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PROVA NACIONAL ESCRITA DE MATEMÁTICA

Equipa Responsável Pela Elaboração e Correção da Prova: Prof. Doutor Sérgio Barreira

Prof.ª Doutora Catarina Lemos

Duração da Prova: 120 minutos. Tolerância: 30 minutos Cotação: 200 PONTOS

Escola de Proveniência dos Concorrentes: ………………………………………………………………………………………………….

Nome para a Equipa (facultativo): …………………………………………………………………………………………………………………

Nome dos Concorrentes: N.º do Documento de

Identificação

1. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….

2. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….

3. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….

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Identifique claramente os grupos e os itens a que responde.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta (exceto nas respostas que

impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações).

Pode usar uma máquina de calcular, quando permitido.

É interdito o uso de «esferográfica-lápis» e de corretor nas folhas da prova.

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Grupo I

É constituído por 16 alíneas de escolha múltipla.

Só é permitida a utilização de máquina de calcular nas primeiras 6 questões.

Cada alínea é seguida de quatro respostas possíveis, mas uma e só uma das respostas é

a correta.

Indique claramente, na folha de respostas, o número da questão e a letra que identifica

a única opção escolhida.

Não apresente cálculos, nem justificações.

COTAÇÕES

1. Uma caixa contém v bolas vermelhas, numeradas de 1 a v, e b bolas brancas,

numeradas de 1 a b. Uma bola é extraída e sua cor observada.

a) Qual a probabilidade da bola extraída ser vermelha?

(A) v / (v + b) (B) b / (b + v) (C) v / b (D) 1 / 2

5

b) Sabendo que a bola é vermelha, qual a probabilidade de que tenha o

número 1?

(A) 2v / (v + b) (B) 1 / (b + v) (C) 1 / v (D) (2 + v) / (v + b)

5

2. Num grupo de 10 pessoas, qual é a probabilidade de pelo menos duas pessoas

fazerem anos no mesmo dia? (Para simplificar, suponha que nenhuma das pessoas

nasceu num ano bissexto).

(A) 0 (B) 0,8831 (C) 0,1169 (D) 0,0247

7,5

3. De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes (com um sabor cada) numa

gelataria que oferece 7 sabores diferentes?

(A) 28 (B) 210 (C) 330 (D) 35

7,5

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4. Numa população adulta, 45% são homens e 55% mulheres. Sabe-se, ainda, que

40% dos homens e 25% das mulheres fumam. Determine:

a) A probabilidade de que um indivíduo escolhido ao acaso nesta população

seja fumador.

(A) 0,3175 (B) 0,3325 (C) 0,3300 (D) 0,3250

5

b) A probabilidade de que um indivíduo escolhido ao acaso nesta população

seja um homem, sabendo que é um fumador.

(A) 0,1800 (B) 0,5538 (C) 0,8889 (D) 0,5669

7,5

5. Sabe-se que numa população 8% das pessoas são infetadas por um vírus

causador de uma doença grave. Um determinado teste para a deteção deste vírus

é eficiente em 98% dos casos infetados, mas resulta em 4% de resultados positivos

para os não infetados.

a) Se o teste de uma pessoa dessa população der resultado positivo, qual a

probabilidade de que ela esteja, de facto, infetada?

(A) 0,0784 (B) 0,1152 (C) 0,8848 (D) 0,6806

7,5

b) Que confiança poderia ter no teste se o resultado fosse negativo, ou seja,

qual a probabilidade da pessoa não estar infetada sendo o teste negativo?

(A) 0,8832 (B) 0,8848 (C) 0,9982 (D) 0,9216

7,5

6. Um determinado antibiótico permite a cura completa de infeções urinárias em

cerca de 80% das mulheres que o tomam. Suponha que este fármaco vai ser

prescrito a uma amostra aleatória de 7 mulheres.

a) Qual a probabilidade de cinco ou seis mulheres ficarem curadas?

(A) 0,1010 (B) 0,6423 (C) 0,5898 (D) 0,0917

7,5

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b) Qual a probabilidade de todas as mulheres ficarem curadas?

(A) 0,0419 (B) 0,8 (C) 1 (D) 0,2097

5

c) Qual a probabilidade de, no máximo, cinco mulheres ficarem curadas?

(A) 0,4233 (B) 0,1480 (C) 0,5767 (D) 0,7903

5

A partir da questão 7 não é permitida a utilização de

máquina de calcular

7. O sistema

izhygx

fzeydx

czbyax

tem como solução:

(A)

afhbdicegcdhbfgaei

habdegdhgbaez

afhbdicegcdhbfgaei

afdigccdfgiay

afhbdicegcdhbfgaei

fhibcehcbfeix

(B)

afhbdicegcdhbfgaei

habdegdhgbaez

afhbdicegcdhbfgaei

afdigccdfgiay

afhbdicegcdhbfgaei

fhibcehcbfeix

(C)

afhbdicegcdhbfgaei

habdegdhgbaez

afhbdicegcdhbfgaei

afdigccdfgiay

afhbdicegcdhbfgaei

fhibcehcbfeix

(D)

afhbdicegcdhbfgaei

habdegdhgbaez

afhbdicegcdhbfgaei

afdigccdfgiay

afhbdicegcdhbfgaei

fhibcehcbfeix

7,5

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8. O conjunto solução da condição

m

mm

m

m

1

21

15

125

125

5

1 2

é:

(A)

,

7

5

7

5, (B)

7

5,

7

5

(C)

7

5, (D)

,

7

5

5

9. A condição 2

572log2log

3

2log 393

uu

uu é satisfeita

quando:

(A) 25

14u (B) 1u (C)

2

1u (D) 2u

5

10. O triângulo ABC , no qual se verifica a relação:

CB

senCsenBsenA

coscos

(A) Não é retângulo (B) É retângulo em A

(C) É retângulo em B (D) É retângulo em C

5

11. Dada a equação

2

22

sin

1

21

10

0 a

tDn

n

n

s

ea

rn

nr

a

cc

cc

, a derivada

de c em ordem a r , quando ar , é:

(A)

2

22

sin12

1

0 a

tDn

n

n

s enna

cc

(B)

1

02

22

2

n

a

tDn

s ea

cc

(C)

2

22

cos12

12

0 a

tDn

n

ns ena

cc

(D)

2

22

cos12

12

a

tDn

n

nen

a

7,5

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Grupo II

É constituído por 4 exercícios.

Não é permitida a utilização de máquina de calcular.

Nas respostas aos itens deste grupo, deverá apresentar todos os cálculos que tiver que

efetuar e todas as justificações necessárias. Apenas a uma resolução detalhada e

correta será atribuída a cotação máxima.

Indique claramente, na folha de respostas, o número do exercício.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o

valor exato.

COTAÇÕES

1. A função de probabilidade binomial,

xnx

nnxnx

npnxb

1

!!

! , ,

fornece a probabilidade de ocorrerem x sucessos em n repetições de uma

experiência aleatória, sendo p a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Mostre que, quando o número de repetições é elevado, a função binominal pode

ser substituída pela função de Poisson, cuja fórmula é:

!

,x

exf

x

.

10

2. A equação seguinte corresponde a uma administração oral de um fármaco em

duas doses, sendo 1t o tempo de toma da segunda dose:

tteeeekk

kc

tteekk

kc

tcktkttktk

a

ap

kttk

a

ap

p

aa

a

1

0

1

0

se 11

0 se

11

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A equação pode ser utilizada para definir a função . Averigue se a

função é contínua em 1t , fundamentando a sua resposta.

15

3. A equação de Hill é utilizada para, matematicamente, descrever a relação

entre a intensidade do efeito, E , e a concentração de medicamento, c :

cEC

cEE

%50

max

maxE é a resposta máxima, é o coeficiente de Hill (é sempre >1) e %50EC a

concentração que produz 50% da resposta máxima.

Considere a situação de uma administração intravenosa na qual ktectc 0

( t representa o tempo e 0c a concentração no instante da administração).

3.1. Estude a função )(tEoc , indicando:

3.1.1. O seu domínio.

3.1.2. Os zeros.

3.1.3. A sua continuidade.

3.1.4. Os intervalos de crescimento e decrescimento.

3.1.5. Os máximos e mínimos.

3.1.6. O seu contradomínio.

3.1.7. As suas concavidades e pontos de inflexão.

3.2. Esboce o gráfico da função.

5

5

5

10

10

10

15

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5

4. Mostre que, sendo A , B e C ângulos internos de um triângulo,

se verifica:

1tan

1

tan

1

tan

1

tan

1

tan

1

tan

1

CBCABA.

10

A C

B

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FORMULÁRIO

Probabilidades, Distribuição Normal Reduzida )( zZP ,

xz

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Fórmulas trigonométricas correntes

)(2

cos

)(2

cos

)cos(2

)cos(2

)cos()cos(

)()(

xsenx

xsenx

xxsen

xxsen

xx

xsenxsen

Lei dos cossenos: Abccba cos2222

Lei dos senos: c

C

b

B

a

A sinsinsin

222)cos()cos(

2cos

2cos2)cos()cos(

2cos

22)()(

2cos

22)()(

)cos()(2)2(

)()cos()2cos(

)cos()()cos()()(

)()()cos()cos()cos(

)(

1

)(

11

1)cos()(

22

22

22

basen

basenba

bababa

babasenbsenasen

babasenbsenasen

aasenasen

asenaa

absenbasenbasen

bsenasenbaba

xsenxtg

xxsen

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Limites notáveis

Regras de derivação