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PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO

COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 2010. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E

ADRIANO CARIBÉ. RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

Questão 1. Numa progressão aritmética de 6 termos a soma dos termos de ordem ímpar é 6 e a soma dos termos de ordem par é 15. Calcule o sexto termo dessa PA. 01) 4 02) 8 03) 9 04) 10 05) 11 RESOLUÇÃO: Seja (a1, a2, a3, a4, a5, a6) PA em questão.

( ) ( )

( ) ( ) ( )⇒

=⇒−=

=⇒=⇒

=+

=+⇒

=+++++

=++++⇒

=++

=++

4a12a3

3r9r3

15r9a3

6r6a3

15r5ar3ara

6r4ar2aa

15aaa

6aaa

111

1

111

111

642

531

Sendo r = 3 e a1 = 4, tem-se: ( ) 11354a6 =×+−=

RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 2. Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja – ; a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente:

01) cão, cobra, calopsita. 02) cão, calopsita, cobra. 03) calopsita, cão, cobra. 04) calopsita, cobra, cão. 05) cobra, cão, calopsita. RESOLUÇÃO: Analisando as informações dadas: 1) Zezé, Zozó e Zuzu moram na mesma rua, em três casas contíguas. 2) Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. 3) O cão mora em casa contígua a de Zozó, logo o cão não é de Zozó:

CASA 1 CASA 2 CASA 3 ZEZÉ ZOZÓ ZUZU

CALOPSITA CÃO Não

COBRA 4) A calopsita é amarela. 5) Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja, logo a calopsita não é de Zezé.

CASA 1 CASA 2 CASA 3 ZEZÉ ZOZÓ ZUZU

CALOPSITA Não CÃO Não

COBRA

2

6) A cobra vive na casa do meio, logo a cobra é de Zozó. 7) O cão e a calopsita vivem nas casas extremas. 8) Como o cão é vizinho de Zozó, este mora na casa do meio e portanto a cobra é de Zozó.

CASA 1 CASA 2 CASA 3 ZEZÉ ZOZÓ ZUZU

CALOPSITA Não Não CÃO Não

COBRA Não Sim Não

6) Pela tabela acima, o cão é de Zezé.

CASA 1 CASA 2 CASA 3 ZEZÉ ZOZÓ ZUZU

CALOPSITA Não Não CÃO Sim Não

COBRA Não Sim Não

Completando a tabela acima:

CASA 1 CASA 2 CASA 3 ZEZÉ ZOZÓ ZUZU

CALOPSITA N N SIM CÃO SIM N N

COBRA N SIM N

RESPOSTA: Alternativa 01 Questão 3. Certo homem, em 12 dias, com seu automóvel, percorreu 870 km. Em cada dia ele percorreu 5 km a mais que no dia anterior. Qual a distância percorrida por esse homem no sétimo dia? 01) 70km 02) 75km 03) 80km 04) 85km 05) 90km RESOLUÇÃO: 1o Dia: a km. 12o Dia: (a+5×11) km. Nos 12 dias percorreu 870km ⇒ ( )

755645a54a54012a87033012a8702

1255aa7 =×+=⇒=⇒=⇒=+⇒=

×++.

RESPOSTA: Alternativa 02

3

Questão 4.

Considere os seguintes argumentos:

Argumento I) Argumento II) Argumento III)

• Se o filho de Pedro joga futebol então ele bebe soda limonada.

• Ou Pedro vai ao parque ou Pedro vai a praia.

• Se Pedro vai ao parque então sua mulher fica feliz.

• Se Pedro vai a praia então seu filho joga futebol.

• Hoje, a mulher de Pedro está Infeliz.

• Logo hoje o filho de Pedro bebe soda limonada.

• Se João joga futebol então ele bebe soda limonada.

• Se João não bebe soda limonada então ele bebe fanta.

• Se não chove então João joga futebol.

• Hoje, não chove.

• Logo hoje João não bebe fanta.

• Quando chove, faz calor.

• Quando faz calor, eu ligo o ar condicionado.

• Hoje, eu liguei o ar condicionado.

• Logo hoje choveu.

Sobre os argumentos acima podemos afirmar que: 01) Todos são válidos

02) Todos são inválidos.

03) Apenas o argumento I é válido.

04) Apenas o argumento II é inválido.

05) Apenas o argumento III é inválido.

RESOLUÇÃO:

• Para o estudo de um argumento, considera-se cada premissa como verdadeira.

• O argumento somente será válido se for observada a cadeia seguinte (propriedade transitiva da

implicação):[(a ⇒ b) e (b ⇒ c) e (c ⇒ d) e ........e (m ⇒ n)] ⇒ [(a ⇒ n)]

ANÁLISE DO ARGUMENTO I)

(5) Hoje, a mulher de Pedro está Infeliz. ⇒ (3) Se a mulher de Pedro está infeliz, Pedro não foi ao parque. ⇒ (2) Como Pedro somente vai ao parque ou somente vai a praia, então Pedro foi a praia. ⇒ (4) Se Pedro foi a praia então seu filho joga futebol.⇒ (1) Se o filho de Pedro joga futebol então ele bebe soda limonada.⇒

Então o argumento “Logo hoje o filho de Pedro bebe soda limonada” é um ARGUMENTO VÁLIDO.

4

ANÁLISE DO ARGUMENTO II)

(4) Hoje, não chove. ⇒ (3) Se não chove então João joga futebol.⇒ Hoje João joga futebol. ⇒ (1) Se João joga futebol então ele bebe soda limonada.⇒ Hoje João bebe soda limonada. (2) Mas se hoje João bebe soda limonada, não implica em que hoje ele beba ou não FANTA.

Então o argumento: “Logo hoje João não bebe fanta” NÃO É VÁLIDO.

ANÁLISE DO ARGUMENTO III)

(1) Quando chove, faz calor. ⇒ (2) Quando faz calor, eu ligo o ar condicionado. (3) Hoje, eu liguei o ar condicionado. Mas eu posso ligar o ar condicionado fazendo calor ou não, logo hoje pode estar chovendo ou não.

Então o argumento: “Logo hoje choveu” NÃO É VÁLIDO..

RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 5. Considere a progressão geométrica (x, x + 4, 9x, ...); x < 0. Calcule o décimo termo dessa progressão. 01) 19683 02) 6561 03) 2187 04) 18423 05) 1782 RESOLUÇÃO:

Numa PG vale a relação: 312

2 aaa ×= , logo:

( ) 1ou x 2x16

248x

16

512648x0168x8x9x4x 222

−==⇒±

=⇒+±

=⇒=−−⇒=+ .

Como x < 0 ⇒ x = −1 ⇒ que a progressão geométrica é (−1, 3, −9, 27,...) ⇒ a razão

q = −3 ⇒ a10 = ( ) ( ) 1968331 9=−×− .

RESPOSTA: Alternativa 01 Questão 6.

01. Sobre Lógica considere as seguintes afirmativas:

I) A negação da sentença “Todos os professores trabalham muito e ganham mal” é “Algum professor não trabalha muito ou não ganha mal”.

II) A negação da sentença “Se não tenho caridade, sou como o bronze que soa, ou como o címbalo que retine” é “ Não tenho caridade e não sou como o bronze que soa, nem como o címbalo que retine”.

III) A sentença “Se chove ou neva então o chão fica molhado” é equivalente a sentença “Se o chão esta seco então não choveu e não nevou”.

Sobre as afirmativas acima podemos afirmar que:

5

01) Todas são verdadeiras.

02) Somente a afirmativa I é falsa.

03) Somente a afirmativa II é falsa.

04) Somente a afirmativa III é falsa.

05) Somente uma das afirmativas é verdadeira.

RESOLUÇÃO: (I) VERDADEIRA, pois, ~(∀p ∧q) ⇔ ∃~p ∨ ~q. (II) VERDADEIRA, pois, ~[p → (q ∨ r)] ⇔ p ∧ (~q ∨ ~r). (III) VERDADEIRA, pois, as sentenças “Se chove ou neva então o chão fica molhado” e “Se o chão esta seco então não choveu e não nevou” são contrapositivas, portanto equivalentes.

RESPOSTA: Alternativa 01.

Questão 7. O pagamento de uma dívida será feita em 10 parcelas, sendo a segunda igual a R$ 51,00. Cada parcela será igual a anterior acrescida de 2%. Calcule a soma, em reais, de todas as parcelas que serão pagas. (Considerar 1,029 = 1,2) 01) 420 02) 584 03) 560 04) 580 05) 600 RESOLUÇÃO: 1a parcela: x 2a parcela: 1,02x = 51 3a parcela: 1,022 x . . . 10a parcela: 1,029 x.

Sendo 5017

850

1,02

51,00x511,02x ===⇒=

A razão da PG é 1,02.

( ) ( ) ( ) ( )560

0,02

0,22405

0,02

11,21,0205

0,02

11,021,0205

0,02

11,0205

1q

1qaS

910101

10 =×

=−××

=−××

=−×

=−

−= .

RESPOSTA: Alternativa 03.

Questão 8.

Um investidor estrangeiro tinha uma certa quantia em dólares no dia 10/01/2010. Neste dia ele trocou seus dólares por reais pela cotação do dia e em seguida, com estes reais, comprou ações da Petrobrás por R$36,00 cada ação. Na quarta-feira, dia 25/08, ele vendeu suas ações da Petrobrás por R$27,00 cada ação e em seguida trocou seus reais por dólares pela cotação do dia. Sabendo que a cotação do dólar, em reais, no dia 25/08 estava 10% superior a cotação do dia 10/01, determine, aproximadamente, a perda percentual que este investidor teve em dólares.

01) 16,7% 02) 29,6% 03) 31,8% 04) 33,4% 05) 37,5%

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RESOLUÇÃO:

10/01/2010 25/08/2010 TROCOU COMPROU VENDEU TROCOU

1dólar por y reais 1 ação por 36 reais 1 ação por 27 reais 1dólar por 1,10y reais

y

36x

reais 36

dólaresx

reaisy

dólar 1=⇒=

1,10y

27x

reais 27

dólaresx

reais1,10y

dólar 1=⇒=

0,681840,4

3

36

1

10,1

27

y

36

y10,1

27==×=÷ ⇒ O valor do dólar em 25/08 era 68,18% do seu valor em

10/01/2010, logo a perda percentual foi de 100% - 68,18% = 31,82%. RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 9. A abóbada de um túnel tem a forma de um arco de parábola de equação y = ax² + bx + c.

P = (8, 2) é um ponto dessa abóbada, cuja altura máxima é igual a: 01) 2,40 02) 2,35 03) 2,30 04) 2,25 05) 2,15 RESOLUÇÃO: Sendo 4 e 10 raízes do polinômio y = ax² + bx + c, pode-se escrever: y = a(x – 4)(x – 10). Sendo P = (8, 2) um ponto do arco de parábola:

a(8 – 4)(8 – 10) = 2 ⇒ – 8a = 2 ⇒ a = 4

1− .

Assim y = ( ) 10)(x4x4

1−−− ⇒ y assume o valor máximo para x = 7

2

104=

+.

A altura máxima da abóbada é: ( ) ( ) 2,253)(34

110)(747

4

1ymax =−−=−−−= .

RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 10. Sendo x o maior número natural de 4 algarismos que dividido por 15 e por 21 deixa sempre resto 2, calcule a soma dos algarismos de x.

01) 28 02) 29 03) 30 04) 31 05) 32

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RESOLUÇÃO:

Todo número, ao mesmo tempo divisível por 15 e 21, é também divisível por 105 que é o menor múltiplo comum entre 15 e 21.

Pode-se determinar, o maior múltiplo de 105 formado por quatro algarismos através da seguinte forma:

1) Dividindo-se 10.000 por 105, encontra-se quociente 95 e resto 25.

2) Logo 10.000 – 25 = 9975.

3) 9.975 = 95 × 105 = 475 × 21 = 665 × 15.

4) O número procurado é então: 9.975 + 2 = 9.977.

5) A soma dos algarismos de 9.977 é 32.

RESPOSTA: Alternativa 05.

Questão 11.

Um ladrilho de 40 × 40 cm² tem a seguinte configuração ao lado:

O fabricante precisou saber qual a área da parte hachurada para determinar o consumo da tinta necessária para a pintura dessa parte.

Essa área, em cm², é igual a:

01) 352 02) 368 03) 428 04) 486 05) 512

RESOLUÇÃO:

A área da região hachurada será calculada da seguinte forma:

( )ABC triângulo10 raio círculoquadrado S4SSS +−= ⇒

486)800314(16002

2020410040S 2

=+−=

××+−= π

RESPOSTA: Alternativa 04.

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Questão 12. Em uma fazenda produtora de soja duas colheitadeiras A e B são utilizadas para a colheita da produção. Quando trabalham juntas conseguem fazer toda a colheita em 72 horas. Porém, utilizando apenas a colheitadeira A, toda a colheita é feita em 120 horas. Se o produtor utilizar apenas a colheitadeira B, toda a colheita será feita em: 01) 180 horas 02) 165 horas 03)157 horas 04) 192 horas 05) NRA

RESOLUÇÃO:

Colheitadeira A Colheitadeira B Colheitadeiras A e B

Tempo (horas) 120 x 72

Produção por hora de trabalho 120

1

x

1

72

1

180x360x2x5360x372

1

x

1

120

1=⇒=⇒=+⇒=+ .

RESPOSTA: Alternativa 01.

Questão 13.

I)

ihg

ifhegd

i2ch2bg2a

ihg

fed

cba

−−−

+++

=

II)

cbc

aab

bca

cab

bac

cba

=

III)

fed

cba

ihg

ihg

fed

cba

=

IV)

ihg

fed

cba

64

i8h8g8

f4e4d4

c2b2a2

=

V) 0

caca

cbcb

baba

=

+

+

+

Dentre as proposições acima, o maior número de proposições verdadeiras, é:

01) um 02) dois 03) três 04) quatro 05) cinco.

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RESOLUÇÃO:

I)

ihg

ifhegd

i2ch2bg2a

ihg

fed

cba

−−−

+++

= ⇒ É verdadeira, pois as duas primeiras linhas do segundo

determinante são, respectivamente, combinações lineares de duas linhas do primeiro determinante.

II)

cbc

aab

bca

cab

bac

cba

= ⇒ É verdadeira, pois são determinantes de matrizes transpostas.

III)

fed

cba

ihg

ihg

fed

cba

= ⇒ É verdadeira, pois, foram trocadas as posições das três linhas entre si.

IV) ( )

ihg

fed

cba

64

ihg

fed

cba

842

i8h8g8

f4e4d4

c2b2a2

=××= É verdadeira.

V) 0

caca

cbcb

baba

=

+

+

+

⇒ É verdadeira, pois, a primeira coluna é combinação linear das outras duas.

RESPOSTA: Alternativa 05.

Questão 14.

O sistema

=−

=−

=+

my2x3

1yx

4y2x

é impossível para todo m diferente de:

01) 0 02) 1 03) 2 04) 3 05) 4

RESOLUÇÃO:

No sistema

=−

=−

=+

my2x3

1yx

4y2x

os valores de x e de y que satisfazem às duas primeiras equações, também

satisfazem à terceira equação:

( ) ( )

=−=−=

=+=

=⇒=

⇒

4261223m

211x

1y3y3

.

Para m = 4, o sistema é possível e determinado, sendo S = {(2, 1)} o seu conjunto solução.

10

Graficamente; m = 4

m = 6

Para qualquer valor de m diferente de 4 as três

retas se interceptarão duas a duas em três pontos diferentes, logo o sistema é impossível.

RESPOSTA: Alternativa 05

Questão 15.

Um cilindro de altura h = 6cm está inscrito numa esfera e tem volume igual a 6πcm³. Calcule a área lateral do cone com vértice no centro da esfera e base coincidente com uma das bases do cilindro.

01) 5π 02) 10 03) 10π 04) 102π 05) 2

10π

RESOLUÇÃO:

Sendo o volume do cilindro igual a 6πcm³, 1r6²r66h²r =⇒=⇒= ππ .

Da figura ao lado: R² = 1 + 9 ⇒ 10R = .

R é a geratriz do cone, então sua área lateral é: 10RrS ππ == . RESPOSTA: Alternativa 03.

Questão 16. A posição de um ponto da Terra é determinada por suas coordenadas geográficas, latitude e longitude. Considerando o meridiano que passa pelo ponto P da Terra, latitude é a medida do arco desse meridiano entre P e o Equador e longitude é a medida do ângulo desse meridiano com o meridiano que passa em Greenwich.

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PÔQ = latitude QÔS = longitude

As cidades A e B têm mesma latitude, 60°N, e suas longitudes são, respectivamente, 40°20’ oeste e 19°40’ leste. Se o raio da Terra, considerada esférica é igual a 6.000km, calcule a distância, em quilômetros, entre essas cidades.

Figura 1

Figura 2

Das duas imagens acima pode-se gerar as figuras abaixo:

Considerando o ponto O como centro da Terra (Figura 1), o ângulo central QÔR mede 40°20’ + 19°40’ = 60°. Da figura 3: .km300030senkm6000r =°×=

Da figura 5: 31406

300014,32

6

r2=

××==

πl .

RESPOSTA: A distância entre as cidades A e B é 3140km.