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QUESTÃO 1
1
INTRODUÇÃO CONCEITOS E ALGORITMOS.
Id: todas as vezes que tivermos que contar,
quantificar, arranjar... Temos um problema de
análise combinatória ou princípio fundamental
da contagem. P.F.C.
Que: fórmulas e diferença entre; permutação,
arranjo e combinação
Técnica de resolução: veremos a seguir...
2
RACIOCÍNIO LÓGICO
Análise combinatória ou principio fundamental da contagem.
Toda vez que houver a necessidade de se contar, quantificar,
combinar... Usamos as técnicas de análise combinatória que
consiste em utilizar uma das três técnicas. PERMUTAÇÃO,
ARRANJO ou COMBINAÇÃO.
3
RACIOCÍNIO LÓGICO
Fatorial.
n! = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4).... Ate que a subtração por n
seja igual á 1.
4! = 4x3x2x1= 24
5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120
8! \ 4! = ?
9! \ 6! x 2! = ?
12! \ 8! X 4! = ?
4
RACIOCÍNIO LÓGICO
PEMUTAÇÃO.
Só usamos a permutação quando podemos repetir
elementos do problema.
Usamos o seguinte esquema.
Pos x pos x pos x pos........
Ex; quantas senhas diferentes com quatro dígitos
podem ser formadas ?
Temos; 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
5
RACIOCÍNIO LÓGICO ARRANJO.
se em um problema não podemos repetir elementos vemos se a
ordem desses elementos é importante para a solução, se for
temos um problema de ARRANJO.
formula. A n,p = n! \ (n-p)!
Ex; deseja-se formar uma comissão composta por 3 pessoas sendo
um presidente, um secretário e um vice-presidente. Escolhe-se ao
acaso essas pessoas de um grupo de 6 pessoas quantas
possibilidades diferentes temos para montar essas comissões?
Temos n= 6 p = 3 A 6,3 = 6! \ ( 6 – 3 )! 6x5x4x3!\3! = 6x5x4=120
6
RACIOCÍNIO LÓGICO Combinação
ao testar em um problema se o mesmo é uma permutação ou um
arranjo, e ao notar que não é podemos ver que a ordem dos
elementos se torna importante e temos um problema de
combinação.
Fórmula. C n,p = n! \ p! ( n-p )!
Ex; quantas saladas de frutas podem ser feitas utilizando 4 frutas
escolhidas de uma sexta com 7 frutas?
n= 7 p = 4 temos; C 7,4 = 7! \ 4! ( 7- 4 )! 7! \ 4! x 3!
7x6x5x4 \ 3x2x1 = 35
7
RACIOCÍNIO LÓGICO
EXERCITANDO.
Questão 1
Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas
para serem usados em uma propaganda na televisão, em
expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha,
também, que a quantidade total de nomes escolhidos para
aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da
propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes
distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares
diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.
8
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 2
Há exatamente 495 maneiras diferentes de se
distribuírem 12 funcionários de um banco em
3 agências, de modo que cada agência receba
4 funcionários.
9
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 3
Se 6 candidatos são aprovados em um
concurso público e há 4 setores distintos onde
eles podem ser lotados, então há, no máximo,
24 maneiras de se realizarem tais lotações.
10
RACIOCÍNIO LÓGICO QUESTÃO 7
11
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 8
12
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 9
13
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 10
O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de seis dezenas de
um conjunto de sessenta possíveis (01, 02, 03, ..., 59, 60). A
aposta mínima é feita escolhendo-se seis dessas dezenas.
José pensou em oito dezenas diferentes, e resolveu fazer o
maior número de apostas mínimas, combinando-as oito
dezenas escolhidas de todas as maneiras possíveis. Quantas
apostas fez José?
(A) 28
(B) 48
(C) 56
(D) 98
(E) 102
14
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 11
15
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 3
16
RACIOCÍNIO LÓGICO probabilidade
17
INTRODUÇÃO CONCEITOS E ALGORITMOS.
Id: fica explicito que temos um problema de
probabilidade
Que: devemos saber 4 fórmulas e seus
conceitos.
Técnica de resolução: veremos a seguir...
18
RACIOCÍNIO LÓGICO
Probabilidade.
Em resumo podemos definir probabilidade como sendo ;
Número de casos possíveis
casos prováveis.
ou
evento .
Espaço amostral.
19
RACIOCÍNIO LÓGICO Exemplo:
Qual a probabilidade de jogarmos um dado ao acaso e
termos como resultado o número 4.
Qual a probabilidade de em um baralho com 52 cartas
tirarmos uma ao acaso e a mesma ser do nipe de
copas.
20
RACIOCÍNIO LÓGICO
: A probabilidade do evento impossível é nula.
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto
vazio (Ø), teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas,
a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento
impossível, neste caso) é nula.
21
RACIOCÍNIO LÓGICO
A probabilidade do evento certo é igual a unidade.
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas
vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola
vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.
22
RACIOCÍNIO LÓGICO
A soma das probabilidades de um evento e do seu evento
complementar é igual a unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A'
= U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).
Dividindo ambos os membros por n(U), vem:
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(A') = 1
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois
facilita a solução de muitos problemas aparentemente
complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a
probabilidade do evento complementar e, pela propriedade
acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.
23
RACIOCÍNIO LÓGICO
ex; de probabilidade complementar.
Ao lançarmos 5 moedas ao acaso qual a probabilidade de que
pelo menos uma moeda tenha na sua face voltada para cima a
cara.
24
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 1
25
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 3
26
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 4
27
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 5
28
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 7
29
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 8
30
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 9
31
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 10
32
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 11
33
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 12
34
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 13
35
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 14
36
RACIOCÍNIO LÓGICO
Questão 15
Lança-se, simultaneamente, uma moeda e um dado. A
probabilidade de obtermos cara e um número par é
a) 1 / 12.
b) 2 / 12.
c) 3 / 12.
d) 4 / 12.
e) 6 / 12.
37
Logaritmos.
38
INTRODUÇÃO CONCEITOS E ALGORITMOS.
Id: fica explicito que temos um problema de
logaritmo
Que: devemos saber as propriedades dos
logaritmos
Técnica de resolução: veremos a seguir...
39
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
Logaritmo.
Log a = x equivale b x = a
b
Ex. log 81 = ?
3
Ex. log x = 5
2
40
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
Exercitando.
Log 0,01 =?
10
Log 2√2 = ?
4
Log 0,25 = ?
2
41
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
Propriedades logarítmicas.
Condições de existência de um logaritmo.
Seja log a = x
b
Temos
a > o
b > 0 e b ≠ 1
42
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
Propriedades logarítmicas.
loga (x * y) = loga x + loga y
logax/y = logax – logay
logaxm = m*logax
43
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
Exemplos.
log2(32 * 16)
log5(625/125)
Log3812
44
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
Ex.seja log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5
Calcule log 12=?
4 45
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS. Questões de concursos.
(ceperj) Assinale a propriedade válida sempre:
a) log (a . b) = log a . log b
b) log (a + b) = log a + log b
c) log m . a = m . log a
d) log am = log m . a
e) log am = m . log a
(Supor válidas as condições de existências dos
logaritmos)
46
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) =
log 36 são:
a) 9 e -4
b) 9 e 4
c) -4
d) 9
e) 5 e -4 47
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
log3 (x + 5) = 2. podemos afirmar que x vale:
2
3
4
5
6
48
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
49
50
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
Calcule o valor do log
a) 3
b) 2.
c) 3/4
d) 3/2.
e) 6/12.
51
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale
o valor correspondente a log 144.
a) 2,22.
b) 2,19.
c) 2,06.
d) 2,14.
e) 2,27.
52
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS. CESGRANRIO – As indicações R1 e R2, na escala Ritcher, de dois terremotos
estão relacionadas pela fórmula
R1 – R2 = log(M1/M2), onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos
terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre.
Houve dois terremotos: um correspondente a R1 = 8 e outro
correspondente a R2 = 6.
Então, a razão (M1/M2) vale:
a) 100
b) 2
c) 4/3
d) 10
e) 1 53
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
Solução:
Decorre imediatamente do enunciado que:
8 – 6 = log (M1/M2) = 2.
Logo, (M1/M2) = 102 = 100.
54
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.
a equação seguinte:
log2(x2 + 2x – 7) – log2(x – 1) = 2
Daí podemos concluir que x vale:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
55
CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS. Solução:
Aplicando a propriedade de logaritmo de quociente, ou seja:
logbA – logbB = logb(A/B), vem:
log2[(x2 + 2x – 7)/(x – 1)] = 2
Lembrando que se logbN = c então bc = N, vem:
22 = [(x2 + 2x – 7)/(x – 1)
4(x – 1) = x2 + 2x – 7
4x – 4 - x2 - 2x + 7 = 0
2x – x2 + 3 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
Resolvendo esta equação do segundo grau, vem imediatamente:
x = 3 ou x = -1
Observe que a raiz x = -1 não serve ao problema, pois na equação dada,
log2(x2 + 2x – 7) – log2(x – 1) = 2, substituindo x por –1, as expressões entre parêntesis seriam
negativas e, como sabemos, não existe logaritmo de número negativo. Assim, a única solução da
equação proposta é x = 3.
56