Raízes de uma função - Webnode · Aproximação de uma raíz Dado uma precisão >0 ; diremos que um ponto c 2R é uma aproximação para uma raíz 2R da equação f(x) = 0 quando

Raízes de uma função

Laura Goulart

UESB

14 de Março de 2019

Laura Goulart (UESB) Raízes de uma função 14 de Março de 2019 1 / 17

Aproximação de uma raíz

Dado uma precisão ε > 0, diremos que um ponto c ∈ R é umaaproximação para uma raíz α ∈ R da equação f (x) = 0 quando uma dasseguintes condições forem satisfeitas:

i) |f (c)| < ε

ii) |c − α| < ε


fases

O processo para encontrar uma solução numérica envolve duas fases:

Isolamento das raízes: Consiste em achar um intervalo [a, b] quecontém uma raiz.

Re�namento: Partindo de uma aproximação inicial, utilizamos osmétodos númericos, com precisão pré-�xada e re�namos a solução atéque certos critérios sejam satisfeitos.


fases





fases





Isolamento das raízes

O objetivo é encontrar um intervalo [a, b]; de pequena amplitude e quecontenha a raiz que desejamos encontrar. Para isto, usaremos duasestratégias: análise grá�ca e tabelamento da função.

1 Análise Grá�ca.2 Tabelamento da função.




1 Análise Grá�ca.

2 Tabelamento da função.




1 Análise Grá�ca.2 Tabelamento da função.


Teorema de Bolzano

Teorema

Se f (x) é uma função contínua em [a,b] e f (a) · f (b) < 0 então existepelo menos um ponto α ∈ [a, b] tal que f (α) = 0. Além disso, se aderivada da função preservar o sinal dentro do intervalo( ie, se a função forestritamente crescente ou estritamente decrescente) então a raiz é única.


Re�namento

Depois de isolar a raiz no intervalo [a,b]; passa-se a calcular a raiz atravésde métodos numéricos. Para isso, estes métodos devem fornecer umasequência numérica (xn) de aproximações cujo o limite é a raiz exata.


Métodos estudados

Método da Bisseção;

Método da Falsa Posição;

Método do Ponto Fixo;

Método de Newton-Raphson.


Métodos estudados






Métodos estudados






Métodos estudados






Métodos estudados






Método da Bisseção

Seja f (x) uma função contínua em [a,b] e α uma raiz isolada da funçãoneste intervalo.A principal idéia do Método da Bisseção é reduzir o comprimento dointervalo que contém a raíz, de maneira sistemática. Ele é baseado nademonstração do Teorema de Bolzano no qual trabalha com o ponto médiodo intervalo.


Método da Bisseção

Ou seja, tomemos xk =ak−1 + bk−1

2o ponto médio do intervalo

[ak−1, bk−1]; obtido na iteração anterior. Assim, teremos que α podeencontrar-se no intervalo [ak−1, bk ] ou no intervalo [xk , bk−1]. Isso éfacilmente determinado calculando-se f (xk) e aplicando-se o Teorema deBolzano.


Critério de parada

No Método da Bisseção, o erro na estimativa será a metade do

comprimento do intervalo em estudo, ie,|ak − bk |

2< ε(ε dado ).


Exemplo

Determine uma raiz de f (x) = x3 + 3x − 1 pelo método da bisseção comε = 0, 01.


Convergência do método

O método da bisseção sempre converge,ie, a sequência de aproximaçõesconverge para a raiz α em [a,b].


Estimativa do número de iterações

O método da bisseção é o único em que é possível estimar o número deiterações.


Estimativa do número de iterações

k >ln |a0 − b0| − ln ε

ln 2− 1.


Vantagens

As iterações não envolvem cálculos laboriosos;

A convergência é sempre garantida;

É possível estimar o número de iterações.


Vantagens





Vantagens





Vantagens





Desvantagens

O método converge muito devagar;

Deve ser utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz.


Desvantagens




Desvantagens




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