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PARTE 1

Nesta parte permitido o uso da calculadora.

1. Relativamente figura 1, sabe-se que:

os tringulos [ABC] e [AED] so tringulos retngulos;

os pontos D e E pertencem aos segmentos de reta [AC] e [AB],

respetivamente;

3

2AE DE 6BC cm

1.1. Determina a amplitude do ngulo BAC .

Apresenta a resposta com aproximao s dcimas do grau.

1.2. Calcula a rea do tringulo [ABC].

Apresenta a resposta com aproximao s dcimas do cm2.

2. Um depsito de gua com forma cbica vai ser colocado

entre o telhado e a laje de uma casa conforme se pode

observar no modelo geomtrico representado na figura 2.

Sabe-se que:

o depsito tem uma capacidade de 512 litros;

ABCDEF um prisma triangular reto;

2,4AB m

2.1. Determina o volume do prisma [HILKFE].

Apresenta o resultado em cm3 na forma de notao cientfica.

Apresenta todos os clculos que efetuares.

2.2. Qual dos pares de retas seguintes so no complanares?

(A) AK e JH (B) EB e AJ (C) LI e BC (D) AH e JK

3. A figura 3 representa a planificao da superfcie de um cone reto de

geratriz R e raio da base r.

80AVB

3.1. Mostra que 2

9r R .

3.2. Considera que r = 2 cm. Calcula o volume do cone.

Apresenta o resultado com aproximao s centsimas do centmetro cbico.

(Utiliza 3,1416 para valor aproximado de .)

Figura 1

Figura 2

Figura 3

A B

CD

E

F

G

H

I

J

K

L

PROVA MODELO 5

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4. Na figura 4 est representado um crculo de centro O e o papagaio [ABOC].

Sabe-se que:

os pontos B e C pertencem circunferncia de centro O;

as retas AB e AC so tangentes circunferncia;

42BAC

5AC cm

4.1. Justifica que 138COB .

4.2. Usa a frmula da rea do papagaio para determinar a rea do papagaio [ABOC].

Apresenta o resultado em centmetros quadrados, arredondado s centsimas.

Sempre que efetuares clculos intermdios, se procederes a arredondamentos, conserva, no

mnimo, quatro casas decimais.

Frmula:

2

diagonal maior diagonal menorreado papagaio

5. No grfico de barras da figura 5 esto representados os dados

relativos s idades dos alunos de uma turma do 9. ano no incio do

ano letivo.

A barra relativa aos alunos com 16 anos ainda no foi desenhada.

A mediana das idades dos alunos da turma 14,5.

5.1. Justifica que na turma h 5 alunos com 16 anos.

5.2. Vai ser escolhido, ao acaso, um aluno da turma para a

representar numa reunio com o diretor da escola.

Qual a probabilidade de o aluno escolhido ter 14 ou15 anos?

Apresenta o resultado na forma de frao irredutvel.

5.3. As disciplinas preferidas pelos alunos da turma so Matemtica, Cincias e Ingls.

Sabe-se que:

17 alunos preferem a disciplina de Matemtica;

ao escolher, ao acaso, um aluno da turma, a probabilidade de o aluno escolhido preferir

a disciplina de Ingls 1

7;

cada aluno s indicou uma disciplina como preferida.

Que percentagem de alunos preferem a disciplina de Cincias?

5.4. No 2. perodo, depois de dois irmos gmeos terem entrado na turma, a mdia das idades

dos alunos passou a ser 14,6 anos.

Que idade tinham os irmos gmeos?

Figura 4

Figura 5

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PARTE 2

Nesta parte no permitido o uso da calculadora.

6. No referencial da figura 6 est representada graficamente a

funo f de proporcionalidade inversa.

Sabe-se que:

o grfico de f passa pelos pontos A e B;

6 , 2A e 0 , 2C ;

a rea do tringulo [ABC] 12.

6.1. Completa a tabela seguinte

x 1 3

...f x 8

6.2. Determina as coordenadas do ponto B.

7. Resolve a inequao seguinte.

1 1

1 1 33 2

xx

Apresenta o conjunto-soluo na forma de intervalo de nmeros reais.

8. Qual o maior nmero inteiro pertencente ao conjunto , 20 , 5 ?

(A) 3 (B) 20 (C) 4 (D) 5

9. Sabe-se que m.d.c. , 3x x m.m.c. , 3x x = 2

1x , sendo x um nmero natural.

Determina x.

10. Resolve o sistema de equaes seguinte.

2 33

2 6

y xx

y x

Apresenta os clculos que efetuares.

11. Seja n um nmero natural, diferente de 1. Admite que 3n k .

Qual o valor de 6n ?

(A) 2

1

k (B) 2k (C) 6k (D)

3

1

k

Figura 6

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12. Na figura 7, esto representados, num referencial cartesiano de

origem O, partes dos grficos de duas funes, f e g.

Sabe-se que:

a funo f uma funo quadrtica definida por uma

expresso da forma 2, 0f x ax a ;

a funo g definida por 3 1

4 2g x x ;

os pontos A e B tm a mesma ordenada;

os pontos B e C tm a mesma abcissa;

o ponto A um dos pontos de interseo dos grficos de f e de g;

o ponto D o ponto de interseo do grfico de g com o eixo das abcissas;

o ponto C tem coordenadas (2 , 0).

12.1. Determina a expresso algbrica da funo f.

12.2. Determina a rea do trapzio [ABCD].

13. Resolve a equao 221

1 13

x x .

Apresenta todos os clculos que efetuares.

14. Na figura 8, esto representados os quatro primeiros termos de uma sequncia de crculos

brancos e pretos que seguem a lei de formao sugerida.

14.1. Determina o nmero de crculos brancos que tem o termo como 6 crculos pretos.

14.2. O ltimo termo da sequncia tem 121 crculos. Quantos termos tem a sequncia.

15. Na figura 9, est representada uma circunferncia de centro O.

Sabe-se que:

os pontos A, B, C e D so pontos da circunferncia;

[BD] um dimetro da circunferncia;

a reta t tangente circunferncia no ponto B;

o permetro da circunferncia 10 ;

60BVD

15.1. Determina a amplitude do arco AB.

15.2. O segmento de reta [AB] um dos lados de um polgono regular inscrito na circunferncia.

Quantos lados tem o polgono?

15.3. O tringulo [BCD] issceles. Calcula a sua rea.

Figura 7

Figura 9

Figura 8

Resolues

1.1. 3 2

2 3

DEAE DE

AE

2sin3

BAC

Logo, 12 sin 41,83

BAC

.

1.2. A rea do tringulo [ABC] dada por:

2ABC

AB BCA

Os tringulos [ABC] e [AED] so semelhantes

pelo critrio AA:

BAC EAD (ngulo comum aos dois

tringulos);

90CBA ADE

Como 3

2AE DE , ento

3 36 9

2 2AC BC .

Aplicando o teorema de Pitgoras, tem-se:

2 22 29 6 45AB AB

Logo, 45AB .

45 6

20,12

ABCA

A rea pedida 20,1 cm2.

2.1. 2

b

LI LEV HILKFE A h HI

512 l = 512 dm3

3 512 8LI HI (dm)

8 dm = 80 cm

AB = 2,4 m = 240 cm

Os tringulos [JBI] e [ELI] so semelhantes, pelo

critrio AA de semelhana de tringulos:

90BJI ILE

IBJ EIL (ngulos agudos de lados

paralelos so iguais).

Assim, tem-se 80

4080 160

ELEL .

80 40

80 128 0002

HILKFEV

Resposta: O volume pedido 51,28 10 cm3.

2.2. A opo correta a (C).

3.1. O permetro da base do cone igual ao

comprimento do arco AB.

Permetro da base do cone = 2 r

Comprimento do arco AB:

80 2 42 2

360 9 9R R R

Logo, 24

9r

2

9R r R (c.q.m.)

3.2. Volume do cone 1

rea da base altura3

2r ; 9 9

2 92 2

g R r

Altura do cone: h

2 2 2 22 9 81 4 77h h h

Logo, Vcone 21 3,1416 2 77 36,76

3 .

O volume do cone pedido 36,76 cm3.

4.1. 90ACO OBA , porque uma reta tangente a

uma circunferncia e o raio que contm o ponto

de tangncia so perpendiculares.

Como um papagaio um quadriltero e a soma

dos ngulos internos de um quadriltero um

ngulo giro, ento:

360 42 2 90 138COB

4.2. A rea do papagaio dada por:

papagaio2

AO BCA

Tendo em conta o esquema ao lado, tem-se:

5 5

cos21cos21

AOAO

sin21 5sin215

CDCD

Como as diagonais [AO] e [BC] se bissetam:

2 sin21 10sin21BC

Assim, papagaio

510sin21

cos21 9,602

A

.

A rea do papagaio 9,60 cm2.

5.1. Como a mediana do conjunto de dados 14,5,

ento o nmero de dados par e os dois valores

centrais so 14 e 15. Portanto, h 14 alunos com

14 anos ou menos e 14 alunos com 15 anos ou

mais.

Pelo que h 5 alunos com 16 anos (9 + 5 = 14).

5.2. Nmero de casos possveis = 28 (n. de alunos da turma)

Nmero de casos favorveis = 11 + 9 = 20 (n. de alunos com 14 ou 15 anos)

20 5

28 7P . A probabilidade pedida

5

7 .

5.3. 1

28 47 . H 4 alunos na turma que preferem

a disciplina de Ingls.

28 17 4 = 7 . Na turma h 7 alunos que

preferem a disciplina de Cincias.

A B

E

J

L

240

16080

80

2

9h

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7 125%

28 4

Logo, a disciplina de Cincias a preferida de

25% dos alunos.

5.4. Soma das idades dos alunos da turma:

antes de terem entrado os irmos gmeos

3 13 + 11 14 + 9 15 + 5 16 = 408

depois de terem entrado os irmos gmeos

14,6 30 438

A soma das idades dos irmos gmeos :

438 408 = 30

30 : 2 = 15

Os irmos gmeos tinham 15 anos.

6.1. A abcissa e a ordenada de cada um dos pontos

do grfico de f so inversamente proporcionais.

A constante de proporcionalidade inversa :

6 2 12k

A expresso algbrica que define f 12

f xx

.

x 1 3 3

2

12

f xx

12 4 8

6.2. ,B x y . A rea do tringulo [ABC] dada por:

6 22

yA

em que y a ordenada do ponto B.

6 2

12 3 2 122

yy

2 4 6y y

Logo, 12 : 6 2x pelo que as coordenadas do

ponto B so (2 , 6).

7.

6

3 32

1 1 1 1 31 1 3 1

3 2 3 2 2

x x xx

6 2 2 3 9x x

2 9 3 6 2x x

11 11 1x x

1,S

8. 2 24 20 5 ; 4 20 5

A opo correta (C).

9. O produto do mximo divisor comum e do mnimo

mltiplo comum de dois nmeros naturais igual

ao produto desses nmeros.

2 21 3x x x x 22 1x x 3x

2 3 1x x

1 1x x

Logo, 1x .

10. 3 36 92 3

36 2

2 6

y xx y xx

y xy x

6 9y x x

7 9

6 2 7 9 6 2

y x

y x x x

7 2 6 9x x

5 3x

36 2

5

3

5

y

x

66

5y

24

5

3

5

y

x

3 24

,5 5

S

11. 2

6 3 2

2

1n n k

k

A opo correta a (A).

12.1. O eixo das ordenadas eixo de simetria do

grfico de f.

Logo, o ponto A tem abcissa 2.

3 1 3 1 4

2 2 24 2 2 2 2

g

A ordenada do ponto A 2.

Clculos auxiliares:

12 1212; 4

1 3

12 3

8 2

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Assim:

2 1

2 2 2 2 4 22

f a a a

A expresso algbrica da funo f 21

2f x x .

12.2. 2ABCDAB CD

A BC

2BC

2 2 4AB

2CD x , com ,D x y

3 1 3 1

0 04 2 4 2

g x x x

4 2

6 3x x

Logo, 2 4

23 3

CD e

44

3

2ABCD

A

216

3

A rea do trapzio [ABCD] 16

3 .

13. 221 1 1

3x x

21

1 1 1 03

x x x

1

1 1 1 03

x x x

1 1

1 1 03 3

x x x

4 2

1 03 3

x x

4 21 0 0

3 3x x

11 4 2 1

2x x x x

Outro processo

22 2 21 1 11 1 2 1

3 3 3x x x x x

2 21 3 6 3x x x 24 6 2 0x x

26 6 4 4 2

2 4x

6 4

8x

6 2

8x

8 4 11

8 8 2x x x x

1

,12

S

14.1. O termo com 6 crculos pretos o 6.

termo da sequncia.

O termo com 6 crculos pretos tem 16 crculos

brancos.

14.2. A expresso do termo geral da sequncia de

crculos n n nw u v , em que nu a

expresso geral do nmero de crculos pretos e

nv a expresso do termo geral do nmero de

crculos brancos.

nu n

A sequncia numrica correspondente ao

nmero de crculos brancos a seguinte:

2 4nv n

2 4 3 4n n nw u v n n n

1173 4 121 3 117 39

3n n n n

A sequncia tem 39 termos.

15.1. 90DBV

Uma reta tangente a uma circunferncia e a reta

que passa pelo centro e pelo ponto de

tangncia so perpendiculares.

180 90 60 30VDB

A soma dos ngulos internos de um tringulo

um ngulo raso.

2 30 60AB

A amplitude de um ngulo inscrito igual a

metade da amplitude do arco compreendido

entre os respetivos lados.

A amplitude do arco AB 60.

15.2. 60AOB ; 360

660

Logo, o polgono tem 6 lados.

15.3. A rea do tringulo [BCD] dada por:

2

BD OCA

O tringulo [BCD] issceles e retngulo

(o ngulo DCB est inscrito numa

semicircunferncia). Como o permetro da

circunferncia 10 , temse:

2 10 5r r

Logo, 10BD e 5OC e 10 5

252

A

.

A rea do tringulo 25.