Física do Calor - 23ª Aula

Prof. Alvaro Vannucci

• Na última aula vimos exemplos de como efetuar a

Permutação de um conjunto de n elementos envolvendo p

situações (p estados) possíveis.

• Por exemplo, como saber de quantas maneiras se pode

permutar 5 pessoas P1, P2, P3, P4, P5 (n = 5 elementos

indistinguíveis) em uma fila indiana com 5 lugares (p = 5)?

• Obtivemos: P5,5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = n! = 120 maneiras

• E no exemplo em que se determinou o número de anagramas

que poderia ser formado com a palavra MADEIRA (possui

5 elementos distinguíveis e 2 indistinguíveis)?

• Se fosse desconsiderado o fato que há 2 elementos indistin-

guíveis, o número total de anagramas seria: 7 · 6 · 5! = 5040 ;

• Isto porque, para se levar em conta a existência das duas

letras A, indistinguiveis, temos 7 posições disponíveis para a

primeira e 6 posições disponíveis para a segunda: 7 · 6

• Porém, o total de possibilidades não pode ser dado por

7 · 6 · 5! por conta das 2 letras A que, sendo indistinguíveis,

foram contadas duas vezes nas posições que acabam formando

o mesmo anagrama (2ª - 5ª e 5ª - 2ª posições, por ex.)

• Então, uma divisão por 2 (2!) se fez necessária, resultando:

• As outras 5 letras distintas (elementos distinguíveis) são

permutadas entre as 5 posições restantes: 5!

anagramas da palavra MADEIRA;

onde 7 · 6 · 5! = 7! !

• Supor agora 6 bolas de bilhar - numeradas de 1 a 6 - que

queremos colocar nas 6 caçapas de uma mesa de bilhar. De

quantas maneiras podemos fazer isto?

• Pelo que já vimos, teremos 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6!

• Agora, o que mudaria se tirássemos a bola de número 6 da

mesa e a substituíssemos por uma outra bola número 5?

• Como as 2 bolas (no 5) são agora indistinguíveis, caimos no

exemplo já discutido, e uma divisão por 2! se faz necessária!

• E se tirássemos também a bola de número 4 da mesa e a

substituíssemos por uma outra bola número 5? Teríamos agora

3 elementos distinguíveis e 3 elementos indistinguíveis.

• Observe que as 3 bolas indistinguíveis (todas de número 5)

resulta em 3! = 3 · 2 · 1 situações idênticas, que devem ser

diminuídas do número total, supondo todas distinguíveis.

• Ou seja, teríamos 6!/3! possibilidades (resultados finais

distintos). De forma mais geral, podemos escrever:

• Ou seja, teremos possibilidades !2

!6

2

!6!4

2

56

!

!,

p

nC pn

; onde n é o número total de elementos e

p o número de elementos indistinguíveis

• Finalmente, supor que na mesa de bilhar se tenha 6 bolas

número 5, e 4 bolas número 2.

• Neste caso, a combinação resulta:

• Este tipo de aplicação, que envolve a combinação de objetos

indistinguíveis separados em dois grupos (p e n-p), nos será

particularmente útil no campo da Mecânica Estatística.

• Isto porque será aplicado nas situações em que temos um

certo número n de objetos indistinguíveis (partículas) que

desejaremos alocar de uma certa maneira (em p estados

disponíveis).

• De forma que a expressão geral

das possíveis Combinações será: )!(!

!,

pnp

nC n

pnp

!4!6

!10

)!610(!6

!10

Ex.: Dez acidentados de um ônibus chegam em um hospital e

é preciso escolher 5 para ocupar os leitos (os outros ficariam

em macas, no corredor do hospital). De quantas formas

poderíamos escolher 5 pessoas para ficarem nos leitos?

• Veja que o problema trata-se de escolher as combinações

onde n = 10 (número de ‘elementos disponíveis’) e p = 5

(número de ‘elementos a serem escolhidos’).

• Aplicando a expressão anterior:

)!510(!5

!1010

5

C)!5(2345

!5678910

120

30240 252

)!(!

!

pnp

nC n

p

• Há, então, 252 formas de escolher as 5 pessoas que irão

ocupar os 5 leitos.

Outro ex.: Supor que em uma empresa 15 funcionários se

inscreveram para o time de futebol da casa, dizendo que

aceitam jogar em qualquer posição. De quantas formas é

possível escolher os 11 jogadores do time?

• Sendo n = 15 e p =11:

• Notação: muitas vezes encontramos

)!1115(!11

!1515

11

C234!11

!1112131415

24

32760 1365

pn

n

pnp

n

p

n

)!(!

!

)!(!

!

pnp

nC n

p

Cálculo de PROBABILIDADE

• Sabemos que lançando uma moeda para o alto, a probabi-

lidade de dar ‘cara’ ou ‘coroa’ é de 50% (ou ½ = 0,5).

• Tendo lançado a moeda 3 vêzes consecutivamente, e nas três

vezes saiu “cara”, qual é a probabilidade de, no lançamento

seguinte, sair novamente cara?

• São questões diferentes! Resps: ½ e ½ · ½ · ½ · ½ = 1/16

• “Reformulando” a pergunta: vou lançar uma moeda 4 vêzes,

consecutivamente. Qual é a probabilidade de sair ‘cara’ em

todos os lançamentos?

• Ou seja, quando dizemos que a probabilidade é ½ (50%)

isso não significa que, a cada 2 lançamentos, um vai ser ‘cara’

e o outro vai ser ‘coroa’. O fato da probabilidade ser ½ (ou

50%) quer dizer apenas que as chances são iguais e que, se

fizermos muitos lançamentos, é provável que, aproximada-

mente, metade deles dê ‘cara’, e a outra metade ‘coroa’.

• De forma geral, o cálculo da probabilidade de ocorrer um

resultado (ou um conjunto de resultados) que satisfaça uma

condição ou exigência E, é feito utilizando a expressão:

Ex.: No lançamento de um dado, qual a probabilidade do

resultado ser um número par?

• Para que o resultado seja par devemos ter uma das possibi-

lidades:

• Ou seja, 3 resultados favoráveis (2, 4, 6) de um total de 6

resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6). As chances de dar um

resultado par são 3 num total de 6. Então, podemos dizer que a

probabilidade de isso acontecer é 3/6 = 1/2 .

• Utilizando a expressão anterior:

1ª) Se p indicar a probabilidade de um dado evento ocorrer,

entao q = 1- p indicará a probabilidade dele não ocorrer, de

forma que p + q = 1 (normalização).

2ª) O cálculo de probabilidade que evento A ou evento B

(independentes) ocorram, é dado por: P = P(A) + P(B)

• Considerações importantes:

3ª) O cálculo de probabilidade que evento A e evento B

(independentes) ocorram, é dado por: P = P(A) · P(B)

Ex. Uma empresa tem 30 funcionários, sendo que 10 são

canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho. Qual a

probabilidade de um desses empregados, escolhido ao acaso,

ser canhoto e vá de ônibus para o trabalho?

Ex. Uma caixa contém 10 bolas sendo que 3 são azuis e 3 são

vermelhas. Qual é a probabilidade de se tirar uma bola azul ou

vermelha em uma tentativa?

• As bolas com estas cores são 3+3 (=6) em 10. Desta forma, a

probabilidade de se tirar uma delas será 6/10 = 3/5 , ou 60%

• Calculando: P = P(A) · P(B) = 10/30 · 25/30 = 5/18 = 27,8%

• Ou então: P(A) = 3/10 e P(B) = 3/10. Portanto, para tirar

uma OU outra: P = 3/10 + 3/10 = 60%.

Probabilidade Binomial

• Um Experimento Estatístico possui 3 aspectos em comum:

• Uma distribuição binomial descreve adequadamente

Experimentos Estatísticos que possuem as seguintes

características:

• Possui mais de um resultado (‘cara’ ou ‘coroa’, por ex.).

• Cada resultado possível pode ser especificado com

antecedência (‘cara’ ou ‘coroa’).

• Cada resultado possui uma probabilidade específica dele

ocorrer - ou não (probabilidade ½, no caso de cara ou coroa)

• Pergunta: qual é a diferença entre lançarmos uma moeda ao

ar 10 vezes repetidamente e lançarmos 10 moedas idênticas

(indistinguíveis) simultaneamente?

• O experimento é realizado em n repetidas tentativas.

• Cada tentativa realizada fornece um de apenas dois

resultados possíveis - que estaremos designando por

sucesso (p) ou fracasso (q = 1- p).

• A probabilidade de sucesso (p) mantém-se a mesma

durante todo o experimento.

• Cada nova tentativa é independente das tentativas

realizadas anteriormente.

• Discutiremos posteriormente o conceito de ensemble, mas

quanto a esta questão:

Supor uma moeda sendo lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O

X O X O

X O

1

Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O

X O X O

X O

1 1

Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O

X O X O

X O

1 1 1

Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O

X O X O

X O

1 1 1 1

Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O

X O X O

X O

1 1 1 1 1

Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O

X O X O

X O

1 1 1 1 1 1

Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O

X O X O

X O

1 1 1 1 1 1 1

Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O

X O X O

X O

1 1 1 1 1 1 1 1

Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O

X O X O

X O

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O X O X O

X O X O

X O

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 possiveis

sucessosP

32

10

Em termos de uma tabela:

• A expressão usualmente utilizada para cálculos de

probabilidade como este é a da Probabilidade Binomial , ou

Distribuição Binomial, dada por:

XXXOO XXOXO XXOOX XOXXO XOXOX

• Que corresponde à probabilidade (P) de se obter sucesso (p)

k vezes em n tentativas.

XOOXX OXXXO OXXOX OXOXX OOXXX

knk

kn qpknk

nP

)!(!

!,

• No ex. da moeda cair ‘cara’ 3 vêzes em 5 lançamentos,

tem-se: n = 5 ; k = 3; p = ½ e q = 1 - ½ = ½; e portanto:

• Ex. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes.

Encontre a probabilidade do time A ganhar 4 jogos (g,p,e) .

353

3,52

1

2

1

)!35(!3

!5

P

4

1

8

1

!2!3

!345

16

5

• Agora temos: n = 6 ; k = 4; p = 1/3 e q = 1 - 1/3 = 2/3 :

464

4,63

2

3

1

)!46(!4

!6

P

9

4

81

1

2!4

!456

243

20

%3,31; ou

%2,8ou

knk

kn qpknk

nP

)!(!

!,

• Note que neste problema temos n=5 ; k=(0,1,2,3,4,5) ; p=0,3

Utilizando Tabelas e Gráficos

• Calculando para k = 0 :

• Um lote de peças automotivas foi produzido pela fábrica com

30% delas defeituosas. Escolhendo aleatoriamente 5 peças

para teste: a) quais as probabilidades de se retirar(em) 0, 1, 2,

3, 4 e 5 peça(s) defeituosa(s)? b) construa um gráfico da

distribuição de probabilidade correspondente.

050

0,5 7,03,0)!05(!0

!5

P 168,01

!5

!5 168,0

• Igualmente: P5,1 = 0,360, P5,2 = 0,309, P5,3 = 0,132, P5,4 = 0,028,

e P5,5= 0,002

knk

kn qpknk

nP

)!(!

!,

b) Construindo o gráfico correspondente:

0 1 2 3 4 5

Peças Defeituosas (em 5 tentativas)

• Você esperava esta assimetria no formato? E se a

probabilidade fosse ½ = 0,5 ?