Raias Espectrais e Experimentos de Franck-Hertz

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIAINSTITUTO DE FISICA

Raias Espectrais e Experimentos deFranck-Hertz

Edmar Moraes NasciemntoNewton Barros de Oliveira

Ossamu NakamuraRicardo dos Reis Teixeira Marinho

2016

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Sumario

1 Raias Espectrais e Experimentos de Franck-Hertz 51.1 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 PARTE TEORICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Estrutura Atomica da Materia: modelos atomicos de Thomson a Bohr. 61.2.2 Espectros Atomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 PARTE EXPERIMENTAL I: Raias Espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Espectroscopia Otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Rede de difracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Lista de materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.4 Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.5 Questoes Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 PARTE EXPERIMENTAL II: Experimento de Franck-Hertz . . . . . . . . 211.4.1 Lista de Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2 Montagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.3 Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.4 Questoes Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.5 Apendice: Tratamento de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6 BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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4 SUMARIO

Exp 1

Raias Espectrais eExperimentos de Franck-Hertz

Figura 1.1: Na imagem acima, podemos ver a nebulosa de Laguna, uma nuvem gasosabrilhante situada a uma distancia de 5000 anos-luz da Terra. Hoje podemos afirmar queela e constituıda quase completamente por hidrogenio! Mas quais sao as bases cientıficaspara esta afirmacao? Como o conhecimento da estrutura atomica da materia pode auxiliarno entendimento dos elementos constituintes de estrelas distantes da mesma forma queconhecemos os elementos presentes na atmosfera? A espectroscopia, como voces verao, serauma ferramenta fundamental para algumas destas perguntas...

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6 EXP 1. RAIAS ESPECTRAIS E EXPERIMENTOS DE FRANCK-HERTZ

1.1 OBJETIVOS

Estudo da estrutura interna dos atomos por meio da observacao da espectroscopia na faixado visıvel de alguns gases, por exemplo: hidrogenio, helio, neonio e mercurio. Verificacaodo modelo atomico de Bohr usando o espectro otico do atomo de hidrogenio. Confirmacaoexperimental da quantizacao interna dos atomos multieletronicos utilizando a experienciade Franck-Hertz.

1.2 PARTE TEORICA

1.2.1 Estrutura Atomica da Materia: modelos atomicos de Thom-son a Bohr.

No inıcio do seculo XX, os cientistas comecaram a estabelecer as bases para a compreensaoda formacao dos espectros a medida que eles comecaram a aprender mais sobre a estruturados atomos e a natureza da luz. Um dos primeiros modelos imaginados de atomo do seculopassado resultou das duas seguintes hipoteses:

• Os atomos sao constituıdos de eletrons e cargas positivas:

Por volta de 1910, acumularam-se inumeras evidencias experimentais de que os atomoscontem eletrons (por exemplo, o espalhamento de raios X por atomos e o efeito fo-toeletrico). Estas experiencias davam uma estimativa para o numero de eletrons numatomo, Z, como sendo aproximadamente igual a A/2, onde A e o peso atomico quımicodo atomo considerado. Como normalmente os atomos sao neutros, eles devem tambemconter uma carga positiva igual em modulo a carga negativa de seus eletrons. Por-tanto um atomo neutro tem uma carga negativa -Ze, onde -e e a carga do eletron, etambem uma carga positiva de mesmo valor em modulo. O fato de que a massa doeletron e muito pequena se comparada com a de qualquer atomo, mesmo com a domais leve, implica que a maior parte da massa do atomo deve estar associado a cargapositiva.

• Os atomos tem diametros da ordem de 10�8cm:

Este valor pode ser obtido a partir da densidade de um solido tıpico, de seu pesoatomico e do numero de Avogrado.

Estas consideracoes levaram J.J. Thomson a propor uma tentativa de descricao de umatomo (modelo pudim de passas para o atomo) segundo o qual os eletrons carregados nega-tivamente estariam localizados no interior de uma distribuicao contınua de carga positiva.Supos-se uma distribuicao esferica de cargas positivas e, devido a repulsao mutua, os eletronsestariam uniformemente distribuıdos na esfera de carga positiva.

A demonstracao conclusiva da inadequacao do modelo Thomson foi obtida por Er-nest Rutherford a partir da analise de experiencias sobre o espalhamento de partıculas ↵por atomos. Os experimentos de Ernest Rutherford (1871-1937) em 1909, auxiliado porHans Geiger (1882-1945) e Ernest Marsden (1889-1970), bombardeando folhas de ouro compartıculas ↵ (ıons de helio), resultou que 1 em cada 20.000 partıculas incidentes eram re-fletidas na mesma direcao de incidencia. A analise de Rutherford mostrou que, em vez de

1.2. PARTE TEORICA 7

estar espalhada por todo o atomo, a carga positiva esta concentrada em uma regiao muitopequena, ou nucleo, no centro do atomo o qual e rodeado por uma nuvem de eletrons, comcarga eletrica negativa. Este foi um dos mais importantes progressos da fısica atomica e foia base da fısica nuclear.

A verificacao experimental detalhada das previsoes do modelo nuclear de Rutherfordpara o atomo deixou pouco espaco para as duvidas em relacao a validade desse modelo. Nocentro do atomo ha um nucleo cuja massa e aproximadamente a massa de todo o atomo,e cuja carga e igual ao numero atomico Z multiplicado pela carga elementar; em tornodesse nucleo existem Z eletrons, neutralizando o atomo como um todo. Mas surgem seriasquestoes a respeito da instabilidade de um atomo desse tipo. Se supusermos, por exemplo,que os eletrons em um atomo estao estacionarios, nao existe arranjo estavel que os impecade colapsar com o nucleo, sob a forte atracao coulombiana. Se os eletrons decaırem terıamosatomos com as dimensoes do nucleo, o que contrariaria evidencias experimentais.

Esses eletrons nao poderiam estar parados, pois eles decairiam em direcao ao nucleodevido a atracao coulombiana, entao Rutherford propos que os eletrons estariam girandoem torno do nucleo em orbitas circulares. No entanto, isso nao resolvia o problema daestabilidade do nucleo, pois cargas eletricas aceleradas emitem energia, e a perda de energiafaria os eletrons espiralarem rapidamente em direcao ao nucleo, emitindo radiacao em todosos comprimentos de onda e tornando os atomos instaveis.

Esse modelo atomico nao era satisfatorio, pois os atomos obviamente sao estaveis, alemdo mais era conhecido, por meio dos estudos dos espectros de emissao, que quando os atomosemitem radiacao, eles o fazem somente em certos comprimentos de onda, especıficos de cadaelemento, e nao em todos os comprimentos de onda. Isso gerou a suspeita de que as leisda mecanica classica nao se aplicavam totalmente a corpos microscopicos como os atomose propiciou o surgimento da mecanica quantica.

Este problema difıcil, o da estabilidade do atomo, na verdade levou a formulacao de ummodelo simples da estrutura atomica. Uma caracterıstica basica deste modelo, bastantebem sucedido, proposto por Niels Bohr em 1913, era a previsao do espectro da radiacaoemitida por certos atomos. Vamos destacar ainda que em 1900, o cientista alemao MaxPlanck (1858-1947) desenvolveu o modelo da quantizacao da luz, segundo o qual a materiaemite luz em pacotes de energia, que ele denominou quanta.

Mas antes de discutirmos o modelo atomico de Bohr vamos discutir alguns fatos expe-rimentais que ja eram conhecidos e que foram importantes para o coroamento do modelode Bohr: o espectro de emissao e os resultados dos experimentos conduzidos por Franck eHertz.

1.2.2 Espectros Atomicos

Uma carga em repouso gera um campo eletrico em sua volta. Se esta carga estiver emmovimento, o campo eletrico, em uma posicao qualquer, estara variando no tempo e geraraum campo magnetico que tambem varia com o tempo. Estes campos, em conjunto, cons-tituem uma onda eletromagnetica, que se propaga mesmo no vacuo. James Clerk Maxwell(1831-1879) demonstrou que a luz e uma onda eletromagnetica.

A intensidade da luz em diferentes comprimentos de onda, chamamos de espectro. Quasetoda informacao sobre as propriedades fısicas das estrelas sao obtidas direta ou indireta-mente de seus espectros, principalmente suas temperaturas, densidades e composicoes. IsaacNewton demonstrou em 1665-66 que a luz branca, como a luz do Sol, ao passar por um


prisma se decompoe em luz de diferentes cores, formando um espectro como o arco-ıris. Apartir do espectro solar, tambem foi observado que a intensidade e suprimida em algunscomprimentos de onda. Alem das linhas intensas, notou-se a existencia ou inexistencia deoutras linhas correspondendo a ausencia de alguns comprimentos de onda.

Em 1856, o quımico alemao Robert Wilhelm Bunsen (1811-1899) inventou o bico degas (bico de Bunsen), cuja vantagem era a de ter chama incolor. Quando um elementoquımico era colocado sobre a chama, as cores emitidas eram as da substancia, e nao dachama. Bunsen tinha um colaborador mais jovem, o fısico Gustav Robert Kirchho↵ (1824-1887), de Heidelberg. Em 1856, Kirchho↵ sugeriu que as cores seriam melhor distinguidasse passadas atraves de um prisma. Eles colocaram um prisma na frente de um conjuntode lentes e passaram a identificar as linhas com os elementos quımicos. Os gases quentesobservados por Kirchho↵ e Bunsen nao emitiam um espectro contınuo. Eles descobriramque cada elemento gerava uma serie de linhas diferentes. Por exemplo, o neonio tinha linhasno vermelho (por isto um cartaz de neon e vermelho), o sodio tinhas linhas no amarelo e omercurio tinha linhas no amarelo e no verde.

Assim, podemos dizer que o espectro de um elemento quımico e o conjunto de raias queele pode emitir. A classificacao dos espectros dos elementos foi de grande importancia dafısica atomica. Do ponto de vista quımico, o conhecimento desses espectros permite revelar,com uma grande precisao, a presenca de determinadas substancias quımicas presentes nasubstancia a analisar. Em particular, na astrofısica, ela permitiu, atraves da analise daradiacao emitida pelas estrelas, conhecer os elementos que as compoem e sua proporcaorelativa.

No inıcio do seculo XX, ja havia sido coletado uma grande quantidade de dados sobrea emissao de luz pelos atomos de um gas, quando estimulados por uma descarga eletrica.Observada atraves de um espectroscopio com uma abertura na forma de fenda, essa luzaparece com uma serie distinta de linhas de diferentes cores ou comprimento de onda; comoja foi dito em outras palavras, o espacamento e as intensidades das linhas sao caracterısticasde cada elemento. A figura 1.2 apresenta os espectros de emissao do hidrogenio, helio, neonioe mercurio com comprimentos de onda na regiao do visıvel.

O fato de que cada elemento possui um conjunto especıfico de raias espectrais e de grandeimportancia pratica porque faz com que a espectroscopia seja mais uma tecnica muito utila ser somada as tecnicas usuais de analise quımica. Basicamente, por este motivo, muitoesforco foi empregado no sentido de obtencao de medidas precisas dos espectros atomicos,e, de fato, esse esforco foi necessario, pois os espectros sao constituıdos de muitas centenasde linhas e sao em geral muito complicados.

No entanto, o espectro do hidrogenio e relativamente simples. Isto talvez nao sejasurpreendente, pois o hidrogenio, contendo apenas um eletron, e o atomo mais simples. Amaior parte do universo consiste de atomos de hidrogenio isolados, de forma que seu espectroe de consideravel interesse pratico. Tambem ha razoes teoricas e historicas para estuda-lo. Afigura 1.3 representa a parte do espectro do hidrogenio atomico que esta aproximadamentedentro da regiao de comprimentos de onda da luz visıvel. Vemos que o espacamento, emcomprimento de onda, entre linhas adjacentes do espectro diminui continuamente a medidaque o comprimento de onda das linhas diminui, de forma que a serie de linhas convergepara o chamado limite da serie em 3645,6A.

A regularidade obvia do espectro do hidrogenio fez com que muita gente tentasse obteruma formula empırica que representasse o comprimento de onda das linhas. Tal equacaofoi descoberta em 1885 por Balmer. Esta equacao e dada por:


Figura 1.2: Espectro de emissao do Hidrogenio, Helio, Neonio e Mercurio

� = 3646(A)n2

n2 � 4(1.1)

onde n = 3, 4, 5, ...

Esta descoberta iniciou uma busca de formulas empıricas similares que se aplicariama serie de linhas eu pudessem ser identificadas na distribuicao complicada de linhas queconstituem os espectros de outros elementos. A maior parte desse trabalho foi feita em1890 por Rydberg. Assim a equacao 1.1 pode ser escrita como:

1

�= RH(

1

22� 1

n2) (1.2)

onde n = 3, 4, 5, ...

RH e a chamada constante de Rydberg para o hidrogenio e seu valor, a partir de dadosespectroscopicos recentes, e RH = 10967757,6 m�1.


Figura 1.3: Esquema do espectro de hidrogenio mostrando as seis primeiras linhas da seriede Balmer, estando indicado na parte superior o numero de onda (cm�1) e na parte inferioro comprimento de onda (nm)

Formulas desse tipo foram obtidas para muitas series. Por exemplo, sabemos agora daexistencia de cinco series de linhas no espectro de hidrogenio, como e apresentado na tabela1.1

Tabela 1.1: As series do Hidrogenio

Nome Faixa de comprimento de onda Formulas

Balmer Ultravioleta proximo e visıvel 1� = RH( 1

22 � 1n2 ) n = 3, 4, 5, ...

Paschen Infravermelho 1� = RH( 1

32 � 1n2 ) n = 4, 5, 6, ...

Bracket Infravermelho 1� = RH( 1

42 � 1n2 ) n = 5, 6, 7, ...

Pfund Infravermelho 1� = RH( 1

52 � 1n2 ) n = 6, 7, 8, ...

Podemos generalizar a formula 1.2 da seguinte forma:

1

�= RH(

1

p2� 1

q2) (1.3)

onde p < q

A formula 1.3 nao pode ser explicada pelo modelo atomico de Rutheford porque omovimento dos eletrons em redor do nucleo esta sujeito, nesse modelo, as leis da mecanicae do eletromagnetismo classico. De fato, conforme esta teoria, o eletron deveria emitirradiacao contınua. E essa emissao contınua de radiacao seria, por outro lado, uma fonte deinstabilidade dos atomos.

O problema foi resolvido por Bohr utilizando a teoria quantica de Planck. Para obter aformula 1.3, Bohr foi obrigado a admitir dois novos postulados:


• As trajetorias dos eletrons no atomo de hidrogenio sao aquelas cujo momento angulare um multiplo inteiro de ~. Estas orbitas sao chamadas de orbitas estacionarias.

• Quando o eletron descreve uma orbita estacionaria, o atomo nao emite nem absorvequalquer radiacao. A emissao (ou absorcao) de radiacao e determinada pela passagemde uma orbita de energia Ei a uma outra de energia menor (ou maior) Ef , a frequenciada radiacao emitida ou absorvida e dada por:

⌫if =1

h(Ef � Ei) (1.4)

A energia do foton emitido ou absorvido e igual a diferenca entre a energia final e aenergia inicial do atomo:

~!if = Ef � Ei (1.5)

As consequencias destes postulados sao as seguintes: quando o eletron descreve uma tra-jetoria de numero quantico n, ha equilıbrio entre a forca centrıfuga e a atracao coulombianaexercida pelo nucleo:

mv2nrn

=e2

4⇡✏0r2n(1.6)

onde o ındice n e relativo a trajetoria considerada, determinada pelo numero n.Manipulando as equacoes anteriores, podemos encontrar a energia do eletron, no estado

quantico caracterizado pelo numero n.

En = � e2

4⇡✏0(2rn)= � q2

2rn(1.7)

Ou ainda

En = � mq4

2n2~2 (1.8)

Sendo n =1, 2, 3, ... e rn o raio da orbita n que e dado por:

rn = n2 ~2mq2

(1.9)

A formula 1.3 pode ser obtida das equacoes 1.4, 1.5 e 1.9.

Estudo experimental dos estados quanticos:

A existencia de estados quanticos discretos e de transicao foi demonstrada, de uma maneiradireta, por Franck-Hertz em 1914. O princıpio de sua experiencia e o seguinte: uma gasmonoatomico e submetido ao bombardeio de um feixe de partıculas (eletrons, fotons ouneutrons). Estas partıculas de energia determinada E, atingem os atomos do gas. Se aenergia E das partıculas for menor do que aquela necessaria para que um atomo do gaspasse do estado fundamental (E1) ao primeiro estado excitado (E2), E< E2 �E1, nenhumatomo sera excitado, e as colisoes dos atomos do gas com as partıculas incidentes serao todas


elasticas. Assim, nenhuma radiacao sera emitida pelo gas. Nas experiencias de Franck eHertz as partıculas sao eletrons que saem de um fonte F (catodo), apos suas colisoes com osatomos elas sao recolhidas em P (anodo) e medimos a corrente num Amperımetro conectadoao anodo. Um diagrama esquematico da valvula utilizada nos experimentos de Franck-Hertze apresentada na figura 1.4.

Na valvula de Franck-Hertz, o catodo e aquecido ao submete-lo a uma tensao (em nossoexperimento ela e de 6,3 V) e nesse processo forma-se uma nuvem eletronica em seu redor.Se a grade for colocada em um potencial positivo (denominado de potencial de excitacao), oseletrons irao ser acelerados em sua direcao e alguns deles passam por ela, sendo recolhidos noanodo. Contudo, se o anodo for colocado em um potencial negativo (chamado de potencialde retardo), apenas os eletrons que tiverem energia maior que este potencial irao atingir aplaca.

Quando a diferenca do potencial V entre o catodo e o anodo aumenta, a corrente cresce.Para um valor V = 1/e(E2 � E1), chamado potencial de ressonancia, a corrente diminuisubitamente, um grafico tıpico obtido pelo experimento de Franck-Hertz pode ser visto nafigura 1.5. Os eletrons que tem uma energia ligeiramente superior a E2 � E1 a cedem, porcolisao com os atomos, que efetuam a transicao do estado fundamental ao primeiro estadoquantico excitado. Os eletrons apos tais colisoes tem velocidade quase nula e sao atraıdospela grade. O mesmo fenomeno se reproduz para os outros estados excitados.

No caso do vapor de mercurio, a radiacao so e emitida quando a energia cinetica doseletrons alcanca 4,9eV e o comprimento de onda e igual a 2537A. Os dois outros estadosexcitados mais proximos sao atingidos quando a energia cinetica dos eletrons incidentes eigual a 8,7eV e 9,7eV, respectivamente.

A experiencia de Franck-Hertz forneceu evidencias marcantes da quantizacao da energiados atomos. Tambem forneceu um metodo para a medida direta das diferencas de energiaentre os estados quanticos de um atomo. Quando a curva I em funcao de V e estendidapara voltagens maiores, sao encontradas quedas adicionais. Algumas se devem a eletronsque excitam atomos ate seu primeiro estado excitado em varias ocasioes diferentes no seupercurso de entre o catodo e o anodo; mas outras se devem a excitacao ate nıveis mais altose, a partir da posicao das quedas, as diferencas de energia entre os estados mais excitadose o estado fundamental podem ser medidas diretamente.

1.3. PARTE EXPERIMENTAL I: RAIAS ESPECTRAIS 13

Figura 1.4: Tıpica valvula utilizada nos experimentos de Franck-Hertz

Figura 1.5: Intensidade da corrente de eletrons em funcao da diferenca de potencial entreo catodo e anodo.

1.3 PARTE EXPERIMENTAL I: Raias Espectrais

1.3.1 Espectroscopia Otica

O equipamento utilizado para as medidas das raias espectrais e similar ao utilizado no expe-rimento MEDIDA DO INDICE DE REFRACAO DO VIDRO DE UM PRISMA do cursode Fısica Geral e Experimental IV. Portanto, leia com cuidado no roteiro desse experimentotoda a parte referente ao espectrometro e ao seu modo de utilizacao. De qualquer forma,no que segue daremos uma breve descricao do equipamento e como utiliza-lo.

O goniometro optico, um instrumento de grande aplicacao em medidas opticas, tem porfinalidade medir a posicao angular das linhas espectrais ou cores da luz que sao desviadasde sua trajetoria original por algum artefato optico (prisma, rede de difracao, espelho etc.).Quando convenientemente calibrado, permite determinar o comprimento de onda dos com-ponentes (cores) do espectro da radiacao desviada e passa a ser chamado de espectrometro.


Esse instrumento possui dois bracos, um fixo e um movel, e um suporte central ou mesa.No braco fixo encontra-se o colimador cuja funcao e colimar, ou tornar paralelo, um feixede raios de luz.

O colimador e constituıdo por um tubo que possui uma fenda vertical ajustavel em umaextremidade e uma lente convergente na outra extremidade. A lente e ajustada de tal modoque a fenda esteja posicionada em seu plano focal. Desse modo, os raios de luz contidosnum plano transversal a fenda e que a atravessam tornam-se paralelos devido a lente.

O braco movel, que pode girar ao redor do eixo vertical da mesa, possui um telescopiofocalizado no infinito que permite observar os raios de luz provenientes do colimador eque foram eventualmente desviados por um objeto colocado sobre a mesa do aparelho.O telescopio permite observar, ampliada, a imagem da fenda do colimador. Um retıculoem forma de cruz de fios de cabelo esta localizado no plano focal da lente do telescopioe serve como referencia para a medida da posicao. O ocular movel permite a focalizacaosimultanea da imagem da fenda e do retıculo e deve ser ajustado ao olho do observador compequenos deslocamentos para frente e para tras. A posicao angular do braco movel podeser determinada numa escala graduada de meio em meio grau (30 minutos) e um verniercom divisoes de 1 minuto em uma faixa de 30 minutos.

A mesa e um disco horizontal que pode ser submetida a movimentos de rotacao etranslacao, para cima ou para baixo, para regular a sua altura. Um conjunto de tresparafusos a 120o permite regular a horizontabilidade.

A figura 1.6 mostra o diagrama do instrumento e suas partes. Ja na figura 1.7 temosuma foto do espectrometro que sera utilizado com indicacoes dos principais componentes.

L�:�lenteconvergente

1 L�:�lenteconvergente

2Plano�focalFenda

ajustável

Fontede�luz

Região�de�raiosparalelos

Ocular

Observador

f1 f2

Colimador TelescópioMesa

Figura 1.6: Diagrama do goniometro optico

1.3.2 Rede de difracao

Para separamos os diferentes comprimentos de onda das raias espectrais vamos utilizar umarede de difracao. Uma rede de difracao em transmissao e um dispositivo optico constituıdopor uma lamina de vidro espessa, de faces planas e paralelas. Numa face e gravada umagrande quantidade de sulcos finos, paralelos e igualmente espacados, com uma ponta dediamante em um processo mecanico de alta precisao. As redes podem ter ate tres mil


Figura 1.7: Fotografia do espectrometro com seus principais componentes

sulcos por milımetro. Na figura (Fig. 1.8) mostramos um corte bastante ampliado de umarede de difracao.

d

Figura 1.8: Rede de difracao vista de corte.

Em primeira aproximacao, os sulcos na rede comportam-se como fendas. A distanciad entre dois sulcos (ou duas fendas) adjacentes chama-se constante de rede e e usualmente

expressa em Angstrons (�A), nanometros (nm), microns (µ), micrometros (µm) ou milımetros

(mm).Essa rede de difracao descrita chama-se rede em transmissao. Existem tambem as redes

em reflexao, neste caso, os sulcos sao realizados na superfıcie de um espelho metalico. Oefeito dessa rede e facilmente observado pelo reflexo colorido quando da incidencia de luzbranca. E o que se verifica no reflexo da luz em um CD (compact disk) ou mesmo o que se


pode observar na natureza, na carapaca de besouros “furta cor”(rutelıneos, buprestıdeos)ou nas escamas das asas de borboletas (brassolıdeos, morphos, liceıdeos). Os morphos, deum reflexo azul intenso, na verdade sao inteiramente cobertos por escamas amareladas.

Uma rede de difracao, com constante de rede conhecida, permite determinar compri-mentos de onda, �, desconhecidos. Com efeito, da equacao

dsen✓ = n� n = 0, 1, 2, 3 ... (1.10)

para a interferencia construtiva, podemos calcular � a partir da medida de ✓. A medida de✓ pode ser feita com um goniometro optico.

Para observar e medir a posicao de uma linha espectral correspondente a uma inter-ferencia construtiva com uma rede de difracao, a rede deve ser colocada no centro da mesade um goniometro optico ou espectrometro (Fig. 1.9).

L�:�lenteconvergente

1 L�:�lenteconvergente

2Plano�focalFenda

ajustável

Fontede�luz

Região�de�raiosparalelos

Ocular

Observador

f1 f2

Colimador TelescópioMesa

Figura 1.9: Goniometro optico.

O telescopio pode girar ao redor da rede a fim de determinar a posicao angular ✓ dasfranjas de interferencia (Fig. 1.10). Para isso, ele dispoe de um retıculo em forma de umacruz de “fio de cabelo”localizado no plano focal da lente L2 que pode ser posicionado sobrea imagem da fenda movimentando-se o telescopio.


Fonte

de�luz

Colimador

!"

!"’

T1

T0

T�’1

Figura 1.10: Medida do angulo ✓ com o telescopio do goniometro optico.

1.3.3 Lista de materiais

Identifique os seguintes equipamentos e materiais que se encontram sobre a mesa:

• Espectrometro (ou goniometro optico),

• rede de difracao,

• lampadas diversas, preenchidos com diferentes gases, por exemplo: hidrogenio, mercurio,neonio, argonio, entre outras possibilidades.

• fonte de alimentacao de alta tensao para as lampadas. CUIDADO ao manusear esteequipamento!

• lanterna para iluminacao.


1.3.4 Medidas

Cuidados com os aparelhos

• O espectrometro e um aparelho de alta precisao e deve ser manuseado com cuidado edelicadeza. Nunca force qualquer um dos seus elementos. Em caso de duvida chameseu professor.

• Nao gire o telescopio segurando-o pelo tubo (isso desfocalizara permanentemente oequipamento), use o braco movel vertical do telescopio.

• A precisao das medidas depende da largura da fenda do colimador. Por isso, trabalhecom a fenda mais fina possıvel, mas que ainda possa ser visualizada com facilidade.

• A precisao das medidas tambem depende do correto ajuste do bloco ocular. A posicaodo ocular deve ser ajustada para o olho do observador deslocando-o ligeiramentepara frente ou para tras de modo a focalizar a imagem do retıculo (“fio de cabelo”)superposto a imagem da fenda. A imagem da fenda e focalizada com o botao de ajustedo foco.

• O telescopio so pode ser movimentado livremente se o parafuso de bloqueio do braco(parafuso central no lado direito e abaixo do disco) estiver folgado. Caso contrario,so pode se movimentar com o uso do parafuso micrometrico, girando-o em ambos ossentidos (movimento fino).

• Segure a rede de difracao pelo suporte ou pelas bordas. Nao toque na superfıcieda rede.

• Evite olhar diretamente para a lampada por um perıodo muito longo. Se luz estivermuito intensa, coloque uma folha de papel entre a saıda da fonte de luz e a fenda docolimador.

Ajuste da posicao da rede

Para que a relacao (1.10) possa ser usada, a rede de difracao deve estar exatamente ortogonalao feixe de luz paralelo incidente e posicionada no centro de rotacao do telescopio.

Coloque a rede sobre o centro da mesa circular do espectrometro com a face gravadavirada para o telescopio, tentando coloca-la perpendicular ao eixo do colimador. Esse ajustegrosseiro nao e suficiente para garantir a perpendicularidade. Vejamos como proceder paraobter a condicao de ortogonalidade com erro inferior a meio grau.

Acenda a lampada de Hg, espere aquecer por um minuto e ilumine a fenda de entradado colimador. Os raios de luz paralelos que emergem do colimador e incidem na rede saopor ela difratados formando um espectro de linhas brilhantes em ambos os lados da linhacentral (imagem da fenda de cor branca azulada).

Posicione o telescopio em frente ao colimador e observe, atraves do ocular, a linhacentral na posicao T0. Faca o ajuste necessario para a melhor focalizacao da linha centrale do retıculo, aperte o parafuso central do telescopio e utilize o parafuso micrometricopara posicionar o retıculo no meio da linha brilhante (imagem da fenda). Faca a medidadessa posicao em graus e minutos utilizando o vernier e posicionando a lente para melhorvisualizacao.


Folgue o parafuso central e gire o telescopio lentamente no sentido horario (visto de cima)enquanto observa atraves do ocular. Devera aparecer um conjunto de linhas coloridas queformam o espectro de primeira ordem, algumas fracas e outras mais intensas. Observe sevoce consegue ver duas linhas amarelas alaranjadas, intensas, bastante proximas no extremodo espectro. Estreite a fenda do colimador para que essas linhas sejam vistas como duaslinhas separadas e finas.

Concentre-se agora na linha verde amarelada, uma das mais intensas. Posicione manu-almente o retıculo no centro dessa linha, aperte o parafuso central, retoque a posicao como parafuso micrometrico e faca a leitura do angulo T

0

1.Folgue o parafuso central e gire o telescopio lentamente no sentido anti-horario (visto

de cima) e repita o procedimento para medir agora o angulo T1 (preste atencao para medira linha de mesma cor).

Calcule os angulos ✓0

1 e ✓1

✓0

1 =��T

0

1 � T0

�� , ✓1 = |T1 � T0| .

Esses angulos nao podem diferir entre si mais que 100. Se isso ocorrer, a rede deve serreposicionada de modo diminuir essa diferenca. Para isso, tome um pouco menos da metadedessa diferenca, acrescente esse valor ao menor ✓ e calcule qual deveria ser o angulo T dessalinha. Ajuste no vernier esse angulo girando o parafuso micrometrico do telescopio. Olheatraves do ocular, folgue o parafuso lateral da mesa do telescopio onde esta a rede e gireum pouco essa mesa de modo que a linha verde amarelada volte a ficar centralizada comrelacao ao retıculo. Aperte levemente o parafuso para a rede nao sair da posicao.

Refaca as medidas de ✓0

1, ✓1 e verifique se atingiu o objetivo. Caso contrario repita oprocedimento.

De agora em diante, nao se deve mais tocar na rede. Se, acidentalmente, a rede sair deposicao por qualquer que seja o motivo, recoloque o telescopio na posicao onde observou aminimizacao da diferenca entre os angulos e reposicione a linha sobre o retıculo girando amesa da rede.

A seguir, a posicao angular ✓ das linhas sera sempre calculada por

✓ =1

2

��T1 � T0

1

��

isto e, basta ler a posicao da linha, T1, e a posicao de sua simetrica, T0

1.

Determinacao da constante da rede

Para esse item voce utilizara a linha verde amarelada intensa cujo comprimento de ondavale 5461A. Utilize as medidas ja realizadas em primeira ordem e meca ainda as posicoesdessa linha em ambos os lados, nos espectros de segunda e terceira ordem se forem visıveis.

Determinacao dos comprimentos de onda

O objetivo agora e determinar os comprimentos de onda das outras linhas do espectro emprimeira, segunda e terceira ordens se forem visıveis. A medida que a ordem aumenta aslinhas ficam mais fracas e voce so devera enxergar as linhas mais intensas do espectro. Emprimeira ordem, voce devera enxergar duas linhas roxas (forte e fraca, bastante proximas),


uma linha azul-roxo intensa, uma linha verde azulada (intensidade media), a linha verdeamarelada ja medida e duas linhas amarelas alaranjadas. Possivelmente, a depender daintensidade da lampada, voce podera ver uma linha verde azulada fraca, nao e necessariomedi-la.

Faca uma tabela onde constem as cores e os angulos medidos, em ambos os lados, paraas tres ordens observadas (se forem visıveis).

UMA VEZ FINALIZADAS AS MEDIDAS E CALCULOS PARA O MERCURIO, OB-TENHAM OS COMPRIMENTOS DE ONDA, DOS OUTROS GASES. Atencao: Faca atroca das lampadas com o maior cuidado possıvel, evitando toca-las com os dedos. Em casode duvida chame o professor.

Determinacao da abertura angular da linha

No calculo do erro, intervem a metade da abertura angular da linha em radianos. Essaabertura angular e a abertura angular da imagem da fenda do colimador. Para determina-la, observe a linha central e posicione o retıculo, primeiro na borda esquerda e meca aposicao. Depois, na borda direita e meca a posicao. A diferenca entre essas duas posicoese a abertura angular da linha em graus sexagesimais.

1.3.5 Questoes Complementares

A partir das medidas realizadas, respondam as questoes abaixo:

• A partir das medidas realizadas com a linha verde amarelada do Hg determine osvalores para a constante de rede para as tres ordens observadas (se foram visıveis).

• Avalie o erro absoluto cometido na determinacao da constante de rede para as ordensobservadas. O calculo do erro deve levar em conta o erro da medida do angulo (emradianos) considerando que este erro e metade da abertura angular da linha somadaao erro do vernier (um minuto de grau).

• Escreva corretamente o valor da constante da rede com o seu respectivo erro (comapenas um algarismo significativo) para as tres ordens. Qual valor da constante derede e mais exato?

• A partir das medidas efetuadas para as outras linhas espectrais e do melhor valor (oque tiver menor erro) para a constante da rede, determine todos os comprimentos deonda de todas as linhas para as diversas ordens visıveis.

• Determine o erro em cada comprimento de onda. O calculo do erro deve levar emconta o erro na determinacao da constante da rede e o erro na medida do angulo.

• Escreva corretamente os valores dos comprimentos de onda para as diversas cores nasordens visıveis. Expresse esses resultados em uma tabela. Analisando os erros, emquais ordens os comprimentos de onda sao determinados com maior exatidao?

• Compare a separacao angular medida do espectro visıvel de primeira ordem do Hgcom a separacao angular esperada ( calculada a partir dos comprimentos de onda e aequacao

1.4. PARTE EXPERIMENTAL II: EXPERIMENTO DE FRANCK-HERTZ 21

• Utilizando as medidas do hidrogenio, calcule a constante de Rydberg

• Com as medidas do Helio, faca um grafico de sen ? em funcao de ? e obtenha ovalor da constante de rede d. Esta curva corresponde a curva de calibracao desteespectrometro. Calcule o numero de linhas por milımetro e compare o resultado como valor nominal dado pelo fabricante. Discuta o erro.

1.4 PARTE EXPERIMENTAL II: Experimento de Franck-Hertz

1.4.1 Lista de Materiais

Tabela 1.2: lista de materiais

- 1 modulo de controle (110V) - 1 chave de curto circuito- 1 amplificador de corrente (110 V) - Termometro digital equipado com fio termopar- 1 forno com o tubo de Franck Hertz (110 V) de Ni-Cr- 1 Fonte de tensao (110 V) - 1 voltımetro- 1 Interface com conversor AD (110 V) - 1 multiteste- 1 cabo RS232 - 2 cabos tipo BNC- 1 computador com o programa Measure instalado - cabos de ligacao

1.4.2 Montagem

Monte o experimento de acordo com o diagrama da figura 1.11, mantendo a chave de curtocircuito fechada (posicao |). Durante essa operacao todos os equipamentos devem estardesligados. O forno nao deve estar proximo aos equipamentos.

- Ligue a Interface a entrada serial do computador usando o cabo RS232.

- Conecte um voltımetro para ler a tensao de retardo Us. Conecte tambem outrovoltımetro para ler a tensao da saıda 0...50V da fonte.

- Insira o fio do termopar na entrada apropriada do forno, certificando-se que sua pontaesteja bem no centro do dispositivo e nao tocando nas paredes ou no tubo Franck Hertz.

- Ligue todos os equipamentos, verificando se todos os botoes de controle da fonte tensaose encontram na posicao mınima.

- Abra o programa Measure e clique no ıcone New Measurement. Um quadro semelhantea figura abaixo aparecera na tela. Configure os parametros de acordo com a figura.


Figura 1.11: Diagrama esquematico das conexoes do experimento de Franck-Hertz.

Nota: Para se evitar deposito de mercurio na superfıcie do catodo, e reco-mendado que seu aquecimento (6,3 V) seja ligado 1 minuto antes de se ligar oforno. Ao completar o experimento espere o forno esfriar para desligar a fontede tensao

1.4.3 Medidas

IMPORTANTE

Durante o processo de medidas, principalmente a temperaturas mais baixas,fique observando o tubo de Franck Hertz. Se um brilho azulado aparecer entreo catodo e a grade, significa que um processo de ignicao no tubo pode estariniciando. Isso pode provocar um curto circuito em seu interior, danificando-opermanentemente. Feche imediatamente a chave de curto-circuito e diminua atensao de aceleracao. Refaca a medida ajustando a tensao de aceleracao paraum valor menor daquele no qual houve o inıcio de ignicao do tubo.

Se porventura aparecer camadas horizontais de uma fraca luz esverdeada,nao se preocupe, pois mostram apenas as frentes de choque dos eletrons comos atomos de mercurio.

- Mantendo a chave de curto circuito fechada, fixe a tensao de retardo em Us = 1,0Ve ajuste a tensao de aceleracao em 50V. Ligue o forno e espere sua temperatura atingir170�C. Tente mante-la constante, girando o botao de controle de modo que a variacao nao

1.4. PARTE EXPERIMENTAL II: EXPERIMENTO DE FRANCK-HERTZ 23

seja maior que 5�C.- A corrente coletada e da ordem de dezenas de nano Amperes, de forma que o amplificadorde corrente deve estar em fundo de escala dessa ordem de grandeza. Tente inicialmente aescala de 0.1µA.- Clique no botao Continue do programa de aquisicao de dados. Uma nova tela surgira.Para iniciar o processo de aquisicao de dados clique no botao Start measurement e abraa chave de curto circuito, colocando-a na posicao 0. Observe a leitura do canal Analog1 e certifique-se que nao ultrapassa 10V (os numeros ficam vermelhos). Caso isto ocorra,significa que o fundo de escala foi ultrapassado. Interrompa a medida e a reinicie com umfundo de escala maior.- O processo de medida deve terminar quando a leitura do canal Analog 2 atingir a metadeda tensao de aceleracao, isto e 25V. Este valor e atingido em cerca de 2 minutos. Clique nobotao Stop measurement e feche a chave de curto circuito, retornando-a para a posicao |.- Antes de prosseguir com outras medidas, crie uma pasta com seu nome (ou outro de suaescolha!) na raiz e salve seu arquivo escolhendo na barra de menu a opcao File ) Savemeasurements as...- Mantendo a temperatura em 170�C, repita a medida para outros valores de tensao deretardo Us iguais a 0.1V, 2V e 3V. Salve os resultados.- Faca um estudo da dependencia do padrao com a temperatura, comecando com 150�Ce em seguida baixando-a de 10 em 10�C, ate um mınimo de 130�C. Para este estudo fixea tensao de retardo em Us = 2,0V. Fique atento ao possıvel brilho no tubo. Salve seusresultados.

Obs: Se a curva obtida no experimento nao sair lisa e sim quebradica, significa que ofundo de escala usado no amplificador de corrente nao foi adequado. Diminua o fundo deescala e refaca a medida.

1.4.4 Questoes Complementares

• 1. Determine a diferenca de energia entre o estado fundamental e o primeiro estadoexcitado do atomo de Hg usando os graficos obtidos.

• 2. Observe as curvas obtidas com a variacao da tensao de retardo. Aponte as dife-rencas e explique os resultados.

• 3. Faca o mesmo com as curvas obtidas com a variacao de temperatura.

• 4. Estude o circuito utilizado (que vem desenhado na caixa de controle) para aaceleracao dos eletrons e trace o grafico da tensao de aceleracao X tempo. Qual e aconstante de tempo do circuito?

• 5. O gas de mercurio e mantido a baixa pressao? O que ocorreria se fosse mantido aalta pressao?

• 6. Como seria a curva I X V se nao houvesse o mercurio?

• 7. Porque os picos obtidos nao sao abruptos, se a energia de transicao e bem definida?

• 8. Discuta a questao do brilho azulado e da ignicao do tubo.


1.4.5 Apendice: Tratamento de dados

Exportando o arquivo

• Para a elaboracao do relatorio sera necessario manipular os dados para a confeccaodos graficos, inseri-los no documento, etc. Contudo, os arquivos salvos (cuja extensaoe .msr) so podem ser manipulados pelo software Measure, sendo necessario salva-losem outro formato. Para tanto, proceda de acordo com as instrucoes descritas abaixo.

• Os arquivos assim exportados constarao de 3 colunas: a primeira se refere ao tempo, asegunda e a corrente e a terceira e a tensao de aceleracao. No entanto sera necessariocorrigir esses valores pelas seguintes razoes.

• A leitura da tensao de aceleracao (canal 2) e justamente a metade da tensao efeti-vamente aplicada, pois a interface so pode ler um maximo de 30,0V. Um divisor detensao e usado na caixa de controle para essa tarefa.

• Por outro lado, o amplificador de corrente converte a corrente coletada em tensao, de0,0 a 10,0V. Se, por exemplo, o medidor de corrente indicar 5,5V e o fundo de escalafor 1µA, o valor correto da corrente e 0,55µA = 550 nA . Voce tera, portanto, quecorrigir o valor lido dividindo ou multiplicando por um fator que dependera da escala(µA ou nA) que voce queira expressar seu resultado.

• Voce pode corrigir esses valores usando um software apropriado, ou procedendo deacordo com as proximas instrucoes.

Corrigindo valores

• Abra o programa Measure e em seguida abra um arquivo previamente salvo (de ex-tensao .msr)

• Para corrigir o valor da tensao de aceleracao, clique na barra de menus em Analysis) Channel modification. No quadro Operations escreva a expressao x * 2; no quadroModify, marque a opcao Right axis e no quadro Channel clique em overwrite. Cliqueno botao Calculate para efetuar a modificacao.

• Repita a operacao para corrigir os valores da corrente. No quadro Operation o fatormultiplicativo dependera do fundo de escala utilizado no amplificador de corrente,bem como da unidade (ou melhor, do submultiplo) de corrente escolhida. Assim,se voce usou um fundo de escala de 0,1µA e for escrever o resultado em nA, vocedeve escrever a operacao: x*10. Caso queira escrever este resultado em µA , escreva:x/100. Clique tambem em Left axis e overwrite nos respectivos quadros.

• Voce pode tambem colocar as unidades e os tıtulos nos eixos. Para a corrente, porexemplo, clique em Measurements ) Information. Selecione a pasta Channels eescolha o canal Analog 1 e escreva nos quadros correspondentes: Title: Corrente,Symbol: I e Unit: nA (ou µA, dependendo da escolha feita no item precedente).Ainda nesta mesma pasta, escolha no quadro Channels o canal Analog 2 e escreva nosquadros Title: Tensao, Symbol: U e Unit:V.

• Salvar mais uma vez o seu grafico de maneira habitual.

1.5. EXERCICIOS 25

• Contudo, como acima dissemos o arquivo assim salvo so podera ser manipulado peloMeasure. Para salvar os dados de modo que voce possa trabalhar com outros progra-mas, clique em Measurement ) Export data. Selecione entao as opcoes Destination:save to file e Format: Export as numbers. Clique OK e salve seus dados no diretorioe nome adequados.

• Voce notara que este ultimo arquivo constara de 3 colunas, ou seja, o tempo decorrido(em ms), a corrente (em µA ou nA) e a tensao de aceleracao (em V).

1.5 EXERCICIOS

• Exercıcio 1: No modelo de Bohr para o atomo de hidrogenio, o eletron esta emconstante movimento. Como pode tal eletron ter uma quantidade de energia negativa?

• Exercıcio 2: Explique porque o espectro do hidrogenio tem tantas linhas, embora oatomo de hidrogenio possua apenas um eletron.

• Exercıcio 3: Relacione as diferentes series do espectro do hidrogenio com as possıveistransicoes do eletron dentro do atomo (faca um desenho esquematizando estas transicoes).Explique entao porque devemos ter a condicao n > m na equacao de Balmer-Rydberg-Ritz.

• Exercıcio 4: Um proton e um eletron, ambos inicialmente em repouso, se combinampara formar um atomo de hidrogenio no estado fundamental. Um unico foton eemitido neste processo. Qual e o seu comprimento de onda?

• Exercıcio 5: Encontre o comprimento de onda da linha espectral que corresponde auma transicao no hidrogenio do estado n = 6 para n = 3. Em que parte do espectrose encontra esta linha?

• Exercıcio 6: Quanta energia e necessaria para ionizar um atomo de hidrogenio quandoele esta no estado n = 4?

• Exercıcio 7: No modelo de Bohr para o atomo de hidrogenio, qual e a maior velocidadeque um eletron pode ter? E qual a menor velocidade?

• Exercıcio 8: Compare a frequencia orbital de um eletron no estado n = 3 com asfrequencias possıveis para ele irradiar.

• Exercıcio 9: Use o modelo de Bohr para calcular o tamanho do atomo se a forcagravitacional fosse responsavel por manter o eletron em orbita em torno do proton.Determine tambem a energia do estado fundamental e a velocidade do eletron nesteestado.

• Exercıcio 10: Um atomo de hidrogenio, inicialmente no seu estado fundamental, eionizado pela absorcao de um foton com energia de 15 eV. Calcule a energia cineticado eletron que pertencia a esse atomo num referencial fixo no nucleo.

• Exercıcio 11: Um estudante de Fısica diz que uma amostra de hidrogenio a altatemperatura emite fotons com as seguintes energias: E1 = 16,93 eV, E2 = 10,15 eV,E3 = 3,39 eV e E4 = 0,65 eV. Discuta essa afirmativa.


• Exercıcio 12: Considere um atomo de hidrogenio e um atomo de helio uma vez ioni-zado, isto e, que perdeu um eletron. (a) Calcule o raio da orbita mais proxima donucleo para esses dois atomos. (b) Calcule as correspondentes energias.

• Exercıcio 13: (a) Mostre que no estado fundamental do atomo de hidrogenio a velo-cidade do eletron pode ser escrita como v = ?c, onde ? e a constante de estruturafina. (b) A partir do valor de ?, o que se pode concluir sobre o fato de se desprezaros efeitos relativısticos nos calculos de Bohr?

• Exercıcio 14: Mostre que a frequencia de revolucao de um eletron para o atomo dehidrogenio no modelo atomico de Bohr e ? = 2—E—, onde E e a energia total doeletron.

• Exercıcio 15: Calcule a energia necessaria para remover um eletron de um atomo dehelio ionizado (Z=2) utilizando o modelo atomico de Bohr. Resp.: 54, 4 eV .

1.6 BIBLIOGRAFIA

[1] R. Eisberg, R. Resnick: Fısica Quantica. Editora Campus, Rio de Janeiro, Brasil, 1988.[2] A.C. Melissinos: Experiments in Modern Physics. Academic Press, Boston, USA, 1966.[3] Laboratory Experiments in Physics, 5.1.10, Phywe Systeme GmbH, Gottingen, 1999.[4] J. Leite Lopes, A Estrutura Quantica da Materia: do atomo pre-socratico as partıculaselementares. Editora UFRJ; Academia Brasileira de Ciencias; Editora Erca, 1992.

Documents

Raias Espectrais e Experimentos de Franck-Hertz