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SOBRE O USO DA FUNÇÃO POLINÔMIO DERIVADO E AS
FUNÇÕES POLINOMIAIS DE 1º, 2º E 3º GRAUS NO ENSINO MÉDIO.
Eixo Temático 5 – I ENOPEM
Daniel Felipe Neves Martins 1
Raphael Martins Gomes2
Resumo
O presente texto apresenta uma alternativa para o estudo de máximos e mínimos de funções
polinomiais elementares no 1º ano do Ensino Médio, sem a abordagem tradicional por derivada vista
como um limite. É apresentado aos alunos a definição de polinômio derivado definido num corpo
K[x], de função polinômio derivado e uma breve demonstração de que a imagem da raiz do polinômio
derivado corresponde a um ponto de máximo ou mínimo, tomando a função quadrática por ponto de
partida. A metodologia aplicada foi a Inquiry Based Learning a fim de contemplar a competência
específica 3 e a habilidade EM13MAT302 da BNCC do Ensino Médio. A pesquisa, iniciada em
agosto do corrente ano está em curso por conta da pandemia de COVID-19 que modificou o
calendário escolar diminuindo a quantidade e o tempo das aulas síncronas. Os resultados e
comunicações dos mesmos serão apresentados futuramente, analisando possíveis ganhos pedagógicos
no processo de ensino e aprendizagem da aplicação da temática via tecnologias digitais.
Palavras-chave: Funções do 1º e 2º graus, Polinômio Derivado, Máximos e Mínimos, Tecnologia.
1. Introdução
A construção desta comunicação foi estimulada pelas palavras do professor Nilson
José Machado, professor da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, quando no
site Imaginário Puro3, afirmou através de uma entrevista que, as ideias iniciais do cálculo
podem ser trazidas para o Ensino Médio através de um estudo mais amplo das funções
elementares, estudadas neste período de escolaridade da Educação Básica.
O que foi pensado imediatamente, é se havia alguma maneira de não abordarmos o
conceito de limites e a definição de função derivada como um limite, no Ensino Médio. Nossa
intenção sempre esteve voltada para buscar uma definição matemática que não permitisse
perder a riqueza do estudo das aplicações das funções que trata o cálculo diferencial, como
por exemplo, o estudo de máximos e mínimos locais de uma função polinomial. Buscávamos
1 Professor do Colégio Pedro II, Campus São Cristóvão III. [email protected] 2 Aluno da Pós Graduação em Educação Matemática, Colégio Pedro II. [email protected] 3 Veja a entrevista em https://imaginariopuro.wordpress.com/2015/10/28/calculo-no-ensino-medio-ja-passou-da-
hora/
uma linguagem que não estivesse atrelada à geometria (no sentido de movimentação de retas
e pontos no plano), que não se apoiasse no fato de uma linha reta servir de aproximação à
uma linha que não necessariamente é reta, uma linguagem que não fosse da análise real e que
esta linguagem emergisse da álgebra. Estas condições foram intencionais, a fim de que
pudéssemos dar continuidade ao que já vinha sendo trabalhado com os alunos: o
reconhecimento do que caracteriza as funções polinomiais do primeiro e segundo graus, o
estudo das variações das imagens das funções a partir da analise gráfica e de valores
organizados em tabelas, uma melhor compreensão do comportamento destas funções
elementares através do uso de recursos computacionais que um software pode oferecer e por
fim, mas não menos importante, a possibilidade de realizarmos uma grande variedade de
problemas de aplicações do conceito de função de maneira diferente da tradicional, que em
geral é recheada de fórmulas decoradas pelos alunos.
Assim, a fim de concentrarmos nossos esforços nas aplicações, lançamos mão do
conceito de polinômio derivado e consequentemente da função polinômio derivado de uma
dada função polinomial do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎0𝑥0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯, onde os
coeficientes de cada parcela e a variável x são números reais. Tais definições vêm da álgebra,
mais especificamente do estudo dos anéis dos polinômios sobre um corpo K[x]. Estas
definições aliadas à tecnologia digital, como o uso do software livre GeoGebra, e a uma
metodologia específica, o Inquiry Based Learning (IBL), nos permitem trabalhar uma série de
aplicações em diversas áreas do conhecimento matemático ou de outras áreas do
conhecimento, de maneira simples e investigativa, como sugere Brasil (2017). Assim, verbos
evocados ainda em Brasil (2017) como raciocinar, representar, argumentar e comunicar estão
presentes em todas as etapas desta pesquisa.
2. Fundamentação Teórica
Todas as atividades foram pensadas a partir da definição de materiais manipuláveis
encontrada em Lorenzato (2006) e também do conceito de materiais manipuláveis virtuais
apresentado por Santos e Escher (2019) que afirmam que “a tecnologia proporciona a
visualização e experimentação de conceitos matemáticos simultaneamente. Com isso, o
estudante consegue estabelecer e validar as suas conjecturas”.
Gonçalves (1979) contribui para o embasamento teórico-matemático que sustenta a
espinha dorsal do texto, assim como as propostas de atividades que são sugestões de como
trabalhar a modelagem de problemas que recaem em funções polinomiais simples e de como
interpretá-los fazendo uso das definições de polinômio derivado e da função polinomial
derivada. Machado (2008) e Molon e Figueiredo (2015) dialogam com esta temática
contribuindo com exemplos possíveis de atividades para sala de aula que não antecipam o que
é tradicionalmente feito nos cursos de cálculo em nível universitário. Ambos autores mostram
que o uso das tecnologias digitais aplicadas a problemas cujos modelos são funções
polinomiais em contextos diversos é uma excelente ferramenta pedagógica, indo ao encontro
do sugere Brasil (2017): construir e interpretar modelos e resolver problemas em diversos
contextos, analisando os resultados obtidos e adequando soluções auxiliam o aluno construir
argumentações consistentes.
3. Aspectos metodológicos
As propostas descritas como atividades no decorrer do presente texto são algumas
sugestões de como trabalhar a modelagem de problemas que recaem em funções polinomiais
simples e de como interpretá-los fazendo uso das definições de polinômio derivado 𝑝′(𝑥) e
da função polinômio derivado 𝑓’(𝑥).
Inicialmente, procuramos fazer a relação entre os estudos analíticos das funções
polinomiais do primeiro e do segundo graus já abordadas previamente, com aquelas funções
que modelam efetivamente os problemas propostos. A questão reside, mais especificamente,
na compreensão da necessidade de partição do maior domínio de definição de uma função já
estudada pelo aluno para então partirmos para a resolução do problema proposto levando em
consideração sobre qual domínio, a função que modela o problema está definida. Saber
determinar o domínio da função e fazer um estudo mais geral e cuidadoso do gráfico obtido
em classe, entendendo que o uso dos recursos computacionais é uma ferramenta de apoio ao
processo de ensino e de aprendizagem, é de suma importância tanto por parte dos alunos
quanto dos professores. Já a análise da função polinomial derivada de uma dada função 𝑓(𝑥)
entra como elemento de auxílio que permite encontrar soluções de uma maneira alternativa
para uma determinada classe de problemas, além de possibilitar discutir se houve ou não,
ganhos reais em relação a aquisição e consolidação de conhecimentos matemáticos em
problemas que envolvem, por exemplo, taxas de variação, estudo da variação do sinal da
função ou problemas que buscam valores do domínio que conduzem a valores máximos ou
mínimos num dado intervalo.
As quatro primeiras atividades foram divididas em dois momentos. No primeiro
momento buscamos incentivar a modelagem dos problemas, assim como o uso de softwares
que permitem explorá-los mais, como interpretar os dados e analisar valores encontrados a
partir da construção de gráficos. O segundo momento tem por objetivo entender como o
polinômio derivado se relaciona com a função original e com conceitos previamente
estudados pelos alunos. O simples uso de uma tabela permite relacionar a taxa de variação das
imagens de uma função polinomial do 1º grau com a função polinômio derivado constante. A
mesma possibilidade de estabelecimento de relação se dá com as funções polinomiais do 2º
grau, onde os alunos percebem que, o que caracteriza este tipo de função é a taxa de variação
se dar em função de uma função afim; e que a taxa de variação da taxa de variação é
constante. São resultados muito poderosos para a compreensão do comportamento de funções
polinomiais de grau maior que dois e mesmo para o traçado de seus gráficos a partir do
conhecimento dos gráficos de funções polinomiais derivadas associadas a elas.
A quinta atividade leva o debate para as funções polinomiais do 3º grau, cujos estudos
em sala de aula possuem um espaço diminuto no Ensino Médio brasileiro, nos arriscando
dizer, inexistente, como sugere Machado (2015). A análise gráfica da função polinomial do
3º grau e da função polinômio derivado atrelado a ela é vista como um recurso rico por
permitir compreender a variação no comportamento da função, além de permitir encontrar
pontos de máximo e/ou mínimos locais a partir da observação conjunta ente 𝑓(𝑥) e 𝑓′(𝑥) ,
que definiremos mais adiante.
Mas, como abordar esta questão nas salas de aula? A metodologia escolhida é a
Inquiry Based Learning (IBL). Trata-se de um modelo de ensino-aprendizagem onde a
resolução de problemas de maneira colaborativa é sempre a atividade disparadora, isto é, o
‘start’ para os primeiros passos na construção de conceitos através de descobertas. O aluno é o
centro do processo de aprendizagem e através de incentivos constantes à não memorização de
fatos, fórmulas ou decorebas de macetes, se vê sempre em atuação. Através da metodologia
IBL o conhecimento do aluno se constrói e se consolida através da leitura, da interpretação, da
exploração, da experimentação, da testagem, da checagem e da discussão em grupo antes de
uma tomada de decisão. Os alunos são encorajados a buscar diferentes formas de encarar um
problema e as respostas não são entregues ou facilitadas pelo professor, que na figura de
mediador do processo, auxilia o aluno na exploração do material que recebeu. Além disso, o
professor deve procurar fomentar discussões, propiciar condições para que os alunos
formulem questões e principalmente valorizar a divisão de ideias com seus pares em
pequenos grupos de trabalho.
Muito utilizada desde a segunda metade do século XIX como metodologia ativa
própria das Ciências Naturais, o IBL é adequado às atividades que requerem investigação,
estabelecimento de conjecturas oriundas de observações, da formulação de hipóteses, das
trocas de ideias entre os agentes resolvedores de um dado problema, da especulação sobre a
veracidade dos fatos e, sobretudo da possibilidade de generalização de resultados. Este último
aspecto caracteriza bastante o ofício de um matemático e no universo da educação básica
permite que o aluno ‘faça matemática’. Este “fazer matemática” em sala de aula permite
compreender melhor os processos de construção do conhecimento pelos alunos que têm na
figura do professor, um fio condutor.
Trazer esta metodologia para o estudo das funções polinomiais elementares no Ensino
Médio e das funções polinômios derivados sob a ótica da álgebra e da tecnologia, permite
ampliar o raciocínio lógico-dedutivo dos alunos e o convida aos primeiros exercícios de
categorização de comportamentos de determinadas classes de funções, sem perceber que está
fazendo uma tarefa complexa a partir do ato de investigar e explorar. A observação de
comportamentos regulares, a exploração do tópico estudado por si mesmos e a
estabelecimento de conexões do que está aprendendo com outros assuntos já estudados
permitem a construção do pensamento crítico dos alunos e o aumento de suas capacidades
argumentativas.
4. O polinômio derivado e um resultado importante
Vamos apresentar quatro definições e um resultado que servirão de base para a
compreensão e resolução de todas as atividades.
Definição 1:
Seja K um corpo qualquer. Chamamos de um polinômio sobre o corpo K em uma
indeterminada x, uma expressão formal 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥
2 + 𝑎3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑥
𝑚
onde 𝑎𝑖 ∈ 𝐾, ∀ 𝑖 ∈ 𝐼𝑁 𝑒 ∃ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑗 = 0 ∀𝑗 ≥ 𝑛. Denota-se por K[x] o conjunto
de todos os polinômios sobre o corpo K, em uma indeterminada x.
Definição 2:
Seja o polinômio de coeficientes reais 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥
2 + 𝑎3 𝑥3 + ⋯ +
𝑎𝑚 𝑥𝑚 sobre o corpo IR[x]. Chama-se polinômio derivado sobre IR[x] ao polinômio
𝑝′(𝑥) = 𝑎1 + 2𝑎2𝑥 + 3𝑎3𝑥2 + ⋯ + 𝑘𝑎𝑘𝑥𝑘−1 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 que abreviado pode ser
escrito por 𝑝′(𝑥) = ∑ 𝑘. 𝑎𝑘𝑛𝑘=1 . 𝑥 𝑘−1. Em particular, se o polinômio p(x) é o polinômio
constante ou o polinômio nulo, o polinômio derivado também é nulo.
Definição 3:
Define-se polinômio derivado de ordem n de um determinado polinômio sobre um
corpo K[x], o polinômio 𝑝(𝑛)(𝑥) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝(0)(𝑥) = 𝑝(𝑥) 𝑒 𝑝(𝑛+1)(𝑥) = [𝑝(𝑛)(𝑥)]′ .
Definição 4:
Seja um polinômio derivado 𝑝′(𝑥) definido sobre um corpo K[x]. Chamaremos de
função polinômio derivado a função cuja lei de formação corresponde à expressão algébrica
de 𝑝′(𝑥) . Assim, a notação usada de agora adiante para função polinômio derivado de uma
função polinomial 𝑓(𝑥) real de variável real é dada por 𝑓′(𝑥).
Resultado importante:
Seja 𝑓’(𝑥) a função polinômio derivado da função quadrática cuja lei de formação é
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Se 𝛼 a raíz de 𝑓′(𝑥) então 𝑓(𝛼) = −𝑏2+4.𝑎.𝑐
4𝑎 .
Atividade 1 Uma caixa d’água possui capacidade de 400L e está completamente cheia. Um
furo faz com que a água escoe a uma vazão de 500mL por dia. Sabendo que não há entrada
de líquido na caixa d’água, em quantos dias toda a água da caixa será escoada?
Em seu primeiro momento, a atividade 1 nos dá diversas possibilidades de como
explorar conceitos das funções polinomiais do 1º grau com restrições no domínio. A
determinação da lei de formação da função, a interpretação de seus coeficientes, a análise do
seu domínio quando este for diferente do maior domínio de definição da função afim, o
crescimento e o decrescimento das imagens e o comportamento geral do traço da função no
plano vão ao encontro do que se espera no estudo das funções elementares no Ensino Médio.
Além disso, é uma boa oportunidade para explorar o uso de ferramentas digitais, como
o Excel. A partir dele é possível mostrar como o software pode ser um facilitador na
construção de tabelas, sem a necessidade de realizar todos os cálculos. A imagem a seguir é
um exemplo de como se pode construir a tabela de valores, destacando-se o uso da ferramenta
“Inserir Função”.
O uso do Geogebra em complemento ao que foi explorado através do Excel ajuda o
aluno compreender o problema a partir da linguagem gráfica. Queremos analisar se os alunos
irão se atentar ao fato do gráfico não estar definido para todo 𝑥 ∈ ℝ e sim apenas para o
intervalo real 0 ≤ 𝑥 ≤ 800, lembrando que os valores de x representam o tempo em que o
volume de água escoou. Sendo assim, além de apresentar o recurso digital, o professor pode
chamar atenção para a diferença entre os gráficos da função em um contexto geral e no
contexto específico do problema.
Estudo da taxa de variação da função:
∆𝑦
∆𝑥=
150 − 350
500 − 100=
−200
400= −0,5
Uma interpretação para este resultado é que
o volume de água na caixa d’água diminui
(−) a uma taxa de meio litro por dia (0,5).
Figura 1 – Exemplo de tabela criada no Excel para
modelar o problema
O segundo momento da atividade se inicia quando o professor pede ao aluno para
escrever a função polinômio derivado 𝑓′(𝑥) = −0,5 e relacionar a lei de formação
encontrada com a taxa de variação da função.
A ideia é que o professor auxilie o aluno através de questionamentos concluir que: (1)
A função polinômio derivado é uma função constante de imagens negativas, logo a função
original é estritamente decrescente. Esta conclusão é válida para 𝐷 = ℝ ou 𝐷 = [0,800] e (2)
A função polinômio derivado não possui raiz, portanto a função original não possui um valor
máximo ou mínimo num dado intervalo ]a,b[.
A segunda atividade relaciona um problema de geometria em que a determinação da
área de uma figura se dá em função de um determinado comprimento. A atividade tem um
primeiro momento puramente manual e experimental. Esta atividade é para ser realizada em
grupo de quatro alunos a fim de que possam explorar, propor uma explicação, buscar uma
resposta e refletir sobre o valor encontrado por cada grupo. A apresentação deve ser feita por
um relator.
Figura 2 – Gráfico da função 𝑦 = 400 − 0,5𝑥 para
domínio real.
Figura 3 – Gráfico da função 𝑦 = 400 − 0,5𝑥
para domínio [0,800].
Figura 4 – Gráfico da função polinômio derivado.
Atividade 2 Você recebeu uma folha quadrada de lado 80 cm. A partir dessa folha, retire
um quadrado de cada um de seus cantos. Todos eles devem ser congruentes entre si. Repare
que a figura resultante é um dodecágono côncavo em forma de cruz. Qual é sua área?
Pergunta-se:
a) Qual é a área total da folha original?
b) A área do dodecágono que o seu grupo encontrou é a mesma que os outros grupos
encontraram? Por quê?
Os questionamentos acima têm o objetivo de debater a relação de dependência entre a
área da “cruz” obtida e o lado dos quadrados retirados. É esperado que os alunos percebam
que as áreas obtidas vão depender da medida do comprimento dos lados dos quadrados que
foram retirados dos cantos da folha original, fornecendo assim resultados diferentes.
c) Considere a medida dos lados dos quadrados retirados como x. Qual é a área total dos
quadrados?
d) Escreva uma expressão que forneça a medida da área da figura resultante em função
deste lado de medida x. Explique como o grupo chegou a esta resposta.
A partir da folha quadrada cuja área é 6400 cm², quatro quadrados de área x² foram
retirados de seus cantos. Logo, sua área em função da medida x é dada por 𝐴(𝑥) = 6400 −
4𝑥². Outra maneira de determinar a lei de formação da função é dividir a nova figura em
quatro retângulos de dimensões (80 − 2x) e x e um quadrado de lado (80 − 2x). Portanto, a
área é dada por A(x) = 4 ∙ x ∙ (20 − 2x) + (20 − 2x)2 = 6400 − 4x².
Por outro lado, os itens c e d buscam usar as conclusões obtidas nos itens anteriores
para modelar o problema através de uma função cuja lei de formação é um polinômio do 2º
grau na variável x. Também é importante valorizar os caminhos diferentes que os alunos
podem utilizar para responder o item d.
Figura 5 – Construção do dodecágono em forma de cruz da atividade 2.
No item e, a seguir, os alunos precisarão discutir qual o domínio de validade desta função.
Ainda que o lado do quadrado da folha original meça 80 cm, espera-se que o aluno perceba
que a medida x do lado do quadrado retirado não pode ser 40 cm ou mais, pois se assim for
não será formada a “cruz”. O valor de x também deve ser um número estritamente positivo,
visto que se x for igual a 0, continuaremos com a folha original e mais uma vez a “cruz” não
será formada.
e) Quais são as possíveis medidas dos lados de cada quadrado retirado, ou seja, quais são
os possíveis valores de x? Justifique.
Nos itens f e g, o uso do Excel permite analisar de maneira empírica o crescimento
ou o decrescimento da área da “cruz”, de acordo com as possíveis escolhas para os valores
que x pode assumir no domínio de definição da função. Caso a construção de planilhas no
Excel já tenha sido trabalhada em um momento anterior, é interessante desafiar os estudantes
a montar a fórmula que facilita a construção da tabela, além de debater como ela se relaciona
com a função obtida no item d. Construindo uma tabela no Excel podemos analisar o que
acontece com a área da figura, conforme aumentamos os valores de x.
Variação da área em função da variação de x
𝒙 𝑨(𝒙)
0 6400
1 6396
2 6384
10 6000
20 4800
30 2800
35 1500
40 0
Função “Inserir Função”
A(x)=6400-4x² =6400-4*(B4)^2
Figura 6 – Algumas variações da cruz obtida na atividade 2 e o porquê de x ser diferente de 0 e 40.
𝑥 = 0 𝑥 = 10 𝑥 = 25 𝑥 = 35 𝑥 = 40
Quadro 2 – Área em função do
Quadro I – Função Quadrática no Excel
Quadro II – Função Quadrática no Excel
Fonte: os autores
Fonte: os autores
f) Relate a relação entre o valor de entrada x e a área do dodecágono.
g) Utilizando o GeoGebra, construa o gráfico da função polinomial 𝐴(𝑥) = 6400 – 4𝑥².
h) Podemos dizer que o gráfico construído representa a situação-problema que estamos
trabalhando? Em caso de resposta negativa, construa o gráfico da função que modela o
problema.
Os itens g e h propõem, mais uma vez, estabelecer a diferença entre o gráfico da função
quadrática de domínio real cuja lei de formação é 𝐴(𝑥) = 6400 − 4𝑥² e o gráfico da função
com a mesma lei de formação, porém para o domínio ]0,40[.
i) Determine a função polinômio derivado de 𝐴(𝑥) = 6400 − 4𝑥². R: 𝐴′(𝑥) = −8𝑥
j) Utilizando o GeoGebra, construa sobre um mesmo eixo de coordenadas cartesianas os
gráficos de 𝐴(𝑥) e 𝐴′(𝑥).
k) Analisando os dois gráficos, você percebeu alguma relação entre o gráfico da função
polinômio derivado 𝐴’(𝑥) e o gráfico da função original 𝐴(𝑥)?
Figura 7 – Gráfico da função 𝐴(𝑥) = 6400 − 4𝑥²
para domínio real.
Figura 8 – Gráfico da função 𝐴(𝑥) = 6400 − 4𝑥²
para domínio ]0,40[.
Figura 9 – Gráfico das funções 𝐴(𝑥) = 6400 − 4𝑥² e 𝐴’(𝑥) = −8𝑥².
Os questionamentos do item k visam um debate conjunto envolvendo a relação entre a
função polinômio derivado de 1º grau e a função quadrática que o originou. Em um primeiro
momento, os alunos podem não perceber diretamente como eles se relacionam, mas é
interessante que o professor chame atenção para alguns detalhes importantes dos gráficos,
como por exemplo: as coordenadas do ponto onde a função deixa de ser crescente para ser
decrescente (vice-versa), as coordenadas do vértice da parábola, a raiz do polinômio derivado
e o estudo da variação do sinal da função polinômio derivado. É importante que o professor
forneça ao aluno condições de perceber que a imagem da raiz α da função polinômio derivado
em A(x) determinará a ordenada de um ponto de mínimo ou máximo.
Analisados os fatores citados, é o momento de apresentar as conclusões:
Para todo x<0, a função polinômio derivado A’(x) é positiva, enquanto para todo x>0 a
imagem da função polinômio derivado é negativa. A partir daí, concluímos que para
todo x<0 a função A(x) é crescente e para todo x>0 a função A(x) é decrescente.
Como a função A(x) é inicialmente crescente e posteriormente decrescente, podemos
concluir que ela tem um valor máximo.
Por fim, como a raiz da função polinômio derivado é 0, concluímos que o valor
máximo da função é encontrado no cálculo de A(0).
Atividade 3 Na figura a seguir tem-se o quadrado MNPQ inscrito em outro quadrado ABCD.
Considere o lado do quadrado ABCD medindo 8 cm. Qual a menor área que o quadrado
MNPQ pode possuir?
Antes mesmo de propor exercícios a respeito da atividade 3, uma tarefa interessante é
construir a situação descrita no GeoGebra. Usando os recursos de animação do software, o
aluno pode manipular virtualmente este objeto a fim de conjecturar a respeito do crescimento
e decrescimento do valor numérico da área do quadrado MNPQ movimentando o ponto M
sobre o segmento AB.
Figura 10 – Quadrado inscrito em outro quadrado.
Espera-se que a turma entenda que, em um primeiro momento, ao afastar o vértice M
do ponto A, a área do quadrado diminui até chegar a um valor mínimo quando M se localiza
no ponto médio de AB. A partir desse ponto, conforme afastamos o ponto M, o quadrado
volta a ter sua área ampliada. Espera-se também que o aluno perceba que posicionando M em
determinados pontos de AB, o valor numérico da área do quadrado MNPQ se repete. Por
exemplo:
Vamos estabelecer que essa área seja calculada em função da medida do segmento 𝐴𝑀̅̅̅̅̅.
Portanto, dado 𝐴𝑀 = 𝑥, temos que a medida 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ = 8 − 𝑥. Além disso, os triângulos AMQ,
BNM, CPN e DQP são congruentes. Na descoberta da lei de formação da função da função
através do Teorema de Pitágoras, temos:
Note que a expressão 𝐿² já determine a área do quadrado MNPQ. Assim, 𝐴(𝑥) = 𝑥2 +
(8 − 𝑥)2 = 2𝑥² − 16𝑥 + 64 e 𝐴’(𝑥) = 4𝑥 − 16 que é uma função estritamente crescente. Sua
raiz é 4, para 𝑥 < 4 as imagens são negativas e para 𝑥 > 4 as imagens são positivas. Sendo
𝑥
8 − 𝑥 𝐿
Sendo L a medida do lado MQ de MNPQ, pelo Teorema de
Pitágoras podemos escrever:
𝐿² = 𝑥² + (8 − 𝑥)²
𝐿 = √𝑥² + (8 − 𝑥)²
Figura 11 – Exemplos de variações do quadrado MNPQ
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 7 𝑐𝑚 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 1 𝑐𝑚
Figura 12 – Exemplos de variações do quadrado MNPQ com a mesma área.
Figura 13 – Cálculo da medida do segmento MQ.
assim, a função original é decrescente para 𝑥 < 4 e crescente para 𝑥 > 4. Logo, ela possui um
valor mínimo igual a 𝐴(4). Conclui-se, portanto, que a área mínima do quadrado MNPQ é
dada por A(x), é tal que 𝐴(4) = 2 ∙ 42 − 16 ∙ 4 + 64 = 32.
Para concluir a atividade, vamos mostrar graficamente os resultados obtidos. A
conjugação do gráfico da função A(x) com a função polinômio derivado A’(x) no mesmo
plano cartesiano auxilia a construção da solução do problema.
Atividade 4 DESAFIO; Sem conhecer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 7,5𝑥2 + 18𝑥 − 1,
estabeleça uma estratégia para encontrar, pelo menos, as coordenadas de um ponto comum
entre este gráfico e uma reta tangente a ele que seja paralela ao eixo das abscissas.
Usando o Geogebra como ferramenta de verificação da construção do raciocínio:
Figura 15 – A(x) e A’(x) no mesmo plano cartesiano.
Como 𝑓′(𝑥) = 3𝑥² − 15𝑥 + 18, 𝑥 = 2 e 𝑥 = 3 são as raízes de 𝑓’(𝑥). Assim, para 𝑥 < 2 ou 𝑥 > 3,
𝑓’(𝑥) > 0 e 𝑓(𝑥) é crescente. Para 2 < 𝑥 < 3, 𝑓’(𝑥) < 0 e 𝑓(𝑥) é decrescente. Para encontrar as
coordenadas dos pontos pedidos basta calcular 𝑓(2) = 13 e 𝑓(3) = 25
2. Logo, tangente horizontal
nos pontos (2,13) e (3,25
2).
Figura 16 – y(x) e y’(x) no mesmo plano cartesiano.
5. Conclusões
A intenção desta pesquisa é apresentar ao aluno do Ensino Médio a função polinômio
derivado para, a partir dele, fazer o estudo da variação do sinal das funções polinomiais do 1°
e 2° graus e determinar máximos e mínimos locais. Por conta da pandemia de COVID-19, as
atividades ainda estão em curso, porém o feedback que recebemos até a atividade 2 está sendo
muito positivo. Dados ainda estão sendo coletados, organizados e categorizados.
Apresentar o gráfico de f(x) e f'(x) no mesmo plano através do GeoGebra conjugada à
metodologia IBL já demonstra ganhos positivos no processo de ensino-aprendizagem e vai ao
encontro das propostas contidas nos referenciais teóricos e nas competências específicas na
área de matemática e tecnologias presentes na BNCC. O uso de materiais manipuláveis
virtuais auxilia a apresentação do tema sem a tradicional abordagem por limites.
Futuramente comunicaremos os dados gerais da pesquisa, sobretudo o que envolve a
atividade 4, um desafio para alunos e professores do ensino médio.
6. Bibliografia
BRASIL, Base Nacional Comum Curricular (BNCC), Ensino Fundamental e Médio,
Brasília, MEC, 2017.
GONÇALVES, G. Introdução à álgebra. Projeto Euclides, Rio de Janeiro, Editora Livros
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MACHADO, N.J. Cálculo diferencial e integral na escola básica: possível e necessário.
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MACHADO, N.J. Cálculo no Ensino Médio: Já passou da hora. São Paulo, 2015.
www.imagináriopuro.worldpress.com Acessado em 06/09/20
MOLON, J. e FIGUEIREDO, E.S. Cálculo no Ensino Médio: uma abordagem possível e
necessária com auxílio do software GeoGebra. Revista Ciência e Natura, Santa Maria, v.
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NETO, A.A. et al. Números Complexos, Polinômios e Equações algébricas. Coleção
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LORENZATO, S. O laboratório de ensino de Matemática e materiais didáticos
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