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algebra
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS - DCET
1a AVALIACAO - ALGEBRA LINEAR- 10/10/2007
Profa CLAUDIA SANTANA
1. Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10m2 140g de nitrato, 190 g de fosfato e 205 g
de potassio.
Dispoe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes caracterısticas:
(a) Cada quilograma de adubo I custa 5 u.c.p e contem 10 g de nitrato, 10 g de fosfato e 100 g de
potassio.
(b) Cada quilograma de adubo II custa 6 u.c.p e contem 10 g de nitrato, 100 g de fosfato e 30 g de
potassio.
(c) Cada quilograma de adubo III custa 5 u.c.p e contem 50 g de nitrato, 20 g de fosfato e 20 g de
potassio.
(d) Cada quilograma de adubo IV custa 15 u.c.p e contem 20 g de nitrato, 40 g de fosfato e 35 g de
potassio.
Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a
gastar 54 u.c.p. a cada 10 m2 com a adubacao?
2. Em cada item a seguir, classifique as afirmacoes em verdadeiras ou falsas. Mostre caso a afirmacao
seja verdadeira ou de um contra-exemplo, caso a afirmacao seja falsa.
Considere An(F ) , Bn(F ) e Pn(F ) onde F = R ou C .
(a) Se det(A) = 1 entao A−1 = A.
(b) Se A e uma matriz triangular, entao det(A) = a11 + · · ·+ ann.
(c) det(kA) = kn · det(A), k ∈ F e uma constante.
(d) Se A2 = A, e A 6= In entao det(A) = 0.
(e) det(A + B) = det(A) + det(B).
(f) Se B = P−1AP entao det(B) = det(A).
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3. Dado o sistema a seguir:
x + y + z − 2w = −4
2y + z + 3w = 4
2x + y − z + 2w = 5
x− y + w = 4
Determine:
(a) se o sistema e possıvel e determinado, impossıvel ou possıvel e indeterminado.
(b) o determinante da matriz
0BBBBBB@ 1 1 1 −2
0 2 1 3
2 1 −1 2
1 −1 0 1
1CCCCCCA.
4. Dado o sistema linear 8>><>>: 3x + 5y + 12z − w = −3
x + y + 4z − w = −6
2y + 2z + w = 5
(a) Discuta a solucao do sistema.
(b) Acrescente a equacao 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que torne o sistema
impossıvel.
Em cada questao, justifique todos os seus passos.
Questao valor
1 3.0
2 3.0
3 2.0
4 2.0
BOA SORTE!!!!!!!
2
RESPOSTAS
1. RESPOSTA: Devemos colocar
64519619
kg,43819619
kg,143969619
kg,259279619
kg
dos adubos I, II, III e IV respectivamente.
Dica:
Analise o seguinte sistema:
8>>>><>>>>:x + y + 5z + 2w = 14000
x + y + 2z + 4w = 19000
100x + 30y + 20z + 35w = 205000
5x + 6y + 5z + 15w = 54000
, onde x, y, z e w representam as
quantidades, em gramas, dos adubos I, II, III e IV respectivamente.
Analise o seguinte sistema:
8>>>><>>>>:x + y + 5z + 2w = 14
x + y + 2z + 4w = 19
100x + 30y + 20z + 35w = 205
5x + 6y + 5z + 15w = 54
, onde x, y, z e w representam as
quantidades, em kilogramas, dos adubos I, II, III e IV respectivamente.
2. (a) FALSO. Considere A =
�i 0
0 −i
�Considere A−1 =
�−i 0
0 i
�(b) FALSO. Como consequencia do Teorema de Laplace temos que: det(A) =
Qni=1 aii.
(c) VERDADEIRO. Consequencia do Teorema de Laplace.
(d) VERDADEIRO. Como A2 = A ⇔ A(A − I) = 0. Daı se det(A) 6= 0 segue que ∃A−1 e portanto
terıamos A = I.
(e) FALSO. Considere A =
�1 0
0 0
�e Considere B =
�0 0
0 1
�Observe que det(A + B) = 1 e det(A) = det(B) = 0.
(f) VERDADEIRO. Use que: det(AB) = det(A) · det(B). Observe que neste item estamos supondo
que P e uma matriz inversıvel.
3. (a) O sistema e possıvel e determinado. A solucao deste sistema e (1,−1, 0, 2).
(b) det(A) = −30.
4. (a) O sistema e possıvel e indeterminado.
(b) Para k = −1 o sistema dado e impossıvel.
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