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09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - AGOSTO DE 2011.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01
Quantos números pares, formados por algarismos distintos, existem entre 500 e 2000?
01) 432 02) 440 03) 450 04) 464 05) 480 RESOLUÇÃO:
C D U POSSIBILIDADES 5 (7 ou 9) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 ou 9 0 (2, 4, 6 ou 8) 3 ×××× 8 ×××× 5 = 120 6 ( ou 8) 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 ou 9 0 (2, 4 ou 8) 2 ×××× 8 ×××× 4 = 64
UM C D U POSSIBILIDADES
1 2 (3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9)
3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9
0 (2, 4, 6 ou 8) 1 ×××× 8 ×××× 7 ×××× 5 = 280
TOTAL DE POSSIBILIDADES: 120 + 64 + 280 =464 RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 02.
A figura ao lado, representa a planta de situação de um terreno com a forma de um trapézio isósceles, na escala 1:200. A Prefeitura projetou uma rua com a largura de 6m e terá que desapropriar a área hachurada na planta pagando R$400,00 por metro quadrado. Quanto o proprietário receberá, em reais, por essa desapropriação? 01) 84.000 02) 94.800 03) 96.400 04) 98.200 05) 102.800
RESOLUÇÃO:
No triângulo retângulo BCH:
8)CH(36100)CH()BH()BC()CH( 2222 =⇒−=⇒−= .
Os triângulos retângulos BCH e BEG são semelhantes, então:
4
9)BG(
6
)BG(
8
3
)BH(
)BG(
)CH(
)EG(=⇒=⇒= ⇒
No trapézio ABEF, EF = cm5,17cm4
9222 =
×−
Considerando-se A’B’E’F’ o terreno que cuja planta é o trapézio ABEF, e como a planta foi feita na escala 1:200,
tem-se: ⇒×=×=×=⇒=== 3200G'E' e 22200B'A' 7,5;1200)F'(E'200
1
)'G'E(
)EG( e
200
1
)B'(A'
(AB) ;
200
1
)F'(E'
(EF)
E’F’= 3500cm = 35m; A’B’ = 4400cm = 44m e E’G’ = 600cm = 6m.
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A área do terreno a ser desapropriado é: ( ) 22 m237m
2
64435S =
×+= .
A indenização será de (400×237) reais = 94.800 reais. RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 03. . (MACK-SP) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos, obtidos com os algarismos 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61473 será: 01) 760 02) 780 03) 800 04) 820 05) 840 RESOLUÇÃO:
UM CM C D U POSSIBILIDADES 1, (3 ou 4) 3, (4, 6 ou
7) 4, (6 ou 7) 6, (ou 7) 7 3 ×××× 4 ×××× 3 ×××× 2 ×××× 1 = 72
6 1 3 4, (ou 7) 7 1 ×××× 1 ×××× 1 ×××× 2 ×××× 1 = 2 6 1 4 3 7 1 6 1 4 7 3 1
TOTAL 76 RESPOSTA: Alternativa 01. Questão 04. Um quadrado ABCD de lado medindo 4u.c., situado no primeiro quadrante tem lados contidos nos eixos cartesianos Ox e Oy. A reta r passa pelo vértice do quadrado mais afastado da origem e forma com o semieixo positivo dos x um ângulo de 60°. A reta t passa pela diagonal do quadrado que não contém a origem. Determine a abscissa do ponto de interseção dessas retas.
01) 32 + 02) 23 + 03) 31 + 04) 21+ 05) 326 −
RESOLUÇÃO:
Sendo 4u.c. a medida do lado do quadrado, B = (4, 0) , C = (4, 4) e D = (0, 4)
O coeficiente angular da equação da reta r é a = 360tg =° , bx3y += . Como a
reta r passa pelo ponto
C = (4, 4): ( )344bb344 −=⇒+= . Logo r tem equação: ( )3143y −+= .
O coeficiente angular da equação da reta t é m = 1135tg −=° , nxy +−= . Como a
reta t passa pelo ponto
B = (4, 0), 4nn40 =⇒+−= ⇒ 4xy +−=
( ) ( ) ( )
−=−
=+
=⇒
=+
+−=−+⇒
+−=
−+=326
2
1334
13
34x
34)13(x
4x314x3
4xy
314x3y.
RESPOSTA: Alternativa 05.
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Questão 05. Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. De quantas maneiras é possível colorir o mapa?
01) 84 02) 56 03) 24 04) 120 05) 60
RESOLUÇÃO: Inicialmente consideremos que todos os países serão pintados de cores diferentes: para este caso existem 4! = 24 maneiras diferentes de pintar o mapa. Agora consideremos todos os casos em que dois países separados por apenas um ponto têm cores iguais e os dois outros cores diferentes. Por exemplo, escolher uma das quatro cores para os país P e pintar S com essa mesma cor; pintar R com uma das três cores restantes e Q com uma das últimas duas cores. Como pode ser R e Q com a
mesma cor e P e S com cores diferentes, existem 2! × 4 × 1 × 3 × 2 = 48 maneiras diferentes de pintar o mapa dessa forma. Agora consideremos todos os casos em que dois países separados por apenas um ponto têm cores iguais e os dois outros também cores iguais. Por exemplo, escolher uma das quatro cores para os país P e pintar S com essa
mesma cor; pintar R com uma das três cores restantes e Q com esta mesma cor. Existem então 4 × 1 × 3 × 1 = 12 maneiras diferentes de pintar o mapa dessa forma. TOTAL DE MANEIRAS DIFERENTES DE PINTAR O MAPA: 24 + 48 + 12 = 84. RESPOSTA: Alternativa 01 Questão 06.
Uma elipse tem os eixos contidos nos eixos Ox e Oy. Determine a excentricidade dessa elipse sabendo que ela
possui os pontos A = (0, 2) e B = ( )3 ,2
01) 2
3 02)
4
3 03)
2
1 04)
4
2 05)
2
2
RESOLUÇÃO:
⇒=+⇒
=
=⇒
=+
=
⇒
=+
=
14
y
16
x
16a
4b
14
3
a
4
4b
1b
3
a
4
1b
422
2
2
2
2
22
2
4a = e 2b = .
Seja c a metade da distância focal (F1F2).
No triângulo retângulo AOF1: 32c416c2 =⇒−= .
A excentricidade da elipse é o valor da razão a
ce = ⇒
2
3
4
32e == .
RESPOSTA: Alternativa 01.
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Questão 07.
Sobre fatorial, considere as seguintes afirmativas:
(I) 6
31
! 4 ! 5
! 4 ! 6=
+
+
(II) Simplificando a expressão ! 1)(n
! )2n(
! 1) n(
! )1n(
+
+−
−
+ obtemos n2 – 2
(III) A soma das soluções da equação 10! )1n( !n
1)!4(n ! 1) n(=
−−
−++ é 9.
Assinale a alternativa correta:
01) Somente a afirmativa I é falsa.
02) Somente a afirmativa II é falsa.
03) Somente a afirmativa III é falsa.
04) Somente uma afirmativa é verdadeira.
05) Todas as afirmativas são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
(I) VERDADEIRA.
( )( ) 6
31
15 4!
156 !4
! 4 ! 5
! 4 ! 6=
+
+×=
+
+
(II) VERDADEIRA.
( ) ( ) ( ) ( ) =−−+=+−×+=+
++−
−
−××+=
+
+−
−
+2nnn)2n(n1n
! 1)(n
! 1n)2n(
! 1) n(
! 1n n1n
! 1)(n
! )2n(
! 1) n(
! )1n( 2 n2 – 2
(III) VERDADEIRA.
[ ][ ]
⇒=−−
+×+−⇒=
−−−×
−+−××+⇒=
−−
−++10
1n! )1n(
4)n1) n( ! 1)(n10
! )1n( ! 1)(nn
1)!4(n ! 1)(n n1) n(10
! )1n( !n
1)!4(n ! 1) n(
⇒=+−⇒−=++⇒=−
+×+014n9n10n104nn10
1n
4)n1) n( 22
A soma dos dois valores de n que são raízes da equação é 9.
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 08. Considere a circunferência com o centro no primeiro quadrante, de raio 4, tangente à reta y = 2 e ao eixo Oy. Determine a equação da transformada dessa circunferência por uma homotetia de centro C = (6, 2) e razão
k = 2
1− .
01) x2 + y2 – 100 =0 02) x2 + y2 = 4 03) x2 + y2 – 6x + 2y – 40 = 0 04) x2 + y2 + 4y – 16 =0 05) x2 + y2 – 14x + 45 = 0
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RESOLUÇÃO: As coordenadas do transformado de um ponto, por uma homotetia de razão k e centro no ponto C = (c’,c’’) são determinadas pelas relações: x'= kx + c’(1 - k) e e y'= ky + c’’(1 - k) Se a circunferência temo centro no primeiro quadrante, é tangente à reta y = 2 e ao eixo Oy, com raio 4, então seu centro é o ponto A = (4, 6).
Como a razão da homotetia é k = 2
1− , o raio da transformada mede 2u.c.
O centro da homotetia é C = (6, 2)
x'= kx + c(1 - k) = ( ) 7922
1164
2
1=+−=
++×− e y'= ky + c(1 - k) = 033
2
112)6(
2
1=+−=
++×− .
Logo o centro da circunferência transformada é A’ = (7, 0) e sua equação è:
( ) 4y7x 22=+− ⇒⇒⇒⇒ 449x14yx 22 =+−+ ⇒⇒⇒⇒ 045x14yx 22 =+−+
RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 09.
Considere a função f: R → R dada por f (x) =
≥
<≤−
−<+
2 x se 4;
2 x 1 se ;x
1 x se 3; x2
2
Sobre esta função assinale a alternativa verdadeira.
01) f é sobrejetora.
02) f é crescente no intervalo ]–∞; 2[.
03) A equação f (x) = 2
1 tem 3 soluções distintas.
04) A equação f (x) = 5 admite uma única solução. 05) n.r.a. RESOLUÇÃO:
01) FALSA.
f não é sobrejetora pois o seu conjunto imagem ] –∞, 4] é diferente do seu contra-domínio que é R. 02) FALSA.
f não é crescente, nem decrescente, no intervalo ]–∞; 2[. 03) VERDADEIRA.
A reta f (x) = 2
1 intercepta o gráfico em três pontos distintos:
−
2
1,
4
5,
−
2
1,
2
2 e
2
1,
2
2.
04) FALSA. A reta f (x) = 5 não intercepta o gráfico da função em nenhum ponto.. 05) FALSA.
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Questão 10. Dentre as proposições a seguir qual é a verdadeira? 01) A composta T1 o T2 das translações T1 e T2 equivale a uma simetria central. 02) A transformada da reta y = x por uma translação de vetor v = (0, 3) é a reta y = x – 3.
03) Se um círculo tem raio 5, então seu transformado por uma homotetia de raz ão k = – 2 tem área 50π. 04) Se T é uma translação de vetor v = (2, 1) e S é uma simetria central de centro C = (3, 0), então, S o T leva o
ponto (– 1, 4) no ponto (5, – 5). 05) Todo polígono regular de n lados tem 2n eixos de simetria. RESOLUÇÃO: 01) FALSA Seja T1 uma translação de vetor u e T2 uma translação de vetor u Graficamente:
Pelo gráfico concluí-se que sendo T1(x) = x + u e T2(x) = x + v, então, T1 o T2 = T1(T2(x)) = T1(x+v) = (x+v)+ u = x + (v + u) que é uma translação de vetor (u + v)
02) FALSA.
Na reta y = x, considere-se o segmento AB determinado pelos pontos A= (0,0) e B = (5, 5). Aplicando a translação de vetor v = (0,3):
A’ = (0 + 0, 0 + 3) = (0, 3) e B’ = (5 + 0, 5 + 3) = (5, 8) ⇒ que a reta que contém o segmento A’B’ é y = x + 3 e não y = x – 3.
03) FALSA. Se um círculo tem raio 5, então seu transformado por uma homotetia de razão k = – 2 tem raio 10 e sua área é
100π. 04) VERDADEIRA. Sendo T uma translação de vetor v = (2, 1) S (T (– 1, 4)) = S (– 1 +2, 4 + 1) = S(1, 5) Sendo S uma simetria de centro C = (c, c1), então, S(x, y) = (2c – x, 2c1 – y): S(1, 5) = (2.3 – 1, 2.0 – 5) = (5, – 5). 05) FALSA. Somente os polígonos regulares com número par de lados.
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Questão 11.
Sobre a função f: R → R dada por f (x) = 3 – |x2 – 1| é correto afirmar.
01) A imagem de f é o intervalo [–2; +∞[. 02) f é uma função sobrejetora. 03) A função é positiva no intervalo ] –2 ; 2 [. 04) A função é crescente no intervalo [–1; 1]. 05) A função é sempre positiva.
RESOLUÇÃO:
Considerando g(x) = x2 – 1 e fazendo o estudo da variação de seus sinais em relação aos intervalos externos e internos às suas raízes x = -1 e x = 1 tem-se o gráfico ao lado
No intervalo ]-1, 1[ onde x2 – 1 < 0 , | x2 – 1 | = 1 – x2 ⇒⇒⇒⇒ f (x) = 3 – |x2 – 1| ⇒ f (x) = 3 – (1 – x2) = x2 + 2. Nos intervalos ]-∞∞∞∞, -1[ e ]1, + ∞∞∞∞[ nos quais x2 – 1 > 0, | x2 – 1 | = x2 – 1 ⇒⇒⇒⇒ f (x) = 3 – |x2 – 1| = 3 – (x2 – 1) = – x2 + 4
01) FALSA.
A imagem de f é o intervalo [–∞;3] 02) FALSA.
f não é uma função sobrejetora, pois [–∞;3] ≠ R. 03) VERDADEIRA. A função é positiva no intervalo ] –2 ; 2 [. 04) FALSA. A função não é crescente nem decrescente no intervalo [–1; 1]. 05) FALSA. Analisando o gráfico conclui-se que a função é negativa para valores de x pertencentes ao intervalo
[ ]2, 2[ ,] ∞+∪−∞− e positiva para todo x pertencente ao intervalo 2[ 2,] − .
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Questão 12. Identifique a proposição verdadeira.
01) Se P é um ponto do espaço, é impossível a existência dos planos α, β e γ, tais que α ∩ β ∩ γ = {P}. 02) Se as retas r, s e t são paralelas duas a duas, então são coplanares.
03) Se a reta r é oblíqua ao plano α, então existe uma , e somente uma, reta s ⊂ α, tal que a reta s é perpendicular à reta r.
04) Se os pontos P e Q, não pertencem ao plano α, e são eqüidistantes deste plano, então a reta que passa por P e Q
é paralela a α.
05) Se o ponto P não pertence ao plano α, então existe uma, e somente uma, reta que possui P e é paralela ao plano
α. RESOLUÇÃO:
01) FALSA.
Na figura ao lado, P é um ponto do espaço, e α ∩ β ∩ γ = {P}.
02) FALSA. Na figura ao lado, as retas r, s e t são paralelas duas a duas, mas não são coplanares.
03) VERDADEIRA. Na figura ao lado, a reta r é oblíqua ao plano α, e somente a reta
s ⊂ α, é perpendicular à reta r.
04) FALSA.
Se os pontos P e Q, estiverem no mesmo semiespaço em relação ao plano α (FIGURA 1), a reta que passa por P e
Q é paralela a α. Porém se P e Q estiverem em semiespaços opostos relação ao plano α (FIGURA 2), a reta que
passa por P e Q não é paralela a α
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05)
Na figura ao lado, o ponto P não pertence ao plano α, e todas as infinitas retas que possuem P e estão contidas
no plano β são paralelas ao plano α.
Questão 13. Seja f: R → R uma função definida por f (x) = |x + 3| – |x – 3|. Assinale a alternativa verdadeira.
01) A imagem de f é o intervalo de [–6; +∞[. 02) f é injetora. 03) f é ímpar. 04) f é crescente. 05) n.r.a. RESOLUÇÃO: Estudo da função: 1) Se x + 3 > 0 e x – 3 > 0, f (x) = x + 3 – (x – 3) = 6. 2) Se x + 3 > 0 e x – 3 < 0, f (x) = x + 3 – (–x + 3) = 2x. 3) Se x + 3 < 0 e x – 3 > 0, f (x) = –x – 3 – (x – 3) = –2x. 2) Se x + 3 < 0 e x – 3 < 0, f (x) = –x – 3 – (–x + 3) = –6
01) FALSA. A imagem de f é o intervalo de [–6; 6]. 02) FALSA. f(– 3 ) = f(–4 ) = – 6, f( 3 ) = f(4 ) = 6,.... 03) VERDADEIRA. Pelo gráfico percebe-se que para todo x , f(– x ) = –f(x ). Por exemplo, f(– 3 ) = –f(3). 04) FALSA. f não é crescente nem decrescente. 05) FALSA.
Graficamente:
Questão 14. O conjunto solução da equação |x2 – 6x – 4| = x2 – 4 possui quantos números inteiros? 01) 0 02) 1 03) 2 04) 3 05) 4 RESOLUÇÃO:
Se |x2 – 6x – 4| = x2 – 4 ⇒ x2 – 6x – 4 = x2 – 4 ou x2 – 6x – 4 = –x2 + 4 .
x2 – 6x – 4 = x2 – 4 ⇒ – 6x – 4 = – 4 ⇒ 6x = 0 ⇒ x = 0 Verificação: Para x = 0: |0 – 0 – 4| = 0 – 4 (F)
x2 – 6x – 4 = –x2 + 4 ⇒ 2x2 – 6x – 8 = 0 ⇒
x2 – 3x – 4 = 0 ⇒
x = 4ou x 1x2
53
2
1693=−=⇒
±=
+±
Verificação: Para x = – 1: |1 + 6 – 4| = 1 – 4 (F) Para x = 4:|16 – 24 – 4| = 16 – 4 (v)
O conjunto solução da equação |x2 – 6x – 4| = x2 – 4 é S = {4}. RESPOSTA: Alternativa 02.
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Questão 15. O conjunto solução da inequação |x + 1| > 2x – 4 é:
01) ]1; 5[ 02) ]–∞; 1[ 03) ]1; +∞[ 04) ]–∞; 5[ 05) ]5; +∞[ RESOLUÇÃO:
De |x + 1| > 2x – 4 sendo 2x – 4 > 0 , tem-se: [5,]x
5x
ou
1x
5x
ou
3x3
4x21x
ou
4x21x
∞−∈⇒
<
<
⇒
<
<
⇒
−>+
+−<+
.
Analisando o gráfico, conclui-se que |x + 1| > 2x – 4, para todo x pertencente
ao intervalo ]–∞; 5[. RESPOSTA: Alternativa 04.
Graficamente