Dados um número natural n e os números complexos an, an1, an2, ..., a2, a1, a0, denomina-se função polinomial, ou simplesmente, polinômio em C a função dada por:

para todo x C.

1. Conceitos Iniciais

No polinômio P, temos:•an, an1, an2, ..., a2, a1, a0 são os coeficientescoeficientes.

•anxn, an1xn1, ... , a1x, a0 são os termos do polinômiotermos do polinômio.

•a0 é o termo independentetermo independente de x.

•x é a variável.variável.

012

22n

2n1n

1nn

n axaxa...xaxaxa)x(P

Se an 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômioo expoente máximo n é dito grau do polinômio. Indicamos : gr(P) = n.

P(x) = 7 ou P(x) = 7x0 é um polinômio constante, isto é gr(P) = 0.

P(x) = 2x 1 é um polinômio de grau 1, isto é, gr(P) = 1.

é um polinômio de grau 5, isto é, gr(P) = 5.

P(x) = 0; se todos os coeficientes são nulos não se define o grau absoluto.

As funções f(x) = 3x4 + x2 5 e g(x) = x5 + x3/4 não são polinômios, pois em cada uma delas há pelo menos um expoente da variável que não é o número natural.

2. Grau de um Polinômio

453 ixxxP

O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o numero que se obtém, substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadassubstituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela expressão que define o polinômio. Observe esta situação:

Exemplo 1: Se P(x) = x3 + 2x2 x 1, o valor numérico de P(x), para x = 2, é:

P(2) = 23 + 2 22 2 1

P(2) = 8 + 2 4 2 1

P(2) = 13

O valor numérico de P(x), para x = 2, é a imagem do 2 pela função polinomial P(x).

Se P(a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero de P(x). a é a raiz de P(x) a é a raiz de P(x) P(a) = 0 P(a) = 0

3. Valor Numérico de Um Polinômio

Dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos quando assumem valores numéricos iguais para quaisquer valores atribuídos à variável x.

Indicamos A(x) B(x).

A(x) A(x) B(x) B(x) A( A() = B() = B(), ), C C

Considere os polinômios:

 

Então: A(x) B(x) A(x) – B(x) 0(a(ann – b – bnn)x)xnn + (a + (ann11 b bnn11)x)xnn11 + … + … + (a+ (a22 b b22)x)x22 + (a + (a11 b b11)x + (a)x + (a00 b b00) ) 0, 0, x x C. C.

Nesse caso, o polinômio do 1º membro deve ser nulo e, como já vimos, isso ocorre para:

aann b bnn = 0 = 0 a an n = b= bnn;; aann11 b bnn11 = 0 = 0 a ann11 = b = bnn11; … ; ; … ; aa00 b b00 = 0 = 0 a a00 = b = b00

4. Identidade de Polinômios

012

21n

1nn

012

21n

1nn

n

bxbxb...xbxnb)x(B

axaxa...xaxa)x(A

Dizemos que um polinômio P é nulo (ou identicamente nulo) quando P assume valor numérico zero para todo x completo. Em símbolos indicamos:

Um polinômio P é nulo se, somente se, todos os coeficientes de P forem nulos. Em símbolos, sendo:

 

Então devemos ter:

5. Polinômio Nulo

CxxPP ,00

012

21

1 axaxaxaxaxP nn

nn

00121 aaaaa nn

A soma, a diferença e o produto de duas funções polinomiais complexas são, também, funções polinomiais complexas.

Se duas funções têm coeficientes reais, a soma, a diferença e o produto também coeficientes reais.

Observa-se que, se A(x) e B(x) são funções polinomiais, então:

•Quando A(x) e B(x) possuírem graus diferentes, o grau de A(x) + B(x) ou A(x) B(x) será igual ao maior entre os graus A(x) e B(x).

•Quando A(x) e B(x) forem do mesmo grau, o grau de A(x) + B(x) ou A(x) B(x) poderá ser menor ou igual ao grau dos polinômios A(x) e B(x) ou, ainda, o polinômio resultante poderá ser nulo.

•O grau de A(x) B(x) é a soma dos graus de A(x) e B(x).

6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação

Sendo:

1. A soma é definida como:

Ou seja, calculamos a soma adicionando os coeficientes dos termos semelhantes.

2. A subtração é definida como:

Ou seja, calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes.

6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação

012

21

1 axaxaxaxaxA nn

nn

012

21

1 bxbxbxbxbxB nn

nn

00111

11 baxbaxbaxbaxBxA nnn

nnn

00111

11 baxbaxbaxbaxBxA nnn

nnn

Sendo:

3. A multiplicação é obtida multiplicando-se cada termo a ixi de A(x) por cada termo bjxj de B(x), ou seja, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.

A(x) + B(x) =

A(x) . B(x) =

6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação

012

21

1 axaxaxaxaxA nn

nn

012

21

1 bxbxbxbxbxB nn

nn

Exemplo 2: Sendo A(x) = x3 + 2x2 3 e B(x) = x2 + x + 1, determine:

(x3 + 2x2 – 3) + (x2 + x + 1) = x3 + 3x2 + x 2

(x3 + 2x2 – 3) . (x2 + x + 1) x5 + x4 + x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 – 3x2 – 3x – 3 x5 + 3x4 + 3x3 – x2 – 3x – 3

6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação

Exemplo 3: Sendo A(x) = 6x2 + 5x + 4 e B(x) = 3x3 + 2x2 + x, determine A(x).B(x)

Dispositivo prático:

32

2

32

654

xxx

xx

32 654 xxx 432 12108 xxx

543 181512 xxx

5432 182728134 xxxxx

Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor), dividir P por D é determinar dois outros polinômios Q(x) (quociente) e r(x) (resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes:

7. Divisão de Polinômios

xPxrxDxQI

exatadivisãoroudivisorgrrestogrII 0)()(

Esse método, também conhecido como método dos coeficientes a determinarmétodo dos coeficientes a determinar, é aplicado da seguinte forma:

1. determina-se os graus do quociente – Q(x) e do resto – r(x);

2. constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos os seus coeficientes (usam-se letras);

3. determinam-se os coeficientes impondo a igualdade Q(x).D(x) + r(x) = P(x).

7.1 Método de Descartes

Exemplo 4: Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x) = 3x3 - 2x2 + 4x -1:

1. gr(quociente) = 4 – 3 = 1 Q(x) = ax + b

2. gr(resto) < 3 gr(r) 2 r(x) = cx2 + dx + e

7.1 Método de Descartes

Exemplo 5: Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x) = 3x3 - 2x2 + 4x -1:Aplicando a relação fundamental da divisão: xPxrxDxQ

27231423 34223 xxxedxcxxxxbax

edxcxbbxbxbxaxaxaxax 223234 423423

2723424323 34234 xxxebxdbaxcbaxbaax

33 a1a

232 ba 024 cba 74 dab 2 be

2312 b

03 b0b

00214 c

4c

7104 d

8d

20 e2e

Logo:

Q(x) = ax + b Q(x) = x Q(x) = x

r(x) = cx2 + dx + e r(x) = -4xr(x) = -4x22 + 8x + 2 + 8x + 2

Para efetuar a divisão usando o método da chave, convém seguir os seguintes passos: 

•Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescenteordem decrescente dos seus expoentes e completá-los quando necessáriocompletá-los quando necessário, com termos de coeficiente zero.

•Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisorDividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um termo do quociente.

•Multiplicar esse termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo. 

Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor , a diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui.

Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo dividendo.

7.2 Método da Chave

7.2 Método da Chave

1282 234 xxxx 402 xx2x234 40 xxx

xxx 832 23

x2

xxx 802 23

1203 2 xx

3

1203 2 xx

0

Exemplo 6: Dividir P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 por D(x) = x2 + 4:

Logo: Q(x) = xQ(x) = x22 – 2x – 3 e r(x) = 0 – 2x – 3 e r(x) = 0

7.2 Método da Chave

16000 234 xxxx 1x3x34 xx

23 0xx

2x

23 xx

xx 02

x

xx 2

16 x

Exemplo 7: Dividir P(x) = x4 – 16 por D(x) = x + 1.

Logo:

Q(x) = xQ(x) = x33 – x – x22 + x - 1 + x - 1

e e

r(x) = -15r(x) = -15

1

1x

15

Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo é um polinômio P(x), em que gr(P) 1, e o divisor é um polinômio do 1º grau (de grau 1), a princípio de coeficiente dominante (do termo de grau 1) igual a 1.

Para começar vamos determinar o seguinte, se o divisor é de grau 1, então resto será de grau zero, e portanto, independente de x (o resto será um número real).

Vamos estudar:Teorema do RestoTeorema de D’AlembertAlgoritmo de Briot-RuffiniDivisão pelo binômio (ax + b)Divisão pelo produto (x – a).(x – b)Divisões Sucessivas

7.3 Divisão por binômios do 1º Grau

Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x – a), observamos que o resto, se não for nulo, será sempre um número real. Então:

7.4 Cálculo do Resto

( ).P x x a Q x r

( )x a( )P x

( )Q x r

Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão.Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos:

Verificamos assim que:

( ).P x x a Q x r

( ).P a a a Q a r

0.P a Q a r

P a r

O resto da divisão de P(x) por (x - a) é r = P(a).

Logo:

EXEMPLO 8: Calcular o resto da divisão deP(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 por x – 2.

4 22 2 3 2 2 2 1r P Resolução:

2 16 12 4 1r P

7r EXEMPLO 9: Calcular o resto da divisão deP(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2.

4 3 22 2 2 2 3 2 6r P

Resolução:

2 16 16 12 6r P

6r

Resolução: se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter,

Para que um polinômio P(x) seja divisível por um polinômio do tipo (x – a), é preciso que o resto seja igual a zero, ou seja, P(a) = 0.

7.5 Teorema de D’Alembert

P(x) é divisível por (x – a) P(a) = 0 .

EXEMPLO 10: Determine k para que o polinômioP(x) = kx3 + 2x2 + 4x – 2 seja divisível por (x + 3).

3 0P 3 23 2 3 4 3 2 0k

4

27k

Resolução:

7.6 Algoritmo de Briot-Ruffini

EXEMPLO 11: Calcular o quociente e o resto da divisão de P(x) = 3x3 - 2x2 + 5x – 7 por (x - 2).

2

2a

3 2 5 7

3 4 13 19

Coeficientes do quociente resto

Assim: 23 4 13 19Q x x x e R x

Resolução:

EXEMPLO 12: Dividir P(x) = 3x4 + 8x3 - 20x – 21 por (x + 1)

1

1a

3 8 0 20

3 5 5 15

3 23 5 5 15Q x x x x

6

21

6R x

Resolução: Como P(3) é o resto da divisão de P(x) por (x – 3), temos:

EXEMPLO 13: Dado P(x) = 5x4 - 9x3 + 2x2 – 5x – 11, calcular P(3).

3

5 9 2 5

5 6 20 55

Assim: lembre-se, P(3) = R(x), então temos:

154

11

154R x

3 154P

Resolução: Devemos ter resto igual a zero na divisão de P(x) por (x - 2). Então,

EXEMPLO 14: Determine k para que P(x) = x5 + x2 + kx – 5 seja divisível por (x - 2).

2

1 0 0 1

1 2 4 9

Assim: lembre-se, P(2) = R(x) = 0. Então:

18 k

k

31 2R x k

31 2 0k

31 2k

5

31

2k

Observe,

Fazendo , temos: 1( )a Q x Q x

P x ax b Q x r

Briot-Ruffini para o binômio (ax + b)Casos em que: 0, 0 1a b e a

bP x a x Q x r

a

bP x x aQ x r

a

1

bP x x Q x r

a

Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para

obtemos e , em que r também é o resto de na

divisão de P(x) por (ax + b) e será o quociente.

Veja que se: 1( )a Q x Q x

1

1Q x Q x

a

bxa

1Q x r

1

1Q x

a

Resulta então que:

Resolução: em (2x - 1) vamos colocar o 2 em evidência,

obtendo:

EXEMPLO 15: Dividir P(x) = 2x3 - 4x2 + 6x – 2 por (2x - 1)

2 4 6

2 3 9

21

4

2

12

2x

1

2

1Q x R x

1

1

2Q x Q x

Agora você deve lembrar que:

Substituindo então Q1(x), teremos:

21 92 3

2 2Q x x x

2 3 9

2 4Q x x x e 1

4R x

Resolução: lembre-se, nesse caso, R(x) = P(1). Então:

EXEMPLO 16: Qual o resto da divisão de P(x) = x40 - x - 1 por (x - 1)?

401 1 1 1P

1 1P

Logo: 1R x

7.7 Divisão pelo produto (x – a).(x – b)

Consideremos um polinômio P(x) com grau maior ou igual a dois, que, dividido por (x – a) e por (x – b) apresenta restos iguais a r1 e r2, respectivamente.Vamos Calcular o resto da divisão de P(x) pelo produto (x – a) . (x – b).Como os restos na divisão de P(x) por (x – a) e por (x – b) são r1 e r2, respectivamente, temos:

1 2P a r e P b r

O resto da divisão de P(x) por (x – a) . (x – b) é um polinômio R(x) = mx + n de grau máximo igual a 1, já que o divisor tem grau 2. Assim:

P x x a x b Q x mx n

Como: 1 2P a r e P b r

Temos:

P a a a a b Q a ma n

1ma n r

P b b a b b Q b mb n

2mb n r

Com as sentenças obtidas montamos um sistema:

Resolvendo esse sistema e calculando os valores de m e n, obtemos:

1

2

ma n r

mb n r

1 2 2 1r r ar brm e n

a b a b

Agora substituindo os valores de m e n encontrados na sentença:

R x mx n

Obtemos:

1 2 2 1r r ar brR x x

a b a b

Observações:

I) Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b) temos:

Então:

1

2

0 0

0 0

P a r

e

P b r

Ou seja:

0 0 0 0a bR x x

a b a b

0R x

CONCLUSÃO: Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b), então P(x) será também divisível pelo produto:

((xx – – aa) . () . (xx – – bb)).

Resolução: Primeiro vamos lembrar que,

EXEMPLO 17: Verificar se o polinômio P(x) = x3 - 4x2 + 4x - 1 é divisível por B(x) = x2 - 1.

2 1B x x

Mas, para que P(x) seja divisível por B(x), é necessário que P(x) seja divisível por (x + 1) e também por (x – 1). Então devemos ter:

1 0P

1 0 1 0P e P Vamos então calcular P(1) e P(-1):

3 21 1 4 1 4 1 1P

1 10P

3 21 1 4 1 4 1 1P

1 1B x x x

Temos, então, que P(x) não é divisível por (x + 1)

EXEMPLO 18: Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + ax - b seja divisível por (x - 1) e por (x - 2).

E portanto podemos concluir que P(x) não é divisível por B(x)

3a b

Resolução: Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0.

3 21 1 2 1 1P a b

0 1 2 a b

2 16a b

3 22 2 2 2 2P a b

0 8 8 2a b

Agora, vamos resolver o sistema obtido.

3

2 16

a b

a b

13a 10b

3

10

a b

b

2

EXEMPLO 19: Se um polinômio P(x) dividido por (x - 1) deixa resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1, qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto (x - 1).(x - 2)?

Resolução: observe que:1) A partir da leitura do enunciado podemos concluir que P(1) = 2 e P(2) = 1.

1 2P x x x Q x ax b

2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1).(x - 2) é um polinômio do tipo R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1.

Então:

A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, obtemos:

1 2P x x x Q x ax b

Resolvendo o sistema:

2a b

1 1 1 1 2 1 1P Q a b

2 a b

2 1a b

2 2 1 2 2 2 2P Q a b

1 2a b

2

2 1

a b

a b

2

Encontramos: e .1a 3bAssim: 3R x x

7.8 Divisões Sucessivas

Consideremos um polinômio P(x) divisível por B(x) = (x – a).(x – b), e que o quociente na divisão de P(x) por B(x) é um polinômio Q(x).

P x x a x b Q x

Assim:

Vamos chamar (x – b).Q(x) de Q1(x).

1Q x

Observe a sentença obtida,

1P x x a Q x

Veja que P(x) é divisível por (x – a) e o quociente na divisão de P(x) por (x – a) é Q1(x) = (x – b). Q(x)

Então, podemos concluir que Q1(x) é divisível por (x – b) e o quociente na divisão de Q1(x) por (x – b) é Q(x).

Mas, se 1Q x x b Q x

Vamos tentar simplificar:

P x x a x b Q x

1P x x a Q x

Deste modo, podemos concluir que:

( )x a( )P x

1( )Q x 0 ( )x a

1( )Q x 0

x a x b ( )P x

( )Q x 0

EXEMPLO 20: Verificar se P(x) = x3 + 2x2 - 13x + 10 é divisível por (x – 1).(x – 2)

Resolução: Dividimos sucessivamente P(x) por (x - 1) e o quociente encontrado por (x – 2)

Como P(x) é divisível por (x - 1) e o quociente desta divisão é divisível por (x – 2), concluímos, então, que P(x) é divisível por (x - 1).(x - 2)

1

1 2 13 10

1 3 10 0

Coeficientes do Quociente Q(x)

2 1 5 0

EXEMPLO 21: Calcular a e b para queP(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2

Resolução: Dividimos P(x) por (x - 1) e o quociente encontrado por (x – 1) novamente.

Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então,

1

1 0 1 a

1 1 2 2a

1 1 2 4

b

2a b

6a

6 0

2 0

a

a b

6 4a e b

EXEMPLO 22: Para que o polinômioP(x) = x3 - 8x + mx - n seja divisível por (x + 1)(x - 2), o produto m.n deve ser igual a:

Resolução: Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é divisível por (x + 1), e também é divisível por (x - 2), e isto significa dizer que,

7m n

1 0P e 2 0P

31 1 8 1 1P m n

0 1 8 m n

32 2 8 2 2P m n

0 8 16 2m n

2 8m n

Resolvendo o sistema:

5m e 2n

7

2 8

m n

m n

Obtemos,

Agora, podemos responder a proposição inicial do problema,

10m n

EXEMPLO 23: Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b. Obter o valor numérico da expressão a + b.

Resolução: Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6, então,

e 1 3P

Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b, então,

1 2P x x x Q x ax b

daí,

2 6P

1 2x x ( )P x

( )Q x ax b

1 3 3P a b

2 6 2 6P a b 1a

4b5a b