Propriedades ondulatórias da matéria · 36.5–3 6.7 Difração de luz, difração de raios X, resolução. 38.1, 3 8.4 Efeito fotoelétrico, fótons, interferência. ... livro,

UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones

Aula 5 Propriedades ondulatórias da matéria

1

? Os vírus (mostrados em azul) pararam sobre uma bacté-

ria E. coli e injetaram seu DNA, convertendo a bactéria em uma fábrica de vírus. Esta imagem em falsa cor foi feita usando um feixe de elétrons em vez de um feixe de luz. Os elétrons são usados para gerar imagens com detalhes minuciosos porque, em comparação com os fótons de luz visível, (i) os elétrons podem ter comprimentos de onda muito mais curtos; (ii) os elétrons po-dem ter comprimentos de onda muito maiores; (iii) os elétrons podem ter muito menos mo-mento linear; (iv) os elétrons possuem mais energia total para o mesmo momento linear; (v) há mais de uma resposta correta.

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo estudar este capítulo, você aprenderá:

39.1 A hipótese de De Broglie de que elétrons, prótons e outras partículas podem se comportar como ondas e a evidência experimental das ideias de De Broglie.

39.2 Como os físicos descobriram o núcleo atômico.

39.3 Como o modelo das órbitas eletrônicas de Bohr explicou os espectros do hidrogênio e os átomos tipo hidrogênio.

39.4 Como um laser opera.

39.5 Como a ideia dos níveis de energia, com o modelo de fóton da luz, explica o espectro da luz emitida por um objeto quente e opaco.

39.6 O que o princípio da incerteza nos diz sobre a natureza do átomo.

Revendo conceitos de:

12.4 Satélites.

17.7 Lei de Stefan-Boltzmann.

18.4, 1 8.5 Princípio da equipartição; função de distribuição de Maxwell-Boltzmann.

32.1, 3 2.5 Radiação de uma carga em aceleração; ondas eletromagnéticas estacionárias.

36.5–3 6.7 Difração de luz, difração de raios X, resolução.

38.1, 3 8.4 Efeito fotoelétrico, fótons, interferência.

No Capítulo 38, descobrimos um aspecto da natureza da dualidade onda-par-tícula: a luz e outras ondas eletromagnéticas algumas vezes se comportam como ondas e outras vezes, como partículas. A interferência e a difração

revelam o comportamento ondulatório, enquanto a emissão e a absorção de fótons demonstram o comportamento de partícula.

Se as ondas de luz podem se comportar como partículas, as partículas de matéria podem se comportar como ondas? A resposta é um retumbante sim. Os elétrons podem interferir e refratar, assim como outros tipos de onda. A natureza ondulatória dos elétrons não é simplesmente uma curiosidade de laboratório: é o motivo fundamental para que os átomos, que, de acordo com a física clássica deveriam ser instáveis, sejam capazes de existir. Neste capítulo, a natureza ondulatória da matéria nos ajudará a compreender a estrutura dos átomos, os princípios operacionais de um laser e as curiosas propriedades da luz emitida por um objeto aquecido e brilhante. Sem a imagem ondulatória da matéria, não haveria como explicar esses fenômenos.

No Capítulo 40, apresentaremos uma imagem ainda mais completa da na-tureza ondulatória da matéria, chamada mecânica quântica. No restante deste livro, usaremos as ideias da mecânica quântica para compreendermos a natureza das moléculas, dos sólidos, dos núcleos atômicos e das partículas fundamentais que são os blocos de montagem do nosso universo.

39.1 ONDAS DE ELÉTRONS

Em 1924, um físico francês, Louis De Broglie (pronuncia-se “de broy”; Fi-gura 39.1 ), fez uma proposta marcante sobre a natureza da matéria. Seu pensa-mento, parafraseado livremente, foi mais ou menos o seguinte: a natureza ama a simetria. A luz possui uma natureza dual, comportando-se em algumas situações

39 A NATUREZA ONDULATÓRIA DAS PARTÍCULAS

Book_SEARS_Vol4.indb 231 16/12/15 5:44 PM

A hipótese de de Broglie

2

Em 1924, um estudante de pós-graduação francês, Louis de Broglie, propôs na sua dissertação de doutorado a seguinte linha de raciocínio:

• Um feixe luminoso é uma onda, mas transfere energia e momento a partículas de matéria por meio de “pacotes” chamados fótons.

• Por que um feixe de partículas (por exemplo, elétrons) não pode ter as mesmas propriedades?

• Podemos pensar que um elétron, ou qualquer outra partícula, se comporta como uma onda de matéria que transfere energia e momento a outras partículas através de “pacotes” (quanta)?

Esta hipótese era altamente especulativa, já que ainda não havia nenhuma evidência experimental do comportamento ondulatório de elétrons ou de outras partículas.

Matematicamente, de Broglie sugeriu que as equações

fossem aplicadas, não só aos fótons, mas também aos elétrons.

O comprimento de onda calculado com o auxílio da equação 𝜆=h/p recebe o nome de comprimento de onda de de Broglie da partícula.

3

193

In 1924, a French graduate student, Louis de Broglie,1 proposed in his doctoral dis-sertation that the dual—that is, wave-particle—behavior that was by then known

to exist for radiation was also a characteristic of matter, in particular, electrons. This suggestion was highly speculative, since there was yet no experimental evidence whatsoever for any wave aspects of electrons or any other particles. What had led him to this seemingly strange idea? It was a “bolt out of the blue,” like Einstein’s “happy thought” that led to the principle of equivalence (see Chapter 2). De Broglie described it with these words:

After the end of World War I, I gave a great deal of thought to the theory of quanta and to the wave-particle dualism. . . . It was then that I had a sudden inspiration. Einstein’s wave-particle dualism was an absolutely general phenomenon extending to all physical nature.2

Since the visible universe consists entirely of matter and electromagnetic radiation, de Broglie’s hypothesis is a fundamental statement about the grand symmetry of nature. (There is currently strong observational evidence that ordinary matter makes up only about 4 percent of the visible universe. About 22 percent is some unknown form of invisible “dark matter” and approximately 74 percent consists of some sort of equally mysterious “dark energy.” See Chapter 13.)

5-1 The de Broglie Hypothesis De Broglie stated his proposal mathematically with the following equations for the frequency and wavelength of the electron waves, which are referred to as the de Broglie relations:

f �Eh

5-1

L �hp 5-2

where E is the total energy, p is the momentum, and L is called the de Broglie wave-length of the particle. For photons, these same equations result directly from Einstein’s

5-1 The de Broglie Hypothesis 193

5-2 Measurements of Particle Wavelengths 195

5-3 Wave Packets 2045-4 The Probabilistic

Interpretation of the Wave Function 210

5-5 The Uncertainty Principle 213

5-6 SomeConsequences of the Uncertainty Principle 216

5-7 Wave-Particle Duality 219

The Wavelike Properties of Particles

CHAPTER 5

TIPLER_05_193-228hr.indd 193 8/22/11 11:39 AM

193

In 1924, a French graduate student, Louis de Broglie,1 proposed in his doctoral dis-sertation that the dual—that is, wave-particle—behavior that was by then known

to exist for radiation was also a characteristic of matter, in particular, electrons. This suggestion was highly speculative, since there was yet no experimental evidence whatsoever for any wave aspects of electrons or any other particles. What had led him to this seemingly strange idea? It was a “bolt out of the blue,” like Einstein’s “happy thought” that led to the principle of equivalence (see Chapter 2). De Broglie described it with these words:

After the end of World War I, I gave a great deal of thought to the theory of quanta and to the wave-particle dualism. . . . It was then that I had a sudden inspiration. Einstein’s wave-particle dualism was an absolutely general phenomenon extending to all physical nature.2

Since the visible universe consists entirely of matter and electromagnetic radiation, de Broglie’s hypothesis is a fundamental statement about the grand symmetry of nature. (There is currently strong observational evidence that ordinary matter makes up only about 4 percent of the visible universe. About 22 percent is some unknown form of invisible “dark matter” and approximately 74 percent consists of some sort of equally mysterious “dark energy.” See Chapter 13.)

5-1 The de Broglie Hypothesis De Broglie stated his proposal mathematically with the following equations for the frequency and wavelength of the electron waves, which are referred to as the de Broglie relations:

f �Eh

5-1

L �hp 5-2

where E is the total energy, p is the momentum, and L is called the de Broglie wave-length of the particle. For photons, these same equations result directly from Einstein’s

5-1 The de Broglie Hypothesis 193


5-3 Wave Packets 2045-4 The Probabilistic

Interpretation of the Wave Function 210

5-5 The Uncertainty Principle 213

5-6 SomeConsequences of the Uncertainty Principle 216

5-7 Wave-Particle Duality 219

The Wavelike Properties of Particles

CHAPTER 5

TIPLER_05_193-228hr.indd 193 8/22/11 11:39 AM

4

De Broglie e o átomo de Bohr194 Chapter 5 The Wavelike Properties of Particles

quantization of radiation E � hf and Equation 2-31 for a particle of zero rest energyE � pc as follows:

E � pc � hf �hcL

By a more indirect approach using relativistic mechanics, de Broglie was able to dem-onstrate that Equations 5-1 and 5-2 also apply to particles with mass. He then pointed out that these equations lead to a physical interpretation of Bohr’s quantization of the angular momentum of the electron in hydrogenlike atoms, namely, that the quantiza-tion is equivalent to a standing-wave condition (see Figure 5-1). We have

mvr � n6 �nh2P for n � integer

2Pr �nhmv �

nhp � nL � circumference of orbit 5-3

The idea of explaining discrete energy states in matter by standing waves thus seemed quite promising.

De Broglie’s ideas were expanded and developed into a complete theory by Erwin Schrödinger late in 1925. In 1927, C. J. Davisson and L. H. Germer verified the de Broglie hypothesis directly by observing interference patterns, a characteristic of waves, with electron beams. We will discuss both Schrödinger’s theory and the Davisson-Germer experiment in later sections, but first we have to ask ourselves why wavelike behavior of matter had not been observed before de Broglie’s work. We can understand why if we first recall that the wave properties of light were not noticed, either, until apertures or slits with dimensions of the order of the wavelength of light could be obtained. This is because the wave nature of light is not evident in experi-ments where the primary dimensions of the apparatus are large compared with the wavelength of the light used. For example, if A represents the diameter of a lens or the width of a slit, then diffraction effects3 (a manifestation of wave properties) are limited to angles U around the forward direction (U � 0�) where sin U � L�A. In geometric (ray) optics L�A 4 0, so U y sin U 4 0, too. However, if a characteristic dimension of the apparatus becomes of the order of (or smaller than) L, the wavelength of light passing

FIGURE 5-1 Standing waves around the circumference of a circle. In this case the circle is 3L in circumference. If the vibrator were, for example, a steel ring that had been suitably tapped with a hammer, the shape of the ring would oscillate between the extreme positions represented by the solid and broken lines.

L

Louis V. de Broglie, who first suggested that electrons might have wave properties. [Courtesy of Culver Pictures.]

TIPLER_05_193-228hr.indd 194 8/22/11 11:40 AM

De Broglie apontou que suas equações levavam a uma interpretação física da quantização de Bohr do momento angular do elétron em átomos hidrogenóides .

De acordo com De Broglie o elétron no átomo de Bohr devia se comportar como uma onda de matéria com comprimento de onda:

� =h

p=

h

mv

Em um estado estacionário, o perímetro da órbita devia corresponder a um número inteiro de comprimentos de onda; ou seja a onda de matéria devia ser uma onda estacionária.

5

Portanto:

Substituindo 𝜆 = h/(mv) na expressão anterior obtemos:

que é a condição de quantização do momento angular.

2⇡r = n� n = 1, 2, 3 · · ·

2⇡r = nh

mv) mvr =

h

2⇡) L = n~

194 Chapter 5 The Wavelike Properties of Particles

quantization of radiation E � hf and Equation 2-31 for a particle of zero rest energyE � pc as follows:

E � pc � hf �hcL

By a more indirect approach using relativistic mechanics, de Broglie was able to dem-onstrate that Equations 5-1 and 5-2 also apply to particles with mass. He then pointed out that these equations lead to a physical interpretation of Bohr’s quantization of the angular momentum of the electron in hydrogenlike atoms, namely, that the quantiza-tion is equivalent to a standing-wave condition (see Figure 5-1). We have

mvr � n6 �nh2P for n � integer

2Pr �nhmv �

nhp � nL � circumference of orbit 5-3

The idea of explaining discrete energy states in matter by standing waves thus seemed quite promising.

De Broglie’s ideas were expanded and developed into a complete theory by Erwin Schrödinger late in 1925. In 1927, C. J. Davisson and L. H. Germer verified the de Broglie hypothesis directly by observing interference patterns, a characteristic of waves, with electron beams. We will discuss both Schrödinger’s theory and the Davisson-Germer experiment in later sections, but first we have to ask ourselves why wavelike behavior of matter had not been observed before de Broglie’s work. We can understand why if we first recall that the wave properties of light were not noticed, either, until apertures or slits with dimensions of the order of the wavelength of light could be obtained. This is because the wave nature of light is not evident in experi-ments where the primary dimensions of the apparatus are large compared with the wavelength of the light used. For example, if A represents the diameter of a lens or the width of a slit, then diffraction effects3 (a manifestation of wave properties) are limited to angles U around the forward direction (U � 0�) where sin U � L�A. In geometric (ray) optics L�A 4 0, so U y sin U 4 0, too. However, if a characteristic dimension of the apparatus becomes of the order of (or smaller than) L, the wavelength of light passing

FIGURE 5-1 Standing waves around the circumference of a circle. In this case the circle is 3L in circumference. If the vibrator were, for example, a steel ring that had been suitably tapped with a hammer, the shape of the ring would oscillate between the extreme positions represented by the solid and broken lines.

L

Louis V. de Broglie, who first suggested that electrons might have wave properties. [Courtesy of Culver Pictures.]

TIPLER_05_193-228hr.indd 194 8/22/11 11:40 AM

A previsão de de Broglie de que as partículas de matéria se comportam como ondas em certas circunstâncias foi confirmada em 1927 pelos experimentos de C. J. Davisson e L. H. Germer.

Podemos entender porque as propriedades ondulatórias da matéria não eram facilmente observadas naquela época se lembrarmos que as propriedades ondulatórias da luz não foram notadas até que puderam ser obtidas aberturas ou fendas com as mesmas dimensões do comprimento de onda da luz.

Os efeitos de difração e interferência não são observados quando o comprimento de onda da luz é muito menor do que qualquer abertura. Nesse caso, vale a óptica geométrica.

Como a constante de Planck é muito pequena, as relações de de Broglie implicam em comprimentos de onda muito pequenos para qualquer objeto macroscópico, mesmo que extremamente pequeno. 6

Observação de ondas de matéria

Como exemplo, calculemos o comprimento de onda de um objeto macroscópico. Consideremos uma bola de ping-pong de massa m=2.0 g com velocidade de 5 m/s.

Determinamos 𝜆 de de Broglie a partir da equação, 𝜆=h/p=h/(mv):

O resultado é 17 ordens de grandeza menor que as dimensões de um núcleo atômico típico.

Portanto, é impossível na prática observar o comportamento ondulatório de um objeto macroscópico.


through the system, then L�A 4 1. In that event sin U � L�A and U is readily observ-able, and the wavelike properties of light become apparent. Because Planck’s con-stant is so small, the wavelength given by Equation 5-2 is extremely small for any macroscopic object. This point is among those illustrated in the following section.

5-2 Measurements of Particle Wavelengths Although we now have diffraction systems of nuclear dimensions, the smallest-scale systems to which de Broglie’s contemporaries had access were the spacings between the planes of atoms in crystalline solids, about 0.1 nm. This means that even for an extremely small macroscopic particle, such as a grain of dust (m y 0.1 mg) moving through air with the average kinetic energy of the atmospheric gas molecules, the smallest diffraction systems available would have resulted in diffraction angles U only of the order of 10�10 radians, far below the limit of experimental detectability. The small magnitude of Planck’s constant ensures that L will be smaller than any readily accessible aperture, placing diffraction beyond the limits of experimental observation. For objects whose momenta are larger than that of the dust particle, the possibility of observing particle, or matter, waves is even less, as the following example illustrates.

EXAMPLE 5-1 De Broglie Wavelength of a Ping-Pong Ball What is thede Broglie wavelength of a Ping-Pong ball of mass 2.0 g after it is slammed across the table with speed 5 m/s?

SOLUTION

L �h

mv �6.63 � 10�34 J � s�2.0 � 10�3 kg� �5 m�s�

� 6.6 � 10�32 m � 6.6 � 10�23 nm

This is 17 orders of magnitude smaller than typical nuclear dimensions, far below the dimensions of any possible aperture.

The case is different for low-energy electrons, as de Broglie himself realized. At his soutenance de thèse (defense of the thesis), de Broglie was asked by Perrin4 how his hypothesis could be verified, to which he replied that perhaps passing particles, such as electrons, through very small slits would reveal the waves. Consider an electron that has been accelerated through V0 volts. Its kinetic energy (nonrelativistic) is then

E �p2

2m� eV0

Solving for p and substituting into Equation 5-2,

L �hp �

hcpc �

hc�2mc2 eV0�1�2

Using hc � 1.24 � 103 eV � nm and mc2 � 0.511 � 106 eV, we obtain

L �1.226V 1�2

0 nm for eV0 7 mc2 5-4

The following example computes an electron de Broglie wavelength, giving a measure of just how small the slit must be.

TIPLER_05_193-228hr.indd 195 8/22/11 11:40 AM

A situação é diferente para objetos microscópicos como, por exemplo, elétrons de baixa energia. Considere um elétron que foi acelerado, desde o repouso, por um potencial V0. Para elétrons não relativísticos, ou seja, quando eV0 ≪ mc2, a energia pode ser escrita como E = eV0 = p2 /(2m). Utilizando a relação de de Broglie determinamos o comprimento de onda, como sendo

Assim, para um elétron acelerado por uma tensão de 10 V, temos:

8

5.1 Evidencias Experimentais Miotto e Ferraz 89

de onda, em Angstrons, como sendo

� =h

p=

hc

pc=

hc

cp2mE

=hcp

2mc2eVo=

12,26pVo

. (5.3)

Assim, para um eletron acelerado por uma tensao de 10 V, o comprimentoda onda associada e de 3,9 A. Apesar do valor obtido para o comprimentode onda ser pequeno, sua ordem de grandeza e a mesma do valor obtido parao espacamento entre os planos de um cristal, ou seja, e possıvel verificar ocomportamento ondulatorio em eletrons!

5.1 Evidencias Experimentais

Figura 5.2: Representacao esquematicada condicao de interferencia constru-tiva de Bragg.

Foi Elsasser4 quem mostrou, em1925, que a natureza ondulatoriada materia poderia ser testada damesma forma que a natureza dosRaios X, ou seja, fazendo-se comque um feixe de eletrons de ener-gia apropriada incida sobre um solidocristalino. Os atomos do cristalagem como um arranjo tridimensi-onal de centros de difracao para aonda eletronica, espalhando forte-mente os eletrons em certas direcoescaracterısticas de acordo com a Lei de Bragg, exatamente como na difracao deRaios X (ver Leitura Complementar: Novamente os Raios X). Essa ideia foiconfirmada, em 1927, por experimentos feitos independentemente por Davissone Germer5, nos Estados Unidos da America do Norte; e por G. P. Thomson6,na Escocia.

Davisson e Germer efetuaram as medidas de comprimento de onda doseletrons quando estavam estudando a reflexao por um alvo de nıquel, conformeesquema na figura 5.3. A figura menor mostra os dados obtidos para um feixede eletrons de 54 eV, indicando um maximo pronunciado de espalhamento aum angulo de 50 graus. Considere o espalhamento por um conjunto de planosde Bragg7, conforme esquematizado na figura 5.3(direita): a condicao de Braggpara que ocorra interferencia construtiva e 2dsen✓ = n�. O espacamento dosplanos de Bragg pode ser determinado experimentalmente a partir da distanciainteratomica. No caso do nıquel, sabe-se que a distancia interatomica e da

4Bemerkungen zur Quantenmechanik Freier Elektronen, Naturwiss. 13, 711 (1925).5Reflection of electrons by a crystal of nickel, Nature 119, 558 (1927).6Experiments on the Di↵raction of Cathode Rays Proceedings of the Royal Society of

London. Series A 117, 600 (1928).7Um plano de Bragg e um plano de atomos em um cristal que reflete radiacao de maneira

exatamente igual ao que ocorre com a reflexao da luz em um espelho plano.


through the system, then L�A 4 1. In that event sin U � L�A and U is readily observ-able, and the wavelike properties of light become apparent. Because Planck’s con-stant is so small, the wavelength given by Equation 5-2 is extremely small for any macroscopic object. This point is among those illustrated in the following section.

5-2 Measurements of Particle Wavelengths Although we now have diffraction systems of nuclear dimensions, the smallest-scale systems to which de Broglie’s contemporaries had access were the spacings between the planes of atoms in crystalline solids, about 0.1 nm. This means that even for an extremely small macroscopic particle, such as a grain of dust (m y 0.1 mg) moving through air with the average kinetic energy of the atmospheric gas molecules, the smallest diffraction systems available would have resulted in diffraction angles U only of the order of 10�10 radians, far below the limit of experimental detectability. The small magnitude of Planck’s constant ensures that L will be smaller than any readily accessible aperture, placing diffraction beyond the limits of experimental observation. For objects whose momenta are larger than that of the dust particle, the possibility of observing particle, or matter, waves is even less, as the following example illustrates.

EXAMPLE 5-1 De Broglie Wavelength of a Ping-Pong Ball What is thede Broglie wavelength of a Ping-Pong ball of mass 2.0 g after it is slammed across the table with speed 5 m/s?

SOLUTION

L �h

mv �6.63 � 10�34 J � s�2.0 � 10�3 kg� �5 m�s�

� 6.6 � 10�32 m � 6.6 � 10�23 nm

This is 17 orders of magnitude smaller than typical nuclear dimensions, far below the dimensions of any possible aperture.

The case is different for low-energy electrons, as de Broglie himself realized. At his soutenance de thèse (defense of the thesis), de Broglie was asked by Perrin4 how his hypothesis could be verified, to which he replied that perhaps passing particles, such as electrons, through very small slits would reveal the waves. Consider an electron that has been accelerated through V0 volts. Its kinetic energy (nonrelativistic) is then

E �p2

2m� eV0

Solving for p and substituting into Equation 5-2,

L �hp �

hcpc �

hc�2mc2 eV0�1�2

Using hc � 1.24 � 103 eV � nm and mc2 � 0.511 � 106 eV, we obtain

L �1.226V 1�2

0 nm for eV0 7 mc2 5-4

The following example computes an electron de Broglie wavelength, giving a measure of just how small the slit must be.

TIPLER_05_193-228hr.indd 195 8/22/11 11:40 AM


EXAMPLE 5-2 De Broglie Wavelength of a Slow Electron Compute thede Broglie wavelength of an electron whose kinetic energy is 10 eV.

SOLUTION 1. The de Broglie wavelength is given by Equation 5-2:

L �hp

2. Method 1: Since a 10 eV electron is nonrelativistic, we can use the classical relation connecting the momentum and the kinetic energy:

Ek �p2

2m or

p � �2mEk

� ��2� �9.11 � 10�31 kg� �10 eV� �1.60 � 10�19 J�eV� � 1.71 � 10�24 kg � m�s

3. Substituting this result into Equation 5-2:

L �6.63 � 10�34 J � s

1.71 � 10�24 kg � m�s � 3.88 � 10�10 m � 0.39 nm

4. Method 2: The electron’s wavelength can also be computed from Equation 5-4 with V0 � 10 V:

L �1.226V 1�2 �

1.226�10 � 0.39 nm

Remarks: Though this wavelength is small, it is just the order of magnitude of the size of an atom and of the spacing of atoms in a crystal.

The Davisson-Germer ExperimentIn a brief note in the August 14, 1925, issue of the journal Naturwissenschaften, Wal-ter Elsasser, at the time a student of Franck’s (of the Franck-Hertz experiment), pro-posed that the wave effects of low-velocity electrons might be detected by scattering them from single crystals. The first such measurements of the wavelengths of elec-trons were made in 1927 by Davisson5 and Germer, who were studying electron reflection from a nickel target at Bell Telephone Laboratories, unaware of either Elsasser’s suggestion or de Broglie’s work. After heating their target to remove an oxide coating that had accumulated during an accidental break in their vacuum system, they found that the scattered electron intensity as a function of the scattering angle showed maxima and minima. The surface atoms of their nickel target had, in the pro-cess of cooling, formed relatively large single crystals, and they were observing elec-tron diffraction. Recognizing the importance of their accidental discovery, they then prepared a target consisting of a single crystal of nickel and extensively investigated the scattering of electrons from it. Figure 5-2 illustrates their experimental arrangement.

FIGURE 5-2 The Davisson-Germer experiment. Low-energy electrons scattered at angle W from a nickel crystal are detected in an ionization chamber. The kinetic energy of the electrons could be varied by changing the accelerating voltage on the electron gun.

J

Electron gun

Ni crystal

Ionizationchamber

TIPLER_05_193-228hr.indd 196 8/22/11 11:40 AM

Este comprimento de onda é da ordem de grandeza do tamanho de um átomo e do espaçamento dos átomos em um cristal.

Na defesa da tese de de Broglie, o Prof. Perrin perguntou como a sua hipótese poderia ser verificada.

De Broglie respondeu que talvez os elétrons, ao passarem através de pequenas fendas, revelassem o comportamento ondulatório.

A estimativa dada antes mostra que essas “fendas" deveriam ter tamanhos da ordem de nanômetros.

9

10

Em 1925, Elsasser mostrou que a natureza ondulatória da matéria poderia ser testada da mesma forma que a natureza dos Raios X, ou seja, fazendo-se com que um feixe de elétrons de energia apropriada incida sobre um sólido cristalino.

Os átomos do cristal agem como um arranjo tridimensional de centros de difração para a onda eletrônica, espalhando fortemente os elétrons em certas direções características de acordo com a Lei de Bragg, exatamente como na difração de Raios X.

Essa ideia foi confirmada, em 1927, por experimentos feitos independentemente por Davisson e Germer, nos EUA; e por G. P. Thomson, na Escócia.

Evidências experimentais da hipótese de de Broglie

11

Davisson e Germer efetuaram as medidas de comprimento de onda dos elétrons quando estavam estudando a reflexão por um alvo de níquel.

Capítulo 39 — A natureza ondulatória das partículas 233

Figura 39.2 Dispositivo semelhante ao usado por Davisson e Germer para descobrir a difração de elétrons.

Fonte de alimentação

ab

Vba = Vb - Va

Feixe de elétrons (no vácuo)

2 Os elétrons são acelerados por eletrodos e lançados na direção de um cristal.

4 O detector pode ser deslocado para revelar elétrons espalhados em qualquer ângulo u.

1 Um filamento aquecido emite elétrons.

Os elétrons incidem em um cristal de níquel.

u

3

Vba 7 0, de modo que os elétrons se aceleram no movimento de a para b.

Quando eles repetiram as observações com essa amostra, os resultados foram bastante diferentes. Os máximos fortes na intensidade do feixe de elétrons refletido ocorriam em determinados ângulos (Figura 39.3a), em contraste com a variação uniforme da intensidade no ângulo que Davisson e Germer observaram antes do acidente. As posições angulares dos máximos dependiam da voltagem de acelera-ção Vba usada para produzir o feixe de elétrons. Davisson e Germer conheciam a hipótese lançada por De Broglie e notaram a semelhança entre o comportamento da difração de raios X e o observado por eles. Embora esse não fosse o efeito que estavam procurando, eles imediatamente concluíram que o feixe de elétrons estava sendo difratado. Eles haviam descoberto uma confirmação experimental direta da hipótese ondulatória.

Davisson e Germer podiam determinar as velocidades dos elétrons a partir das voltagens de aceleração, de modo que era possível calcular os comprimentos de onda de De Broglie usando a Equação 39.1. Se um elétron for acelerado a partir do repouso no ponto a para o ponto b por um aumento de potencial Vba ! Vb – Va, como mostra a Figura 39.2, o trabalho realizado sobre o elétron, eVba, é igual à energia cinética K. Usando K = 112 2 mv2 = p2>2m para uma partícula não relati-vística, temos

eVba =p2

2mp = "2meVba

Substituindo isso na Equação 39.1 para o comprimento de onda de De Broglie do elétron, obtemos:

(39.3)

Momento linear do elétron Massa do elétron

Módulo da carga do elétron

Voltagem de aceleraçãoComprimento de onda de De Broglie do elétron

l = = ph h"2meVba

Constante de Planck

Quanto maior a voltagem de aceleração Vba, mais curto o comprimento de onda do elétron.

Para prever os ângulos em que ocorre a reflexão forte, observe que os elétrons inicialmente eram espalhados principalmente pelos planos dos átomos perto da superfície do cristal. Os átomos em uma superfície plana são distribuídos ao longo de linhas, e a distância d do espaçamento entre os átomos pode ser medida pela técnica de difração de raios X. Essas linhas se comportam como uma rede de di-

Figura 39.3 (a) Gráfico da intensidade do feixe de elétrons espalhados mostrado na Figura 39.2 em função do ângulo de espalhamento u. (b) A interferência construtiva entre as ondas dos elétrons espalhados por dois átomos adjacentes interferem construtivamente quando d sen u ! ml. No caso mostrado aqui, u ! 50° e m ! 1.

15° 30° 45° 60° 75° 90°O

Vba = 54 V

u = 50°

I

u

(a) Este pico na intensidade dos elétrons espalhados se deve à interferência construtiva entre as ondas dos elétrons espalhadas por diferentes átomos na superfície.

(b) Se as ondas espalhadas estão em fase, há um pico na intensidade dos elétrons espalhados.

Ondas incidentes em fase

d

Átomos na superfície do cristal

l

u = 50°


A curva mostra os dados obtidos para um feixe de elétrons de 54 eV, indicando um máximo pronunciado de espalhamento a um ângulo de 50°.

12




ab

Vba = Vb - Va






u

3




eVba =p2

2mp = "2meVba


(39.3)




l = = ph h"2meVba

Constante de Planck




15° 30° 45° 60° 75° 90°O

Vba = 54 V

u = 50°

I

u




d


l

u = 50°





ab

Vba = Vb - Va






u

3




eVba =p2

2mp = "2meVba


(39.3)




l = = ph h"2meVba

Constante de Planck




15° 30° 45° 60° 75° 90°O

Vba = 54 V

u = 50°

I

u




d


l

u = 50°


Para prever os ângulos em que ocorre a reflexão forte, observe que os elétrons inicialmente eram espalhados principalmente pelos planos dos átomos perto da superfície do cristal.

Os átomos em uma superfície plana são distribuídos ao longo de linhas, e a distância d do espaçamento entre os átomos pode ser medida pela técnica de difração de raios X.

13




ab

Vba = Vb - Va






u

3




eVba =p2

2mp = "2meVba


(39.3)




l = = ph h"2meVba

Constante de Planck




15° 30° 45° 60° 75° 90°O

Vba = 54 V

u = 50°

I

u




d


l

u = 50°


Essas linhas se comportam como uma rede de difração; os ângulos em que ocorre forte reflexão são os mesmos que os obtidos no caso de uma rede de difração com uma distância d entre duas fendas consecutivas:

n𝜆 = d sin𝜃 (n=1, 2, 3, … )

Usando raios X sabe-se que no caso do níquel, a distância interatômica é de 0.215 nm. O comprimento de onda do pico observado a 50° por Davisson e Germer, para n=1, é:

O valor de 𝜆 determinado através da relação de de Broglie para elétrons de energia 54 eV, é:

O valor experimental está em excelente acordo com o comprimento de onda de de Broglie!

Posteriormente, Davisson e Germer realizaram um estudo sistemático para testar a relação de Broglie usando elétrons de até 400 eV e vários arranjos experimentais.

Eles confirmaram a validez da relação de de Broglie. 14


Their data for 54 eV electrons, shown in Figure 5-3, indicate a strong maximum of scattering at W � 50�. Consider the scattering from a set of Bragg planes, as shown in Figure 5-4. The Bragg condition for constructive interference is nL � 2d sin U �2d cos A. The spacing of the Bragg planes d is related to the spacing of the atoms D by d � D sin A; thus

nL � 2D sin A cos A � D sin 2A

or

nL � D sin W 5-5

where W � 2A is the scattering angle. The spacing D for Ni is known from x-ray dif-fraction to be 0.215 nm. The wavelength calculated from Equation 5-5 for the peak observed at W � 50� by Davisson and Germer is, for n � 1,

L � 0.215 sin 50� � 0.165 nm

FIGURE 5-3 Scattered intensity versus detector angle for 54 eV electrons. (a) Polar plot of the data. The intensity at each angle is indicated by the distance of the point from the origin. Scattering angle W is plotted clockwise starting at the vertical axes. (b) The same data plotted on a Cartesian graph. The intensity scales are arbitrary but the same on both graphs. In each plot there is maximum intensity at W � 50�, as predicted for Bragg scattering of waves having wavelength L � h�p. [From Nobel Prize Lectures: Physics (Amsterdam and New York: Elsevier, © Nobel Foundation, 1964).]

(a) (b)� = 0�

� = 50�

� = 90�

Scat

tere

d in

tens

ity

100

80

60

40

20

00 20 40

Detector angle � 60 80

FIGURE 5-4 Scattering of electrons by a crystal. Electron waves are strongly scattered if the Bragg condition nL � 2d sin U is met. This is equivalent to the condition nL � D sin W.

�

�

�

�

� = 2�

�

d

D

Incidentbeam

Intensereflectedbeam

TIPLER_05_193-228hr.indd 197 8/22/11 11:40 AM


The value calculated from the de Broglie relation for 54 eV electrons is

L �1.226�54�1�2 � 0.167 nm

The agreement with the experimental observation is excellent! With this spectacular result Davisson and Germer then conducted a systematic study to test the de Broglie relation using electrons up to about 400 eV and various experimental arrangements. Figure 5-5 shows a plot of measured wavelengths versus V �1�2

0 . The wave-lengths measured by diffraction are slightly lower than the theoretical predictions because the refraction of the electron waves at the crystal surface has been neglected. We have seen from the photoelectric effect that it takes work of the order of several eV to remove an electron from a metal. Electrons entering a metal thus gain kinetic energy; therefore, their de Broglie wavelength is slightly less inside the crystal.6

A subtle point must be made here. Notice that the wavelength in Equation 5-5 depends only on D, the inter-atomic spacing of the crystal, whereas our derivation of that equation included the interplane spacing as well. The fact that the structure of the crystal really is essential shows up when the energy is varied, as was done in col-

lecting the data for Figure 5-5. Equation 5-5 suggests that a change in L, resulting from a change in the energy, would mean only that the diffraction maximum would occur at some other value of W such that the equation remains satisfied. However, as can be seen from examination of Figure 5-4, the value of W is determined by A, the angle of the planes determined by the crystal structure. Thus, if there are no crystal planes making an angle A � W�2 with the surface, then setting the detector at W � sin�1�L�D� will not result in constructive interference and strong reflection for that value of L even though Equation 5-5 is satisfied. This is neatly illustrated by Figure 5-6, which shows a series of polar graphs (like Figure 5-3a) for electrons of energies from 36 eV through 68 eV. The building to a strong reflection at W � 50� is evident for V0 � 54 V, as we have already seen. But Equation 5-5 by itself would also

FIGURE 5-5 Test of the de Broglie formula L � h�p. The wavelength is computed from a plot of the diffraction data plotted against V 0

�1�2, where V0 is the accelerating voltage. The straight line is 1.226V 0

�1�2 nm as predicted from L � h�2mE� �1�2. These are the data referred to in the quotation from Davisson’s Nobel lecture. (� Fromobservations with diffraction apparatus; � same, particularly reliable; H same, grazing beams. � From observations with reflection apparatus.) [From Nobel Prize Lectures: Physics (Amsterdam and New York: Elsevier, © Nobel Foundation, 1964).]

L, Å

2.0

1.5

1.0

0.5

00.250.200.150.10

V0–1/20.050

FIGURE 5-6 A series of polar graphs of Davisson and Germer’s data at electron accelerating potentials from 36 V to 68 V. Note the development of the peak at W � 50� to a maximum when V0 � 54 V.

50o36 V

40 V 48 V44 V 54 V 60 V 64 V 68 V

TIPLER_05_193-228hr.indd 198 8/22/11 11:40 AM

Uma confirmação independente da relação de de Broglie foi feita por G. P. Thomson, observando que o padrão de difração produzido por Raios X e por um feixe de elétrons incidentes sobre uma folha metálica são muito semelhantes.

15

O experimento de G. P. ThomsonO experimento de Franck-Hertz Propriedades ondulatorias das partıculas O experimento de Davisson-Germer

Aula 7 19 / 19

No mesmo ano do experimento de Davisson e Germer, G. P. Thomson (filho de J.J. Thomson) observou efeitos de difracao na passagem dos eletrons em folhasmetalicas delgadas, comprovando de forma independente as propriedadesondulatorias do eletron.

por raio X de λ = 0, 071 nmDifracao produzida

Difracao produzidapor eletrons de λ = 0, 05 nm

A metade superior da foto mostra a figura de difração para raios X de 71 pm passando através de uma folha de alumínio.

A metade inferior da foto mostra, em uma escala diferente, a figura de difração para elétrons de 600 eV passando através de uma folha de alumínio.

16

234 Física IV

fração; os ângulos em que ocorre forte reflexão são os mesmos que os obtidos no caso de uma rede de difração com uma distância d entre duas fendas consecutivas (Figura 39.3b). De acordo com a Equação 36.13, os ângulos em que ocorre reflexão máxima são dados por

d sen u ! ml (m ! 1, 2, 3,...) (39.4)

onde u é o ângulo indicado na Figura 39.2. (Observe que a geometria na Figura 39.3b é diferente daquela para a Figura 36.22, de modo que a Equação 39.4 é dife-rente da Equação 36.16.) Davisson e Germer descobriram que os ângulos previstos por essa equação, usando o comprimento de onda de De Broglie indicado pela Equação 39.3, concordavam com os valores observados (Figura 39.3a). Assim, a descoberta acidental da difração de elétrons foi a primeira evidência experimental direta a confirmar a hipótese feita por De Broglie.

Em 1928, apenas um ano após a descoberta de Davisson e Germer, o físico inglês G. P. Thomson fez experiências de difração de elétrons usando como alvo uma fina folha metálica policristalina. Debye e Sherrer empregaram uma técnica semelhante para estudar a difração de raios X de amostras policristalinas. Nesses experimentos, o feixe passa através do alvo, em vez de ser refletido por ele. Por causa das orientações aleatórias dos cristais microscópicos no interior da folha, a figura de difração era constituída por máximos distribuídos ao longo de um anel em torno da direção do feixe incidente. Os resultados de Thomson confirmaram novamente a relação proposta por De Broglie. A Figura 39.4 mostra duas figu-ras de difração, uma para elétrons e outra para raios X, passando através de uma folha de alumínio policristalina. (É interessante notar que G. P. Thomson era filho de J. J. Thomson, que, 31 anos antes, havia descoberto o elétron. Davisson e o Thomson mais novo compartilharam o Prêmio Nobel de física em 1937 por suas descobertas.)

Experiências adicionais com difração foram realizadas posteriormente em mui-tos laboratórios, usando não apenas elétrons, mas também diversos íons e nêutrons de baixas energias. Todas essas experiências estavam de acordo com as previsões audaciosas de De Broglie. Assim, a natureza ondulatória das partículas, tão estranha em 1924, se tornou firmemente estabelecida nos anos posteriores.

ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 39.1 PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

IDENTIFICAR os conceitos relevantes: as partículas têm pro-priedades ondulatórias. O comprimento de onda de uma partícula (De Broglie) é inversamente proporcional ao seu momento linear, e a frequência é proporcional à sua energia.

PREPARAR o problema: identifique as variáveis-alvo e decida que equações usará para calculá-las.

EXECUTAR a solução da seguinte forma:1. Use a Equação 39.1 para relacionar o momento linear p da

partícula com seu comprimento de onda l; use a Equação 39.2 para relacionar sua energia E com sua frequência f.

2. A energia cinética não relativística pode ser expressa na forma K ! 12mv2 ou (como p ! mv) pela relação K ! p2/2m. A última forma geralmente é útil para cálculos que envol-vem o comprimento de onda de De Broglie.

3. Você pode expressar as energias em joules ou em elétrons--volt, usando h ! 6,626 " 10#34 J $ s ou h ! 4,136 " 10#15 eV $ s, conforme o caso.

AVALIAR sua resposta: para verificar seus resultados numéri-cos, é útil memorizar algumas ordens de grandeza aproxima-das. Veja uma lista parcial:

Raio de um átomo: 10#10 m ! 0,1 nmMassa de um átomo: 10#26 kgMassa de um elétron: m ! 10#30 kg; mc2 ! 0,511 MeVOrdem de grandeza da carga de um elétron: 10#19 CkT na temperatura ambiente: 1

40 eV

Diferença entre níveis de energia de um átomo (a ser dis-cutida na Seção 39.3): 1 a 10 eVVelocidade de um elétron no modelo de Bohr para um átomo de hidrogênio (a ser discutida na Seção 39.3): 106 m/s.

Figura 39.4 Difração de elétrons e difração de raios X. A metade superior da foto mostra a figura de difração para raios X de 71 pm passando através de uma folha de alumínio. A metade inferior da foto mostra, em uma escala diferente, a figura de difração para elétrons de 600 eV passando através de uma folha de alumínio. A semelhança mostra que os elétrons sofrem o mesmo tipo de difração que os raios X.

Em cima: difração de raios X

Embaixo: difração de elétrons


A semelhança mostra que os e l é t rons so f rem o mesmo tipo de difração que os raios X.

Calcule a velocidade e a energia cinética de um nêutron (m =1.675×10–27 kg) com comprimento de onda de de Broglie 𝜆=0.200nm, valor aproximadamente igual ao espaçamento entre os átomos em muitos cristais. Compare essa energia com a energia cinética média das moléculas de um gás em temperatura ambiente (T = 20 °C = 293 K).

Solução: Determinamos a velocidade do nêutron, por meio da equação de de Broglie, 𝜆=h/p=h/(mv) ⇒ v=h/(𝜆m):

A energia cinética do nêutron é

17


Em certa experiência de difração de elétrons usando uma volta-gem de aceleração igual a 54 V, ocorre um máximo de intensi-dade quando o ângulo u é igual a 50° (veja a Figura 39.3a). A difração de raios X mostrou que a distância entre os átomos ao longo de uma linha é dada por d ! 2,18 " 10#10 m ! 0,218 nm. Os elétrons possuem energia cinética desprezível antes de serem acelerados. Calcule o comprimento de onda do elétron.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR, PREPARAR E EXECUTAR: vamos determinar l a partir da equação de De Broglie, Equação 39.3, e da equação da difração, Equação 39.4. Pela Equação 39.3,

l =6,626 * 10-34 J # s

"2 19,109 * 10-31 kg2 11,602 * 10-19 C2 154 V2

= 1,7 * 10-10 m = 0,17 nm

Como alternativa, usando a Equação 39.4 e considerando m ! 1, obtemos

l ! d sen u ! (2,18 " 10#10 m) sen 50° ! 1,7 " 10#10 m

AVALIAR: os dois números combinam dentro da acurácia dos resultados experimentais, o que nos dá uma verificação excelente sobre nossos cálculos. Observe que esse comprimento de onda de elétron é menor que a distância entre os átomos.

EXEMPLO 39.1 UMA EXPERIÊNCIA COM DIFRAÇÃO DE ELÉTRONS

Calcule a velocidade e a energia cinética de um nêutron (m ! 1,675 " 10#27 kg) com comprimento de onda de De Broglie l ! 0,200 nm, valor aproximadamente igual ao espaçamento entre os átomos em muitos cristais. Compare essa energia com a energia cinética média das moléculas de um gás em temperatura ambiente (T ! 20 °C ! 293 K).

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema utiliza as relações entre o comprimento de onda e a velocidade de uma partícula, entre a velocidade da partícula e a energia cinética, e entre a tem-peratura de um gás e a energia cinética média de uma molécula de gás. Determinaremos a velocidade do nêutron v por meio da Equação 39.1, e depois encontramos a energia cinética do nêutron usando K ! 12mv2. Para calcular a energia cinética média de uma molécula de gás, usaremos a Equação 18.16.EXECUTAR: conforme a Equação 39.1, a velocidade do nêutron é

v =h

lm=

6,626 * 10-34 J # s

1 0,200 * 10-9 m2 1 1,675 * 10-27 kg2

= 1,98 * 103 m>s


K ! 12mv2 ! 12(1,675 " 10#27 kg) (1,98 " 103 m/s)2

! 3,28 " 10#21 J ! 0,0205 eV

Pela Equação 18.16, a energia cinética média translacional de uma dada molécula de um gás ideal na temperatura T ! 293 K é dada por

12m (v2)méd ! 3

2kT ! 3

2(1,38 " 10#23 J/K) (293 K)

! 6,07 " 10#21 J ! 0,0379 eV

As duas energias obtidas possuem a mesma ordem de grandeza, razão pela qual um nêutron com energia cinética dessa ordem de grandeza denomina-se nêutron térmico. A difração de nêutrons térmicos é usada para estudar cristais e estruturas moleculares de modo análogo ao da difração de raios X. Verificou-se que a difração de nêutrons é especialmente útil no estudo de moléculas orgânicas grandes.AVALIAR: note que a velocidade obtida para o nêutron é muito menor que a velocidade da luz. Isso justifica nosso uso da forma não relativística da Equação 39.1.

EXEMPLO 39.2 ENERGIA DE UM NÊUTRON TÉRMICO

Ondas de De Broglie e o mundo macroscópicoSe o panorama de De Broglie estiver correto e a matéria possuir aspectos ondula-

tórios, você poderá questionar por que não vemos esses aspectos na vida cotidiana. Como exemplo, sabemos que as ondas se difratam quando enviadas através de uma fenda única. Mas, quando passamos pelo vão de uma porta (um tipo de fenda única), não nos preocupamos sobre a difração do nosso corpo!

O motivo principal para não vermos esses efeitos em escala humana é que a constante de Planck h possui um valor minúsculo. Como resultado, os comprimen-tos de onda de De Broglie, até mesmo dos menores objetos comuns que você pode ver, são extremamente pequenos, e os efeitos ondulatórios não são importantes. Por exemplo, qual é o comprimento de onda de um grão de areia caindo? Se a massa




SOLUÇÃO


l =6,626 * 10-34 J # s

"2 19,109 * 10-31 kg2 11,602 * 10-19 C2 154 V2

= 1,7 * 10-10 m = 0,17 nm


l ! d sen u ! (2,18 " 10#10 m) sen 50° ! 1,7 " 10#10 m




SOLUÇÃO


v =h

lm=

6,626 * 10-34 J # s

1 0,200 * 10-9 m2 1 1,675 * 10-27 kg2

= 1,98 * 103 m>s


K ! 12mv2 ! 12(1,675 " 10#27 kg) (1,98 " 103 m/s)2

! 3,28 " 10#21 J ! 0,0205 eV


12m (v2)méd ! 3

2kT ! 3

2(1,38 " 10#23 J/K) (293 K)

! 6,07 " 10#21 J ! 0,0379 eV







Exemplo: energia de um nêutron térmico

A energia cinética média translacional de uma dada molécula de um gás ideal na temperatura T=293 K é dada por:

As duas energias obtidas possuem a mesma ordem de grandeza, razão pela qual um nêutron com energia cinética dessa ordem de grandeza denomina-se nêutron térmico.

A difração de nêutrons térmicos é usada para estudar cristais e estruturas moleculares de modo análogo ao da difração de raios X. A difração de nêutrons é especialmente útil no estudo de moléculas orgânicas grandes.

18



SOLUÇÃO


l =6,626 * 10-34 J # s

"2 19,109 * 10-31 kg2 11,602 * 10-19 C2 154 V2

= 1,7 * 10-10 m = 0,17 nm


l ! d sen u ! (2,18 " 10#10 m) sen 50° ! 1,7 " 10#10 m




SOLUÇÃO


v =h

lm=

6,626 * 10-34 J # s

1 0,200 * 10-9 m2 1 1,675 * 10-27 kg2

= 1,98 * 103 m>s


K ! 12mv2 ! 12(1,675 " 10#27 kg) (1,98 " 103 m/s)2

! 3,28 " 10#21 J ! 0,0205 eV


12m (v2)méd ! 3

2kT ! 3

2(1,38 " 10#23 J/K) (293 K)

! 6,07 " 10#21 J ! 0,0379 eV







As propriedades ondulatórias de átomos e moléculas neutras foram demonstradas pela primeira vez por Stern e Estermann em 1930 com feixes de átomos de hélio e moléculas de hidrogênio espalhadas por um cristal de fluoreto de lítio.

Como as partículas são neutras, não é possível acelerá-las com potenciais eletrostáticos. A energia das moléculas foi a do seu movimento térmico médio, cerca de 0.03 eV, o que implica um comprimento de onda de de Broglie de cerca de 0.10 nm para essas moléculas.

Desde então, a difração de outros átomos, de prótons e de nêutrons foi observada. Em todos os casos, os comprimentos de onda medidos concordam com a previsão de de Broglie.

Assim, não há dúvida de que toda a matéria tem comportamento ondulatório assim como comportamento corpuscular (dualidade onda-partícula) 19

Difração de outras partículas

Sabemos que as ondas se difratam quando enviadas através de uma fenda única. Mas, quando passamos pelo vão de uma porta (um tipo de fenda única), não nos preocupamos sobre a difração do nosso corpo!

Por que não vemos os aspectos ondulatórios da a matéria na vida cotidiana?

O motivo principal para não vermos esses efeitos em escala humana é que a constante de Planck h possui um valor minúsculo.

Como resultado, os comprimentos de onda de De Broglie, até mesmo dos menores objetos comuns que você pode ver, são extremamente pequenos, e os efeitos ondulatórios não são importantes (lembrar do comprimento de onda de uma bola de ping-pong).

Ondas de De Broglie e o mundo macroscópico

Um feixe de elétrons pode ser usado para formar a imagem de um objeto de modo bastante parecido com a formação da imagem por um feixe luminoso.

A resolução de um microscópio é limitada pelos efeitos da difração. Usando comprimentos de onda em torno de 𝜆~500 nm (luz visível), um microscópio ótico não pode distinguir objetos com dimensões menores que algumas centenas de nanômetros, por melhor que seja a lente empregada.

A resolução de um microscópio eletrônico também é limitada pelos comprimentos de onda 𝜆 dos elétrons, mas esses 𝜆 podem ser milhares de vezes menores que o 𝜆 da luz visível.

O microscópio eletrónico

Como resultado, a ampliação útil de um microscópio eletrônico pode ser milhares de vezes maior que a ampliação de um microscópio ótico.

Note que a capacidade de o microscópio eletrônico formar uma imagem ampliada não depende das propriedades ondulatórias do elétron.

Somente quando tratamos da resolução é que as propriedades ondulatórias se tornam relevantes.

A Figura mostra um microscópio eletrônico de transmissão, no qual os elétrons passam pela amostra estudada.

A amostra a ser examinada é muito fina, em geral de 10 até 100 nm, de modo que os elétrons não diminuem muito de velocidade quando atravessam a amostra.

Os elétrons usados em um microscópio desse tipo são emitidos por um catodo quente e acelerados por uma diferença de potencial típica da ordem de 40 até 400 kV.

Os elétrons passam através de uma “lente” condensadora, que usa campos magnéticos para focar os elétrons em um feixe paralelo antes que ele passe através da amostra a ser examinada.


Tipos de microscópio eletrônico

A Figura 39.5 mostra o projeto de um microscópio eletrônico de transmissão, no qual os elétrons realmente passam pela amostra sendo estudada. A amostra a ser examinada é muito fina, em geral de 10 até 100 nm, de modo que os elétrons não diminuem muito de velocidade quando atravessam a amostra. Os elétrons usados em um microscópio desse tipo são emitidos por um catodo quente e acelerados por uma diferença de potencial típica da ordem de 40 até 400 kV. Os elétrons passam através de uma “lente” condensadora, que usa campos magnéticos para focar os elétrons em um feixe paralelo antes que ele passe através da amostra a ser exami-nada. O feixe, então, atravessa mais duas lentes magnéticas: uma lente objetiva que forma uma imagem intermediária da amostra e a lente de projeção, que produz uma imagem real definitiva da imagem intermediária. A lente objetiva e a lente de projeção desempenham, respectivamente, os papéis da lente objetiva e da ocular de um microscópio ótico composto (veja a Seção 34.8). A imagem final é registrada em uma placa fotográfica ou então projetada sobre uma tela fluorescente para ser vista ou fotografada. O aparelho inteiro, incluindo a amostra, deve ficar encerrado em um recipiente sob vácuo; se não fosse assim, os elétrons seriam espalhados pelas moléculas de ar e a imagem não ficaria nítida. A imagem que abre este capítulo foi feita com um microscópio eletrônico de transmissão.

Poderíamos pensar que, quando o comprimento de onda do elétron é 0,01 nm (como no Exemplo 39.3), a resolução também seria aproximadamente igual a 0,01 nm. Na verdade, ela raramente é melhor que 0,1 nm, em parte porque a distância focal de uma lente magnética depende da velocidade do elétron, que nunca é exa-tamente a mesma em todos os elétrons do feixe.

Outro tipo importante de microscópio eletrônico é o microscópio eletrônico de varredura. O feixe eletrônico é focalizado em uma linha muito estreita e executa uma varredura por meio da amostra. À medida que o feixe varre a amostra, os elétrons são rebatidos para fora dela e coletados por um anodo que é mantido em um potencial algumas centenas de volts positivo em relação à amostra. A corrente de elétrons ejetados fluindo para o anodo coletor varia à medida que o feixe de microscópio varre a amostra. A intensidade variável da corrente é então usada para criar um “mapa” da amostra varrida, e esse mapa forma uma imagem bastante amplificada da amostra.

Esse esquema apresenta diversas vantagens. A amostra pode ser grossa, pois o feixe não precisa atravessá-la. Além disso, o ângulo de espalhamento dos elétrons depende do ângulo segundo o qual o feixe incide sobre a superfície da amostra. Portanto, as micrografias feitas com um microscópio eletrônico de varredura pos-suem uma aparência muito mais tridimensional que uma micrografia convencional alcançada com a luz (Figura 39.6). A resolução típica é da ordem de 10 nm, não tão boa quanto no microscópio eletrônico de transmissão, porém ainda muito mais precisa que a resolução alcançada com os melhores microscópios óticos.

Figura 39.5 Diagrama esquemático de um microscópio eletrônico de transmissão.

Fonte de alta tensão

Catodo (onde o feixe de elétrons é originado)

Anodo acelerador

Lente condensadora

Lente objetiva

Lente de projeção

Imagem final

Imagem intermediária

Objeto (amostra)

Câmara sob vácuo

Detector da imagem

todos os conceitos que estudamos a respeito dessa experiência. A voltagem de aceleração é a grandeza Vba na Equação 39.3. Reescreva essa equação para encontrar Vba:

Vba =h2

2mel2

=16,626 * 10-34 J # s22

2 19,109 * 10-31 kg2 11,602 * 10-19 C2 110 * 10-12 m22

= 1,5 * 104 V = 15.000 V

AVALIAR: é fácil alcançar voltagens de aceleração de 15 kV a partir de uma voltagem de linha de 120 ou 240 V usando um transformador elevador de tensão (Seção 31.6) e um retificador (Seção 31.1). Os elétrons acelerados possuem energia cinética de 15 keV; como o elétron possui uma energia de repouso de 0,511 MeV ! 511 keV, esses elétrons são, na realidade, não relativísticos.

(Continuação)


O feixe atravessa mais duas lentes magnéticas e a imagem final é registrada em uma placa fotográfica ou então projetada sobre uma tela fluorescente para ser vista ou fotografada.

O aparelho inteiro, incluindo a amostra, deve ficar encerrado em um recipiente sob vácuo; se não fosse assim, os elétrons seriam espalhados pelas moléculas de ar e a imagem não ficaria nítida.


Tipos de microscópio eletrônico

A Figura 39.5 mostra o projeto de um microscópio eletrônico de transmissão, no qual os elétrons realmente passam pela amostra sendo estudada. A amostra a ser examinada é muito fina, em geral de 10 até 100 nm, de modo que os elétrons não diminuem muito de velocidade quando atravessam a amostra. Os elétrons usados em um microscópio desse tipo são emitidos por um catodo quente e acelerados por uma diferença de potencial típica da ordem de 40 até 400 kV. Os elétrons passam através de uma “lente” condensadora, que usa campos magnéticos para focar os elétrons em um feixe paralelo antes que ele passe através da amostra a ser exami-nada. O feixe, então, atravessa mais duas lentes magnéticas: uma lente objetiva que forma uma imagem intermediária da amostra e a lente de projeção, que produz uma imagem real definitiva da imagem intermediária. A lente objetiva e a lente de projeção desempenham, respectivamente, os papéis da lente objetiva e da ocular de um microscópio ótico composto (veja a Seção 34.8). A imagem final é registrada em uma placa fotográfica ou então projetada sobre uma tela fluorescente para ser vista ou fotografada. O aparelho inteiro, incluindo a amostra, deve ficar encerrado em um recipiente sob vácuo; se não fosse assim, os elétrons seriam espalhados pelas moléculas de ar e a imagem não ficaria nítida. A imagem que abre este capítulo foi feita com um microscópio eletrônico de transmissão.

Poderíamos pensar que, quando o comprimento de onda do elétron é 0,01 nm (como no Exemplo 39.3), a resolução também seria aproximadamente igual a 0,01 nm. Na verdade, ela raramente é melhor que 0,1 nm, em parte porque a distância focal de uma lente magnética depende da velocidade do elétron, que nunca é exa-tamente a mesma em todos os elétrons do feixe.

Outro tipo importante de microscópio eletrônico é o microscópio eletrônico de varredura. O feixe eletrônico é focalizado em uma linha muito estreita e executa uma varredura por meio da amostra. À medida que o feixe varre a amostra, os elétrons são rebatidos para fora dela e coletados por um anodo que é mantido em um potencial algumas centenas de volts positivo em relação à amostra. A corrente de elétrons ejetados fluindo para o anodo coletor varia à medida que o feixe de microscópio varre a amostra. A intensidade variável da corrente é então usada para criar um “mapa” da amostra varrida, e esse mapa forma uma imagem bastante amplificada da amostra.

Esse esquema apresenta diversas vantagens. A amostra pode ser grossa, pois o feixe não precisa atravessá-la. Além disso, o ângulo de espalhamento dos elétrons depende do ângulo segundo o qual o feixe incide sobre a superfície da amostra. Portanto, as micrografias feitas com um microscópio eletrônico de varredura pos-suem uma aparência muito mais tridimensional que uma micrografia convencional alcançada com a luz (Figura 39.6). A resolução típica é da ordem de 10 nm, não tão boa quanto no microscópio eletrônico de transmissão, porém ainda muito mais precisa que a resolução alcançada com os melhores microscópios óticos.

Figura 39.5 Diagrama esquemático de um microscópio eletrônico de transmissão.

Fonte de alta tensão

Catodo (onde o feixe de elétrons é originado)

Anodo acelerador

Lente condensadora

Lente objetiva

Lente de projeção

Imagem final

Imagem intermediária

Objeto (amostra)

Câmara sob vácuo

Detector da imagem

todos os conceitos que estudamos a respeito dessa experiência. A voltagem de aceleração é a grandeza Vba na Equação 39.3. Reescreva essa equação para encontrar Vba:

Vba =h2

2mel2

=16,626 * 10-34 J # s22

2 19,109 * 10-31 kg2 11,602 * 10-19 C2 110 * 10-12 m22

= 1,5 * 104 V = 15.000 V

AVALIAR: é fácil alcançar voltagens de aceleração de 15 kV a partir de uma voltagem de linha de 120 ou 240 V usando um transformador elevador de tensão (Seção 31.6) e um retificador (Seção 31.1). Os elétrons acelerados possuem energia cinética de 15 keV; como o elétron possui uma energia de repouso de 0,511 MeV ! 511 keV, esses elétrons são, na realidade, não relativísticos.

(Continuação)


A imagem que abre este capítulo foi feita com um microscópio eletrônico de transmissão.

Os vírus (mostrados em azul) pararam sobre uma bactéria de Escherichia coli e injetaram seu DNA, convertendo a bactéria em uma fábrica de vírus (as cores são falsas).

25

? Os vírus (mostrados em azul) pararam sobre uma bacté-

ria E. coli e injetaram seu DNA, convertendo a bactéria em uma fábrica de vírus. Esta imagem em falsa cor foi feita usando um feixe de elétrons em vez de um feixe de luz. Os elétrons são usados para gerar imagens com detalhes minuciosos porque, em comparação com os fótons de luz visível, (i) os elétrons podem ter comprimentos de onda muito mais curtos; (ii) os elétrons po-dem ter comprimentos de onda muito maiores; (iii) os elétrons podem ter muito menos mo-mento linear; (iv) os elétrons possuem mais energia total para o mesmo momento linear; (v) há mais de uma resposta correta.

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo estudar este capítulo, você aprenderá:

39.1 A hipótese de De Broglie de que elétrons, prótons e outras partículas podem se comportar como ondas e a evidência experimental das ideias de De Broglie.

39.2 Como os físicos descobriram o núcleo atômico.

39.3 Como o modelo das órbitas eletrônicas de Bohr explicou os espectros do hidrogênio e os átomos tipo hidrogênio.

39.4 Como um laser opera.

39.5 Como a ideia dos níveis de energia, com o modelo de fóton da luz, explica o espectro da luz emitida por um objeto quente e opaco.

39.6 O que o princípio da incerteza nos diz sobre a natureza do átomo.

Revendo conceitos de:

12.4 Satélites.

17.7 Lei de Stefan-Boltzmann.

18.4, 1 8.5 Princípio da equipartição; função de distribuição de Maxwell-Boltzmann.

32.1, 3 2.5 Radiação de uma carga em aceleração; ondas eletromagnéticas estacionárias.

36.5–3 6.7 Difração de luz, difração de raios X, resolução.

38.1, 3 8.4 Efeito fotoelétrico, fótons, interferência.

No Capítulo 38, descobrimos um aspecto da natureza da dualidade onda-par-tícula: a luz e outras ondas eletromagnéticas algumas vezes se comportam como ondas e outras vezes, como partículas. A interferência e a difração

revelam o comportamento ondulatório, enquanto a emissão e a absorção de fótons demonstram o comportamento de partícula.

Se as ondas de luz podem se comportar como partículas, as partículas de matéria podem se comportar como ondas? A resposta é um retumbante sim. Os elétrons podem interferir e refratar, assim como outros tipos de onda. A natureza ondulatória dos elétrons não é simplesmente uma curiosidade de laboratório: é o motivo fundamental para que os átomos, que, de acordo com a física clássica deveriam ser instáveis, sejam capazes de existir. Neste capítulo, a natureza ondulatória da matéria nos ajudará a compreender a estrutura dos átomos, os princípios operacionais de um laser e as curiosas propriedades da luz emitida por um objeto aquecido e brilhante. Sem a imagem ondulatória da matéria, não haveria como explicar esses fenômenos.

No Capítulo 40, apresentaremos uma imagem ainda mais completa da na-tureza ondulatória da matéria, chamada mecânica quântica. No restante deste livro, usaremos as ideias da mecânica quântica para compreendermos a natureza das moléculas, dos sólidos, dos núcleos atômicos e das partículas fundamentais que são os blocos de montagem do nosso universo.

39.1 ONDAS DE ELÉTRONS

Em 1924, um físico francês, Louis De Broglie (pronuncia-se “de broy”; Fi-gura 39.1 ), fez uma proposta marcante sobre a natureza da matéria. Seu pensa-mento, parafraseado livremente, foi mais ou menos o seguinte: a natureza ama a simetria. A luz possui uma natureza dual, comportando-se em algumas situações

39 A NATUREZA ONDULATÓRIA DAS PARTÍCULAS


Documents

Propriedades ondulatórias da matéria · 36.5–3 6.7 Difração de luz, difração de raios X, resolução. 38.1, 3 8.4 Efeito fotoelétrico, fótons, interferência. ... livro,