Questão 1Questão 1: O gráfico abaixo representa um polinômio P(x) de grau 4. Determine a soma dos coeficientes desse polinômio.

Representação gráfica das raízes de uma Função Polinomial

As raízes são as abscissas dos pontos de interseção da curva com o eixo x.

Uma raiz simples corta o eixo x sem sofrer nenhuma deformação.

x

Uma raiz com multiplicidade par é tangente ao eixo x.

x

Uma raiz com multiplicidade ímpar intersecta o eixo x com

alguma deformação.x

Raízes:Raízes: 1, 2 e –1; observe que – 1 é dupla, pois o grau é 4.

Termo independente:Termo independente: P(0) = – 4

Forma Fatorada de um Polinômio

P(x) = a.(x – r1 ).(x – r2 ). ... .(x – rn )

P(x) = a.(x + 1)2.(x – 1).(x – 2) P(x) = a.(x4 – x3 – 3x2 + x + 2)

Soma = – 2 + 2 + 6 – 2 – 4 = ZEROa = – 2 P(x) = – 2x4 + 2 x3 + 6x2 – 2 x – 4

Lembrete: A soma dos coeficientes também pode ser calculada por P(1) = – 2 + 2 + 6 – 2 – 4 = 0.

(Nesse caso, 1 é uma raiz simples.)

P(0) = a.2 = – 4

Questão 2Questão 2: Determinar a equação da reta tangente à circunferência x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0 no ponto P = (3; 4).

Equação da Circunferência

C = (xC , yC )

R

ReduzidaReduzida(x – xC)2 + (y – yC)2 = R2

NormalNormalx2 + y2 + m.x + n.y + p = 0

Completando os quadrados...

C

m2

x C

n2

y

C C

2 2R x py

Equação da reta ...

A = (xA , yA)

B = (xB , yB)

... que passa por 2 pontos.

A B

A B

x x 1

y y 1 0

x y 1

.x .yB C 0A

Equação da reta ... ... a partir de um ponto e do coeficiente angular.

A B

A B

yyx x

my

x

A Amy y . x x

y m n.x

Retas Paralelasr

ssrm m

Retas Concorrentes

srm m sr

P

Retas Perpendiculares

srm

m1

s

r

P

900

Sobre a equação reduzida y = m.x + n, lembre-se!Interseção com o Eixo y

n

y

x0

r

Propriedades importantes que envolvem circunferências e retas

B

A

P PA BP

tr t

Na equação x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0, temos:

C1

22x

C

21

2y

2 25R 231 1

C 1 1,

C

R

(x – (– 1))2 + (y – 1)2 = 52

(x + 1)2 + (y – 1)2 = 25

Essa equação é tangente à reta (t) no ponto P = (3, 4).

t

CP tC PCP

C P

my y 1 4 3x x 1 3 4

t 3

4

m1 4

3

P

C

R

t

Agora, como conhecemos as coordenadas do ponto P e o coe-ficiente angular da reta (t), podemos escrever sua equação.

P 3, 4

tm43

P t Py y m . x x

4y 4 . x 3

3

4x 3y 24 0 4

y x 83

P

Questão 3Questão 3: Resolva a equação |x2 – 4x| = 2x.

Normalmente, esse tipo de questão aparece logo no início da prova.

Algumas vezes, há uma orientação explícita para a construção dos gráficos num mesmo sistema de referência cartesiano.

As soluções dessa equação correspondem às abscissas dos pontos de interseção entre os gráficos.

A parábola tem a concavidade voltada para cima (a > 0).

Suas raízes são 0 e 4.

Seu vértice é o ponto (2, 4).

' "

V V

V V

b x xx ou x

2a 2

y f x4a

Como o módulo está aplicado apenas sobre f(x), basta refletir a porção negativa do gráfico em relação ao eixo horizontal.

2f x x 4x 2f x x 4x

2

2

x 4x, x 0f x .

x 4x, x<0

Poderíamos, inclusive, reescrever a função |f(x)|:

É uma função quadrática.

2f x x 4x 2f x x 4x

A exponencial é crescente (base > 1).

Passa pelo ponto (0; 1).

Não intersecta o eixo das abscissas.

xg x 2

Sua imagem são os reais positivos.

É uma função exponencial “clássica”.

A solução da equação |x2 – 4x| = 2x é representada pelas abscissas dos pontos de intersecção entre os dois gráficos.

Assim, a equação admite 3 soluções.

Questão 4Questão 4: Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado 8. Os segmentos AD, DE, EF, FB, BG, GH, HI, IC, CJ, JK, KL e LA são congruentes. Determine o valor da área sombreada.

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

L

LL

60o

60o

60o

h

L 3h =2

2L 3A =

4

ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER

b

h

b b

b

a

h h

x xBASE ALTURA b hÁREA = =2 2

a b sen. .ÁREA =2

a

ha =3

ÁREA DE UM TRIÂNGULO

A BABCA A 2 A A

A A 2

4

2

4

B 6

2

2

ABC

8 . 3A 16 3

4

Assim, podemos afirmar que .A 16 3 2 2 3 3 9 33

A

4 2 sen60A 2 3

2

B

6 2 sen60A 3 3

2