P(x,y)

O espaço bidimensional (R2)

Espaço Cartesiano

cota

abscissaordenada

ou

A=(Ax, Ay, Az)=(a1, a2, a3)

Vetores. Uma visão analítica

23

22

21 aaaA

BA

BABABA

BABABABA

BBBBAAAA

zzyyxx

zyxzyx

coscos

)(

),,(),,(

Produto Escalar

Trabalho

1) Calcular o trabalho requerido para levar 10g de água líquida ( ~10mL) pelo tronco de uma árvore de 20 m de altura desde a raiz até o topo. Comparar com o trabalho realizado para levantar um livro de massa 1 kg, até uma altura de 20 cm.

Calcular o trabalho realizado pela força F no deslocamento r.

F=(-3 N, 2 N, -4 N) r =(0.3m, 0.5m , 0,1 m)

O trabalho é o produto escalar entre a força e o deslocamento. Em bioenergética, a forma mais útil de quebrar nutrientes durante o metabolismo é através do trabalho

Exemplos

Produto Vetorial

Distância entre dois pontos

A (X0,Y0)

B (X1,Y1)

C (X1,Y0)

X

Y

X0 X1

Y0

Y1

201

201

201

201

2

01

01

222

)()(

)()(

)(

)(

yyxxABd

yyxxAB

yyBC

xxAC

CBACAB

Teorema de Pitágoras

Provar que no espaço tridimensional a distância euclidiana entre dois pontos é determinada por:

201

201

201 )()()( zzyyxxOPd

Teorema do cosseno

a

b

c

cos2222 abbac

Determinar as distâncias das extremidades do dipolo até uma carga pontual, como aparecena figura:

L

R

FunçãoDe modo geral, dados dois conjuntos, A e B, e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma aplicação ou função de A em B se, e somente se, para todo x Є A existe um único y Є B, de modo que (x , y) Є f.

R = { (0,0), (1,1), (4,2), (9,3), (4,-2)}. Observando o conjunto A e o elemento 4, percebemos que ele está relacionado com dois elementos do conjunto B, como isso a relação R2 não é uma função.

R = {(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1)}. Observando o conjunto A percebemos que todos os elementos do conjunto A estão ligados a um elemento do conjunto B. D(R4) = A Im (R4) = {0,1,4}

Domínio, Codomínio e imagemSão três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o contradomínio é: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.Note-se que a função se caracteriza pelo domínio, o contra-domínio, e a lei de associação.

2

2

)(,:

)(,:

xxgRRg

xxfRRf

Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

Função par e ímpar

Uma função f de uma variável independente x é chamada de PAR exclusivamente quando para todos os valores x e -x do seu domínio tem-se que f(x)=f(-x)

Uma função f de uma variável independente x é chamada de ÍMPAR exclusivamente quando para todos os valores x e -x do seu domínio tem-se que f(x)=-f(-x)

Composição de funçõesSão as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. O domínio da função composta é a interseção dos domínios.

Função inversaAssim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contradomínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f -1(x).

221)32())((

123)1(2))((

1)(

32)(

xxxfg

xxxgf

xxg

xxf

xxyy

xxyxy

xxfy

1)1()(

1)(1

1)(

1

1

Idéia Intuitiva de Limite

1

1)(

2

x

xxf

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Consideremos a função f:R-{1} --> R definida por:

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).

Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto x=c que pertence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que:

•O limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c.

•O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c.

•Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz-se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld=Le=L.

O que significa que, para qualquer e>0 e arbitrário, existe um d > 0, que depende de e, tal que |f(x)-L|< e para todo x satisfazendo 0 <|x-a|<d.

Se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único.

Unicidade do Limite: Se Lim f(x)=A e Lim f(x)=B quando x tende ao ponto c, então A=B.

Ldxfcx

)(lim Lexfcx

)(lim Lxfcx

)(lim

Limite de uma função real

Teorema do Confronto (regra do sanduíche): Se valem as desigualdades f(x)<g(x)<h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x=a e se:

Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:

LxgxhLxfaxaxax

)(lim)(lim)(lim

1)(

lim1)(

cos0

x

xsen

x

xsenx

x

Se acontecer uma das situações abaixo:Lim f(x) = 0Lim f(x)>0 e n é um número naturalLim f(x)<0 e n é um número natural ímparentão

nax

n

axxfxf )(lim)(lim

DerivadasDefinição de Derivada – Função Derivada

A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a funçãof´ cujo valor em x é:

desde que o limite exista.

x

xfxxfxf

x

)()(lim)´(

0

Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada

1) Escreva expressões para f(x) e f(x +x).

2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença

x

xfxxf

)()(

3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando oLimite:

x

xfxxfxf

x

)()(lim)´(

0

Exemplo 1 – Aplicando a Definição

Encontre a derivada de exy 0x

1)xxf )( e xxxxf )(

2)

xxx

xxxx

xxxx

xxx

x

xfxxf

1

)(

)(

)()(

3)

xxxxxf

h 2

11lim)´(

0

Propriedades

Regra da Cadeia

Derivada da soma, produto e quociente

2'

)(

)(')()()('

)(

)(

)(')()()('))'()((

)(')('))'()((

xg

xgxfxgxf

xg

xf

xgxfxgxfxgxf

xgxfxgxf

A regra da cadeia afirma que:

que na notação de Leibnitz é escrita como:

)('))((')))'((()()'( xgxgfxgfxgf

dx

dg

dg

df

dx

df

xxxf

xxf

2)1(3)('

)1()(22

32

xxxsenxg

xsenxg

2)cos()(4)('

)()(223

24

Exemplos

IntegraçãoAntiderivadaIntegração é o oposto (ou operação inversa) da diferenciação. Se a derivada de f (x) dá como resultado F(x) então, por definição, a integral de F(x) dá como resultado f (x). Temos chamado F(x) à derivada de f (x) e agora chamaremos f (x) a integral indefinida de F(x). Para isso usamos a notação:

dxxFxf )()(

Definição conceitualPara se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b] utiliza-se a notação:

A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo.

N

abxxxfS

N

ii

0

)(

b

a

dxxFS )(

Consideremos a curva y = f(x) entre x = 0 and x = 1, comf(x) = √x. Perguntamos:Qual é a área sob a função f, no intervalo de 0 a 1?

Como uma primeira aproximação, olhamos ocuadrado unitário com lados em x=0 e x=1 e y = f(0) = 0 e y = f(1) = 1. Sua área é exatamente igual a 1. Como pode ser observado, o verdadeiro valor da integral deve ser menor. Diminuindo a largura do retângulo de aproximação, obteremos um resultado melhor. Dividindo o intervalo em 5 partes, usando os pontos de aproximação: 0, 1⁄5, 2⁄5, até 1. Ajustamos uma caixa para cada passo usando o valor da função à direita para cada pedaço da curva, √1⁄5, √2⁄5, e assim por diante até √1 = 1. Somando essas áreas desses retângulos, obtemos uma melhor aproximação:

..7497.0)5

41(1...)

5

1

5

2(

5

2)0

5

1(

5

1

3

2)01(

3

2

3

2

23

32321

0

32

1

0

1

0

23

xx

xA

Em geral, através do Teorema Fundamental do Cálculo

b

a

afbfdxxF )()()( Onde f(x) é a antiderivada de F(x)

Métodos de integração: Substituição

dxxx )32cos( 2

Considere a integral:

CxsenCusenxx

duux

duuxxx

x

dudxxdxdu

xu

)32(

4

1)(

4

1)32cos(

)cos(4

1

4)cos()32cos(

44

32

22

2

2

dxxgxgf )('))((A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis u = g(x), onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração.

duufdxxgxgf )()('))((Fazendo du = g'(x)dx

Integral por partesSe f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto,

)()(')(')(

)()(xgxfxgxf

dx

xgxfd

Integrando ambos os lados, obtemos

dxxgxfdxxgxfdx

dx

xgxfd )()(')(')(

)()(

ou

dxxgxfdxxgxfCxgxf )()(')(')()()(

Integral por partesCdxxgxfdxxgxfxgxfdxxgxf )()(')(')()()()(')(

vduuvudv

dxxgxfdxxgxfxgxfdxxgxf )()(')(')()()()(')(

Calcular

Cexedxexedxxe

evdxedv

dxduxudxxe

xxxxx

xx

x