Questões Resolvidas (Plana e Espacial) Completo Ver 2

GEOMETRIA ESPACIAL 1 AUTOR: JERLEY DANTAS

1.(ENEM) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema a seguir, está representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante.

A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara é de 4.200 m

3 por minuto. Assim, para descer do nível mais alto

até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de: (A) 2 minutos. (B) 5 minutos. (C) 11 minutos. (D) 16 minutos. (E) 21 minutos.

VAMOS RESOLVER JUNTOS

) d letra (min 164200

68000t

água de 6800017202000 3

mVcam

2.(ENEM) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera.

Volume da esfera: 3

4 3

esfera

RV

.

Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é igual a (A) 15 (B) 12 (C) 24

(D) 3 60 3

(E) 3 60 6


) d letra ( 603

5.3.32

5.3.3.25.3.2 temos1620,

1620

1620

4

32160R

2160 3

4

3

4

cm 21601512V

: temos volumes,os e

3

3 32

3242

3

3

3

3

3

322

CIL

R

R

fatorando

R

R

R

VV

RV

HR

igualandoCalculando

CILESF

ESF

3.(ENEM) No manejo sustentável de florestas, é preciso

muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se “rodo” da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m

3 a partir da medida do rodo e da

altura da árvore.

Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo

3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m

3 ;

2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m

3 ;

Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente,

(A) 29,9 toneladas (B) 31,1 toneladas (C) 32,4 toneladas (D) 35,3 toneladas (E) 41,8 toneladas


) a letra ( ton 29,9 ton9448,29

976,149688,14

ton976,142,1978,0

ton9688,1444,1977,0

dvm então ,d

m 2,19206,0104

m 44,19306,0123V

21

1

1

32

2

32

1

T

T

T

m

m

mmm

m

m

v

mComo

V

4.(UEPA) Os profissionais da área de nutrição têm orientado a população de que uma boa alimentação deve ser balanceada em elementos nutritivos, ocasionando maior resistência física, vida mais saudável e mais longa aos cidadãos. Portanto, adquirir hábitos alimentares salutares, é hoje uma prática indispensável para aqueles que desejam obter uma boa saúde. Um desses hábitos, segundo os nutricionistas, é beber água, somente entre as refeições, 6 a 8 copos diariamente, jamais durante. A quantidade aproximada de água, em litros, ingerida

por um indivíduo que bebe diariamente 8 vezes os 3

4

do copo indicado na figura a seguir é: (A) 1,0 (B) 1,3 (C) 1,5 (D) 2,0 (E) 2,5


) d letra ( 203472,2

: temos1000,por

72,2034

12,3394

38

cheio) copo ( água de 12,339

12,33912314,3. 322

ING

ING

ING

CIL

CIL

V

dividindo

mlV

V

mlV

cmHRV

5.(UEPA) A preocupação com a estética não é mais exclusivamente das mulheres. O mercado de cosméticos desenvolve pesquisas visando a novos produtos destinados ao público masculino. Um desses produtos é disponibilizado num recipiente cilíndrico reto de vidro conforme ilustrado na figura abaixo.

Sabendo-se que o diâmetro interno do recipiente é igual a 1,5H cm e que o volume da substância colocada nesse

recipiente atinge a altura de 5

4H cm. O volume de

substância restante no recipiente caso seja consumido 3

2 do

produto disponibilizado será de:

(A) 0,66 H3 cm

3

(B) 0,45 H3 cm

3

(C) 0,33 H3 cm

3

(D) 0,30 H3 cm

3

(E) 0,15 H3 cm

3


e) (letra cm 15,0

60

9

5

4..

16

9.

3

1

5

4.)

4

3.(

3

1

5

4.)75,0.(.

3

1

5

4...

3

1

.3

1V , ,

3

1 restaram então

, 3

2 consumidos foram

33

3

R

2

2

2

2

R

HV

HV

HHV

HHV

HHV

HRV

Vsejaou

produtodoSe

R

R

R

R

R

CIL

12 cm

6 cm

6. Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico

de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a água

do copo recubra exatamente a esfera. Antes da esfera ser

colocada no copo, a altura de água era

(A) 27/8 cm

(B) 19/6 cm

(C) 18/5 cm

(D) 10/3 cm

(E) 7/2 cm


d) letra ( 3

10h é valor o 16por ndosimplifica,

48

160

16048

.(-1) 16048

1923248

3248192

3

32

3

48192

3

32

1

16

1

64

3

321664

VV

3

322.

3

4

3

4V

esfera. da volumeao igual é mergulho do

antes e depois cilindros dos volumesos entre diferençaA

cm 6444V

4cm222Rh seja,ou esfera, da diâmetro

o é cilindro no água de altura a mergulho do

cm 164

:entãoh, era cilindro no água de altura a mergulho do Antes

ESFA

333

ESF

32

D

322

cmh

h

h

h

h

h

h

h

V

cmR

Depois

hhhRV

D

A

7.(UFPA) Projeta-se um reservatório para cem mil litros de água em forma de um cone reto. Se o raio da base é de 5 metros e se =3,15, obtemos que sua altura será

de aproximadamente (A) 3,50 metros. (B) 3,62 metros. (C) 3,90 metros. (D) 3,70 metros. (E) 3,81 metros.


) e letra ( 81,3809,315,3

12

2515,3

3100

1003

.5.15,3

1003

..

100V

,10001m como ,100000

2

2

3

3

mh

h

h

hR

m

entãoV

CONE

CONE

8. Um copo de chope é um cone (oco), cuja altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde que o copo está cheio até que o nível da bebida fica exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é: (A) 3/4 (B) 1/2 (C) 2/3 (D) 3/8 (E) 1/8

VAMOS RESOLVER JUNTOS Ilustrando a situação temos:

) e (letra .8

1

8

1

V

V

2

1

V

V

então , V

V

2

11

2H

2

H

k

maior cone do altura

menor cone do

.semelhança de razão acalcular

vamosentão s,semelhante são cones os

C

NC

3

C

NC

3

C

NC

CNC VV

KComo

H

H

alturaK

Como

09.(UFPA) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, utilizando =3,14, que a capacidade da rasa, em

litros, é aproximadamente (A) 18 (B) 20 (C) 22 (D) 24 (E) 26


) b letra ( 20

98,2043114,36507m 6507

823214739

m 82323

126.14.

3

V

m 147393

153.17.

3V

maior) cone do (altura cm 15327126

menor) cone do (altura cm 126

3783

3781417

)27.(1417

2717

14

: temoss, triângulodos semelhança a Fazendo

22

NC

22

C

T

T

T

NCCT

V

mV

V

VVV

hr

HR

x

x

xx

xx

x

x

10.(UEPA) Um médico prescreveu ao seu paciente um antibiótico, para ser tomado em doses, cuja medida está indicada no copinho da figura a seguir.

Sabendo–se que o vidro desse antibiótico tem volume

de 51,6 ml e que o paciente o consumiu integralmente, o número de doses tomadas por ele foi: (A) 16 (B) 20 (C) 25 (D) 30 (E) 36


) d letra ( 303.1016,5

3.6,51

3

16,5

6,51

V

dose) uma de volume( ml 3

16,5

9

48,15

9

5

9

48,20

9

5

3

1.

3

5.1.

3

3

5.1.

3

V

9

48,20

3

1.

3

8.56,2.

3

3

8.6,1.

3V

maior) cone do (altura cm 3

81

3

5

menor) cone do (altura cm3

5

6

10

6,0

1

16,0

16,1

11,6

1

R

r


DOSE

0

22

NC

22

C

TALT

T

T

NCCT

Vn

mlV

V

VVV

mlhr

mlHR

h

h

h

hh

h

h

H

h

11. Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são

1º) Sua base é um quadrado com 100 m de lado.

2º) Sua altura é de 100 m. Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m

3, os escravos, utilizados como mão-de-obra,

gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de (A) 40 anos (B) 50 anos (C) 60 anos (D) 90 anos (E) 150 anos


b) letra anos( 50360

18000

18000

_______3

1000000

dias _______541000

construção a para necessário

tempooobter para trêsde regra umafazer vamos

3

1000000

3

100.100.100

3

.

3

3

3

x

diasx

xm

m

mV

HAV

PIR

BPIR

12.(ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde,

quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? (A) 156 cm

3

(B) 189 cm3

(C) 192 cm3

(D) 216 cm3

(E) 540 cm3



Aplicando semelhança, temos:

Volume do tronco = Volume pirâmide – Volume da

pirâmide nova pirâmide

NPP VVV TRONCO ou

Volume do tronco = Volume pirâmide maior – Volume

da pirâmide menor

( letra b ) 13. Ao assistir a uma reportagem na TV sobre o impacto do crescimento demográfico nos recursos hídricos, o Sr. José decidiu adotar medidas que auxiliam na preservação de recursos naturais. Ele construiu um reservatório para captação de água da chuva e também instalou um aquecedor solar em sua residência. O sistema de aquecimento solar é composto de coletores solares (placas) e um reservatório térmico chamado boiler, o qual tem o formato de um cilindro circular reto, como mostra a figura abaixo.

Por sua vez, foi escolhido e construído um reservatório para a captação de água da chuva na forma de um prisma reto cuja base é um quadrado. Sabe-se que: 1 - o lado da base do prisma (que corresponde ao reservatório) mede 2 metros e o raio da base do cilindro (que corresponde ao boiler) mede 1/2 metro; 2 - a área lateral do prisma (reservatório) é igual ao dobro da área lateral do cilindro (boiler). A partir das considerações acima, relacione o volume do reservatório e o volume do boiler. Utilizando-o estabeleça o valor da razão (volume do reservatório) / (volume do boiler). (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12


a) letra ( 44

.1616

:então ,4

164.4

4

4

4.

2

1..HR V

4h2.2.h.HAV

volumesoscalcular

4

8

2

.28

.2

H) altura e R2 base com retângulo (1

H.H 2

1.22

h) altura e 2m base com retângulos (4

84..2

2

2

CIL

BPRI

H

h

V

V

H

hcomo

H

h

Hh

H

h

V

V

HH

agoravamos

H

h

H

h

Hh

AA

RHA

hhA

CIL

PRI

CIL

PRI

LCLP

LC

LP

14.(UEPA) A polpa de açaí pode ser utilizada na fabricação de sorvete, vinhos, licores, doces e etc. Uma das sobremesas prediletas dos paraenses é o sorvete de açaí, que em geral, é servido em bolas de formato esférico de 2cm de raio. Um dos tipos de cascalho (recipiente onde são colocadas essas bolas) tem formato de um cone circular reto de 4cm de raio e altura de 10cm. Qual a quantidade de bolas de sorvete necessárias para encher exatamente esse cascalho? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7


c) letra ( 532

160

32

3.

3

160

3

323

160

3

32

3

2.4

3

.4

3

160

3

10.4.

3

..

3

33

3

2

2

ESF

CONE

ESF

ESF

CONE

CONE

CONE

V

Vq

cmV

RV

cmV

V

hRV

15.(ENEM) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões: I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante. II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.

III. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira. Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.

A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de (A) 30% (B) 22% (C) 15% (D) 12% (E) 5%


) b letra ( %22

..215,0

)0,215 ( ..

)0,785-1 ( ..

)4

14,3-1 ( ..

)4

14,3-1 ( ..

)4

-1 ( ..

4

....

..

4

...

2.

2

24

R 2

:então

iguais, partes 4 em dividido é ocompriment este

dobra 2ª na e R 2 é ocomprimentseu troncodo

nciacircunferê a contorna barbante o

2

2

2

2

2

2

222

2

22

CILPERDA

PERDA

PERDA

PERDA

PERDA

PERDA

PERDA

PERDA

MADEIRACILPERDA

CIL

MADEIRA

VV

hRV

hRV

hRV

hRV

hRV

hRV

hRhRV

VVV

hRV

hRh

RRV

R

quando

16. Um tanque cônico, de eixo vertical e vértice para baixo, tem água até a metade de sua altura. Se a

capacidade do tanque é de 1200 , então a quantidade

de água nele existente é de

(A) 600

(B) 450

(C) 300

(D) 200

(E) 150


) e letra ( 1501200.8

1

.8

1

8

1

V

V

2

1

V

V

então , V

V

2

11

2H

2

H

k

maior cone do altura

menor cone do

) 8 questão da raciocínio mesmo (

.semelhança de razão acalcular

vamosentão s,semelhante são cones os

C

NC

3

C

NC

3

C

NC

lV

VV

KComo

H

H

alturaK

Como

NC

CNC

17.(UEPA) Um grupo de jovens se reuniu para organizar uma festa. Ficou estabelecido que os homens e as mulheres levariam a bebida. Os homens chegaram na festa com suco de laranja, em um barril de formato cilíndrico reto de altura 60 cm e diâmetro da base 40 cm. Já as mulheres, levaram suco de acerola em um vasilhame de forma de um cone reto com 90 cm de altura e 60 cm de diâmetro da base. Se V1 é o volume de suco de laranjas e V2 o volume de suco de acerolas

então 1

2

V

V vale:

(A) 9

16

(B) 4

9

(C) 8

9

(D) 3

4

(E) 5

16


) c letra ( 9

8

27

24

27000

24000

cm 270003

90.30.

3

..

2400060.20.

2

1

322

2

322

1

V

V

hRVV

cmHRVV

CONE

CIL

18.(ENEM) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a (A) 5 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 24 cm (E) 25 cm


) b letra ( cm 6a

216

216

cm 2164.18.3V

: temos volumes,os e

3

3

3

3

PAR

a

a

VV

aV

abc

igualandoCalculando

PARCUBO

CUBO

19. Durante uma feira de exposição de animais, um tratador de cavalos é encarregado de levar água a alguns animais em uma baia. É colocado um tanque vazio na baia na forma de um paralelepípedo retangular com a = 80 cm, b = 2 m e c = 50 cm, conforme ilustra a figura. O tratador transporta água de um reservatório para o tanque, em um balde de formato cilíndrico com base de 40 cm de diâmetro e 50 cm de altura. Estima-se que a cada vez que vai ao reservatório, ele enche o balde e, no caminho, derrame 5% de seu conteúdo. Para que o nível de água no tanque atinja a metade de sua capacidade, o número mínimo de vezes que o tratador deverá buscar água no reservatório é igual a

(Utilize 3,1 ).

(A) 6 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 9


) c letra (

759660

400000

V

Vn

4000002

50.200.80

2

596600,95.6280095%.62800

62800502014,3.

ÁGUA

PAR

3

3

322

cmabc

V

cmV

cmhRV

PAR

ÁGUA

CIL

20. Um vidro de perfume tem a forma e as medidas indicadas na figura abaixo e sua embalagem tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões internas são as mínimas necessárias para contê-lo. Pode-se afirmar que o volume da embalagem não ocupado pelo vidro de perfume vale aproximadamente:

(A) 142 cm

3

(B) 154 cm3

(C) 168 cm3

(D) 176 cm3

(E) 182 cm3


) d letra ( 176

98,175

02,292468

02,29242,96,282V

42,93.3,14.1r

6,28210.3,14.3R

46813.6.6

3

OCUPADO

3

OCUPADO

OCUPADO

3

CIL

322

2

322

1

3

cmV

cmV

V

cm

cmhV

cmHV

cmabcV

NÃO

NÃO

NÃO

CIL

CIL

PAR

21.(UFPA) A Geometria é essencial para a criação de objetos na arquitetura e no design. Os padrões recursivos podem ser vistos em diversas obras arquitetônicas contemporâneas fundamentadas em conceitos geométricos, como, por exemplo, a Torre Eiffel, construída em 1889, que apresenta uma estrutura metálica composta por quatro níveis na forma da letra A, do que resulta um monumento arquitetônico interconectado por elementos repetidos em escalas decrescentes. Outra obra que também merece destaque é o gaveteiro projetado, em 2008, pelo designer Takeshi Miyakawa, em forma de cubo, com várias gavetas de diferentes tamanhos simulando um padrão recursivo.

Inspirado no trabalho do designer Takeshi Miyakawa, deseja-se projetar um gaveteiro, que apresente forma de cubo, com arestas medindo um metro, e que possua gavetas quadradas e retangulares (como ilustram as figuras abaixo). Esse gaveteiro deve ser projetado de tal modo que a maior gaveta quadrada meça 0,5 m de largura, 0,5 m de altura e 0,5 m de comprimento, que as larguras e alturas das outras gavetas quadradas diminuam à razão de 1:2, e que o comprimento de todas as gavetas (quadradas e retangulares) seja mantido em 0,5 m. Ou seja, a segunda gaveta quadrada deve ter a metade da largura da primeira e a terceira gaveta quadrada deve ter a metade da largura da segunda. Além disso, as duas gavetas retangulares menores devem possuir a mesma altura.

Considerando-se as informações dadas, é correto afirmar que o volume da menor gaveta retangular será (A) 1/45 m

3

(B) 1/256 m3

(C) 1/128 m3

(D) 1/64 m3

(E) 1/192 m3


) b letra ( 256

1V

2

1.

16

1.

8

1V

a.b.cV

:então , m2

1c

todaspara igual é gaveta dessa deprofundida

e

16

1

2

1.

2

1.

2

1.

2

1b

é retangular gavetamenor da altura

a que desenho peloperceber

, 8

1

2

1.

2

1.

2

1a

é retangular gavetamenor da ocompriment

o que desenho peloperceber

3

GAV

GAV

GAV

m

a

m

podemos

m

podemos

22. Um tanque de gás têm a forma de um cilindro de 4 m de comprimento, acrescido de duas semiesferas de raio 2 m, uma em cada extremidade, como mostra a figura abaixo.

Adotando = 3, a capacidade total do tanque, em metros cúbicos, é (A) 80 (B) 70 (C) 60 (D) 55 (E) 50


a) letra ( 80mV

3248V

323

3.32

3

2.4

484.3.2h R

3

T

T

33

322

mV

mV

ESF

CIL

23. Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o volume do objeto é:

(A) 1.000 (B) 2.000 (C) 3.000 (D) 4.000 (E) 5.000


) a letra ( 100010..10

100010..10h R

32

322

DESLOCADO

cmV

cmVV

OBJ

CILOBJ

24.(UEPA) O SURDO é um instrumento de percussão, bastante usado nas rodas de samba, nas bandas escolares e principalmente pelas baterias das escolas de samba. Nos padrões normais, tem um formato de cilindro circular reto com diâmetro de 30 cm e uma altura de 40 cm. O volume ocupado por esse surdo é:

(A) 12.000 cm3

(B) 9.000 cm3

(C) 7.500 cm3

(D) 6.000 cm3

(E) 4.500 cm3


) b letra ( cm 900040..15h R 322 CILV

25.(UFPA) Alguns compradores de madeira em toras ou troncos-de-árvore da região amazônica calculam o volume da tora por meio da seguinte fórmula: Divide-se o “rodo” por 4, multiplica-se o resultado por ele mesmo e pela altura h da tora, o que fornece a seguinte fórmula para o volume V da tora:

hrodo

V

2

4

Considere que 1) a tora de madeira tem o formato de tronco de cone e que o perímetro da circunferência da base maior desse tronco de cone é chamado, pelos madeireiros, de “rodo”; 2) a tora de madeira tem as seguintes dimensões indicadas abaixo e na figura ao lado.

raio R da base maior: R = 2

1m; raio r da base menor:

r = 5

2m; altura h igual a h = 4 m.

Calcule o volume correto da tora, usando os conhecimentos de geometria espacial, e o volume aproximado, usando a fórmula aplicada pelos madeireiros. Em seguida, calcule o erro da aproximação feita pelos madeireiros, determinando a diferença entre os volumes encontrados. Use = 3,14

e considere duas casas decimais após a vírgula.


3

322

222

22

3

322

NC

322

C

09,0

46,255,2

46,25,0.14,3

4.4

5,0.4.

2

.4

2.

4

55,2

679,2233,5

679,23

16.4,0.14,3

3

V

233,53

20.5,0.14,3

3

V

maior) cone do altura ( m20416

menor) cone do altura ( m16

161,0

6,1

6,11,0

4,06,15,0

40,5

0,4

5,02

1

4,05

2r


mERRO

ERRO

mV

RV

hR

hrodo

V

mV

V

VVV

mhr

mHR

h

mh

h

hh

h

h

R

T

T

NCCT

GEOMETRIA PLANA AUTOR: George Christ

EXERCÍCIOS

01. (UFSJ) Para se preencher um mosaico, cujo formato é o da figura abaixo, foram usadas pastilhas

quadradas com lado de 0,5 cm, na proporção de: 40%

das pastilhas na cor azul, 35% das pastilhas na cor verde e 25% das pastilhas na cor branca.

Considerando-se que não houve desperdício nos

recortes das pastilhas, é CORRETO afirmar que foram gastas (A) 32 pastilhas azuis, 28 pastilhas verdes e 20 pastilhas brancas. (B) 16 pastilhas azuis, 14 pastilhas verdes e 10 pastilhas brancas. (C) 64 pastilhas azuis, 56 pastilhas verdes e 40 pastilhas brancas. (D) 48 pastilhas azuis, 42 pastilhas verdes e 30 pastilhas brancas. ALTERNATIVA C

Resolução: Considere a figura.

A área verde corresponde a área de um triângulo de

base 2 e altura 1, isto é, 2verde

b.h 2.1A 1cm

2 2

Aplicando o teorema de Pick na figura azul temos

2azul

F 26A I 1 27 1 39 cm

2 2 .

A área do mosaico é: 2

mosaico verde azulA A A 1 39 40 cm .

A área de cada patilha é 2

pastilhaA 0,5 . 0,5 0,25 cm .

Para calcular o número de pastilhas de cada cor, dividimos a área coberta pelo tipo de pastilha pela área de cada uma delas.

Sabendo-se que não houve desperdício nos recortes das pastilhas, foram utilizadas

azuispastilha

40%.40 40%.40 0,4 .40P 64

A 0,25 0,25 pastilhas

azuis, verdespastilha

35%.40 35%.40 0,35 .40P 56

A 0,25 0,25

pastilhas verdes e

brancaspastilha

25%.40 25%.40 0,25 .40P 40

A 0,25 0,25 pastilhas

brancas. 02. (ENEM) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros:

a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtém-se, respectivamente, (A) 0,23 e 0,16. (D) 230 e 160. (B) 2,3 e 1,6. (E) 2 300 e 1 600. (C) 23 e 16. ALTERNATIVA B Resolução:

Utilizamos o quadro de múltiplos e submúltiplos do metro.

km hm dam m dm cm mm

X X X X X X X

Preenchendo a 2300 mm

km hm dam m dm cm mm

2 3 0 0

Fazendo a leitura na unidade metros, obtemos

a 2,3 m .

Preenchendo b 160 cm

km Hm dam m dm cm mm

1 6 0

Fazendo a leitura na unidade metros, obtemos

b 1,6 m .

03. (UPE) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou um paralelogramo, como mostra a figura abaixo:

Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo

mede 4,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo? (A) 12 cm

2 (B) 16 cm

2 (C) 24 cm

2 (D) 32 cm

2 (E) 36 cm

2

ALTERNATIVA E

Resolução:

Considere a figura, com CF DE 8cm.

Como BF é hipotenusa do triângulo retângulo BCF,

segue que BF CF 8cm. Logo, AB 4,5cm e a área

pedida é dada por 2A AB CF 4,5 8 36cm .

04. (UERJ) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo. 1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:

2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN:

3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.

A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é

igual a:

(A) 25 4 3

(B) 25 6 3

(C) 25 3 3

(D) 50 2 3

(E) 50 3 3

ALTERNATIVA B

Resolução: Construindo a bandeirinha temos:

2 2 2

2

2

h 5 10

h 100 25

h 75

h 5 3cm

Portanto, a área da bandeirinha será:

210.5 3A 10.15 150 25 3 25(6 3)cm

2

05. (UEPA) Preocupado com a falta de área verde em sua cidade, um prefeito resolveu aproveitar um terreno triangular, localizado no cruzamento de duas ruas, para construir uma praça, conforme representado na figura abaixo:

A área da praça a ser construída, em m², é:

(A) 250 (B) 250 3 (C) 300 (D) 300 3 (E) 500

ALTERNATIVA C

Resolução: São dados dois lados do triângulo e o ângulo

formado entre eles, portanto:

2

b.c.senA

2

30.40.sen150ºA

2

11200.

2A2

A 300 m

06. (UERJ) Observe o mapa da região Sudeste.

Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo das abscissas e o meridiano de 45° como o eixo das ordenadas. Neste sistema cartesiano, as coordenadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e Vitória são, respectivamente,

todas as medidas em centímetros.

Supondo que a escala do mapa é de 1 : 10.000.000, a área do quadrilátero cujos vértices estão representados por essas quatro cidades, em quilômetros quadrados, é igual a

(A) 118500 2km (D) 124500

2km

(B) 120500 2km (E) 126500

2km

(C) 122500 2km

ALTERNATIVA C

Resolução: As coordenadas dos vértices do quadrilátero são

3S , 0

2

, 1

R 2,2

, 7

V 5,2

e 3

B , 42

. Logo, a área

do quadrilátero é

3 21 5

D 7 20 6 24,54 4 2

2D 24,5A 12,25 cm

2 2 (mapa).

Na escala 1 : 10.000.000, cada 1 cm no mapa equivale à 10.000.000 cm (10 km) na realidade, veja:

Cada 21cm no mapa corresponde à 210.000 km

na realidade. Portanto a área real do quadrilátero é

2A 12,25 . 10000 122500 km

07. (UNIFOR) A parte superior de um tablado tem a forma de um trapézio isósceles com 56 m de perímetro e cujos lados paralelos medem 12 m e 24 m. Se a superfície desse tablado for inteiramente revestida de uma camada de verniz, ao preço de R$ 6,50 o metro quadrado, a quantia a ser desembolsada por esse serviço será: (A) R$ 916,00 (D) R$ 950,00 (B) R$ 920,00 (E) R$ 986,00 (C) R$ 936,00 ALTERNATIVA C Resolução:

Pelo teorema de Pitágoras:

2 2 2

2

10 6 h

h 64

h 8 m

A área do trapézio será:

2B b .h 24 12 .8A 144 m

2 2

O valor V desembolsado será:

V A.6,5 144.6,5 936 reais

30 m

Praça

40 m 150º

S R V B S

3 3 32 5

2 2 2

1 70 4 0

2 2

Mapa

1 cm

1 cm

100 km

100 km

Realidade

21cm 210.000 km

12 m

12 m 6 m 6 m

10 m 10 m h

08. (UFSJ) Observe a figura abaixo.

A razão entre a área e o perímetro do hexágono

regular inscrito na circunferência de diâmetro k é

(A) 8 3

k3

(B) 3

k4

(C) 8 3

3k (D)

3k

8 (E)

3k

6

ALTERNATIVA D

Resolução: O lado do hexágono regular é igual ao raio do círculo

que é igual a k

2 , então a razão entre a área e o

perímetro é 2

2

2

k3. . 3

3k 32Área 3k 3 1 k 382 .

kPerímetro 3k 8 3k 86.

2

09. (UEPA) A larga experiência tem levado profissionais ligados às diversas áreas de produção de conhecimento tecnológico a escreverem manuais técnicos com a finalidade de orientar estudantes, projetistas de máquinas e professores de cursos técnicos. A figura abaixo ilustra o desenho técnico planificado de uma peça que será produzida em escala industrial.

Fonte: Elementos de máquina, Sarkis Melconian – edição

atualizada e revisada, São Paulo: Érica, 2000.

Com base nessa figura, a área delimitada pelo

desenho planificado da peça é:

(A) 2 3 1r

4

unidades de área.

(B) 2 3 4r

4

unidades de área.

(C) 2 3r 4

4

unidades de área.

(D) 3 4

r4

unidades de área.

(E) 2 1r 3

4

unidades de área.

ALTERNATIVA B

Resolução:

A figura é composta por 3

4 de um círculo de raio r

e um quadrado de lado r e sua área é

2 2 2 23 3 3 4A . r r r . 1 r .

4 4 4

.

10. (FMTM) Na figura, a medida dos segmentos OA e

OB é 4 cm. O arco AOB tem 90º e OCA e OCB são

semicircunferências. A área da superfície hachurada é:

(A) 24 cm . (D) 23 cm .

(B) 26 cm . (E) 22 5 cm .

(C) 22 4 cm .

ALTERNATIVA C Resolução: O setor circular maior de centro O, ângulo central

reto e lados OA 4 e OB 4 é composto por um

quadrado de lado 2 , dois setores menores de ângulo

central reto e raio 2 e a figura verde de área solicitada.

Portanto,

2 22

verde

verde

verde

.4 . 22 2 . A

4 4

4 4 2 A

A 2 4

k

r

B

O A

C

11. (ENEM) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N

deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada

corresponde (A) à mesma área do triângulo AMC. (B) à mesma área do triângulo BNC. (C) à metade da área formada pelo triângulo ABC. (D) ao dobro da área do triângulo MNC. (E) ao triplo da área do triângulo MNC. ALTERNATIVA E Resolução:

Os triângulos BAC e MNC são semelhantes e

AC=2.NC,então AC 2.NC

k 2NC NC

.

A relação entre as áreas é

2BAC

MNC

2BAC

MNC

BAC MNC

Ak

A

A2

A

A 4.A

A área S da calçada será o triplo da área do triângulo MNC.

BAC MNC MNC MNC MNCS A A 4.A A 3.A

12. (UERJ) Ao observar, em seu computador, um desenho como o apresentado a seguir, um estudante pensou tratar-se de uma curva.

Porém, após aumentar muito a figura, verificou que

a tal "curva" era, de fato, um polígono, com o menor

perímetro possível, formado por uma quantidade finita

de lados, todos paralelos ao eixo x ou ao eixo y.

Verificou ainda que esse polígono possuía um lado em

cada uma das seguintes retas: x 1 , x 8 , y 2 e

y 5 .

Se foi utilizada a mesma unidade de comprimento

em ambos os eixos, a medida do perímetro desse

polígono é:

(A) 10 (B) 13 (C) 18 (D) 20 (E) 24 ALTERNATIVA D Resolução: De acordo com o texto, a curva é composta por segmentos como segue no desenho:

Se “abrirmos” a curva como segue:

Teremos:

Se “abrirmos” novamente como segue:

Teremos um retângulo cujos lados são 3, 7, 7 e 3 conforme a figura a seguir:

O perímetro da curva será igual ao perímetro do

retângulo, isto é, P 3 3 7 7 20 .

M

C A

N

B

P

7

7

33

33

13. (CESESP) Considere a figura onde G é o baricentro do triângulo ABC.

A razão entre as áreas dos triângulos ABG e EGD é

igual a (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) 12. ALTERNATIVA D Resolução:

Como G é o baricentro então AD e BE são medianas. Toda mediana é dividida pelo baricentro em duas partes sendo a parte que tem extremidade no vértice do triângulo igual ao dobro da parte que contém o ponto médio, isto é,

Como D e E são pontos médios dos lados BC e

AC podemos afirmar pelo teorema da base média do

triângulo que o segmento DE é paralelo ao lado AB e vale a metade de sua medida. Além disso, pelo teorema fundamental da semelhança, os triângulo ABG e EGD são semelhantes como segue:

Deste modo, podemos aplicar as propriedades da relação entre lados e áreas de polígonos semelhantes:

BGk

EG2y

ky

k 2

2ABG

EGD

2ABG

EGD

ABG

EGD

Ak

A

A2

A

A4

A

14. (UEPA) A Universidade do Estado do Pará mantém, em alguns municípios do nosso estado, Pólos de Educação a Distância, entre eles São Miguel do Guamá e Vigia de Nazaré. Supondo que o coordenador do curso de matemática à distância saiu de Belém para realizar visitas técnicas ao pólo de Vigia, depois ao pólo de São Miguel e voltou para Belém, conforme trajetória descrita na figura 1.

Com base na figura 2, a área do triângulo BVM, em unidades de área, é: (A) 3.100 (B) 4.900 (C) 6.200 (D) 9.800 (E) 10.500 ALTERNATIVA B Resolução:

As coordenadas dos vértices do triângulo são

B 0, 0 , M 100, 30 e V 60, 80 . Logo, a área do

triângulo é

D 0 8000 0 0 1800 0 9800

2D 9800A 4900 km

2 2

15. (UERJ) Um professor de matemática fez, com sua turma, a seguinte demonstração: – colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante coincidisse com o perímetro do CD; – em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira, concêntrica com o CD. Veja as figuras.

Calculou, então, a diferença entre a medida do raio

da circunferência maior e a do raio do CD, chamando-a

B A

G

E D

G 2y y

2x

2z

x

z

A

B

C

D

G

E

X (km)

Y (km)

80 V (Vigia)

M (S. Miguel)

B (Belém)

60

100

30

Figura 1

140 km aprox.

150 km aprox.

A

B

C

D

G

E

x

2x y

2y

z

2z

B M V B

0 100 60 0

0 30 80 0

de x. Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença encontrada. Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y:

(A) 1x y

(B) 2x y

(C) 2y x

(D) 1y x

ALTERNATIVA A

Resolução:

Situação 01: O comprimento do barbante é igual ao comprimento da circunferência do CD.

Sabemos que

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

C C 1

2 R 2 R 1

2 R 2 R 1

2 R R 1

1R R

2

De acordo com o texto 2 1R R x , então

1x

2

.

Situação 02: O comprimento do barbante é igual ao comprimento da circunferência do CD.

Sabemos que

4 3

4 3

4 3

4 3

4 3

C C 1

2 R 2 R 1

2 R 2 R 1

2 R R 1

1R R

2

De acordo com o texto 4 3R R y , então

1y

2

.

Logo 11 1 2 1x y

2 2 2

.

16. (ENEM) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.

Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma

medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é:

ALTERNATIVA E Resolução: Das opções apresentadas, a única em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é a alternativa (E) pois os paralelogramos 1 e 2 podem ter área menor que os paralelogramos 3 e 4 e

para que isto ocorra basta que y

x2

, veja:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

1C

2C

2R 1R

3C

3R

4C

4R

1 2A A x.h

3 4y.h

A A2

Para que as áreas sejam iguais deve-se ter:

y.hx.h

2

yx

2

Então, se y

x2

as áreas 1 e 2 serão menores que

as áreas 3 e 4. 17. (CEFET) Uma indústria necessita produzir lâminas de máquinas moedoras de carne, conforme a especificação a seguir.

A área da lâmina está diretamente relacionada com

a potência do motor da máquina. Considerando que o contorno da lâmina somente é constituído de semicírculos, a área da mesma, em cm

2, é igual a:

(A) 16 (B) 16 (C) (D) 4 16 (E) 4 12

ALTERNATIVA A

Resolução: Vamos transformar a hélice em um quadrado como segue:

Destacando as partes azuis e encaixando-as como segue:

18. (UNIFESP) A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C1, que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C2.

Sabe-se que A e B são pontos da circunferência

maior, AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que passa por C1 e C2. A área da região hachurada é:

(A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 21

ALTERNATIVA A

Resolução: A área da figura hachurada corresponde à área do círculo maior menos a área do círculo menor. O raio do círculo menor é igual a 4, então:

2 2menorA .r .4 16

No triângulo retângulo 2ATC , os lados medem

2AC R , AT 4 e 2TC 8 R , veja:

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

22 2

2 2

R 8 R 4

R 64 16R R 16

16R 80

80R

16

R 5

Portanto a área do círculo maior é: 2 2

maiorA .R .5 25

A área da figura hachurada é:

2

4

6

cm

2 4 6 8 cm

x x

h

y

h/2

1 2

3

4

2

4

6

cm

2 4 6 8 cm

2

4

6

cm

2 4 6 8 cm

8

R

8 - R

4

hachurada maior menor

hachurada

hachurada

A A A

A 25 16

A 9

19. (UEPA) Um designer construiu um móvel temporário de papelão em forma de cubo, conforme a figura abaixo, o qual pode ser utilizado individualmente ou em conjunto, formando ambientes para sentar e apoiar. Se a diagonal do móvel na forma de cubo mede

60 3 cm e o lado do quadrado ABCD mede um terço

da aresta do cubo, a área da superfície externa do

cubo, em 2m , é:

(A) 1, 20 (B) 1, 21 (C) 1, 76 (D) 1,92 (E) 2,08 ALTERNATIVA E

Resolução:

A diagonal de um cubo é dada por D a 3 , então

podemos calcular a aresta do cubo, veja:

D a 3

D 60 3

a 3 60 3

a 60 cm

Como o lado do quadrado é igual a um terço da aresta do cubo temos:

1.a

3

1.60

3

20 cm

A área externa é composta por: 1) 4 quadrados de aresta 60 cm.

2 2 2

1A 4.a 4.60 14400 cm

2) 2 “faixas quadrangulares” cujos lados são

L 60 e 20 cm

2 2 2 2 23A 2. L 2. 60 20 2.3200 6400 cm

Portanto, a área externa é:

externa 1 2

externa

2externa

A A A

A 14400 6400

A 20800 cm

Utilizamos o quadro de múltiplos e submúltiplos do

metro quadrado.

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

XX XX XX XX XX XX XX

Preenchendo 2externaA 20800 cm

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

2 08 00

Fazendo a leitura na unidade metros quadrados,

obtemos 2externaA 2,08 m .

20. (FUVEST) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores.

Então, a área do pentágono hachurado é igual a:

(A) 3 3 (B) 2 3 (C) 3 3

2 (D) 3 (E)

3

2

ALTERNATIVA E

Resolução: Podemos dividir um hexágono regular em seis triângulos equiláteros conforme mostra a figura

A área do pentágono corresponde à área de dois

triângulos equiláteros de lado igual a 1, veja:

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1 1

1

2 2

pentágono. 3 1 . 3 3

A 2. 2.4 4 2

21. (UFRGS) Um cilindro tem o eixo horizontal como representado na figura abaixo. Nessa posição, sua altura é de 2 m e seu comprimento, de 5 m.

A região sombreada representa a seção do cilindro por um plano horizontal distante 1,5 m do solo. A área dessa superfície é

(A) 3.

(B) 2 2.

(C) 2 3.

(D) 5 2.

(E) 5 3. ALTERNATIVA E

Resolução: Observe a secção transversal do cilindro a seguir:

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:

22 2

2

2

2

1 0,5 x

1 0,25 x

x 1 0,25

x 0,75

x 0,75

75x

100

5 3x

10

Portanto o lado do retângulo hachurado é igual a

5 32x 2. 3

10 .

A área do retângulo hachurado é dada por

retânguloA b. 5. 3

22. (ENEM) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m

2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás

propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que

o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio).

Avaliando-se todas as informações, serão necessários (A) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do

tipo B. (B) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. (C) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. (D) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. (E) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do

tipo B. ALTERNATIVA C Resolução: Calculando as áreas dos ambientes, obtemos

2IS 8 5 40 m ,

2IIS (14 8) 5 30 m ,

2IIIS (14 8) (9 5) 24 m e

2IV

(14 8) 4S 7 35 m .

2

Como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). 23. (UFT) Considerando a circunferência da figura a seguir com centro no ponto O e diâmetro igual a 4 cm.

0,5

1

x

1

b

Pode-se afirmar que o valor da área da região hachurada é:

(A) 28 4 cm

(B) 22 cm (C) 22 4 cm

(D) 21 cm

(E) 24 2 cm

ALTERNATIVA C

Resolução: Observe a figura:

2círculo quadradoA A .2 8

A 2 42 2

ππ

24. (UFTM) Se a folha retangular ABCD for dividida conforme indicado na figura 1, obter-se-ão 6 quadrados (Q) congruentes. Entretanto, se a mesma for dividida conforme indicado na figura 2, obter-se-ão 6 retângulos (R) congruentes.

Sabendo-se que o semiperímetro de cada retângulo

R mede 65 cm, então a área da folha ABCD é igual a

(A) 20,54 m .

(B) 20,64 m .

(C) 20,72 m .

(D) 20,81 m .

(E) 21,08 m . ALTERNATIVA A

Resolução: Lado do quadrado = x. Lados da folha 2x e 3x.

Lados do retângulo 2x 3x

e 3 2

.

2x 3x65

3 2

4x 9x 65.6

x 30

2 x 0,3 m

Logo, sua área será

23x 3x 2.0,3 3 0,3 0,54 m .

25. (UEL) Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto de um setor circular, de uma região retangular e de outra triangular, com as medidas indicadas na figura ao lado, qual a área aproximada do terreno?

(A) 238,28 km

(B) 245,33 km

(C) 256,37 km

(D) 258,78 km

(E) 260,35 km ALTERNATIVA D

Resolução: O terreno é composto por um retângulo, um

triângulo e um setor circular.

retângulo triângulo setorA A A A

2 o2

o

7.7 .4 .45A 7.4 58,78m

2 360

π

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Questões Resolvidas (Plana e Espacial) Completo Ver 2