Elementos de um triângulo

Vértices: pontos A, B e C.

Ampliando o estudo dos triângulos

Ângulos internos: , e .

Lados: segmentos de reta , e .

Ângulos externos: , e .

O lado oposto ao ângulo é o lado .

O ângulo é o ângulo oposto ao lado .

Os ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo são os ângulos e .

Os ângulos e são adjacentes suplementares .

Condição de existência de um triângulo

Desigualdade triangular

Em todo triângulo, a medida de um lado é sempre menor do que a somadas medidas dos outros dois lados.

a < b + c

b < a + c

c < a + ba

bc

3 cm

4 cm

2 cm

4 cm

2 cm 1,5 cm

Relação entre lados e ângulos de um triângulo

Observe que o maior ângulo opõe-se ao maior lado, e o menor ângulo opõe-se ao menor lado.

>90º >60º 30º

Em todo triângulo, o maior ângulo opõe-se ao maior lado e, reciprocamente, o maior lado opõe-se ao maior ângulo. Da mesma forma, o menor ângulo opõe-se ao menor lado e, reciprocamente, o menor lado opõe-se ao menor ângulo.

> >

A

BC

60º

30º

Lados opostos

Figuras congruentes e congruência de triângulos

Figuras congruentes

Congruência de triângulosA congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a congruência dos dois triângulos.

A B

C

P Q

R

Casos de congruência de triângulos

1o caso: LAL (lado, ângulo, lado)

Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulocompreendido entre eles respectivamente congruentes.

A

B

C E

F

G

Então:

2o caso: LLL (lado, lado, lado)

Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.

A B

C

EF

G

Então:

3o caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)

Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado eos dois ângulos adjacentes a ele respectivamente congruentes.

A B

C

E F

G

Então:

4o caso: LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)

Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ânguloadjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.

A

B

C

E F

G

Então:

Chamamos expressões algébricas inteiras as que não têm letras (ou variáveis) em denominador nem dentro de radicais.

Exemplos: • 4x + 6 • 8x2y • a2 – a + 4• 8x1• ab

Expressão algébrica inteira

A área do quadrado é: ℓ . ℓ ou ℓ2

O perímetro do quadrado é:ℓ + ℓ + ℓ + ℓ = 4ℓ

Em geral, um monômio é formado por uma parte numérica (coeficiente)e uma parte literal.

Monômios

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

Grau de um monômio

Exemplos:

• –5x3y4

3o grau referente a x

4o grau referente a y

O grau deste monômio é 7 (3 + 4 = 7).

• 12x5 5o grau referente a xO grau deste monômio é 5.

Monômios semelhantes ou termos semelhantes

Exemplo:

O termo semelhante dos monômios x3, 8x3, 64x3 e 125x3 é a parteliteral que eles apresentam: x3.

Operações com monômios

Adição e subtração de monômios semelhantes

Exemplos: • 2x + 3x = (2 + 3)x = 5 . x = 5x

Portanto: 2x + 3x = 5x

• 7y2 – 5y2 = (7 – 5)y2 = 2y2

Portanto: 7y2 – 5y2 = 2y2

Multiplicação de monômios

Exemplos:

• (9x2) . (5x3) = (9 . 5)(x2 . x3) = 45x2 + 3 = 45x5

propriedade comutativa eassociativa da multiplicação

propriedade do produto de potências de mesma base

• (3a) . (–4b) = –12ab

3 . (–4)

a . b

Divisão de monômios

Exemplos:

• (12x6) : (3x2) =

4

4x6 – 2 = 4x4

• (5a) : (15b) =1

3

• (10y2) : (2y3) = 5y2 – 3 = 5y –1 =

=

=

Toda expressão que indica uma soma algébrica (adição ou subtração) de monômios não semelhantes é chamada de polinômios.

Exemplos:

5a2 – 3a

2x + 6

4x2 – 2xy + 3x

a2 – 2ab + b2 – a2b2

Trinômio (3 termos):Binômio (2 termos):

Polinômio (mais de um termo):

Polinômio

x – y + 5

Redução de termos semelhantes

Exemplo:

2x + y + 2x + 2y + 4x + 3y

(2x + 2x + 4x) + (y + 2y + 3y)

ouUsando as propriedades

comutativas e associativas da adição.

8x 6y

8x + 6y

ouReduzindo os

termos semelhantes.

Grau de um polinômioO grau de um polinômio é numericamente igual à soma dos expoentes da parte literal do seu termo de maior grau depois de reduzidos seus termos semelhantes.

Exemplo:

• 4x3 – 3x2 + 5

Polinômio do 3o grau, 4x3 é seu termo de maior grau.

• 2x + xy – 6y

Polinômio do 2o grau, xy é seu termo de maior grau.

Operações com polinômios

Adição e subtração de polinômios

Exemplos:

Sejam os polinômios: A = 3x2 + 2x e B = 2x2 + x

• A + B = (3x2 + 2x) + (2x2 + x) = 3x2 + 2x + 2x2 + x = 5x2 + 3x

• A – B = (3x2 + 2x) – (2x2 + x) =

Polinômios opostos ou simétricosExemplo:

3x2 – 5x – 10– 3x2 + 5x + 10

0x2 + 0x

Multiplicação de polinômios

Exemplos:

• A área da parte I é: x . (3x) = 3x2

• A área da parte II e I é: 3x . (x + 5x + 1) = 3x . (5x + 1) = 15x2 + 3x

A área da região é:

(x + 2) . (x + 5) = x . x + x . 5 + 2 . x + 2 . 5 =

= x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10

A B

CD x + 5

x + 2

Divisão de polinômios

é equivalente à divisão (6x3 – 12x) : (3x)

(6x3 – 12x) : (3x) = (6x3) : (3x) – (12x) : (3x) = 2x2 – 4

ou

= − =

Exemplos:

2x2 – 4

Divisão de polinômios

(15x2 + 2x – 8) : (5x + 4)

15x2 + 2x – 8 5x + 4 Dividimos o 1o termo do dividendopelo 1o termo do divisor:– 15x2 – 12x

– 10x – 8

– 2(15x2) : (5x) = 3x

Dividimos novamente o 1o termo de–10x – 8 pelo 1o termo de 5x + 4:

(–10x) : (5x) = –2

+ 10x + 8 0

Verificação:

(3x – 2) . (5x + 4) = 15x2 + 12x – 10x – 8 = 15x2 + 2x – 8

quociente divisor

Exemplo:

Quadrado da soma: (a + b)2 ou (a + b)(a + b)

(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b =

2ab

a2 + 2ab + b2

Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Quadrado da diferença:

Portanto: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

quadrado do 1o termo

o oposto do dobro do produtodo 1o pelo 2o termo

quadrado do 2o termo

Produto da soma pela diferença: (a + b)(a – b)

(a + b) . (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

1o caso de fatoração: fator comum (colocação de um termo em evidência)

Exemplos:

• 3a2 + 3ab = 3a . a + 3a . b =

fator comum

3a . (a + b)

Portanto: 3a2 + 3ab = 3a(a + b)

forma fatorada

• 10x2 – 15x = 2x . 5x – 3 . 5x =

fator comum

5x(2x – 3)

Fatoração de polinômios

O fator comum é colocadoem evidência.

2o caso de fatoração: agrupamento

Exemplos:

ax + 2a + 5x + 10

a(x + 2) + 5(x + 2)

(a + 5) . (x + 2)

ab + a – bx – x

a(b + 1) – x(b + 1)

(b + 1) . (a – x)

3o caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito

x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

quadradode x

Exemplos:

o dobro do produtode x e 5

quadradode 5

a2 – 14a + 49 = (a – 7)2

quadradode a

o dobro do produtode a e 7

quadradode 7

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

9x2 + 60x + 100 = (3x + 10)2

(3x)2

2 . (3x) . 10

102

4o caso de fatoração: diferença entre dois quadrados

Exemplos:x2 – 64 = (x + 8)(x – 8)

quadradode x

quadradode 8

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

25x2 – 81 = (5x + 9)(5x – 9)

(5x)2 92

= =

= =

= =

Simplificação de frações algébricas

Exemplos:

•

• (x – y)

•

fatorando

fatorando

2(1 + 2a) = 2 + 4a2

Frações algébricas

=

=

Multiplicação de frações algébricas

Exemplos:

•

• 3

Divisão de frações algébricas

•

Exemplo:

– =

: = . =

. = . =

Potenciação de frações algébricas

Exemplos:

•

•

= =

= = ou