UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROINSTITUTO DE FISICAFISICA II-A - 2011/1GABARITO DA SEGUNDA PROVADATA: 27/06/2011

QUESTAO 1 [ 2,5 pontos]

Quando se leva um sistema do estado i ao estado f aolongo do trajeto iaf da figura ao lado, descobre-se que|Q| = 50 J (transferido para o sistema) e |W | = 20 J.Ao longo do trajeto ibf, |Q| = 36 J (transferido parao sistema). Para responder os itens abaixo, deixe claroqual das duas convencoes para o trabalho voce ira usar.

a) (0,8) Qual o valor de W ao longo do trajeto ibf? Essetrabalho e realizado pelo sistema ou sobre ele?b) (0,8) Se W = 13 J para o trajeto curvo fi de retorno,quanto vale Q para esse trajeto? Esse calor e fornecidoao sistema ou extraıdo dele?c) (0,9) Determine Eint,f tomando Eint,i = 10 J. E se oprocesso fosse irreversıvel, qual seria o valor de Eint,f?

f

i

a

b

V

p

O

GABARITO

No trajeto iaf, Q e positivo e W e negativo (convencao ∆E = Q+W , com Vf > Vi).

(a) ∆Eif = 30 J, logo W = (30− 36) J, entao W = −6 J. O trabalho e realizado pelo gas.

(b) W e positivo (Vf < Vi). ∆Efi = −30 J, logo Q = −43 J. O calor e extraıdo do sistema.

(c) ∆Eif = Ef − Ei = 30 J, com Ei = 10 J entao Ef = 40 J.

Para o caso irreversıvel, o valor seria o mesmo pois a energia interna e uma funcao de estado.

ou

No trajeto iaf, Q e positivo e W e positivo (convencao ∆E = Q−W , com Vf > Vi).

(a) ∆Eif = 30 J, logo W = (−30 + 36) J, entao W = 6 J. O trabalho e realizado pelo gas.

(b) W e negativo (V − f < Vi). ∆Efi = −30 J, logo Q = −43 J. O calor e extraıdo do sistema.

(c) ∆Eif = Ef − Ei = 30J, com Ei = 10 J entao Ef = 40 J.

Para o caso irreversıvel, o valor seria o mesmo pois a energia interna e uma funcao de estado.

1

QUESTAO 2 [ 2,5 pontos]

Duas supostas maquinas termicas A e B funcionam entre dois reservatorios termicos, um na temperaturaT1 = 400 K e outro na temperatura T2 = 300 K. A primeira maquina recebe por ciclo uma quantidade de calorQA1 = 1.500 J produzindo um trabalho WA = 300 J. A segunda maquina recebe QB1 = 2.000 J por ciclo,produzindo um trabalho WB = 600 J. Determine:

a) (0,4) a quantidade de calor cedido pelas duas maquinas QA2 e QB2;b) (0,8) a variacao da entropia do universo termodinamico formado pelos reservatorios e a maquina A operandoem ciclo;c) (0,8) a variacao da entropia do universo termodinamico formado pelos reservatorios e a maquina B operandoem ciclo.d) (0,5) A partir dos itens anteriores, justifique qual (ou quais) das duas maquina e factıvel.

GABARITO

a) (0,4) Em um ciclo, a variacao da energia interna do sistema e zero, logo, pela 1a Lei da Termodinamica,

QA2 = −QA1 +WA = −1.500 J + 300 J = −1.200 JQB2 = −QB1 +WB = −2.000 J + 600 J = −1.400 J , (1)

onde o sinal negativo indica que o calor foi cedido pelas maquinas para o reservatorio T2.

b) (0,8) Para determinarmos a variacao da entropia do universo devemos somar as variacoes de entropia damaquina A, do reservatorio T1 e do reservatorio T2. A entropia e definida como dS = Q/dT . A maquina Aoperando em ciclo tem ∆SA = 0. Os dois reservatorios operam a temperatura constante, logo ∆S = Q/T . Oreservatorio T1 cede calor e o reservatorio T2 recebe calor da maquina. Entao:

∆SA1 = −QA1

T1= −1.500

400J/K = −3, 75 J/K

∆SA2 = −QA2

T2= −−1.200

300J/K = 4, 00 J/K . (2)

A variacao da entropia do universo sera ∆SA1 + ∆SA2 + ∆SA = 0, 25 J/K.

c) (0,8) Considerando o mesmo raciocınio do item anterior, teremos que a maquina B operando em ciclo tem∆SB = 0 e para os dois reservatorios

∆SB1 = −QB1

T1= −2.000

400J/K = −5, 00J/K

∆SB2 = −QB2

T2= −−1.400

300J/K = 4, 67 J/K . (3)

A variacao da entropia do universo sera ∆SB1 + ∆SB2 + ∆SB = −0, 33 J/K.

d) (0,5) Pela 2a Lei da Termodinamica, ∆S ≥ 0. Logo, somente a maquina A e factıvel.

2

QUESTAO 3 [ 2,0 pontos]

O grafico abaixo mostra a distribuicao de velocidades N(v) em funcao da velocidade v, para uma amostra de umgas de N moleculas de nitrogenio. A massa de uma molecula de nitrogenio vale 4, 65× 10−26 kg.

a) (0,8) Sabendo que a velocidade mais provavel e dada por vp = (2kT/m)1/2, onde m e a massa de uma moleculae k e a Constante de Boltzmann, obtenha a partir do grafico a temperatura do gas T .b) (0,8) Calcule a energia cinetica media de translacao por molecula < ec >.c) (0,4) Considere que a temperatura do gas aumenta de um fator 4 em relacao a temperatura dos itens anteriores.Determine a razao entre as velocidades quadraticas medias de translacao (vrms) nas temperaturas T e 4T .

0 200 400 600 800 1000 12000

1

2

3

4

5

v Hm�sL

NHvL

´10

23Hs�

mL

Constante de Boltzmann k = 1, 38× 10−23 J/K;

GABARITO

(a)(0,8)O valor maximo da distribuicao corresponde ao valor mais provavel da velocidade vp.Pelo grafico vp=400 m/s.vp = (2kT/m)1/2 ⇒ T = mv2p/2k = (4, 65x10−26)(400)2/2(1, 38x10−23)kg(m/s)2/(J/K)=269,57 K≈270 K.

(b)(0,8)Pelo teorema de equiparticao da energia, para uma dada temperatura T , a energia media por molecula e 1/2kTpara cada grau de liberdade independente. Para a translacao, temos 3 graus de liberdade ⇒ < et >= 3/2kT< et >= 3/2kT = 3(1, 38x10−23)(269, 57)/2((J/K)K) = 5, 57x10−21 J.

(c)(0,4)Como < et >= m < v2 > /2 = 3/2kT ⇒ vrms = (3kT/m)1/2

Aumentando T de um fator 4 ⇒ vrms(4T )/vrms(T ) = (4T/T )1/2 = 2.

3

QUESTAO 4 [ 3,0 pontos]

Um mol de um gas ideal monoatomico (CV = 3R/2) e levado do ponto A ao ponto C no diagrama P × V pordois processos reversıveis diferentes (ver figura a seguir):I - de A a B por uma transformacao isobarica e de B a C por uma transformacao isovolumetrica.II - de A a C por uma transformacao adiabatica (PV γ =constante onde γ = CP /CV );

a) (0,2) Para qual dos dois processos (I ou II) a variacaoda energia interna e maior? Justifique.b) (0,2) Para qual dos dois processos (I ou II) a variacaoda entropia e maior? Justifique.c) (0,6) Determine as temperaturas nos pontos A, B e Cem funcao de P0, V0 e R (constante universal dos gases),sabendo que PA = P0, VA = V0 e VB = 8V0.d) (1,0) Para o processo I, determine o trabalho realizadopelo gas e o calor trocado com a vizinhanca em funcaode P0 e V0 (nao esqueca os sinais).e) (1,0) Para o processo II, determine o calor trocadocom a vizinhanca e o trabalho realizado pelo gas emfuncao de P0 e V0 (nao esqueca os sinais).

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GABARITO

a) (0,2) A variacao da energia interna e a mesma para os dois processos pois ela e uma funcao de estado.

b) (0,2) A variacao da entropia e a mesma para os dois processos pois ela e uma funcao de estado.

c) (0,6)

TA = P0V0

R , TB = 8P0V0

R e TC = 8PCV0

R .

Como PCVγC = PAV

γA e γ = 5/3, teremos que PC =

P0V5/30

(8V0)5/3= P0

85/3= P0

32 . Logo

TC = P0V0

85/3−1R= P0V0

4R

d) (1,0) Para o processo IWI = P0(8V0 − V0) = 7P0V0 (trabalho realizado pelo gas)eQI = CP (TB − TA) + CV (TC − TB) = 5R

27P0V0

R − 3R2

31P0V0

4R = 352 P0V0 − 93

8 P0V0 = 478 P0V0 ≈ 5, 9P0V0

e) (1,0) Para o processo IIQII = 0eWII = −∆E = CV (TA − TC) = 3R

23P0V0

4R = 98P0V0 ≈ 1, 1P0V0 (trabalho realizado pelo gas)

4