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Geometria espacial
Ricardo Ferreira Paraizo
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339
Meta
Apresentar os conceitos da Geometria Espacial.
Objetivos
Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de:
1. calcular o volume e a área total das principais
figuras espaciais;
2. resolver problemas do cotidiano, envolvendo
Geometria Espacial.
3. Distinguir as principais figuras espaciais (prisma,
pirâmide, cilindro, cone e esfera).
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339Vamos trabalhar em três dimensões!
Podemos traduzir um balão em pleno vôo como a Física, fazendo a Geometria e a
Arte passearem no espaço.
A Geometria Espacial estuda as relações entre formas e medidas dos corpos
geométricos que ocupam suas posições no espaço tridimensional (comprimento,
largura e altura), onde nós vivemos.
Nesta aula, você vai conhecer os principais sólidos geométricos, como prisma,
pirâmide, cilindro, cone e esfera, além de aprender a calcular suas áreas e
volumes.
Entendendo o espaço
O que é o espaço? O tempo todo usamos o espaço. Mas se alguém perguntar o que é
o espaço, acredito que muitos terão dificuldades de explicar. Vamos fazer um teste:
escreva, no espaço a seguir, o que vem a sua cabeça quando falamos de espaço.
Você pode tentar explicar isso, dizendo: o espaço é tudo o que nos envolve e é o
local onde podemos nos mover para frente, para trás, para os lados e para cima.
Imagine um prédio de cinco andares e você precisa chegar ao último andar. É provável
que você procure um elevador, certo? Tomando como referência a porta do prédio, por
exemplo, imagine que você deva dar dez passos para frente e 6 passos para a direita
para chegar até ela. Pronto! Agora é só subir até o quinto andar.
Fonte: www.sxc.hu
Ad
am C
iesi
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Quando afirmamos que vamos nos deslocar para a frente, para os lados ou para
cima, devemos quantificar e identificar o quanto iremos nos deslocar nessas
direções. Logo, necessitamos conhecer um ponto de partida (uma origem) para
o sistema e identificar esse ponto como (0,0,0), pois esperamos que ele seja um
ponto de referência para todos os outros pontos.
Você pode estar se perguntando o porquê dessa representação (0,0,0). Um ponto
no espaço é representado por três coordenadas (x, y e z):
P(x, y, z)
onde x indicará a quantidade deslocada no eixo que contém os deslocamentos
para a frente, y indicará a quantidade deslocada no eixo que contém os
deslocamentos para o lado e z indicará a quantidade deslocada no eixo que
contém os deslocamentos para cima.
Então, de acordo com o exemplo do prédio, a sua posição final dentro do prédio
pode ser representada pelo ponto P(10, 6, 5).
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Coordenadas geográficas
Há um Sistema Geográfico de identificação de posição na face da Terra que leva
em consideração outros objetos, como meridianos e paralelos, para indicar a
longitude e a latitude de um ponto na superfície do globo terrestre. Como uma
circunferência tem 360 graus (e a terra tem uma circunferência máxima), os
cientistas dividiram 360 graus por 24 (horas) para obter 15 graus por hora.
Considerando a planificação do globo terrestre, traçaram linhas imaginárias
geodésicas (verticais) sobre a superfície terrestre. Essas linhas passam pelos
pólos Norte e Sul, sendo denominadas meridianos, cuja referência básica foi a
cidade de Greenwich (Inglaterra), que tem o meridiano 0.
Fizeram o mesmo com linhas horizontais na planificação, denominando-as
paralelos. Hoje podemos observar a localização de uma cidade em qualquer
lugar do mundo situada no meridiano m e no paralelo p. É lógico que cada local
está localizado acima do nível do mar (eixo z), razão pela qual esse sistema
pode ser indicado como: P(m,p,z).
A Geometria Espacial funciona como uma ampliação da Geometria Plana e trata
dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais, como, por exemplo,
o cálculo de volume de regiões sólidas.
Agora, vamos conhecer alguns sólidos geométricos:
Prisma reto
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases
situam-se em planos paralelos. Os prismas podem ser classificados como retos ou
oblíquos, de acordo com a inclinação das arestas laterais.
Veja, a seguir, alguns exemplos:
Saiba mais...
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Algum dia você viu um objeto com o formato de um prisma?
Observe o plano da base superior e o plano da face lateral, indicados no prisma
pentagonal (Figura 14.1). Agora, responda ao que lhe foi perguntado:
Plano da face lateralAresta lateral
Figura 14.1: Representação de um prisma pentagonal: A base
é um pentágono. Já em um prisma quadrangular, a base é um
quadrado.
Rica
rdo
Ferr
eira
Par
aizo
Fonte: www.sxc.hu
Adam
Cie
siel
ski
Que tipo de POLÍGONO representa o plano da face
lateral?
( ) quadrado
( ) pentágono
( ) retângulo
Fonte: www.sxc.hu
Adam
Cie
siel
ski
Que tipo de polígono representa a base superior?
( ) quadrado
( ) pentágono
( ) retângulo
POLÍGONO
Superfície plana limitada, em todos os lados, por linhas retas.
Aresta da base superior
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343Vamos às repostas:
O polígono da face lateral é denominado retângulo (quadrilátero de quatro ângulos
retos). Já o polígono da base superior é denominado pentágono (polígono de
5 lados).
Como a base é formada por um pentágono, temos um prisma pentagonal. Este é
um prisma regular, pois a base é formada por um polígono regular, ou seja, um
polígono de lados de tamanhos iguais. E, ainda, é um exemplo de um prisma reto,
pois suas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Num prisma
reto, as faces laterais são retângulos, como é o caso do prisma pentagonal da
Figura 14.1.
O volume de um prisma é dado pela seguinte fórmula:
Vprisma = Sb.h
Vprisma = volume do prisma Sb = Área da base h = altura do prisma
Ainda existem outros tipos de prisma: o triangular (a base é formada por um
triângulo), o quadrangular (a base é formada por um quadrilátero), o hexagonal
(a base é formada por um hexágono) etc.
Paralelepípedo
O formato prismático que encontramos por todo lado no nosso dia-a-dia é o
chamado paralelepípedo, que é um prisma de base formada por um paralelogramo.
Veja um exemplo:
Figura 14.2: Caixa de giz.
Rica
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345A caixinha de giz (Figura 14.2) tem o nome de paralelepípedo retângulo (também
chamado de paralelepípedo reto-retângulo ou ortoedro).
Veja, a seguir, algumas fórmulas importantes no estudo do paralelogramo:
(i) Fórmula para calcular a área total do paralelepípedo retângulo:
STotal paralelepípedo = 2(ab + ac + bc)
STotal paralelepípedo → Lê-se: área total do paralelepípedo
Observe que para calcular a área total do paralelepípedo retângulo basta somar as
áreas de todas as faces laterais com as áreas das duas bases.
(ii) Fórmula para calcular a área total do cubo:
Stotal cubo = 6a2
Stotal cubo → Lê-se: área total do cubo.
A área total do cubo também é calculada somando-se as áreas de todas as faces
laterais.
(iii) Fórmula para calcular o comprimento da diagonal do paralelepípedo
retângulo:
D a b c= + +2 2 2
D → Lê-se comprimento da diagonal do paralelepípedo.
(iii) Fórmula para calcular o comprimento da diagonal do cubo
D a= 3
D → Lê-se comprimento da diagonal do cubo.
Veja um exemplo:
Os cavalos da fazenda do Zé estão comendo muita ração ultimamente. Os animais
estão consumindo o volume ocupado por um cocho cheio de ração por dia. Qual o
volume de ração em m³ que o Zé precisa produzir durante 30 dias, considerando-se
as dimensões do cocho representadas na imagem a seguir?
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Figura 14.4: Ampliação do cocho.Figura 14.3: Os cavalos estão se alimentando satisfato-
riamente?
Rica
rdo
Ferre
ira P
arai
zo
Vamos à solução:
1º passo: Calculamos o volume de um cocho cheio.
Observando a Figura 14.4, podemos ver que o cocho é um prisma (considere
a base formada por um trapézio). Para calcular o volume desse prisma, basta
multiplicar a área da base (que é um trapézio) pela altura do prisma.
Vprisma = Sb•H
Sb = área da base de um trapézio
H = altura do prisma
SB + b h
b =( )
2Sb = área da base (trapézio)
B = comprimento do lado maior do trapézio = 49,5 cm
b = comprimento do lado menor do trapézio = 30 cm
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347h = altura do trapézio = 35 cm.
Substituindo a fórmula SB b h
b =+( )2
temos:
Sb =+( )
= • = =49 5 30 35
279 5 35
22782 5
21391 25 2, , ,
, cm
2º passo: Calcular o volume do prisma utilizando a fórmula.
Vprisma = Sb•H
Vprisma = 1391,25•350= 4 869 375,5 cm³
Transformando a medida temos:
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
4, 869 375 5
Vprisma = 4,869375,5 m³
3º passo: Vamos à regra de três para calcular o consumo de ração em 1 mês.
Em 1 dia os cavalos consomem 4,869375 m³
Em 30 dias os cavalos vão consumir x
x= 30• 4,869375 ≅ 146,08 m³
Logo, o volume de ração em m³ que o Zé precisa produzir durante 30 dias será de
aproximadamente 146,08 m³
Pirâmide
Consideremos um polígono contido em um
plano horizontal e um ponto V localizado fora
desse plano. Uma pirâmide é a reunião de todos
os segmentos que têm uma extremidade em V
e a outra num ponto qualquer do polígono. O
ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.
Ricardo Ferreira Paraizo
Figura 14.5: Pirâmide quadrangular.
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347É possível calcular o volume da pirâmide através da fórmula:
Vpirâmide = 13
Sb.h
Vpirâmide = Volume da pirâmide
Sb = área da base da pirâmide
h = altura da pirâmide
Exemplo:
Veja a pirâmide da figura a seguir e calcule:
a. sua área lateral
b. sua área total
c. seu volume
Vamos à solução:
a. Slateral = 4.S∆ equilátero
(Lê-se: A área lateral é igual a quatro vezes a área de um triângulo isósceles.)
S∆ equilátero = b h.2
h∆ equilátero = l 32
5 32
=
S∆ equilátero = 12
55 3
225 3
42. . = cm
Como a área lateral é 4.SS∆ equilátero , temos:
Slateral = 425 3
425 3 25 1 73 43 75 3= ≅ ≅. , , cm
A área lateral é igual a 43,75 cm².
b. Stotal= Sbase + Slateral
(Lê-se: A área total é igual a área da base, somado com a área lateral.)
H cm= 5 22
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349Sbase = Squadrado
(Lê-se: A área da base é igual à área do quadrado.)
Sbase = l²
Sbase = 25 cm²
Como Stotal= Sbase + Slateral. Temos:
Stotal= 25+ 43,75= 68,75 cm².
c. Vpirâmide = 13
Sb.h
Vpirâmide = 13
255 2
21256
2 20 83 1 41 29 37 3. . . , . , ,= ≅ ≅ cm
Agora, você precisa verificar se realmente aprendeu o que foi ensinado até aqui.
Atende aos Objetivos 1 e 2Atividade 1
Faça com atenção a atividade a seguir para que possamos continuar a aula.
Quando a pirâmide de Quéops terminou de ser construída tinha 146 m de altura
e 233 m de aresta da base. Sabendo que essa pirâmide é uma pirâmide regular
quadrangular, calcule o volume dessa pirâmide.
Cilindro
O conceito de cilindro é muito importante. Em diversos lugares, encontramos
aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas-
d’água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, muitos deles com formas
cilíndricas.
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Em um cilindro, a área lateral e total é dada por:
Slateral = 2πrh
Stotal = 2πr(h + r)
Slateral → Lê-se: área lateral do cilindro
Stotal → Lê-se: área total do cilindro
h = altura do cilindro
r = raio da circunferência
π ≅ 3,14
E o volume o cilindro é calculado pela fórmula:
Vcilindro = πr2h
Vcilindro → Lê-se: volume do cilindro
O cilindro reto é também chamado cilindro de revolução.
Isso porque o mesmo é gerado pela rotação de um retângulo
em torno de um de seus lados.
Planificação do cilindro
h
rFigura 14.6: Formato cilíndrico.
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351Exemplo:
Quantos litros de água cabem no bebedouro para os cavalos, considerando o
formato do bebedouro o mesmo da imagem a seguir.
Figura 14.8: Cilindro dentro do cilindro.Figura 14.7: O cavalo está matando a sede!Ri
card
o Fe
rrei
ra P
arai
zo
Veja a solução:
H = 80
25 cm
A C B A C B
25 cm
I II III
O recipiente é um cilindro dentro de um cilindro.
O volume do recipiente que contém água é o cilindro interno. Para calcular o
volume do cilindro interno:
(1º passo) Calculamos o raio do cilindro interno (r):
r = AB BC− = 47 – 25 = 22 cm
r = raio do cilindro interno
94 cm
47 r
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351(2º passo) Calculamos o volume do cilindro interno:
Vcilindro interno = π•R²•H
Vcilindro interno = π•(22)²•80
Vcilindro interno = π•484•80 = 38720π cm³ ≅ 38 720•3,14 ≅ 121 580,8 cm³ = 121 580,8 ml
kl hl dal l dl Cl ml
1 2 1, 5 8 0 8
Vcilindro interno = 121 580,8 ml = 121,5808 litros
Portanto, no bebedouro para os cavalos, cabem aproximadamente 121 litros de
água.
Agora, teste seus conhecimentos na atividade a seguir para depois continuar
estudando os sólidos geométricos.
Quantos m2 de alumínio você precisará adquirir para construir um reservatório
Atende aos Objetivos 1 e 2Atividade 2
(sem tampa) do formato a seguir?
Cone
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353Considere uma região plana limitada por uma curva suave fechada e um ponto P
fora desse plano.
Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta
que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer
da região plana.
Figura 14.9: A casquinha do
sorvete tem formato cônico.
Fonte: ww
w.sxc.hu
Mic
hal Z
acha
rzew
ski
g = GERATRIZ DO CONE
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353Podemos calcular a área lateral do cone pela fórmula:
Slateral = πrg
Slateral→ Lê-se: área lateral do cone.
g = geratriz do cone
r = raio do cone
E a área total do cone é dada por:
Stotal = π r(g + r)
Stotal → Lê-se: área total do cone.
Já para calcular o volume do cone, fazemos:
V= 13
r2h
V = volume do cone
h = altura do cone
Vamos fazer um exemplo:
Um cone circular reto de altura 3 2 cm tem volume igual a 18 2π cm³. Calcular
o raio da base desse cone.
Solução:
V S h
V R h
R R R R
Cone b
Cone
=
=
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
1313
18 213
3 2 18 9 2
2
2 2
. .
. . .
. . . .
π
π π 33 2 cm
Então, o raio da base desse cone é igual 3 2cm.
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Atende ao Objetivo 1 Atividade 3
Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é sua
área lateral em cm²?
Tronco do cone
Quando fazemos um corte horizontal no cone e jogamos fora a ponta, a parte que
sobra é o tronco do cone. Observe a figura a seguir: um recipiente no formato de
um tronco de cone.
O tanque representa um tronco de cone. Veja a fórmula para calcular o volume e
a área lateral desse tronco de cone.
Figura 14.10: Tanque para colocar água quente para filagem do queijo.
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355Vtronco do cone =
13
.π.h[R2 + Rr + r2]
Slateral = π(R + r)g
Stotal com tampa = π[R(g + R) + r(g + r)]
Stotal com a tampa = área total do tronco, considerando que o mesmo tem uma superfície
circular tampando o tanque na sua parte superior.
Vtronco do cone = volume do tronco do cone
Slateral = área lateral do tronco
Stotal = área total do tronco
h = altura do tronco do cone
R = raio maior
r = raio menor
π ≅ 3,14
Saiba mais...
No processamento do queijo mussarela, há uma etapa de filagem, que consiste
em filar a massa em água quente a 75 – 80º C (isto é, a massa, ao ser colocada
em água quente, torna-se elástica, capaz de ser amassada e esticada facilmente,
formando fios compridos). Em seqüência, é feita a moldagem no formato
desejado.
Agora, mais uma vez, chegou a hora de praticar.
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Atende aos Objetivos 1 e 2Atividade 4
Um depósito de cereais tem a forma da figura a seguir (um cilindro somado a um
tronco de cone). Suas medidas estão assinaladas na figura. Calcule a capacidade
em litros desse depósito:
(use π =3,14)
Esfera
Do ponto de vista prático, a película
fina que envolve um sólido esférico
tem o formato esférico. Em um
melão, por exemplo, a casca que
envolve a fruta tem o formato
esférico.
Figura 14.11: Olhando
com bons olhos, a casca do melão
poderia ter formato de uma esfera.Fonte: www.sxc.hu
Chris Windras
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357Empresas de laticínios que armazenam líquidos em tanques de formatos esféricos
necessitam realizar cálculos de volumes de regiões esféricas. A fórmula para
calcular o volume da esfera é dada por:
V = 43
3πR
V = volume da esfera
R = raio da esfera
π ≅ 3,14
Já para o cálculo da área da superfície esférica, fazemos:
S = 4πR2
S = área
R = raio da esfera
π ≅ 3,14
Veja como aplicar as fórmulas da circunferência no exemplo a seguir.
Seja uma esfera de 58 cm de diâmetro. Determinar:
a. a área dessa esfera;
b. o volume dessa esfera.
Vamos à solução:
a. Como diâmetro é igual ao dobro do raio (D=2R), temos:
58 = 2R⇒R= 29 cm (raio é igual a 29 cm)
Para calcular a área da esfera, usamos: S = 4.π.R
S = 4.π.29 = 116.π
S ≅ 116.3,14 = 364,24 cm²
Então, a área da esfera é aproximadamente igual a 364,24 cm².
b. Para calcular o volume da esfera, usamos a fórmula:
V R cm cm= = = = ≅43
43
2943
24389 32518 66 102108 613 3 3 3. . . . . . , ,π π π π
O volume da esfera é aproximadamente 102108,61 cm³.
Agora que você já conheceu os principais sólidos geométricos, continue praticando.
Mãos à obra!
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Atende ao Objetivo 1Atividade 5
Determine a área de uma esfera, sendo 2304π cm³ o seu volume.
Atende ao Objetivo 3Atividade 6
Veja as figuras a seguir. Coloque, ao lado de cada item localizado depois das
imagens, a numeração que corresponde ao respectivo formato:
1 2 3 4
5 6 7
Ric
ardo
Fer
reira
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8 9 10 11
12 13 14
15 16 17
a. Prismáticos: ...............................................
b. Cilíndricos: .................................................
c. Cônicos: .....................................................
d. Piramidais: .................................................
e. Esféricos: ...................................................
Ric
ardo
Fer
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361Resumindo...
A Geometria Espacial estuda as relações entre formas e medidas dos corpos
geométricos que ocupam suas posições no espaço em que vivemos.
Veja a seguir as tabelas, mostrando os principais sólidos geométricos com
suas fórmulas de áreas e volumes:
PRISMA RETO
Área lateral
Sl = n.S1
n= número de faces laterais
S1 = área de uma face lateral
Área totalSt = Sl + Sb
Sb = Área da base
VolumeV =Sb.h
h = altura
PIRÂMIDE
Área total St = Sl + Sb
Volume V = 13
Sb.h
CILINDRO
Área total
St = 2πr(h + r)
r= raio da base do cilindro
π ≅ 3,14
Volume V = πr2h
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CONE
Área da base Sb = πr²
Área lateralSl = πrg
g = geratriz do cone
Área total ST = πr(g + r)
Volume V= 13 r2h
TRONCO DO CONE
Área lateralSl = π(R + r)g
g = geratriz do tronco do cone
Área total ST = π[R(g + R) + r(g + r)]
Volume V = 13
.π.h[R2 + Rr + r2]
ESFERA
Área da superfície esférica S = 4πR2
R= raio da esfera
Volume V = 43
3πR
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363Informação sobre a próxima aula
Na próxima aula, você vai aprender a resolver e interpretar graficamente os
sistemas de equações de 1º grau.
Respostas das Atividades
Atividade 1Quando dizemos que uma pirâmide é regular, a sua base é formada por um
polígono regular (lados iguais).
Vpirâmide = 13
. Sb . h
Sbase= 233² = 54289 m²
Vpirâmide = 13
. 54289 . 146 ≅ 2642064,6m3
Então, a pirâmide de Quéops tem um volume aproximado de 2 642 064,6 m³.
Atividade 2Na verdade, estamos querendo calcular a área total de lataria para fazer um
reservatório com o formato indicado.
Vamos dividir o objeto em duas partes:
Parte prismática
(1º) Parte prismática
A área da parte prismática consta de retângulos. Como já sabemos, para calcular
a área de retângulo basta multiplicar a base pela altura. Então, teremos:
e-Te
c Br
asil
– Di
scip
lina
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Aula
14
– G
eom
etria
esp
acia
l
363
Parte semi-cilíndrica
Sda parte prismática= 2X1,5X0,7 + 2X0,7X1
Sda parte prismática= 2,1 +1,4 =3,5 m²
(2º) Parte semi-cilíndrica (meio cilindro)
Agora vamos calcular a área da parte semi-cilíndrica. Para isso, primeiramente
vamos calcular a metade da área lateral do cilindro e depois somar com as duas
metades das áreas dos círculos. Então, teremos:
(veja que dois semi-círculos formam um círcul.)
Slateral do cilindro= 2.π.r.h
r = raio do cilindro
h = altura do cilindro
π ≅ 3,14
Slateral do cilindro= 2.π.r.h
Slateral do cilindro= 2•3,14• •1,5 = 4,71 m²
Slateral do semi-cilindro= Smlateral do cilindro
24 71
22 35 2= ≅,,
S círculo = π.r2
S círculo = 3 1412
3 141
14
3 144
0 7852
2,, ,
,•
= • = = m
Agora, vamos somar todas as áreas:
STOTAL = Sda parte prismática + Slateral do semi-cilindro + S círculo = 3,5 + 2,35 +0,785 ≅ 6,64 m²
S = área
A área total de lataria será de aproximadamente 6,64 m².
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Aula
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– G
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esp
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l
365Atividade 3A área lateral de um cone circular reto pode ser calculada pela fórmula:
Slateral = πrg
x² = 36+64
x = 100
g= 10 cm
Slateral = πrg
Slateral = π.6.10= 60π= 60.3,14 ≅ 188,4 cm²
Atividade 41º passo: Calcular o volume da parte cilíndrica (V1).
V1 = π•R²•h
V1 = π•(6)²•6
V1 = π•36•6
V1 = π•(6)²•6
V1 = 216π m³
Parte cilíndrica do silo
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Aula
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Parte em formato de tronco do cone do silo
2º passo: Calcular o volume da parte do tronco do cone (V2).
V2 = 13
• π •h[R2 + R•r + r2]
V2 = 13
• π •4[62 + 6•1 + 12]
V2 = 13
• π •4[36 + 6 + 1]
V2 = 13
• π •4[43]
V2 = 1723π m³
3º passo: Somar os volumes da parte cilíndrica V1 (encontrado no 1º passo) com o
volume da parte em forma de tronco de cone V2 (encontrado no 2º passo).
Vtotal = V1 + V2
Vtotal = 216π + 1723π → somando as frações:
Vtotal = 648 1723
8203
820 3 143
2574 83
858 27 3π π π+ = ≅ • ≅ ≅, ,, m
Como 1m³ = 1000 litros, então 858,27 m³ = 858270 litros
A capacidade em litros do depósito é 858.270 litros.
Atividade 5Como foi dado o volume da esfera, usamos a fórmula:
V = 43
π . R3
2304 π = 43
π . R3
2304 = 43
. R3 ⇒ 6912 = 4R3 = 1728 ⇒ R= 17283 ⇒ R= 1233 ⇒ R = 12
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366 Para calcular a área, usamos S = 4πR².
S = 4.π.(12)² ⇒ S= 4.π.144 ⇒ S= 576π ⇒ S ≅ 1808,64 cm².
Atividade 6a. prismático: 1; 3; 8; 11
b. cilíndricos: 4; 9; 12; 13; 14; 17
c. cônicos: 6; 10; 15
d. piramidais: 2; 7
e. esféricos: 5; 16
Site consultado
Disponível em: <http://www.enq.ufsc.br/labs/probio/disc_eng_bioq/trabalhos_
grad2004/queijos/tipos.htm>
Bibliografias complementares
IEZZI Gelson. et al. Matemática vol. 2. 2. ed. São Paulo: Atual, 1981.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações v.2. São Paulo: Ática,
1999.