POLINÔMIOS Ana Paula Gargano

O que é polinômio?

• É uma expressão algébrica composta de um ou mais termos, que é o produto de um número por letras elevadas a expoentes naturais. A parte numérica é o coeficiente e a parte literal é que contém as letras.

• Exemplo: 2x, 3a2+2a-5, x4-4x3+2x2-6x+1,

2x: 2(coeficiente)

x(parte literal)

ADIÇÃO DE POLINÔMIOS

A soma de dois ou mais polinômios é o polinômio cujos coeficientes são obtidos

adicionando-se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau.

Exemplos:

1) Calcule:

a) 3x²y+5x²y=(3+5)x²y=8x²y

b) 5x³+x²+x-2+x³-6x+8=6x³+x²-5x+6

2)Dados P(x)=3x3 -2x2+ 4x +12 e R(x)= 5x3+8x2-2x+4, calcule P(x)+Q(x):

P(x)+Q(x)=(3+5) x3+(-2+8) x2+(4+2) x+(12+4)

=8x3+6x2+6x+16

SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS

Para subtrair um polinômio B de um polinômio A, adicionamos ao polinômio A o polinômio oposto de B.

Dado um polinômio, podemos obter o polinômio oposto a ele trocando os sinais de todos os termos.

Exemplo:1)Dê o oposto dos polinômios

a) A= 2x² + 3x -7 →-A=-2x²-3x+7

2) Efetue as operações:

a) 7x-3x= (7-3)x=4x

b) 2x-(x+3y)= 2x-x-3y=x-3y

c) a6-3a³-6a6-2a³+a³+2a6=(1-6+2)a6+(-3-2+1)a³=

-3a6-4a³

d)4k+5-(2-3k)=4k+5-2+3k=7k+3

MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS

Para multiplicar dois polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos os outros, aplicado a propriedade distributiva e depois adicionamos os termos semelhantes.

Exemplo: Efetue:

a) 2x.8x²=16x³

b) 3x²y.15x³y=45x5y²

c) x.(x+3)= x2+3x

d) (x+2).(x2-5)=x3-5x+2x2-10

e) (2x-5)(3x²+x-1)=6x³+2x²-2x-15x²-5x+1=

6x³+2x²-2x-15x²-5x+1= 6x³-13x²-7x+1

f) (3x+2).(x-3)=3x²-9x+2x-6=3x²-7x-6

DIVISÃO DE POLINÔMIOS

Sejam D(x) e d(x) dois polinômios não nulos de graus m e n , respectivamente. Dividir o

polinômio D(x) pelo polinômio d(x) é encontrar um polinômio Q(x) e um polinômio

R(x),únicos, tais que :

D(x) = Q(x) . d(x) + R(x)

Onde:D(x): dividendo

d(x): divisor Q(x): quociente R(x): resto Indicando na chave, temos: D(x) Іd(x) R(x) Q(x) IPC! • O grau de Q(x) é igual a diferença dos graus de D(x) e

d(x) • O grau do resto (R(x)=0) será sempre menor que o

grau do divisor d(x)

• Se a divisão é exata , o resto é nulo R(x)= 0, isto é, o polinômio D(x) é divisível por d(x).

Divisão de um monômio por um monômio

Exemplos:

a) (20a³) : (5a)= 4a²

b) (-48x5y³) : (3x²y)=-16x³y²

Divisão de um polinômio por um monômio

Exemplos:

a) (8x4-2x³+6x²) : (2x²)= 4x²-x+3

b) (27a6+ 18a4-9a³) : (-3a³)=-9a³-6a+3

c) (8x4+6x³) : 2x=4x³+3x²

Divisão de polinômio por polinômio

Método da chave

Para efetuar a divisão, usando o método da chave, usamos os seguintes passos:

1. Escrever o polinômio (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus expoentes e completá-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero.

2. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um termo do quociente.

3. Multiplicar o termo obtido no segundo passo pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo.

Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o resto da divisão e termina aqui. Caso contrário,

Retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo dividendo.

Exemplos:

1. Determinar o quociente e o resto nas divisões:

a)(x3+4x2+x-6) : (x+2)=

b)(x4+x3-7x2+9x-1):(x2+3x-2)=

c) (x4+8x+1):(x²+2x)=

EXERCÍCIOS

OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS Profª: Ana Paula Gargano

1) Sendo A=5x²+3x-14 e B=2x²+5x+11, determine:

a) A+B

b) A-B

c) B-A

d) 2(A+B)

2) Calcule:

a) (2x+8)(4x+1)

b) (2x-2)(x+4)

c) (x+1)(x+3)(x-1)(x-3)

d) 4x4-2x³+8x

2x

e) 9x6-12x5+8x³-x²:3x²

3)O resto da divisão de 3x4-2x³+4x-10 por x-2 é:

a) 10

b) 30

c) 20

d) 0

e) n.d.a.

4)(PUC-BA) O quociente da divisão do polinômio x³-3x²+3x-1 pelo polinômio x-1 é:

a) X

b) X-1

c) X²-1

d) X²-2x+1

e) X²-3x+3

5)(PUC-BA) Sejam os polinômios P=x³-2x²+x, Q=2x-1 e R=x+1.Efetuando-se P+Q.R,obtém-se:

a) X³+2x-1

b) X³+x-1

c) X³+2x+1

d) X³+3x

e) X4-x³+x²+2x-1

6) O quociente da divisão de um polinômio A por x-2 é 5x+7 e o resto é -4. Qual é o polinômio A?

7) Determine o polinômio que dividido por x+5, tem como quociente x-2 e resto 3.

8)(Ulbra-RS)Sendo A=x²+x e B=x²-x, o valor de 2AB é:

a) 2x4-4x³-2x²

b) X4-x³-x²

c) 2x4-2x²

d) Zero

e) x4-x²

9)O quociente da divisão de 4x4-4x³+x-1 por 4x³+1 é:

a) x-5

b) X-1

c) X+5

d) 4x-5

e) 4x+8

10) (Uepi-PI) O resto da divisão do polinômio 4x³+12x²+x-4 por 2x+3 é:

a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

11) (Cesgranrio-RJ)Simplificando a expressão a³(a²+a³):a5, encontramos:

a) 1+a

b) a+a²

c) 1+5a

d) 1-a

e) a³

12)(UFV-MG) O produto(2x³+3x-5).(x²-5).5(x²-3x)²

é:

13) Sendo A=(x+2)², B=(x+3)(x-3) e C=(x-1)², determine o valor de A+B+C.

PRODUTO NOTÁVEL Ana Paula Gargano

PRODUTO NOTÁVEL

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Pode ser representado pela expressão (a+b)2, que corresponde (a+b).(a+b).

Usando a propriedade distributiva, temos que:

(a+b)2 = (a+b).(a+b)= a.a+a.b+b.a+b.b=a2+ab+ab+b2= a2+2ab+b2,

pois ab=ba

(a+b)2 = a2+2ab+b2

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo 2º mais o quadrado do 2º termo.

Exemplos:

a) (x+4)2 = x2+2.x.4+42 = x2+8x+16

b) (2+y)2 = 22+2.2.y+y2= 4+4y+y2

c) (y3+5z)2 =(y3)2+2y3.5z+(5z)2 = y6+10y3z+25z2

Cuidado! (a+b)² ≠ a²+b²

(3+4)² = 7²= 49 e 3²+4²= 9 + 16 =25

Logo,

(3+4)² ≠ 3²+4²

Quadrado da diferença de dois termos

Pode ser representado pela expressão (a-b)2,

que corresponde (a-b).(a-b).

Usando a propriedade distributiva, temos que:

(a-b)2 = (a-b).(a-b)= a.a-a.b+b.a+b.b =a2-ab-ab

+b2= a2-2ab+b2, pois ab=ba

(a-b)2 = a2-2ab+b2

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo 2º mais o quadrado do 2º termo.

Exemplos:

a)(x-5)2 = x2-2.x.5+52 = x2-10x+25

b)(2y-1)2 = (2y)2-2.2y.1+12= 4y2-4y+1

c)(a2-3b3)2 =(a2)2-2. a2.3b3+(3b3)2 = a4-6a2b3+9b6

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA

Dados dois termos a e b, representamos o

produto da soma pela diferença pela expressão(a+b).(a-b)

(a+b).(a-b)= a.a-a.b+b.a-b.b= a2-b2

O produto da soma pela diferença é igual à diferença entre o quadrado do 1º termo e o quadrado do 2º termo.

Exemplos:

a)(x+5).(x-5)=x2-52= x2-25

b)(2xy2+9x).(2xy2-9x)=(2xy2)2-(9x)2= 4x2y4-81x2

c)(a² +3). (a² +3)= ( (a²)² - (3)²)= (a4 - 9) 2 2 2 4

CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 1º termo mais três vezes o produto do 1º termo ao quadrado pelo 2º, mais três vezes o o produto do 1º termo pelo quadrado do 2º termo mais o cubo do 2º termo.

É expresso por (a+b)3

(a+b)3= (a+b).(a+b)2= (a+b).(a2+2ab+b2)= a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3+= a3+3a2b+3ab2+b3

Exemplos:

a) (x+1)³= x³ +3.x².1+3x.1²+1³= x³+3x²+3x+1

b) (x²+3x)³= (x²)³+3.(x²)².3x+3.x².(3x)²+(3x)³= =x6+ 9x.x4+3x².9x²+27x³

= x6+ 9x5+27x4+27x³

CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do 1º termo menos três vezes o produto do 1º termo ao quadrado pelo 2º, mais três vezes o produto do 1º termo pelo quadrado do 2º termo menos o cubo do 2º termo.

É expresso por (a-b)3

(a-b)3= (a-b).(a-b)2= (a-b).(a2-2ab+b2)= a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3+= a3-3a2b+3ab2-b3

Exemplos:

a) (x-1)³= x³ -3.x².1+3x.1²-1³= x³-3x²+3x-1

b) (x²-3x)³= (x²)³-3.(x²)².3x+3.x².(3x)²-(3x)³= =x6- 9x.x4+3x².9x²-27x³

= x6- 9x5+27x4-27x³

Outros produtos notáveis

Produto de Stevin ou do tipo (x+a).(x+b)

(x+a).(x+b) = x²+bx+ax+ab = x²+(a+b)x+ab

Ou

(x+a).(x+b) = x²+Sx+P, onde:

S= soma(a+b)

P= produto(a.b)

Exemplos:

a) (x+2)(x+4) = x²+Sx+P= x²+6x+8

S=2+4=6

P=2.4=8

b) (x+5)(x-2) = x²+Sx+P= x²+3x-10

S=5-2=3

P=5.(-2)=-10

Quadrado da soma de três termos

(a+b+c)²=(a+b+c)(a+b+c)=a²+b²+c²+2ab+2bc+2

Exemplos:

a)(x+y+3)²=x²+y²+3²+2xy+2y.3+2x.3=

=x²+y²+9+2xy+6y+6x

b)(x-2y-1)²=x²+(-2y)²+(-1)²+2x.(-2y)+2(-2y).(-1)+2x.(-1)=x²+4y²+1-4xy+4y-2x

Produto (a+b).(a²-ab+b²)

(a+b).(a²-ab+b²)= a³+b³

Exemplos:

a) (a+5).(a²-5a+25)= a³+5³=a³+125

b) (x+3).(x²-3x+9)=x³+3³=x³+27

O produto (a-b).(a²+ab+b²)

(a-b).(a²+ab+b²)

Exemplos:

a) (a-5).(a²+5a+25)= a³-5³=a³-125

b) (x-3).(x²+3x+9)=x³-3³=x³-27

c) (2x-y).(4x²+2xy+y²)= (2x)³-y³=8x³-y³

EXERCÍCIOS PRODUTOS NOTÁVEIS Profª: Ana Paula Gargano

1) (Cefetq-RJ) O quadrado da expressão 2x+3 é:

a) 4x²+9

b) 4x²+12x+9

c) 4x²-12x+9

d) 4x+6

e) 4x+9

2) (Cefetq-RJ) O quadrado do binômio x+1/x é:

3) (Cefetq-RJ) O quadrado do binômio 2x²-y é:

4)(Serviço Nacional de Aprendizagem Comercial) Simplificando a expressão (x+a)²-(x+a).(x-a), obtemos:

5)(Cefet-RJ)Que expressão deve ser adicionada a x²-6x+5 para que resulte o quadrado de x-3?

6)(Cefet-RJ)O produto (a+b)².(a-b)² é igual a:

7)(Cefet-RJ)O valor da expressão (x+5)(x-5)-(x+3)²+6(x+5) é:

8)(FN)Considere x=10 e y=20. Calcule o valor de (x+y)²-2xy.

9)Se a²+b²=34 3 ab=15, calcule o valor de (a+b)²

8

10) Sabendo que a²+b²=45 e ab=18, determine o valor de (a+b)²:

11)(Curso de Formação de Cabos da Aeronáutica)O valor da expressão 10-(√20+√5)² é:

12) (ESA)Simplificando a expressão (x-a)²(x+a)²

(x²-a²)²

Sendo x≠+a, tem-se:

13)(Cefet)O número d=√3+2√2 . √3-2√2 é:

14) (CBMERJ-RJ) Efetue os produtos notáveis e simplifique a expressão (6b+½)² - (6b-½)² - (6b+½).(6b-½).Qual o polinômioencontrado?

a) 30b²-10b+½

b) 20b+10

c) -36b²+12b+¼

d) 20b²+20b+8

e) b²-8b+¼

15)(FGV-SP) Seja N o resultado da operação 375²-374².A soma dos algarismos de N é:

a)18

b)19

c)20

d)21

e)22

16)(Ulbra-RS) Sendo A=x-3, B=x²+3 e C=9x, o valor de A²-B+C é:

a) 3(x+4)

b) X+4

c) 3(x+2)

d) X+2

e) 3x

17)(Unifor-CE) A expressão (x-1)² + (x-1)³ é equivalente a:

a) (x-1)5

b) X³-2x²+x

c) X³+x²-2

d) X³+x²-2x

e) X³+2x²+1

18) (EAM) Se a/b=1/2 o valor de a+b² é:

a-b

a) 4

b) 9

c) 16

d) 25

e) 36 B

19) (EAM) Reduzindo-se os termos semelhantes da expressão b(a-b)+(b+a)(b-a)-a(b-a)+(b-a)², obtém-se:

a) (a-b)²

b) (a+b)²

c) b²-a²

d) a²-b²

e) a²+b² A

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Profº: Ana Paula Gargano

• REUNIÃO OU UNIÃO

• INTERSECÇÃO

• DIFERENÇA

• COMPLEMENTAR

• REUNIÃO OU UNIÃO

A união de dois conjuntos A e B, representada por AUB, é o conjunto formado por todos os elementos que estão em A e B juntos, isto é, é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou pertencem a B.

AUB= { xlx Є A v x Є B}

• Propiedades

AU0=A, VA

AUA=A

AUB=BUA(comutativa)

AU(BUC)=(AUB)UC(associativa)

AUU=U, onde U é o conjunto universo

• Gráfico (diagrama) de AUB

A

B

A B

A B

• Exemplos:

A={0,1,2} e B={2,3,4}

AUB= {0,1,2}U{2,3,4}={0,1,2,3,4}

O conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A e do conjunto B.

• INTERSECÇÃO

A intersecção de dois conjuntos A e B, representada por A∩B, é o conjunto formado por todos os elementos que estão em A e B ao mesmo tempo, isto é, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e pertencem a B.

A∩B= { xlx Є A ^ x Є B}

• Propriedades

A∩0=Ø

A∩A=A

A∩B=B∩A(comutativamente)

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C(associativamente)

A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C) (distributivamente)

AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC) (distributivamente)

Se A∩B= Ø, então dizemos que os conjuntos A eB são disjuntos.

• Podemos representar A∩B através de diagramas:

B

A B

A∩B={}

A B

A

A∩B=B

• Número de elementos da união de dois conjuntos

O número de elementos da intersecção é A∩B é

dado por n(A∩B) e o número de elementos da união AUB é dado por n(AUB), logo podemos escrever:

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

Exemplo:

B

• A={1,2,3} e B={2,3,4,5},logo:

n(A)=3

n(B)=4

n(AUB )=?

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

n(AUB)= 3+4-2

n(AUB)=7-2

n(AUB)=5

• DIFERENÇA

A diferença de dois conjuntos A e B, representada por A-B, é o conjunto formado pelos elementos que restaram de A quando retiramos aqueles que estão em B, isto é, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

AUB= { xlx Є A e x Є B}

• Propriedades:

A-0=A

0-A= Ø

A-A= Ø

A-B≠B-A

• Gráfico de A-B

A B

B

A

A B

Exemplo:

A={0,5,9}

B={0,3,9}

A-B={5}

B-A={3}

• COMPLEMENTAR

É um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos A e B com a condição de que BcA a diferença A-B chama-se complementar de B em relação a A e é representado por:

CAB= A-B

• Diagrama

CAB= A-B

B

A

• EXERCITANDO

1) Considere os conjuntos A={1,3,5,6,8} e B={1,2,4,5,7,9,10}.Determine :

a) AUB

b) A∩B

c) A-B

d) B-A

e) Quantos elementos têm os conjuntos AUB e A∩B?

2) Considere os conjuntos A={2,3,5} e B={4,6,8,9}. Determine:

a)AUB

b)A∩B

c) A-B

d)B-A

e)Quantos elementos têm os conjuntos AUB e A∩B?

3)Dados os subconjuntos A = {x ∈ IR / -2 ≤ x < 3}; B = {x ∈ IR / 1 ≤ x < 4}; C = {x ∈ IR / x < 0}

de IR calcule (faça o gráfico):

a) A ∪ B

b) A ∩ B

c) (A ∩ C) ∩ B

d) (A ∩ C) U B

4)(FAETEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos; A∩B tem 12 e AUB tem 60. O número de

elementos de B é:

a) 28

b) 36

c) 40

d) 48

e) 52

5) (UFAL) Se A e B são dois conjuntos não-vazios, tais que:

AUB = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A-B={1,3,6,7} e B-A={4,8}

Então A∩B é;

a) Ø

b) {1,4}

c) {2,5}

d) {6,7,8}

e) {1,3,4,6,7,8}

6) (UCSAL-Ba) Três conjuntos não-vazios A,B e C,

A={0,1}, BUC={0,2,3}, AUB={0,1,2} e B∩C={0}. O conjunto B é:

a) {0,1}

b) {0,2}

c) {0,3}

d) {1,2}

e) {1,3}

Problemas envolvendo conjuntos

1)Numa pesquisa de mercado sobre a preferência dos consumidores entre duas operadoras de telefone móvel, verificou-se que 3003 dessas pessoas utilizam as operadoras A e B. A operadora A é utilizada por 9376 das pessoas pesquisadas, e a operadora B por 12213 delas. Se todas as pessoas pesquisadas utilizam pelo menos uma operadora, o número de pessoas que responderam a pesquisa é:

a) 24592

b) 22623

c) 21589

d) 18586

e) 17658 D

2) (TRT) Uma empresa divide-se unicamente nos departamento A e B. Sabe-se que 19 funcionários trabalham em A, 13 trabalham em B e existem 4 funcioários que trabalham em ambos os departamentos.O total de trabalhadores dessa empresa é:

a) 36

b) 32

c) 30

d) 28

e) 24 D

3) (EAM) Em uma viagem foram colocados dois tipos de revistas para que os tripulantes de uma fragata desfrutassem de uma boa leitura. Ao final da viagem foi feita uma pesquisa com todos os tripulantes para saber das preferências com relação às revistas “saúde à bordo”ou “vida marinha”, verificou-se:

-20 tripulantes leram “saúde à bordo” -30 tripulantes leram “vida marinha” -8 leram as duas revistas -14 tripulantes não leram nenhuma das dessas revistas Qual é o número de tripulantes da fragata nesta viagem? a)56 c)64 b)58 d)68 e)72 A

4) (EAM) Numa sociedade, 300 pessoas estudam matemática, 150 estudam apenas português, 50 pessoas estudam matemática e português, 100 pessoas não estudam nada. Qual o número de pessoas dessa sociedade?

a) 400

b) 450

c) 500

d) 550

e) 600 D

5) Em uma turna com 30 alunos, todos jogam vôlei ou futebol. Destes, 17 jogam apenas futebol, e 5 jogam futebol e vôlei. Quantos jogam apenas vôlei?

• Solução

• FUV=30

• F∩V=5

• F-V=17

• V-F= ?

6) Em uma turma com 30 alunos, todos jogam futebol, vôlei ou basquete. Destes sabemos que: 20 jogam futebol, 15 jogam vôlei, 7 alunos jogam futebol e basquete, 5 praticam apenas vôlei, apenas 2 praticam simultaneamente os três esportes, e nenhum joga apenas basquete. Determine:

a) Quantos alunos jogam apenas futebol?8

b) Quantos alunos jogam futebol e vôlei?7

• Quantos alunos jogam vôlei e basquete? 7

FUVUB=30

F=20

V=15

F∩B=7

F∩V∩B=2

V-(FUB)=5

B-(FUV)=0

7) (TRT)Numa pesquisa feita com 290 pessoas a respeito da audiência de dois filmes, A e B, apurou-se que:

- 130 pessoas consultadas assistiram ao filme A;

- Somente 50 dentre todas as pessoas consultadas assistiram aos dois filmes;

- Dentre todos os pesquisados, apenas 60 não assistiram a A nem a B.

Quantas pessoas assistiram ao filme B?

a) 100

b) 110

c) 130

d) 150

e) 170 D