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PROTENSÃO EM PONTES DE VIGAS MISTAS EM AÇO E CONCRETO
Marcelo Leite de Melo Filho
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Civil da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientadores:
Ricardo Valeriano Alves
Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
Rio de Janeiro
Abril de 2016
ii
PROTENSÃO EM PONTES DE VIGAS MISTAS EM AÇO E CONCRETO
Marcelo Leite de Melo Filho
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL
Examinada por:
_________________________________________
Profª. Ricardo Valeriano Alves
Prof. Associado, D Sc., EP/UFRJ (Orientador)
_________________________________________
Profº. Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
Prof. Adjunto, D Sc., UFF(Orientadora)
_________________________________________
Prof.ª. Flávia Moll de Souza Júdice
Prof. Associado, D Sc., EP/UFRJ
________________________________________
Prof.º. Francisco José Costa Reis
Prof. Adjunto, M Sc., EP/UFRJ
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
ABRIL de 2016
iii
Melo, Marcelo Leite de Melo
Protensão em Pontes de Vigas Mistas em aço e
Concreto/ Marcelo Leite de Melo Filho. – Rio de Janeiro:
UFRJ/Escola Politécnica, 2016.
XI, 102 p.; 29,7 cm.
Orientadores: Ricardo Valeriano Alves e Mayra
Soares Pereira Lima Perlingeiro
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Civil, 2016.
Referências Bibliográficas: p. 103-105
1.Viga Mista 2. Protensão 3. Pontes I. Alves, Ricardo
Valeriano, et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III. Análise do
Uso de Protensão em Pontes de Vigas Mistas em aço e
Concreto
iv
“O lápis, o esquadro, o papel; o desenho, o projeto, o número: o engenheiro pensa o mundo justo, mundo que nenhum véu encobre.” João Cabral de Melo Neto
v
À minha avó Miriam Palha Leite.
vi
Agradecimentos
À minha família, por sempre me apoiar e incentivar em todos os momentos
da minha vida. Aos meus pais, Marcelo e Kátia, e ao meu irmão Gustavo,
responsáveis pela minha formação e em grande parte do que me tornei.
À minha namorada, Bárbara, por todo carinho e compreensão nas horas
boas e difíceis do processo de formação do engenheiro.
A todos os meus professores, do Colégio Pedro II à Escola Politécnica.
A meus orientadores, Prof. Mayra Perlingeiro por toda atenção e dedicação
na orientação desse trabalho; ao Prof. Ricardo Valeriano, que propôs e me
guiou nas pesquisas sobre esse tema “pioneiro”.
A todos os meus amigos de curso que tornaram essa jornada na UFRJ mais
divertida.
Aos meus amigos do intercâmbio de Southampton, que fizeram parte do
ano inesquecível.
Aos amigos da Casagrande Engenharia, que têm importância fundamental
na minha formação.
vii
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ
como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro
Civil.
PROTENSÃO EM PONTES DE VIGAS MISTAS EM AÇO E CONCRETO
Marcelo Leite de Melo Filho
Abril/2016
Orientadores: Ricardo Alves Valeriano e Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
Curso: Engenharia Civil
O trabalho faz a avaliação do comportamento estrutural, procedimentos de
análise e verificação estrutural de vigas mistas de aço e concreto em
superestruturas de pontes. Como não há normatização específica para esse
tipo de estrutura, o trabalho foi embasado nas normas existentes de aço e
concreto armado e protendido. Procedeu-se um estudo de tensões na estrutura
devido aos carregamentos usuais de pontes e considerando-se protensão
externa não aderente. Foi avaliada a viabilidade de aumento na capacidade de
carga para uma situação de reforço estrutural e ainda a possibilidade da
redução das dimensões da viga de aço com a implementação da protensão.
Palavras-chave: Viga Mista, Protensão, Ponte.
viii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/ UFRJ as a partial
fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.
PRESTRESSED CABLES IN COMPOSITE STEEL-CONCRETE BRIDGES
GIRDERS
Marcelo Leite de Melo Filho
April/2016
Advisors: Ricardo Alves Valeriano and Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
Course: Civil Engineering
The work evaluates the structural behavior, analysis procedures and structural
evaluation of composite girders of steel and concrete in bridge superstructures.
Since there is no specific regulation for this type of structure, the work was
based on existing standards of steel and reinforced and prestressed concrete. It
was developed a study of tension in the structure due to the usual loadings of
bridges and considering non-adherent external prestressing. It was evaluated
the viability of increasing load capacity for a reinforcement condition and yet the
possibility of reducing the dimensions of the steel beam with the implementation
of prestressing.
Keywords: Composite Girder, Prestress, Bridge.
ix
Sumário 1. Introdução ............................................................................................................ 1
1.1 Motivação ....................................................................................................... 2
1.2 Objetivo .......................................................................................................... 2
1.3 Estrutura do trabalho ...................................................................................... 2
2. Vigas mistas ......................................................................................................... 4
2.1 Aspectos Históricos ........................................................................................ 4
2.2 Generalidades ................................................................................................ 5
2.3 Conectores de cisalhamento .......................................................................... 6
2.3.1 Resistência dos conectores ..................................................................... 6
2.3.2 Determinação do número de conectores ................................................. 8
2.4 Laje de concreto ........................................................................................... 10
2.4.1 Largura da mesa colaborante ................................................................ 10
2.5 Determinação da resistência à flexão ........................................................... 11
2.5.1 Seções compactas escoradas ............................................................... 14
2.5.2 Seções não-compactas ......................................................................... 15
2.6 Resistência ao esforço cortante .................................................................... 19
2.7 Efeito da retração do concreto: ..................................................................... 21
2.8 Determinação de flecha e contra flecha ........................................................ 22
2.9 Verificação da fadiga .................................................................................... 23
3. Protensão ........................................................................................................... 24
3.1 Aspectos históricos ....................................................................................... 24
3.2 Princípios da protensão ................................................................................ 26
3.3 Classificação dos sistemas de protensão ..................................................... 27
3.3.1 Classificação quanto à aderência .......................................................... 28
3.3.2 Classificação quanto à posição dos cabos ............................................ 29
3.4 “Stress Corrosion”......................................................................................... 32
3.5 Perdas de protensão .................................................................................... 32
x
3.5.1 Perdas por atrito .................................................................................... 32
3.5.2 Perdas por encunhamento ..................................................................... 33
3.5.3 Perdas por deformação instantânea ...................................................... 34
3.5.4 Perdas diferidas ..................................................................................... 34
3.6 Análise de estruturas protendidas ................................................................. 36
4. Viga mista protendida ...................................................................................... 39
4.1 Premissas adotadas para o dimensionamento ............................................. 39
4.2 Influência de métodos construtivos ............................................................... 40
4.3 Força de protensão ....................................................................................... 42
4.3.1 Determinação da força de protensão ..................................................... 42
4.3.2 Força cortante devida à protensão ........................................................ 45
4.4 Perdas de protensão .................................................................................... 46
4.4.1 Perdas por atrito nos desviadores ......................................................... 47
4.4.2 Perdas por encunhamento ..................................................................... 47
4.4.3 Perdas por relaxação dos cabos............................................................ 49
4.5 Flexo-compressão ........................................................................................ 50
4.6 Deformação vertical ...................................................................................... 51
5. Critérios de verificação ..................................................................................... 52
5.1 Carregamentos adotados ............................................................................. 52
5.2 Análise estrutural .......................................................................................... 54
5.3 Verificação estrutural .................................................................................... 55
5.3.1 Esbeltez dos perfis ................................................................................ 55
5.3.2 Análise de tensões ................................................................................ 56
5.3.3 Esforço cortante e estabilidade dos painéis enrijecidos ......................... 58
5.3.4 Dimensionamento dos conectores ......................................................... 58
5.4 Verificação da fadiga .................................................................................... 59
5.5 Verificação da deformação ........................................................................... 59
6. Exemplo Prático ................................................................................................. 60
xi
6.1 Características geométricas ......................................................................... 60
6.2 Seção transversal das longarinas ................................................................. 61
6.3 Carregamentos ............................................................................................. 62
6.3.1 Peso próprio .......................................................................................... 62
6.3.2 Cargas permanentes ............................................................................. 63
6.3.3 Cargas móveis ....................................................................................... 64
6.4 Esforços atuantes ......................................................................................... 66
6.4.1 Peso próprio .......................................................................................... 66
6.4.2 Sobrecarga permanente (g2) ................................................................. 67
6.4.3 Carga móvel .......................................................................................... 68
6.5 Propriedades da seção ................................................................................. 69
6.6 Tensões devido à flexão ............................................................................... 72
6.7 Avaliação da capacidade portante com protensão ........................................ 74
6.7.1 Estudo da protensão .............................................................................. 75
6.7.2 Verificação da viga protendida ............................................................... 79
6.7.3 Verificação ao esforço cortante.............................................................. 90
6.7.4 Verificação à Fadiga .............................................................................. 91
6.8 Otimização da Viga ....................................................................................... 92
6.8.1 Propriedades geométricas ..................................................................... 92
6.8.2 Estudo de protensão .............................................................................. 93
6.8.3 Verificação da viga de 1,70m ................................................................. 94
7. Conclusão ........................................................................................................ 100
7.1 Sugestões para trabalhos futuros ............................................................... 102
8. Bibliografia ....................................................................................................... 103
9. Apêndice .......................................................................................................... 106
1
1. Introdução
O uso de aço na construção civil no Brasil tem crescido muito em diversas
aplicações. Pontes em aço são cada vez mais visadas devido à sua facilidade em
vencer grandes vãos de geometria qualquer sem a necessidade de escoramentos.
Sendo assim, devem ser feitos estudos de desenvolvimento de tecnologias que sejam
vantajosas para essas estruturas.
O aço faz com que as estruturas sejam mais leves, reduzindo a carga nas
fundações. Em geral, estruturas em aço são mais esbeltas e com maior liberdade
arquitetônica. O processo de fabricação da estrutura em aço é industrializado, e assim
gera racionalização de materiais e mão de obra. O processo construtivo é muito mais
rápido, pois assim como nas estruturas em concreto pré-moldado, o processo de
montagem de estruturas de aço muitas vezes elimina a necessidade de escoramentos
e necessita apenas de guindastes após a fabricação das vigas.
Em pontes é comum o uso das vigas de aço associadas ao concreto, com os dois
materiais trabalhando junto; isso aumenta muito a capacidade de carga da viga de aço
isolada. O concreto tem grande capacidade de absorver esforços de compressão e o
aço se comporta muito bem à tração. Para que os dois atuem juntos, deve haver
compatibilidade de deslocamentos na sua interface.
O uso de cordoalhas de aço comprimindo a estrutura e gerando solicitações
opostas às usuais são muito comuns e existe uma extensa bibliografia e normatização
quando se trata de elementos estruturais de concreto. O uso de protensão em vigas
de aço não é usual, nem é abordado com frequência na bibliografia. Porém, o seu uso
pode trazer benefícios, tais como redução do uso do aço e aumento da capacidade de
carga de uma estrutura existente.
Em vigas de aço, a protensão deve ser externa à estrutura, sendo transmitida
através das ancoragens e desviadores. Os cabos excêntricos fazem com que sejam
reduzidas as flechas e melhoram a estabilidade lateral das vigas.
2
1.1 Motivação
Na engenharia estrutural brasileira, o uso do concreto é predominante. Por outro
lado, por suas diversas vantagens, o uso do aço vem crescendo, principalmente em
obras de infraestrutura.
O conhecimento de novas tecnologias que tragam um maior aproveitamento dos
materiais utilizados também deve seguir esse crescimento. O uso da protensão em
estruturas de pontes é muito difundido quando usado em concreto, porém a sua
aplicação em estruturas de aço é restrita. A falta de bibliografia sobre o assunto é um
dos fatores que faz com que essa prática seja pouco difundida no Brasil.
1.2 Objetivo
O principal objetivo do trabalho é o estudo da protensão externa com cabos não
aderentes em viga de aço e concreto em pontes. Com esse estudo busca-se avaliar os
benefícios do uso de cabos tracionados para o aumento de capacidade de carga de
uma seção e a possibilidade de racionalização da seção de aço.
1.3 Estrutura do trabalho
O corpo principal do trabalho é dividido em sete capítulos, fazendo uma revisão
bibliográfica dos elementos (protensão e viga mista) separadamente e de forma
combinada.
O segundo capítulo aborda as vigas mistas, fazendo uma revisão de
bibliografia e normas para cálculo em estruturas de pontes e edificações.
O terceiro capítulo trata de protensão de uma maneira genérica, apontando
seus benefícios, apresenta diversos tipos de estruturas protendidas e a análise
estrutural em estruturas isostáticas com cabos poligonais (típicos de protensão
externa).
O quarto capítulo contém o estudo do uso da protensão em estruturas mistas,
apresentando as considerações de cálculo a partir da avaliação de tensões na
estrutura.
3
O quinto capítulo lista os critérios de dimensionamento para o cálculo de
pontes que serão levados em consideração no exemplo prático desenvolvido no
capítulo seguinte.
O capítulo seis apresenta um exemplo de verificação à flexão e cortante,
avaliando o aumento da capacidade de carga de uma ponte existente e um estudo da
racionalização da estrutura com o uso de cordoalhas protendidas.
Finalmente, o capítulo sete apresenta as conclusões obtidas nesse trabalho.
4
2. Vigas mistas
2.1 Aspectos Históricos
A estrutura metálica é utilizada na construção civil desde o início do século XVII,
se quando se empregavam pontes em arco ou treliçadas de ferro fundido. Uma das
primeiras pontes metálicas, a ponte de Coalbrookdale, na Inglaterra, possui um vão
central de 30m (Figura 1).
Figura 1 – Ponte de Coalbrookdale (https://www.sites.google.com/site/acoufmg/home/historico (acessada em 20/02/2016))
No século XIX, houve o inicio da laminação de perfis, que permitiu a produção
de perfis laminados e a estrutura metálica começou a ser usado também em
edificações.
O uso do aço passou a ser mais difundido no fim do século XIX. A primeira
ponte foi construída no estado do Mississipi, nos EUA, com um vão central de 158m.
No Brasil, a ponte mais notável com o uso de estrutura de aço é a ponte Rio-
Niterói, inaugurada no ano de 1974, com vão central de 300m em vigas de alma cheia
de inércia variável (Figura 2).
5
Figura 2 – Vão central da ponte Rio-Niterói (http://oregionalpr.com.br/wp-content/uploads/2014/03/original_Ponte_Rio-
Niter%C3%B3i_no_estado_do_Rio_de_Janeiro.jpg (acessada no dia 20/02/2016))
2.2 Generalidades
A NBR8800 (2008) define como viga mista um elemento linear que recebe
carga transversal, composto por um perfil metálico conectado a uma laje de concreto,
de forma que ambos trabalhem em conjunto para resistir aos esforços de flexão
solicitantes.
Para que haja maior eficiência da viga mista, é importante que o concreto
trabalhe comprimido e o aço tracionado nas fibras inferiores. Logo, é desejável que os
momentos fletores sejam positivos, ou seja, que as vigas mistas sejam biapoiadas. A
seguir, são apresentadas as vantagens de vigas biapoiadas em relação a vigas
continuas (CARDOSO, 2006):
A mesa comprimida da viga metálica tem deformação restringida pela laje de
concreto, evitando a flambagem lateral torsional ou flambagem local da mesa, após a
cura da laje;
A estrutura isostática faz com que não haja redistribuição de esforços
provenientes de gradiente de temperatura e fluência do concreto.
As vigas mistas podem ser escoradas ou não. Caso não sejam escoradas, as
mesmas devem ser verificadas tanto para a resistência quanto para a estabilidade, na
fase de concretagem da laje, considerando apenas as propriedades da seção de aço.
6
2.3 Conectores de cisalhamento
São componentes usados na junção da viga de aço e concreto de forma a não
permitir o deslocamento relativo entre os mesmos. Os conectores transmitem as
tensões cisalhantes entre os dois materiais, podendo ser total ou parcial. A interação
será considerada total se as tensões forem suficientes para que se atinja o
escoamento da viga de aço ou o esmagamento da laje de concreto, antes de ocorrer a
ruptura da ligação, caso contrário a interação será parcial.
Em vigas de ponte é conveniente que os conectores transmitam totalmente as
tensões para o concreto, havendo, portanto, compatibilidade na deformação dos dois
materiais.
Os conectores devem ter um embutimento mínimo no concreto de 50mm e
devem ter um cobrimento mínimo de 10mm. A distância máxima entre os conectores
deve ser de 60cm quando o concreto é comprimido. Os conectores devem ser
verificados tanto à resistência última quanto à fadiga dos elementos (Figura 3).
a) b)
Figura 3 – Conectores tipo: a)Stud Bolt, b)Perfil U.
2.3.1 Resistência dos conectores
Os conectores devem ser dimensionados prevendo-se a falha devido ao
esmagamento do concreto ou a ruptura do aço por plastificação ou fadiga.
A determinação da resistência dos conectores é obtida conforme descrito a
seguir.
7
a) Stud bolts ou pinos com cabeça:
Os pinos são soldados por arco elétrico, onde o metal base é fundido na
extremidade do conector com o auxilio de uma pistola.
A resistência última pela NBR8800:2008 é dada pelo menor valor das
expressões (2.1) e (2.2):
𝑞𝑅𝑑 =
12 (𝐴𝑐𝑠√𝑓𝑐𝑘. 𝐸𝑐𝑠)
𝛾𝑐𝑠
(2.1)
𝑞𝑅𝑑 =
(𝐴𝑐𝑠. 𝑓𝑢𝑐𝑠)
𝛾𝑐𝑠
(2.2)
onde:
𝑞𝑅𝑑 – resistência de cálculo do conector;
𝐴𝑐𝑠 – área da seção transversal do conector;
𝑓𝑢𝑐𝑠 − resistência à tração do conector;
𝑓𝑐𝑘 − resistência à compressão característica do concreto;
𝐸𝑐𝑠- módulo de elasticidade secante do concreto;
𝛾𝑐𝑠 − coeficiente de minoração = 1,35.
A variação de tensão resistente para um número infinito de ciclos, de acordo com a NBR8800:2008, é limitada a 69 MPa (Figura 4).
Situação Descrição 𝜎𝑇𝐻 (𝑀𝑃𝑎)
Metal-base junto a conectores de
cisalhamento tipo pino com cabeça ligados por
solda de filete ou eletrofusão.
69
Figura 4- Tensão Limite de Fadiga para Stud Bolts (Adaptado da NBR8800:2008)
b) Perfis laminados “U”
São perfis de pequeno comprimento soldados na mesa do perfil metálico. A
resistência ao cisalhamento desse tipo de conector é dada por:
8
𝑞𝑟𝑑 =
0,3(𝑡𝑓 + 0,5𝑡𝑤). 𝐿𝑐𝑠. √𝑓𝑐𝑘. 𝐸𝑐𝑠
𝛾𝑐𝑠
(2.3)
onde:
𝑡𝑓- espessura da mesa do perfil;
𝑡𝑤 −espessura da alma do perfil;
𝐿𝑐𝑠 −comprimento conector.
A variação de tensão resistente (σTH) para um número infinito de ciclos, de
acordo com a NBR8800:2008, depende das dimensões do perfil U, conforme mostra a
Figura 5.
Situação Descrição 𝜎𝑇𝐻 (𝑀𝑃𝑎)
a<50mm 69
50mm<12.b ou 100 mm 48
a>12.b ou 100mm quando b<25mm
31
a>12.b ou 100mm quando b>25mm
18
Figura 5 - Tensão Limite de Fadiga para conectores em perfil “U” (Adaptado da NBR8800:2008)
2.3.2 Determinação do número de conectores
Para que exista a interação total entre o concreto e a viga de aço, é necessário
que os conectores não permitam deslizamento entre os componentes.
Em vigas de edifícios é usual que os conectores sejam igualmente espaçados,
como se cada um contribuísse da mesma forma. Porém, para vigas mais solicitadas,
essa hipótese não é verdadeira, e os conectores devem ser concentrados nos
extremos da viga, pois ocorre uma distribuição linear nos décimos extremos do vão
(MASON, 1976), conforme ilustra a Figura 6.
Figura 6 –Tensões cisalhantes horizontais ao longo da viga (MASON, 1976)
9
Para que haja interação completa, a norma NBR8800:2008 recomenda que a
soma da resistência dos conectores deva ser maior que o menor dos valores dados
por:
𝑄𝑟𝑑 =∑𝑞𝑟𝑑 ≥
𝐴. 𝑓𝑦
𝛾
(2.4)
𝑄𝑟𝑑 =∑𝑞𝑟𝑑 ≥
0,85𝑓𝑐𝑘. 𝑏. 𝑡𝑐𝛾𝑐
(2.5)
onde:
𝐴 − área da seção da viga de aço;
𝑓𝑦 − tensão de escoamento do aço;
𝛾 − coeficiente de minoração do aço =1,1;
𝑓𝑐𝑘 − resistência à compressão característica do concreto;
𝑏 −largura de mesa colaborante;
𝑡𝑐 − espessura da laje;
𝛾𝑐 – coeficiente de minoração do concreto =1,4.
Em vigas de pontes, que estão submetidas à variação de tensões devido às
cargas móveis, os conectores devem ser verificados à fadiga. A variação de
cisalhamento atuando nas vigas pode ser calculada pela expressão:
∆𝑆𝑟 =
∆𝑉𝑟. 𝑄
𝐼
(2.6)
onde:
∆𝑉𝑟 – flutuação da força cortante devido à carga móvel;
𝑄− momento estático do concreto transformado (dividida pela relação do módulo de elasticidade do aço e concreto);
𝐼 – inércia da viga mista.
Essa faixa de variação deve ser menor que a variação de tensão admitida, por
norma, para cada tipo de conector.
10
2.4 Laje de concreto
2.4.1 Largura da mesa colaborante
A distribuição de tensões de compressão ao longo da laje não é uniforme. A
compressão da laje é máxima no eixo da viga e decresce ao se afastar do eixo (Figura
7). Esse efeito, conhecido como “shear lag”, é resultante da deformação não uniforme
da laje. O eixo da viga deforma mais que as áreas adjacentes fazendo que a seção
não seja mais plana (CARDOSO, 2006).
Figura 7 – Distribuição de tensões de compressão na laje da viga mista
(CARDOSO, 2006).
Sendo assim, a largura que efetivamente contribui para a resistência da viga
metálica deve ter tensões aproximadamente constantes. Para considerar esse
aspecto, a NBR8800 limita a largura da laje adotada para o dimensionamento da viga
mista.
Em vigas biapoiadas, para cada lado do eixo da viga deve ser adotado o
menor entre os valores:
1/8 do comprimento do vão;
Metade da distância entre as vigas adjacentes;
A distância entre a viga e o bordo da laje em balanço.
11
2.5 Determinação da resistência à flexão
Consideram-se, nesse trabalho, vigas mistas biapoiadas sujeitas apenas aos
momento fletores positivos. A parte superior da viga metálica é, na fase final (com o
concreto endurecido), travada pela laje, impossibilitando o deslocamento proveniente
de fenômenos de flambagem local da mesa comprimida ou flambagem lateral
torcional.
A viga mista pode ser construída com ou sem escoramento. Para a viga não
escorada, o concreto é lançado sobre pré-lajes, sem que a viga tenha as propriedades
da viga mista. Inicialmente, os esforços atuam somente na seção de aço e o perfil
deve ser verificado para todas as fases de carregamento (construtivos e de utilização),
sendo esses:
Peso próprio do perfil metálico e laje de concreto (viga metálica);
Peso próprio das sobrecargas permanentes, tais como guarda rodas e
pavimentação (seção mista);
Sobrecarga de utilização (seção mista).
Para vigas escoradas, a viga mista deve ser verificada apenas para a fase final.
A Figura 8 compara o deslocamento vertical de vigas mistas escoradas e não
escoradas. Pode ser observado que, para um mesmo momento fletor, o deslocamento
vertical da viga não escorada é maior, pois sua deformação na fase inicial, quando
ainda não há o endurecimento da laje, é muito maior. A viga, na fase inicial, tem uma
inércia consideravelmente menor e, com isso, sua flecha será maior. Porém, na
ruptura a flecha é praticamente a mesma.
As flechas podem ser compensadas com a imposição de uma contra flecha. É
imposto um deslocamento no sentindo inverso das flechas resultantes dos
carregamentos usuais. A contra flecha deve ser calculada para anular o deslocamento
vertical causado pela carga permanente.
12
Figura 8 – Desenvolvimento do momento resistente em relação ao deslocamento
vertical de vigas escoradas e não escoradas (QUEIROZ, 2001)
Para construções não escoradas, deve ser feita a verificação da estabilidade
da viga quanto aos fenômenos de flambagem, já que na fase de concretagem a laje
não oferece nenhum travamento e a parte superior da viga metálica, comprimida, pode
sofrer flambagem local da mesa ou flambagem lateral torcional. A presença de
travamentos, como transversinas, na fase construtiva, podem limitar o vão da
flambagem lateral torcional.
A NBR8800:2008 classifica as vigas metálicas como compactas, semi-
compactas ou esbeltas. Os perfis das vigas mistas devem ser classificados dessa
forma:
A. Compactas:
Os perfis plastificam totalmente sem que ocorra flambagem local. Para isso, o
índice de esbeltez λ deve ser inferior à esbeltez limite para seções compactas λp, tal
que:
a. Flambagem local das mesas para perfis soldados e laminados:
𝜆 =𝑏𝑓
2𝑡𝑓≤ 𝜆𝑝 = 0,38√
𝐸𝑠𝑓𝑦𝑘
(2.7)
13
b. Flambagem local das almas para perfis soldados e laminados:
𝜆 =ℎ
𝑡𝑤≤ 𝜆𝑝 = 3,76
ℎ
ℎ𝑝 √𝐸𝑠𝑓𝑦𝑘
(2.8)
onde:
bf – largura da mesa;
tf – espessura da mesa;
h – altura da alma;
hp – dobro da distância da face interna da mesa a linha neutra plástica da seção;
tw – espessura da alma;
Es – módulo de elasticidade do aço;
fyk – tensão de escoamento do aço.
B. Semi-compactas (𝜆𝑝 < 𝜆 < 𝜆𝑟):
As seções iniciam o escoamento, mas a flambagem local ocorre antes da
plastificação da seção. Para serem classificadas como semi-compactas, o índice de
esbeltez λ deve ser inferior à esbeltez limite para seções semi-compactas λr, logo:
a. Flambagem local das mesas:
- Perfis laminados:
𝜆 =𝑏𝑓
2𝑡𝑓≤ 𝜆𝑟 = 0,83√
𝐸𝑠(𝑓𝑦𝑘 − 𝑓𝑟)
(2.9)
- Perfis soldados:
𝜆 =
𝑏𝑓
2𝑡𝑓≤ 𝜆𝑟 = 0,95√
𝐸𝑠(𝑓𝑦𝑘 − 𝑓𝑟)
𝑘𝑐
(2.10)
14
𝑘𝑐 =
4
√ℎ𝑡𝑤
𝑒 0,35 ≤ 𝑘𝑐 ≤ 0,763
(2.11)
b. Flambagem local das almas:
𝜆 =ℎ
𝑡𝑤≤ 𝜆𝑟 = 5,70 √
𝐸𝑠𝑓𝑦𝑘
(2.12)
onde:
fr – tensão residual nos perfis soldados e laminados.
O momento fletor resistente é calculado de maneira distinta dependendo da
existência de escoramento na fase construtiva e da sua compacidade. A NBR8800
prevê que o momento fletor resistente de vigas mistas compactas escoradas seja
calculado pela plastificação da seção. Já para perfis não compactos ou não
escorados, a verificação da viga mista deve ser feita comparando-se as tensões de
cálculo nas fibras extremas, tanto da viga metálica quanto na laje de concreto.
2.5.1 Seções compactas escoradas
As vigas compactas escoradas com interação completa têm sua resistência à
flexão para momentos fletores positivos determinadas pela plastificação da seção de
aço ou o esmagamento da laje de concreto.
A linha neutra, na plastificação, pode passar tanto pela seção metálica quanto
pela laje de concreto.
A linha neutra passa pela laje de concreto se a força de compressão máxima
(Cd), na mesa colaborante de concreto, for superior à força resultante de tração da
seção metálica (Td), com:
𝐶𝑑 =
0,85𝑓𝑐𝑘. 𝑏. 𝑡𝑐𝛾𝑐
(2.13)
𝑇𝑑 =
𝐴. 𝑓𝑦
𝛾
(2.14)
15
Se Td>Cd, a linha neutra passa pela viga metálica. A posição da linha neutra
deve ser encontrada de modo que haja um equilíbrio de forças na seção, e o momento
de plastificação da seção será determinado por essas forças equilibradas.
A Figura 9 apresenta as forças resultantes e as tensões em vigas mistas
submetidas à momentos fletores positivos com diferentes posições da linha neutra. Se
a linha neutra encontra-se na laje, a resistência à tração do concreto não é
considerada. Se a linha neutra está no perfil de aço, considera-se a laje comprimida e
a posição da linha neutra estará onde for encontrado o equilíbrio de forças de tração e
compressão.
Figura 9 – Distribuição plástica de tensões sob momento positivo (NBR8800:2008)
2.5.2 Seções não-compactas
A norma NBR8800 recomenda que seja feita a análise de tensão no perfil com
base na distribuição elástica das vigas não compactas com interação total.
Para que sejam calculadas as propriedades da seção mista, deve ser feita a
homogeneização da seção, ou seja, transformar a laje de concreto em uma seção
fictícia equivalente em aço. Essa transformação é feita dividindo a área do concreto
pela relação entre os módulos de elasticidade (AASHTO-LRFD, 2012):
𝛼 =
𝐸𝑠𝐸𝑐𝑠
(2.15)
16
E𝑐𝑖 = α𝐸 . 5600√𝑓𝑐𝑘
(2.16)
E𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 . E𝑐𝑖 (2.17)
𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2.
𝑓𝑐𝑘80≤ 1
(2.18)
onde:
Es – módulo de elasticidade do aço;
Eci – módulo de elasticidade tangente inicial do concreto;
Ecs – módulo de elasticidade secante do concreto;
fck – resistência característica do concreto;
𝛼𝐸- parâmetro em função da natureza do agregado.
A Figura 10 representa a homogeneização da seção mista.
Figura 10 – Seção homogeneizada para cálculo em regime elástico (PFEIL, 2013)
A relação apresentada é válida apenas quando se consideram carregamentos
de curta duração, pois para cargas de longa duração deve ser levado em conta o
efeito da fluência no concreto. A deformação plástica (휀𝑐𝑐) está relacionada à
deformação elástica (휀𝑐0) e ao coeficiente de fluência (φ) pela relação:
휀𝑐∞ = 휀𝑐0 + 휀𝑐𝑐 = 휀𝑐0. (1 + φ)
(2.19)
17
A partir dessa relação, têm-se:
𝐸𝑐∞ =
𝐸𝑐0(1 + φ)
(2.20)
𝛼∞ = 𝛼(1 + 𝜑)
(2.21)
A norma NBR6118:2014 apresenta o cálculo do coeficiente de fluência. Este
depende de diversos fatores, tais como: materiais empregados, condições de cura,
idade do concreto, etc. Por motivo de simplificação, recomenda-se adotar um valor
médio de φ=2 para cargas aplicadas ao concreto com idade superior a 28 dias (PFEIL;
PFEIL, 2013).
A fluência faz com que o concreto sob a ação de cargas permanentes mostre,
a tempo infinito, deformação três vezes superior à inicial, aproximadamente. Isso
reduz o módulo de resistência da seção da viga mista e é um importante fator a ser
considerado em projetos de pontes para carregamentos de longa duração, como peso
próprio, peso dos guarda-rodas, pavimentos e demais componentes auxiliares.
Para o cálculo de tensões em seções não compactas escoradas, em vigas de
ponte, todo o carregamento atua sobre a seção da viga mista. Para as cargas
permanentes, consideram-se os efeitos da fluência, as características da seção e o
módulo de resistência elástico, determinado com base em 𝛼∞. Já para cargas móveis,
deve ser usada a relação entre módulos de elasticidade para cargas de curta duração
(𝛼). A convenção de sinal adotada refere-se a positivas as tensões de tração e
negativas as tensões de compressão. As tensões nas mesas da viga metálica e na
laje de concreto são calculadas por:
- Mesa inferior:
𝜎𝑏𝑖 =
𝑀𝑔1+𝑔2
𝑊𝑖𝑚𝑓+𝑀𝑐𝑚𝑊𝑖𝑚
(2.22)
- Mesa superior:
𝜎𝑏𝑠 = −
𝑀𝑔1+𝑔2
𝑊𝑠𝑚𝑓−𝑀𝑐𝑚𝑊𝑠𝑚
(2.23)
18
- Laje de concreto:
𝜎𝑐 = −
𝑀𝑔1+𝑔2
𝑊𝑐𝑓−𝑀𝑐𝑚𝑊𝑐
(2.24)
onde:
Mg1 – Momento fletor devido ao peso próprio (viga+laje);
Mg2 – Momento fletor devido às demais cargas permanentes;
Mcm – Momento fletor devido às cargas móveis;
𝑊𝑖𝑚𝑓 – Módulo resistente inferior da seção mista para cargas de longa
duração;
𝑊𝑠𝑚𝑓 – Módulo resistente superior da seção mista para cargas de longa
duração;
𝑊𝑖𝑚 – Módulo resistente inferior da seção mista para cargas de curta duração;
𝑊𝑠𝑚 – Módulo resistente superior da seção mista para cargas de curta duração;
𝑊𝑐 – Módulo resistente da fibra superior da laje de concreto para cargas de
curta duração;
𝑊𝑐𝑓 – Módulo resistente da fibra superior da laje de concreto para cargas de
longa duração.
Já nas vigas não escoradas, a primeira fase de carregamento (g1) ocorre
quando é feita a concretagem da laje. Apenas a viga metálica estará atuando para
resistir a esses esforços, pois a laje não está consolidada e atuando conjuntamente
com a viga. As demais cargas permanentes, como pavimento e guarda rodas, atuam
na estrutura após o endurecimento da laje. Portanto, os efeitos de fluência devem ser
considerados. As tensões nas vigas não escoradas, para regime elástico, são
determinadas de acordo com as equações a seguir:
- Mesa inferior:
𝜎𝑏𝑖 =
𝑀𝑔1
𝑊𝑖+𝑀𝑔2
𝑊𝑖𝑚𝑓+𝑀𝑐𝑚𝑊𝑖𝑚
(2.25)
19
- Mesa superior:
𝜎𝑏𝑠 = −
𝑀𝑔1
𝑊𝑠−𝑀𝑔2
𝑊𝑠𝑚𝑓−𝑀𝑐𝑚𝑊𝑠𝑚
(2.26)
- Laje de concreto:
𝜎𝑐 = −
𝑀𝑔2
𝑊𝑐𝑓−𝑀𝑐𝑚𝑊𝑐
(2.27)
onde:
𝑊𝑖 − Módulo resistente inferior da seção de aço;
𝑊𝑠 − Módulo resistente superior da seção de aço.
2.6 Resistência ao esforço cortante
Nas vigas mistas, o concreto não contribui para a resistência ao esforço
cortante, que deve ser resistido inteiramente pela alma do perfil metálico.
Nas vigas com enrijecedores transversais, a alma pode resistir a esforços
superiores aos que levariam à flambagem da seção, devido à ação do campo de
tensões, como mostrado na Figura 11. Após a flambagem por cisalhamento, a alma
passa a trabalhar como um sistema treliçado de diagonais tracionadas, denominado
campo de tração (PFEIL; PFEIL, 2013).
Figura 11 – Campo de tensões entre enrijecedores (Adaptado de DUAN, 1999)
20
Para a resistência ao esforço cortante de perfis não enrijecidos, não é
considerada a ação de um campo de tensões e, sim, pelo escoamento do aço ou
flambagem devido ao cisalhamento. A relação entre a tensão de escoamento e
flambagem da alma do perfil é dada pela constante C:
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐𝑟 = 𝐶. 𝑉𝑝 (2.28)
𝑉𝑝 = 0,58. 𝑓𝑦𝑘 . 𝐷. 𝑡𝑤
(2.29)
onde:
Vn – força cortante nominal;
Vp – força resistente ao escoamento da alma por cisalhamento;
Vcr – resistência crítica da alma ao esforço cortante;
D – altura da alma do perfil;
tw – espessura da alma;
fyk – tensão de escoamento característica do aço.
De acordo com a AASTHO-LRFD (2012), a capacidade de resistência aos
esforços cisalhantes em vigas enrijecidas é dada por:
𝑉𝑛 = 𝑉𝑝
(
𝐶 +0,87. (1 − 𝐶)
√1 + (𝑑0𝐷 )
2
)
(2.30)
Se:
2𝐷. 𝑡𝑤𝑏𝑓𝑐 . 𝑡𝑓𝑐 + 𝑏𝑓𝑡 . 𝑡𝑓𝑡
≤ 2,5 (2.31)
Caso contrário:
𝑉𝑛 = 𝑉𝑝
(
𝐶 +0,87. (1 − 𝐶)
√1 + (𝑑0𝐷 )
2
+𝑑0𝐷)
(2.32)
sendo C:
21
𝐶 = 1 , 𝑠𝑒𝐷
𝑡𝑤≤ 1,12√
𝐸. 𝑘
𝐹𝑦 (2.33)
𝐶 =1,12
𝐷𝑡𝑤
√𝐸. 𝑘
𝐹𝑦 , 𝑠𝑒 1,12√
𝐸. 𝑘
𝐹𝑦<𝐷
𝑡𝑤≤ 1,40√
𝐸. 𝑘
𝐹𝑦
(2.34)
𝐶 =1,57
𝐷𝑡𝑤
√𝐸. 𝑘
𝐹𝑦 𝑠𝑒
𝐷
𝑡𝑤> 1,40√
𝐸. 𝑘
𝐹𝑦
(2.35)
com:
𝑘 = 5 +
5
(𝑑0𝐷)2 (2.36)
onde:
D – altura da alma do perfil;
k- coeficiente de flambagem por cisalhamento;
d0 – distância longitudinal entre os enrijecedores transversais;
Vp – resistência ao escoamento por cisalhamento;
𝑏𝑓𝑐𝑒 𝑡𝑓𝑐 – largura e espessura da mesa comprimida, respectivamente;
𝑏𝑓𝑡𝑒 𝑡𝑓𝑡 – largura e espessura da mesa tracionada, respectivamente.
Logo, deve ser estudada a necessidade de enrijecedores para o melhor
aproveitamento das seções.
2.7 Efeito da retração do concreto:
O efeito da retração do concreto gera esforços em vigas mistas (MASON,
1976). O encurtamento da laje conectada à viga de aço (que não sofre o mesmo
efeito), resulta em uma força excêntrica dada por:
22
𝐹𝑟𝑒𝑡 = 휀𝑐𝑠. 𝐸𝑐 . 𝐴𝑐 (2.37)
onde:
휀𝑐𝑠- deformação específica de retração dada pela norma NBR6118:2014;
𝐸𝑐- módulo de elasticidade tangente do concreto
𝐴𝑐-área da laje de concreto da mesa colaborante do concreto
A resultante dessa força atua no centro da seção de concreto e por ser
excêntrica, gera um momento fletor positivo na viga, mesmo sendo isostática. O
momento fletor é dado por:
𝑀𝑟𝑒𝑡 = 𝐹𝑟𝑒𝑡 . 𝑧 (2.38)
onde z é a distância entre o centróide da seção de concreto e o centróide da seção
mista.
Não há indicação de norma e na literatura técnica, porém admite-se que se
trata de um efeito de menor importante, podendo ser desprezado.
2.8 Determinação de flecha e contra flecha
Em vigas mistas não escoradas, a flecha final é dada pela soma das várias
flechas resultantes de cada etapa de carregamento, considerando as respectivas
características da viga. Essa flecha é limitada de acordo com as exigências
normativas. Para reduzir a flecha final, pode ser introduzida uma contra flecha na viga
metálica para anular as deformações devidas às cargas permanentes de peso próprio
e elementos auxiliares, como pavimento e guarda rodas.
As flechas nas diferentes fases de carregamento são:
a) Flecha devida ao peso próprio da viga e o peso da laje. Nessa etapa deve ser
considerada apenas a rigidez da viga de aço;
b) Flecha devida à segunda etapa de carregamento (guarda rodas, pavimentação
e etc.) Nessa etapa, consideram-se as características da viga mista e os efeitos das
cargas de longa duração;
c) Flecha devida às cargas móveis. Nessa etapa, devem ser consideradas as
características da viga mista para cargas de curta duração;
d) Flecha devida à retração do concreto.
23
2.9 Verificação da fadiga
Como em pontes a viga está submetida a um carregamento acidental
dinâmico, a variação de tensão pode resultar na ruptura por fadiga de seus elementos
estruturais, mesmo que as tensões atuantes sejam inferiores às admitidas pelo
material.
A variação máxima de tensão permitida é função do número de ciclos previstos
para determinada estrutura. Em pontes, pode-se considerar um número de ciclos bem
elevado. De acordo com a norma NBR8800:2008, a variação de tensão máxima
admissível depende do tipo de perfil e das ligações entre chapas.
A NBR8800:2008 indica valores limites para casos usuais em estruturas de
aço, conforme mostra a Figura 12.
Figura 12- Limites de tensão devidos à fadiga (NBR8800:2008)
A flutuação de tensão é dada pela diferença entre a tensão máxima e mínima
na seção devido à carga móvel.
24
3. Protensão
3.1 Aspectos históricos
O conceito da protensão é de produzir esforços opostos aos gerados por
cargas usuais atuantes na estrutura.
A aplicação de uma compressão prévia para melhorar o comportamento de
certa estrutura é antiga. Por exemplo, em barris de madeira, onde o líquido exerce
pressão na parede, gerando esforços radiais, são colocados anéis metálicos para
combater esse efeito, ficando, assim, tensionados, aplicando compressão radial no
barril (HANAI, 2005). A Figura 13 ilustra tal efeito.
Figura 13 – Exemplo de estrutura pré-tensionada (Adaptado de Hanai, 2005)
A pré-tensão aplicada em peças de concreto foi proposta pela primeira vez por
P. H. Jackson em São Francisco, EUA (LEONHARDT, 1983). O autor cita que no ano
de 1888 W. Dourung apresentou uma patente de protensão e em 1906 M. Knoenen
realizou o primeiro ensaio com aço tracionado, ambos em Berlim. Nos anos seguintes
outras patentes e ensaios foram realizados, porém foram ineficientes por não
considerarem problemas como retração e fluência do concreto e a relaxação do aço. O
emprego de aço de alta resistência com altas tensões foi reconhecido pelo americano
R.H. Dill em Nebraska, EUA. (LEONHARDT, 1983)
25
Já o primeiro trabalho mais consistente sobre a protensão em concreto foi
apresentado por Eugene Freyssinet em 1928. A primeira obra em concreto
protendidofoi a ponte sobre o Rio Marne em Luzancy, França, concluída após o
termino da segunda guerra mundial, com vão de 74m formada por um pórtico bi-
articulado com tensão no aço superior a 400 N/mm2. (LEONHARDT, 1983).
Figura 14 – Ponte sobre o rio Marne (http://wp.efreyssinet-association.com/wp-content/uploads/O2_luzancy5.jpg (Acesso
10 de Fevereiro 2016))
A primeira ponte com superestrutura em viga continua protendida foi a Ponte
de Sclayn, na Bélgica. Construída em 1948, com projeto desenvolvido por Gustave
Magnel com dois vãos em vigas tipo caixão de 62m (SCHLAICH; SCHEEF, 1982).
No entanto, a protensão em estruturas de aço foi usada pela primeira vez em
1837, nos EUA por Whipple, combinando os cabos protendidos aos elementos
tracionados de uma treliça. Apenas a partir da década de 50 foram publicados artigos
mais consistentes sobre a combinação de protensão e estruturas de aço (TROITSKY,
1990).
Hoadley, em 1963, pesquisou sobre vigas biapoiadas usando cabos com
excentricidade constante ao longo do comprimento da viga, Strass desenvolveu um
estudo experimental em vigas biapoiadas em 1964 e Regan analisou os efeitos das
lajes e protensão em estruturas mistas em 1966 (AYYUB; SOHN; SAADATMANESH,
1990).
26
Pode ser observado a partir do que foi exposto que a protensão em aço e
concreto surgiram paralelamente. Porém, hoje, o concreto protendido é muito mais
usual que a protensão em estruturas em aço. Troitsky (1990) justifica esse fato por ser
o aço o material predominante em construções de pontes, já que o concreto armado
não era competitivo para grandes e médios vãos. As estruturas metálicas protendidas
reduziriam a quantidade de material utilizado na ponte e não teria vantagem comercial
para a estrutura metálica. Já o desenvolvimento da técnica de protensão em estruturas
em concreto viabilizou pontes de concreto de grandes vãos, tornando seu uso mais
competitivo.
3.2 Princípios da protensão
Em elementos fletidos de concreto armado ou aço, usualmente são solicitadas
apenas quando a peça começa a se deformar. Em elementos escorados, por exemplo,
apenas após a retirada do escoramento que as fibras dessas peças passam a resistir
aos esforços solicitantes, pois o escoramento não permite sua deformação. O mesmo
não se aplica a peças protendidas. Quando tracionadas por macacos hidráulicos, a
armadura longitudinal, constituída por aços de protensão, comprime a peça e a própria
armadura provoca deformação estrutural, fazendo com que a peça seja solicitada
apenas por esforços internos. Devido a esse fato, a protensão é comumente chamada
de armadura “ativa”.
Em estruturas de concreto, a protensão busca melhorar a deficiência de baixa
resistência à tração do material, visto que a protensão provoca compressão em
regiões onde o concreto seria tracionado, fazendo com que essas tensões sejam
reduzidas ou até anuladas. Isso faz com que o material apresente um melhor
desempenho, tenha economia no uso do material e possa receber maiores
solicitações.
A Figura 15 apresenta as tensões no concreto resultante da protensão
excêntrica em uma viga de concreto armado submetida a momentos positivos. No
caso, a protensão faz com que não existam mais tensões de tração no concreto.
27
Figura 15 – Princípio da protensão em concreto (NELSEN, 2013)
Por sua vez, em estruturas metálicas a protensão atua de forma semelhante,
reduzindo a tração em banzos tracionados e fazendo com que as duas mesas atinjam
tensões máximas admissíveis, possibilitando um maior aproveitamento da seção,
economia de material e controle de deformações (TROITSKY, 1990).
A protensão em vigas de aço, como mostrado na Figura 16, busca reduzir as
tensões causadas pelos carregamentos usuais. Diferente da viga de concreto, na viga
metálica não é desejável que as tensões sejam somente de compressão.
Figura 16 – Princípio da protensão em vigas de aço (NELSEN, 2013)
3.3 Classificação dos sistemas de protensão
A protensão pode ser classificada de acordo com o seu sistema construtivo,
posição dos cabos, do modo de trabalho como sistema estrutural.
O cálculo das estruturas pode variar dependendo do sistema de protensão
adotado.
28
3.3.1 Classificação quanto à aderência
a) Sistema de prontensão aderente
No sistema de protensão aderente, não há o deslocamento relativo entre a
cordoalha e a estrutura. Usualmente, em estruturas de concreto com protensão
interna, é injetada calda de cimento nas bainhas corrugadas, após a protensão,
garantindo a aderência entre os materiais. As bainhas são posicionadas no interior do
elemento estrutural previamente, antes da concretagem das peças.
Segundo Leonhardt (1983), a protensão aderente provoca uma melhor
distribuição das tensões e melhora a segurança à ruptura (pois a falha de um dos
elementos não resultaria em falha total da protensão naquele elemento), segurança a
incêndios e principalmente melhora a proteção quanto à corrosão.
b) Sistema de protensão não aderente
Em um sistema de protensão não aderente, a armadura é livre para deslocar
ao longo de seu comprimento, estando conectadas na estrutura através das
ancoragens. Esse tipo é aplicável tanto ao concreto quanto em peças metálicas, pois
pode ser feita tanto interna quanto externamente a peça protendida. O tipo mais
comum desse sistema é o de monocordoalha engraxada com bainha plástica.
A protensão não aderente tem vantagens construtivas, pois é de mais fácil
instalação e não necessita da injeção de calda de cimento ao final da protensão. A
própria cordoalha, envolvida pelo tubo de polietileno ou polipropileno e uma proteção
de graxa, atende a necessidade de proteção anticorrosão.
A não aderência dos cabos no elemento estrutural faz com que o seu cálculo
seja mais complexo do em peças com cordoalhas aderentes. No caso da cordoalha
engraxada não há compatibilidade de deformações, ou seja, a deformação da peça
protendida não é necessariamente igual à deformação dos cabos. A compatibilidade
de deformações é hipótese fundamental para a teoria do concreto armado e
protendido, logo os métodos de cálculos convencionais não se aplicam nesse caso
(BARBIERI; GASTAL, 2002).
29
3.3.2 Classificação quanto à posição dos cabos
a) Protensão interna
A protensão interna é o caso mais comum em vigas de concreto armado,
podendo ser com aderência inicial (pré-tração), aderência posterior (pós-tração) ou
sem aderência (pós-tração).
Em vigas com aderência inicial, as armaduras ativas com o uso de cordoalhas
normalmente retas, por facilidade de execução, são tensionadas antes das
concretagens das peças, utilizando apoios independentes. A transferência da
protensão só é realizada após o endurecimento do concreto e as armaduras são
liberadas dos apoios, comprimindo a peça. Nesse caso, a ancoragem é feita apenas
pela aderência da armadura na peça.
Em peças de concreto com armadura pós-tracionadas, como mostrada na
Figura 17, com cabos internos, a tração nos cabos só é realizada após o
endurecimento do concreto.
Em ambos os casos, os cabos com protensão interna apresentam uma
excentricidade em relação ao centroide da seção que não varia conforme a
deformação. Os cabos são mais protegidos das ações externas como fogo, corrosão
e ações de vandalismo. Porém, a inspeção e a manutenção dessas estruturas são
mais sofisticadas.
Figura 17 – Protensão interna em vigas de concreto (http://www.impactosul.com.br/wp-content/uploads/2012/12/imp_002_12-
interna_11.jpg (acessada em 10 de fevereiro de 2016))
30
b) Protensão externa
A protensão externa pode ser realizada tanto em peças de concreto quanto em
aço. São importantes e muito usadas em reforços estruturais, podendo melhorar a
capacidade de carga da estrutura, sem a necessidade de grandes intervenções.
A técnica pode ser caracterizada por cabos fora da área física ocupada pela
seção transversal da estrutura. As forças são transmitidas para a estrutura apenas nos
pontos de ancoragem e nos desviadores, não existindo aderência entre os elementos
de protensão e a estrutura. (REIS, 2003).
A protensão externa pode apresentar variação na excentricidade das
cordoalhas, em relação ao centroide da estrutura, com o aumento das deformações.
Em cabos retos e sem desviadores, a variação da excentricidade é equivalente a
deformação vertical da viga na seção.
Como pode ser observada na Figura 18, a variação da excentricidade pode
diminuir o esforço de momento fletor causado pela protensão, causando efeitos de
segunda ordem. Isso implica na redução da carga última das peças.
Figura 18- Variação da excentricidade de uma cordoalha externa com e sem carga (http://bibing.us.es (acesso em 10 de fevereiro de 2016))
Com o objetivo de combater esses efeitos, é vantajoso o uso de desviadores,
como apresentado na Figura 19. Os desviadores mudam a trajetória do cabo e
minimizam os efeitos de segunda ordem.
31
Figura 19 – Desviador metálico (http://web.set.eesc.usp.br (acesso em 10 de fevereiro de 2016))
Para efeito de cálculo, a protensão externa pode ser avaliada como cabos
internos não aderentes, desde que sejam desprezadas as forças de atrito nos
desviadores e os efeitos de segunda ordem. (ALMEIDA, 2001)
As Vantagens do sistema de protensão externa são:
A ausência de bainhas facilita o processo construtivo, gerando agilidade na
construção, além de possibilitar a redução das seções transversais, resultando em
elementos estruturais mais leves e eficientes;
As perdas de protensão por atrito são reduzidas, podendo até ser desprezadas
no caso de cordoalhas engraxadas em tubos de polietileno;
Os cabos externos têm traçados mais simples, assim como sua verificação
após a instalação;
Por serem externos, os cabos são facilmente inspecionáveis e podem ser
reprotendidos ou até substituídos sem interromper a utilização da estrutura.
As desvantagens do sistema de protensão externa são:
Os cabos são expostos ao ambiente, estando sujeitos a incêndios, vandalismo
e a agressividade dos elementos químicos que causam corrosão e deterioração do
material;
As cordoalhas sofrem vibrações quando seu comprimento livre é muito grande,
logo precisam de um desenho cuidadoso e presença de desviadores;
Os desviadores são responsáveis por transmitir os esforços a estrutura, assim
sua instalação deve ser feita com muita precisão para evitar falhas ou danos na
estrutura;
32
3.4 “Stress Corrosion”
Um tipo específico de corrosão que ocorre em cabos tensionados é conhecida
na literatura técnica como “stress corrosion”. Lobo Carneiro (1974), define como a
corrosão penetrante e extremamente rápida, da superfície para o interior da cordoalha
na forma de fissuras finas. Esse fenômeno é localizado e se trata de um processo
eletroquímico com origem nas forcas eletromotrizes criadas por diferença na tensão
mecânica entre áreas muito próximas de uma mesma massa metálica. No “stress
corrosion” não há a formação de ferrugem, existe a propagação de fissuras
provocadas pelo contato de água com sais em aço sob tensão. A ruptura dos cabos
nesse tipo de falha, ocorre sem patamar de escoamento do material.
A fim de contornar o problema da corrosão sob tensão, deve ser usado um aço
não sensível a essa ação e procurar impermeabilizar a armadura para que não haja
contato com a água.
3.5 Perdas de protensão
As forças aplicadas nos cabos de protensão estão suscetíveis a perdas
instantâneas e progressivas, motivadas por diversos fatores, sendo esses:
Perdas por atrito entre os cabos e a bainha (instantânea)
Perdas por encunhamento (instantânea)
Perdas por deformação instantânea
Perdas de protensão devido a retração e fluência do concreto (progressivas)
Perdas pela relaxação dos cabos (progressivas)
3.5.1 Perdas por atrito
As perdas por atrito podem ser muito significativas em cabos longos ou com
grande variação angular dos mesmos.
33
A perda por atrito faz com que a força do cabo não seja uniforme ao longo do
comprimento da peça. A NBR6118:2014 considera a perda em função da posição de
acordo com a expressão:
∆𝑃 = 𝑃0(1 − 𝑒−(𝜇∑𝛼+𝑘𝛼𝑥))
(3.1)
onde:
Po - força aplicada no cabo pelo macaco;
ΔP(x) – perda da força na posição x devida ao atrito;
x- distância entre a seção avaliada e a ancoragem
∑α – soma do módulo dos ângulos de desvios do cabo em radiano entre a
seção de aplicação da protensão e onde a perda é calculada.
μ – coeficiente de atrito entre cabo e bainha
k – coeficiente de perda por metro devido à curvatura do cabo (usualmente
0,01 μ)
3.5.2 Perdas por encunhamento
A perda por encunhamento ocorre devido à acomodação do cabo de protensão
na cunha de ancoragem. Pois, após ser solto pelo macaco, o cabo sofre um
encurtamento até ser presa pela cunha. Esse encurtamento provoca uma perda na
força de protensão na região próxima aos apoios.
A Figura 20 mostra que o retorno do cabo devido ao recuo das ancoragens,
encontra resistência de atrito equivalente ao que atua na puxada do cabo, mas no
sentido contrário. A influência da perda de encunhamento é restrito a uma região da
viga. A perda é grande próximo à ancoragem e reduzida ao longo do comprimento.
Figura 20 – Tensão ao logo do cabo antes e após a ancoragem (CARVALHO, 2012)
34
Segundo Carvalho (2012), analisando um trecho dx do cabo tem-se:
𝜎 = 𝐸. 휀
(3.2)
휀 =∆(𝑑𝑥)
𝑑𝑥
(3.3)
Sendo 𝜎 a perda de protensão devido ao encunhamento e ∆(𝑑𝑥) o
encurtamento do cabo. Substituindo-se (3.3) em (3.2), tem-se:
𝜎 =
∆(𝑑𝑥)
𝑑𝑥𝐸
(3.4)
Rearranjando-se a expressão e integrando-a, encontra-se o valor do
encurtamento do cabo causado pela ancoragem.
∫ ∆(𝑑𝑥)𝐿
0
=1
𝐸∫ 𝜎𝑑𝑥𝐿
0
(3.5)
O recuo da ancoragem é obtido experimentalmente e usualmente fornecido
pelo fabricante. O valor médio usual é de 6mm.
3.5.3 Perdas por deformação instantânea
Ao se protender um cabo, a estrutura comprimida sofre um encurtamento. Em
peças com vários cabos, esse encurtamento faz que os cabos, previamente puxados,
se afrouxem. Assim, uma protensão feita em várias etapas faz com que os cabos
percam parte da sua tensão, sendo o primeiro o que sofre maior perda e o último
tenha perda nula.
3.5.4 Perdas diferidas
As perdas diferidas, ou perdas progressivas, dependem de fenômenos como
relaxação do aço, retração e deformação lenta do concreto. As deformações dadas
por esses fenômenos podem ser calculadas separadamente. Porém, deve ser levada
em conta a interação dessas causas onde ocorre variação das deformações com o
tempo (CARVALHO, 2012). A norma NBR6118:2014 prevê um procedimento de
35
cálculo dessas perdas, desde que haja compatibilidade de deformações entre
armadura e a peça protendida e que o concreto esteja no Estádio 1.
No caso de protensão não aderente, as perdas diferidas seriam calculadas
para a seção das ancoragens e, a favor da segurança, seria suposta constante em
toda peça estrutural (CARVALHO, 2012).
a) Retração
A retração ocorre no concreto por diminuição do volume causada pela perda de
água no concreto. A deformação sofrida depende da umidade relativa, temperatura
ambiente, dimensões da peça (área exposta) e da relação água/cimento.
b) Deformação Lenta
A deformação lenta é caracterizada pelo aumento da deformação ao longo do
tempo quando o concreto é submetido a um carregamento constante. Logo, as ações
acidentais não causam fluência. A norma NBR6118:2014 apresenta uma expressão
para o cálculo da fluência:
휀𝑐𝑐(𝑡, 𝑡0) =𝜎(𝑡0)
𝐸𝑐𝜑(𝑡, 𝑡0)
(3.6)
onde:
𝜎(𝑡0)- tensão aplicada ao concreto;
𝐸𝑐𝑠- Módulo de elasticidade secante do concreto em 28 dias
𝜑(𝑡, 𝑡0)- Coeficiente de fluência
c) Relaxação do aço
É uma propriedade do material na qual a tensão com o tempo é reduzida pelo
efeito do alongamento. Se o alongamento for mantido constante, tem-se a relaxação
pura. Porém, como é combinada com outros efeitos, como a retração e a fluência, a
perda real é menor que a calculada de maneira independente. A relaxação depende
das propriedades do material e da tensão que a armadura está submetida. A
expressão (3.7) indica o cálculo da relaxação para um dado tempo t.
𝜓(𝑡, 𝑡𝑜) =
∆𝜎𝑝𝑟(𝑡, 𝑡0)
𝜎𝑝𝑡
(3.7)
36
onde:
𝜓(𝑡, 𝑡𝑜)- coeficiente de relaxação do aço
∆𝜎𝑝𝑟(𝑡, 𝑡0)- perda de tensão por relaxação pura no intervalo de tempo de t a t0
𝜎𝑝𝑡- tensão de protensão considerando as perdas imediatas
3.6 Análise de estruturas protendidas
Apresenta-se nessa seção um método de cálculo das solicitações causadas
em decorrência dos esforços introduzidos pela protensão.
Para a determinação dos esforços como momento fletor, torçor, cortante e axial
são necessários parâmetros da estrutura como o material utilizado, geometria das
seções, condições de contorno, traçado dos cabos e força de protensão aplicada.
A análise de estrutura protendida é baseada em um sistema auto-equilibrado
de forças externas.
A Figura 21 apresenta o caso de uma viga isostática, retilínea com cabo de
excentricidade constante:
Figura 21- Protensão com excentricidade constante
De acordo com o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 22, a
compressão é igual a força de protensão e o momento é igual o produto da força de
protensão pela excentricidade. Conclui-se que as os esforços podem ser determinados
apenas considerando a força de protensão na seção em análise.
37
Figura 22- Diagrama de corpo livre
A variação da excentricidade faz com que exista além da compressão axial e
do momento fletor, um esforço cisalhante. A força introduzida na estrutura pode ser
decomposta na componente normal, que gera momento fletor, e uma componente que
gera esforço cortante, como mostrado na Figura 22.
Figura 23- Protensão com excentricidade variável
Diagrama de corpo livre:
Figura 24- Diagrama de corpo livre
De acordo com apresentado na Figura 24, o momento fletor pode ser calculado
em cada seção de acordo com as expressões:
∑𝑀0 = 0 → 𝑀(𝑥) + 𝑃. cos𝛼 . 𝑒𝑎 + 𝑃. sin𝛼 . 𝑥 = 0
(3.8)
tan𝛼 =
𝑒𝑥 − 𝑒𝑎𝑥
→ sin𝛼 =𝑒𝑥 − 𝑒𝑎𝑥
. cos 𝛼
(3.9)
38
Logo:
𝑀(𝑥) = −𝑃. cos𝛼 . 𝑒𝑥
(3.10)
Sendo assim, a força de protensão pode ser considerada como atuando
isoladamente produzindo os seguintes esforços:
𝑁(𝑥) = 𝑃. cos𝛼
(3.11)
𝑄(𝑥) = 𝑃. sin 𝛼
(3.12)
𝑀(𝑥) = −𝑃. cos𝛼 . 𝑒𝑥
(3.13)
As forças de protensão, em estruturas isostáticas, produzem apenas esforços
internos na estrutura, não despertando reações de apoio. E em vigas com cabos com
traçados poligonais na região dos desviadores, as mudanças súbitas na direção do
cabo geram forças pontuais na estrutura, como pode ser verificado pelas equações de
equilíbrio.
Figura 25- Protensão com cabos poligonais
A partir de um equilíbrio nodal das cargas no ponto onde há mudança da
direção dos cabos, pode ser verificado que as forças concorrentes em um ponto
geram uma força resultante. Em estruturas de cabos poligonais, para a análise
estrutural, os cabos podem ser substituídos por um sistema de forças equivalentes a
protensão, de acordo com as expressões:
𝐹𝑥 = 𝑃 cos𝛼𝑏 − 𝑃 cos𝛼𝑎
(3.14)
𝐹𝑦 = 𝑃 sin𝛼𝑏 + 𝑃 sin𝛼𝑎
(3.15)
𝑀𝑧 = 𝐹𝑥 . 𝑒
(3.16)
39
4. Viga mista protendida
O presente capítulo apresenta considerações sobre vigas mistas com
protensão externa e um roteiro de cálculo, considerando as normas brasileiras
NBR6118:2014 e NBR8800:2008 e estudos apresentados na revisão bibliográfica do
trabalho.
Apresenta-se uma adaptação do roteiro de cálculo da NBR8800 para vigas
mistas de aço e concreto, acrescentando-se os esforços provenientes da força de
protensão. Faz-se necessária, também, a verificação da estabilidade local e global da
estrutura, após a inclusão da compressão excêntrica nas vigas proporcionada pelos
cabos protendidos.
Como foi mencionado em capítulos anteriores, a norma admite dois tipos de
dimensionamento para vigas mistas: pela distribuição plástica ou pela distribuição
elástica das tensões. Em função da esbeltez dos perfis em aço. As seções compactas
são dimensionadas pela distribuição plástica de tensões. As demais devem ser
verificadas pela distribuição elástica. A distribuição de tensões depende do método
construtivo e das etapas de carregamento.
4.1 Premissas adotadas para o dimensionamento
O trabalho consiste em apresentar a aplicação de protensão em pontes de
vigas biapoiadas, não compactas, com o uso de cordoalha engraxada de traçado
poligonal.
Por se tratar de protensão não aderente, não há transferência de cisalhamento
longitudinal entre os cabos e a viga, exceto nos pontos de ancoragem.
Considera-se que a viga mista de aço e concreto protendido é formada por dois
sistemas paralelos que interagem entre si. Com isso, a viga mista pode ser
dimensionada da mesma forma que vigas mistas convencionais com a adição dos
esforços provenientes da protensão. (NUNZIATA, 2004)
As verificações dos estados limites que devem ser efetuadas são:
40
a) Estados limites últimos:
Resistência ao momento fletor, força cortante, e interação entre momento fletor
e força cortante.
Estabilidade: flexo-compressão, flambagem distorcional e flambagem local
Falha devida aos conectores de cisalhamento
b) Estados limites de serviço
Análise de tensões
Deformação
Fissuração na laje
Fadiga do aço
Para fins de simplificação, o estudo apresentado restringir-se-á a aplicação às
vigas de pontes usuais biapoiadas, sendo adotadas as seguintes premissas:
As vigas de aço apresentam com seção tipo I;
Seções não compactas: usualmente para vigas de pontes são usadas vigas
altas e esbeltas. Por esse motivo, a análise é feita considerando a distribuição elástica
de tensões na seção;
Interação total entre aço e concreto: a compatibilidade de deformação entre os
dois componentes é dada pelo dimensionamento do número adequado de conectores;
Vigas não-escoradas;
Viga travada lateralmente: as transversinas não permitem a perda de
estabilidade global da estrutura;
Viga biapoiada: solicitada apenas por momentos fletores positivos;
Viga submetida à pós-tração (após o endurecimento da laje de concreto).
4.2 Influência de métodos construtivos
Os métodos construtivos podem alterar a distribuição de tensões na viga mista
de aço e concreto protendido.
Quanto ao momento de aplicação da protensão, a viga pode ser classificada
como pré-tracionada ou pós-tracionada. A força de protensão deve ser aplicada após
o concreto adquirir a resistência necessária para não haver ruptura do material, ou
seja, quando já houver o comportamento de estrutura mista da seção.
41
A Figura 26 apresenta a distribuição típica de tensões em vigas submetidas a
momentos fletores positivos com o uso da pré-tração. As etapas de carregamento são
dadas por:
a) Viga de aço isolada:
1. Peso próprio da viga de aço;
2. Protensão dos cabos de aço;
3. Peso próprio da laje de concreto;
4. Incremento na carga de protensão devido ao peso próprio da laje.
b) Viga mista
5. Cargas permanentes (g2: pavimento, recapeamento e guarda rodas):
Considerando os efeitos de fluência no módulo de elasticidade do concreto.
6. Cargas móveis (Trem tipo classe 45): Considerando o módulo de elasticidade
secante do concreto.
Figura 26 – Tensões nas diversas fases de carregamento de vigas mistas pré-
tracionadas (NELSEN, 2013)
A Figura 27 apresenta a distribuição típica de tensões em vigas submetidas a
momentos fletores positivos com o uso da pós-tração. As etapas de carregamento são
dadas por:
a) Viga de aço isolada:
1. Peso próprio da viga de aço;
2. Peso próprio da laje de concreto;
42
b) Viga mista
3. Cargas permanentes (g2: pavimento, recapeamento e guarda rodas):
Considerando os efeitos de fluência no módulo de elasticidade do concreto
4. Protensão dos cabos de aço;
5. Cargas móveis (trem tipo classe 45): Considerando o módulo de elasticidade
secante do concreto.
Figura 27- Tensões nas diversas fases de carregamento de vigas mistas pós-
tracionadas (NELSEN, 2013)
4.3 Força de protensão
A força inicial de protensão deve causar tensões na viga de aço inferiores à
tensão admissível, 𝜎𝑦𝑐, e inferiores à tensão que provoque fissuração na laje ou
excesso de compressão. Essa condição deve ser satisfeita tanto na fase construtiva
quanto na de utilização. (NUNZIATA, 2004)
4.3.1 Determinação da força de protensão
Devem ser analisados os limites de tensão de tração e compressão na fibra
inferior e superior do aço (𝜎𝑦𝑡, 𝜎𝑦𝑐), e na fibra superior do concreto (𝜎𝑐𝑐, 𝜎𝑐𝑡).
A tensão de protensão 𝜎𝑝0 é calculada conforme prescrito pela norma
NBR6118:2014.
43
Como as perdas por atrito em cordoalhas engraxadas são muito baixas, para a
estimativa de número de cabos, as perdas podem ser desprezadas. Já as perdas
diferidas, para uma avaliação preliminar, podem ser estimadas em 15% da força inicial
de protensão.
Os números de cabos devem ser estimados a partir da tensão limite de tração
e compressão do aço e do concreto (NUNZIATA, 2004). Assim:
Mesa inferior:
- No ato da protensão:
𝜎𝑦𝑐 ≤
𝑀𝑔1
𝑊𝑖+ 𝐹𝑝0 ×𝑁 (−
1
𝐴𝑚−
𝑒
𝑊𝑖𝑚) ≤ 𝜎𝑦𝑡
(4.1)
- Carregamento total, t=0:
𝜎𝑦𝑐 ≤
𝑀𝑔1
𝑊𝑖+𝑀𝑔2
𝑊𝑖𝑚𝑓+𝑀𝑐𝑚𝑊𝑖𝑚
+ 𝐹𝑝0 × 𝑁(−1
𝐴𝑚−
𝑒
𝑊𝑖𝑚) ≤ 𝜎𝑦𝑡 (4.2)
- Carregamento total, t=∞:
𝜎𝑦𝑐 ≤
𝑀𝑔1
𝑊𝑖+𝑀𝑔2
𝑊𝑖𝑚𝑓+𝑀𝑐𝑚𝑊𝑖𝑚
+ 𝐹𝑝∞ × 𝑁(−1
𝐴𝑚𝑓−
𝑒
𝑊𝑖𝑚𝑓) ≤ 𝜎𝑦𝑡
(4.3)
Mesa superior:
- No ato da protensão:
𝜎𝑦𝑐 ≤ −
𝑀𝑔1
𝑊𝑠+ 𝐹𝑝0 × 𝑁(−
1
𝐴𝑚+
𝑒
𝑊𝑠𝑚) ≤ 𝜎𝑦𝑡
(4.4)
- Carregamento total, t=0:
𝜎𝑦𝑐 ≤ −
𝑀𝑔1
𝑊𝑠−𝑀𝑔2
𝑊𝑠𝑚𝑓−𝑀𝑐𝑚𝑊𝑠𝑚
+ 𝐹𝑝0 × 𝑁 (−1
𝐴𝑚+
𝑒
𝑊𝑠𝑚) ≤ 𝜎𝑦𝑡
(4.5)
- Carregamento total, t=∞:
𝜎𝑦𝑐 ≤ −
𝑀𝑔1
𝑊𝑠−𝑀𝑔2
𝑊𝑠𝑚𝑓−𝑀𝑐𝑚𝑊𝑠𝑚
+ 𝐹𝑝∞ × 𝑁(−1
𝐴𝑚𝑓+
𝑒
𝑊𝑠𝑚𝑓) ≤ 𝜎𝑦𝑡
(4.6)
44
Na laje:
- No ato da protensão:
𝜎𝑦𝑐 ≤ 𝐹𝑝0 × 𝑁(−
1
𝛼0. 𝐴𝑚+
𝑒
𝑊𝑐 𝑚) ≤ 𝜎𝑦𝑡
(4.7)
- Carregamento total, t=0:
𝜎𝑦𝑐 ≤ −
𝑀𝑔2
𝑊𝑐,𝑚𝑓−𝑀𝑐𝑚𝑊𝑐,𝑚
+ 𝐹𝑝0 × 𝑁(−1
𝛼0. 𝐴𝑚+
𝑒
𝑊𝑐,𝑚) ≤ 𝜎𝑦𝑡
(4.8)
- Carregamento total, t=∞:
𝜎𝑦𝑐 ≤ −
𝑀𝑔2
𝑊𝑐,𝑚𝑓−𝑀𝑐𝑚𝑊𝑐,𝑚
+ 𝐹𝑝∞ × 𝑁(−1
𝛼∞. 𝐴𝑚𝑓+
𝑒
𝑊𝑐,𝑚𝑓) ≤ 𝜎𝑦𝑡
(4.9)
𝐴𝑚 = 𝐴𝑎ç𝑜 +
𝐴𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝛼0
(4.10)
𝐴𝑚𝑓 = 𝐴𝑎ç𝑜 +
𝐴𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝛼∞
(4.11)
onde:
e – excentricidade do cabo em relação ao centróide da viga mista;
N – número de cordoalhas de protensão;
𝐹𝑝0- força de protensão de uma cordoalha considerando perdas iniciais;
𝐹𝑝∞- força de protensão de uma cordoalha considerando perdas diferidas;
𝐴𝑚- área da viga mista homogeneizada para cargas de curta duração;
𝐴𝑚𝑓- área da viga mista homogeneizada para cargas de longa duração;
𝛼0- relação entre módulos de elasticidade aço e concreto para cargas de curta
duração;
𝛼∞- relação entre módulos de elasticidade aço e concreto para cargas de longa
duração;
Mg1 – momento fletor devido ao peso próprio (viga+laje);
Mg2 – momento fletor devido as demais cargas permanentes;
Mcm – momento fletor devido a cargas móveis;
𝑊𝑖𝑚𝑓 – módulo resistente inferior da seção mista para cargas de longa
duração;
𝑊𝑠𝑚𝑓 – módulo resistente superior da seção mista para cargas de longa
duração;
45
𝑊𝑖𝑚 – módulo resistente inferior da seção mista para cargas de curta duração;
𝑊𝑠𝑚 – Módulo resistente superior da seção mista para cargas de curta duração.
O número de cabos “N” e a excentricidade “e” são calculados de acordo com a
Figura 28.
Figura 28 – Excentricidade dos cabos
A partir do rearranjo das equações, chegam-se aos valores limites para o
número de cordoalhas nas diversas seções da estrutura.
4.3.2 Força cortante devida à protensão
Nas vigas de aço protendidas têm-se a força cortante proveniente dos
carregamentos externos e da força de protensão. Em cabos de traçado poligonal,
esses esforços são aplicados nos desviadores e seu valor é dado pela componente
vertical da força de protensão, tal que:
𝑉𝑝 = 𝑃 ∙ sen𝛼
(4.12)
onde:
P- força de protensão;
𝛼- ângulo de inclinação do cabo.
Conforme apresentado no item 3.6, quando há uma variação da excentricidade
do cabo, o ângulo formado entre o cabo e a horizontal faz com que a força tenha duas
componentes. Na Figura 29, pode-se observar que, na composição de vetores de
força, a força de protensão P corresponde à soma vetorial de uma componente vertical
com uma componente horizontal.
46
Figura 29- Influência da protensão no esforço cortante (NELSEN, 2013)
A força cortante é calculada nas duas fases de carregamento: no ato da
protensão (apenas com o carregamento de peso próprio e sobrecarga permanente) e
na fase de utilização (considerando a sobrecarga acidental) (NUNZIATA, 2004). As
expressões (4.13) e (4.14) exprimem tais esforços:
𝑉𝑅0 = 𝑉0 + 𝛾𝑝. 𝑃. sen𝛼
(4.13)
𝑉𝑅1 = 𝑉1 + 𝛾𝑝. 𝑃. sen𝛼
(4.14)
onde:
𝑉𝑅0- força cortante resultante no ato da protensão;
𝑉𝑅1- força cortante resultante na fase de utilização;
𝑉0- força cortante devido às cargas permanentes (g1+g2);
𝑉1- força cortante devido às cargas de utilização da estrutura.
4.4 Perdas de protensão
O capítulo 3 apresentou, de forma generalizada, as possíveis perdas de
protensão. As perdas de protensão em vigas mistas com o uso de cordoalhas
engraxadas são muito limitadas, pois o aço não apresenta deformação lenta e
retração. Embora as cordoalhas sejam engraxadas, as perdas por atrito ocorrem por
variação angular, conforme indicado no item 9.6.3.3.2.2 da NBR6118:2014. As perdas
por deformação instantânea na viga também pode ser desconsiderada, pois
representa uma perda de menos de 1% na força inicial de puxada. No entanto, há uma
perda localizada na região dos desviadores que deve ser considerada.
47
As principais perdas de força de protensão que serão consideradas no presente
trabalho são:
a) Perdas por atrito nos desviadores;
b) Perdas por encunhamento;
c) Perdas por relaxação dos cabos.
4.4.1 Perdas por atrito nos desviadores
A protensão em vigas de aço tem traçados retos com mudanças súbitas de
direção. As cordoalhas são engraxadas e isso faz com que as perdas parasitas e as
perdas por atrito entre o cabo e a bainhas sejam insignificantes.
As perdas acontecem pontualmente, na região dos desviadores. A expressão
para o cálculo do efeito da perda é semelhante à das perdas por atrito, porém não leva
em consideração as perdas parasitas (PERLINGEIRO, 2006), tal como mostra a
expressão a seguir:
𝑃𝐵 = 𝑃𝐴. 𝑒−(𝜇.𝛼)
(4.15)
onde:
PA é a força de protensão antes do desviador;
PB é a força de protensão após do desviador;
μ é o coeficiente de atrito.
4.4.2 Perdas por encunhamento
A perda por encunhamento é dada pela acomodação das ancoragens no
momento da transferência da força de protensão para ancoragem. O valor do recuo
das cunhas é fornecido pelo fabricante e depende também do diâmetro das
cordoalhas. O deslocamento pode ser estimado em 6mm.
A Figura 30 mostra que há um deslocamento (acomodação) das clavetes após
o macaco soltar as cordoalhas. Esse deslocamento gera uma perda de tensão nas
cordoalhas.
48
Figura 30- Sistema de ancoragem de um cabo de protensão, antes e depois das
perdas (PERLINGEIRO, 2006)
As tensões nas cordoalhas, a partir da ancoragem, obedecem a mesma
variação de tensão que caracteriza a perda por atrito, porém em sentido oposto. A
Figura 31 mostra que a distribuição de tensões é rebatida em relação a um eixo. A
área hachurada é dada por:
𝑆 = 𝐸𝑠. 𝛿
(4.16)
onde:
Es – módulo de elasticidade do aço;
𝛿- recuo da ancoragem.
Figura 31- Perda por acomodação da ancoragem (PERLINGEIRO, 2006)
49
4.4.3 Perdas por relaxação dos cabos
A relaxação corresponde a um alivio de tensão nos cabos, mesmo mantidos
com deformação ou comprimento constante, perdendo, assim, a força de tração ao
longo do tempo. A NBR6118 determina que a perda pode ser determinada pelo
coeficiente:
𝜓(𝑡, 𝑡0) =
∆𝑝
𝐹𝑝0
(4.17)
sendo:
Fp0 - força de protensão após as perdas imediatas;
∆𝑝 - perda de protensão devida à relaxação dos cabos.
A Figura 32 apresenta o gráfico 𝜎 × 𝑡 (variação de tensão ao longo do tempo)
para um elemento de aço com comprimento constante. Conforme ilustrado, a tensão
diminui até estabilizar em um patamar.
Figura 32- Fenomeno de relaxação no aço (HANAI, 2005)
A norma permite considerar a tempo infinito 𝜓(𝑡, 𝑡0) = 2,5𝜓1000. Onde 𝜓1000 é a
relaxação de fios e cordoalhas após 1000h a 20 oC. Os valores para 𝜓1000, dependem
da tensão no cabo e o tipo (relaxação normal e relaxação baixa), de acordo com a
Tabela 1:
50
Tabela 1 - Valores de 𝜓1000 (NBR6118:2014)
𝜎𝑝0 Cordoalhas Fios
Barras RN RB RN RB
0,5. 𝑓𝑝𝑡𝑘 0 0 0 0 0
0,6. 𝑓𝑝𝑡𝑘 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5
0,7. 𝑓𝑝𝑡𝑘 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0
0,8. 𝑓𝑝𝑡𝑘 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0
Nota: RN – relaxação normal; RB – relaxação baixa.
Atualmente, as cordoalhas de 7 fios são fabricadas apenas na condição de
relaxação baixa.
A perda da força de protensão devida à relaxação do aço é dada por:
∆𝑝 = 2,5.𝜓1000. 𝐹𝑝
(4.18)
Sendo assim, a perda imediata de protensão é dada pelas perdas por atrito e
encunhamento. Para o cálculo das perdas totais, são somadas as perdas por
relaxação do aço.
4.5 Flexo-compressão
Após a protensão, a viga passa a ser solicitada tanto à flexão devido aos
carregamentos verticais e aos cabos de protensão, quanto à compressão axial devido
à força de protensão. A combinação dessas solicitações pode levar a viga ao colapso
por: flambagem por flexão; flambagem por torção e flambagem local das chapas.
Todas essas verificações devem ser efetuadas quando se trata de vigas pré-
tracionadas.
Já para vigas pós-tracionadas, a laje de concreto faz com que haja uma
contenção lateral na mesa superior da viga que limita o efeito da flambagem torcional
lateral. Além disso, quando a viga tende a se deslocar lateralmente, o cabo da face
oposta sofrerá um alongamento produzido pelo acréscimo de tensão e criando uma
resistência ao deslocamento lateral da viga, o que faz com que ela tenda a voltar para
sua posição inicial. Isso faz com que a viga mista protendida não seja muito afetada
pela compressão imposta ao perfil, quando é feito o uso da pós-tração.
51
Além disso, em vigas de pontes, é comum a existência de transversinas ao
longo do vão que criam pontos de apoio que diminuem a instabilidade à flambagem
lateral dessas vigas.
A Figura 33 ilustra a tendência de estabilização à flambagem torcional de vigas
protendidas quando existem cabos nas duas faces da alma da viga em perfil I.
Figura 33- Distorção lateral em vigas mistas protendidas (FERREIRA, 2007)
4.6 Deformação vertical
As deformações devem ser limitadas, de acordo com recomendações
normativas. A protensão excêntrica, abaixo da linha neutra da viga, faz com que haja
deslocamentos verticais contra o sentido dos deslocamentos provocados pelas ações
atuantes, ou seja, a protensão produz uma contra-flecha na viga e reduz as
deformações verticais causadas pelas demais ações. O deslocamento máximo gerado
por uma força de protensão excêntrica em um vão isostático biapoiaddo pode ser
determinado por:
𝛿𝑝 =
𝑃. 𝑒. 𝐿2
8𝐸𝑠. 𝐼
(4.19)
onde:
P- força de protensão;
e- excentricidade do cabo em relação ao centróide da viga mista;
L- comprimento do vão;
Es- módulo de elasticidade do aço;
I – momento de inércia da viga mista.
52
5. Critérios de verificação
Para o dimensionamento e verificação das vigas mistas em aço e concreto em
pontes rodoviárias, são utilizadas as seguintes normas:
NBR6118:2014 – Projeto de estruturas em concreto – Procedimento
NBR8800:2008 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e
concreto de edifícios
NBR7187:2003 – Projeto e execução de pontes de concreto armado e
protendido
NBR7188:2013 – Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos,
passarelas e outras estruturas
AASHTO- Standard Specifications for highway Bridges - 17th Edition 2002
5.1 Carregamentos adotados
As diversas ações em estruturas de pontes são definidas na NBR7187:2003. Em
se tratando de superestrutura, as cargas de peso próprio, sobre cargas permanentes e
as cargas acidentais são, em pontes isostáticas, as principais ações para verificação e
dimensionamento dos elementos estruturais.
Peso próprio (g1):
Para a avaliação das cargas devidas ao peso próprio da laje em concreto, deve
ser tomado um peso específico do material de 25𝑘𝑁/𝑚3. Para as vigas em aço
estrutural, o peso especifico dos elementos é de 78,5𝑘𝑁/𝑚3.
Sobrecargas permanentes (g2):
A pavimentação asfáltica deve ter, no mínimo, 7,00cm de espessura. Seu peso
específico é de 𝛾 = 24𝑘𝑁/𝑚3. Deve ser previsto um recapeamento com uma carga
equivalente de 2,0𝑘𝑁/𝑚2.
São considerados, também, os guarda-rodas, no padrão New-Jersey, com
geometria normatizada, e uma carga aproximada de 6kN/m.
53
Cargas móveis:
A NBR7188 define o TB-45 como carga móvel rodoviária padrão. O TB-45 é
constituído por um veículo de 450kN, com três eixos afastados entre si de 1,5m e
ocupando uma área de 18m2, conforme apresentado na Figura 34. Ao redor do
veículo-tipo é aplicada uma carga de multidão de 5kN/m2 nas posições mais
desfavoráveis.
Figura 34- Disposição das cargas estáticas (NBR7188:2013)
A norma permite que seja feita a homogeneização do trem-tipo, reduzindo a
carga das rodas de 75kN para 60kN e não interrompendo a carga de multidão na
região do veículo-tipo.
As cargas móveis devem ser majoradas por coeficientes de impacto para
representar a ação dinâmica atuante na estrutura.
O coeficiente é dado pela multiplicação de três fatores:
𝜑 = (𝐶𝐼𝑉) × (𝐶𝑁𝐹) × (𝐶𝐼𝐴)
(5.1)
onde:
CIV- Coeficiente de impacto vertical, calculado como:
54
𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 (
20
𝐿𝑖𝑣 + 50) ≤ 1,35
(5.2)
sendo:
Liv o comprimento do vão (para estruturas isostáticas e em balanço) ou a
média aritmética dos vãos (para pontes contínuas), em metros.
CNF- Coeficiente de número de faixas, expresso por:
𝐶𝑁𝐹 = 1 − 0,05(𝑛 − 2) ≥ 0,9
(5.3)
onde n é o número de faixas a serem carregadas sobre o tabuleiro.
CIA – Coeficiente de impacto adicional
CIA=1,25 para obras em concreto ou mistas.
As cargas móveis devem ser majoradas nas juntas estruturais e na
extremidade da obra até uma distância de 5m dessas descontinuidade.
5.2 Análise estrutural
Em superestrutura de pontes de seção aberta, com baixa rigidez à torção, as
cargas permanentes são praticamente simétricas e não induzem à torção. Sendo
assim, os carregamentos de peso próprio e pavimentação podem ser divididos
igualmente entre as vigas.
As cargas móveis podem estar posicionadas de maneira excêntrica,
despertando a torção da superestrutura. A distribuição transversal dos carregamentos
na ponte é avaliada pelo Método de Engesser-Courbon. O método considera que o
posicionamento não centrado das cargas móveis causa flexão diferenciada em cada
longarina. Segundo o método de Courbon, a seção transversal se deforma como corpo
rígido sobre apoios elásticos com mesma rigidez.
O método é válido apenas quando as longarinas são paralelas, ligadas entre si
por transversinas de inércia constante.
55
A reação em uma viga para uma carga unitária aplicada na posição “i” e
absorvida pela viga “j” é expressa por:
𝑅𝑖,𝑗 =
1
𝑛+𝑥𝑖 . 𝑥𝑗∑𝑥2
(5.4)
onde:
n- número de longarinas;
xi= distância do eixo do tabuleiro até a carga unitária aplicada;
xj=posição da longarina onde é analisada a distribuição transversal.
Sendo assim, serão usados modelos unifilares independentes para avaliação
dos esforços na viga. De acordo com o método, a viga mais carregada é a de
extremidade.
A análise estrutural dos esforços de protensão é feita como apresentado no
item 3.6, aplicando os esforços provenientes da protensão nas ancoragens e nos
desviadores.
5.3 Verificação estrutural
5.3.1 Esbeltez dos perfis
De acordo com a NBR8800:2008, os perfis devem ser dimensionados
considerando a distribuição elástica ou plástica das tensões de acordo com a esbeltez
da alma.
Para que possa ser considerada, no estado limite último, a plástificação da
seção de aço, a alma deve ser compacta, ou seja, sua esbeltez (λ) deve ser menor
que a esbeltez limite para seções compactas (λp), de acordo com a expressão (5.5).
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤≤ 𝜆𝑝 = 3,76
ℎ
ℎ𝑝 √𝐸𝑠𝑓𝑦𝑘
(5.5)
As vigas não devem ser esbeltas. Logo, as vigas mistas têm a esbeltez da
alma limitada por:
56
𝜆 =ℎ
𝑡𝑤≤ 𝜆𝑟 = 5,70 √
𝐸𝑠𝑓𝑦𝑘
(5.6)
As vigas com esbeltez entre 𝜆𝑝 e 𝜆𝑟 são consideradas semi-compactas e para
a verificação e dimensionamento, a distribuição de tensões em sua seção transversal
deve obedecer ao regime elástico.
5.3.2 Análise de tensões
Usualmente, as vigas de pontes, por vencer grandes vãos, são altas e as
almas possuem grande esbeltez, sendo assim, segundo a NBR8800, deve ser
analisada a distribuição elástica de tensões. No estado limite último, a tensão deve ser
limitada a fyd para o aço e o concreto deve ser limitado a 0,85fcd. Essas limitações
devem ser respeitadas independente do uso da protensão.
Para as vigas não escoradas, as tensões podem ser calculadas por:
Mesa inferior:
𝜎𝑖,𝑑 =
𝛾.𝑀𝑔1
𝑊𝑖+𝛾.𝑀𝑔2
𝑊𝑖𝑚𝑓+𝛾.𝑀𝑐𝑚𝑊𝑖𝑚
−𝛾.𝑁𝑝
𝐴𝑚−𝛾.𝑀𝑝
𝑊𝑖𝑚𝑓< 𝑓𝑦𝑑
(5.7)
Mesa superior:
𝜎𝑠,𝑑 = −
𝛾.𝑀𝑔1
𝑊𝑠−𝛾.𝑀𝑔2
𝑊𝑠𝑚𝑓−𝛾.𝑀𝑐𝑚𝑊𝑠𝑚
−𝛾.𝑁𝑝𝐴𝑚
+𝛾.𝑀𝑝𝑊𝑠𝑚𝑓
< 𝑓𝑦𝑑
(5.8)
Laje de concreto:
𝜎𝑐,𝑑 = −
𝛾.𝑀𝑔2
𝑊𝑐𝑓−𝛾.𝑀𝑐𝑚𝑊𝑐
−𝛾.𝑁𝑝
𝛼. 𝐴𝑚+𝛾.𝑀𝑝
𝑊𝐶< 0,85𝑓𝑐𝑑
(5.9)
Entretanto, se as vigas forem escoradas, as expressões são modificadas para:
Mesa inferior:
𝜎𝑖,𝑑 =
𝛾. (𝑀𝑔1 +𝑀𝑔2)
𝑊𝑖𝑚𝑓+𝛾.𝑀𝑐𝑚𝑊𝑖𝑚
−𝛾.𝑁𝑝
𝐴𝑚−𝛾.𝑀𝑝
𝑊𝑖𝑚𝑓< 𝑓𝑦𝑑
(5.10)
57
Mesa superior:
𝜎𝑠,𝑑 = −
𝛾(𝑀𝑔1 +𝑀𝑔2)
𝑊𝑠𝑚𝑓−𝛾.𝑀𝑐𝑚𝑊𝑠𝑚
−𝛾.𝑁𝑝𝐴𝑚
+𝛾.𝑀𝑝𝑊𝑠𝑚𝑓
< 𝑓𝑦𝑑
(5.11)
Laje de concreto:
𝜎𝑐,𝑑 = −
𝛾(𝑀𝑔1 +𝑀𝑔2)
𝑊𝑐𝑓−𝛾.𝑀𝑐𝑚𝑊𝑐
−𝛾.𝑁𝑝𝛼. 𝐴𝑚
+𝛾.𝑀𝑝𝑊𝐶
< 0,85𝑓𝑐𝑑
(5.12)
Em perfis I, admite-se que toda tensão de cisalhamento é absorvida pela alma
do perfil, calculada com:
𝜏 =
𝑉
𝑡𝑤. ℎ
(5.13)
onde V é o esforço cortante atuante.
E considerando que a alma esteja devidamente enrijecida por enrijecedores
transversais, a tensão de cisalhamento máxima é dada por:
𝜏𝑚á𝑥 ≤
𝑓𝑦𝑘
√3
(5.14)
No caso de haver esforços combinados de força cortante e momento fletor, é
necessária a verificação em conjunto, a partir de esforços concomitantes para a
situação, no ato da protensão e na fase de utilização. Aplicando o critério de Von
Mises (NUNZIATA, 2004), a tensão normal combinada pela atuação simultânea
desses esforços é determinada a partir da equação:
𝜎𝑖𝑑 = √𝜎2 + 3𝜏2 ≤ 𝑓𝑦𝑘
(5.15)
58
5.3.3 Esforço cortante e estabilidade dos painéis enrijecidos
As vigas devem ser enrijecidas se:
ℎ
𝑡𝑤> 150
(5.16)
O espaçamento máximo é dado por:
𝑎 < ℎ(260
ℎ𝑡𝑤
)
2
(5.17)
sendo “a” o espaçamento entre enrijecedores.
Definida a distância entre os enrijecedores, a força cortante resistida pela alma
é dada pelos critérios da AASHTO-LRFD (2012), conforme disposto no item 2.6. A
partir da verificação da força resistente, deve ser verificada a condição de estabilidade
para as diversas seções da viga, para o esforço cortante e a interação entre tensões
cisalhantes e tensões normais.
5.3.4 Dimensionamento dos conectores
O dimensionamento dos conectores é feito garantindo a interação total entre a
viga de aço e a laje de concreto. Para que seja garantida a transmissão integral dos
esforços da laje para a viga, é necessário que a resistência última dos conectores seja
superior ao limite de resistência da seção.
Deve ser verificada a resistência à fadiga limitada por um número de ciclos
igual a 2x106, de acordo com o item 2.3.1 desse trabalho. A fadiga depende da
variação de tensão na viga, que é dado pelas cargas acidentais.
59
5.4 Verificação da fadiga
Para a combinação de esforços frequentes, aplica-se um fator de redução de
carga móvel de 0,5 para longarinas de até 100m, considerando um número de ciclos
igual a 2x106.
A tensão limite a ser verificada na ligação das chapas por soldas continuas é
de:
𝜎𝑓𝑎𝑑 < 𝜎𝑇𝐻 = 110𝑀𝑃𝑎
(5.18)
Nas emendas de vigas, a tensão será limitada por:
𝜎𝑓𝑎𝑑 < 𝜎𝑇𝐻 = 110𝑀𝑃𝑎
(5.19)
Para as ligações com os enrijecedores transversais, com solda de entalhe de
penetração total, a tensão deve ser limitada por:
𝜎𝑓𝑎𝑑 < 𝜎𝑇𝐻 = 69𝑀𝑃𝑎
(5.20)
5.5 Verificação da deformação
De acordo com a norma AASTHO, o limite de deslocamento para pontes
rodoviárias é de L/800, apenas para carga móvel. Deve ser prevista uma contra-flecha
que anule a deformação para a carga permanente.
60
6. Exemplo Prático
Nesse capítulo é apresentado o exemplo de uma superestrutura de ponte
rodoviária com vigas mistas biapoiadas, baseada na publicação do CBCA(2007),
“Pontes e viadutos de vigas mistas”. Em seguida, apresentam-se as observações e
conclusões a partir dos resultados obtidos.
O principal objetivo é a avaliação do ganho de capacidade portante, com a
mesma viga, aplicando-se protensão, observando-se as limitações de tensão
indicadas por norma.
Posteriormente, são avaliadas as possibilidades de redução nas dimensões do
perfil metálico com o uso da protensão, respeitando-se as limitações de tensões,
visando diminuir o peso de aço.
6.1 Características geométricas
A superestrutura de ponte exemplificada é composta por um único vão
isostático, biapoiado, com 39,4m de comprimento e largura total de 13 m. A ponte é
formada por quatro vigas de aço ASTM A588, com seção variável: um perfil com
maiores flanges no meio do vão e outro mais leve próximo aos apoios.
Transversalmente, as vigas se apresentam igualmente espaçadas a cada 3,5 m, com
balanços de 1,25 m, conforme apresentado na Figura 36.
As Figuras 35 e 36 ilustram as vistas longitudinal e transversal da estrutura.
Figura 35- Vista longitudinal (dimensões em mm)
A laje de 22,5 cm de espessura, de concreto cuja resistência característica à
compressão é de 25 MPa.
61
Figura 36- Seção transversal (dimensões em cm)
6.2 Seção transversal das longarinas
As longarinas do projeto da publicação do CBCA são formadas por dois tipos de
perfis, sendo os perfis de dimensões menores dispostos nos trechos próximos aos
apoios, devido à redução da solicitação de flexão nessas regiões. As vigas metálicas
apresentam as dimensões ilustradas na Figura 37. O perfil 1 é usado nos 24m centrais
do vão, e o perfil 2 nos demais trechos, com mesma alma, porém com flanges
reduzidas.
Figura 37- Seção transversal das vigas soldadas (dimensões em mm)
2,925 m2
62
6.3 Carregamentos
Pode-se considerar que os principais carregamentos para o dimensionamento
de uma superestrutura de ponte são:
Peso próprio (g1)
Sobrecargas permanentes (g2)
Cargas móveis (CM)
6.3.1 Peso próprio
As cargas permanentes não despertam efeitos de torção na superestrutura da
ponte, sendo assim, o peso próprio total da seção dividido igualmente entre as vigas.
A norma NBR7187:2003, em seu item 7.1.1, recomenda para o peso específico
do concreto armado o valor de 25 𝑘𝑁/𝑚3. A área da seção transversal da laje é de
2,925 m2, sendo a espessura de concreto estrutural 22,5 cm. A carga linear de
concreto a ser aplicada em uma viga é de ¼ do produto da área de concreto pelo peso
específico, logo:
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 =25 × 2,925
4= 18,30 𝑘𝑁/𝑚
Para o aço estrutural, a NBR8800 recomenda que seja adotado, para efeito de
cálculo, o peso específico de 78,5 kN/m3. A carga distribuída de peso próprio foi obtida
a partir da área da seção da viga com maiores dimensões (642,9 cm2). Assim, o
carregamento uniformemente distribuído é de:
𝑞𝑎ç𝑜 = 78,5 × 0,06429 = 5,00 𝑘𝑁/𝑚
O peso próprio total da estrutura é de:
𝑞𝑔1 = 18,30 + 5,00 = 23,30 𝑘𝑁/𝑚
A Figura 38 ilustra a viga com o carregamento aplicado.
Figura 38- Carregamento de peso próprio (SAP2000)
63
6.3.2 Cargas permanentes
A norma NBR7188:2013 recomenda, em seu item 7.1.2, que seja considerado
para o pavimento o valor de 24 kN/m3 de peso específico. Sendo assim, para 10 cm de
pavimentação, distribui-se a carga igualmente entre as quatro vigas, tal que:
𝑞𝑝𝑎𝑣 =24 × 0,10
4= 7,32𝑘𝑁/𝑚
Os guarda-rodas tipo New-Jersey, ilustrado na Figura 39, em concreto armado,
têm dimensões padronizadas, e área de aproximadamente 0,24 m2. Por simplicidade,
o peso total dos guarda rodas é distribuído uniformemente pelas quatro vigas. O
carregamento distribuído devido ao guarda-rodas é definido por:
𝑞𝐺𝑅 =𝛾. 𝐴
4=25 × (2 × 0,24)
4= 3,0𝑘𝑁/𝑚
Figura 39 – Dimensões do guarda-rodas tipo New Jersey
A Figura 40 apresenta o carregamento devido a sobrecarga permanente ao
longo da viga.
Figura 40- Carregamento de carga permanente (SAP2000)
64
6.3.3 Cargas móveis
A distribuição transversal das cargas móveis entre as longarinas foi feita pelo
Método de Courbon. A distribuição transversal possibilita definir a região onde o
carregamento deve ser aplicado espacialmente (trem-tipo e carga de multidão). O
método permite calcular a parcela do carregamento absorvida por cada viga, em
superestrutura com vigas múltiplas, submetidas a carregamentos assimétricos. A
parcela absorvida por cada viga pode ser expressa por:
𝑅𝑖,𝑗 =
1
𝑛+𝑥𝑖 . 𝑥𝑗∑𝑥2
(6.1)
onde:
n- número de longarinas;
xi= distância do eixo do tabuleiro até a carga unitária aplicada;
xj=posição da longarina onde é analisada a distribuição transversal.
Logo, para quatro vigas (n=4) igualmente espaçadas, aplica-se uma carga em
cada longarina, e obtêm-se os seguintes coeficientes de repartição para a viga
extrema:
Tabela 2 – Ordenadas da distribuição transversal para a viga extrema
A partir das parcelas absorvidas pela viga de bordo, pode-se traçar a linha de
distribuição transversal, que assume o aspecto linear, como ilustrado na Figura 41.
Figura 41- Linha de distribuição transversal por Courbon (dimensões em cm)
n i Ri,1
1 0,700
2 0,400
3 0,100
4 -0,200
4
65
Observa-se que haveria um “alivio” no valor do trem-tipo ao carregar-se o
trecho negativo da linha de distribuição transversal, não considerado, por simplicidade.
O trem-tipo longitudinal (bidimensional) pode ser definido, carregando-se
exclusivamente as áreas positivas, como ilustrado na Figura 42.
Figura 42- Linha de distribuição transversal (dimensões em cm)
Considerando-se o posicionamento da carga móvel, como apresentado na
Figura 42, a carga uniformemente distribuída na viga extrema para a carga de
multidão é:
𝑞𝑚𝑢𝑙𝑡 = 5,0 × 𝜑 ×0,77 × 9,02
2= 17,36𝜑 𝑘𝑁/𝑚
Para a carga concentrada por eixo, tem-se:
𝑃 = 60 × 𝜑 × (0,730 + 0,560) = 77,4𝜑 𝑘𝑁
Conforme apresentado no capítulo 5, o coeficiente de impacto definido pela
NBR7187:2013 é dado pelo produto dos coeficientes CIV, CNF e CIA, conforme a
expressão (5.1), onde:
CIV – Coeficiente de impacto vertical:
𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 (20
𝐿𝑖𝑣+50) = 1 + 1,06 (
20
39,4+50) = 1,237
60φ kN 60φ kN 5φ kN/m2
66
CNF- Coeficiente de número de faixas, n=3:
𝐶𝑁𝐹 = 1 − 0,05(𝑛 − 2) = 1 − 0,05(3 − 2) = 0,95
CIA=1 para seções localizadas além de 5,00m dos extremos.
𝜑 = (𝐶𝐼𝑉) × (𝐶𝑁𝐹) × (𝐶𝐼𝐴) = 1,237 × 0,95 × 1,0 = 1,175
A partir das considerações da linha de distribuição transversal por Courbon,
posicionando-se a carga móvel na região mais desfavorável para a viga extrema, e
também considerando-se o coeficiente de impacto, tem-se o seguinte trem-tipo
longitudinal, ilustrada na Figura 43:
𝑞𝑚𝑢𝑙𝑡 = 17,36 × 1,175 = 20,40𝑘𝑁/𝑚
𝑃 = 77,4 × 1,175 = 90,95𝑘𝑁
Figura 43- Trem-tipo longitudinal com coeficiente de impacto - viga de bordo
6.4 Esforços atuantes
Os esforços solicitantes são apresentados nas seções de décimos de vão, com
espaçamentos iguais ao longo da viga de extremidade, para os carregamentos
avaliados no item 6.3. A análise estrutural foi elaborada no programa SAP2000.
6.4.1 Peso próprio
Os esforços devidos ao peso próprio da estrutura, quando a viga é executada
sem escoramento, atuam no perfil de aço isolado. O concreto é lançado em estado
fluido e não possui resistência nas primeiras idades. A Figura 44 apresenta os
diagramas de esforços de cortante e momento fletor devido ao peso próprio.
67
DMF (kNm):
DEQ (kN):
Figura 44- Diagramas de momento fletor e cortante devido ao peso próprio (SAP2000)
6.4.2 Sobrecarga permanente (g2)
O carregamento de pavimentação e das estruturas auxiliares, como guarda-
rodas, são igualmente distribuídas em todas as vigas da ponte. Essas cargas são
adicionadas à estrutura após o endurecimento do concreto da laje, sendo assim, os
esforços de sobrecarga permanente solicitam tanto a viga quanto a laje. A Figura 45
apresenta os diagramas de esforços de cortante e momento fletor devido à sobrecarga
permanente.
DMF (kNm):
DEQ (kN):
Figura 45- Diagramas de momento fletor e cortante devidos à sobrecarga permanente
(SAP2000)
68
6.4.3 Carga móvel
A carga móvel é aplicada em diversos pontos ao longo do vão, para que os
esforços obtidos, de momento fletor e cortante, fossem máximos para cada seção. A
Figura 46 apresenta a envoltória de esforços devido à carga móvel.
DMF (kNm):
DEQ (kN):
Figura 46- Diagramas de momento fletor e cortante devido à carga móvel (SAP2000)
69
6.5 Propriedades da seção
Nessa seção é apresentado o procedimento para determinação das
propriedades geométricas da seção. Estas são calculadas a partir da soma das
propriedades dos retângulos que formam a viga mista. A Figura 47 apresenta a
convenção adotada para o cálculo automatizado em planilhas eletrônicas.
Figura 47- Convenção adotada para cálculo das propriedades geométricas
A área de cada seção é calculada de acordo com a expressão (6.2):
𝐴𝑖 = 𝑏𝑖 ∙ ℎ𝑖
(6.2)
O momento de segunda ordem é calculado em relação ao eixo local de cada
seção, de acordo com a expressão (6.3):
𝐼𝑖 =
𝑏𝑖 ∙ ℎ𝑖3
12 (6.3)
O centróide de cada retângulo é calculado em relação ao eixo de referência, ou
seja, no topo da laje.
𝑦𝑖 =
ℎ𝑖
2 ; 𝑦𝑖+1 =
ℎ𝑖+1
2+𝑦𝑖
(6.4)
Para cada retângulo que compõe a viga mista, deve ser calculado o centróide
de cada elemento em relação ao eixo de referência (y); o produto da área pelo
centróide (A.y); o momento de segunda ordem da área em relação ao eixo local do
retângulo (Io).
70
A distância do centróide até as fibras superiores e inferiores da laje e do perfil
de aço são calculadas de acordo as expressões (6.5) e (6.6).
𝑦𝑠 =
∑𝐴 ∙ 𝑦
∑𝐴
(6.5)
𝑦𝑖 =∑ℎ − 𝑦𝑠
(6.6)
O momento de segunda ordem do conjunto(It) é calculado com a seguinte
expressão:
𝐼𝑡 =∑(𝐼0 + 𝐴 ∙ 𝑦2) − 𝐴 ∙ 𝑦𝑠
2
(6.7)
O módulo resistente elástico da seção para a fibra superior e inferior da viga ou
topo da laje é definido pela expressão (6.8),com a razão entre momento de segunda
ordem e a distância da fibra mais distante ao centróide:
𝑊 =
𝐼𝑡𝑦
(6.8)
Com a finalidade de determinar as propriedades da seção mista, é necessária
a homogeneização dos diferentes materiais. Para isso, divide-se a largura da laje de
concreto pela relação dos módulos de elasticidade (α), conforme apresentado no item
2.5.2.
A relação entre os módulos de elasticidade, α0, é diferente para cargas de curta
e longa duração, pois deve ser considerado o efeito da fluência no concreto. Quando a
estrutura é submetida a cargas de curta duração, a NBR8800 recomenda que a
homogeneização da seção seja calculada considerando o módulo de elasticidade
secante do concreto. Sendo assim, o coeficiente α0 apresenta o seguinte valor:
𝛼0 =
𝐸𝑎𝐸𝑐𝑠
=200𝐺𝑃𝑎
23,8𝐺𝑃𝑎= 8,40
(6.9)
De acordo com a NBR8800:2008, os efeitos de longa duração podem ser
simplificados usando um coeficiente de fluência (φ) que representa o acréscimo de
deformação ao longo do tempo. O módulo de elasticidade e a relação entre os
módulos do aço e do concreto, para cargas de longa duração, são calculados com as
expressões (6.10) e (6.11):
71
𝐸𝑐∞ =
𝐸𝑐0(1 + φ)
(6.10)
𝛼∞ = 𝛼 ∙ (1 + 𝜑)
(6.11)
Ao adotar a recomendação normativa, o coeficiente de fluência pode ter o valor
médio igual a dois para cargas aplicadas no concreto a partir de 28 dias. Assim:
𝛼∞ ≅ 25
(6.12)
A largura da mesa colaborante, de acordo com as prescrições normativas, para
a viga de extremidade, é a metade do espaçamento entre vigas, mais a largura do
balanço. Para o cálculo das propriedades da seção a largura é dada por:
𝑏𝑓 =
3,52+ 1,25
𝛼 (6.13)
O modulo resistente da fibra superior da laje de concreto é dado por:
𝑊 =
𝐼𝑡 ∙ 𝛼
𝑦
(6.14)
O cálculo detalhado das propriedades geométricas dos perfis 1 e 2, para o
caso da viga isolada e viga mista, são apresentados no apêndice do trabalho.
A Figura 48 ilustra a convenção utilizada para determinação das propriedades
geométricas da viga.
Figura 48 – Convenção utilizada nas características geométricas
72
O resumo das caracteristicas geométricas da viga é apresentado na Tabela 3.
Tabela 3- Resumo das características geométricas da viga simples e mista
6.6 Tensões devido à flexão
Nessa seção são apresentadas as tensões normais devido a flexão
considerando a distribuição elástica de tensões.
De acordo com o apresentado no capítulo 2, as tensões nas fibras extremas da
viga e da laje são calculada pelas expressões (6.15), (6.16) e (6.17).
Mesa inferior:
𝜎𝑖𝑛𝑓 =
𝑀𝑔1
𝑊𝑖+𝑀𝑔2
𝑊𝑖𝑚𝑓+𝑀𝐶𝑀𝑊𝑖𝑚
(6.15)
Mesa superior:
𝜎𝑠𝑢𝑝 = −
𝑀𝑔1
𝑊𝑠−𝑀𝑔2
𝑊𝑠𝑚𝑓−𝑀𝐶𝑀𝑊𝑠𝑚
(6.16)
Laje de concreto:
𝜎𝑐𝑜𝑛𝑐 = −
𝑀𝑔2
𝑊𝑐𝑓−𝑀𝐶𝑀𝑊𝑐
(6.17)
com Wi, Wimf, Wi, Ws, Wsmf, Wsm, Wcf, Wc definidas na seção 2.5.
Por se tratar de uma viga biapoiada, as solicitações e os esforços são
simétricos em relação ao meio do vão. Sendo assim, são apresentados na Tabela 4,
os esforços nas seções S0 à S5, igualmente espaçadas da primeira metade da viga.
Área (cm2) H (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wi (cm3) Ws (cm3) Wc (cm3)
704 200 4591082 72 128 0 64129 35754 0
6779 230 12380276 146 54 84 84548 231103 1234515
6779 230 8514024 109 91 121 77872 93905 1763955
Perfil 1
Viga mista (α∞)
Viga mista (α0)
Viga de aço
Seção
Área (cm2) H (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wi (cm3) Ws (cm3) Wc (cm3)
582 200 3801555 82 118 0 46406 32195 0
6657 230 9891362 158 42 72 62601 235550 1144951
6657 230 7021305 122 78 108 57447 90275 1628670
Seção
Viga mista (α∞)
Viga mista (α0)
Viga de aço
Perfil 2
73
Tabela 4 – Momentos fletores atuantes
As tensões normais, resultantes dos esforços de peso próprio, cargas
permanentes e cargas móveis, são apresentados na Tabela 5. A Figura 49 ilustra a
distribuição de tensão elástica e a convenção usada na nomeclatura das fibras mais
solicitadas.
Tabela 5 – Tensões devido aos carregamentos
Figura 49 – Distribuição de tensões devido a momentos fletores positivos.
A tensão máxima resultante na viga de aço na seção S5 é observada na fibra
superior, na qual a mesa está comprimida sob tensão total (g1+g2+CM) de 175,7 MPa.
A relação entre compressão máxima em serviço e a tensão característica de
escoamento do aço é dada por:
Seção x (m) g1 g2 CM
0 0,00 0 0 0
1 3,94 1.628 721 2.274
2 7,88 2.894 1.281 4.083
3 11,82 3.797 1.682 5.427
4 15,76 4.340 1.922 6.184
5 19,70 4.521 2.002 6.470
Mk (kN.m)
Seção x (m) g1 g2 CM g1 g2 CM g1 g2 CM
0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1 3,94 35,1 12,6 39,6 -50,6 -8,0 -9,7 0,0 -0,4 -2,0
2 7,88 62,4 22,3 71,1 -89,9 -14,2 -17,3 0,0 -0,8 -3,6
3 11,82 59,2 21,6 69,7 -106,2 -17,9 -23,5 0,0 -1,0 -4,4
4 15,76 67,7 24,7 79,4 -121,4 -20,5 -26,8 0,0 -1,1 -5,0
5 19,70 70,5 25,7 83,1 -126,4 -21,3 -28,0 0,0 -1,1 -5,2
σconc (MPa)σinf (MPa) σsup (MPa)
74
𝜎𝑦
𝑓𝑦𝑘=175,5
350≈ 0,501
(6.18)
A NBR8800:2008 não determina tensões máximas em serviço para as
estruturas em aço. A norma brasileira recomenda que as tensões últimas de cálculo
atuantes (fsd) sejam inferiores à resistente (fyd).
Entretanto, a norma americana, que trata de estrutura de pontes
(AASHTO(2012)), tem uma outra abordagem sobre esse conceito. Ela recomenda
que, em perfis soldados, sujeitos à flexão, com a mesa comprimida e contida
lateralmente em todo seu comprimento, a tensão deve ser inferior a 55% do valor da
tensão característica de escoamento.
A NBR6118:2014 limita a compressão do concreto em 0,5fck do concreto.
Verifica-se que a relação entre a resistência à compressão característica na laje de
concreto e a tensão de compressão atuante é de aproximadamente, 0,25.
𝜎𝑐𝑓𝑐𝑘
=6,3
25= 0,252
(6.19)
6.7 Avaliação da capacidade portante com protensão
A partir da viga mista convencional em estudo, realiza-se a análise do acréscimo
da capacidade de carga, caso sejam instaladas cordoalhas de protensão na viga. Isso
pode representar um caso de reforço estrutural, onde as cargas atuantes superaram o
carregamento de projeto.
A protensão é aplicada após a concretagem da laje. Sendo assim, são usados
os conceitos de pós-tração, apresentados no capitulo 4, para vigas de aço
protendidas.
A análise da força de protensão busca manter os limites de tensão no aço,
recomendados pela AASHTO(2012), e o limite da NBR6118:2014 para as tensões de
tração e compressão no concreto. A viga também é verificada no estado limite último,
de acordo com o critério da NBR8800:2008 para dimensionamento de vigas mistas
com almas não compactas.
75
6.7.1 Estudo da protensão
O estudo da força de protensão aplicada na estrutura é realizada de acordo
com o apresentado na seção 4.3.1. O número máximo e mínimo de cordoalhas é
analisado, observando-se os limites das tensões de tração e compressão de ambos os
materiais, para as fases críticas de carregamento.
As tensões máximas admissíveis no aço, de acordo com critérios da
AASTHO(2012) são:
𝜎𝑦𝑡 = 0,55𝑓𝑦𝑘 = 192,5𝑀𝑃𝑎
(6.20)
𝜎𝑦𝑐 = −0,55𝑓𝑦𝑘 = −192,5𝑀𝑃𝑎
(6.21)
No concreto, as tensões máximas de tração e compressão de acordo com a
NBR6118:2014, para protensão limitada:
𝜎𝑐𝑡 = 1,2𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 1,2 × 0,7 × 0,3 × 25
2/3 = 2,15𝑀𝑃𝑎
(6.22)
𝜎𝑐𝑐 = −0,5𝑓𝑐𝑘 = −12,5𝑀𝑃𝑎
(6.23)
Aplica-se a protensão na viga com cordoalhas engraxadas de ϕ15,7mm com
aço CP210RB. A NBR6118:2014 limita a tensão nas cordoalhas, no momento da
protensão, ao menos valor entre 0,80fptk e 0,88fyk, sendo fyk=0,90fptk. Desse modo, a
tensão inicial de puxada é de:
𝜎𝑝0 ≤ {
0,8𝑓𝑝𝑡𝑘 = 0,8 × 210 = 168𝑘𝑁/𝑐𝑚2
0,88𝑓𝑝𝑦𝑘 = 0,88 × 0,9 × 210 = 166𝑘𝑁/𝑐𝑚2} = 166𝑘𝑁/𝑐𝑚
2
(6.24)
A força de protensão, nesse instante inicial, é o produto entre a área da
cordoalha de 15,7mm e a tensão inicial de puxada:
𝐹𝑝0 = 𝐴𝑝. 𝜎𝑝0 = 1,4 × 166 = 233 𝑘𝑁
(6.25)
As perdas por atrito em cordoalhas engraxadas são muito pequenas. Sendo
assim, as perdas iniciais foram desprezadas para a estimativa de número de cabos.
76
As perdas diferidas em estruturas de aço ocorrem somente devido à relaxação
do cabo. Para uma avaliação preliminar, as perdas serão estimadas em 15% da força
inicial de protensão.
𝐹𝑝∞ = 0,85 × 233 = 198 𝑘𝑁
(6.26)
O resumo das tensões admissíveis em serviço é apresentado na Tabela 6.
Tabela 6 – Tensões admissíveis no aço e concreto
A posição dos cabos na seção S5 é estimada em 10 cm acima da fibra inferior
da viga de aço. O resumo das características da seção é apresentado na Tabela 7. A
área apresentada é dada pela homogeneização da seção em relação ao aço.
Tabela 7 – Características geométricas da viga na seção S5
As tensões atuantes na seção S5, nas fibras extremas da viga de aço e da laje
devido a cada carregamento é mostrado na Tabela 8.
Tabela 8 – Tensões devido aos carregamentos atuantes
A partir das expressões apresentadas na seção 4.3.1, são estimados o número
mínimo e máximo de cordoalhas possíveis de serem adicionados na estrutura,
obedecendo os limites de tensão dos materiais. A Tabela 9 apresenta o numero limite
de cordoalhas de acordo com os limites de tensão para cada fase de carregamento
nos bordos extremos da viga de aço e da laje de concreto.
fyk(MPa) σyc (MPa) σyt (MPa) fck(MPa) fctm (MPa) σcc(MPa) σct(MPa)
350 -192,5 192,5 25 2,56 -12,5 2,15
ConcretoAço
A (m2) α Yai (cm) e (m) Wi (m3) Ws (m
3) Wc (m
3)
0,070 - 0,72 - 0,06 0,04 0,00
0,143 8,33 1,46 1,36 0,08 0,23 1,23
0,095 25,00 1,09 0,99 0,08 0,09 1,76
Viga mista (α0)
Viga mista (α∞)
Viga de aço
Seção
σg1 (MPa) σg2 (MPa) σCM (MPa)
σc 0,0 -1,1 -5,2
σs-126,4 -21,3 -28,0
σi 70,5 25,7 83,1
77
Tabela 9 – Estudo da força de protensão
Analisando a Tabela 9, pode-se observar que não existe um número mínimo de cordoalhas, ou seja, a viga atende o limite de tensões para as solicitações atuantes.
O limite superior do número de cordoalhas é observado na laje, quando
submetida apenas ao peso próprio. Com 35 cordoalhas, no instante da protensão, o
concreto é submetido a tensões superiores ao limite de tração estabelecido.
Para a viga de aço, na fibra inferior, o número de cordoalhas limite foi de 49, no
momento da protensão. Isso significa que, ultrapassado esse limite, a tensão de
compressão no aço seria maior que a admissível para o elemento estrutural.
Na fibra ou bordo superior da viga, o limite de 74 cordoalhas também é definido
pelo excesso de compressão das fibras. Para essa configuração geométrica, a
protensão gera tensões de compressão na fibra superior, da mesma forma que os
carregamentos usuais. Sendo assim, não seria possível um aumento do carregamento
atuante, já que um acréscimo de carga também resultaria em um aumento nas
tensões de compressão na fibra superior da viga mista. A Figura 50 apresenta a
distribuição de tensões na seção devido a protensão excêntrica.
Figura 50- Distribuição de tensões devido à protensão
N5> N5< N5> N5< N5> N5<
g1+Fp0 -23 49 -1277 264 -200 35 0 35
g1+g2+CM+Fp0 -2 69 -1474 67 -98 137 0 67
g1+g2+CM+Fp∞ -5 81 -3562 78393 -220 306 0 81
Valores limites 0 35
Bordo superior Laje de concretoN mín Nmáx
Bordo inferior
= + 𝑁𝑝
𝐴+𝑀𝑝
𝑊
𝑁𝑝
𝐴
𝑀𝑝
𝑊
78
Para o aumento da capacidade de carga final, observando-se os limites de
tensão no ato da protensão (aço e do concreto), deve-se adotar no máximo 35
cordoalhas de ϕ15,7mm. Desta forma, tem-se o mínimo de compressão na fibra
inferior sem ultrapassar os limites das tensões de tração na fase final.
Para que a quantidade de cordoalhas adotadas proporcione a otimização da
capacidade de carga, é avaliada a quantidade máxima de cordoalhas na fibra superior
do aço, variando a tensão da carga móvel. Para definir o número de cabos a ser
empregado na viga metálica, a equação (6.27) pode ser reescrita, em função da carga
móvel, na equação (6.28). Os resultados são apresentados na Tabela 10.
. ±𝜎𝑔1 ± 𝜎𝑔2 ± σCM + 𝐹𝑝∞ ∙ 𝑁 (±
1
𝐴𝑚±𝑒
𝑊) < |𝜎𝑦|
(6.27)
𝑁 =
|𝜎𝑦| ± 𝜎𝑔1 ± 𝜎𝑔2 ± σCM
𝐹𝑝∞ ∙ (±1𝐴𝑚
±𝑒𝑊)
(6.28)
Tabela 10 – Estudo do número ótimo de cordoalhas
Pode ser observado que, entre 19 e 25 cordoalhas a tensão de tração na fibra
inferior do aço é superior ao limite de 192,5MPa.
A partir do estudo da força de protensão, é estimado que 26 cordoalhas
engraxadas CP210 de 15,7mm proporciona uma maior capacidade portante, com a
geometria da superestrutura da ponte estudada.
σs CM N cabos σs σi σs σi
(MPa) un. (MPa) (MPa) (MPa) (MPa)
-28,0 67 -192,5 -37,3 -175,4 -167,3
-29,5 61 -192,5 -5,0 -176,9 -134,7
-31,0 55 -192,5 27,4 -178,5 -102,1
-32,5 49 -192,5 59,7 -180,0 -69,5
-34,0 43 -192,5 92,0 -181,5 -36,9
-35,5 37 -192,5 124,3 -183,1 -4,3
-37,0 31 -192,5 156,6 -184,6 28,3
-38,5 25 -192,5 189,0 -186,1 60,9
-40,0 19 -192,5 221,3 -187,7 93,5
t0 t∞
79
6.7.2 Verificação da viga protendida
O traçado das cordoalhas é feito de acordo com o ilustrado na Figura 51. Cada
cabo contém seis cordoalhas, três em cada lado da alma, ancoradas em diferentes
alturas na seção S0 e convergindo em um desviador posicionado na seção S3. A partir
da seção S3 são adicionadas oito cordoalhas abaixo da mesa inferior da viga metálica.
Figura 51- Traçado dos cabos (cotas em mm)
Os cabos são, na realidade, formados por cordoalhas engraxadas
independentes, onde cada uma possui seu próprio sistema de ancoragem. Para efeito
de cálculo, devido à proximidade dessas cordoalhas, as mesmas são agrupadas em
cabos com o mesmo traçado. A elevação e inclinação com relação à horizontal são
apresentadas na Tabela 11. Devido à simetria da viga e do traçado dos cabos, os
dados são apresentados apenas até o meio do vão.
80
Tabela 11 – Dados dos cabos
A elevação do cabo 4 tem sinal negativo, pois o cabo é posicionado abaixo da
mesa inferior da viga.
6.7.2.1 Perdas imediatas (t=0)
Conforme exposto na seção 4.4, a perda por atrito em cordoalhas engraxadas
é muito pequena e, de acordo com a NBR6118:2014, seu valor é de μ=0,05 (entre o
cabo e a bainha plástica). A perda devido às imperfeições geométricas (perdas
parasitas) também pode ser desprezada. A perda no desviador é dada por:
𝜎𝑏 = 𝜎𝑎 . 𝑒
−𝜇𝛼
(6.29)
oendo 𝜎𝑎 é a tensão de puxada e 𝜎𝑏 a tensão após a perda no desviador, 𝛼 é a
variação angular do cabo no desviador.
A perda por acomodação das ancoragens foi calculada admitindo um recuo de
6mm da cordoalha. Essa perda é definida a partir da área do gráfico de tensão ao
longo do cabo, que é proporcional ao deslocamento do cabo. A área entre as seções
de cálculo foi determinada a partir da expressão:
∑𝑆𝑖 = (𝜎𝑖−1 − 𝜎𝑖). (𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖) + 𝑆𝑖−1
(6.30)
Quando ∑𝑆𝑖 > 𝐸. 𝛿 = 120𝑘𝑁/𝑐𝑚, deve ser feita uma interpolação para ser
encontrada a abcissa e ordenada do ponto de recuo nulo do cabo.
nº cord. Φ cord. (mm) nº cord. Φ cord. (mm) nº cord. Φ cord. (mm) nº cord. Φ cord. (mm)
6 15,2 6 15,2 6 15,2 8 15,2
Anc. Ativas A cord. (cm²) Anc. Ativas A cord. (cm²) Anc. Ativas A cord. (cm²) Anc. Ativas A cord. (cm²)
Informações da Viga 2 1,434 2 1,434 2 1,434 2 1,434
Seçãox
(m)
Ang
(o)
Vi
(m)
Ang
(o)
Vi
(m)
Ang
(o)
Vi
(m)
Ang
(o)
Vi
(m)
0 0,00 6,75 1,50 4,84 1,10 2,91 0,70
1 3,94 6,75 1,04 4,84 0,77 2,91 0,50
2 7,88 6,75 0,57 4,84 0,44 2,91 0,30
3 11,82 6,75 0,10 4,84 0,10 2,91 0,10
3+1 11,82 0,00 0,10 0,00 0,10 0,00 0,10 0,00 -0,05
4 15,76 0,00 0,10 0,00 0,10 0,00 0,10 0,00 -0,05
5 19,70 0,00 0,10 0,00 0,10 0,00 0,10 0,00 -0,05
C1 C2 C3 C4
81
�̅� = 𝑥𝑖 −
(∑𝑆𝑖 − E. δ). (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)
(∑𝑆𝑖 −∑𝑆𝑖−1)
(6.31)
�̅� = 𝜎𝑖 −
(𝜎𝑖 − 𝜎𝑖−1). (𝑥𝑖 − �̅�)
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)
(6.32)
A perda em cada seção é dada por:
𝜎𝑒𝑛𝑐 = 2�̅� − 𝜎𝑖 (6.33)
A Figura 52 ilustra os termos calculados pelas expressões (6.30), (6.31), (6.32)
e (6.33) no gráfico de tensão do cabo ao longo de seu comprimento.
Figura 52 – Representação da perda por encunhamento
Os cabos possuem duas ancoragens ativas e traçado simétrico. A perda no
desviador provoca uma descontinuidade da na tensão do cabo. As tabelas Tabela 12,
Tabela 13, Tabela 14 e Tabela 15 apresentam as perdas devido ao atrito entre as
cordoalhas e o desviador e as perdas por acomodação da ancoragem.
Cabo 1:
Tabela 12 - Perdas imediatas no cabo 1
Seção L (m) Ang (o) μ.Σα+k.xσ atrito
(kN/cm2)
σ enc
(kN/cm2)
0 0,00 6,75 0 168,0 161,9
1 3,94 6,75 0 168,0 161,9
2 7,88 6,75 0 168,0 161,9
3 11,82 6,75 0 168,0 161,9
3+1 11,82 0,00 0,006 167,0 162,9
4 15,76 0,00 0,006 167,0 162,9
5 19,70 0,00 0,006 167,0 162,9
σ (kN/cm2)
x (m)
82
Cabo 2:
Tabela 13 - Perdas imediatas no cabo 2
Cabo 3:
Tabela 14 - Perdas imediatas no cabo 3
Cabo 4:
Tabela 15 – Perdas imediatas no cabo 4
As perdas de protensão no momento da cravação foram de, no máximo, 4,74%
da tensão de puxada do cabo.
6.7.2.2 Perdas por relaxação no aço
As perdas diferidas em vigas mistas são calculadas de maneira distinta do
usual em vigas pós-tracionadas de concreto, pois os efeitos reológicos do concreto,
como retração e fluência, não são determinantes. A principal perda ao longo do tempo
é devida à relaxação do aço de protensão. De acordo com a NBR6118:2014, as
perdas por relaxação do aço de protensão são calculadas a partir da expressão (6.34):
Seção L (m) Ang (o) μ.Σα+k.xσ atrito
(kN/cm2)
σ enc
(kN/cm2)
0 0,00 4,84 0 168,0 161,9
1 3,94 4,84 0 168,0 161,9
2 7,88 4,84 0 168,0 161,9
3 11,82 4,84 0 168,0 161,9
3+1 11,82 0,00 0,004 167,3 162,6
4 15,76 0,00 0,004 167,3 162,6
5 19,70 0,00 0,004 167,3 162,6
Seção L (m) Ang (o) μ.Σα+k.xσ atrito
(kN/cm2)
σ enc
(kN/cm2)
0 0,00 2,91 0 168,0 161,9
1 3,94 2,91 0 168,0 161,9
2 7,88 2,91 0 168,0 161,9
3 11,82 2,91 0 168,0 161,9
3+1 11,82 0,00 0,003 167,6 162,3
4 15,76 0,00 0,003 167,6 162,3
5 19,70 0,00 0,003 167,6 162,3
Seção L (m) Ang (o) μ.Σα+k.xσ atrito
(kN/cm2)
σ enc
(kN/cm2)
0 0,00 0 0 0 0
1 3,94 0 0 0 0
2 7,88 0 0 0 0
3 11,82 0 0 0 0
3+1 11,82 0 0 168 160,39
4 15,76 0 0 168 160,39
5 19,70 0 0 168 160,39
σ (kN/cm2)
x (m)
σ (kN/cm2)
x (m)
σ (kN/cm2)
x (m)
83
𝛥𝜎𝑝𝑟 = 2,5 𝜓1000. 𝜎𝑡0
(6.34)
onde 𝜓1000 é calculado a partir da interpolação dos valores apresentados na Tabela 16
para cordoalhas de relaxação baixa:
Tabela 16- Coeficiente 𝜓1000 (Adaptado da NBR6118:2014)
𝜎𝑝0 Cordoalhas Fios
Barras RN RB RN RB
0,5𝑓𝑝𝑡𝑘 0 0 0 0 0
0,6𝑓𝑝𝑡𝑘 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5
0,7𝑓𝑝𝑡𝑘 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0
0,8𝑓𝑝𝑡𝑘 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0
A tensão no tempo infinito nas cordoalhas é dada por:
𝜎𝑡∞ = 𝜎𝑎 − 𝛥𝜎𝑝𝑟
(6.35)
As Tabela 17 à Tabela 20 indicam a tensão nos cabos após o calculo da perda
de protensão por relaxaçao nos cabos C1, C2, C3 e C4.
Tabela 17 – Perdas diferidas no cabo C1
Tabela 18 – Perdas diferidas no cabo C2
Seçãox
(m)
σ t0
(kN/cm2)
σt0/fptk
ψ1000
%
Δσpr
(kN/cm2)
σ t∞
(kN/cm2)
0 0 162 0,77 3,21 13,0 148,9
1 4 162 0,77 3,21 13,0 148,9
2 8 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3 12 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3+1 12 163 0,78 3,26 13,3 149,6
4 16 163 0,78 3,26 13,3 149,6
5 20 163 0,78 3,26 13,3 149,6
CABO C1
Seçãox
(m)
σ t0
(kN/cm2)σt0/fptk
ψ1000
%
Δσpr
(kN/cm2)
σ t∞
(kN/cm2)
0 0 162 0,77 3,21 13,0 148,9
1 4 162 0,77 3,21 13,0 148,9
2 8 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3 12 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3+1 12 163 0,77 3,24 13,2 149,4
4 16 163 0,77 3,24 13,2 149,4
5 20 163 0,77 3,24 13,2 149,4
CABO C2
84
Tabela 19 – Perdas diferidas no cabo C3
Tabela 20 – Perdas diferidas no cabo C4
Pode-se observar que, em média, a perda total a tempo infinito representa 11%
do total dos cabos na seção S5. A maior parte é devida perda por relaxação no aço, já
que o efeito do atrito não é muito significativo em monocordoalhas engraxadas.
O percentual representativo de cada tipo de perda na seção S5, apresentado
na Figura 53 – Percentual de perdas na seção S5, mostra que a relaxação dos cabos
representa 69% do total das perdas, enquanto as perdas imediatas representam,
somadas, 19%.
Figura 53 – Percentual de perdas na seção S5
Seçãox
(m)
σ t0
(kN/cm2)σt0/fptk
ψ1000
%
Δσpr
(kN/cm2)
σ t∞
(kN/cm2)
0 0 162 0,77 3,21 13,0 148,9
1 4 162 0,77 3,21 13,0 148,9
2 8 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3 12 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3+1 12 162 0,77 3,23 13,1 149,2
4 16 162 0,77 3,23 13,1 149,2
5 20 162 0,77 3,23 13,1 149,2
CABO C3
Seçãox
(m)
σ t0
(kN/cm2)σt0/fptk
ψ1000
%
Δσpr
(kN/cm2)
σ t∞
(kN/cm2)
0 0 0 0,00 0,00 0,0 0,0
1 4 0 0,00 0,00 0,0 0,0
2 8 0 0,00 0,00 0,0 0,0
3 12 0 0,00 0,00 0,0 0,0
3+1 12 160 0,76 3,14 12,6 147,8
4 16 160 0,76 3,14 12,6 147,8
5 20 160 0,76 3,14 12,6 147,8
CABO C4
85
Na seção S0 não há perdas por atrito. No entanto, nessa seção as perdas por
encunhamento tem seu valor máximo. O valor médio das perdas totais nessa seção
também é de aproximadamente 11% (Figura 54).
Figura 54 – Percentual de perdas na seção S0
6.7.2.3 Tensões devido à protensão
As tensões na viga devidas à protensão para cargas de curta duração são
apresentadas na Tabela 21. As tensões são calculadas a partir da expressão (6.36),
considerando a tensão nas cordoalhas após as perdas imediatas e com a relação de
módulos de elasticidade entre o aço e concreto α=8.
𝜎 = −
𝑁
𝐴±𝑀
𝑊= 𝜎𝑝. 𝑁𝑐𝑜𝑟𝑑𝑜𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠 ∙ (−
1
𝐴±𝑒
𝑊)
(6.36)
Devido à simetria dos elementos da protensão, são apresentadas somente as
seções até o meio do vão.
Tabela 21 – Tensões devido à protensão após as perdas imediatas
Seçãox
(m)C1 C2 C3 C4 C1 C2 C3 C4 C1 C2 C3 C4
0 0 -12,3 -21,2 -30,2 0,0 -10,1 -7,8 -5,4 0,0 -1,2 -0,7 -0,2 0,0
1 4 -22,6 -28,7 -34,6 0,0 -7,4 -5,8 -4,2 0,0 -0,6 -0,3 0,0 0,0
2 8 -33,0 -36,0 -39,1 0,0 -4,6 -3,8 -3,1 0,0 0,0 0,1 0,3 0,0
3 12 -32,0 -32,1 -32,2 0,0 -1,5 -1,5 -1,5 0,0 0,4 0,4 0,4 0,0
3+1 12 -32,4 -32,3 -32,3 -35,7 -1,5 -1,5 -1,5 -0,8 0,4 0,4 0,4 0,7
4 16 -32,4 -32,3 -32,3 -35,7 -1,5 -1,5 -1,5 -0,8 0,4 0,4 0,4 0,7
5 20 -32,4 -32,3 -32,3 -35,7 -1,5 -1,5 -1,5 -0,8 0,4 0,4 0,4 0,7
σsup (MPa) σconc (MPa)σinf (MPa)
86
Observa-se, com o resultado apresentado na Tabela 21, que nesse instante, as
cordoalhas comprimem a fibra superior da viga de aço. Isso faz com que, nesse caso,
o uso de muitas cordoalhas diminua a capacidade de carga da viga, visto que um
acréscimo nas solicitações aumentaria os esforços de compressão na fibra superior da
viga, podendo superar a tensão limite.
Por outro lado, a fibra superior do concreto é tracionada, isso faz com que um
excesso de cabos provoque a fissuração da laje, nos estágios iniciais de
carregamento.
As tensões provenientes da protensão após as perdas totais são apresentadas
na Tabela 22. É considerada a relação modular (aço-concreto) de α=25 na
determinação das propriedades da seção.
Tabela 22 – Tensões devido à protensão considerando perdas diferidas
A consideração dos efeitos da fluência no concreto (deformação lenta) reduz o
módulo de resistência (W) da fibra superior. Assim, os efeitos de flexão da protensão
excêntrica supera os efeitos da compressão.
O estudo desse comportamento é bastante complexo e não faz parte do
escopo do trabalho. A NBR8800:2008 recomenda a verificação da estrutura para as
duas relações modulares. Os efeitos da fluência, vistos nos resultados apresentados
na Tabela 22, só serão atingidos anos após o início da utilização da estrutura.
6.7.2.4 Combinação de ações
Para que seja determinado o acréscimo de sobrecarga possível com o uso da
protensão, é feita a combinação de ação para as diversas fases de carregamento em
serviço e no estado limite último.
Seçãox
(m)C1 C2 C3 C4 C1 C2 C3 C4 C1 C2 C3 C4
0 0 -9,3 -18,3 -27,2 0,0 -19,3 -13,8 -8,1 0,0 -0,8 -0,5 -0,2 0,0
1 4 -19,6 -25,7 -31,6 0,0 -12,8 -9,0 -5,3 0,0 -0,5 -0,3 -0,1 0,0
2 8 -30,0 -33,1 -36,1 0,0 -6,2 -4,4 -2,4 0,0 -0,1 0,0 0,1 0,0
3 12 -29,7 -29,9 -29,9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,2 0,2 0,2 0,0
3+1 12 -30,0 -30,0 -29,9 -27,4 0,0 0,0 0,0 2,7 0,2 0,2 0,2 0,4
4 16 -30,0 -30,0 -29,9 -27,4 0,0 0,0 0,0 2,7 0,2 0,2 0,2 0,4
5 20 -30,0 -30,0 -29,9 -27,4 0,0 0,0 0,0 2,7 0,2 0,2 0,2 0,4
σsup (MPa) σconc (MPa)σinf (MPa)
87
Considerando o efeito da a protensão após as perdas imediatas em serviço e
as combinações de carga para tês fases de carregamento, a Tabela 23 apresenta as
tensões nas seções de cálculo:
Tabela 23 – Combinação de tensões (t=0)
Nas fases 1 e 2, o concreto é submetido à tração, porém inferior ao limite de
2,15 MPa. A tensão máxima de compressão no aço foi obtida na fibra superior com o
carregamento total, no entanto, a tensão é inferior ao limite de 192,5MPa.A Tabela 24
apresenta o efeito da protensão na viga mista após as perdas diferidas com os
carregamentos em serviço.
Protensão Inicial + g1
g1 g2 CM P
1 0 0 1
Comp. -73,5 -131,7 -2,1
Tração 1,0 1,0 1,8
0 0 -63,7 -23,3 -2,06
1 4 -50,8 -67,9 -0,85
2 8 -45,7 -101,4 0,36
3 12 -37,0 -110,7 1,12
3+1 12 -73,5 -111,5 1,84
4 16 -65,0 -126,7 1,84
5 20 -62,2 -131,7 1,84
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
γ
Tensões
Máximas
(MPa)
Fase 2: Protensão Inicial + g1+g2
g1 g2 CM P
1 1 0 1
Comp. -63,7 -153,0 -2,1
Tração 1,0 0,0 1,0
0 0 -63,7 -23,3 -2,06
1 4 -38,2 -75,9 -1,29
2 8 -23,4 -115,6 -0,43
3 12 -15,4 -128,6 0,16
3+1 12 -51,9 -129,4 0,89
4 16 -40,3 -147,1 0,75
5 20 -36,5 -153,0 0,71
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
x
(m)σinf
(MPa)
γ
Tensões
Máximas (MPa)
Seção
Protensão Inicial + g1+g2+CM
g1 g2 CM P
1 1 1 1
Comp. -63,7 -181,0 -4,5
Tração 54,3 1,5 0,9
0 0 -63,7 -23,3 -2,06
1 4 1,3 -85,6 -3,28
2 8 47,7 -132,9 -3,99
3 12 54,3 -152,1 -4,23
3+1 12 17,8 -152,9 -3,51
4 16 39,1 -173,9 -4,26
5 20 46,6 -181,0 -4,53
Tensões
Máximas
(MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
γ
88
Tabela 24 – Combinação de tensões (t=∞)
Observa-se que após a consideração das perdas, a tensão de compressão na
viga foi reduzida de aço, porém a tração obtida é a maior entre as fases de
carregamentos analisadas.
Na verificação do ELU, as tensões são inferiores às tensões últimas de ruptura:
𝑓𝑐𝑑 = 0,85 ×
25
1,4= 15,21 𝑀𝑃𝑎
(6.37)
𝑓𝑦𝑑 =
350
1,15= 304 𝑀𝑃𝑎
(6.38)
A Tabela 25 apresenta a combinação de tensões com carregamentos
majorados de acordo com o estado limite último.
Tabela 25 – Combinação de tensões no ELU
Protensão final+g1+g2+CM
G1 G2 CM P
1 1 1 1
Comp. -54,7 -172,9 -5,6
Tração 62,0 0,0 0,0
0 0 -54,7 -41,3 -1,57
1 4 10,3 -95,3 -3,21
2 8 56,6 -134,4 -4,35
3 12 61,1 -147,5 -4,81
3+1 12 33,2 -144,8 -4,42
4 16 54,5 -165,8 -5,17
5 20 62,0 -172,9 -5,45
Tensões
Máximas
(MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
γ
σconc
(MPa)
Protensão final+g1+g2
G1 G2 CM P
1 1 0 1
Comp. -54,7 -144,9 -1,6
Tração 0,0 0,0 2,2
0 0 -54,7 -41,3 -1,57
1 4 -29,3 -85,7 -1,23
2 8 -14,5 -117,0 -0,79
3 12 -8,6 -124,0 -0,41
3+1 12 -36,5 -121,3 -0,03
4 16 -24,9 -139,0 -0,16
5 20 -21,1 -144,9 -0,21
Tensões
Máximas (MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
γ
ELU - t0
G1 G2 CM P
1,35 1,35 1,5 0,9
Comp. -57,4 -246,2 -7,7
Tração 135,1 0,0 0,0
0 0 -57,4 -20,9 -1,86
1 4 46,4 -109,2 -4,34
2 8 123,7 -176,8 -6,09
3 12 127,0 -206,8 -6,88
3+1 12 94,2 -207,5 -6,22
4 16 124,4 -236,4 -7,33
5 20 135,1 -246,2 -7,74
Tensões
Máximas
(MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
γ
ELU - t inf
G1 G2 CM P
1,35 1,35 1,5 0,9
Comp. -49,2 -238,9 -8,6
Tração 148,9 0,0 0,0
0 0 -49,2 -37,1 -1,41
1 4 54,4 -117,9 -4,28
2 8 131,7 -178,2 -6,41
3 12 133,2 -202,7 -7,39
3+1 12 108,0 -200,2 -7,05
4 16 138,2 -229,1 -8,15
5 20 148,9 -238,9 -8,56
Tensões
Máximas
(MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
γ
89
A partir dos resultados, é possível verificar que a tensão máxima, em serviço,
no aço de compressão foi de σs=-181,0 MPa (Tabela 23, seção S5) e de tração
σi=61,1 MPa (Tabela 24, seção S3). Pode-se aumentar a tensão nos materiais até que
se atinja a tensão máxima admissível em serviço, de acordo com as expressões (6.39)
e (6.40) :
∆𝜎𝑐𝑚 = 𝜎𝑦 − 𝜎𝑚á𝑥
(6.39)
∆𝜎𝑐𝑚 = 𝜎𝑐 − 𝜎𝑚á𝑥
(6.40)
O acréscimo de tensão representa um aumento no momento atuante de:
∆𝑀𝑐𝑚 = ∆𝜎 ∙ 𝑊
(6.41)
O acréscimo de momento possível é aquele que faz com que o aço ou o
concreto atinjam a sua tensão máxima admissível:
∆𝑀𝑐𝑚 ≤ {
(𝜎𝑦 − 𝜎𝑠𝑢𝑝 𝑚á𝑥) ∙ 𝑊𝑠𝑢𝑝 = (192,5 − 181,0) × 0,23 = 2.645 𝑘𝑁𝑚
(𝜎𝑦 − 𝜎𝑖𝑛𝑓 𝑚á𝑥) ∙ 𝑊𝑖𝑛𝑓 = (192,5 − 61,1) × 0,08 = 10.512 𝑘𝑁𝑚
(𝜎𝑦 − 𝜎𝑐𝑜𝑛𝑐 𝑚á𝑥) ∙ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑐 = (12,5 − 5,45) × 1,24 = 8.742 𝑘𝑁𝑚
} = 2.645 𝑘𝑁𝑚
O acréscimo de sobrecarga devido aos cabos de protensão foi de:
∆𝑀𝑐𝑚 +𝑀𝑐𝑚𝑀𝑐𝑚
=2.645 + 6.470
6.470= 40,9%
O acréscimo de capacidade de carga total na estrutura pode ser avaliado
segundo a expressão:
𝑀𝑔1 +𝑀𝑔2 + ∆𝑀𝑐𝑚 +𝑀𝑐𝑚
𝑀𝑔1 +𝑀𝑔2 +𝑀𝑐𝑚=4.521 + 2.002 + 2.645 + 6.470
4.521 + 2.002 + 6.470= 20,4%
De acordo com os critérios de flexão, é possível um aumento de 20,4% da
capacidade portante, com um número de cordoalhas ideal para a configuração da
superestrutura da ponte estudada. Considerando que as cargas permanentes (g1 e
g2) permaneçam as mesmas, é possível que o efeito de flexão devido à carga móvel
seja aumentada em 40,9%. É importante ressaltar que todos os critérios de
dimensionamento da estrutura devam ser atendidos para a capacidade de carga após
o reforço com uso de protensão.
90
6.7.3 Verificação ao esforço cortante
A protensão provoca um efeito favorável em relação às tensões cisalhantes na
viga, produzindo um esforço no sentido contrário às solicitações usuais, como
apresentado no item 4.3.2.
São apresentadas as tensões cisalhantes atuantes na alma na Tabela 26 e a
combinação das tensões normais e de cisalhamento na Tabela 27. Essas tensões
devem ser limitadas de acordo com critério de Von Mises:
𝜏 ≤
1
√3. 𝑓𝑦𝑘 = 202 𝑀𝑃𝑎
(6.42)
√𝜎2 + 3𝜏2 ≤ 𝑓𝑦𝑘
(6.43)
Na verificação do cisalhamento puro, de acordo com a expressão (6.42), a
soma de tensões cisalhantes devem ser inferiores a 202 MPa:
Tabela 26- Verificação ao cisalhamento
As tensões atuantes na alma, apresentadas na Tabela 26, são muito inferiores
ao limite, pode-se concluir que, nesse caso, o cisalhamento não é limitante para o
acréscimo de tensões.
Verificam-se os efeitos dos esforços combinados de cisalhamento e flexão,
considerando as tensões normais de compressão na fase de carregamento mais
crítica.
Seção x (m) g1 g2 CM g1 g2 CM P SOMA
0 0,00 460 203 664 18,1 8,0 26,2 -4,7 47,6
1 3,94 367 163 532 14,4 6,4 20,9 -4,7 37,2
2 7,88 275 122 457 10,8 4,8 18,0 -4,7 29,0
3 11,82 183 81 387 7,2 3,2 15,2 -4,7 21,0
3+1 11,82 183 81 387 7,2 3,2 15,2 0,0 25,6
4 15,76 92 41 262 3,6 1,6 10,3 0,0 15,6
5 19,70 0 0 211 0,0 0,0 8,3 0,0 8,3
Cargas Qk (kN) τ (MPa)
91
Tabela 27 – Tensões devido à combinação de cortante e flexão
6.7.4 Verificação à Fadiga
De acordo com a NBR8800:2008, as tensões devidas às cargas que causam
variação de tensão, como a carga móvel, podem iniciar fissuras e entrar em colapso
progressivo por fadiga.
A NBR8800:2008, limita a tensão devido às cargas variáveis, em 110MPa,
conforme apresentado na Figura 12, para perfis soldados.
Conforme exposto no item 6.7.2.4, a protensão permite que os momentos
fletores devido à carga móvel sejam majorados em 40,9%, fazendo com que a tensão
chegue a 117,1 MPa (83,1 MPa - Tabela 5). A norma NBR8681:2003 permite que seja
usado um fator redução da carga móvel de 0,5 para longarinas de pontes rodoviárias
até 100m. Sendo assim, a tensão de fadiga seria inferior a admissível.
∆𝜎𝑓𝑎𝑑 = 0,5 × 117,1 = 58,6 𝑀𝑃𝑎 < 𝜎𝑇𝐻 = 110𝑀𝑃𝑎
A verificação de fadiga dos conectores não é avaliada por não alterarem o
aumento da capacidade de carga da viga. Altera apenas o número de conectores
necessários.
Seção x (m) σ (MPa) τ (MPa) √(σ^2+3τ^2 )
0 0,00 -23,25 47,59 85,7
1 3,94 -85,58 37,15 107,1
2 7,88 -132,90 28,96 142,0
3 11,82 -152,06 20,97 156,3
3+1 11,82 -152,87 25,63 159,2
4 15,76 -173,89 15,55 176,0
5 19,70 -181,05 8,31 181,6
92
6.8 Otimização da Viga
Nessa seção é analisada a possibilidade da redução das dimensões da viga,
visando uma economia de material com o uso da protensão. A estrutura está
submetida aos mesmos carregamentos e distribuição de esforços.
Conforme observado na seção 6.7, um dos fatores limitantes para o acréscimo
de carga é o excesso de compressão na mesa superior. A fim de minimizar esse
efeito, a espessura da chapa da mesa é aumentada para 32 mm. Assim, a linha neutra
se aproxima do bordo superior e, consequentemente, o módulo resistente (W) da fibra
superior aumenta.
Para a racionalização do aço, reduziu-se a altura viga e a largura da chapa da
mesa inferior, visto que as tensões de tração apresentadas no item 6.8.3.1 estão muito
abaixo dos limites estabelecidos. A partir disso, é avaliada a quantidade de cordoalhas
necessárias para que a viga respeite os limites dos dois materiais, nas várias fases de
carregamento.
6.8.1 Propriedades geométricas
A seção transversal da viga no meio do vão tem as dimensões alteradas,
observando-se os limites de tensão, permitindo um aumento da tração na mesa
inferior e buscando reduzir a compressão na mesa superior. As dimensões dos perfis
projetados para a otimização da estrutura estão ilustradas na Figura 55. Observam-se
as reduções na altura e na mesa inferior do perfil 1.
Figura 55- Seção transversal estudada (dimensões em mm)
93
A redução na altura da viga é particularmente interessante quando existem
limitações de gabarito e/ou do aterro de acesso.
As características geométricas da seção são calculadas da mesma forma que
apresentado no item 6.5, o cálculo completo das propriedades da viga está no
apêndice do trabalho. A Tabela 28 mostra as propriedades geométricas das seções.
Tabela 28- Propriedades geométricas das seções
6.8.2 Estudo de protensão
A avaliação do número mínimo e máximo de cordoalhas é feito da mesma
forma que apresentado na seção 6.7.1. Estima-se, inicialmente, que os cabos estão
posicionados a 10 cm da fibra inferior da viga.
A Tabela 29 mostra os valores das tensões na seção transversal devidas ao
carregamento atuantes.
Tabela 29 – Tensões na seção S5
Para viga de 1,70m, tem-se os seguintes limites de número de cabos na seção
S5:
Tabela 30 – Avaliação do número de cabos na seção S5
Área (cm2) H (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wi (cm3) Ws (cm3) Wc (cm3)
637 170 3314688 73 97 0 45561 34085 0
6712 200 7919132 135 35 65 58807 224103 1010036
6712 200 5691587 105 65 95 54315 87279 1494456
Perfil 1
Viga mista (α∞)
Viga mista (α0)
Viga de aço
Seção
Área (cm2) H (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wi (cm3) Ws (cm3) Wc (cm3)
543 169 2606017 68 101 0 38121 25818 0
6618 199 7094752 137 32 62 51803 219362 948354
6618 199 5021099 105 64 94 47654 78535 1336325
Perfil 2
Seção
Viga mista (α∞)
Viga mista (α0)
Viga de aço
σg1 (MPa) σg2 (MPa) σCM (MPa)
σc 0,00 -1,34 -6,41
σs-132,64 -22,94 -28,87
σi 99,23 36,86 119,12
N5> N5< N5> N5< N5> N5<
g1+Fp0 -14 44 -794 146 -151 26 0 26
g1+g2+Cm+Fp0 9 67 -921 20 -57 120 9 20
g1+g2+Cm+Fp∞ 18 78 -3774 81 -134 278 18 78
Valores limites 18 20
Bordo inferior Bordo superior Laje de concretoN mín Nmáx
94
O número mínimo de cordoalhas está próximo do número máximo admissível.
Se for adotado um número de cordoalhas inferior a 18, as tensões de tração na fibra
superior da viga de aço seriam superiores ao limite. Caso fosse adotado um número
de cordoalhas superior a 20, a compressão no bordo superior da viga alcançaria a
tensão admissível. Dessa forma, a verificação detalhada é realizada com a viga de
1,70m, com o uso de 20 cordoalhas engraxadas.
6.8.3 Verificação da viga de 1,70m
6.8.3.1 Tensões normais atuantes
A viga é submetida aos mesmos carregamentos. As tensões nas fibras
extremas de cada seção de cálculo devido às propriedades geométricas da viga de
1,70m são apresentadas na Tabela 31.
Tabela 31 – Tensões devido aos carregamentos usuais
Pode-se observar que as tensões de tração na fibra inferior são superiores às
limites, sendo assim, deve-se introduzir a protensão ao longo da viga.
6.8.3.2 Verificação da protensão
Com a mudança da altura da viga, o traçado dos cabos também é alterado. As
cordoalhas são agrupadas conforme ilustra a Figura 56)
Cada cabo contém quatro cordoalhas, três em cada lado da alma, ancoradas
em diferentes alturas na seção S0 e convergindo em um desviador posicionado na
seção S3. A partir da seção S3 são adicionadas oito cordoalhas abaixo da mesa
inferior da viga metálica.
Seção x (m) g1 g2 CM g1 g2 CM g1 g2 CM
0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1 3,94 42,7 15,1 47,7 -63,1 -9,2 -10,4 0,0 -0,5 -2,4
2 7,88 75,9 26,9 85,7 -112,1 -16,3 -18,6 0,0 -1,0 -4,3
3 11,82 83,3 31,0 99,9 -111,4 -19,3 -24,2 0,0 -1,1 -5,4
4 15,76 95,3 35,4 113,9 -127,3 -22,0 -27,6 0,0 -1,3 -6,1
5 19,70 99,2 36,9 119,1 -132,6 -22,9 -28,9 0,0 -1,3 -6,4
σconc (MPa)σinf (MPa) σsup (MPa)
95
Figura 56- Traçado dos cabos (dimensões em mm)
A elevação e a inclinação com relação à horizontal são apresentadas na
Tabela 32.
Tabela 32- Elevações e inclinações dos cabos
As perdas em cada cabo são calculadas conforme o item 6.7.2.1, e são
apresentadas no apêndice do trabalho.
Para a trajetória dos cabos, as perdas totais representam 11% da tensão inicial
de puxada do cabo. A perda por relaxação do aço de protensão representa a maior
parte das perdas. O gráfico da Figura 57 apresenta percentualmente, a influência de
cada perda na diminuição da tensão final do cabo de protensão na seção S5.
nº cord. Φ cord. (mm) nº cord. Φ cord. (mm) nº cord. Φ cord. (mm) nº cord. Φ cord. (mm)
4 15,2 4 15,2 4 15,2 8 15,2
Anc. Ativas A cord. (cm²) Anc. Ativas A cord. (cm²) Anc. Ativas A cord. (cm²) Anc. Ativas A cord. (cm²)
Informações da Viga 2 1,434 2 1,434 2 1,434 2 1,434
Seçãox
(m)
Ang
(o)
Vi
(m)
Ang
(o)
Vi
(m)
Ang
(o)
Vi
(m)
Ang
(o)
Vi
(m)
0 0,00 6,28 1,40 4,35 1,00 2,42 0,60
1 3,94 6,28 0,97 4,35 0,70 2,42 0,43
2 7,88 6,28 0,53 4,35 0,40 2,42 0,27
3 11,82 6,28 0,10 4,35 0,10 2,42 0,10
4 15,76 0,00 0,10 0,00 0,10 0,00 0,10 0,00 -0,05
5 19,70 0,00 0,10 0,00 0,10 0,00 0,10 0,00 -0,05
C1 C2 C3 C4
96
Figura 57 – Percentual das perdas na seção S5
As tensões resultantes da protensão das monocordoalhas são resumidas nas
Tabela 33 e Tabela 34. A Tabela 33 apresenta as tensões considerando apenas as
perdas imediatas de protensão e a relação entre os módulos de elasticidade do aço e
do concreto no tempo t=0 (α=8).
Tabela 33 - Tensões devido à protensão considerando perdas iniciais
A Tabela 34 considera as perdas totais e as propriedades da viga mista com a
relação entre módulos de elasticidade do aço e do concreto no tempo t=∞ (α=25).
Tabela 34 – Tensões devido à protensão considerando perdas diferidas
Observa-se que independente da relação modular (aço e concreto), a
protensão resulta comprime toda a seção da viga de aço.
As tensões despertadas pela protensão são combinadas com as solicitações
atuantes, nas diversas fases de carregamento.
Seçãox
(m)
0 0 -6,7 -13,9 -21,1 0,0 -7,4 -5,7 -4,0 0,0 -0,9 -0,5 -0,1 0,0
1 4 -14,4 -19,2 -24,1 0,0 -5,6 -4,5 -3,3 0,0 -0,5 -0,2 0,0 0,0
2 8 -22,2 -24,6 -27,0 0,0 -3,7 -3,2 -2,6 0,0 -0,1 0,1 0,2 0,0
3 12 -26,3 -26,4 -26,5 0,0 -1,6 -1,6 -1,6 0,0 0,3 0,3 0,3 0,0
3+1 12 -26,6 -26,6 -26,5 -46,4 -1,6 -1,6 -1,6 -2,0 0,3 0,3 0,3 0,9
4 16 -26,6 -26,6 -26,5 -46,4 -1,6 -1,6 -1,6 -2,0 0,3 0,3 0,3 0,9
5 20 -26,6 -26,6 -26,5 -46,4 -1,6 -1,6 -1,6 -2,0 0,3 0,3 0,3 0,9
σsup (MPa) σconc (MPa)σinf (MPa)
Seçãox
(m)
0 0 -4,6 -11,8 -19,0 0,0 -14,5 -10,3 -5,9 0,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,0
1 4 -12,4 -17,2 -22,0 0,0 -9,9 -7,0 -4,1 0,0 -0,4 -0,2 0,0 0,0
2 8 -20,1 -22,6 -25,0 0,0 -5,2 -3,8 -2,3 0,0 -0,1 0,0 0,1 0,0
3 12 -24,5 -24,6 -24,6 0,0 -0,42 -0,44 -0,44 0,0 0,2 0,2 0,2 0,0
3+1 12 -24,7 -24,7 -24,7 -36,8 -0,43 -0,43 -0,43 2,1 0,2 0,2 0,2 0,5
4 16 -24,7 -24,7 -24,7 -36,8 -0,43 -0,43 -0,43 2,1 0,2 0,2 0,2 0,5
5 20 -24,7 -24,7 -24,7 -36,8 -0,43 -0,43 -0,43 2,1 0,2 0,2 0,2 0,5
σsup (MPa) σconc (MPa)σinf (MPa)
97
A Tabela 35 mostra as tensões nas fibras extremas das diversas seções de
cálculo para as perdas iniciais e relação entre o módulo de elasticidade igual a 8.
Tabela 35 – Combinação de tensões t=0
Análisando-se os resultados, pode-se observar que a tensão de tração máxima
no concreto é inferior ao limite no ato da protensão. Além disso, a tensão máxima de
compressão no aço está muito próximo do limite estabelecido (192,5 MPa) na fase 3
do carregamento.
A Tabela 36 mostra as tensões nas fibras extremas das diversas seções de cálculo para as perdas totais e relação entre o módulo de elasticidade igual a 25.
Fase 1: Protensão Inicial + g1
g1 g2 CM P
1 0 0 1
Comp. -42,9 -139,6 -1,5
Tração 4,1 1,0 1,9
0 0 -41,7 -17,1 -1,54
1 4 -15,0 -76,4 -0,66
2 8 2,1 -121,6 0,22
3 12 4,1 -116,3 0,99
3+1 12 -42,9 -118,3 1,92
4 16 -31,0 -134,3 1,92
5 20 -27,0 -139,6 1,92
γ
Tensões
Máximas
(MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
Fase 2: Protensão Inicial + g1+g2
g1 g2 CM P
1 1 0 1
Comp. -41,7 -162,5 -1,5
Tração 35,1 0,0 1,0
0 0 -41,7 -17,1 -1,54
1 4 0,1 -85,6 -1,20
2 8 29,0 -138,0 -0,74
3 12 35,1 -135,6 -0,14
3+1 12 -11,9 -137,6 0,80
4 16 4,4 -156,3 0,64
5 20 9,9 -162,5 0,58
γ
Tensões
Máximas (MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
Fase 3: Protensão Inicial + g1+g2+CM
g1 g2 CM P
1 1 1 1
Comp. -41,7 -191,4 -5,8
Tração 135,0 1,5 0,9
0 0 -41,7 -17,1 -1,54
1 4 47,8 -96,0 -3,60
2 8 114,7 -156,6 -5,04
3 12 135,0 -159,8 -5,51
3+1 12 88,0 -161,8 -4,58
4 16 118,3 -183,9 -5,49
5 20 129,0 -191,4 -5,82
γ
Tensões
Máximas
(MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
98
Tabela 36 – Combinação de tensões t=∞
Obtem-se, na fase final, a tração máxima na fibra inferior da viga mista( seção S3 – Tabela 36). A relação entre tensão atuante e limite admissivel é de :
𝜌 =140,5
192,5≈ 73%
A verificação no estado limite último para ambas as fases de carregamento é
apresentada na Tabela 37.
Tabela 37 – Combinação de tensões no ELU
Observa-se a partir dos resultados apresentados que a viga chegou próximo a
sua capacidade de carga. Pode-se considerar assim que se atingiu o aproveitamento
máximo da seção.
A redução do peso de aço é razoável, já que o acréscimo de peso devido aos
cabos de protensão é muito baixo.
Peso da viga antes da redução:
𝑃0 = 𝐴 ∙ 𝐿 ∙ 𝛾 = (0,0705 × 24,3 + 0,0582 × 15,8 ) × 78,5 = 207 𝑘𝑁
Fase final P inf+g1+g2+CM
G1 G2 CM P
1 1 1 1
Comp. -35,5 -183,7 -6,9
Tração 144,3 0,0 0,0
0 0 -35,5 -30,8 -1,20
1 4 54,0 -103,6 -3,56
2 8 120,9 -158,3 -5,31
3 12 140,5 -156,2 -6,04
3+1 12 103,3 -154,1 -5,56
4 16 133,6 -176,2 -6,47
5 20 144,3 -183,7 -6,81
γ
σconc
(MPa)
Tensões
Máximas
(MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
Fase final - Pinf+g1+g2
G1 G2 CM P
1 1 0 1
Comp. -35,5 -154,8 -1,2
Tração 40,6 0,0 0,0
0 0 -35,5 -30,8 -1,20
1 4 6,3 -93,2 -1,16
2 8 35,2 -139,7 -1,01
3 12 40,6 -132,0 -0,67
3+1 12 3,4 -129,9 -0,19
4 16 19,8 -148,6 -0,35
5 20 25,2 -154,8 -0,40
γ
Tensões
Máximas (MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
ELU - t0
G1 G2 CM P
1,35 1,35 1,5 0,9
Comp. -37,5 -259,6 -9,7
Tração 248,8 0,0 0,0
0 0 -37,5 -15,4 -1,38
1 4 97,7 -125,1 -4,92
2 8 200,9 -209,9 -7,55
3 12 232,9 -217,1 -8,69
3+1 12 190,6 -219,0 -7,85
4 16 233,6 -249,2 -9,19
5 20 248,8 -259,6 -9,69
γ
Tensões
Máximas (MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
ELU - t inf
G1 G2 CM P
1,35 1,35 1,5 0,9
Comp. -31,9 -252,6 -10,6
Tração 262,6 0,0 0,0
0 0 -31,9 -27,7 -1,08
1 4 103,3 -132,0 -4,89
2 8 206,4 -211,4 -7,80
3 12 237,9 -213,9 -9,17
3+1 12 204,4 -212,0 -8,74
4 16 247,4 -242,3 -10,08
5 20 262,6 -252,6 -10,5710 39 -31,9 -27,7 -1,08
γ
Tensões
Máximas
(MPa)
Seçãox
(m)σinf
(MPa)
σsup
(MPa)
σconc
(MPa)
99
Peso da viga após da redução:
𝑃 = 𝐴 ∙ 𝐿 ∙ 𝛾 = (0,064 × 24,3 + 0,0540 × 15,8 ) × 78,5 = 189 𝑘𝑁
A protensão possibilitou uma redução de aproximadamente 10% do peso de
aço.
6.8.3.3 Verificação das tensões cisalhantes
As tensões cisalhantes devido ao esforço cortante na viga devem ser inferiores
a (fyk/√3). A Tabela 38 apresenta as tensões cisalhantes devido aos carregamentos
atuantes:
Tabela 38- Verificação ao cisalhamento
As tensões normais e cisalhantes combinadas devem de acordo com a
expressão √𝜎2 + 3𝜏2 deve ser inferior a fyk.
Tabela 39 – Tensões devido à combinação de cortante e flexão
As tensões cisalhantes são inferiores as admissíveis para o caso estudado.
6.8.3.4 Verificação à Fadiga
As tensões devido a carga variáveis na viga reduzida no meio do vão é de
119,1MPa (seção S5, Tabela 31). Para a verificação a fadiga, a tensão pode ser
multiplicada por um fator redutor (0,5). Essa tensão reduzida é inferior ao máximo
definido pela NBR8880 para vigas soldadas de 110MPa.
Seção x (m) g1 g2 CM g1 g2 CM P SOMA
0 0,00 460 203 664 21,4 9,4 30,9 -2,1 59,7
1 3,94 367 163 532 17,1 7,6 24,7 -2,1 47,3
2 7,88 275 122 457 12,8 5,7 21,3 -2,1 37,6
3 11,82 183 81 387 8,5 3,8 17,9 -2,1 28,1
3+1 11,82 183 81 387 8,5 3,8 17,9 0,0 30,2
4 15,76 92 41 262 4,3 1,9 12,1 0,0 18,3
5 19,70 0 0 211 0,0 0,0 9,8 0,0 9,8
Cargas Qk (kN) τ (MPa)
Seção x (m) σ (MPa) τ (MPa) √(σ2+3τ2 )
0 0,00 -17,14 59,66 104,7
1 3,94 -95,96 47,32 126,2
2 7,88 -156,57 37,64 169,6
3 11,82 -159,77 28,08 167,0
3+1 11,82 -161,81 30,15 170,0
4 15,76 -183,87 18,30 186,6
5 19,70 -191,37 9,77 192,1
100
7. Conclusão
Historicamente, a utilização da protensão em pontes de concreto se provou
eficiente e economicamente competitiva, pois supre uma deficiência do concreto, a
baixa resistência à tração. Por outro lado, o uso da protensão em estruturas de aço e
em estruturas mistas não é muito estudada e tem sido pouco empregada em
superestruturas de pontes.
Não existe no Brasil uma norma específica para o caso de pontes em vigas mistas
de aço. A norma brasileira em estruturas de aço tem enfoque em edificações. Devido
aos carregamentos de menor ordem de grandeza, não consideram fatores que devem
ser levados em conta no dimensionamento de pontes. A norma brasileira não é
explícita na avaliação da variabilidade do módulo de elasticidade do concreto para
ações de curto prazo e longo prazo para a quantificação da fluência. A norma
brasileira também não prevê um método de cálculo para a verificação do efeito
combinado de cisalhamento e flexão, de grande importância em pontes de vigas de
aço, principalmente nos sistemas hiperestáticos, onde as solicitações máximas de
cortante e momento fletor são observados na mesma seção.
O trabalho apresentou uma revisão bibliográfica sobre os principais aspectos dos
elementos (protensão e vigas mistas), separadamente, e definiu um método coerente
de verificação de estruturas mistas protendidas com o uso de protensão externa não
aderente com monocordoalhas engraxadas.
Desenvolveu-se o estudo de caso aplicando-se protensão em uma ponte e
verificando-se o aumento da capacidade de carga bem como o limite da força de
protensão para uma dada geometria. Observou-se a possibilidade de redução da
altura da viga, reduzindo o peso das longarinas com a utilização da protensão.
Foram desenvolvidas planilhas eletrônicas para a verificação de tensões
admissíveis à flexão e cisalhamento para vigas mistas não escoradas com o uso de
pós-tração. Essas planilhas auxiliaram na determinação do número de cabos
desejáveis para as solicitações atuantes permitindo diversos traçados de cabos.
101
O uso da protensão se mostrou extremamente eficiente, tornando possível o
incremento da sobrecarga em 40,9% e o aumento da capacidade de carga da viga em
20,4%.
Para o estudo da mudança das dimensões da viga, foi possível reduzir em 30cm
sua altura, e cerca de 25% da mesa inferior principal, o que resultou numa diminuição
de peso de 10% do total da viga mantendo a mesma capacidade da viga inicial sem
protensão.
Além da possibilidade de economia de material e aumento da capacidade de
carga, a protensão faz com que os deslocamentos verticais da estrutura sejam
reduzidos.
Obviamente, deve-se acrescentar o custo da implantação da protensão, porém as
vantagens (menor guindaste, menor deformação e menor altura) justificam plenamente
a relação custo/benefício. Os benefícios são muito significativos.
Se comparada à solução usual em pontes de concreto com pós-tração de cabos
internos aderentes, a protensão externa em vigas de aço apresenta vantagens como a
ausência de bainhas, gerando agilidade na construção. As perdas de protensão por
atrito são reduzidas, podendo até ser desprezadas. Os cabos externos têm traçados
mais simples e por serem externos os cabos são facilmente inspecionáveis, podendo
ser reprotendidos ou até substituídos sem interromper a utilização da estrutura. Por
outro lado, os cabos são expostos ao ambiente, estando sujeitos a incêndios ou
vandalismo. Como não há compatibilidade de deformação, a falha de um cabo com
consequente perda de protensão se dará por toda estrutura e não somente no ponto
onde ocorreu a falha.
A durabilidade de estruturas em aço também é uma questão a ser considerada.
Quando não existe a conservação e manutenção, estruturas de aço estão muito mais
suscetíveis à deterioração quando comparada a estruturas de concreto.
Por fim, pode-se afirmar que a protensão é muito vantajosa para recuperação
estrutural e execução de novas pontes em vigas de aço.
102
7.1 Sugestões para trabalhos futuros
A linha de pesquisa com o tema de vigas mistas de aço e concreto em pontes
tem um grande campo para evolução. Alguns temas que não foram abordados nesse
trabalho podem ser desenvolvidos em estudos futuros, como se segue:
Estudo dos efeitos da retração e fluência em vigas mistas;
Análise dos custos envolvidos na incorporação de sistemas de protensão em
vigas de aço;
Inclusão dos efeitos do trem-tipo “negativo” na análise de esforços;
Estudo detalhado dos efeitos de segunda ordem e de flambagem da viga metálica
protendida;
Análise de vigas metálicas contínuas protendidas.
103
8. Bibliografia
AASHTO-LRFD. Standard Specifications for Highway Bridges, Division I, Design,
2012.
ALMEIDA, T. G. Reforço de Vigas de concreto armado por meio de cabos
externos protendidos. São Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos da
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reforço da ponte metálica do Rio Pardo. XXV Jornadas Sul Americanas de
Engenharia Estrutrural, 2012.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7483: Cordoalhas de
aço para estruturas de concreto protendido - Especificação. ABNT, 2008.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800: Projeto de
estruturas de aço e estruturas mistas de aço e concreto em edificios. ABNT, 2008.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR7188: Carga móvel
rodoviaria ou de pedestre em pontes, viadutos, passarelas e outras estruturas. ABNT,
2013.
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estruturas de concreto - Procedimentos. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
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moldadas sobre painéis de concreto celular. Universidade Federal de Minas
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104
CARDOSO, D. C. T. Soluções em Vigas Mistas em Aço-Concreto para o Projeto
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Rio de Janeiro. 2006.
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LEONHARDT, F. Construções em concreto. Tradução de João Luis Escosteguy
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MASON, J. Concreto armado e Protendido: Principios e Aplicações. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos Editora, 1976.
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105
REIS, F. C. Influência do nível de protensão na deformação de estrutruras
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em Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2003.
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SCHLAICH, J.; SCHEEF, H. Concrete Box-Grider Bridges. Zurich: IABSE, 1982.
TROITSKY, M. S. Preestressed Steel Bridges: Theory and Design. 16th. ed. New
York: Van Nostrand Reinhold, 1990. 386 p.
106
9. Apêndice
Cálculo das propriedades da viga de 2,00m, com as dimensões do perfil 1 da seção 6.1.
PERFIL 1
i hi (cm) bi (cm)
laje 22,50 270,00
1 2,50 50,00
2 192,50 1,27
3 5,00 67,00
mísula 7,50
Viga de aço
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3) A.y2(cm4) Io (cm4)
laje 0,00
1 1,25 125 156 195 65
2 98,75 244 24142 2384013 754944
3 197,50 335 66163 13067094 698
S 704 90461 15451302 755707
Viga de Aço
H (cm) A (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) Wai (cm3) Was (cm3)
200 704 4591082 72 128 64129 35754
Viga mista (α0)
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3) A.y2(cm4) Io (cm4)
laje 11,25 729,00 8201,25 92264,06 30754,69
1 31,25 125 3906 122070 65
2 128,75 244 31476 4052555 754944
3 227,50 335 76213 17338344 698
S 1433 119796 21605233 786462
Viga Mista (α0)
H (cm) A (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wim (cm3) Wsm (cm3) Wc (cm3)
230 1433 12380276 146 54 84 84548 231103 1234515
Viga Mista (αinf)
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3) A.y2(cm4) Io (cm4)
laje 11,25 243,00 2733,75 30754,69 10251,56
1 31,25 125 3906 122070 65
2 128,75 244 31476 4052555 754944
3 227,50 335 76213 17338344 698
S 947 114329 21543724 765958
Viga Mista (αinf)
H (cm) A (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wim (cm3) Wsm (cm3) Wc (cm3)
230 947 8514024 109 91 121 77872 93905 1763955
Viga mista perfil central
107
Para o perfil 2, com a viga de 2,00m:
PERFIL 2
i hi (cm) bi (cm)
laje 22,50 270,00
1 2,50 45,00
2 192,50 1,27
3 5,00 45,00
mísula 7,50
Viga de aço
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3) A.y2(cm4) Io (cm4)
laje 0,00
1 1,25 113 141 176 59
2 98,75 244 24142 2384013 754944
3 197,50 225 44438 8776406 469
S 582 68720 11160595 755471
Viga de Aço
H (cm) A (cm) I (cm4) Yi (cm) Ys (cm) Wai (cm3) Was (cm3)
200 582 3801555 82 118 46406 32195
Viga mista (α0)
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3
) A.y2(cm
4) Io (cm
4)
laje 11,25 729,00 8201,25 92264,06 30754,69
1 31,25 113 3516 109863 59
2 128,75 244 31476 4052555 754944
3 227,50 225 51188 11645156 469
S 1311 94381 15899839 786226
Viga mista (α0)
H (cm) A (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wim (cm3) Wsm (cm3) Wc (cm3)
230 1311 9891362 158 42 72 62601 235550 1144951
Viga Mista (α∞)
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3) A.y2(cm4) Io (cm4)
laje 11,25 243,00 2733,75 30754,69 10251,56
1 31,25 113 3516 109863 59
2 128,75 244 31476 4052555 754944
3 227,50 225 51188 11645156 469
S 825 88913 15838329 765723
Viga Mista (α∞)
H (cm) A (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wim (cm
3) Wsm (cm
3) Wc (cm
3)
230 825 7021305 122 78 108 57447 90275 1628670
Viga mista perfil do apoio
108
Cálculo das propriedades da viga de 1,70m, com as dimensões do perfil 1 da seção
6.8.1
PERFIL 1
i hi (cm) bi (cm)
laje 22,50 270,00
1 3,20 52,00
2 161,80 1,27
3 5,00 53,00
mísula 7,50
Viga de aço
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3) A.y2(cm4) Io (cm4)
laje 0,00
1 1,60 166 266 426 142
2 84,10 205 17281 1453363 448289
3 167,50 265 44388 7434906 552
S 637 61935 8888696 448983
Viga de Aço
H (cm) A (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) Wai (cm3) Was (cm3)
170 637 3314688 73 97 45561 34085
Viga mista (α0)
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3) A.y2(cm4) Io (cm4)
laje 11,25 729,00 8201,25 92264,06 30754,69
1 31,60 166 5258 166160 142
2 114,10 205 23446 2675183 448289
3 197,50 265 52338 10336656 552
S 1366 89243 13270264 479738
Viga Mista (α0)
H (cm) A (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wim (cm3) Wsm (cm3) Wc (cm3)
200 1366 7919132 135 35 65 58807 224103 1010036
Viga Mista (αinf)
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3) A.y2(cm4) Io (cm4)
laje 11,25 243,00 2733,75 30754,69 10251,56
1 31,60 166 5258 166160 142
2 114,10 205 23446 2675183 448289
3 197,50 265 52338 10336656 552
S 880 83775 13208755 459235
Viga Mista (αinf)
H (cm) A (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wim (cm3) Wsm (cm3) Wc (cm3)
200 880 5691587 105 65 95 54315 87279 1494456
Viga mista perfil central
109
Para o perfil 2:
PERFIL 2
i hi (cm) bi (cm)
laje 22,50 270,00
1 2,50 45,00
2 161,80 1,27
3 5,00 45,00
mísula 7,50
Viga de aço
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3
) A.y2(cm
4) Io (cm4)
laje 0,00
1 1,25 113 141 176 59
2 83,40 205 17138 1429270 448289
3 166,80 225 37530 6260004 469
S 543 54808 7689450 448816
Viga de Aço
H (cm) A (cm) I (cm4) Yi (cm) Ys (cm) Wai (cm3) Was (cm3)
169 543 2606017 68 101 38121 25818
Viga mista (α0)
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3
) A.y2(cm
4) Io (cm4)
laje 11,25 729,00 8201,25 92264,06 30754,69
1 31,25 113 3516 109863 59
2 113,40 205 23302 2642460 448289
3 196,80 225 44280 8714304 469
S 1272 79299 11558891 479571
Viga mista (α0)
H (cm) A (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wim (cm3) Wsm (cm3) Wc (cm3)
199 1272 7094752 137 32 62 51803 219362 948354
Viga Mista (α∞)
i y (cm) A (cm2) y.A (cm3
) A.y2(cm
4) Io (cm4)
laje 11,25 243,00 2733,75 30754,69 10251,56
1 31,25 113 3516 109863 59
2 113,40 205 23302 2642460 448289
3 196,80 225 44280 8714304 469
S 786 73831 11497382 459068
Viga Mista (α∞)
H (cm) A (cm) I (cm4) yai (cm) yas (cm) ycs (cm) Wim (cm
3) Wsm (cm
3) Wc (cm
3)
199 786 5021099 105 64 94 47654 78535 1336325
Viga mista perfil do apoio
110
As perdas detalhadas nas cordoalhas projetadas para a viga de 1,7m nos 4 cabos:
Cabo 1:
Cabo 2:
Cabo 3:
Cabo 4:
Seção L (m) Ang (º) μ.Σα+k.x σ atrito (kN/cm2) σ enc (kN/cm2)
0 0,00 6,28 0 168,0 161,9
1 3,94 6,28 0 168,0 161,9
2 7,88 6,28 0 168,0 161,9
3 11,82 6,28 0 168,0 161,9
3+1 11,82 0,00 0,005 167,1 162,8
4 15,76 0,00 0,005 167,1 162,8
5 19,70 0,00 0,005 167,1 162,8
Seção L (m) Ang (º) μ.Σα+k.x σ atrito (kN/cm2) σ enc (kN/cm2)
0 0,00 4,35 0 168,0 161,9
1 3,94 4,35 0 168,0 161,9
2 7,88 4,35 0 168,0 161,9
3 11,82 4,35 0 168,0 161,9
3+1 11,82 0,00 0,004 167,4 162,5
4 15,76 0,00 0,004 167,4 162,5
5 19,70 0,00 0,004 167,4 162,5
Seção L (m) Ang (º) μ.Σα+k.x σ atrito (kN/cm2) σ enc (kN/cm2)
0 0,00 2,42 0 168,0 161,9
1 3,94 2,42 0 168,0 161,9
2 7,88 2,42 0 168,0 161,9
3 11,82 2,42 0 168,0 161,9
3+1 11,82 0,00 0,002 167,6 162,3
4 15,76 0,00 0,002 167,6 162,3
5 19,70 0,00 0,002 167,6 162,3
Seção L (m) Ang (º) μ.Σα+k.x σ at (kN/cm2) σ enc (kN/cm2)
0 0,00 0 0 0 0
1 3,94 0 0 0 0
2 7,88 0 0 0 0
3 11,82 0 0 0 0
3+1 11,82 0 0 168 160,39
4 15,76 0 0 168 160,39
5 19,70 0 0 168 160,39
σ (kN/cm2)
x (m)
σ (kN/cm2)
x (m)
σ (kN/cm2)
x (m)
σ (kN/cm2)
x (m)
111
As perdas devido a relaxação dos cabos e a tensão final do cabo:
Seçãox
(m)
σ t0
(kN/cm2)σt0/fptk
ψ1000
%
Δσpr
(kN/cm2)
σ t∞
(kN/cm2)
0 0 162 0,77 3,21 13,0 148,9
1 4 162 0,77 3,21 13,0 148,9
2 8 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3 12 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3+1 12 163 0,78 3,25 13,2 149,6
4 16 163 0,78 3,25 13,2 149,6
5 20 163 0,78 3,25 13,2 149,6
Seçãox
(m)
σ t0
(kN/cm2)
σt0/fptkψ1000
%
Δσpr
(kN/cm2)
σ t∞
(kN/cm2)
0 0 162 0,77 3,21 13,0 148,9
1 4 162 0,77 3,21 13,0 148,9
2 8 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3 12 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3+1 12 163 0,77 3,24 13,2 149,4
4 16 163 0,77 3,24 13,2 149,4
5 20 163 0,77 3,24 13,2 149,4
Seçãox
(m)
σ t0
(kN/cm2)σt0/fptk
ψ1000
%
Δσpr
(kN/cm2)σ t∞ (kN/cm2)
0 0 162 0,77 3,21 13,0 148,9
1 4 162 0,77 3,21 13,0 148,9
2 8 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3 12 162 0,77 3,21 13,0 148,9
3+1 12 162 0,77 3,23 13,1 149,2
4 16 162 0,77 3,23 13,1 149,2
5 20 162 0,77 3,23 13,1 149,2
Seçãox
(m)
σ t0
(kN/cm2)σt0/fptk
ψ1000
%
Δσpr
(kN/cm2)σ t∞ (kN/cm2)
0 0 0 0,00 0,00 0,0 0,0
1 4 0 0,00 0,00 0,0 0,0
2 8 0 0,00 0,00 0,0 0,0
3 12 0 0,00 0,00 0,0 0,0
3+1 12 160 0,76 3,14 12,6 147,8
4 16 160 0,76 3,14 12,6 147,8
5 20 160 0,76 3,14 12,6 147,8
CABO C3
CABO C4
CABO C1
CABO C2
