Elementos de um triângulo
Vértices: pontos A, B e C.
Ampliando o estudo dos triângulos
Ângulos internos: , e .
Lados: segmentos de reta , e .
Ângulos externos: , e .
O lado oposto ao ângulo é o lado .
O ângulo é o ângulo oposto ao lado .
Os ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo são os ângulos e .
Os ângulos e são adjacentes suplementares .
Condição de existência de um triângulo
Desigualdade triangular
Em todo triângulo, a medida de um lado é sempre menor do que a somadas medidas dos outros dois lados.
a < b + c
b < a + c
c < a + ba
bc
3 cm
4 cm
2 cm
4 cm
2 cm 1,5 cm
Relação entre lados e ângulos de um triângulo
Observe que o maior ângulo opõe-se ao maior lado, e o menor ângulo opõe-se ao menor lado.
>90º >60º 30º
Em todo triângulo, o maior ângulo opõe-se ao maior lado e, reciprocamente, o maior lado opõe-se ao maior ângulo. Da mesma forma, o menor ângulo opõe-se ao menor lado e, reciprocamente, o menor lado opõe-se ao menor ângulo.
> >
A
BC
60º
30º
Lados opostos
Figuras congruentes e congruência de triângulos
Figuras congruentes
Congruência de triângulosA congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a congruência dos dois triângulos.
A B
C
P Q
R
Casos de congruência de triângulos
1o caso: LAL (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulocompreendido entre eles respectivamente congruentes.
A
B
C E
F
G
Então:
2o caso: LLL (lado, lado, lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.
A B
C
EF
G
Então:
3o caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado eos dois ângulos adjacentes a ele respectivamente congruentes.
A B
C
E F
G
Então:
4o caso: LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ânguloadjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
A
B
C
E F
G
Então:
Chamamos expressões algébricas inteiras as que não têm letras (ou variáveis) em denominador nem dentro de radicais.
Exemplos: • 4x + 6 • 8x2y • a2 – a + 4• 8x1• ab
Expressão algébrica inteira
A área do quadrado é: ℓ . ℓ ou ℓ2
O perímetro do quadrado é:ℓ + ℓ + ℓ + ℓ = 4ℓ
Em geral, um monômio é formado por uma parte numérica (coeficiente)e uma parte literal.
Monômios
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
Grau de um monômio
Exemplos:
• –5x3y4
3o grau referente a x
4o grau referente a y
O grau deste monômio é 7 (3 + 4 = 7).
• 12x5 5o grau referente a xO grau deste monômio é 5.
Monômios semelhantes ou termos semelhantes
Exemplo:
O termo semelhante dos monômios x3, 8x3, 64x3 e 125x3 é a parteliteral que eles apresentam: x3.
Operações com monômios
Adição e subtração de monômios semelhantes
Exemplos: • 2x + 3x = (2 + 3)x = 5 . x = 5x
Portanto: 2x + 3x = 5x
• 7y2 – 5y2 = (7 – 5)y2 = 2y2
Portanto: 7y2 – 5y2 = 2y2
Multiplicação de monômios
Exemplos:
• (9x2) . (5x3) = (9 . 5)(x2 . x3) = 45x2 + 3 = 45x5
propriedade comutativa eassociativa da multiplicação
propriedade do produto de potências de mesma base
• (3a) . (–4b) = –12ab
3 . (–4)
a . b
Divisão de monômios
Exemplos:
• (12x6) : (3x2) =
4
4x6 – 2 = 4x4
• (5a) : (15b) =1
3
• (10y2) : (2y3) = 5y2 – 3 = 5y –1 =
=
=
Toda expressão que indica uma soma algébrica (adição ou subtração) de monômios não semelhantes é chamada de polinômios.
Exemplos:
5a2 – 3a
2x + 6
4x2 – 2xy + 3x
a2 – 2ab + b2 – a2b2
Trinômio (3 termos):Binômio (2 termos):
Polinômio (mais de um termo):
Polinômio
x – y + 5
Redução de termos semelhantes
Exemplo:
2x + y + 2x + 2y + 4x + 3y
(2x + 2x + 4x) + (y + 2y + 3y)
ouUsando as propriedades
comutativas e associativas da adição.
8x 6y
8x + 6y
ouReduzindo os
termos semelhantes.
Grau de um polinômioO grau de um polinômio é numericamente igual à soma dos expoentes da parte literal do seu termo de maior grau depois de reduzidos seus termos semelhantes.
Exemplo:
• 4x3 – 3x2 + 5
Polinômio do 3o grau, 4x3 é seu termo de maior grau.
• 2x + xy – 6y
Polinômio do 2o grau, xy é seu termo de maior grau.
Operações com polinômios
Adição e subtração de polinômios
Exemplos:
Sejam os polinômios: A = 3x2 + 2x e B = 2x2 + x
• A + B = (3x2 + 2x) + (2x2 + x) = 3x2 + 2x + 2x2 + x = 5x2 + 3x
• A – B = (3x2 + 2x) – (2x2 + x) =
Polinômios opostos ou simétricosExemplo:
3x2 – 5x – 10– 3x2 + 5x + 10
0x2 + 0x
Multiplicação de polinômios
Exemplos:
• A área da parte I é: x . (3x) = 3x2
• A área da parte II e I é: 3x . (x + 5x + 1) = 3x . (5x + 1) = 15x2 + 3x
A área da região é:
(x + 2) . (x + 5) = x . x + x . 5 + 2 . x + 2 . 5 =
= x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10
A B
CD x + 5
x + 2
Divisão de polinômios
é equivalente à divisão (6x3 – 12x) : (3x)
(6x3 – 12x) : (3x) = (6x3) : (3x) – (12x) : (3x) = 2x2 – 4
ou
= − =
Exemplos:
2x2 – 4
Divisão de polinômios
(15x2 + 2x – 8) : (5x + 4)
15x2 + 2x – 8 5x + 4 Dividimos o 1o termo do dividendopelo 1o termo do divisor:– 15x2 – 12x
– 10x – 8
– 2(15x2) : (5x) = 3x
Dividimos novamente o 1o termo de–10x – 8 pelo 1o termo de 5x + 4:
(–10x) : (5x) = –2
+ 10x + 8 0
Verificação:
(3x – 2) . (5x + 4) = 15x2 + 12x – 10x – 8 = 15x2 + 2x – 8
quociente divisor
Exemplo:
Quadrado da soma: (a + b)2 ou (a + b)(a + b)
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b =
2ab
a2 + 2ab + b2
Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrado da diferença:
Portanto: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
quadrado do 1o termo
o oposto do dobro do produtodo 1o pelo 2o termo
quadrado do 2o termo
Produto da soma pela diferença: (a + b)(a – b)
(a + b) . (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
1o caso de fatoração: fator comum (colocação de um termo em evidência)
Exemplos:
• 3a2 + 3ab = 3a . a + 3a . b =
fator comum
3a . (a + b)
Portanto: 3a2 + 3ab = 3a(a + b)
forma fatorada
• 10x2 – 15x = 2x . 5x – 3 . 5x =
fator comum
5x(2x – 3)
Fatoração de polinômios
O fator comum é colocadoem evidência.
2o caso de fatoração: agrupamento
Exemplos:
ax + 2a + 5x + 10
a(x + 2) + 5(x + 2)
(a + 5) . (x + 2)
ab + a – bx – x
a(b + 1) – x(b + 1)
(b + 1) . (a – x)
3o caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
quadradode x
Exemplos:
o dobro do produtode x e 5
quadradode 5
a2 – 14a + 49 = (a – 7)2
quadradode a
o dobro do produtode a e 7
quadradode 7
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
9x2 + 60x + 100 = (3x + 10)2
(3x)2
2 . (3x) . 10
102
4o caso de fatoração: diferença entre dois quadrados
Exemplos:x2 – 64 = (x + 8)(x – 8)
quadradode x
quadradode 8
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
25x2 – 81 = (5x + 9)(5x – 9)
(5x)2 92
= =
= =
= =
Simplificação de frações algébricas
Exemplos:
•
• (x – y)
•
fatorando
fatorando
2(1 + 2a) = 2 + 4a2
Frações algébricas
=
=
Multiplicação de frações algébricas
Exemplos:
•
• 3
Divisão de frações algébricas
•
Exemplo:
– =
: = . =
. = . =
Potenciação de frações algébricas
Exemplos:
•
•
= =
= = ou