 0,8 = 146,8 , conclui-se que a frequência cardíacarecomendada para o Pedro de modo que o exercício físico seja omais eficaz é de aproximadamente 147 pulsações por minuto.

b) f3 (n) = 0,8(208 – 0,7n)

f3 (n) = 166,4 – 0,56n .

100π

V xx

'( )–

–=100 30 100

30100( )

= × ×π π π

xx

x–

=

= × + × = ×10029

100 100 100π π π π

229100 100

1100

–

'( )

π π

π

× + =

= + +

x

V x ,

ou seja, V x V x V( ) '( )= + + ⇔1100

π''( ) '( ) – .x V x+ =1

100π

V x

x'

– ( ) –( + 1) =

100 30 1 100 29+( )=

πxx

x( )

= × ×π π π

–100

29100

225π

V xx

x( )–

–=( )

= × ×225 20 225

20225

π π π

–

=

= × + × = ×22519

225 225 225π π π π

x 119225 225

1225

–

( )

π π

π

x

V x

+ =

= + + ,

ou seja, V x V x V x( ) ( ) ( )= + + ⇔ +1225

1π

== ( ) – .V x225

π

V x

x x( ) =

225 20 – ( + 1) –+

( )=1

225 19

π(( )

= × ×π π π

–225

19225

x

53

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



54

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



3.3 Por exemplo, a melhoria nas condições de vida da população emgeral pode justificar a maior capacidade/resistência das mesmas naprática desportiva.

4.1 Pág. 215

Inicialmente, o Paulo tem 80 cêntimos disponíveis para efectuarchamadas do seu telemóvel o que exlui as opções A e D onde essevalor é, respectivamente, 70 cêntimos e 0 cêntimos. O preço apagar, por segundo, para a rede A é de 0,5 cêntimos, logo o Paulorealizou uma chamada de 160 minutos (80 : 0,5). Fica, assim,excluída a opção B.Resposta: gráfico C.

4.2 x representa o número de segundos das chamadas para a rede A;

60 – x representa o número de segundos das chamadas para a rede B.

0,5x + 0,6(60 – x) = 35⇔ 0,5x + 36 – 0,6x = 35⇔ – 0,1x = – 1⇔ x = 10

Resposta: Duração das chamadas efectuadas pelo Paulo para a redeA: 10 segundos e para a rede B: 50 segundos.

4.3 O gráfico D, pois está contido numa recta que passa pela origemdo referencial.

4.4 Não, pois em nenhum dos gráficos o produto das coordenadas dosseus pontos é constante, ou seja, o gráfico de uma função de pro-porcionalidade inversa está sobre uma hipérbole, o que não se veri-fica em nenhum dos gráficos apresentados.

4.5 Sejam A (0 , 70) e B (140 , 0) dois pontos do gráfico A.

A ordenada da origem é 70.

Logo, é a expressão analítica pedida.

5.1 Pág. 216

5.2 a) O valor de x de modo que a área do quadrado [EFGH] sejamínima corresponde à abcissa do vértice da parábola que repre-senta graficamente a função A(x) = 2x2 – 20x + 100 .Seja h essa abcissa:

Resposta: x = 5 metros;

b) 2x2 – 20x + 100 ≤ 58⇔ 2x2 – 20x + 42 ≤ 0

Cálculo auxiliar

Resposta: x ∈ [3 , 7] , isto é, 3 m ≤ x ≤ 7 m .

2 2x x x x– –20 42 0 10 212+ = ⇔ +

– ( ) ( )

=

⇔ =± × × +

⇔ =

0

10 10 4 1 212

2

x x110 4

210 4

27 3

–+ =

⇔ = =

›

›

x

x x

= –

2h

ba

h h; ––=

×⇔ =20

2 2204

⇔ =h 5

A A AEFGH ABCD BHG[ ] [ ] [ ]–= ×4

–( – )= ×

=

10 410

22 x x

1100 2 10

100 2

2– ( – )

–

x x

= 00 2 2x x (+ c. q. m.)

y x= –

12

+ 70

AB B A"

= – (140 , 0) – (0 , 70) = (140= , – 70)

= –70

140m m –⇔ = 1

2

5.3 a) Usando o Teorema de Pitágoras, temos:

b)

6.1 Pág. 217

6.2 O gráfico de f é parte de uma parábola com a concavidade voltadapara baixo de vértice V (25 , 18), logo o valor máximo de f é 18.

A altura do tabuleiro da ponte é igual a 18 + 6 = 24 .

Como 20 < 24 , a ponte não ficaria totalmente submersa.

6.3

A distância, em metros, entre A e B é, aproximadamente, 42,43metros.

6.4

f x

x

( ) = 17

125

25 18 172

– –

⇔

⇔ ( ) + =

⇔ xx

x x

–

– – –

25 25

25 5 25

2( ) =⇔ = =› 55

20 30⇔ = =x x›

f x x( ) = 0 –125

( – )

–

⇔ + =

⇔

25 18 0

1

2

22525 18 25 18 22 2( – ) – ( – )x x= ⇔ = × 55

50 625 450

50 175

2

2

⇔ + =

⇔ +

–

–

x x

x x ==

⇔ =± ×

⇔ = +

– ( )

0

50 50 4 1752

50 1

2

x

x8800

250 1800

246 213

–

,

› x

x

=

⇔ ≈ ,› x ≈ 3 787

–

– ( – )

f xx

x

x

( ) = –25

2+ 2 7

125

25 2 – ( – )

–

+ = + +

=

18125

50 625 18

2

2

2

x x

x55

5025

62525

1825

2 252

– – –+ + = +xx

x ++

= + =– – ( )

18

252 7

2xx f x (c. qq. m.)

Tem-se então que:

132 , (= + +11 2 52 y ))

, ( )

( )

2

2

2

169 125 44 5

5

⇔ = + +

⇔ + =

y

y 443 56

5 43 56 5 43 56

,

– , ,⇔ + = + =⇔

y y›

– , ,y y

y

+ = + =⇔

5 6 6 5 6 6›

– , ,

,

= =⇔ =

11 6 1 6

1 6

› y

y (pois 0)

Resposta: = 1,

y

y

>

66 metros.

Se = 0, 8 então = 0,82x c , ,+ × +22 4 0 8 ,150 44 , ou seja ,

= 13.c

= 5 + (11,2 + ) , c represent2 2 2c x aa o comprimento

da escada

⇔ =c2 25 ++ + +

⇔ = + +

, ,

,

125 44 22 4

22 4 1

2

2 2

x x

c x x 550 44

22 4 150 442

,

, , (⇔ = + +c x x c > 00

22 4 150 442

)

, ,Resposta: c x x= + + ;;

Temos que: 30 – 20 = 10

A largura do arco a 17 metros do nível da água é de 10 metros. Logo,

no que respeita às dimensões apresentadas, o barco pode passar.

7.1 a) 0 ≤ x ≤ 10 , isto é, 0 m ≤ x ≤ 10 m ; Pág. 218

b) Representa a área, em função de x , e em centímetros quadra-

dos, do rectângulo [AQPR] ;

c.1) 10x – x2 = 0 ⇔ x (10 – x) = 0 ⇔ x = 0 › 10 – x = 0

⇔ x = 0 › x = 10 .

A abcissa do vértice da parábola que representa graficamente

a função y = 10x – x2 corresponde ao valor de x tal que a

área do rectângulo [AQPR] é máxima. Seja h esse valor:

c.2)

7.2 a) x ∈ [0 , 10] , isto é, 0 cm ≤ x ≤ 10 cm ;

b.1)

b.2)

c)

A A x xEFG FBCG[ ] [ ] –= ⇔ = + ⇔100 10 5 50 x

x

= 103

Resposta: =103

cm .

AFB GC

BCx

FBCG[ ] = + × = + ×2

102

10

( ) ;= + × = +x x10 5 5 50

AEF h x

EFG[ ]( – )

–= × = × =2

20 2 102

20 2xx

x

( ) ×

= – ;

5

100 10

10 21 10 21 02 2x x x x– – –> >⇔ +

Cálculoo auxiliar: – –x x2 10 21 0+ =

– – (– )⇔ =

± × ×x

10 100 4 1 ((– )(– )

212 1×

⇔ x == +––

– ––

10 42

10 42

›

⇔ =x x3 › ==

∈

7

Resposta: ]3 , 7[ (em centímetrx oos).

h

x

=0 + 10

2Resposta = 5 (em centímet

= 5

rros) ;

8.1 Pág. 219

A altura máxima atingida pela bola, na sua trajectória corresponde

à ordenada do vértice da parábola que representa graficamente a

função:

Resposta: A altura máxima atingida pela bola, na sua trajectória é

4,86 metros.

8.2

Resposta: A bola quando bateu no chão pela segunda vez estava a

15 metros do jogador que a pontapeou.

8.3

8.4

A bola quando, na sua trajectória, se encontrava a 3 metros de

altura distava, aproximadamente, 2,06 metros, num primeiro

momento e 8,74 metros, num segundo momento do jogador que a

pontapeou.

9.1 Pág. 220

–

( – ) ( )

2 3 9

2 3 9

x x

x x

=

⇔ =

⇔⇔ =

⇔ =

–

– –

2 3 9

2 3 9 2 3

2

2 2

x x

x x x x› –

– –

=

⇔ − = + =

9

2 3 9 0 2 3 92 2x x x x›

– ( ) (– )( )

0

3 9 4 2 92 2

3⇔ =

± × ××

=x x›– ( ) ( )

( )± × ×

×

⇔ = ± =

9 4 2 92 2

3 94

x x›–3 63

4± →

⇔

impossível em

= –32

R

›x

. . – , .

x

C S

=

=

3

32

3

–16(5)

x x2

630

95

3

5–

( )( )+ =

⇔ xx x

x

2

2

54 90 0

54 54 4 5

–

– – (–

+ =

⇔ =± × )) (– )

(– )

––

××

⇔ = +

902 5

54 111610

x x› ==

⇔ ≈

– ––

,

54 111610

2 06x ,› x ≈ 8 74

h ( ) – – .1717

311 17 90

23

2= + × =

A bola estava a23

metros de altura quand,≈ 0 67 oo foi intersectada

pelo defesa da equipa addversária.

Determinação dos zeros do = –2

2y

x ,+ 25 822

81

225 8

281 0 1

2

x

xx x

– :

–,

–+ = ⇔ = 00 8 15, › x = (fórmula resolvente)

abcissa do vértice :0 + 10,8

2

orden

, ;= 5 4

aada do vértice : – ( , ) ( , )16

5 495

5 42 + = 44 86, .

Determinação dos zeros de = –16

y x x2 95

+ ::

– –16

95

016

95

2x x x x+ = ⇔ +

= 00

016

95

0 0⇔ = + = ⇔ =–x x x› › – (– )

,

x

x x

= ×

⇔ = =

95

6

0 10 8›

y x x– .= +1

695

2

55

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



56

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



9.2

10.1 Pág. 221

;

Daqui resulta que: – 2x + 1 se x < – 1

3 se – 1 ≤ x ≤ 2

2x – 1 se x > 2

f x( ) =

x – ? – 1 2 + ?

x + 1 – x – 1 0 x + 1 3 x + 1

2 – x 2 – x 3 2 – x 0 – 2 + x

f(x) – 2x + 1 3 3 3 2x – 1

2 – x se x ≤ 2

– 2 + x se x > 2

2 – =x

x + 1 se x ≥ – 1

– x – 1 se x < – 1

+ 1 =x

( )

( )

5 2

5 2

5 2

2 2

x x

x x

x

+

⇔ +

⇔ +

>

>

22 2 0

5 2 5 2

–

[( ) – ] [( )

x

x x x

>

⇔ + + + xx

x x

C S

]

( ) ( )

. .

>

>

0

4 2 6 2 0⇔ + +

– , – – ,=

+

∪? ?12

13

.

10.2

Capítulo 8


57

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora


c)

d)

e)

f)

g)

D

D'

m

m

= – 2 ,32

;

= – 2 , 3 ;

Z

eeros: =12

.x

D

D'

l

l

= – 4 , 3 ;

= – 1 ,32

;

Z

eeros: = 1.x

D

D'k

k

= – 4 , 3 ;

= – 4 , 6 ;

Zero

ss: = 1.x

D

D'

j

j

= – 2 , 5 ;

= – 2 , 3 ;

Zero

ss: = 3.x

D

D'i

i

= – 6 , 1 ;

= – 2 , 3 ;

Zero

ss: = – 1.x

1. Pág. 229

Resposta (B).

2. Se x = 1 , tem-se g(1) = f (2 × 1) = f(2) = 3 .Resposta: (C).

3. O gráfico da função g obtém-se a partir do gráfico da função f ,efectuando um deslocamento na horizontal de uma unidade para aesquerda, seguida de uma simetria relativamente ao eixo Ox efinalmente efectuando um deslocamento na vertical de uma uni-dade para baixo.Resposta: (A).

4. O gráfico da função g é simétrico relativamente à origem do refe-rencial e o gráfico da função h é simétrico relativamente ao eixoOy , logo a função g é ímpar e a função h é par.Resposta: (B).

1.1 Pág. 230

1.2 a)

b)

D

D'h

h

= – 4 , 3 ;

= – 4 , 1 ;

Zero

ss: =12

.x

D

D'

g

g

= – 4 , 3 ;

= – 1 , 4 ;

Zero

ss: =32

x .

D

D'

f

f

= – 4 , 3 ;

= – 2 , 3 ;

Zero

ss: = 1.x

58

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



h)

i)

j)

2.1 2.2

2.3

3.1 e 3.2

a)

D

D'i

i

= – 2 , 4 ;

= 1 , 7 ;

Zeros:

não tem.

D

D'

g

g

= 1 , 7 ;

= – 4 , 6 ;

Zeros:

3 e 4 .

D

D'

f

f

= – 1 , 2 ;

= – 4 , 6 ;

Zero

ss: 0 e12

.

D

D'

p

p

= – 3 , 4 ;

= – 2 , 3 ;

Zero

ss: = – 1 .x

D

D'o

o

= – 4 , 3 ;

= – 3 , 2 ;

Zero

ss: = 1 .x

b)

c)

4.1 Pág. 231

y1 = 2x3 : expandiu-se na vertical segundo o factor 2.

y2 = 2(x – 2)3 : deslocou na horizontal 2 unidades para a direita.

Resposta: y = 2 (x – 2)3.

D

D'i

i

= – 6 , 4 ;

= – 4 , 6 ;

Zero

ss: = – 4 = 0 .

(– 6) = 4 é máximo

x x

i

›

rrelativo ;

(– 4) = 0 é mínimo relativo ;

(

i

i –– 2) = 6 é o máximo absoluto ;

(1) = – 4 éi o mínimo absoluto ;

(4) = – 2 é máximo rei llativo ;

D

D'h

h

= – 6 , 4 ;

= – 3 , 2 ;

Zero

ss: = – 4 = 0 .

(– 6) = – 2 é mínim

x x

h

›

oo relativo ;

(– 4) = 0 é máximo relativo ;h

hh

h

(– 2) = – 3 é o mínimo absoluto ;

(1) = 2 é o máximo absoluto ;

(4) = 1 é mínimo reh llativo ;

D

D'

g

g

= – 7 , 3 ;

= 0 , 5 ;

Zeros:

= 0 .

(– 7) = 4 é máximo relativo ;

(–

x

g

g 55) = 2 é mínimo relativo ;

(– 3) = 5 é o mg ááximo absoluto ;

(0) = 0 é o mínimo absolug tto ;

(3) = 1 é máximo relativo ;g

D

D'n

n

= – 8 , 6 ;

= – 2 , 3 ;

Zero

ss: = 2 .x

59

CE

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Edi

tora



4.2 O efeito é o mesmo. Neste caso o resultado não depende da ordempor que são efectuadas as transformações.

4.3 O gráfico da função y = x3 deslocou-se 3 unidades para a esquer-da, depois expandiu-se na vertical segundo o factor 2, seguidamenteobteve-se o simétrico relativamente ao eixo Ox e, finalmente, des-locou-se uma unidade para baixo.

5.1

5.2

6.1 f1(– x) = 1 – (– x)2 = 1 – x2 = f1(x)

Como f1(x) = f1(– x) , A x ∈ Df1, a função f1 é par.

6.2 f2(– x) = – x – 3 (– x)2 = – x – 3x2

Como f2(x) 0 f2 (– x) e f2 (– x) 0 – f2(x) , a função f2 não é parnem ímpar.

6.3 f3(– x) = 2(– x)3 – 3 (– x) = – 2x3 + 3x = – f3(x)

Como f3(– x) = – f3(x) , A x ∈ Df3, a função f3 é ímpar.

6.4

6.5 O gráfico da função f5 é simétrico relativamente à origem do refe-rencial, então a função f5 é ímpar.

6.6 O gráfico da função f6 é simétrico relativamente ao eixo Oy ,então a função f6 é par.

f xx

xx

4 (– )– (– )

– (– )–= + = +2

423

233

24

4– ( )x f x

f x f x

=

Como (– ) = ( ) ,4 4 › xx D ff , a função é par.4

4∈

7. f é uma função ímpar se e só se:

f(–x) = – f(x) , A x ∈ Df.

Ora se 0 ∈ Df , f é ímpar e então tem-se:

⇔ f(– 0) = – f(0)

⇔ f(0) + f(0) = 0

⇔ 2f(0) = 0

⇔ f(0) = 0 (c. q. p.)

Pág. 232

1. (B) – V

(C) – VII

(D) – VIII

(E) – III

(F) – XII

(G) – II

(H) – X

(I) – XIII

(J) – XI

(K) – VI

(L) – IV

(M) – IX

2.1 a) 24,8 euros ; Pág. 233

b)

2.2 a) 39 euros ;

b)

2.3

2.4 Para consumos inferiores a 195 min é mais vantajoso o tarifário A.

2.5 Tarifário C : 20 euros mais 0,48 e por cada minuto para além de100 minutos.

35 se 0 ≤ t ≤ 120

35 + (t – 120) × 0,2 se t > 120

g(t) =

20 se 0 ≤ t ≤ 120

20 + (t – 120) × 0,4 se t > 120

f (t) =

A f1

Capítulo 9

60


CE

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Resposta: (D).

5.1 Se k ∈ ]– ? , – 3[ então f(x) = k tem uma única solução.Se k = – 3 então f(x) = k tem duas soluções.Se k ∈ ]– 3 , – 1[ então f(x) = k tem três soluções.Se k = – 1 então f(x) = k tem duas soluções.Se k ∈ ]– 1 , + ?[ então f(x) = k tem uma única solução.

Resposta: (B).

5.2 h(x) = 0 ⇔ f(x) (x – 2)2 = 0⇔ f(x) = 0 › (x + 2)2 = 0⇔ f(x) = 0 › x = – 2⇔ x = 3 › x = – 2

Resposta: (C).

6. f(x) = 0⇔ x3 + kx2 + x = 0⇔ x(x2 + kx + 1) = 0⇔ x = 0 › x2 + kx + 1 = 0

Então a equação x2 + kx + 1 = 0 tem apenas uma solução, logo otrimónio x2 + kx + 1 é o resultado do quadrado de um binómio,assim, k = – 2 › k = 2 .

Resposta: (B).

1.1 Pág. 251

1.2

1.3

2 ( ) – 3 ( )

= 2 – 2

A x B x

x x– 312

+

–– –

– – –

3 313

2 6 1 9

2

2 2

x

x x x

= + +

– – –

– –

1

2 9 6 1 1

11 6

2 2

2

= + +

=

x x x

x x ++ .2

( ) – ( ) – ( )

= – 2

A x C x B x

x x x– – (312

+ –– ) – –

– – –

1 313

312

2

2

x

x x x

= + ++ +

= + +

–

– – – –

1 313

3 312

2

2 2

x

x x x x

– – .

113

4 4116

2

+

= +x x

( ) + ( ) + ( )

= – 2

A x B x C x

x x x–312

3 2+ + –– –

– – –

13

1

3 312

12 2

+

= + + +

x

x x x x33

1

2 256

2

–

– – .= x x

Sabe-se, ainda, que, =área da base alt

V× uura

3

Então: =2

,

V

hh

V

π

π

×

×

⇔ =

2

3

× ×

⇔ = × ×

⇔ =

hh

Vh

V h

2

3

3

43

413

12

π

π

1. Pág. 249

1.1 Sabe-se que: Área total da caixa = Área lateral + Área da base

Então: Área total da caixa = 2 × 2xh + 2 × xh + 2x2

Como a área total da caixa é 60 cm2, vem:

Resposta: (A).

1.2 Sabe-se que: V = comprimento × largura × altura

Resposta: (D).

2.

Resposta: (A).

3. Sejam c , l e h , respectivamente, o comprimento, a largura e aaltura da caixa.Tem-se: c = 2x e l = x (supondo que a largura é menor que ocomprimento, pois também poderia ser c = x e l = 2x) .Como a soma dos comprimentos das arestas do paralelepípedo é120 cm, tem-se:

4 × (2x) + 4 × x + 4 × h = 120⇔ 8x + 4x + 4h = 120⇔ 12x + 4h = 120⇔ 3x + h = 30⇔ h = 30 – 3x

Então, V= c × l × h , ou seja ,V = 2x × x × (30 – 3x)V = 2x2 × (30 – 3x)

Resposta: (A).

4. Pág. 250

Sabe-se que a altura h do cone é igual ao diâmetro da base, entãoh = d , sendo d o diâmetro da base. Como d = 2r , sendo r oraio da base, tem-se:

r

h.=

2

( – )

(– ) – (– )

P

k

1 3

2 1 15 2

=

⇔ + ((– ) –

(– ) – – –

1 1 3

2 1 1 1 3

=⇔ =⇔

k

–– – – –

–

–

2 1 1 3

3 4

k

k

k

=⇔ = +⇔ = 77

Então: = 210

V x xx

x

V

× ×

–3

== ×

=

–210

3

20

2

2

xx

x

Vxx

––

–

23

2023

3

3

x

V xx=

2 2 + 2 + 2 2× × =

⇔ +

xh xh x

xh

60

4 22 2 60

6 2 60

3

2

2

2

xh x

xh x

xh x

+ =

⇔ + =

⇔ +

–

–

=

⇔ =

⇔ =

⇔

30

303

303 3

2

2

hx

x

hx

xx

hhx

x–= 10

3

61

1.4

1.5

1.6

2.1 D(x) = d(x) × Q(x) + R(x)

D(x) = (x3 + x + 1) (x2 + 3) + x – 1

D(x) = x5 + 3x3 + x3 + 3x + x2 + 3 + x – 1

D(x) = x5 + 4x3 + x2 + 4x + 2 .

2.2

3.1

Aplicando a regra da Ruffini, tem-se:

Logo Q(x) = x2 + x – 2 .

3.2

D x d x Q x R x

x x x

( ) = ( ) ( ) + ( )3

×

+ =– (3 82 2 ) ( )

– –

+ × + +

+

2 10 8

3 8 103 2

x Q x x

x x x –– ( ) ( )8 22x x Q x+ ×

D x d x Q x R x

x x x

( ) = ( ) ( ) + ( )4

×

+ +– 3 2 12 == +

+ =

( – ) · ( )

– ( –

x x Q x

x x x x

2

4 2 2

1

3 2 xx Q x

Q xx x x

x x

Q xx

) · ( )

( )–

–

( )

= +

=

4 2

2

3 2

xx x

x x

Q xx x

x

3

3

3 2

1

3 2

–

( – )

( )–

+( )

= +–– 1

D x d x Q x R x

D x x x

( ) = ( ) ( ) + ( )

( ) = (– 2

×

+ )3 –

–

x x x

D x x

3

5

12

112

3

1

+

+ +

= +( )22

332

312

33 2 4 2x x x x x x

D x

– –+ + + +

=( ) –– – .x x x x x5 4 3 2312

52

72

3+ + + +

C x B x

x x

( ) −

=

2

2 21 313

( )

( – ) – –

= + +

=

– –

– –

x x x

x x x

2 2

2 2

2 1 313

3 2 ++

= +– – .

43

2 243

2x x

B x C x

x x

x

( ) ( )

= 3 2

×

×

=

– ( – )13

1

3 33 2313

13

– – .x x +

A x B x

x x x

( ) ( )

– – –

×

= +

×2 2312

3

– –

13

313

932

4 2 3 2

= + + + −x x x x x116

3 913

32

16

4 3 2 2= + + +

=

– – –

–

x x x x x

33 9116

16

4 3 2x x x x– – .+ +

Aplicando a regra de Ruffini, tem-se:

Logo, Q(x) = x – 5 .

4. Por exemplo, aplicando o algoritmo da divisão tem-se:

Como o resto da divisão de A(x) por B(x) é zero, então o polinó-mio A(x) é divisor do polinómio B(x).

5. Por exemplo: aplicando a regra de Ruffini, tem-se:

Como o resto da divisão de A(x) por B(x) é zero o polinómio A(x)é múltiplo do polinómio B(x).

6.1

Quociente: x2 + 2;Resto: 7.

6.2

Quociente: 3x – 13;Resto: 72.

6.3

Quociente: 2a;Resto: 1.

x2 + x + 1

x – 1

x3 + 0x2 + 0x – 1

– x3 – x2 – x

– x2 – x – 1

x2 + x + 1

0

x x x x x Q x

Q xx

3 2 2

3

3 10 2– – ( ) ( )

( )

= + ×

= –– –

( )( – – )

3 10

2

3 10

2

2

2

x x

x x

Q xx x x

x

+

=( )

( )– –

xQ x

x xx+

⇔ =+23 10

2

2

1 0 – 3 2

1 1 1 – 2

1 1 – 2 0

1 – 3 – 10

– 2 – 2 10

1 – 5 0

1 – 1 – 1 6 5

– 1 – 1 2 – 1 – 5

1 – 2 1 5 0

1 – 3 2 1

3 3 0 6

1 0 2 7

3 2 7

– 5 – 15 65

3 – 13 72

2 6 1

– 3 – 6 0

2 0 1

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



62

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



6.4

Quociente: 2y2 – 13y + 65Resto: – 175

6.5

Quociente:

Resto:

6.6

Quociente:

Resto: 37.

7. Pág. 252

Se 3 é zero de P(x), então pelo Teorema do resto tem-se:

P (3) = 0 ⇔ 32 – 3k + 3 = 0

⇔ 9 – 3k + 3 = 0

⇔ 12 – 3k = 0

⇔ k = 4.

8. Se x2 – 6x + m é divisível por x + 2 então

P (– 2) = 0 ⇔ (– 2)2 – 6 (– 2) + m = 0

⇔ 4 + 12 + m = 0

⇔ m = – 16.

9. P (1) = 3 ⇔ 13 + 2 (a + 3) (1)2 – 3 (1) = 3

⇔ 1 + 2a + 6 – 3 = 3

⇔ 2a + 4 = 3

⇔ a = .

10. Se x3 + (k – 5)x2 – 2x – (3k + 2) é divisível por x – 1 então, tem-se:

⇔ 13 + (k – 5) (1)2 – 2 (1) – (3k + 2) = 0

⇔ 1 + k – 5 – 2 – 3k – 2 = 0

⇔ – 2k – 8 = 0

⇔ k = – 4.

11.1 Seja P(x) = x5 – 3.

P (2) = 25 – 3 = 32 – 3 = 29

O resto é 29.

–

12

xx

2

343

113

;+ +

– .

14

2

52

2x x– – ;

11.2

11.3 Seja M(x) = 9x2 – 29x – 3

M (– 3) = 9 (– 3)2 – 29 (– 3) – 3 = 165

O resto é 165.

12. Seja P(x) = 2x3 – 3ax2 + 2x + b .

Como P(x) é divisível por x – 1 , tem-se P(1) = 0 e se P(x) divi-

dido por 2x + 4 dá resto 3, tem-se:

P (– 2) = 3.

Resposta: a = – 3 e b = – 13.

13. Se A(x) é divisível por B(x) então

14.1 P(1) = 14 – 5 × (1)3 + 6 × (1)2 – 2 = 1 – 5 + 6 – 2 = 0

Como P(1) = 0 então o polinómio P(x) é divisível pelo polinó-

mio Q(x).

14.2

Como então o polinómio P(x) é divisível pelo polinó-

mio Q(x).

14.3 P(– 2) = – 2 ×( –2)3 +(– 2)2 = – 2 ×(– 8) + 4 = 16 + 4 = 20

Como P(– 2) = 20 0 0 então o polinómio P(x) não é divisível

pelo polinómio Q(x).

15.1 Pág. 253

⇔ = + =

⇔ =

–x x

x x

8 62

8 62

7

›

› == – 1

Então, tem-se – 8 + 7 = ( – 1) (2x x x xx – 7).

–

–

x x

x

2 8 7 0

8 64 282

+ =

⇔ = ±

P 2( ) = 0

P 2( ) = ( ) ( ) +– –13

2103

2 2 7 2 23 2

–= × × +

=

13

2 2103

2 2 6 2

22 23

20 23

18 23

0

– +

=

A

k

32

= 0 . Tem-se, assim:

32

2

++

= ⇔ + =– –532

1 094

152

1 0k

⇔⇔ = ⇔ = ⇔ =– – – .94

132

9 26269

k k k

P

P

(1) = 0

(– 2) = 3

2(1) – 33

⇔aa b

a

(1) + 2 (1) + = 0

2 (– 2) – 3 (– 2)

2

3 2 + 2 (– 2) + = 3b

a b

⇔+ + =–2 3 2

– – –

–0

16 12 4 3

3

a b

a b

+ =

⇔+ = –

–

–

–

4

12 23

4 3

12

a b

b a

a

+ =

⇔= +

––

–

–4 3 23

4 3

9 27+ =

⇔= +

=a

b a

a

⇔= +=

⇔=

– (– )

–

b

a

b

4 3 3

3

––

–

13

3a =

Se ( ) = 2 – 3 + 23Q x x x

Q13

213

=

+ =3

313

22927

2927

–

.O resto é

2 – 3 0 150

– 5 – 10 65 – 325

2 – 13 65 – 175

2 0 – 3 1

12

1

12

–54

2 1 –

52

–14

1 1 – 1 4

3 3 12 33

1 4 11 37

15.2

15.3

15.4 x2 – 4x + 4 = 0

⇔ (x – 2)2 = 0 ⇔ x – 2 = 0

⇔ x = 2 (2 é zero de multiplicidade 2)

Então, tem-se: x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 = (x – 2) (x – 2).

15.5

15.6

16.1 (x – 3)2 – 2 (x – 3) = (x – 3) [(x – 3) – 2] = (x – 3) (x – 5).

16.2 (3x – 5)2 – (7x + 2)2

= [(3x – 5) – (7x + 2)] [(3x – 5] + (7x + 2)]

= (– 4x – 7) ( 10x – 3).

16.3 (x – 3)2 – (x – 3) (x + 3) = (x – 3) [(x – 3) – (x + 3)]

= (x – 3) (x – 3 – x –3) = – 6 (x – 3).

16.4 (x – 1) – (x2 – 1) = (x – 1) – (x – 1) (x + 1)

= (x – 1) [1 – (x + 1)] = (x – 1) (1 – x – 1) = – x (x – 1).

16.5

( – ) –

( – )

3 2 9 212

3 2

22

2

x x

x

+

= –– ( – ) –3 212

3 2 62

2x x x+

= +

– –

32

3 2 632

2

= ( ) +

x x –

– –

3 2 632

3

x x

x

( ) + +

= 772

912

– .x

– –2 2 2 0

2 2 164

2x x

x

=

⇔ = ± +

⇔ xx

x x–

= ±

⇔ = + =

⇔

2 184

2 3 24

2 3 24

›

xx x

x x

–

–

= =

⇔ = =

4 24

2 24

22

2

›

›

EEntão, tem-se: 2 2x x x– –2 2 22

2= +

( )x – .2

–

–

13

x x

x x

2

2

2 3 0

6 9 0

+ =

⇔ + = ⇔ ( – )

–

(

x

x

x

3 0

3 0

3 3

2 =⇔ =⇔ = é um zero de multiplicidade 2)

Então, tem-se:113

x x x x x2 22 313

313

3– ( – ) – (+ = = ( ) – ) .3

–

–

x x

x

2 3 8 0

3 9 322

+ =

⇔ = ±

equaçção impossível em .

Não é possível decom

R

ppor em factores o polinómio – 3 + 8 .2x x

6 2x x

x

–

–

5 1 0

5 25 2412

+ =

⇔ = ±

⇔ –x x

x

= + =

⇔ =

5 112

5 112

12

›

›

– –

x

x x x

=

+ =

13

5 1 6Então, tem-se 6 2 – – –13

12

3 1 2 1

= ( ) ( )x x x .

16.6

16.7 (x – 3)2 – 2x + 6

= x2 – 6x + 9 – 2x + 6

= x2 – 8x + 15

Então tem-se: x2 – 8x + 15 = (x – 5) (x – 3) .

16.8 (4x2 – 4) – (1 – x) = 4 (x2 – 1) + (x – 1)

= 4 (x – 1) (x + 1) + (x – 1) = (x – 1) [4 (x + 1) + 1]

= (x – 1) (4x + 4 + 1) = (x – 1) (4x + 5).

17.1 9x3 – 6x2 + x = x (9x2 – 6x + 1)

= x (3x – 1)2 = x (3x – 1) (3x – 1).

17.2 Como é zero do polinómio 4x3 – 8x2 – x + 2 , vem:

17.3 Sabe-se que 1 e 2 são zeros de x5 – 5x3 + 4x , aplicando a regrade Ruffini, vem:

– –4 6 4 0

6 36 648

2x x

x

=

⇔ = ± + ⇔ –x x

x x

= + =

⇔ =

6 108

6 108

2

›

› == –12

Então tem-se: 4 – 6 – 4 = 4 +2x x x112

e

( )

=

– .

– – –

x

x x x

2

4 8 2 43 2 – ( – )x x x12

12

2

+

=

–= ( )2 1 2x xx x – .+( ) ( )1 2

12

Cálculo auxiliar: – 8 + 15 = 02x x

⇔ =8 64 – 60

2x

x x

±

⇔ = + =8 22

8›

– 22

5 3⇔ = =x x›

– – –

–

112

3 114

11

22x x

=22

3 112

112

2

x x x

+

=

– –

1112

112

3 112

– – –x x x

+

=

– – – –112

112

332

x x xx

x x

=

( )

=

– – –

– –

112

2 2

2 1 – .12

1 2 1x x x x

+( ) = ( ) +( )

4 – 8 – 1 2

12

2 – 3 – 2

4 – 6 – 4 0

63

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



1 0 – 5 0 4 0

1 1 1 – 4 – 4 0

1 1 – 4 – 4 0 0

2 2 6 4 0

1 3 2 0 0

1 2 – 13 10

1 – 1 3 – 10

1 3 – 10 0

64

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



17.4 Dizer que o polinómio é divisível por é o mesmo que

dizer que é divisível por , aplicando a regra deRuffini, vem:

17.5 Aplicando a regra de Ruffini, vem:

Então o polinómio x4 – 9x3 + 29x2 – 39x + 18 pode ser escritoda seguinte forma:

x4 – 9x3 + 29x2 – 39x + 18 = (x – 3)2 (x – 2) (x – 1)= (x – 3) (x – 3) (x – 2) (x – 1).

Então, tem-se: – 9 + 29 – 39 + 184 3 2x x x x == ( – 3) (2 2x x x

x x

– )

–

3 2

3 2 02

+

+ = ⇔ –x

x x

= ±

⇔ = + =

3 9 82

3 12

›33 1

22 1

–.⇔ = =x x›

Logo, 4x x x x x– – –4154

112

3 2+ + =

+

+

=

( – )

–

x x x

x

12

4 4

12

2

+

( )

=

+

–

–

x x

x x

12

2

12

2

112

2 2

( )– ( – ).x x

x x–

12

12

+

x2 1

4–

( )

x x x

x x x

3 2

2

3 2 0

3 2 0

+ + =

⇔ + + =

⇔⇔ = = ±

⇔ =

– –x x

x

03 9 8

2

0

›

› xx x

x

– – –= + =

⇔ =

3 12

3 12

0

›

› xx x

x x

– –

–

= =1 2

5

›

Tem-se, então: 5 33 4 1 1 2 2( – ) ( ) ( – ) ( )+ = + +x x x x x x ..

18.1 Aplicando a regra de Ruffini:

– 2 é um zero de multiplicidade dois.

O polinómio x3 + 5x2 + 8x + 4 pode ser escrito da seguinte forma:

x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x + 2) (x + 2) (x + 1) .

18.2 Aplicando a regra de Ruffini:

– 2 é um zero de multiplicidade três.

O polinómio x4 + 5x3 + 6x2 – 4x – 8 pode ser escrito da seguinteforma: x4 + 5x3 + 6x2 – 4x – 8 = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x – 1) .

19.1 Pág. 254

1 é zero de A(x) se A(1) = 0. Calculemos, então A(1):

A(1) = 13 + 2 × 12 – 13 × 1 + 10 = 1 + 2 – 13 + 10 = 0

Então, 1 é zero do polinómio.

19.2

Então, tem-se:

x x x x x3 2 2+ 2 – 13 + 10 = ( – 1) ( + 3xx

x x x

– 10)

2 ––+ = ⇔ =3 10 0

3 ±± + ⇔ = ±

⇔ = +

9 402

3 72

3 72

–

–

x

x ›› ›– –

–x x x= ⇔ = =3 72

2 5

Logo, A x x x x( ) ( – ) ( – ) ( ) .= +1 2 5

1 – 4

154

1 – 1

12

12

–74

1 1

1 –

72

2 2 0

–

12

–12

2 – 2

1 – 4 4 0

1 – 9 29 – 39 18

3 3 – 18 33 – 18

1 – 6 11 – 6 0

3 3 – 9 6

1 – 3 2 0

1 5 8 4

– 2 – 2 – 6 – 4

1 3 2 0

– 2 – 2 – 2

1 1 0

– 2 – 2

1 – 1

1 5 6 – 4 – 8

– 2 – 2 – 6 0 8

1 3 0 – 4 0

– 2 – 2 – 2 4

1 1 – 2 0

– 2 – 2 2

1 – 1 0

– 2 – 2

1 – 3

19.3 Constrói-se um quadro de variação do sinal de cada um dos factores:

A(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ ] – ? , – 5] < [1 , 2].

20.1 Aplicando a regra de Ruffini.

Então, – 1 é uma raiz tripla de P(x) .

20.2 P(x) = (x + 1) (x + 1) (x + 1) (2x – 3).

20.3 Constrói-se um quadro de variação do sinal de cada um dos fac-tores.

21.1 Sabe-se que P(x) é divisível por (x + 3) (x + 2) então:

P e P

a

(– ) (– ) .

(– ) – (–

3 0 2 0

2 3 4

= =

33 3 3 6 0

2 2

3 2

4

) ( – ) (– ) –

(– ) –

+ + =b

a (– ) (– ) (– ) –2 2 2 6 0

1

3 2+ + =

⇔

b

662 27 9 3 6 0

32 8 4 2

– –

–

+ + =+ +

a b

a b ––

–

–6 0

27 9 153

8 4=

⇔+ =

+ =a b

a b

–

–

24

3 17

2 6

⇔+ =+ =

⇔a b

a b

bb a

a a

b– –

– – –

==

⇔=17 3

2 17 3 6

– –

–

– – (–

17 3

11

17 3 11

a

a

b

=

⇔= ))

– –a

b

a=

⇔==

11

16

11

Resposta:: = – 11 e = 16 .a b

P x x( ) – , – ,> ?0 1

32

⇔ ∪ +∈ ?? .

x – ? – 5 1 2 + ?

x – 1 – – – 0 + + +

x – 2 – – – – – 0 +

x + 5 – 0 + + + + +

A(x) – 0 + 0 – 0 +

21.2 Substituindo a = – 11 e b = 16 no polinómio P(x), vem:

P(x) = 2x4 + 11x3 + 16x2 + x – 6

Aplicando a regra de Ruffini:

22. Vamos verificar se – 4x3 + 3x + 1 é divisível por x – 1 , aplicandoa regra de Ruffini:

Como o resto é zero, o polinómio – 4x3 + 3x + 1 é divisível por x – 1. Então, tem-se:

– 4x3 + 3x + 1 = (x – 1) (– 4x2 – 4x – 1)

Logo, A(x) = – 4x2 – 4x – 1 .

23. Seja P(x) = x3 + 6x2 + 11x + m.

– 1 é raiz de P(x) se P(– 1) = 0 , então vem:

(– 1)3 + 6 (– 1)2 + 11 (– 1) + m = 0

⇔ – 1 + 6 – 11 + m = 0

⇔ m = 6

Para m = 6 , vem: P(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6.

Aplicando a regra de Ruffini, vem:

Então, tem-se: ( ) = ( + 1) ( +P x x x x2 5 6+ ))

– –x x x2 5 6 0

5 25 242

+ + = ⇔ = ±

⇔ xx x x– – –

–= + = ⇔ =5 12

5 12

2› –

(

› x

x x x x

=

+ + + =

3

6 11 63 2Logo, ++ + +) ( ) ( ) .1 2 3x x

Então, tem-se: ( ) = ( + 3) ( + 2) (2 2P x x x x + – 1)

2 2

x

x x x––+ = ⇔ = ± +

1 01 1 –

– –

84

1 34

1 34

⇔ = ±

⇔ =

x

x x› == + ⇔ = =––

(

1 34

112

x x

P

›

Logo, xx x x x x) ( ) ( ) ( ) –= + + +

2 3 2 112

.

2 3 – 3 – 7 – 3

– 1 – 2 – 1 4 3

2 1 – 4 – 3 0

– 1 – 2 1 3

2 – 1 – 3 0

– 1 – 2 3

2 – 3 0

2 11 16 1 – 6

– 3 – 6 – 15 – 3 6

2 5 1 – 2 0

– 2 – 4 – 2 2

2 1 – 1 0

x – ? – 1

32

+ ?

(x + 1)3 – 0 + + +

2x – 3 – – – 0 +

P(x) + 0 – 0 +

– 4 0 3 1

1 – 4 – 4 – 1

– 4 – 4 – 1 0

1 6 11 6

– 1 – 1 – 5 – 6

1 5 6 0

65

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



66

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



24. Seja P(x) o polinómio pretendido, então:

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d , com a 0 0 .

Como 3 é o coeficiente de x3 , temos:

P(x) = 3x3 + bx2 + cx + d .

Por outro lado, temos que 1 e 0 são zeros de P(x) , logo P(1) eP(0) são iguais a zero:

e sabe-se, também, que o polinómio P(x) dividido por x + 3 dáresto 4, ou seja, P (– 3) = 4 .P(– 3) = 4 ⇔ 3(– 3)3 + b (– 3)2 + c (– 3) = 4 (pois d = 0)

⇔ – 81 + 9b – 3c = 4

⇔ 9b – 3c = 85

Tem-se estão que:

25.1 Pág. 255

O polinómio P(x) é divisível por x + 1 se P(– 1) = 0.

P(– 1) = 0 ⇔ 2(– 1)3 + k (– 1)2 + (1 – k) (– 1) – 3 = 0

⇔ – 2 + k – 1 + k – 3 = 0

⇔ 2k – 6 = 0

⇔ k = 3.

25.2 Para k = 3 , vem: P(x) = 2x3 + 3x2 – 2x – 3


26.1 O resto da divisão de P(x) por 2x – 1 é 3 , logo ,

P –12

3 212

412

3

= ⇔

2212

4 3

218

414

–

+

+ =

⇔ × × +

m

–

– .

12

4 312

14

12

m m

m

+ = ⇔ =

⇔ =

P .

12

3

=

Então, tem-se ( ) = ( + 1) (2 2P x x x x – )+ 3

22 3 01 1 24

42x x x

x

––+ = ⇔ = ± +

⇔ == + =

⇔ =

– – –1 54

1 54

1

›

›

x

x –

( ) ( ) ( – )

x

P x x x

=

= +

32

2 1 1Logo, – .x x x x+

= +( ) ( ) +( )32

1 1 2 3

3 0 9 3 85

3

–

– –

+ + = ==

b c b c

c b

‹

– (– – )

– –

‹ 9 3 3 85

3

b b

c b

==

– –

‹ 9 3 9 85

3

b b

c b

+ + == ‹‹

‹– –

12 76

193

3193

b

c b

c

=

= =

= –

( )

283

193

3

‹ b

P x

=

=Logo, xx x x3 2193

283

–+ .

P

P

b c

d

( )

( )

1 0

0 0

3 0

0

==

⇔+ + ==

26.2 Para m = – 2 , vem: 2x3 – 4x2 – 2x + 4 .


Então tem-se: P(x) = (x – 2) (2x2 – 2)

P(x) = (x – 2) 2(2x2 – 1)

P(x) = 2(x – 2) (x – 1) (x + 1)

P(x) = (2x – 4) (x – 1) (x + 1).

27.1

27.2

f(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ ] – ? , – 6] < [0 , 3] .

28.1 – 3 é raiz do polinómio p(x) se p(– 3) = 0 .

p (– 3) = 0 ⇔ (– 3)3 – p (– 3)2 – 3 (– 3) = 0

⇔ – 27 – 9p + 9 = 0

⇔ – 9p – 18 = 0

⇔ p = – 2 .

28.2 Constrói-se um quadro de variação do sinal de cada um dos fac-tores.

p(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ ] – ? , – 3] < [0 , 1] .

( ) – –f x x x x

x

= ⇔ + =

⇔

023

2 12 03 2

– –

–

23

2 12 0

0

2x x

x

+

=

⇔ = ›223

2 12 0

0 2 6

2

2

x x

x x x

–

– –

+ =

⇔ = › ++ =

⇔ = = ± +

⇔

–

36 0

06 36 288

4x x›

xx x x–

––

= = + =

⇔

06 18

46 18

4› ›

–x x x= = =0 6 3› ›

zeros: – 6 , 0 e 3 .

( ) = –23

( )f x x x + 6 ( – ) .x 3

2 3 – 2 – 3

– 1 – 2 – 1 3

2 1 – 3 0

2 – 4 – 2 4

2 4 0 – 4

2 0 – 2 0

x – ? – 6 0 3 + ?

–

23

x + + + 0 – – –

x + 6 – 0 + + + + +

x – 3 – – – – – 0 +

f(x) + 0 – 0 + 0 –

x – ? – 3 0 1 + ?

x – 1 – – – – – 0 +

x + 3 – 0 + + + + +

x – – – 0 + + +

p(x) – 0 + 0 – 0 +

29.1 x3 – x ≤ 0 ⇔ x (x2 – 1) ≤ 0 Pág. 256

Constrói-se um quadro de variação do sinal de cada um dos fac-

tores do 1.° membro.

Cálculo auxiliar: x (x2 – 1) = 0

x = 0 › x2 – 1 = 0

x = 0 › x = – 1 › x = 1

x3 – x ≤ 0 ⇔ x ∈ ] – ? , – 1] < [0 , 1] .

29.2 x2 ≥ x3 ⇔ x2 – x3 ≥ 0 ⇔ x2 (1 – x) ≥ 0

Constrói-se um quadro de variação do sinal de cada um dos fac-

tores do 1.° membro.

Cálculo auxiliar: x2 (1 – x) = 0

x2 = 0 › 1 – x = 0

x = 0 › x = 1

x2 ≥ x3 ⇔ x ∈ ] – ? , – 1] .

29.3 x3 + 6x ≤ – 5x2

⇔ x3 + 5x2 + 6x ≤ 0

⇔ x (x2 + 5x + 6) ≤ 0

Constrói-se um quadro de sinais:

Cálculo auxiliar:

x3 + 6x ≤ – 5x2 ⇔ x ∈ ] – ? , – 3] < [– 2 , 0] .

29.4 x2 (x – 1) + x – 1 < 0

⇔ (x – 1) (x2 + 1) < 0

x x x

x x

( )

– –

2 5 6 0

05 25

+ + =

= = ±›

– – –

242

05 12

5 1x x x= = + =› ›

220 2 3x x x– –= = =› ›

x – ? – 3 – 2 0 + ?

x – – – – – 0 +

x2 + 5x + 6 + 0 – 0 + + +

x3 + 5x2 + 6x – 0 + 0 – 0 +

x – ? 0 1 + ?

x2 + 0 + + +

1 – x + + + 0 –

x2 (1 – x) + 0 + 0 –

x – ? – 1 0 1 + ?

x – – – 0 + + +

x2 – 1 + 0 – – – 0 +

x(x2 – 1) – 0 + 0 – 0 +


Cálculo auxiliar:

x2 (x – 1) + x – 1 < 0 ⇔ x ∈ ] – ? , 1[ .

29.5 (x – 3)2 – 2 (x – 3)3 ≤ 0

⇔ (x – 3)2 [1 – 2 (x – 3)] ≤ 0

⇔ (x – 3)2 (1 – 2x + 6) ≤ 0

⇔ (x – 3)2 (– 2x + 7) ≤ 0


Cálculo auxiliar:

(x – 3)2 – 2 (x – 3)3 ≤ 0

29.6 (x – 2)2 (3 + x)5 > 0


Cálculo auxiliar: (x – 2)2 (3 + x)5 = 0⇔ (x – 2)2 = 0 › (3 + x)5 = 0⇔ x = 2 › x = – 3

(x – 2)2 (3 + x)5 > 0 ⇔ x ∈ ]– 3 , 2[ < ] 2 , + ?[ .

30.1 Comprimento do rectângulo onde está incluído o desenho:80 – 2x .Largura do rectângulo onde está incluído o desenho: 50 – 2x .Área do rectângulo onde está incluído o desenho: (80 – 2x) (50 – 2x) , tem-se,

A = (80 – 2x) (50 – 2x)

A = 4000 – 160x – 100x + 4x2

A = 4x2 – 260x + 4000 (c. q. m.)

x – ? – 3 2 + ?

(x – 2)2 + + + 0 +

(3 + x)5 – 0 + + +

(x – 2)2 (3 + x)5 – 0 + 0 +

⇔ { } ∪

∈ 372

, +x .?

– ( – )

–

x x

x

3 2 7 0

3

2

2

( ) + =

⇔ ( ) = –0 2 7 0

3

›

›

x

x

+ =

⇔ = x = 72

( – 1) ( + 1) = 0

– 1 = 0 + 1 = 0

2

2

x x

x x›

x = 1

x – ? 1 + ?

x – 1 – 0 +

x2 + 1 + + +

(x – 1) (x2 + 1) – 0 +

x – ? 3

72

+ ?

(x – 3)2 + 0 + + +

– 2x + 7 + + + 0 –

(x – 3)2 (– 2x + 7) + 0 + 0 –

67

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



twuwvequação

impossível em R

68

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



30.2

Como x ∈ ]0 , 25[ , tem-se x = 10 cm .

31.1 No início da experiência:

T(0) = (0 + 0,2)2 – 0,16 × 0 = 0,04

No final da experiência:

T(4) = (4 + 0,2)2 – 0,16 × 44 = – 23,32

A temperatura no início e no fim da experiência foi, respectiva-

mente de 0,04 °C e – 23,32 ºC.

31.2 a) Recorrendo à calculadora gráfica determina-se o zero da função:

T(t) = (t + 0,2)2 – 0,16t4, com t ∈ [0 , + ?[ .

O zero é t ¯ 2,686.

Tem-se que 0,686 horas ¯ 41 minutos.

Resposta: 2 h 41 min.

b) Recorrendo à calculadora gráfica determinam-se os pontos da

intersecção dos gráficos das funções:

y1 = (t + 0,2)2 – 0,16 t4

y2 = 1

com t ∈ [0 , + ?[ .

As abcissas desses pontos são: t ¯ 0,839 e t ¯ 2,509.

2,509 – 0,839 = 1,67

Tem-se que 0,67 horas ¯ 40 min.

Resposta: A temperatura da substância foi não inferior a 1 °C

durante, aproximadamente, 1h 40 min.

31.3 (t + 0,2)2 – 0,16 t4

= (t + 0,2)2 – (0,4 t2)2

= (t + 0,2 – 0,4 t2) (t + 0,2 + 0,4 t2)

= (– 0,4 t2 + t + 0,2) (0,4 t2 + t + 0,2)

32.1 A função procurada é da forma: Pág. 257

y = a (x – h)2 + k , a 0 0 .

O vértice da parábola tem coordenadas (h , k).

Sabe-se que: h = 2,3 e k = 4,5 e quando x = 0 , y = 1,9.

Logo, um modelo matemático em que a altura h em metros, da

bola, é função de x é, por exemplo:

h x x( ) – – , , .= ( ) +260

5292 3 4 5

2

– , ,

; ,

y a x= ( ) +

( )2 3 4 5

0 1 9

2

::

, – , ,

,

1 9 0 2 3 4 5

1 9

2= ( ) +

⇔ =

a

aa a a, ,– ,

,–× + ⇔ = ⇔ =5 29 4 5

2 65 29

260529

( ) = 1800

4 – 260 + 4000 = 182

A x

x x⇔ 000

4 2⇔ + =

⇔ +

x x

x x

–

–

260 2200 0

2 1302 11100 0

130 16 900 88004

1

–

=

⇔ = ±

⇔ =

x

x330 90

4130 90

455

–+ =

⇔ =

› x

x › x = 10

32.2 A altura do cesto deveria ser igual ao valor numérico, em metros,de h(4).

Resposta: h(4) ¯ 3,08 metros. O cesto deve estar a cerca de 3 metros de altura.

33.1 P(8) = 9 × 8 – 8 × 82 – 83 = 729t + 8t2 – t3 = 72⇔ – t3 + 8t2 + 9t – 72 = 0


Então, tem-se: – t3 + 8t2 + 9t – 72 = (t – 8) (– t2 + 9).

(t – 8) (– t2 + 9) = 0 ⇔ t = 8 › – t2 + 9 = 0

⇔ t = 8 › t2 – 9 = 0

⇔ t = 8 › t = – 3 ~ t = 3

⇔ t = 8 › t = 3 (pois o 0 ≤ t ≤ 8)

Ao fim de 3 horas de trabalho o trabalhador produz 72 peças porhora.

33.2 a) Inseriu-se na calculadora gráfica a função y1 = 9t + 8t2 – t3, edeterminou-se o máximo da função.

O máximo absoluto da função ocorre para t ¯ 5,846.A produtividade é máxima ao fim de aproximadamente 5,8 horas.

b) A produtividade máxima é de aproximadamente 126 peçaspor hora.

1.1 Pág. 258

a) Às zero horas desse dia corresponde t = 0 .P(0) = 4.Resposta: 4 mg/<.

b) Às 24 horas desse dia corresponde t = 24 .

P(24) = – 0,0007 × 243 + 0,04 × 242 – 0,55 × 24 + 4 = 4,1632

Resposta: 4,16 mg/m<.

c) Às 11 horas e 45 minutos desse dia corresponde t = 11,75.

P (11,75) ¯ 1,92 mg/< .

d) Às 5 horas e 45 minutos da tarde desse dia é o mesmo que dizeràs 17 horas e 45 minutos desse dia, o que corresponde a t = 17,75 .P (17,75) ¯ 2,93 mg/< .

126,2

tO

y

85,8

h( ) – – , , , .4

260529

4 2 3 4 5 3 082= ( ) + ≈

– 1 8 9 – 72

8 – 8 0 72

– 1 0 9 0

1.2 É dito no enunciado que:

• o purificador foi ligado às zero horas e desligado algumas horasdepois.

• o nível de poluição do ar diminui, enquanto o purificador esteveligado.

• uma vez o purificador desligado, o nível de poluição do ar come-çou de imediato a aumentar.

Temos, portanto, de estudar a função P , quanto à monotonia,para podermos saber durante quanto tempo é que o purificadoresteve ligado.

Recorrendo à calculadora gráfica, constrói-se a seguinte tabela:

Então, tem-se 9,002 h ¯ 9 h 00 min.

Concluímos que o nível de poluição do ar diminui desde as zerohoras (instante em que o purificador foi ligado) até às 9 h 00 min.,tendo aumentado a partir desse instante.

Resposta: O purificador de ar esteve ligado durante 9 h 00 min.

1.3 Recorrendo, novamente, à calculadora gráfica determinam-se asabcissas dos pontos de intersecção dos gráficos das seguintes fun-ções:

y1 = – 0,0007t3 + 0,04t2 – 0,55t + 4

y2 = 2,6

As abcissas procuradas são:

t ¯ 3,285 e t ¯ 16,141.

16,141 – 3,285 = 12,856 e 12,856 h ¯ 12 h 51 min

O nível de poluição do ar foi inferior a 2,6 mg/< durante, aproxi-madamente, 12 h 51 min.

1.4 Recorrendo, de novo, à calculadora gráfica determinam-se as abcis-sas dos pontos de intersecção dos gráficos das seguintes funções:

y1 = – 0,0007t3 + 0,04t2 – 0,55t + 4

y2 = 1,8

Os valores procurados são:

10 – 8,037 = 1,963

O nível de poluição do ar foi inferior a 1,8 mg/< apenas durante1,963 horas, aproximadamente.

Concluímos, assim que o nível de poluição do ar foi inferior a 1,8 mg/< durante aproximadamente 1 h 58 min. Logo, se o Pedroesperou durante 2 horas, o nível de poluição nesse período nãopode ter sido sempre inferior a 1,8 mg/<.

O 10 x

y

248,037

1,8

t 0 9,002 24

p(t) ¢ 1,780 £

2.1 12 horas e 15 minutos corresponde a t = 15 . Pág. 259d2 (15) ¯ 113,18 .

Resposta: A Helena às 12 horas e 15 minutos encontra-se, aproxi-madamente, a 113,18 decâmetros da escola.

2.2 Recorrendo à calculadora gráfica determina-se o máximo da funçãod2 .

O valor pedido é 116,37 (duas casas decimais).

Resposta: A distância máxima a que a Helena esteve da escola foi,aproximadamente, 116,37 decâmetros.

2.3 Sabe-se que 200 metros = 20 decâmetros.

Recorrendo, novamente, à calculadora gráfica determinam-se asabcissas dos pontos de intersecção dos gráficos das funções:

y1 = 0,883t2 + 18t

y2 = 20


t ¯ 1,179 e t ¯ 19,206

19,206 – 1,179 = 18,027

Como 18,027 min ¯ 18 min 2 segundos, concluí-se que o Carlosestve a mais de 200 metros da escola durante, aproximadamente,18 min e 2 segundos.

2.4 Determinemos os zeros de d1:

Resposta: Quando o Carlos chegou à escola a Helena, ainda, estavaa cerca de 96,31 decâmetros da escola.

2.5 Pretende-se determinar o valor de t , tal que: d1 = d2 .

Recorrendo à calculadora gráfica determinam-se as coordenadas doponto, P , de intersecção dos gráficos das funções:

y1 = – 0,883t2 + 18t

y2 = – 0,05t (t – 25) (t + 0,09)

Obtém-se, assim, que: P(11,52 ; 90,17).

Então, tem-se 11,52 min ¯ 11 min 31 s

Interpretação: 11,52 minutos após terem saído da escola, ou seja,aproximadamente às 12 h 12 min, o Carlos e a Helena encontra-vam-se à mesma distância da escola, sendo esta distância de 90,17decâmetros.

3.1 Pág. 260A altura do Pedro será igual à diferença entre h(0) e altura da pe-dra. Então, tem-se: h(0) – 0,5 = 2,25 – 0,5 = 1,75.Resposta: O Pedro tem 1,75 metros de altura, aproximadamente.

Substituindo em , vem:t d

d

= 18 000883 2

2 – , –=

0 0518 000

88318 000

88325

+

≈

,

,

18 000883

0 09

96 312d

– 0, 883 + 18 = 0

(– 0,883 + 1

t t

t t

2

⇔ 88) = 0

= 0 – 0,883 + 18 = 0

=

⇔

⇔

t t

t

›

0 =18

0,883

= 0

›

›

t

t t⇔ = 18 0008833

20 39,≈

69

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



70

CE

XM

A10

© P

orto

Edi

tora



3.2 h (16) = 24,65 ;h (27) = 25,2 ;h (38) = 13,65 .

A distância pedida só pode ser 27 metros.

A hipótese (A) não pode ser porque h(16) < 25 .

A hipótese (C) também não pode ser porque h(38) < 25.

Resposta: (B) 27 metros.

3.3 a) h(x) = 0

Resposta: Os zeros da função h são: – 1 , 0 e 45.

b) h(x) = – 0,05x (x + 1) (x – 45).

4.1 Comprimento do fundo da caixa: Pág. 261x + 6 – x – x = (– x + 6) cm

Largura do fundo da caixa:3x + 1 – x – x = (x + 1) cm

4.2 x > 0 ‹ – x + 6 > 0 ‹ x + 1 > 0

⇔ x > 0 ‹ – x > – 6 ‹ x > – 1

⇔ x > 0 ‹ x < 6 ‹ x > – 1

⇔ x ∈ ]0 , 6[

4.3 Volume = área da base × altura

V(x) = (– x + 6) (x + 1) x= (– x2 – x + 6x + 6) x= – x3 + 5x2 + 6x (c. q. m.)

4.4 • Folha de cartãocomprimento: (x + 6) cm , se x = 2 cm , então o comprimento é 8 cm ;largura: (3x + 1) cm , se x = 2 cm , então a largura é 7 cm;Dimensões da folha de cartão: 8 cm × 7 cm.

• Caixacomprimento: (– x + 6) cm, se x = 2 cm , então o comprimento é 4 cm ;largura: (x + 1) cm, se x = 2 cm , então a largura é 3 cm;altura: x cm , se x = 2 cm , então a altura é 2 cm.Dimensões da caixa: 4 cm × 3 cm × 2 cm .

• Volumevolume: (– x3 + 5x2 + 6x) cm3 , se x = 2 cm , então o volume dacaixa é 24 cm3 .

4.5 V(5) = – 53 + 5 × 52 + 6 × 5 = 30

O volume da caixa para x = 5 cm é 30 cm3.

4.6 Pretende-se determinar x tal que:

V(x) = 30 , tem-se então que:

– x3 + 5x2 + 6x = 30

⇔ – x3 + 5x2 + 6x – 30 = 0

⇔ + + =

⇔

– , , ,

(– ,

0 05 2 2 2 25 0

0 0

3 2x x x

x 55 2 2 2 25 0

0 0 05

2x x

x x

, , )

– ,

+ + =

⇔ = › 22 2 2 2 25 0

02 2

, ,

– ,

+ + =

⇔ = =

x

x x›±± +

⇔ = = +

, ,– ,

– ,

4 84 0 450 1

02 2

x x›,

– ,– , – ,

– ,2 3

0 12 2 2 3

0 10

› x

x

=

⇔ = –› ›x x= =1 45

Aplicando a regra de Ruffini, tem-se:

4.7 Recorrendo à calculadora gráfica determina-se as coordenadas doponto do máximo da função:

y1 = – x3 + 5x2 + 6x

e usando, por exemplo, a seguinte janela de visualização:

Xmín. = 0

Xmáx. = 6

Ymín. = 0

Ymáx. = 50 .

O ponto procurado tem as seguintes coordenadas:(3,85 ; 40,15).

Então tem-se que x ¯ 3,85 e as dimensões da folha de cartão são:

comprimento: 3,85 + 6 = 9, 85largura: 3(3,85) + 1 = 12,55

Resposta: As dimensões da folha de cartão são 9,9 cm × 12,6 cm.

5.1 A base é um rectângulo cujas dimensões são: Pág. 262

15x e 21 – 2x , então tem-se:

P(x) = 2 (15 – x) + 2 (21 – 2x)

= 30 – 2x + 42 – 4x= 72 – 6x= – 6x + 72 (c. q. m.)

A área do fundo da caixa é dada por:

A(x) = (15 – x) (21 – 2x)= 315 – 30x – 21x + 2x2

= 315 – 51x + 2x2 (c. q. m.)

O volume V da caixa é dado por:

V = área da base × alturaV(x) = (315 – 51x + 2x2) xV(x) = 315x – 51x2 + 2x3 .

5.2 O domínio da função P é ]0 ; 10,5[ , já que:

x > 0 ‹ 15 – x > 0 ‹ 21 – 2x > 0x > 0 ‹ x < 15 ‹ x < 10,5

Logo, x ∈ ]0 ; 10,5[ .

As opções (B) e (C) ficam desde já excluídas, pois x não pode sernegativo nem superior a 10,5.

Se x = 10,5 então P = 9 (embora este valor não pertença ao con-junto das imagens de P), logo a opção (D) é também excluída.

Resposta: A opção correcta é a (A).

– –

( – ) (–

x x x

x

3 25 6 30 0

5

+ + =

⇔ )

– –

x

x x

2

2

6 0

5 0 6

+ =

⇔ = + =› 0

5 6

5

2⇔ = =

⇔ =

x x

x

›

–› ›x x

x

= =

⇔ =

6 6

5 › < <x x= 6 (pois 0 6)

Resposta: = 6 cm.x

– 1 5 6 – 30

5 – 5 0 30

– 1 0 6 0

5.3 Pág. 263

a) Recorrendo à calculadora gráfica determina-se o máximo dafunção:

y1 = 315x – 51x2 + 2x3

Usando, por exemplo, a seguinte janela de visualização:Xmín. = 0Xmáx. = 10,5Ymín. = 0Ymáx. = 600

O valor pedido é x ¯ 4,1 cm ;

b) Recorrendo à calculadora gráfica determina-se a abcissa do pontode intersecção dos gráficos das funções:y1 = 315 – 51x + 2x2

y2 = 81

Usando, por exemplo, a seguinte janela de visualização:Xmín. = 0Xmáx. = 10,5

Ymín. = 0

Ymáx. = 315

O valor procurado é x = 6 cm ;

5.4 a) V(x) = 315x – 51x2 + 2x3

= x (315 – 51x + 2x2)

Cálculo auxiliar:

Logo, V(x) = 2x (x – 10,5) (x – 15) ;

b) Recorrendo à calculadora gráfica determinam-se as abcissas dos

pontos de intersecção dos gráficos das seguintes funções:y1 = 315x – 51x2 + 2x3

y2 = 200

Usando, por exemplo, a seguinte janela de visualização :

Xmín. = 0

Xmáx. = 10,5Ymín. = 0

Ymáx. = 600


x ¯ 0,715 e x ¯ 8,677

V(x) > 200 ⇔ x ∈ ]0,71 ; 8,68[ . Então, tem-se:a ¯ 0,71 e b ¯ 8,68 .

5.5

A seguir apresenta-se o gráfico de A’:

Domínio de ': ]0 , 21[ , já que:A

x > 0 30 – 0 42 – 2 0

0

‹ > ‹ >

>

x x

x⇔ 30 21

]0 , 21

‹ < ‹ <x x

x⇔ ∈ [[

A área, ' , do fundo desta caixa é dada pA oor:

'( ) = (30 – ) (42 – 2 )

'( ) = 1260

A x x x

A x –– 60 – 42 + 2

'( ) = 2

2

2

x x x

A x x x– 102 1260+

–

–

2 51 315 0

51 2601

2x x

x

+ =

⇔ = ±

,

25204

51 94

15 10 5

⇔ = ±

⇔ = =

x

x x›

5.6 Área da base:

A(x) = (25 – x) (50 – 2x)

Volume da caixa:

V(x) = x(25 – x) (50 – 2x) , 0 < x < 25 .

Recorrendo à calculadora verificou-se que V é máximo para

x ¯ 8,3 cm .

6.1 0 < x < 6. Pág. 264

6.2 Usando semelhança de triângulos, tem-se que:

Então, o volume do paralelepípedo é dado, em função de x , e em

cm3 , por :

V(x) = (6 – x)2 x

V(x) = (36 – 12x + x2) x

V(x) = x3 – 12x2 + 36x (c. q. m.)

–,

–

66

32

6

x yy

AB

yx

= =

=( ) ×

–, .

3

66

2y

xAB x= logo = 6 –

50

50

25 – x

50 –

2x

x x

71

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© P

orto

Edi

tora



A quarta parte de 72 é 18. Logo, pretende-se determinar x talque V(x) > 18 .

Recorrendo à calculadora gráfica determinam-se as abcissas dospontos de intersecção dos gráficos nas funções:

y1 = x3 – 12x2 + 36xy2 = 18


Em seguida e da leitura do gráfico, conclui-se que:

V(x) > 18 ⇔ x ∈ [0,63 ; 3,83].

xO

V

3,833 60,63

18

72

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6.3 V(x) = x3

⇔ x3 – 12x2 + 36x = x3

⇔ – 12x2 + 36x = 0

⇔ 12x (– x + 3) = 0

⇔ 12x = 0 › – x + 3 = 0

⇔ x = 0 › x = 3

⇔ x = 3 (pois 0 < x < 6)

Logo V(x) = x3 ⇔ x = 3 .

Interpretação: para x = 3 o paralelepípedo é um cubo.

6.4 a) Recorrendo à calculadora gráfica determina-se o valor de xpara o qual a função V é máxima.

O valor procurado é x = 2 .

Logo, o paralelepípedo tem as seguintes dimensões:4 cm × 4 cm × 2 cm ;

b)

Volume da pirâmide =Área da base altur× aa

3

=36 6

3×

= 72

Capítulo 10


73

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2.3 Variável: comprimento da representação das avenidas no mapa.Classificação: quantitativa contínua.

3.1 1000 ;

3.2 10 ;

3.3 Variável: qualidade do queijo.Classificação: qualitativa.

4.1 Conjunto dos cinco alunos da turma. Pág. 275

4.2 Cada um dos cinco alunos.

4.3 Variável: número de irmãos;Classificação: quantitativa discreta.

4.4 Representam os dados estatísticos.

5. Por exemplo:

1.ª A população ser muito grande ou infinita.2.ª O estudo implicar a destruição da população.3.ª Por economia de tempo.

6. Seria aconselhável utilizar uma amostra em 6.1 e 6.2, porque oselementos eram destruídos ao efectuar-se o estudo.

7. Correspondem a uma variável discreta: 7.1, 7.2 e 7.5, uma vez que,qualquer uma delas, só pode tomar um número finito de valoresdistintos.

8.1 População: conjunto de todos os trabalhadores da empresa;Unidade estatística: cada um dos trabalhadores da empresa;

8.2 População: conjunto dos prédios da cidade;Unidade estatística: cada um dos prédios da cidade;

8.3 População: conjunto dos automóveis vendidos em Portugal no anopassado;Unidade estatística: cada uma dos automóveis vendidos em Portu-gal no ano passado.

9. Pág. 276

Não está de acordo, porque a ilustração transmite uma ideia devolume e o volume da segunda figura é muito superior ao dobro dovolume da primeira figura, e deveria ser exactamente o dobro dovolume, já que o valor das vendas duplicou.

10.1 Muito provavelmente o primeiro gráfico, porque transmite a ideiaque o desemprego aumentou de forma pouco acentuada.

10.2 Uso de uma escala diferente no eixo vertical.

11. O organismo de defesa do consumidor tem razão, dado que aentidade promotora do anúncio, ao utilizar como imagem um cír-culo, obteve uma área que não aumenta na mesma proporção dodiâmetro. Assim, quando o diâmetro duplicou a área do círculoquadruplicou. A razão das áreas do círculo menor para o círculomaior é de 1:16 e não de 1:4 como deveria ser.

12. Pág. 277

13

Freq

uênc

ia a

bsol

uta

98

Obras seleccionadas pelos jovens

Obras

Os

Mai

as

Os

Lus

íada

s

Men

sage

m

1. Pág. 272

A Inês pagou 120 euros. Sem qualquer desconto teria pago 135 euros.Logo,

Resposta: (A).

2.1

Resposta: (D).

2.2 A percentagem de escolas do ensino superior é 100% – 45% – 38% = 17% .

Então, tem-se:

Resposta: (B).

3. I. Variável quantitativa.II, III e IV são variáveis qualitativas.

Resposta: (C).

4. Pág. 273

Se o número de horas em Física é o mesmo de História, então osector correspondente a esta disciplina tem amplitude 60º.As amplitudes dos sectores correspondentes a Geometria e Inglêssão respectivamente 80º e 40º. Então o número de horas semanaisde Inglês é a terça parte do número de horas semanais de Matemá-tica, ou seja, 2 horas.

Resposta: (D).

5.1 10 + 15 + 20 + 25 + 15 + 5 = 90

Resposta: (D).

5.2 10 + 15 = 25

Resposta: (C).

5.3 25 + 15 + 5 = 45

45 em 90 corresponde a 50% .

Resposta: (D).

1.1 Conjunto dos alunos da escola do Rui. Pág. 274

1.2 7.

1.3 Cada uma das pessoas seleccionadas.

1.4 Variável: cor dos olhos;Classificação: qualitativa.

2.1 8.

2.2 Cada uma das avenidas.

360 100

17

360 17100

º — %

— %

º %%

x

x

x

= ×

== , %61 2

360 100

162

162 100360

4

º — %

º —

º %º

x

x

x

= ×

= 55%

135 100

15

15 100135

11 11

— %

—

%

,

x

x

x

= ×

≈ %%

74

CE

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orto

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tora



13.

14.

15. Pág. 278

16.1 Aproximadamente 55 máquinas de lavar.

16.2

Nota: A loja A vendeu 120 frigoríficos, pois 150 × 0,8 = 120.

17.1 Em 2003, 2004 e 2005.

17.2 80.

17.3 Talvez a empresa, nos últimos cinco anos, tenha atravessado umacrise económica e teve necessidade de diminuir às despesas, con-tratando ano após ano menos empregados.

17.4Ano

Homens Mulheres

fi fri fi fri

2003 65 56,5% 50 43,5%

2004 50 52,6% 45 47,4%

2005 40 57,1% 30 42,9%

2006 30 37,5% 50 62,5%

2007 15 42,9% 20 57,1%

Frigoríficos vendidos

Loja B

= 30 frigoríficos

Loja A

Consumos de energiaper capita durante um ano

A

= 10 000 kW/h

B

C

D

E

Meio de transporte usado

Automóvel

Autocarro

Comboio

Moto

Bicicleta

= 5 pessoas

N.º de palavras por linhaFrequênciaabsoluta

3 1

4 1

5 1

6 4

7 4

8 3

Total 14

18.1 Em Janeiro 40 noites (aproximadamente); Pág. 279Em Agosto 120 noites.

18.2 Aproximadamente 110 noites.

18.3

19.1 Usando uma regra de três simples, vem:

Amplitude do sector circular Fracção

144º x

360º 1

A fracção que corresponde ao terreno agrícola é .

19.2 x = 360º – 144º – 85º = 131º.

Usando uma regra de três simples, vem:

Amplitude do sector circular Número de hectares

131º x

360º 35

O terreno tem, aproximadamente, 12,7 hectares para construção.

20. Pág. 280

21.

22.

Freq

uênc

ia a

bsol

uta

0

Altura das crianças

1,44Alturas/cm

2468

1012141618202224

Polígono defrequências

1,581,561,541,521,501,481,46

Freq

uênc

ia a

bsol

uta

25

20

15

10

5

0

Classificações de 60 alunos num exame de Alemão

40 80 120 160 200Classificações

N.° de ervilhas/vagem

987654321

Freq

uênc

ia a

bsol

uta

Número de ervilhas nas vagens de uma ervilheira

1 2 3 4 5 6 7 8

x x

ºº

, .= × ≈35 131360

12 7, ou seja ,

25

x x

ºº

.= × =144 1360

25

, ou seja ,

Setembro

75

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23.

24.1 Determinação do número de classes. Pág. 281n = 20 ; 24 < 20 e 25 > 20 . Vamos usar 5 classes.

Determinação da amplitude de cada classe:8 min 55 s – 0 min = 8 min 55 s.8 min 55 s : 5 = 1 min 47 s.

Vamos considerar classes de amplitude 2 minutos.

24.2

25.1 Determinação do número de classes.n = 25 ; 24 < 25 e 25 > 25 . Vamos usar 5 classes.

Determinação da amplitude de cada classe:108 – 92 = 16 e 16 : 5 = 3,2 .

Consideramos para amplitude de cada classe um valor aproxi-mado por excesso relativamente ao valor obtido, por exemplo, 4.

Massa das caixas(em gramas)

fi fri Fi Fri

[92 , 96[ 5 0,2 5 0,2

[96 , 100[ 5 0,2 10 0,4

[100 , 104[ 9 0,36 19 0,76

[104 , 108[ 4 0,16 23 0,92

[108 , 112[ 2 0,08 25 1

Freq

uênc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

0 2Tempo de atraso (em minutos)

8

1214

1618

20

10

642

4 6 8 10

Tempo de atraso(em minutos)

fi fri Fi Fri

[0 , 2[ 6 0,3 6 0,3

[2 , 4[ 6 0,3 12 0,6

[4 , 6[ 4 0,2 16 0,8

[6 , 8[ 3 0,15 19 0,95

[8 , 10[ 1 0,05 20 1

Freq

uênc

ia a

bsol

uta

acum

ulad

a

0 5Área em hectares

40353025201510

60

12

27

36

44

5156

62

25.2

26.1

26.2

Para definir analiticamente a função cumulativa é necessário defi-nir cada um dos seguintes segmentos de recta e semi-rectas que acompõem.

• Para o segmento de recta definido pelos pontos A(1 , 0) e B (5 , 7), temos:

• Para o segmento de recta definido pelos pontos B(5 , 7) e C (9 , 22), temos:

BC"

, – , , .= ( ) ( ) = ( )9 22 5 7 4 15

Entãão o declive de é

Como =154

BC

y

.154

xx b b b –+ = × + ⇔ =, então 7154

54474

.

Assim a recta é definida porBC y ==154

x – .474

AB"

, – , , .= ( ) ( ) = ( )5 7 1 0 4 7

Então o declive de é

Como =74

AB

y x

.74

+ bb b b – ., então

A

074

174

= × + ⇔ =

sssim a recta é definida por =74

AB y x –– .74

15

5

F

Tempo gasto por 50 alunosno percurso de casa à escola

1 5 9 13 17 21 25Tempo/min

10

76

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• Para o segmento de recta definido pelos pontos

C(9 , 22) e D (13 , 31), temos:


D(13 , 31) e E (17 , 39), temos:


E(17 , 39) e F (21 , 44), temos:


F(21 , 44) e G (25 , 50), temos:

1. A afirmação I é falsa. Pág. 293

A afirmação II é verdadeira.

A afirmação III é verdadeira.

Resposta: (D).

2. (A) A afirmação é falsa. A mediana das idades dos trabalhadores

desta empresa é 36 anos.

se x < 1

se 1 ≤ x < 5

se 5 ≤ x < 9

se 9 ≤ x < 13

se 13 ≤ x < 17

se 17 ≤ x < 21

se 21 ≤ x < 25

se x ≥ 25

Temos então:

( ) =

0

74

F x

x

x

x

–

–

74

154

474

94

++

+

+

+

74

2 5

54

714

32

252

50

x

x

x

FG"

, – , , .= ( ) ( ) = ( )25 50 21 44 4 6

Enttão o declive de é32

Como =

FG

y x

.

32

+ , entãob b b4432

2125= × + ⇔ =22

.

Assim a recta é definida por =FG y332

252

x .+

EF"

, – , , .= ( ) ( ) = ( )21 44 17 39 4 5

Enttão o declive de é54

Como =

EF

y x

.

54

+ , entãob b b3954

1771= × + ⇔ =44

.

Assim a recta é definida por =EF y554

714

x .+

DE"

, – , , .= ( ) ( ) = ( )17 39 13 31 4 8

Enttão o declive de é 2

Como = 2 +

DE

y x

.

b b b, então

As

31 2 13 5 .= × + ⇔ =ssim a recta é definida por =DE y x2 + 55 .

CD"

, – , , .= ( ) ( ) = ( )13 31 9 22 4 9

Entãão o declive de é

Como =94

CD

y x

.94

++ = × + ⇔ = .b b b, então 2294

974

AAssim a recta é definida por =94

CD y x .+ 74

(B) A afirmação é falsa.A percentagem de trabalhadores desta empresa com idadescompreendidas entre 24 anos (1.º quartil) e 36 anos (mediana) é25%.

(C) A afirmação é falsa.O intervalo do diagrama de extremos e quartis em que as ida-des dos trabalhadores desta empresa são mais dispersas é entrea mediana e Q3.

(D) A afirmação é verdadeira.

Resposta: (D).

3.

A média deste conjunto de dados é 773.

O 2.º quartil é a mediana deste conjunto de dados.

Calculemos a mediana:

A mediana deste conjunto de dados é 700.

Resposta: (B).

4. n = 383 (ímpar). Pág. 294

Então, temos:

Resposta: (B).

5.

A moda deste conjunto de dados é 2 (valor da variável com maiorfrequência absoluta).

(A) A afirmação é falsa, pois 2 > 1,64 , ou seja, a moda e a media-na são maiores que a média.

(B) A afirmação é falsa, pois a média é inferior à moda e à mediana.

(C)

(D)

Resposta: (D).

x x– = 2 – 1,64 = 0,36 e 0,36 0,4 , l< oogo a afirmação

é veerdadeira.

M x0 + = 2 + 1,64 = 3,64 e 3,64 3,7 ,< llogo a afirmação é falsa.

Determinação da mediana deste conjunto de daados:

= , com ex x kn

nk = + =12

255

213

.

.x x= =

Determinação da média, , deste conjuntox dde dados:

=0 2 + 1 8 + 2 12 + 3

x× × × × 33

25x , .= 1 64

• , com eQ x kn

nk3 31

4= = × + = .383

3 288Q x=

• , com ex x kn

nk= = + =12

383 ..

x x= 192

• , com e1Q x kn

nk .= = + =14

383

Q x1 96=

xx x

knk k=

+

2, com =

2e+ 1 nn

xx x

= 100 .

Logo, = 50 += +51

2700 7000

2700 .=

x = × + × + × + ×520 15 650 20 700 35 1000 20 1200 1015 20 35 20 10

+ ×+ + + +( )

=x .773

77

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6. (A) A afirmação é falsa, por exemplo, se os números obtidos foram:1 1 1 1 1 3 5 5 , a mediana é 1 e a média é 2,25 .

(B) A afirmação é falsa, pois se saiu sempre um número ímpar amoda terá de ser um número ímpar (a moda é sempre um valordo conjunto dos dados) .

(C) Sabemos que nos 8 lançamentos saiu sempre um número ímpar,então temos:

A afirmação é verdadeira.

(D) A afirmação é falsa, já que metade da soma de dois númerosímpares é sempre um número inteiro (e par).

Resposta: (C).

7. Pontuação obtida pela Ana: Pág. 295

• Mérito técnico:

• Impressão artística:

• Nota final:

4. 49,2 + 33,6 = 82, 8 .

Pontuação obtida pela Cristina:

• Mérito técnico:

• Impressão artística:

• Nota final:

4. 49,8 + 33,6 = 83, 4 .

(A) A afirmação é falsa. A Ana obteve 82,8 pontos.

(B) A afirmação é falsa. A Cristina obteve mais 0,6 pontos que a Ana.

(C) A afirmação é verdadeira. Ambas obtiveram, em ImpressãoArtística, 33,6 pontos.

(D) A afirmação é falsa. A Cristina obteve 83,4 pontos e a Ana82,8 pontos.

Resposta: (C).

1.

2.

eliminam-se as notas: 8,1 e 8,7 .

8,3 + 8,3 + 8,63

, .

,

=

× =

8 4

8 4 4 33. 33 6, .

1.

2.


8,0 + 8,4 + 8,83

, .

,

=

× =

8 4

8 4 4 33. 33 6, .

1.

2.


8,0 + 8,4 + 8,83

, .

,

=

× =

8 4

8 4 4 33. 33 6, .

1.

2.


8,0 + 8,2 + 8,43

, .

,

=

× =

8 2

8 2 6 43. 99 2, .

• No caso de ter saído o 1 , vem =8

x× 18

• No caso de ter saído o 3 , vem

.= 1

=8 3

8

• No caso de ter saído

x× = .3

oo 5 , vem =8 5

8

• No caso de

x× = .5

tter saído o 7 , vem =8 7

8x

× = .7

8.

Números inteiros que verificam a conjunção de condições dada:

4 , 5 , 6 , 7 e 8 .

Resposta: (C).

9. Pág. 296

O João terá de fazer 33 pontos ou 34 pontos ou 35 pontos, pois:

Resposta: (C).

10. x2 < 9 ⇔ x > – 3 ‹ x < 3 .

O conjunto dos valores inteiros de x que verificam a condiçãodada é:

A média deste conjunto de valores é, evidentemente, zero.

Resposta: (C).

11. A frequência relativa da classe [160 , 170[ é igual a 0,32 (0,48 – 0,16), então temos que a = 8 (dobro da classe [150 , 160[que tem frequência relativa igual a 0,16). A frequência relativa da classe[180 , 190[ é igual a 0,04. Então temos que c = 0,96 (1 – 0,04), b = 12 e d = 1.

Resposta: (B).

12. Pág. 297

Vamos calcular a média da pontuação obtida pelo António:

O António, na série de 10 tiros, deverá esperar obter uma pontua-ção igual a 60 (6 × 10).

Resposta: (B).

13. Como a moda deste conjunto de dados é 2, então o valor de a teráde ser igual a 2 (para ser o valor com maior frequência absoluta).Por outro lado sabemos que a média é 3,5, então temos:

Então, temos que a = 2 e b = 8 .

Resposta: (B).

,x = = × + × + + ×3 5

2 1 2 4 3 3 4 ++ × + +

⇔ = + ⇔,

2 5 614

3 541

1449

b

b == + ⇔ = .41 8b b

x = × + × + × + ×10 39 7 65 5 56 3 220 1 15 0 5200

6 .

+ × + ×

⇔ =x

– , – , , , .2 1 0 1 2{ }

31 34 333

32 6 33

31 34 343

, ( ) ;+ + = ≈

+ +;

, ( ) .

=

+ + = ≈

33

31 34 353

33 3 33

A média deste conjunto de dados é:

x ==4 + 5 + 6 + 7 + 8

5⇔ =x 6

C S. . ,=

72

8

‹ 3 – x ≥ – 5

‹ – x ≥ – 5 – 3

‹ x ≥ 8

‹ x ≥ 8

21

312

12 2 2 3

2 3

–

– –

–

x

x

x

+

⇔⇔

<

<

< – 10

72

⇔ x >

78

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tora



14. Determinemos a média deste conjunto de dados:

No total há 28 alunos, como 14 são raparigas então, também, há14 rapazes. Temos, então que:

57,75 = 0,5 × 54 + 0,5 × x , sendo x o peso médio dos rapazesdesta turma. Logo x = 61,5.

Resposta: (C).

1.1 Pág. 298

Nível 8 corresponde a 8% ;Nível 9 correponde a 0% ;Nível 10 corresponde a 4% .

Então, tem-se:

12% de 25 = 3 .

Resposta: o número de encarregados de educação que admitiu terum elevado conhecimento sobre o desempenho em Matemática dosrespectivos educandos foi 3.

1.2

A mediana é o valor da variável tal que, pelo menos 50% dasobservações são iguais ou inferiores a esse valor e 50% das obser-vações são iguais ou superiores a esse valor. Então, tem-se que:

1.3

Há maior dispersão entre Q2 e Q3 .

2.1

A média do número de pontos obtidos no total de todos os jogosque a Ana realizou foi 22,2 .

2.2

A Ana obteve, em média, nesses nove jogos 26,7 pontos.

3.1 Variável quantitativa contínua. Pág. 299

' , ,

' ,

x

x

≈ ×⇔ ≈

22 222 1 2

26 666

x

x

= × + + + +

⇔ ≈

5 23 12 25 18 309

,22 222

Qx x

Qx x

125 26

375 76

23 3

23

2

=+

= + =

=+

= + =6 62

6

x .= 4

Nível 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

% 4 12 16 20 16 12 8 8 0 4

% (acumulada)

4 16 32 52 68 80 88 96 96 100

x = × + × + × + × +47 4 49 3 52 2 55 4 58 ×× + × + × + × + ×+

3 60 2 64 6 68 2 72 24 3 2 4 3 2 6 2 2

1617

+ + + + + + +( )⇔ =x

22857 75⇔ = ,x

3.2

a)

A média é 6,6 minutos.

b)

A mediana é 6,6 minutos.

c) A moda é 6,5 minutos.

d)

O 1.º quartil é 6,25 minutos e o 3.º quartil é 7,2 minutos.

3.3

a)

b)

Distância(em km)

Frequênciaabsoluta

Frequência absolutaacumulada

[4,2 ; 5,2[ 2 2

[5,2 ; 6,2[ 2 4

[6,2 ; 7,2[ 10 14

[7,2 ; 8,2[ 5 19

[8,2 ; 9,2[ 1 20

Qx x

Qx

15 6

315

26 2 6 3

26 25

, ,, .=

+= + =

= , ,, .

+= + =

x16

27 2 7 2

27 2

x

x x , ,, .=

+= + =10 11

26 5 6 6

26 6

x, , , , , ,= + + + + + + ×4 2 4 8 5 9 6 1 6 2 6 3 4 , , , , ,6 5 2 6 7 2 6 8 3 7 2 7 3+ × + × + × + + , ,

,

8 1 8 520

6 6

+

⇔ =x

Distância(em km)

4,2 4,8 5,9 6,1 6,2 6,3 6,5 6,7 6,8 7,2 7,3 8,1 8,5

N.°de ciclistas

1 1 11 1 1 1 4 2 2 3 1 1 1

Frequência absoluta

acumulada1 2 3 4 5 6 10 12 14 17 18 19 20

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4.1

4.2

Significa que, em média, estas 150 pessoas, na semana anterior à rea-lização do inquérito, enviaram entre 13 e 14 mensagens cada uma.

4.3

A classe mediana é [10 , 15[ .

4.4 Temos que:

0,626 – 0,393 = 0,233 e 0,50 – 0,393 = 0,107 .

Então,

0,233 — 5, logo x ¯ 2,3 .

0,107 — x

Assim, vem que a mediana é aproximadamente igual a 12,3 (10 + 2,3) .

Metade das pessoas enviou menos de 12,3 mensagens nessa semana.

5.1 Dona 3 500 €Marido 2 500 €Empregado 1 800 €Empregado 2 500 €Empregado 3 500 €Empregado 4 500 €

A média dos salários é 1383,33 euros (aproximadamente); a modaé 500 euros e a mediana 650 euros.

5.2 Uma resposta possível é:A média poderia ser a medida utilizada pela dona para provar quepaga ordenados razoáveis, apesar de ser bastante improvável que ela

x = + + + ×3500 2500 800 3 5006

, ou seja , x

M

x

, .≈

=

= +

1383 33

500

500 8002

0

xx .= 650

N.º de mensagens

SMS[0, 5[ [5, 10[ [10, 15[ [15, 20[ [20, 25[ [25, 30[

fri 0,1 0,293 0,233 0,147 0,107 0,12

Fri0,1 0,393 0,626 0,773 0,88 1

x, , , ,= × + × + × +2 5 15 7 5 44 12 5 35 17 5 ×× + × + ×

⇔ ≈

, ,

,

22 22 5 16 27 5 18150

13 6x

N.º de mensagens

SMS[0, 5[ [5, 10[ [10, 15[ [15, 20[ [20, 25[ [25, 30[

fi 15 44 35 22 16 18

Fi 15 59 94 116 132 150

utilizasse esta medida na negociação com os seus empregadoresdado que o seu valor se deve ao facto de o seu ordenado e o do seumarido serem muito superiores aos restantes.Numa negociação salarial, os empregados possivelmente baseavam assuas reivindicações na moda, pois é a medida com o valor mais baixo.

6.1 Pág. 300

Então, temos que a moda é 0 irmãos, a média é aproximadamente1,57 irmãos e a mediana é 1,5 irmãos.

6.2

7.1 a) Q1 = 2 ;

b) ~x = 4 ;

c) Q3 = 9 .

7.2 25% dos dados são iguais ou superiores a nove, então temos:

0,25 × 3000 = 750 .

Em 750 dos 3000 andares vivem nove ou mais pessoas.

7.3 50% dos dados são iguais ou inferiores a quatro, então temos:

0,5 × 3000 = 1500.

Em 1500 dos 3000 andares vivem mais que uma pessoa e menosque quatro pessoas.

8.1

A Ana ganhou, em média, por hora, na semana passada, de segun-da-feira a sexta-feira, aproximadamente, 12,71 euros.

8.2 a)

A Ana ganhou, em média, por hora durante a semana, incluindo osábado, 13,88 euros.

32 12 10 15 8 2050

13 88, .× + × + × =

32 12 10 1542

12 71, .× + × ≈

M

x

0

0 9 1 6 2 8 3

= 0 irmãos

= × + × + × + ×× + ×

≈

=+

= +,

3 4 430

1 57

2115 16

x

xx x

,2

21 5=

N.º de irmãos

frequência relativa

(%)

frequênciaabsoluta

frequência absoluta

acumulada

0 30 9 (30 × 0,3) 9

1 20 6 (30 × 0,2) 15

2 27 8 (30 × 0,27) 23

3 10 3 (30 × 0,1) 26

4 13 4 (30 × 0,13) 30

80

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8.3 Seja x o valor que a Ana vai ganhar, por hora, ao sábado.Terá de ser:

A Ana terá de ganhar 27 euros por hora.

9.1 Pág. 301

9.2 a)

b)

c) M0 = 0 .

d) Q1 = x14 = 0 ;

Q2 = 1,5 (mediana) ;

Q3 = x41 = 3 .

10.1 M0 = 6 horas de sol.

10.2 ~x = x31 = 8 horas de sol.

10.3

11.1 n = 5 ;

11.2 n = 5 ;

11.3 n = 3 ;

12.1

12.2

12.3

13.

14. Pág. 302

x representa a percentagemde homens

y representa a percentagemde mulheres

800 600750

800 600 750

x yx y

x y

++

=

⇔ + = (( )x y

x y x y

x

+⇔ + = +⇔

800 600 750 750

50 ==⇔ =

150

3

y

x y

x

x , .

= × + ×+( )

⇔ ≈

16 15 12 1315 12

14 7

2 3 4 1 66

6 20 .+ + + + + = ⇔ =n

n

10 5 3 4 126

6 2 .+ + + + + = ⇔ =n

n

1 6 8 25

6 13 .+ + + + = ⇔ =n

n

x = × + × + × + × + ×5 6 6 12 7 10 8 9 9 8 + × + ×

≈

10 8 11 861

x 7,9 horas de sol .

x

x x, .=

+= + =27 28

21 2

21 5

x = × + × + × + × + ×0 14 1 13 2 13 3 8 4 44 5 254

1 6, .

+ ×

⇔ ≈x

N.º de golosmarcados

Frequênciaabsoluta

Frequênciarelativa

Frequênciaabs. acumul.

Frequênciarel. acumul.

0 14 0,26 14 0,26

1 13 0,24 27 0,5

2 13 0,24 40 0,74

3 8 0,15 48 0,89

4 4 0,07 52 0,96

5 2 0,04 54 1

32 12 10 15 850

15

384 150

× + × + =

⇔ + +

x

8 750

8 216

27

x

x

x

=⇔ =⇔ =

Por outro lado, temos que x + y = 100 , então 75% dos traba-lhadores são homens a 25% dos trabalhadores são mulheres.

15. A média das classificações do 2.º período é igual à média das clas-sificações do 1.º período acrescida de 2 valores.

16.1 A classe modal é [5 , 10[ (classe com maior valor de frequênciaabsoluta).

16.2 A mediana pertence à classe [5 , 10[ já que:

Então, a classe mediana é [5 , 10[ .

16.3

17.1 No total as duas turmas têm 45 alunos.Como 25 < 45 e 26 > 45 , vamos usar 6 classes.

Calculemos a amplitude de cada uma delas:95 – 6 = 89 e 89 : 6 ¯ 14,8 .

Fixemos, então, a amplitude de cada classe em 15.

17.2 A classe modal é [51 , 66[.

A classe mediana é [51 , 66[ , já que a mediana corresponde ao

valor da variável que ocupa a posição

17.3

17.4 Em primeiro lugar determinemos o 1.º quartil e o 3.º quartil.

A mediana é o valor da variável que ocupa a posição 23, ou seja,x23 = 52 .

Vamos construir um diagrama de extremos e quartis:

Qx x

Qx

111 12

334

224 29

226 5,=

+= + =

=+ x35

265 67

266= + =

x, , , ,= × + × + × + ×13 5 9 28 5 4 43 5 9 58 5 , ,12 73 5 6 88 5 5

4549

+ × + ×

⇔ ≈x

23

45 12

.+

ClassesFrequênciaabsoluta

Frequênciarelativa

Frequênciaabs. acumul.

Frequênciarel. acumul.

[6 , 21[ 9 0,2 9 0,2

[21 , 36[ 4 0,09 13 0,29

[36 , 51[ 9 0,2 22 0,49

[51 , 66[ 12 0,27 34 0,76

[66 , 81[ 6 0,13 40 0,89

[81 , 96[ 5 0,11 45 1

x, , , ,= × + × + × + ×2 5 6 7 5 11 12 5 6 17 5 44 22 5 3

3010 3

,

, .

+ ×

⇔ ≈x

x

x x.=

+15 16

2

81

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18.1 A classe modal é [40 , 50[ . Pág. 303

18.2

19.1

19.2 O número de jogos em que o número de golos foi inferior a trêsfoi 18 (6 + 8 + 4), num total de 24 jogos.

Então, temos logo a percentagem

pedida é igual a 75% .

20.1 Sr. Silva: ordenando os valores registados por ordem crescente, vem:

8 8 9 10 10 11 11 12 14 14

D. Luísa: ordenando os valores registados por ordem crescente, vem:

6 7 7 8 8 9 9 10 11 11

Sr. João: ordenando os valores registados por ordem crescente, vem:

8 9 10 10 10 11 11 12 12 13

Q x k

Q x

Q x

k1

1 3

2

3

10

.= == =

=

, com

.=+

=

=+

+x xk

Qx x

k k 1

25 6

25, com

2210 11

210 5

3

, .= + =

= =Q x kk , com 88

123 8

.

.Q x= =

Q x k

Q x

Q

k1

1 3

2

3

7

.

.

= == =

=

, com

xxx x

k

Qx x

k k .=+

=

=+

+1

25

25, com

66

3

28 9

28 5

8

, .= + =

= =Q x kk , com ..

.Q x3 8 10= =

Q x k

Q x

k1

1 3

10 24

3 .= = + =

= =

, com

.9

21022

1Q xx x

kk k= =+

= =+ , com .

, .

5

210 11

210 52

5 6

3

Qx x

Q

=+

= + =

= xx k

Q x

k , com = × + =

= =

.3 10 2

48

3 8 112 .

1824

100 0 75 100 75, ,× = × =

Q x kk124 2

46 5,= = + =, com , então

QQx x

Q xxk

16 7

2

20 1

20 5, .=

+= + =

= =+

= =+xk

Q

k 1

2

2242

12, com , então

== =+

= + =

=

.xx x

Q xk

12 13

3

21 1

21

, com , entãok

Qx

= × +

=+

3 24 24

318 xx19

22 3

22 5, .= + =

x = × + × + × + × +5 1 15 3 25 4 35 12 45 ×× + × + × + × + ×15 55 10 65 6 75 3 85 1 ++ ×+ + + + + + + +

95 11 3 4 12 15 10 6 3

, %

1 1

46 25

+( )=x

20.2

20.3 Uma resposta possível é:A amplitude maior corresponde ao Sr. Silva mas, se compararmoscom o diagrama correspondente ao Sr. João, verificamos que em50% dos dias o Sr. João montou de 10 a 12 televisores por dia,enquanto que o Sr. Silva montou de 9 a 12 televisores por dia. ÀD. Luísa corresponde uma amplitude de 6 a 11, tendo montadode 7 a 10 televisores por dia durante, aproximadamente, 50% doperíodo em que se registaram os dados.

21.1 Determinemos o salário semanal médio: Pág. 304

Determinemos o salário semanal mediano:ordenado, por ordem crescente, os salários temos:200 400 400 400 400 500 500 500 800 3000

O salário semanal médio é 710 euros, o salário semanal medianoé 450 euros e o salário semanal modal é 400 euros.

21.2 Muito provavelmente, no salário modal para poder afirmar que amaior parte dos trabalhadores ganha apenas 400 euros.

22.1 A moda é 0 mm.Para determinar a mediana vamos ordenar, por ordem crescente,os valores registados:0 0 0 0 0 0 0 0 2 6 7 10 14 15 16

A mediana é o valor que ocupa a 8.ª posição, assim ~x = 0 mm .Determinemos a média,

A média é 4,7 mm.

22.2 Uma resposta possível é:Talvez a média. A moda e a mediana coincidem com o valor mí-nimo, este facto pode fazer crer que não choveu nos 15 dias emque se desenrolou o trabalho.

23.1 N.º de horasde sol

fi fri Fi Fri

[0 , 2[ 1 0,01 1 0,01

[2 , 4[ 2 0,02 3 0,03

[4 , 6[ 2 0,02 5 0,05

[6 , 8[ 3 0,03 8 0,08

[8 , 10[ 17 0,19 25 0,27

[10 , 12[ 40 0,45 65 0,72

[12 , 14[ 25 0,28 90 1

x = × + + + + + + +0 8 2 6 7 10 14 15 1615

⇔⇔ ≈ ,x 4 7

x

x x.=

+= + =5 6

2400 500

2450

x

x

= + × + × + +200 4 400 3 500 800 300010

.= 710

82

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23.2

23.3 Uma resposta possível é:Talvez, o 1.º e o 3.º quartis, pois ficaria a saber que metade dosdias, no Verão, têm, aproximadamente, entre 9 horas e 13 horasde Sol diárias.

1. Pág. 310Ao adicionarmos a cada um dos elementos de um conjunto a cons-tante k , a média vem adicionada dessa constante e o desvio-pa-drão não se altera.

Resposta: (C).

2. O desvio-padrão é sempre um número não negativo, logo a afirma-ção I é falsa, já que o desvio-padrão pode ser zero.A afirmação II é, também, falsa.

Quando maior por o desvio-padrão maior será a dispersão dosdados em relação à média.A afirmação III é verdadeira.

Resposta: (C).

3. Temos que:

a = 250 × 0,6 ⇔ a = 150 .

Por outro lado, a + 2b + 28 + b = 250 , então:

150 + 3b + 28 = 250 ⇔ b = 24.

Resposta: (D).

4. Pág. 311Ao multiplicar cada um dos valores de um conjunto de dados poruma constante diferente de zero, k , a média e o desvio-padrãovêm multiplicados por essa constante.Assim, a média passa a ser:

O desvio-padrão passa a ser:

Resposta: (C).

5. Temos que o 1.º e o 3.º quartis são, respectivamente, 12 e 15.A amplitude interquartis é a diferença entre o 3.º quartil e o 1.º quar-til, isto é, igual a: Q3 – Q1, assim vem:

Q3 – Q1 = 15 – 12 = 3 .

Resposta: (C).

6. A média vem adicionada de quatro unidades, o desvio-padrão e aamplitude não se alteram.

Resposta: (C).

σσ

, ,

,

= ×⇔ =

1 5 1 35

2 025

x

x

,

,

= ×⇔ =

32 1 35

43 2

100

80

60

40

20

0 2 Classes

Freq

uênc

ia r

elat

iva

25

75

4 6 8 10 12 14

50

Número de horas de Sol por dia 1.1 Pág. 312a) Número de rapazes com altura igual ou superior a 165 cm:

22 (12 + 6 + 4) .

Número de raparigas com altura igual ou superior a 165 cm:14 ( 12 + 2) .

Então, temos:

A percentagem dos alunos que frequentam o 10.º ano e têmaltura igual ou superior a 165 cm é, aproximadamente, 33%.

b) Número raparigas com altura inferior a 165 cm:46 (4 + 24 + 18) .

Número total de raparigas: 60 (4 + 24 + 18 + 12 +2) .

Então, temos:

A percentagem de raparigas que frequentam o 10.º ano e têmuma altura inferior a 165 cm é, aproximadamente, 77% .

1.2 Não, pois não é representativa (não contém indivíduos de todos osextractos da população); o número de alunos de cada ano deveriaser proporcional à população dos alunos da escola.

1.3 Número de rapazes e de raparigas cujas alturas pertencem à classe[165 , 175[ : 24 (12 + 12).

Para determinarmos a amplitude pedida vamos usar uma regra detrês simples:

Amplitude do ângulo ao centro Número de alunos

360º ______________________ 108

x ______________________ 24

x = 80º

A amplitude do ângulo ao centro do sector circular no qual a alturado Pedro está incluída é 80º.

1.4 a)

b)

c)

1.5 a)

xx x

k

x

k k .=+

= =

=

+1

2482

24, com

x x24 25

2

+, então temos que a classe

mediana é [155 , 165[ .

x = × + × + × + ×4 140 34 150 34 160 24 1700 8 180 4 190108

17 380108

+ × + ×

⇔ =x

x ≈≈ 161 cm

x = × + × + × + ×4 140 24 150 18 160 12 1700 2 1804 24 18 12 2

94

+ ×+ + + +( )

⇔ =x440

60157x ≈ cm

x = × + × + × + ×10 150 16 160 12 170 6 1800 4 19010 16 12 6 4

79

+ ×+ + + +( )

⇔ =x440

48165x ≈ cm

4660

0 77, .≈

22 14108

0 33, .+ ≈

83

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XM

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© P

orto

Edi

tora



Vamos construir parte da tabela de frequências:

Assim, temos:

0,541 – 0,208 = 0,333

0,5 – 0,208 = 0,292

0,333 — 10

0,292 — x

Logo, x ¯ 8,8 .

Donde, ~x = 155 + 8,8 = 163,8, ou seja, a mediana é aproxima-damente igual a 164 cm.

b)


Assim, temos:

0,77 – 0,47 = 0,3

0,5 – 0,47 = 0,03

0,3 — 10

0,03 — x

Logo, x = 1 .

Donde, ~x = 155 + 1 = 156, ou seja a mediana é aproximada-mente igual a 156 cm.

c)


Assim, temos:

0,634 – 0,319 = 0,315

0,5 – 0,319 = 0,181

0,315 — 10

0,181 — x

Logo, x ¯ 5,7 .

Classes fi friFri

[135 , 145[ 4 0,04 0,04

[145 , 155[ 34 0,315 0,319

[155 , 165[ 34 0,315 0,634

xx x

k

x

k k .=+

= =+1

2108

254, com

==+x x54 55

2, então temos que a classe

mediana é [155 , 165[ .

Classes fi fri Fri

[135 , 145[ 4 0,07 0,07

[145 , 155[ 24 0,4 0,47

[155 , 165[ 18 0,3 0,77

xx x

k

x

k k .=+

= =

=

+1

2602

30, com

x x30 31

2

+, então temos que a classe

mediana é [155 , 165[ .

Classes fi fri Fri

[145 , 155[ 10 0,208 0,208

[155 , 165[ 16 0,333 0,541

Donde, ~x = 155 + 5,7 = 160,7, ou seja, a mediana é aproxima-damente igual a 161 cm.

1.6 a) Vamos construir uma tabela para organizar valores necessáriospara o cálculo do desvio-padrão:

b) Vamos construir uma tabela para organizar valores necessáriospara o cálculo do desvio-padrão:

c) Vamos construir uma tabela para organizar valores necessáriospara o cálculo do desvio-padrão:

2.1 Pág. 313Casal A: A amplitude do conjunto das idades é 6 (9 – 3).Casal B: A amplitude do conjunto das idades é 8 (15 – 7).

2.2 Casal A

Determinemos a média:

x .= + + + + =3 4 6 8 9

56

s

s , .

=

⇔ ≈

14 10810711 5

Classes fi (xi – x–)2 fi (xi – x–)2

[135 , 145[ 4 (140 – 161)2 = 441 4 × 441 = 1764

[145 , 155[ 34 (150 – 161)2 = 121 34 × 121 = 4114

[155 , 165[ 34 (160 – 161)2 = 1 34 × 1 = 34

[165 , 175[ 24 (170 – 161)2 = 81 24 × 81 = 1944

[175 , 185[ 8 (180 – 161)2 = 361 8 × 361 = 2888

[185 , 195[ 4 (190 – 161)2 = 841 4 × 841 = 3364

total 108 14 108

s

s , ;

=

⇔ ≈

5580599 7


[135 , 145[ 4 (140 – 157)2 = 289 4 × 289 = 1156

[145 , 155[ 24 (150 – 157)2 = 49 24 × 49 = 1176

[155 , 165[ 18 (160 – 157)2 = 9 18 × 9 = 162

[165 , 175[ 12 (170 – 157)2 = 169 12 × 169 = 2028

[175 , 185[ 2 (180 – 157)2 = 529 2 × 529 = 1058

Total 60 5580

s

s ;

=

⇔ ≈

68004712


[145 , 155[ 10 (150 – 165)2 = 225 10 × 225 = 2250

[155 , 165[ 16 (160 – 165)2 = 25 16 × 25 = 2250

[165 , 175[ 12 (170 – 165)2 = 25 12 × 25 = 300

[175 , 185[ 6 (180 – 165)2 = 225 6 × 225 = 1350

[185 , 195[ 4 (190 – 165)2 = 625 4 × 625 = 2500

Total 48 6800

84

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Determinemos, agora, o desvio de cada uma das idades em relaçãoà média, isto é, as diferenças xi – x– . Para isso, vamos constuir umatabela:

Casal B

Determinemos a média:

Para determinar o desvio de cada uma das idades em relação àmédia, vamos construir uma tabela:

2.3 Casal A

Desvio médio =

Casal B

Desvio médio =

3.1 1.º grupo

Vamos inicialmente determinar a média:

Para calcular cada um dos desvios dos “pesos” em relação à média,vamos construir uma tabela:

2.º grupo

Vamos determinar a média:

x .= × + + + + + =2 52 53 55 56 58 59

755

xi xi – x–

53 53 – 55 = – 2

53 53 – 55 = – 2

55 55 – 55 = 0

55 55 – 55 = 0

55 55 – 55 = 0

57 57 – 55 = 2

57 57 – 55 = 2

x .= × + × + × =2 53 3 55 2 57

755

x xii

–

, ;=∑

= + + + + =1

5

54 2 0 2 4

52 4

x xii

–

;=∑

= + + + + =1

5

53 2 0 2 3

52

xi xi – x–

7 7 – 11 = – 4

9 9 – 11 = – 2

11 11 – 11 = 0

13 13 – 11 = 2

15 15 – 11 = 4

x .= + + + + =7 9 11 13 15

511

xi xi – x–

3 3 – 6 = – 3

4 4 – 6 = – 2

6 6 – 6 = 0

8 8 – 6 = 2

9 9 – 6 = 3

Calculemos os desvios de cada um dos “pesos” em relação à média:

3.2 No 2.º grupo, porque tem maior desvio médio.

4.1 Vamos determinar a média:

Vamos, agora, organizar os valores necessários para o cálculo dodesvio-patrão numa tabela:

4.2 Determinemos a média:

Para determinar o desvio-padrão, vamos construir a seguinte tabela:

s

s

,

, .

=

⇔ ≈

154 1154103

1 22

xi fi (xi – x–)2 fi (xi – x–)2

– 2 6 (– 2 – 0,365)2 = 5,593225 33,55935

– 1 18 (– 1 – 0,365)2 = 1,863225 33,53805

0 36 (0 – 0,365)2 = 0,133225 4,7961

1 25 (1 – 0,365)2 = 0,403225 10,080625

2 14 (2 – 0,365)2 = 2,673225 37,42515

3 5 (3 – 0,365)2 = 6,943225 34,716125

Total 104 154,1154

x– (– )= × + × + × + ×2 6 1 18 0 36 1 25 ++ × + ×

+ + + + +(2 14 3 5

6 18 36 25 14 5))⇔ =

⇔ ≈ ,

x

x

381040 37

s

s

,

, .

=

⇔ ≈

20 191 5


14 1 (14 – 16,3)2 = 5,29 1 × 5,29 = 5,29

15 2 (15 – 16,3)2 = 1,69 2 × 1,69 = 3,38

16 3 (16 – 16,3)2 = 0,09 3 × 0,09 = 0,27

17 2 (17 – 16,3)2 = 0,49 2 × 0,49 = 0,98

18 1 (18 – 16,3)2 = 2,89 1 × 2,89 = 2,89

19 1 (19 – 16,3)2 = 7,29 1 × 7,29 = 7,29

Total 10 20,1

x = × + × + × + × +14 1 15 2 16 3 17 2 18 ×× + ×+ + + + +( )

⇔ =

1 19 11 2 3 2 1 1

x116310

16 3⇔ = ,x

xi xi – x–

52 52 – 55 = – 3

52 52 – 55 = – 3

53 53 – 55 = – 2

55 55 – 55 = 0

56 56 – 55 = 1

58 58 – 55 = 3

59 59 – 55 = 4

85

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Para determinar o desvio-padrão, vamos construir a seguinte tabela:

5.1

A moda é 20 kg.


Determinemos, agora, o desvio-padrão:

s

s , .

=

⇔ ≈

20031

2 54


17 2 (17 – 21,25)2 = 18,0625 36,125

18 3 (18 – 21,25)2 = 10,5625 31,6875

19 3 (19 – 21,25)2 = 05,0625 15,1875

20 6 (20 – 21,25)2 = 01,5625 09,375

21 4 (21 – 21,25)2 = 00,0625 00,25

22 4 (22 – 21,25)2 = 00,5625 02,25

23 3 (23 – 21,25)2 = 03,0625 09,1875

24 3 (24 – 21,25)2 = 07,5625 22,6875

25 2 (25 – 21,25)2 = 14,0625 28,125

26 2 (26 – 21,25)2 = 22,5625 45,125

Total 32 0200

x = × + × + × + × +17 2 18 3 19 3 20 6 21 ×× + × + × + × + × +4 22 4 23 3 24 3 25 2 226 232

21 25,

×

⇔ =x

xi fi fri

17 2 0,0625

18 3 0,093 75

19 3 0,093 75

20 6 0,1875

21 4 0,125

22 4 0,125

23 3 0,093 75

24 3 0,093 75

25 2 0,0625

26 2 0,0625

Total 32 1

s

s

,

, .

=

⇔ ≈

6285 714413

21 99


234,5 5 (234,5 – 257,36)2 = 522,5796 2 612,898

254,5 4 (254,5 – 257,36)2 = 8,1796 32,7184

274,5 3 (274,5 – 257,36)2 = 293,7796 881,3388

294,5 2 (294,5 – 257,36)2 = 1 379,3796 2 758,7592

Total 14 6 285,7144

x, , ,= × + × + × +234 5 5 254 5 4 274 5 3 294,,

,

5 25 4 3 2

360314

257

×+ + +( )

=

⇔ ≈

x

x 336

6.1 António: 21 ; Carlos: 15 ; Francisco: 21 ; João: 49 . Pág. 314

6.2 Maior desvio-padrão: João (s ¯ 12,82) .Maior desvio-padrão: Carlos (s ¯ 4,67) .

6.3 Não. Quando há valores extremos (neste caso 3), a amplitude éuma medida de dispersão fraca. No entanto, se excluírmos o resul-tado do 1.º dia, a amplitude seria 30, continuando a ser a maioramplitude dos quatro conjuntos de resultados.

6.4

Entre Q1 e Q3 estão 50% dos resultados. Logo, podemos concluirque, apesar de a amplitude ser maior no caso do João, este é queobteve melhores resultados.

7.1 Conjunto A: determinemos, inicialmente, a média: Pág. 315

Para determinar o desvio-padrão vamos construir a seguinte tabela:

Conjunto B: determinemos, inicialmente, a média:

Elaboremos uma tabela para determinar o desvio-padrão:

Logo, x–A 0 x–B e sA = sB ¯ 2,37 .

s sB B , .= ⇔ ≈28

52 37

xi fi (xi – x–)2

5 1 (5 – 8)2 = 9

6 1 (6 – 8)2 = 4

7 1 (7 – 8)2 = 1

9 1 (9 – 8)2 = 1

10 1 (10 – 8)2 = 4

11 1 (11 – 8)2 = 9

x

x x

B

B A

.= + + + + + =

=

5 6 7 9 10 116

8

++ =4 8

s sA A , ;= ⇔ ≈28

52 366


1 1 (1 – 4)2 = 9

2 1 (2 – 4)2 = 4

3 1 (3 – 4)2 = 1

5 1 (5 – 4)2 = 1

6 1 (6 – 4)2 = 4

7 1 (7 – 4)2 = 9

Total 6 28

xA .= + + + + + =1 2 3 5 6 7

64

Q1 Q3

António 17 28

Carlos 15 23

Franscisco 25 38

João 35 49

86

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7.2 Seja C o conjunto cujos elementos se obtêm multiplicando por 2cada um dos elementos do conjunto A e em seguida adicionados de4 unidades cada um, então temos:

Determinar a média dos elementos deste conjunto:


Podemos concluir que:

x–C = 2x–A + 4 e sC = 2sA


Para calcular o desvio-padrão vamos elaborar a seguinte tabela:

8.2 a) x–2 = 10 x–1 ¯ 47,83 .s2 = 10 s1 ¯ 8,75 .

b) x–3 = 100 x–1 – 100 ¯ 4683 .s3 = 1000 s1 ¯ 875 .

s s1 1

3 828 3345

0 875,

, .= ⇔ ≈


4,1 1 (4,1 – 4,783)2 = 0,466 489

5,2 1 (5,2 – 4,783)2 = 0,173 889

6,1 1 (6,1 – 4,783)2 = 0,734 489

4,7 1 (4,7 – 4,783)2 = 0,006 889

5,0 1 (5,0 – 4,783)2 = 0,047 089

3,6 1 (3,6 – 4,783)2 = 1,399 489

Total 6 3,828 334

x

x

14 1 5 2 6 1 4 7 5 0 3 6

6, , , , , ,= + + + + +

⇔ 11 4 783,≈

s sC C , .= ⇔ ≈112

54 73


6 1 (6 – 12)2 = 36

8 1 (8 – 12)2 = 16

10 1 (10 – 12)2 = 4

14 1 (14 – 12)2 = 4

16 1 (16 – 12)2 = 16

18 1 (18 – 12)2 = 36

Total 6 112

xc .= + + + + + =6 8 10 14 16 18

612

C , , , , , .= { }6 8 10 14 16 18

9.1 Vamos determinar a velocidade média:


9.2 A média correcta será adicionada de 5 km/h, ou seja, será de 62 km/h.O desvio-padrão não sofre qualquer alteração.

1. Pág. 317Quando há uma associação positiva entre duas variáveis, estasvariam no mesmo sentido, ou seja à medida que uma aumenta aoutra, de um modo geral, também aumenta;

Resposta: (C).

2. Determinemos um valor aproximado da média:

Vamos organizar os valores necessários para determinar o desvio--padrão:

Resposta: (A).

3. Será de esperar que em:I exista uma correlação positiva;II exista uma correlação negativa;III exista uma correlação negativa;IV exista uma correlação negativa.

Resposta: (C).

s s

,, .= ⇔ ≈9 06

240 614

xi fi (xi – x–)2 fi × (xi – x–)2

0,25 6 (0,25 – 0,99)2 = 0,5476 3,2856

0,75 8 (0,75 – 0,99)2 = 0,0576 0,4608

1,25 6 (1,25 – 0,99)2 = 0,0676 0,4056

1,75 3 (1,75 – 0,99)2 = 0,5776 1,7328

2,25 2 (2,25 – 0,99)2 = 1,5876 3,1752

Total 25 9,06

x, , , ,= × + × + × + ×0 25 6 0 75 8 1 25 6 1 75 ,3 2 25 2

6 8 6 3 2+ ×

+ + + +( )≈x 0,99 hooras

s s

,, .= ⇔ ≈4951 8075

827 77

classe xi fi xi – x– (xi – x–)2 fi (xi – x–)2

[30 , 40[ 35 0 – 22,05 486,2025 0

[40 , 50[ 45 18 – 12,05 145,2025 2613,645

[50 , 60[ 55 30 – 2,05 4,2025 126,075

[60 , 70[ 65 35 7,95 63,2025 2212,0875

[70 , 80[ 75 0 17,95 322,2025 0

Total 83 4951,8075

x = × + × + × + × +35 0 45 18 55 30 65 35 775 018 30 35

×+ +( )

≈x 57,05 km/h

87

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tora



4. Pág. 318

(A) A afirmação é falsa, em I as variáveis estão associados positiva-mente e em III estão associadas negativamente.

(B) A afirmação é falsa, exista maior grau de associação em III queem II, pois está melhor definida a recta mais “próxima” dospontos representados em cada um dos diagramas.

(C) A afirmação é falsa, pois é nula a correlação representada nodiagrama de dispersão IV.

(D) A afirmação é verdadeira, pois a recta mais “próxima” dospontos está melhor definida no diagrama de dispersão I.

Resposta: (D).

5. A recta de regressão passa no ponto de coordenadas (x– , y–) ,sendo y– a média da variável y , então temos:

y– = 0,321 × (– 1,8) + 2,6

y– = 2,0222

Resposta: (D).

6. A afirmação I é falsa, já que se o coeficiente de correlação, r , veri-fica a condição 0 < r ≤ 1, a correlação é positiva e tanto maisforte quanto mais próximo de um for o valor de r.

A afirmação II é verdadeira.

A afirmação III é falsa, já que se o coeficiente de correlação, r , forigual a zero, significa que as variáveis não se relacionam (a correla-ção é nula).

Resposta: (C).

1. Pág. 319

A afirmação (A) é falsa. No gráfico I existe uma associação positivaentre as variáveis x e y , no gráfico III existe uma associaçãonegativa entre as variáveis x e y.

A afirmação (B) é falsa. A correlação entre x e y é mais forte nográfico I que no gráfico II, pois a recta que está mais “próxima”dos pontos assinalados em cada um dos gráficos está melhor defi-nida no gráfico I.

2.1 y = 0,480x + 3,328.

2.2 r ¯ 0,883.Como r > 0 , as variáveis x e y estão associadas positivamente,ou seja, quando a variável x aumenta a variável y tambémaumenta. Por outro lado como o valor de r está muito próximo deum significa que a correlação existente entre as duas variáveis é forte.

2.3 As variáveis x e y estão relacionadas pela seguinte equação:

y = 0,480x + 3,328. Ora se x = 6 , então temos:

y = 0,480 × 6 + 3,328 ⇔ y = 6,208, ou seja, prevê-se que a mototenha, aproximadamente, 6200 km.

3.1 Pág. 320

3.2 y = 1,04x + 7,03 .

3.3 As variáveis x e y estão relacionadas pela seguinte equação:

y = 1,04x + 7,03 . Ora, como x = 7 , vem: y = 1,04 × 7 + 7,03, ouseja, y = 14,31.

Prevê-se, assim, que um aluno que estudou 7 horas possa obteruma classificação de 14 valores.

3.4 Não, pois y = 1,04 × 15 + 7,03, ou seja, y = 22,63, e a classifica-ção máxima possível é, evidentemente, 20.

4. O coeficiente de correlação não se altera.

5.1 Pág. 321

5.2 a) r ¯ – 0,99 ;

b) y = – 0,08x + 757,58 .

5.3 a) y = – 0,08 × 250 + 757,58

y = 737,58

Para uma altitude de 250 metros prevê-se uma pressão atmosfé-rica de cerca de 738 mmHg ;

b) y = – 0,08 × 750 + 737,58

y = 697,58

Para uma altitude de 750 metros prevê-se uma pressão atmosfé-rica de cerca de 698 mmHg.

6.1 a) r ¯ 0,71 ;

b) y = 1,94x – 12,08 .

6.2 y = 1,94 × 42 – 12,08

y = 69,4

Prevê-se que esse cliente possa efectuar uma despesa de aproxima-damente 69,40 euros.

6.3 127,60 = 1,94x – 12,08 ⇔ x = 72 .

Ora 72 minutos corresponde a uma hora e 12 minutos.Prevê-se que esse cliente tenha permanecido no supermercado 1 h 12 min.

7.1 Pág. 322

7.2 a) r ¯ – 0,83 ;

b) y = 0,76x + 0,60 .

88

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orto

Edi

tora



8.

Sinal Grau Tipo

8.1 positiva forte linear

8.2 nula

8.3 positiva fraca

8.4 negativa fraca

8.5 negativa forte linear

8.6 negativa forte

9.1 A correlação é positiva.Estima-se que até aos 20 anos de idade a altura de uma pessoa au-mente.

9.2 A correlação é negativa.Estima-se que há medida que os anos passam o valor de um auto-móvel diminui.

9.3 A correlação é nula, pois o número de idas à praia em nada estáassociado ao tamanho do sapato de uma pessoa.

9.4 A correlação é positiva.Estima-se que à medida que a temperatura, nessa sala, aumenta aaltura do mercúrio num termómetro colocado nessa sala, também,aumente.

10.1 Pág. 323

10.2 y = 2,15 × 65 + 23,58y = 163,33

Estima-se que o Carlos tenha 163 cm de altura.

10.3 146 = 2,15x + 23,58x ¯ 56,94 kg

Estima-se que a Diana pesa 57 kg.

11.1

11.2 y = 0,68 × 55 + 29,36y = 66,76

Estima-se que o António poderia ter obtido, no teste de Física,aproximadamente 67%.

11.3 A Ana poderia ter obtido, aproximadamente, 75% no teste deMatemática.

11.4 Correlação linear positiva forte.É positiva dado que à medida que a classificação de Matemáticaaumenta a classificação de Física também aumenta. É forte poisos pontos estão distribuídos relativamente próximos da recta deregressão.

20Classificações em Mat./%

100

80

60

40

20

0Cla

ssif

icaç

ões

em F

ísic

a/%

40 60 80 100

y = 0,68x + 29,36

50 60 70 Peso/kg

130

150

170

Alt

ura/

cm

y = 2,15x + 23,58

12.1 Temperatura: calculemos a média. Pág. 324

Organizemos, numa tabela, os valores necessários para determi-

nar o desvio-padrão.

Latitude: calculemos a média,

Organizemos, numa tabela, os valores necessários para determi-

nar o desvio-padrão.

12.2 Com recurso à calculadora gráfica determina-se o coeficiente de

correlação, que no caso é r ¯ – 0,94.

Como o valor de r está muito próximo de – 1, a correlação entre

as duas variáveis, temperatura a latitude, é negativa forte.

s

s

,

, .

=

⇔ ≈

460 916811

6 47


37 1 (37 – 47,92)2 = 119,2464 119,2464

39 1 (39 – 47,92)2 = 79,5664 079,5664

40 1 (40 – 47,92)2 = 62,7264 062,7264

42 1 (42 – 47,92)2 = 35,0464 035,0464

49 1 (49 – 47,92)2 = 1,1664 001,1664

50 1 (50 – 47,92)2 = 4,3264 004,3264

52 2 (52 – 47,92)2 = 16,6464 033,2928

53 2 (53 – 47,92)2 = 25,8064 051,6128

54 2 (54 – 47,92)2 = 36,9664 073,9328

Total 12 460,9168

x = + + + + + + × +37 39 40 42 49 50 2 52 22 53 2 5412

47 92

× + ×

⇔ ≈ , .x

s s

,, .= ⇔ ≈182 9168

114 08


11 1 (11 – 15,92)2 = 24,2064 024,2064

13 3 (13 – 15,92)2 = 8,5264 025,5792

14 3 (14 – 15,92)2 = 3,6864 011,0592

15 1 (15 – 15,92)2 = 0,8464 000,8464

19 2 (19 – 15,92)2 = 9,4864 018,9728

22 1 (22 – 15,92)2 = 36,9664 036,9664

24 1 (24 – 15,92)2 = 65,2864 065,2864

Total 12 182,9168

x = + × + × + + × +11 3 13 3 14 15 2 19 22

,

+

⇔ ≈

2412

15 92x

89

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orto

Edi

tora



13.1 a) e c)

Para x = 16 tem-se: y = 18,37 × 16 – 197,26, ou seja,

y = 96,66.

Essa localidade teria, aproximadamente, 97 horas de sol.

b) Com recurso à calculadora gráfica determina-se o coeficiente de

correlação, que no caso é r ¯ 0,94 .

Como r é positivo, o número de horas de sol é tanto maior quan-

to maior for a temperatura do ar. Como r tem um valor próximo

de um, a correlação é bastante forte.

13.2 a)

b) Recorrendo à calculadora gráfica obtêm-se o valor do coefi-

ciente de correlação, no caso, r ¯ – 0,70.

Como r é negativo significa que a correlação é negativa. Por

outro lado como – 1 < r < – 0,5 , podemos dizer que a correla-

ção é, para além de negativa, forte.

14.1 Fará sentido estudar uma possível relação entre as duas variáveis,

uma vez que poderá haver influência de uma variável na noutra.

Talvez faça sentido dizer que quanto mais tempo se gasta para

almoçar maior será o custo da refeição.

14.2 Não fará sentido estudar uma possível relação entre as duas variá-

veis, uma vez que não há influência de uma variável na outra.

14.3 Talvez faça sentido estudar uma possível relação entre as duas

variáveis. É possível que existe influência de uma variável na outra,

já que turmas com menos alunos podem ter melhores resultados.

15.1 Pág. 325

x 1,5 3 4,5 6 7,5 7,5 9 9 10,5

y 10 10 20 40 20 50 30 50 60

y = -33,84x + 785,13

390

290

190

13

Prec

ipit

ação

tot

al/m

m

14 15 16 17Temperatura do ar/°C

y = 18,37x + 197,26

120

90

60

30Núm

ero

de h

oras

de

Sol

13 14 15 16 17Temperatura/°C

15.2

16.1

16.2 Observando os dois diagramas, podemos conduzir que:

• A temperatura, em graus Celsius, variou de 9 a 22,4; há grandeconcentração de temperaturas inferiores a 12 ºC, pelo menos50% das temperaturas estão entre 12 ºC e 19,5 ºC.

• A precipitação, em milímetros, variou entre 1,1 e 334,9. Hágrande dispersão dos valores superiores a 115,45 e grande con-centração de valores inferiores a 26,25. Pelo menos 50% dosdados estão entre 26,25 e 115,45.

17.1

17.2 r ¯ 0,75 .

17.3 Como r é positivo e está próximo de um, podemos afirmar quehá uma correlação positiva forte entre as duas variáveis.

100

80

60

40

20

20 40 60 80 100Classificação em Matemática

Cla

ssif

icaç

ão e

m P

ortu

guês

22,4

19,5

15,5

12

9

0

Tem

pera

tura

(°C

)

334,9

115,45

1,1

Prec

ipit

ação

(mm

)

65,6

26,25

0

xy A B C D E F

1 4

2 1 2

3 4 3 2

4 1 4 3

5 2 1

6 1 2

90

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tora



18.1 Sexo: qualitativa. Pág. 326As restantes variáveis são quantitativas discretas.

18.2 Para Matemática, temos:

• Nível 1

• Nível 2

• Nível 3

Para Português, temos:

• Nível 1

• Nível 2

• Nível 3

Resumindo, numa tabela estes valores, temos:

Comentário: A média em Matemática varia conforme o nível,enquanto a média em Português é mais uniforme.

18.3

18.4

5Atenção (nível)

3

N.°

de a

luno

s

2

1

Nível atingido num teste de atenção

4321

RapazesRaparigas

Idades dos alunos

14 anos33%

17 anos20%

16 anos20%

15 anos27%

Média

Nível Matemática Português

1 71,75 55,00

2 47,14 50,29

3 27,75 52,00

x .= + + + =30 58 75 45

452

x ,= + + + + + + ≈50 61 35 22 45 91 48

750 229 ;

x ;= + + + =48 20 80 72

455

x , ;= + + + =20 15 56 20

427 75

x ,= + + + + + + ≈60 72 45 38 10 54 51

747 114 ;

x , ;= + + + =62 68 72 85

471 75

Conclusão: A atenção das raparigas é igual ou superior à dos

rapazes, excepto no nível 1. Não há nenhuma rapariga que esteja

sempre atenta.

18.5

Interpretação:

• A mediana em Matemática é superior à de Português.

• A amplitude das duas disciplinas é sensivelmente a mesma.

• Em Matemática há mais concentração das notas acima da me-

diana que em Português.

• 50% das classificações em Matemática estão entre 20 e 68,

enquanto que 50% das classificações em Português estão entre

35 e 72.

1.1 Pág. 327Por exemplo:

Recorrendo à calculadora gráfica obteve-se o coeficiente de correla-

ção. Assim, temos:

r = 0,987674498

Assim, o coeficiente da correlação, arredondando às milésimas é

0,988.

Interpretação: Relativamente ao valor absoluto, tal como o dia-

grama de dispersão sugere, os pontos estão praticamente alinhados,

segundo uma recta; relativamente ao sinal, a recta tem declive posi-

tivo.

1.2 Pág. 328De acordo com o modelo, há alguns séculos (três ou mais) teríamos

a situação absurda de haver, em Portugal, um número negativo de

habitantes. Por outro lado, e também de acordo com o modelo

linear a população iria crescer sem limitações, pelo que este modelo

nunca será bom para fazer previsões, a muito longo prazo (aten-

dendo à limitação dos recursos).

1.3 Apresenta-se a seguir um exemplo de resposta:

De acordo com o modelo linear apresentado, a população residente

em Portugal, em 2010, seria, aproximadamente, de

10,9 (0,0477 × 2010 – 84,95) milhões de habitantes e, em 2050,

seria, aproximadamente, de 12,8 (0,0477 × 2050 – 84,95) milhões

de habitantes. O primeiro valor está ligeiramente acima das projec-

ções do INE, mas o segundo já se encontra muito afastado.

Concluímos assim que, a concretizarem-se as projecções do INE, o

modelo linear apresentado estará inadequado à evolução da popu-

lação residente em Portugal, a partir de 2010, até porque, a partir

dessa data, a população começará a diminuir, ao contrário do suge-

rido pelo modelo. A principal razão de ordem social para esse facto

é apresentada no documento do INE: níveis de fecundidade abaixo

do limiar de substituição de gerações.

Mat.

Port.

80

60

40

20

0

91

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tora



2.1 Pág. 329

2.2

O número médio de rebites em falta na inspecção aos 34 aviões é,

aproximadamente, 7,6.

2.3 Vamos construir uma tabela onde construir os valores necessários

para se calcular o desvio-padrão.

2.4

Q1 = 4,5 ; Q2 = 7,5 e Q3 = 10,5 .

Q1

100

80

60

40

2025

50

75

Q2 Q30 3 6 9 12 15 18 21 24 Classes

Freq

uênc

ia r

elat

iva

(%)

Número de rebites em falta

s s

,, .= ⇔ ≈656 7351

334 5


1,5 4 (1,5 – 7,59)2 = 37,0881 148,3524

4,5 9 (4,5 – 7,59)2 = 9,5481 085,9329

7,5 11 (7,5 – 7,59)2 = 0,0081 000,0891

10,5 6 (10,5 – 7,59)2 = 8,4681 050,8086

13,5 2 (13,5 – 7,59)2 = 34,9281 069,8562

16,5 1 (16,5 – 7,59)2 = 79,3881 079,3881

19,5 0 (19,5 – 7,59)2 = 141,8481 000

22,5 1 (22,5 – 7,59)2 = 222,3081 222,3081

Total 34 656,7351

x, , , ,= × + × + × + ×1 5 4 4 5 9 7 5 11 10 5 6 , , ,+ × + × + ×

⇔ ≈

13 5 2 16 5 1 22 5 134

x 77 59,

xi fi fri Fri

[0 , 3[ 4 0,12 0,12

[3 , 6[ 9 0,26 0,38

[6 , 9[ 11 0,32 0,70

[9 , 12[ 6 0,18 0,88

[12 , 15[ 2 0,06 0,94

[15 , 18[ 1 0,03 0,97

[18 , 21[ 0 0,00 0,97

[21 , 24[ 1 0,03 1,00

2.5 Se o número de rebites em falta de cada um dos aviões sofrer umaumento de 100%, a média, assim como o desvio-padrão vêm mul-tiplicados por 2.

Então temos:média ¯ 2 × 7,6 = 15,2 e desvio-padrão ¯ 2 × 4,5 = 9 .

3.1 Pág. 330

r ¯ 0,52 .Correlação positiva fraca.

3.2 O centro de gravidade do diagrama de dispersão é o ponto de coor-denadas (x– , y–) , sendo que x– representa a média do número degolos marcados e y– representa a média do número de minutos jo-gados.

Determinemos o valor de x– :

Determinemos o valor de y– :

Então temos que as coordenadas do centro de gravidade do dia-grama de dispersão são: (4,12 ; 654,68) .

3.3 y = 78,88x + 329,68 .

3.4 a) Se y = 500 então 500 = 78,88x + 329,68, ou seja, x ¯ 2,16 .Se um jogador jogou 500 minutos prevê-se que tenha marcado 2golos.

b) Se x = 7 então y = 78,88 × 7 + 329,68, ou seja, y = 881,84 .Se o jogador marcou 7 golos prevê-se que tenha jogado 882minutos.

y = total de minutos jogados pelos 25 jogadoores25

ou seja = 6⇔ = , ,y y16 367

25554,68 .

x

x

= × + × + + × +

⇔ =

3 12 4 7 5 6 4 1025

,4 12

4.1 Pág. 331

A diferença do número de pessoas que acederam a sites de televisãoem Maio de 2006 para o mês de Maio de 2007 foi de 1178 – 1157 = 21, ou seja 21 milhares de pessoas. Efectuando umaregra de três simples, vem que:

1178 — 100

21 — x

A percentagem correspondente a essa diminuição é 1,78% .

4.2 No último trimentre de 2006 acederam a sites de televisão a partir decasa 3615 milhares de pessoas (1289 + 1185 + 1141), então temos:

Conclusão: A média diária de visitantes destes sites, no último tri-mestre de 2006, foi de 39 milhares de pessoas.

4.3 Como a moda do conjunto destes dados é 1157 e 1224 e por obser-vação da tabela verifica-se que o valor 1157 é o único que se repete(duas vezes, em Julho de 2006 e Maio de 2007), enquanto que ovalor 1224 aparece uma única vez (Janeiro de 2007), obviamentenum dos meses de Junho ou Julho de 2007, o número de pessoas, emmilhares, que acederam a este tipo de sites foi de 1224.Assim sendo e como a média do número de pessoas que visitou estetipo de sites entre Maio de 2006 e Julho de 2007 foi de 1236 (mi-lhares), temos que:

1178 + 1217 + 1157 + 1088 + 1305 + 1289 + 1185 + 1141 + 1224 ++ 1276 + 1293+ 1244 + 1157 + 1224 = 16 978

Desta forma, temos:

E, 1562 + 1224 = 2786 , logo em Junho de 2007 e Julho do mesmoano, acederam a este tipo de site 2786 milhares de pessoas.

4.4 Por análise da tabela verifica-se que os meses consecutivos ondehouve um maior aumento de visitantes deste tipo de sites foi deAgosto de 2006 para Setembro de 2006.

Então temos: , ou seja, a percentagem desse aumento

foi de, aproximadamente, 20% . Uma razão que possa justificar esteaumento pode ser a de a maioria das pessoas gozarem as suas fériasno mês de Agosto, não estando por isso, nas suas casas para pode-rem aceder a este tipo de sites.

13051088

1 199,≈

1697815

1236 1562 .+ = =x

x, ou seja,

x x ,=+ +( ) ≈3615

31 30 3139, ou seja, 33 .

x x , .= × ≈21 100

11781 78, ou seja ,

92

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Documents

Propostas de Resolução - Abre Horizontes- Porto Editora · A’ =r2 A =22 *3x =12x m2 Resposta: (B). 1. Pág. 21 1.1 Sim. Dois círculos são sempre semelhantes. 1.2 Como as “pizzas”