Refa Lee Intro SmoothTensorescovariant ManifoldSea E espacio rectorial de din n

Det Un tensor covariant de tipo k es

una aplicacion multilinear

x Ex x E Rl

kveces

es choir una transformacion linealcon respecto a cada copia de E

Ejamplos

Un productainterno en E esun tensor covariante de Tipo 2 can

Ias siguientes propiedades adicionales

x v w x w v si

Hu v o si o cmetricaldefinido positive

El determinant det Knx x IR Rcolumnagade lamatriz

es tensor car tipo n

El conjunto E defensores car deTipokes un espacio rectorial de dimension inkVamos a describir una base

Fijemos er en base de E

Sen et en la base dual i.eEi Es IR es funcional lineal tfE ej

a si i jO C C

Dados is in C I int definimosel tensor cov de Tipo k

f Ei Ein asi

f Vs Va Ei va ein vaEntances log Ei Eik formanbase del espacio KE Totten

Campos tensoriales

Det Unaampoodetens.ie detipoken un abierto V E R es una funcionA U k Ri.e AH E

id inn This inxleisxo ein

funciones

Def Sea M variedad de din n

Un campo O de tensores covariantesde Tipo k es un aplicacion A

que a Cada pEM un tensor en Tpm

y adena's tiene expresiinartasDef Una mitricaRiemann.am en M esun campokov tip 2 simetrico y definidoposi

TensoresAlternadoy

Sea x E E IR tensor cov tipo kk veces

Decimus que a es alternadon si

ve Vn o siempre que losvectores

Vic Vn Sean LD

Proposicin a alternado

Ho LI k12 permutacion

µve un EEx vocal rocks sapelo due Nh

Demi Ejerc

El conj de tensors alternados es unsubespacio rectorial AKE E KE

OBIde dimension Csi OEks.nl FEiRf

Dados is in Efl int definimos

E n nein synth aid Idw8 11 kKpermutacion

Entonces Kian rein heirs sikenles basen deMEEj E IR ea en base canonica

E n El E EZ EZ El

dnd fx xn Ig yn Xi ya XzyEnd Ined n ne es el determinant

Notacion standard en RnSi Xs xn Sen as coordenadas con respecta la base canonica entances dxi

Productocuria wedge

se puede definir una transf bilineal

ME ME Ake Ew n way

compatible con la notacion de arriba

Det Una k formadiferencial en una varMes un Campo ca de tensors Covde Tipo k alternados

DerivationSi w es k forma diferencialen unabiert

If entonces se define unahtt forma dw de manera fue

dlw.tw dwntdwzw ffq mn dxna ndxnsdw f Ffy.Cxi xnldxjndxi.n ndxin

Obs Hay una def libre de coordenadasCaso k 2

dwlxllvi.ve hmo wtkKIEVer Cartan Diff Forms p21Ain major Hubbard p 626

Si w es k forma dif en una variedadentonces dw es definida usando cartesexactamente de la misma manera

Hay que demostrar que la def

esindependientedelacartatomicircular

ft dwPullbacle dfFf M Nw k forma en thf't w k forma en M asi definida

f w x v vn wlfkl fDfklvyDf Vh

GRAD ROT DIVn 3 He hits my z

ke l d f e dxtffgdytffz.dzk 2

dffdxtgdy hdz

1 dyndet dzndx

Ex E dandyhe3

dlfdgndztgdzndx hdxndgl

fff F fzhldxndg.dzBuena ref Hubbard HubbardVector Calculus Linear Algebra and DifferentialForms

s

Propiedad fundamental i d dw

Integraci M variedad c din nN subrariedad dim k compacta orientadaw k forma

SN w numero real

Ej N imagen de la Curva ti Ia b M

Saw Sab worthHtt dt

Teotemade stakes S subrar cpta or dim htt

Sas w Ss dw

CohomologiadeDeRham M rariedad

Shh M fk formas G en MIDet w cRYN escerrada si dw oexaita si w _dy para algumYeti'm

oboe exacta cerrada

Kasim grupo de cohomologia deDe Rham

Hkfm Efmscerradast iesp.catk formers exactest

Ejemple M R'a tool AI HTM Rwe EdgeIx t forma dfarotan.FI's

2 22dw 0 Cw cerrada

Pero si M fuera exacta w dftendriamos f w Jsdf If oH corra cerrade circolo S

0 cuenta Sf EoDe hecho w cerrada

es exacta Ssi w o

Esterase Hkfsn Rsi k o o ten

lot e c

Propiedade functoriales

f M N induce

apt lineal ft Hk N Htmlgo f f't o gidk id

Invarianciaporhomotopia

f g MSN co homotopicat

f't g't Hk N HHMI son

iguales

Conseg Si M N Tienen el mismo tipode homotopia quita's con dimensionesdistintas entonces Html Eon Hk N

Hk

tear M variedad orientada dim ncompacta conexa sin 2

Hn M IR isomorfism aninico

Demi w Smw es al Isom

Grado

tear M N var orientadas compactaconexas sin 2 misma dim n

f M N apt Ca

ft Hn N Hn M apt inducida

Bajo el isomorfismo Canonico Gear anterior

f es multiplicacion por algin 1Entonces zdegCfI

Mars generalmente2

Relacion entreCohomologia de De Rham gNimeros de Interseccion i

Dualidad de Poincare

ap product

Ver eg Bott Tv Differential formsin Algebraic Topology p 69