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Grandezas geométricas: perímetros, áreas e volumes
Ricardo Ferreira Paraizo
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Meta
Apresentar as grandezas geométricas: perímetro,
área e volume.
Objetivos
Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:
1. transformar uma unidade de medida de
comprimento em outra;
2. calcular a área de algumas das principais figuras
geométricas planas;
3. transformar uma unidade de área em outra;
4. transformar uma unidade de volume em outra;
5. resolver problemas de aplicação de transformação
de medidas e cálculo de áreas das figuras planas.
Pré-requisito
Para acompanhar esta aula, é importante ter em
mãos: cartolina, cola e tesoura.
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289A origem do cálculo de área
Desde os tempos mais remotos até os dias de hoje, a ocupação de terras para
plantar, morar e armazenar alimentos tem sido uma preocupação dos cidadãos,
que as ocupam, e do governo, que cobra impostos pela ocupação.
Na sua profissão, você vai lidar com medidas a todo o momento. Por exemplo: para
saber a quantidade de ração necessária para sustentar um determinado animal,
você precisará entender de volume. Para saber quantos canteiros retangulares
poderá construir numa fazenda, você vai precisar entender o cálculo de área.
Nesta aula vamos desenvolver algumas aplicações importantes que poderá
observar no seu dia-a-dia. Mas este assunto não pára por aqui; você manterá
contato com ele com muita freqüência nas disciplinas técnicas de seu curso e na
prática profissional. Estude com muita atenção e desenvolva as atividades com
cuidado e dedicação.
Vamos medir
Vamos iniciar analisando as formas de alguns objetos. Por exemplo, uma caixa de
leite tem formato de um paralelepípedo retângulo.
Podemos medir o seguimento AB utilizando a régua. A mesma ação pode ser
empregada para medir o perímetro da folha de seu caderno. Você lembra o que é
perímetro? É a soma dos lados de uma figura plana. Medir o perímetro do caderno
é somar a medida dos quatro lados da folha do caderno.
Figura 12.1: A caixa de leite tem formato de um paralelepípedo retângulo (prisma).
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Escrever na folha de caderno:
O perímetro (2p) é:
2p = 279,4 + 279,4 + 215,9 + 215,9
Logo, 2p = 990,6 mm
Medidas de comprimento
Desde a Antigüidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada povo
possuía sua própria unidade. Com o desenvolvimento do comércio, ficavam cada
vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas
diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada
grandeza. Foi assim que, em 1791, surgiu o SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.SISTEMA MÉTRICO
DECIMAL
Faz parte do sistema internacional (SI) de unidades. Este é adotado no Brasil e tem como unidade principal e fundamental o metro.
Saiba mais...
Metro
A palavra metro tem origem grega métron e significa “o que mede”. Foi
estabelecido inicialmente que a medida do metro corresponde a uma fração
da circunferência da Terra, mais precisamente a décima milionésima parte da
distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil,
o metro foi adotado oficialmente em 1928.
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291Além do metro, que é a unidade fundamental de comprimento, existem ainda seus
múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados pelos prefixos: quilo, hecto,
deca, deci, centi e mili.
Mudança de unidades de comprimento
Utilizamos os múltiplos do metro para medir grandes distâncias e os submúltiplos
para medir pequenas distâncias.
Veja os múltiplos e submúltiplos do metro na tabela a seguir:
Tabela 12.1: Múltiplos e submúltiplos do metro.
MúltiplosUnidade
FundamentalSubmúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Observe que cada unidade de comprimento é dez vezes maior que a unidade
imediatamente inferior.
km = quilômetro (mil vezes o metro)
hm = hectômetro (cem vezes o metro)
dam = decâmetro (dez vezes o metro)
m = metro (unidade fundamental)
dm = decímetro (décimo do metro)
cm = centímetro (centésimo do metro)
mm = milímetro (milésimo do metro)
Para a mudança de unidade no sistema métrico decimal, podemos usar uma regra
prática, que explicaremos logo a seguir. Por exemplo: o comprimento do terreno
retangular onde fica a minha casa é 55,6 m. Quantos centímetros correspondem
a essa medida?
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Ou seja, 55,6 metros (m) equivalem a 5.560 centímetros (cm).
Saiba mais...
Comprimento da circunferência
Para medir o comprimento (l) de uma circunferência, usamos a fórmula:
l = 2.π.r
Onde:
l = comprimento da circunferência
R = raio da circunferência
π≅ 3,14 (o valor de π é aproximadamente 3,14)
Exemplo: Quantos metros de arame farpado você
precisa usar para dar uma volta completa num
cercado circular de 20 metros de raio?
Substituindo na fórmula, temos:
l = 2.π.r ⇒ l = 2 . 3,14 . 20
l = 125,60 m
Portanto, você vai precisar de 125,60 metros de arame para dar uma volta
completa num cercado circular.
Observe que dessa forma lemos a medida
em metros.
Então, se eu colocar a vírgula a direita do zero,
lemos 5.560 centímetros (cm).
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293Outro exemplo:
Agora, vamos transformar 234 cm em dm.
A medida é 234 cm = 234,0 cm.
Veja a tabela:
km hm dam m dm cm mm
2 3 4, 0
Observe que o último algarismo antes da vírgula e a própria vírgula devem ficar na
coluna da unidade indicada inicialmente, ou seja, na coluna do cm. Depois disso,
deslocamos a vírgula para a unidade desejada.
Veja:
A vírgula desloca-se para o dm:
km hm dam m dm cm mm
2 3, 4 0
Logo, 234 cm = 23,4 dm.
A seguir, há uma atividade para que você pratique um pouco e fixe esse conceito,
que é o pré-requisito para entender as unidades de área que virão a seguir.
Atende ao Objetivo 1Atividade 1
Complete:
a. 5,3 km = .................. m
b. 2,36 m = ................ cm
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295Unidades de área
Vamos pegar um pedaço de papel e uma régua. Com a régua vamos fazer um retângulo
de 10 cm x 5 cm e quadriculá-lo com cinqüenta quadrados de mesmo tamanho.
Veja como ficou o retângulo quadriculado:
Zsuz
sann
a Ki
lián
Fonte: www.sxc.hu
Figura 12.2: Saber calcular a área do retângulo é fundamental para entender
o cálculo da área de outras figuras planas.
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295Agora, vamos analisar...
1º. O retângulo foi subdividido em 50 quadrados.
2º. Cada quadrado tem 1 cm de lado.
3º. Qual é a área desse retângulo?
Podemos observar que a medida da superfície desse retângulo é a área que
queremos calcular. Como a figura foi dividida em 50 quadradinhos de 1 cm de
lado, concluímos que a área total do retângulo é 50 cm2.
4º. Mas como obter a área do retângulo sem fazer quadriculado?
Basta multiplicar o comprimento pela altura, ou seja, 10 cm x 5 cm = 50 cm².
Logo, podemos concluir que a área de qualquer retângulo é o comprimento
multiplicado pela altura.
Aretângulo = base (b) x altura (h)
O quadrado também tem a área calculada pelo produto da base pela altura. Mas,
neste caso, podemos modificar essa fórmula:
comprimento = 10 cm
altura = 5 cm
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297No quadrado, como todos os lados são iguais, podemos dizer que a base é igual a
l e a altura é igual a l. Então, substituindo na fórmula, temos:
Aquadrado l . l
Vamos a uma situação prática para que você entenda melhor:
Imagine que precisamos fazer um canteiro para replantar 50 mudas de alface de
tal forma que cada pé ocupe 400 cm². Qual deverá ser a área desse terreno? Não se
assuste com o que foi pedido. Você vai ver que não é complicado resolver a questão.
Podemos resolver este problema usando uma regra de três simples, ou seja:
1 pé de alface ocupa 400 cm²
50 pés de alface ocuparão x cm².
pé cm2
⇒ x = 50.400 ⇒ x = 20.000 cm21 400
50 x
Área das principais figuras planas
Nesta seção, você vai aprender que a fórmula da área do retângulo é a base para
o cálculo de áreas de figuras planas elementares.
Observe!
Figura 12.3: Usando unidade de área na prática agrícola.
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Ferr
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297Área do triângulo
Veja o retângulo a seguir: traçando uma diagonal, dividimos esse retângulo em
dois triângulos iguais.
Você já conhece a fórmula da área do retângulo (A = b . h). Então, o que fazer
para determinar a área do triângulo?
Ora, se o retângulo foi dividido em dois triângulos iguais e desejamos saber a área
de apenas um deles, basta dividir a área do retângulo por 2. Ou seja:
Atriângulo = b.h2
Área do paralelogramo
Observe as figuras a seguir. Para o cálculo da área, podemos “cortar” um pedaço
do paralelogramo e encaixá-lo do outro lado, transformando-o num retângulo:
Veja que a altura do paralelogramo é a distância de uma base a outra. Sendo
assim, a altura é perpendicular à base. Com isso, a área do paralelogramo é igual
à área do retângulo obtido, ou seja, o produto das medidas da base pela altura.
Aparalelogramo = b.h
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299Área do losango
O losango é uma figura geométrica que possui lados iguais e diagonais perpendiculares.
Podemos construir um retângulo de maneira que o
losango fique inscrito nesta construção. Dessa forma,
a área do losango, determinada em função de suas
diagonais, é metade da área do retângulo.
Alosango = diagonal maior (D) diagonal menor (d)
2⋅
Área do trapézio
O trapézio é um polígono que possui quatro lados (ou seja, é um quadrilátero);
dois desses lados são paralelos. Esses lados paralelos chamam-se bases.
base menor (b)
base maior (B)
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299Agora, construa dois trapézios iguais e encaixe-os, colocando um deles de “cabeça
para baixo” em relação ao outro.
A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio.
Assim, a área do trapézio é:
Atrapézio = base maior (B) base menor (b)+( ) ⋅h
2
Atende ao Objetivo 2Atividade 2
Calcule a área da superfície de um bloco de pedra em forma de paralelogramo de
8 m de base e 6 cm de altura.
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Atende ao Objetivo 2Atividade 3
O quadrilátero ABCD adiante representa um terreno em forma de trapézio, sendo
35% desse terreno ocupado por uma reserva florestal. A área total do terreno
ABCD e a área da reserva florestal são respectivamente iguais a:
Dados: AB km DE km DC km= = =5 4 2
a. 14 km² e 4,9 km²
b. 15 km² e 5,25 km²
c. 14 km² e 6,0 km²
d. 15 km² e 6,3 km²
e. 10 km² e 6,3 km²
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301Mudanças de unidades de medidas de área
Vamos começar esta seção com um exemplo:
A área de uma fazenda é de 3,421 km². Você sabe quantos m² (metros quadrados)
correspondem a essa medida?
Cada unidade de medida da área é 100 vezes maior que a unidade imediatamente
inferior, e não dez vezes maior, como era no caso das unidades de comprimento.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 12.4: Para medir áreas muito grandes, normalmente são usados os múltiplos do m2.
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an B
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Atenção!
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303Para fazer a transformação de km2 para m2, vamos construir uma tabela com todas
as unidades de área.
Observe que, quando trabalhamos com unidade de área, colocamos em cada casa,
à direita da vírgula, dois dígitos. E com a mesma regra prática usada para as
transformações de unidades de comprimento, podemos resolver esse problema.
Veja:
Então, 3,421 km2 equivalem a 3.421.000 m2.
Saiba mais...
Medidas agrárias
Para medir as superfícies de terrenos, podemos utilizar as medidas agrárias:
i. hectare (ha)
ii. are (a)
iii. centiare (ca)
Se colocarmos a vírgula aqui, lemos a medida em m2.
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303A mudança de unidade se faz da mesma forma que nas medidas de superfície (área).
20.000 ca = 2 ha
1 a = 100m2
ha a ca
2 00 00
• 1 alqueire utilizado em Minas Gerais, Rio de Janeiro e Goiás vale 48.400 m2
= 4,84 ha.
• 1 alqueire utilizado em São Paulo vale 24.200 m2 = 2,42 ha.
• 1 alqueire utilizado no Norte vale 27.225 m2 = 2,7225 ha.
Atende ao Objetivo 3Atividade 4
Complete:
a. 5 km2 = ...............m2
b. 14400 m2 = ............km2
c. 0,0242 km2 =...........m2
Volume
Quando estudamos o cálculo de área, trabalhamos com figuras da geometria
plana. Agora, vamos observar os corpos que temos ao nosso redor, isto é, aqueles
que ocupam lugar no espaço, como os rios, os móveis ou qualquer tipo de
construção. Freqüentemente, temos de calcular volume de espaço que um tanque,
por exemplo, ocupa. Tal conhecimento é fundamental para a agropecuária.
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Medir um sólido é compará-lo com outro sólido, tomado como unidade. Por exemplo:
precisamos de um recipiente em que caibam 640 cm³ (centímetros cúbicos) de
água. Para isso você pode fazer um modelo utilizando cartolina e cola, seguindo a
planificação adiante.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 12.5: O silo cilíndrico, usado para armazenar soja, é um sólido e, portanto, podemos
calcular o seu volume.
Crai
g Je
wel
l
V = a.b.c = 8.8.10 = 640 cm³, onde a, b e c são as três dimensões do
paralelepípedo.
Assim, podemos calcular o volume de qualquer paralelepípedo retângulo fazendo
o produto de suas dimensões.
1 cm
8 cm 8 cm 8 cm8 cm
8 cm
8 cm
8 cm
8 cm10 cm
10 cm
8 cm
1 cm
1 cm
Podemos dizer que nesse parale-lepípedo cabem 640 cubinhos de 1 cm de aresta (cubinhos como o da figura).
8 cm
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Com isso, o volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas três dimensões:
comprimento, largura e altura. O volume de um paralelepípedo de dimensões a, b
e c é:
O volume de um corpo é a quantidade de espaço que ele ocupa. Quanto maior o
espaço ocupado, maior o seu volume, e vice-versa.
Atenção!
Quanto ao volume do cubo, também é o produto de suas três dimensões:
comprimento, largura e altura. Como os três comprimentos são iguais, tome um
deles e o eleve ao cubo.
V = a x b x c
Mudanças de unidades de volume
Imagine uma caixa d’água que tem volume de 4,387 m3 (metros cúbicos). Você
saberia dizer quantos cubinhos de 1 cm de ARESTA cabem nessa caixa? Veja o
diagrama com as unidades de volume e pense um pouco...
V = a3
ARESTA
Em Geometria, é a linha de intersecção de duas
faces de um sólido.Um cubo, por exemplo,
tem 12 arestas.
a
a
a
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307km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
As unidades de volume aumentam ou diminuem de 1.000 em 1.000, isto é, cada
unidade de volume é 1.000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior
e 1.000 vezes menor do que a imediatamente superior.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
4, 387 000Observe que
em cada casa colocamos três
dígitos, pois se trata
de volume.
Se colocarmos a vírgula aqui, lemos a medida em cm³.
Portanto, 4.387.000,0 cm³, ou seja, cabem 4.387.000,0 cubinhos de 1 cm de
aresta dentro dessa caixa d’água.
Agora é sua vez! Tente fazer as atividades a seguir para fixar o conceito e os
procedimentos para transformar unidades de volume. Depois, tente resolver a
atividade-desafio.
Atende ao Objetivo 4Atividade 5
Complete:
a. 3 m3 = ...................dm3
b. 5.400 dm3 = ........... m3
c. 50.000 mm3 = ........ cm3
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A fazenda São Carlos, localizada no estado de Minas Gerais, mede 200 ha. De um
lado dessa fazenda fica a fazenda Santa Rosa, que mede 300 alqueires. Do outro
lado há outra fazenda chamada Santa Maria, com área de 4 km².
De acordo com as informações responda:
a. Quantos por cento de área a fazenda Santa Rosa tem a mais que a área da
fazenda Santa Maria?
b. Qual é a fazenda de maior área? Represente esta área em hectare.
c. Faça um gráfico de colunas colocando no eixo “x” o nome das fazendas e no
eixo y as áreas em m².
Atende ao Objetivo 5Atividade 6 D E S A F I O
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A todo momento de sua vida você está medindo alguma coisa. E para medir
precisamos usar algumas normas, o principal objetivo desta aula.
• O comprimento serve para medir distâncias:
Unidades de Comprimento
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
Comprimento da circunferência: l = 2.π.r
• A área serve para medir superfícies:
Unidades de Área
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
• Área das principais fi guras planas (S):
(i) Triângulo: S = b h.2
(ii). Quadriláteros
Paralelogramo : S = b x h Retângulo : S = b x h
Resumindo...
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309Losango: Trapézio:
SD d= .2
SB b h= +( ).
2
Informação sobre a próxima aula
Na próxima aula, vamos trabalhar com semelhança de triângulos e Teorema de
Talles.
Atividade 1
a. Vamos colocar a parte inteira (parte da unidade) na direção da unidade de
medida, que neste item é o km. A vírgula precisa fi car à direita da unidade
dada. Na casa seguinte, copiamos o número que acompanha o 5, que é o
número 3.
É muito simples: basta copiar 5,3 dentro das casas. Veja:
km hm dam m dm cm mm
5, 3
Respostas das Atividades
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311 Como queremos passar para metro (m), a vírgula desloca-se para o metro.
Lembre-se sempre de colocar zero em cada casa em branco. Agora a vírgula se
desloca do km para o metro. Veja:
km hm dam m dm cm mm
5 3 0 0, 0
b.
km hm dam m dm cm mm
2 3 6, 0
Veja que a vírgula se deslocou para a direita da nova unidade
de medida (que é o m). Resposta: 5,3 km = 5300 m
Resposta: 2,36 m = 236 cm
Atividade 2
Para se calcular a área de um paralelogramo, basta multiplicar a base pela
altura.
S = b . h = 8 . 6 = 48 m²
Logo, a área da superfície da pedra é de 48 cm².
Atividade 3
A fórmula para se calcular a área do trapézio ABCD é SB b h= +( ).
2B = comprimento da base maior (AB)
b = comprimento da base menor (CD)
h = altura do trapézio (DE)
S =(5 + 2).4
2=
7.42
= 14 km2
Cuidado: não confunda o lado (l) do paralelogramo com a sua altura (h).
lb
h
h = 6 m
b = 8 m
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311Os 35% do terreno que é reserva florestal podem ser calculados assim:
35100
141
35 750
24550
4 9 2⋅ = = =., km
Resposta: A
Atividade 4
a. O raciocínio é um pouco parecido com a transformação da unidade de
comprimento. Como agora o assunto é área, cada casa precisa ter 2 (dois)
dígitos. Veja que 5 km² = 5,0 km². A parte inteira (parte da unidade) fica em
direção à unidade de medida, que neste item é o km².
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
5, 0
Como queremos passar para metro quadrado (m²), a vírgula desloca-se para o
m². Vamos colocar dois zeros em cada casa em branco. A vírgula desloca-se do
km² para o m². Veja:
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
5 00 00 00, 00
Neste trapézio, a reta AB é paralela à reta CD. Essas retas paralelas são as bases maiores e menores respectivamente.
Veja que a vírgula se deslocou para a direita da nova unidade de
medida (que é o m²). Resposta: 5,0 km² = 5.000.000 m²
b. Agora a medida é 14.400 m2 = 14.400,00 m2. Os números 00 (as partes da
unidade e dezena) em direção ao m². Veja:
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 44 00, 00
A vírgula desloca-se para o km2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
00, 01 44 00 00
Resposta: 14.400 m2 = 0,0144 km2
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
312
Aula
12
– Gr
ande
zas
geom
étric
as:
perí
met
ros,
áre
as e
vol
umes
313c.
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0, 02 42
A vírgula desloca-se para o m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0 02 42 00, 00
Resposta: 0,0242 km2 = 24.200 m2
Atividade 5
a. O raciocínio é um pouco parecido com a transformação da unidade de área e
comprimento. Como agora o assunto é volume, cada casa precisa ter 3 dígitos.
Veja que 3 m³ = 3,0 m³. A parte inteira (parte da unidade) fica em direção à
unidade de medida, que neste item é o m³.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
3, 000
A vírgula vai se deslocar para o dm³. Vamos colocar três zeros em cada casa em
branco. A vírgula desloca-se do m³ para o dm³. Veja:
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
3 000, 000
Veja que a vírgula se deslocou para a direita da nova unidade de
medida (que é o dm³).
Resposta: 3 m3 = 3.000 dm3
b.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
005 400, 000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
005, 400 000
Resposta: 5.400 dm3 = 5,4 m3
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
312
Aula
12
– Gr
ande
zas
geom
étric
as:
perí
met
ros,
áre
as e
vol
umes
313c.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
050 000,
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
050, 000
Atividade 6
Em primeiro lugar, devemos transformar todas as medidas de área para a mesma
unidade. Aqui, tudo será reduzido a m2; para isso, vamos usar regra de três.
FAZENDA SÃO CARLOS FAZENDA SANTA ROSA
1 ha
200 ha
→
→
10.000 m²
x
1 alqueire (MG)
300 alqueires
→
→
48.400 m²
x
x = 2.000.000 m2
FAZENDA SANTA MARIAkm2 hm2 dam2 m2
4, 00 00 00
A tabela a seguir mostra as áreas das três fazendas em m2.
FAZENDA ÁREA
São Carlos 2.000.000 m²
Santa Rosa 14.520.000 m²
Santa Maria 4.000.000 m²
a. Se o aumento da área da Santa Maria fosse 4.000.000 m² — seria de 100%.
Como o aumento foi de 10.520.000 m² — será de x %.
m2 %
4.000.000 100
10.520.000 x
Resposta: 50.000 mm3 = 50 cm3
x = 14 520 000 m2
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
314 Resolvendo essa regra de três, temos:
4.000.000 • x = 10.520.000 • 100
x = = =1 052 000 0004 000 000
1 0524
263. . .
. ..
%
Portanto, a área da fazenda Santa Rosa é 263% maior que a área da fazenda
Santa Maria.
b. Podemos ver na tabela que a fazenda de maior área é a Santa Rosa. Agora,
vamos representar essa área em hectare:
1 ha → 10.000 m²
x → 14.520.000 m²
10.000x = 14.520.000
x = 14 520 00010 000. .
.
x = 1.452 ha
Logo, a maior área em hectare é de 1.452 ha (Santa Rosa).
c.
Referências bibliográficas
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicação v.2. 2. ed. São Paulo: Atual, 2004.
________________. Matemática e realidade 5ª série. 5. ed. São Paulo: Atual, 2005.
GIOVANNI, José Ruy et al. A conquista da matemática 5ª série. São Paulo: FTD, 2002.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática – idéias e Desafios 5ª série.
14. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
10.000.00014.000.00012.000.00010.000.0008.000.0006.000.0004.000.0002.000.000
0São Carlos Santa Rosa Santa Maria
Área
s
Área das fazendas
Fazendas
