110
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DOS MATERIAIS Alexandre Ramalho Silva TEORIA DO FUNCIONAL DA DENSIDADE EXATA PARA O MODELO DE HUBBARD DE DOIS SÍTIOS Juazeiro – BA 2009

teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

  • Upload
    vukhanh

  • View
    218

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DOS MATERIAIS

Alexandre Ramalho Silva

TEORIA DO FUNCIONAL DA DENSIDADE EXATA PARA O MODELO DE HUBBARD DE DOIS SÍTIOS

Juazeiro – BA 2009

Page 2: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DOS MATERIAIS

Alexandre Ramalho Silva

TEORIA DO FUNCIONAL DA DENSIDADE EXATA PARA O MODELO DE HUBBARD DE DOIS SÍTIOS

Trabalho apresentado a Universidade Federal do Vale do São Francisco – UNIVASF, Campus Juazeiro, como requisito para a obtenção do título de mestre. Orientador: Prof. Dr. Neemias Alves de Lima

Juazeiro – BA 2009

Page 3: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

2

S586t

Silva, Alexandre Ramalho

Teoria do Funcional da Densidade Exata para o Modelo de Hubbard de Dois Sítios/ Alexandre Ramalho Silva. – Juazeiro-BA, 2009

108 f. ; 29 cm Dissertação (Mestrado) -Universidade Federal do Vale do

São Francisco, Campus Juazeiro - BA Orientador: Prof. Dr. Neemias Alves de Lima

Inclui referências 1. Teoria do Funcional da Densidade. 2. Modelo de Hubbard.

3. Energia de troca e correlação. I. Título. II. Lima, Neemias Alves de.

CDD 539

Ficha catalográfica elaborada pelo Sistema Integrado de Biblioteca

SIBI/UNIVASF

Page 4: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

3

Page 5: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

4

Aos meus pais, Ramalho e Valdelice; À minha esposa, Josélia; À minha filha, Carolina.

Page 6: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

5

Agradecimentos

Agradeço a Deus, por ter tido vida, saúde e um pouco de inteligência para fazer

esse trabalho;

Aos meus pais por terem, além de me dado a vida, dado a vida por mim;

À minha esposa, pelo amor e pela paciência;

À minha filha pela alegria, estampada em cada sorriso, palavra ou gesto;

Ao meu orientador, prof. Neemias, pela dedicação, seriedade e principalmente

pela paciência;

Aos professores do CPGCM, pela garra demonstrada ao toparem o desafio de

tocarem um curso de pós-graduação mesmo diante de tantos obstáculos e

empecilhos;

Aos professores Helinando, Télio e Joatan, que após a leitura do trabalho,

fizeram considerações muito úteis à construção desse texto;

Aos professores Edson Leite de Araújo e, Edna Santiago Benta pela ajuda no

término do trabalho;

À Univasf (instituição) pela oportunidade;

Aos professores do CENMEC, pelo companheirismo;

A todos professores que contribuíram, de maneira mais ou menos significativa

durante minha infância e juventude para que eu chegasse até aqui.

Page 7: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

6

SILVA, Alexandre Ramalho. Teoria do Funcional da Densidade Exata para o

Modelo de Hubbard de Dois Sítios. 2009. 108 f. il.; 29 cm. Dissertação

(Mestrado) -Universidade Federal do Vale do São Francisco, Campus Juazeiro-

BA.

Resumo

A teoria funcional da densidade (DFT) consiste em uma boa

aproximação para descrever as propriedades do estado fundamental de

materiais metálicos, semicondutores e isolantes. Freqüentemente tem sido

usada com sucesso para descrever os materiais padrão tanto quanto os

materiais complexos, como proteínas e nanotubos de carbono.

O propósito da DFT é descrever um sistema interagente de férmions

através de sua densidade, e não através de sua função da onda de muitos-

corpos. Enquanto a DFT, dá descrição exata das propriedades do estado

fundamental, as aplicações práticas são baseadas em aproximações para a

energia de troca e correlação (xc).

Recentemente, Lima et al, aplicaram a DFT para estudar o modelo

unidimensional de Hubbard. Essa aproximação local da densidade (LDA), foi

baseada no Ansatz de Bethe, para a energia xc. Apesar de modelar muitos

sistemas com uma exatidão satisfatória, comparável às técnicas mais

sofisticadas (tais como o a diagonalização exata e o grupo de renormalização

da matriz densidade (DMRG)), as estimativas para alguns sistemas são

qualitativamente incorretas.

Dada a necessidade desenvolver um funcional melhor, neste trabalho foi

proposto um funcional exato de energia de troca e correlação para o modelo de

Hubbard de dois sítios, inédito na literatura. O exemplo de maior interesse foi o

dois elétrons, porque é o sistema mais simples de banda semi-preenchida.

Neste caso, além do funcional, foi escrito um programa computacional em

linguagem Fortran que faz os cálculos auto-consistentes. Os resultados obtidos

Page 8: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

7

foram comparados com a diagonalização exata, obtendo-se, como previsto,

resultados equivalentes.

O funcional proposto neste trabalho calcula exatamente a energia do

estado fundamental de moléculas diatômicas modeladas pelo Hamiltoniano de

Hubbard. Na etapa seguinte, pretende-se, a partir desse funcional de

densidade, construir uma aproximação melhor para o funcional xc, válido para

sistemas com as centenas ou os milhares dos sítios, ajudando com uma

ferramenta muito poderosa no estudo teórico em sistemas do interesse

tecnológico e experimental.

Palavras-chave: Teoria do Funcional da Densidade. Modelo de Hubbard.

Funcional de troca e correlação.

Page 9: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

8

SILVA, Alexandre Ramalho. Exact Density Functional Theory for the Two

Sites Hubbard Model. 2009. 108 f. il.; 29 cm. Dissertação (Mestrado) –

Universidade Federal do Vale do São Francisco, Campus Juazeiro-BA

Abstract

Density functional theory (DFT) consists in a good approach to describe

the properties of fundamental state of metallic, semiconductors and insulate

materials. Frequently, has used both the most of standard and complex

materials as protein and carbon nanotubes.

The purpose of DFT is describing an interacting system of fermions by its

density instead of by means many-body wave function. Since DFT has provided

a exact description properties in a fundamental state, practical applications are

based in approaches to energy exchange-correlation (xc).

Recent, Lima et al applied DFT to study the Hubbard one-dimensional

model. In this a Local Density Approximation (LDA) was carry out, based on the

Bethe Ansatz, for the xc energy. In spite of modeling many systems with

satisfactory accuracy, comparable with more sophisticated techniques (e.g.

exact diagonalization and density-matrix renormalization group (DMRG)), the

estimation for some systems is qualitatively incorrect.

Since the necessity to developing a better functional, this work has

proposed an exact density-functional exchange-correlation energy to two-sites

Hubbard model, unpublished the literature. The main interest was the two

electrons, because it is the simplest system of half-filled band. In this case,

beyond the functional, Fortran computational program to carry out self-

consistent calculations out language that makes the self-consistent calculations

was developed. The results obtained were compared with the exact

diagonalization, obtaining, as expected, equivalent results.

The functional proposed in this work has calculated exactly the

fundamental state energy of diatomic "molecules"modeled by the Hubbard

Hamiltonian. In the next step, it will propose, from this density functional, to

Page 10: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

9

build a better approximation for the xc functional that is valid for systems with

hundreds or thousands of sites, helping to implement a very powerful tool in the

theoretical study of systems of technological and experimental interest.

Keywords: Density Functional Theory. Hubbard Model. Exchange-correlation

Functional.

Page 11: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

10

Conteúdo

1. Introdução 12

2. Formalismo Básico: Teoria do Funcional da Densidade 18

2.1 - O Modelo de Thomas-Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 - Teoremas de Hohenberg e Kohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 - Primeiro Teorema Hohenberg-Kohn . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 - Segundo Teorema Hohenberg-Kohn . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 - Esquema de Kohn-Sham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 - Aproximações para Energia de Troca e Correlação . . . . . . . . . 29

2.4.1 - Aproximação da Densidade Local . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.2 - Aproximação Generalizada do Gradiente da

Densidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3. Extensão da DFT para o Modelo de Hubbard 32

3.1 - O Modelo de Hubbard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 - DFT para o Modelo de Hubbard: Formalismo Geral . . . . . . . . 36

4. DFT para o Modelo de Hubbard de Dois Sítios 40

4.1 - Funcionais da Densidade para as Energias de Troca-

Correlação para 1, 2, 3 e 4 Elétrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.2 - Solução das equações de Kohn-Sham para dois elétrons . . . . 63

4.2.1 - Diagonalização Exata do Hamiltoniano . . . . . . . . . . . 63

4.2.2 - Esquema Kohn-Sham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Page 12: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

11

4.3 - Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. Conclusões e Perspectivas 78

6. Apêndices 80

6.1 - Polímeros condutores e Hopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2 - Hamiltoniano de Hubbard a partir do Hamiltoniano em 1ª

quantização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

6.3 - Cálculos Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3.1 - Equação (4.87) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3.2 - Energia de troca e correlação (4.95) . . . . . . . . . . . . . 90

6.3.3 - Demonstração das expressões de vxc1 e vxc2 . . . . . . . 91

6.3.4 - O caso particular U1 = U2 = U no sistema de banda

semi-preenchida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

6.3.5 - Equação (4.111) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.4 - O programa EXACT_DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Page 13: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

12

Lista de Figuras Figura 1: Esquema Kohn-Sham;

Figura 2: Gráfico de n1 em função da razão d/t. (Sistema de dois sítios e um

elétron);

Figura 3: Configurações possíveis para um sistema de dois sítios e dois elétrons;

Figura 4: Comportamento de n1, para . (Sistema de dois sítios e três

elétrons);

Figura 5: Estudo do comportamento do número de ocupação n1, em função de t

(mantendo (U1 − U2 + υ1 − υ2) fixo) (sistema de dois sítios e 3 elétrons);

Figura 6: Esquema Kohn-Sham para o sistema de dois sítios e dois elétrons;

Tabela 1: Comparação entre os resultados do Funcional Exato e da

Diagonalização Exata. (sistema de dois sítios e dois elétrons);

Figura 7: Resultado da variação do parâmetro U1/t diante dos parâmetros fixos

U2/t = + υ1 /t = + υ2 /t = 1;

Figura 8: Estudo do comportamento de E[n]/t, para os parâmetros fixos υ1 /t = −1;

υ2 /t = 1 com U1/t variando de 1 a 10, e U2/t com valores fixos (1, 3, 5 e 7);

Figura 9: Estudo do comportamento de E[n]/t, para os parâmetros fixos υ1/t = −1;

υ2/t = 1 e U2t = 1, 3 com U1/t variando de 1 a 100;

Figura 10: Variação do parâmetro U1/t mantendo fixos U2/t= 1; υ1/t = 1; υ2 /t= 1.

Comparação do comportamento de U1 /t em relação ao número de ocupação;

Figura 11: Estudo da variação de E [n] /t e n1, diante da variação de υ2/t e dos

parâmetros fixos U1/t = U2/t = υ1/t = 1;

Figura 12: Estudo do comportamento de E[n]/t, para os parâmetros fixos U1/t = 1;

U2/t = −1 com υ1 /t variando de 1 a 10, e υ2 /t com valores fixos (1, 3 e 5 );

Figura 13: Estudo do comportamento de E[n]/t, para os parâmetros fixos U1/t = 1;

U2/t = −1 e υ2/t = −1,−3, com υ1 /t variando de 1 a 100;

Figura 14: Estrutura da cadeia do cis-poliacetileno (a) e do trans-poliacetileno (b);

Figura 15: Esquema representando uma ligação dupla entre átomos de carbonos:

A primeira ligação ocorre no plano xy é a forte interação s e a dupla ligação

formada pelos orbitais puros é chamada de ligação π. A dupla ligação entre

carbonos é explicada pela hibridização sp²;

Figura 16: Representação dos sólitons no cis-poliacetileno: (a) sóliton neutro; (b)

sóliton negativo e (c) sóliton positivo.

Page 14: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���%���� �

������ �

! ���� �� ���&��� � *����� �� 5*�7 1 �� �1.��� �� ��.��� �� ���.�� �

��.�� ���.�� ��� .�� &��� ; ��4;� �4��& ������ �� ��.�N��& @ ��A������ ��� ��.���

�1.���� �� ��&K��& ��K�.�& ��� �� � ��� � � "�="�� A��$(� �� ��� � � "�������

�1.��� � �� �� � ������ �� ��.�N��& @ � "��. �.� "��&����� � *�@ A�� � �� ��� ��

����� S�@ �T@ ��� "�� � �� & &� � ������ ��.�N��& @ �(� "�����. ; ����. ��� &��

"��&��(� ���� � � !1� �����@ "�����. ; �� ;�� A � � .�=��& �@ &��� "�� �#��"�@ �(�

"��; � ��� � ;� �� H��&� "�.��&� �#.���� ���&� �� �� H��& ������ �� ��.�N��& �

��� � A � � A�� � ����;�� � "��.��������.� &�� �� .����� � �������������� 5��7 S�T

��� � � �.�� . �.� ���&�� �� � ������ �� " � �� � �� "�.��&� �#.����@ �� �.�

������- $(� �� A��&��� �� " � ��.��$(� � ������ �� ��. �� A��� ���. � !"�� � ��

"��; � ��� ������ �� ��.�N��& �� ��G&���.� " � ���&��;�� �� ���.�� @ �� .����� �

�������������� �(� ���.� ; � &��� ��.�����4� � ���&� ��"���@ ���� � �� � S T@

&��&�2� � ��� ���� "���2;� ��.�� � �� ���.�� ��.�� ���.� " �.�� �� �� ���.�� �(��

��.�� ���.� �� "�.��&� &��;�����.����.� ��&�����@ � ��� �� ���.� � �� ���"��� ����

"��&���� G&�� &����&��� &��� ������ ������� � 5��7� �� .����� � ��@ J��. ���.�

��

Page 15: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

� ������ �� ��@ �(� �� �&��&�� � *� ��

� ��� �� �� ���.�� �(����.�� ���.� " � & &� � ������ �� �� ���.�� ��.���

���.�@ &��� "��"��.� �� ������ ������� �@ ��"�& �� ��������.� �� �� .����

&� � �� ������ �� .��& � &���� $(�@ ��� �� �2�.���@ ��H�� � ��.�� $%�� ��.�� �

" �.2&� �@ �� ��J @ 1 ���. ������ ��� ��.� ���� .�� �� �H���� �� �1.���� � � ��(�

��.��� ���.� ��� ��.�� ��� ��.�� ��� ���1�@ �(� �4 �� A��&��� �� .��& � &���� $(�

�# .�@ �� ����� �� A��� �� ��.�����4�� �# . ���.�� !����@ "�� � � *� ��� ��

A��� ���� �# .�@ � "�4.�& @ 1 ��&���4�� �� "��#�� $(� ���� � " � � A��&���

� ������ �� .��& � &���� $(� �� ���.�� ��.�� ���.�� ! ���& "�� �� A��&��� ��

.��& � &���� $(� ���;��� & � ;�- � �� &�� �� 1 �� �� ��� ��� G�@ � ��"��� �� .�>�

�1& � � �� "������ @ �� ���$(� �# . ��.4 ���. �.� �� ��� ���&����. �

*��� A��� @ �� A��.� ��� �� "������ � *� ;�. ��� " � &���.��$(� �� "��#�

�� $%�� " � ������ �� .��& � &���� $(�� ! "������ �� �@ "��"��. "�� ���� �

�� � S T@ A�� +*! 5+�& *����.O !""��#�� .��� �� !"��#�� $(� +�& � *�����

� ��7@ � �� � "��"���� ��� �� ���.�� � �����>���� �(� "�& � � �& ���.� " �

���.�� � �� ������� ! "��&��(� 1 � .��A .=�� �� ���.�� & ���@ ����� ���.� ��"��� �

� �� � ��� � �#� &��.� &��"�. &��� �

���.��������.�@ � �� ����.� � ������ �� A�� ��.����-��� �� A��&��� +*!@ ��� ���

,�! 5,� ����. �#" ����� !""��#�� .���7@ ������� �� �#" ��%�� � �� � ��� � � ��

�� ����.� � ������ �� ��.�N��& @ ��� �(� �� A��&��� �� ,,! 5,���� �-�� ,� ����.

!""��#�� .��� �� !"��#�� $(� ,���� �- � �� ,� ����.� � *����� ��7� *��.�� �����

H.����@ �� � �� �� ��� �(� � )�� 5"��"��.� "�� )����P@ ���Q�@ � ���-����A 7 S�T@ �

�78) 5����. ��� &����� $(� �� A��&��� �� .��& �� D�&Q� S0T &�� � A��&��� ��

&���� $(� �� +��@ U �� � � �� S6T7�

! ;���(� ������ � *�@ "��"��. "�� ���������@ ���� � �� �@ 1 ���. � ;�-��

&� � � �� & �� �*�@ �� ���"�����.� *�� B� ��. �.�@ � � "�& $%�� "�4.�& �@ �4

�� .� � �� �� �����;�;����.� � *�@ ������ V .�� ����@ � ��>��� B��� � W�2��& ���))3�

Page 16: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�� ��.� ;���(�@ ��� ��"��� �� ������ �� " � & � �"�� 5�� ��� � �� ���7@ �����

��� A���� $(� &����&�� &��� �"���*� 5�*�7 S3@ )T� B �*�@ �#.���(� ���

.����� � � ��� $%�� � *� 1 .��;� @ � �� ��� �(�@ �4 .����� � �4����� ��.��� & ���

��"�&� �� �(� ?*� 5��� �; �� &��. �A��.�� �� .�;2�.�&��7@ � .� . ���.� � *�

� ��"��&����.�;�� �� S��T�S��T@ � � ��� � �� ������ �� �� �"�� S� @ ��T � ���. � ��.� �

�#.���%�� S�0@ ��T� � ��� � *� �� �� � � �� ; �� � � �#.���%�� .����� �� &4&��� ��

"��"���� ��� ��.�N��& � �� � .��� �� �� ��. �� �=��� � � � .1�� ��� 5"�� �#��"�@

"�2����� � �����1&� �7 ���.� � �� �4"���� � "��&����@ "����-���� �� �� ��� ��" &.�

�� "������ � � � 4�� � � �2��& @ W�2��& @ ������ �� � '�>�&� ��� � .��� ���

B��. ������. $(� ���4 "�& � *� � ��.��� �� ��. �� A��� ���. �� � ���

.��� �� �� ���� �� �� ���� �2.���@ � ����� � �� ���"�� ��� ��"�����. �� ��1&�

�� .N��& �� �1.���� A��.����.� &���� &��� ��� S��T� � ����� �� ���� �� ���������

���� ���.� ��� �� �1.��� ��A�� $(� �� .�>� .�"�� �� ��.�� $(�/ �7 ��.�� $(� ��

�1.��� &�� � �2.�� 5�H&��7 � �� ��.4 �� ��@ ��7 ��.�� $(� �1.�����1.��� �� �����

�2.��@ � ���7 ������ �� ����@ ��� 1 ������ ���&� � � .��� ���.� �� �1.��� ��

�2.�� ���� ��.4 " � �� �2.�� ;�-����� � � ��.��� �� �� ���� �� " � �� ���.�� &��

� �2.��� � � �1.����@ 1 � �� "��/

� � ���

�������

������������� �

��

���

�� ��� ��� ���

�����

�� ����� 5���7

���� �� .����� ����@ �� @ �� �(� �� " �K��.��� �� ���� ��@ ���&� ��� ���"�&.�; ���.�

� ����@ I ��.�� $(� �1.�����1.��� � I ��.�� $(� �1.�����H&�� �� & � �2.��@ ����� �

���� �(� ���"�&.�; ���.� �� �"�� ����� �� &���.��$(� � ����� $(� �� �1.��� �� �"�� �

�� �2.�� �@ � ���� 1 � �"�� ��� �H����� ���� � ���������

�� B��� �#"����(� �� .����� ��

� ��.��� �� �(� ���"�&.�; ���.� ������ �� ����@ ��.�� $(� �1.�����1.��� �

��.�� $(� �1.�����H&����

�� ����� ��. ��� ����� � ����� �� ���� �� �(� "�����. ��� � ��$(� ����

Page 17: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

*�G����� ���� &��� ����� � "��&���� �� .��� ���.� ��� �� �1.��� ��A�� ��

�� �2.�� " � �� �2.�� ;�-����� ���� "��&���� �� �4 "�����. �� ���.� ��.�� �� �2.��

� ��� "������� ;�-���� �� A��� ��� � ���� &�� � ������� �� .��&���� ;�-���� 1

���"��-2;�@ ����� ���� .� � ��� &��������� � ���� &�� � ������� ;�-���� S� @

��T� ���� &��&��.� 1 ���.� ��"��. �.� �� &�>�&� ��� � .��� ��@ "����� �#"�& ��

�1��� �� "��&����� ��.�N��&��@ ��� "�� �� ;�-@ ��"�& � �� �� � � �� "�& $%��@

��&����� �� "�2����� &����.����� �� "�2�����@ ���&� ���.� .�;�� � ��� � ���H�.��

�1.��& @ &��� ��� �.��@ ����� ��� � �1& � �� 0�@ ������ � �� "�2����� &����.����

�#.�2���&��@ ��� .��� � ��&��"�� � � & �� � &����.�� � �� �� � .��-@ . �� &��� G�� �

��.4�& �� � ���� R�#.�2���&�R@ �� ��;� � A .� �� ��� &����$(� �1.��& �&���� "��

���� ��.�� ��� � & �� � ��&��"�� � � � � .��-�

�� �)66@ ���� Q P � ��.��� "������ ����� � 4�� S�0T@ ���&����� � ��� � "���

&�.����@ �� ��� .� . �� &�� ���� .��� ����. � �����G& .�; ���.� &����.�;�� ���

�� ����@ ������@ � & *� ���� � ���� Q P � �� � � � ������ B���@ "�� "������ �

� 4�� �� "�2����� &����.������

����� �#"������. ���.� �(� �#��. � ���.�� � ������� ���.� ������������ ��@ �

� ��.��� �� �� ���� �� 1 � �. �.� ���� �� " � ���� � ���.�� � �� ���������������

� ��� ���� .�"� �� ���.�� "�����. �� � �� �� � ������%�� ���"��-2;��� �� �� $(�

�� .��&��� @ �� ��.(� &� �&� �� ���� .� ��;��� � & ��� 1 2�G� @ �� �.� �

"�������� �� �� ���� ����.���� � :� �#��"� �� � .��� �� ���������������

1 ��1&� �� ���-��� 5����7@ ��� 1 ���� � "�� � ��.��� �� �� ���� �� �� 0

�2.��� � 0 �1.����@ � &��A���� � �� � &� ��� �����@ .�� &��� " �K��.��� �� ���� ��@

� � �� � � � � � ��� " � & � �2.�� S�6T� �4 . ��1� �� &� ��" .�� .�� �� "�.4��

���@ &��� � ���� ��������������@ ���.�.�- �� �� �1&�� 8L8@ " � �� �� �� &��A����

,�M��� S�3T � -(� ��.�� � &����.�;�� ��� ����.���� � .� �;��� �(� � ����� ��

�� �� &����.4���� ���"��.� ��� "�2����� &����.����@ �(� A��.�� �� ��#� 0��� < ���� �� ���� ��� �� �@ �� ��J @ � � ��

Page 18: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�0

������ � ���@ �� ���� "������ ��.�� � � -(� ��.�� �� ����� .� ��;��� � ����.��

��� � :� ��.�� .�"� �� � .��� ��� �� ���� �� �� &��&��.� �� �� ���������������

�(� �� � ��.���� �� & ����� S�)T�

< � ��� ���� . � �� ��;����� "�2����� S��T@ ���.�� �� �� �� � "�� &�.����@ ���

&�����.� �� �� ��� & ��� .�"� ����@ � �� �� .��� � �� $%�� ��" � � ���"��

��.�� 4.���� �� & ������� �� ; ���� �� ���� � �� ��.�� $(� �1.�����1.���@ " � �

"�� &�.����@ �(� ���"�&.�; ���.� � � �� �< � � � � �< S��T�S��T

��� G� "������� ���&��� � � ��1&� � �� .N��& �@ &��� "�� �#��"� ��1&�

�� ������>���@ " � �� '�� ""� � &� ��� ����� ��.�;�� � �� " �K��.��� �� �����

�� ���� �� 5� � �� � �<@ � � � � �< � � � � � �<7 � ������ �� ��. �� A��� ���.

5��� � �<7 " � ���.K�&� �� ����2���� ��.�� .N��& S� T� � � ��� &��� ����@ ���

��;�;�� " � ��.��- $%�� �� ����� �� ���� ��@ �(� ��H����� � �.�� .�� S��T�S T�

! "������ ���. ������. $(� ��.4 ������� �� &��.�#.� �� �� "��J�.� � �� ���

��� 1 �#.���(� � *� " � .� . � ���.�� � ��.�N��&�� ������������ �� A��.����.�

&���� &��� ��� "�� " �.� �� +�� � &� ��� ����� S �T� '��� ����. �� ����� ��A��$�@

*� A�� ��.����� " � � ����� �� ���� ��@ ����� "��"��.� �� A��&��� � ������ ��

�& " � ������ �� &���� $(�@ ��� ��A��� � +*! " ��(� "�� ��. � � 2����� ��

+�..����� @ � ��;1� �� 2����� �� ����� S 0@ 3T� � � ��"����. $(� ����� A��&��� @

A�� �.��- �� � �� .- �� D�.�� �# .� �� +��� � V� S )T�S��T@ ����� � ����� "��� ��

�� D!�+*!�

! &��" � $(� ��.�� �� ����. ��� �� A��&��� D!�+*! S��@ ��T � �� ����. ��� ��.��

��� .� ;1� �� ���"� �� ������ �- $(� � � .��- ������ �� 5*?�,7 S��T�S��T@ ��

.1&��& ���1��& ��� ��. ���&�� &�J�� ����� ���1��&�� " � � ����� �� ���� �� �(�

� ����� �� ����@ ���.��� ��� " � ;4���� &��J��.�� �� " �K��.��� � ���� �1��� � +*!

�� � ����� �� �X S�0T� ?�&��.����.�@ �� ��� � A��&��� D!�+*! S �T@ '� <����-�

S�6T "��"N� *� ��"�����.� �� .��"� " � � ����� �� ���� ���

!"�� � �� ��&���� � D!�+*! �� ���.�� & ���@ � 1 �� "��#�� $(� � "��. �.�

.�� �� � ���. $%��� :� �#��"�@ 1 ��� ��� "��#�� $(� �(� A��&��� �� ��� ����

Page 19: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�6

��� �� �� ��� �2.�� &��;���� " � ���� ��� 1 ������ �� &�2.�& �� &��� � &��

.� ���$(� ��� �.��&����.�� �� ��.. �� ���.�� �����>��� �� � �� �����"����&��� �

!1� �����@ � "��#�� $%�� �#��.��.�� A � � �� ��.��� �� .� ���$(� �� A �� �� ��"�����

���� *��� A��� @ 1 �����&� ���& �� ������� "��#�� $%�� " � � A��&��� �

������ �� &���� $(�� '�� ��� ��.�; $(� ��&������� ����;�� � ����� �� ���� �� ��

���� �2.��� " � �@ �@ � � �1.���� �� ��� � A��� ���� � *�� *��.�� �����@ � & ��

�� ���� �1.���� � � �� ��.����� �.�@ J4 ��� 1 � ���.�� �� � �� �����"����&��� � ��

���"�� ��� �#��.�� *��.�� � J��.�G& .�; � �� �� ��.�� � ���� ���.�� @ "������ &�. � �

��&���� �� ��� ��� � ���� ��� �� ��1&� � �� .N��& ��

! ���&��$(� ����� .� � ��@ " �.�� ���.� "��.�@ 1 � � � ������.� � ���� /

B� & "� � 1 "�����. � A��� ���. $(� .�=��& � ���� �� ���&��� � *�����

� ��� � "��.� �� " �.�� 1 � ����� �� ��� �������@ "����&����� � *�@ ��������

&�� "�����. $(� � ����$(� ��� .����� � �������������� � � � ��� $%�� ������� ��

B� & "� �@ "=� � � ��.��� �� ������������ �� ���� ��@ 1 "�����. �� � A��� �

���� ��� �� *� " � �����$(� �� ����� �� ���� �� A -���� � ��� ��.�� �

�H���� �� �&�" $(� � ������ �� ��.�N��& �

B� & "� @ �� ��� ���� A��� ����@ ��.�� ��� � ����� �� ���� �� �� ���� �2.��� &��

�@ �@ � � �1.����@ ��.������� ����@ �� ���"�&.�;�� A��&��� �� �� ������ �� .��& � &���

�� $(�@ ��1��.�� � �.�� .�� � !"=� ����$(� ��� A��&��� �� 1 A��. �� ��.��"��. $(�

A2��& ��� ������� � ���.�� �� � ��� ��.������@ �� ���� �2.��� � ���� �1.����@ 1 ���

����;��� "�� �� ��� �- $(� �# . @ � �� ����. ��� �� ���� �� �1.���� �(� &��" � ����

B� & "� � 1 A��. &��&��(� �� .� � ��@ � �(� ��G����� "���2;��� ������� ���.��@

��� �(� ��J�.�� �� "������ � A�.�� ��

Page 20: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���%���� �

��������� ������� ����� ��

��������� �� ���������

:� � � ����.%�� � �� ���; �.�� � A2��& @ ����� � ��2&�� �1&�� 88@ .�� ���� �

��.��� ��� ���.�� � &��"��.�� "�� ;4�� � " �.2&� � ��.�� ���.�� . �� &��� �� 4.���� �

��1&� �� ����� ���.�� �@ ������� ��&K��& �MK�.�& @ �(� � .�� .�& ���.� ���&��.��

"� ��� $(� �� �&��Y������ S�3T@ ��� " � �� ���.�� �� � " �.2&� �@ ��� ��. ��

��. &���4���@ .�� &��� A��� �(���� .�;2�.�& /

����

���

� ��

����

� ��

���

� ���� ��

��������

��

��� � ���

�������� � ����� 5���7

���� �� � ��� ��� � � � �� � ��� ��� &�� �� ����� � ;�.�� "���$(� � " �.2&� � � �� � ���

�"��� � .���� ��� .� � A��$(� �� ��� �� �� �������� �� 5���7 1 ��.� � ��.��� ��

�� ���.�� /

� ��

���

� ��

����

�� �

��

���

� ����

�� �

��

��������

��

��� � ��� ��

5���7

�3

Page 21: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�)

&�� � @ � � � ����� ���"�&.�; ���.�@ �"�� ����� �� ������ &��1.�& @ ��.�� $(� &�����

�� � � "�.��&� �#.����� ! ������ �� ���.�� 1 � � "��/

� � � � � � �� ���� � ���� ��� 5�� 7

� �� �� ; ���� ��"�� ��� �� ������ &��1.�& @ � ��.�� $(� &������ � � �� "�.��&�

�#.����@ �(�/

� ��� � �

��

���

� ������ ���� ��� 5��� 7

� ���

��������

� ����

������

��� � ��� ���� ���� ������ 5����7

� ���

���

� ����� ����� ���� ���� 5���&7

B� ��. �.�@ � .��. � ����;�� ��� ��� $(� ��A����&� " � �� ���.�� �� � " �.2&��

�@ ��" � ��� &�� �� "����� �� � ��&=���. �� ! ����.(� � ��� ����� & ��@ 1 ��� ��

���.�� � A2��&�� �� ��.������ "������ �� �H���� ���.� �� ��� �� 4.���� 5� ����� ��

;4���� ���7@ � ��� ��"�������. ���$(� �# . � ��� $(� �� �&��Y������ &�����"���

���.��

��.�� �� �1.���� �� ��� " � .��. � ����;�� ��.� "����� ��.(� � &4&�� "��.�� �

.�;� S�)T � � A��$%�� �� ,���� S0�T� B� ��. �.�@ ����� �1.���� �(� �� ���� ��� �� ���

�� .� . �� ��"�����. � �� ���.�� ��.����>���@ &��"��.� "�� ��A����.�� .�"�� �� 4.����@

�� ;�- ��� � &��.� &��"�. &��� �� .��� ��; �2������

'��� .��� .�; � �1.��� ����.� � ��&K��& ��K�.�& �� �� ����;�� � "�����

�� � " �.2&� � ��.�� ���.��@ ������ � �1& � �� 0� *� 5*����.O ��&��� ����O7�

'��� � "�="��� ���� ������@ ��. .���� ��;��&���4�� �� &��� ; ��4;� A��� ���.

������ �� �� & �� ��.�N��& S0�T@ ��� " � �� " �.2&� &�� �� � ��� ��� 5�� ��J @

Page 22: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

�� "���$(� �� � �"�� ��7@ 1 ��G��� "��/

� ���� � ��

��������������������� ����� ��� ���� �� ��� ��� ���� 5��07

&�� ��.��� .� ��� ����� .�� � � &������ � �@ �#&�.� ��@ � ����� A��. ��� �����

.���� �� ; ���� �� �"���

������� ���.� � "�� .����� �@ &��A���� 1 A��.� ������@ ��� ������ �� ��.�N��&

1 �� ; ��4;� ��G&���.� " � ��.����� � �� ���� "��"���� �� A2��& �� ��. �� A��� �

���. �� �� ���.�� ��.�N��&� ��.�� ���.� S�T�

�9� : ����� �� �4����1����

� ����� �� ��� ������� 5���)�67 S�@ �T A�� � "������� & &� � ������

��.�N��& .�. �� �� ���.�� .� ;1� � ������ ��� �� &4&��� ��.���� .� ;1� �����

����� �(� ���.� �H�.�&��@ �(� ��.����� ��� ������ �� �� $(�@ � �(� ���;���� "���

. �.� &��� ����� " � ���.�� � .N��&�� � ���&� ���� � ����� � ���&��;� �1.����

�� 4.���� ��.�� ���.�� ��;������� �� �� "�.��&� �#.���� � ���@ �#��.���� �� �� $(�

��"2&�. ��.�� ������ �� ��.�N��& � ��� � � "�.��&� � ��� � "���$(� �@ "�� ���� �

��� $(�/

� ��� ��

!�

���

� �

�"� ���� �����

� 5��67

����� " 1 � "�.��&� ��2��&� �

���� ��� � � ��� � �� ��� 5��3 7

�� ��� �

�� ����

�� � ������ 5��3�7

&�� �� ��� ����� � "�.��&� �� � �.���@ �� "�.��&� ��.���.4.�&� &4���&�� ! ��� $(�

Page 23: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

5��67 1 � �� � � ������ �� �� �� �4� �� �1.���� �(����.�� ���.�� �� ������ �� ����

A���� �� �� "�.��&� �A�.�;� ���� ����

� &4&�� � ������ @ &��A���� ���� �����@ "��� ��� ��" � �� �� �� � " �.��� :�

�� � &�����.� � ��� � � ������ � &��1.�& � �� ��.�� $(� 5��� �= ��"����� �� �H����

�� �1.���� �7@ ��G��� "�� # ���/

# ��� � � � � � � � � � 5��)7

! ��.� " �&� ��"���� �� "�.��&� �#.���� � ���@ � 1 ��G��� "��/

� ��� �

�� ���� ��� �� 5����7

! ������ .�. �� ���.�� @ 1/

��� � # ��� � � ��� � # ��� �

�� ���� ��� ��� 5����7

���� &��� ; ��4;� ������ �� ��.�N��& @ �#��.� �� ����.��� ���.� �� A -�� ��

�� $(� � ����� �/ � �� �� "�.��&� ��.�N��&� � ��� &��� � � �.�� ��� ������ ��

��.�N��& � ��� &�����"�����.� �� H��& Z !"�� � �� .��� �; � &��� ��� ���@ �(� � ;�

�� "��; �� ��� ���� �� ;��� ��� !����@ . �.� � ����� � �� �.� ��1� �� ���

������ �� ���;� &��� ; ��4;� ��� ���.�� � ��.�N��&�� �(� �� � &��G4;���� ���� ��" ���

A�� ����;��� "��� .����� � �� �������������� S�T@ ��&�.���� �������

�9� ������� �� !�4��"�; � <�4�

�� �)0� S�T@ ��������� � ���� 5��7@ "��"���� �@ .� ;1� �� ���� .����� �@ ���$(�

�� ��" ��� �#��.��.� �� ����� �� ��� �������@ &��A���� ����&� ��� ������/

Page 24: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

�9�9� )����� ������ !�4��"�;1<�4�

��� � �������� ��������� �� �� ������� � ���@ � ������� ������ � ��� ��������

���� � ���������� �����������

*��� A��� @ &����&�� ������ �� ��.�N��& @ "������ ��.����� � � "�.��&� &������

"�����.� ���;�& ���.�� L��� 1 �� ��"��.K�&� �����G& .�; @ "��� ; �� �� ����� H.���

.����� ������ ��� ������ �� ��.�N��& 1 ��G&���.� " � & � &.���- � &��"�. ���.�

� ���.�� @ "����� � ���&��� :��;��� ��"���� "�� � �� �H���� �� �1.����� ! "��;

�� .����� @ . �� "��"��. "�� ���� � �� �@ ��� ���� ;���(� 1 ;4�� "�� � " �

��. ��� �(��������� ���@ 1 ��&��. ������/

��J � ��� �� ��. �� �(��������� �� �� ������ �� ��.�N��& �� �� ���.�� �� �

�1.���� �� �� "�.��&� �� ��� &�����"������� �� ��. �� �� �� ������ �/

� � ���� �� ���� ���� ���� ��� �� � ���� � � � ���� 5����7

���� �� 1 � � ��.��� �� ��A����.� ��@ � � � @ &�� � � � ����� �� �"�� ����� ��

������ &��1.�& � �� ��.�� $(��

��"��� @ "�� ������@ ��� �#��.� �� ������� "�.��&� �� ���@ ��� �(� 1 ����; ��.�

�� ���@ �� ��J @ �� ��� � �� ���� &���. �.� � �� � �����5� ��� �����G& ��� �� � ��

��A���� �� � �� �� �� A ��7� *��� A��� /

� � ���� �� ���� ���� ���� ��� �� � ���� � � � ���� � 5����7

*���� ����� 1 �(��������� ��@ � "���&2"�� ; �� &��� �� ? O�����?�.- S0�T 1 "�&4;�/

� $ ���� �� ���� ���� ���� ��� �� � ���� � � � ����

� $ � �

���� ���� �� ����� ��� ��� 5��� 7

Page 25: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

!� �� ���.�/

� $ ���� �� ���� ���� ���� ��� �� � ���� � � � ����

� $ � �

���� ���� �� ����� ��� ��� 5����7

��� ��� ��� � �� � H.�� � ��� $%��@ &��� ��� /

� � � $ � � � 5���07

�� ��J @ �� &��.� ��$(�@ ��� ���.� ��� ��"���$(� �� ��� " � �� ����� � ���@

�#��.� �� ������� "�.��&� �� ���@ 5. ��� �� ��� � �� ���� &���. �.�7 1 ����� @ ��

��J @ � ��� � � ��� �(� ��.����� ��� ���;�& ���.��

�9�9� $�;���� ������ !�4��"�;1<�4�

����� �� ������� �� �������� � ��� � ������ ��������� � �� ��� ��� ������� !�

��"���#��� �� � ��� ��� $�� �� ��� � ���� ��� �� � � � ���� ���� � ������ ��������

���� � �� ��� � ��� � ������ ����������� � � ���� %�!�&

���� ��� � � 5���67

���� � � � ������ �� ������ ��������� �� ��������

! ������ 1 &��"��. "�� A��&��� ���;��� # ���@ ��� &��A���� ��.� �.��������.�@

��"���� "�� � �� �H���� �� �1.����@ � "�� "�.��&� �#.����@ ��� &�����"���� ���;��

& ���.� I ������ ��� !����@ ������ 1 �� A��&��� � ������ �� ��� .���� � �2����

�� ��� ������ �� ��. � &�����"���� ������ �� ��.�N��& �� �� ���.�� � �����

"��; �� .����� /

'��A���� � �� .����� ��@ "������ ��-�� ��� ������ �� � ��� ��.4 ���&� � ��

Page 26: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

"�.��&� � ��� � �� � ��.��� �� � ���� &��� ������ �� �� ��� ���.�4�� ��.4

���&� � �� "�.��&� �� ��� � �� � ��.��� �� ��� * ���� A��� @ ������ �� � ���

��.4 " � �� A��$(� �� ��� � ���� &��� �� ��� ��.4 ���&� � ��� '��& ���

������ �� ���.�4�� �� ��� �� � ��.��� �� ���� 5 �7/

���� ������� ��������

�� ��� �� ��� �� �

������ � � �

������� 5���37

*� &���� &�� � "���&2"�� ; �� &��� �� ? O�����?�.- S0�T @ "������ G�� �/

�� ��� �� ��� �� �

������ � � �

�������� ���� ��� �� � ��� � � � ���

���� ��� � �� 5���)7

*� &���� &�� � ������� .����� ��@ � ��. �� �� ����� ������ &�����"���� ������ ��

��.�N��& � ���@ � �� ���� "��#�� $(� �� ��� "�& � � A��&��� �� ������ @ "��;�& �4

�� ����. �� &�� �� ��"�� ��@ �� ��J ���� ����

B� ��. �.�@ "��; � � "�� ��������� � ���� S�T �= 1 ;4�� " � ��. ��� �(��

������� ���� !"�� � � � �;��>�&� �@ �#��.� �H;�� �� �.� ; �� �� ������ .����� �

" � �� ��. ��� ������� ���� ��� �H;�� A�� ���"����� "�� ' "�� � &� ��� �����

S0�T@ ��� "��; � � ��� �� .����� � �� �� ��.���� � " � �� ��. ��� ������� ����

�� .����� � �� � � �.�� ��� ������ �� ��.�N��& 1 ��G&���.� " � ���&��;�� ��

���.�� @ "��1� �(� ���.� � &��� & &� � ������ �� ���.�� � � "��&������.� ���

& &� ������ �@ A�� "��.��������.� ���&��.� "�� V� ���� � +� C� �� � S T@ ����� � ��

���&�.������4 � ��$(� ������.��

Page 27: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

�9� ��=���� �� <�4�1$4��

�� .����� � �� �������������� � � �.�� "�������� �� �� �� ���� � �� ���.��

�� ��� ������ �� ��.�N��& &��� ; ��4;� �4��& � B� ��. �.�@ ����� .����� �@ �(�

��. ���&�� �� "��&������.� " � � &4&�� �� ������ �� ��.(�@ V� ���� � +� C� �� �

S T@ "��"���� � �� &��J��.� �� ��� $%��@ ������� � � ��� $%�� �� ������� �@ � �

�� �� �� ���.�� �� " �.2&� � ��.�� ���.�� 1 ����.�.�2�� "�� �� ���.�� �� " �.2&� �

�(����.�� ���.�� 5����"�����.��7 �����.�� � �� "�.��&� ���.�4���@ ��� ��"����- �

&����$%�� �� ���.�� ��.�� ���.�� ��� ��� �$ 1 A��. &������� ��� � A .� �� ��� ��

���� �� ���.�� �@ ��.�� ���.�� �� �(�@ ������ �� ��.�N��& 1 ���� @ "��;��. ����

�� ���"�&�� �� � ���$(� �� �� ���.�� �(����.�� ���.��

� � &��� � � ������ �� ������� �@ 1 ��&���4��� ���� � ��� � A��&��� �

������ �� " � ������ ��.�N��& .�. &��.1� � ��& ���.� .�>� .�����/ ������

&��1.�& 5� ���7@ ��.�� $(� 5� ���7 � � "�.��&� 5� ���7�/

��� � � ��� � � ��� � � ��� � 5����7

������� ����� ��- � � &��.�����$%�� " � ������ ��.�N��& �� �.� & � .�"� ��

������ �

�� "������� �� �@ ������ &��1.�& "��� ��� ��;���� �� ���� .�"��/ �� " �.2&�

����"�����.� �� ��� � �� &���� $(� �� ���� � A��&��� � ������ &��1.�& �� " �.2&�

����"�����.� 5�������������7@ �� ���@ 1 � �� "� �#"����(�/

�� ��� � �� �%� ���� ���

��

�%� �����%� ��� �

�� 5����7

��� &�����"���� �� "����� ��� �$ �� 5��� 7@ � �� A��$(� �� ��� .�.

�! ��A����$ ��.�� ��. $(� �� �� A��&��� � �� �� A��$(�@ 1 ��� �� �� A��&��� �� ����&�&��.�� � � � � � �� �� A��$(�@ " �>�.���� � � ��

Page 28: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�0

1 .��& � "� A��$(� �� ��� �� & � " �.2&� %�@ ;��.� ��� �� .� . � ������

&��1.�& �� �� ���.�� �� " �.2&� � ����"�����.��� ��� ����.�.��$(� 1 A��. "�� & ��

� &��"�#�� �� ��� &4&��� ��;�;���� A��$(� �� ��� .�. @ ��� ���� �� �A��.��

�� ���.�� &��"��� ��� ��.�� ��@ ������ &��1.�& �� &���� $(�@ ��� &�����"����

��A����$ ��.�� ������ &��1.�& .�. � �� ���@ 1 � � "��/

�� ��� � � ���� �� ��� � 5����7

! ������ �� ��.�� $(� � @ ��� &�����"���� ��� � � ��.�� $%�� �1.�����1.���@ .��

&��� " �.� "���&�" ������ �� � �.���@ ����. � "�� �� ��� S0�T �/

�� ��� ��

����

�����

� ���� ����

�� � ��� 5����7

���� � ��� 1 ������ �� ��.�N��& � "���$(� �� ��� �#"����(�@ �4 ������ �� ��.�� $(�

��.���.4.�& &4���& ��.�� �� �1.����@ �� ��J @ ��.�� $(� ��.�� & � �1.��� � ������ ��

�1�� �� & �� �� .���� �� �1.���� �� ���.�� � ! ��A����$ @ ��&�����.� � ����.�.��$(�

�� � "�� �� @ ����. � "�� ���@ 1 � � "��/

��� ��� � � ���� �� ��� � 5��� 7

��G�@ ���.���� &����&���� �� ��� � �� ���@ "������ ����� ��- � � A��&��� �� �����

�� 5����7/

��� � �� ��� � �� ��� � � ��� � �� ��� 5����7

���� �� ��� 1 ������ �� .��& � &���� $(�@ ��� &�����"���� ��A����$ �� ������

��&�����.� � ����.�.��$(� �� � ��� "�� �� ��� � �� � ��� "�� �� ���@ �� ��J /

�?� $(� �#"���� �� ���� ��� .N��& �@ �� ��J @ � � � � ��

Page 29: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�6

�� ��� � �� ���� �� ���� � �� ���� �� ���� � �� ��� � ��� ��� � 5���07

��G�@ ������ �� .��& � &���� $(� ��H�� .�� ��A����$ ��&�����.� � �����

.�.��$(� �� ���.�� ��.�� ���.� "�� �� ���.�� �(����.�� ���.�� �� ��� @ ��&��;����

�� � � � �@ ���� � 1 ������ �� .��& � � 1 ������ �� &���� $(��

'������� ��� ��� *� �� � ��� � ������ �� ��.�N��& " � ���&��;�� �� ���.�� �

��.�N��&�� � ���@ �� &���� &�� � �� .����� ��@ ������ �� ��.�N��& �� �� ��

���.�� �� ��. �� A��� ���. 1 ��� ������- � A��&��� �� ������ @ .������ � �2����

� ��� $(� 5����7@ &�� �� $(� ������ �� � �

& ���

&� ����

&�� ���

&� ����&� ���

&� ����&�� ���

&� ����&�� ���

&� ���� � 5���6 7

�&�� ���

&� ���� � �� �� � �� �� �� � ��� �� �� � � 5���6�7

���� � �� �� � &� ��� �&� ��� 1 � "�.��&� "����-��� "��� �H&��� ��� 4.���� �� ���.�� @

�� �� �� � &�� ��� �&� ��� 1 � "�.��&� �� � �.��� � ��� �� �� � &�� ��� �&� ��� 1 �

"�.��&� �� .��& � &���� $(��

��J ��� �� ���.�� �(����.�� ���.� 5&��"��.� "�� " �.2&� � ����"�����.��7@ ��

������ �� ��.�N��& ��� B���� & ��@ �= �4 ������ &��1.�& �� & � " �.2&� 5��7 � �

"�.��&� @ �(� � ;���� � .���� �� ��.�� $(� 5�7� ��.(�/

� ���� � �� ���� � � ���� � 5���37

*� &���� &�� � ������� .����� ��@ ��;���� "�& � ������- $(� �� �� $(� ��

5 ���� &��� A�� A��.� �� 5���6 77/

&� ����

&�� ����

&�� ����

&�� ����&�� ����

&�� ���� � 5���) 7

�&�� ����

&�� ���� �� ��� �� � �� 5���)�7

Page 30: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�3

&�� �� ��� �� � &� ���� �&�� ��� ����� � "�.��&� ���.�4���@ ��&����� �� � ���� &���

;�����.�@ �� A��� ��"����-��@ �� ������ ������� �@ � ���.�� ��.�� ���.��

! �� ��� ��1� �� ���� � �� � S T A�� �� � � ���.�� �(����.�� ���.�@ �� "�.��&�

�� ��� ���.�4���@ " � ��.����� � ������ �� �� ��. �� A��� ���. �� ���.�� ��.�� �

���.�� �� ���� �� ���.�� �@ ������ �� ��.�N��& 1 ���� @ �� ��J @ �� ��� � � ��� �

��.(�@ &��" � ��� 5���6�7 � 5���)�7@ .����� ���/

���� �� � � ��� � �� �� �� � ����� ��� 5����7

�� ��J @ ��� 1 �#"����(� ��� & &� � "�.��&� ��� ��&����� " � ��� � ���.��

�(����.�� ���.� ��"����- � ���.�� ��.�� ���.��

� ���.�� �(����.�� ���.� "��� ��� ����;��� A &����.�@ "��� 1 �� ���.�� �� " �.2&��

� ����"�����.��� ?���;���� ��� $(� �� �&��Y������ &�����"�����.� " � " �.2&�

�/ ���

���� � ���� ��

�%� ��� � '�%� ��� 5����7

��.����� ��� ������ �� ��.�N��& � ��� "��/

� ��� � �� ��� ��

(� �%� ����� 5����7

���� (� � � �� � 1 �&�" $(� �� ��1���� ����. �

�� �2�.���@ � ������ ������� � 5��7 &�����.� � ������.� ��.�� @ ��"�����. �

� ����� �/ ���&� ���.�@ 1 .����2�� �� ; �� ���.�4��� " � ������ �� ��.�N��&

5������7@ ��� ��.����� �� "�.��&� ���.�4��� ��������� ��@ ��� "�� �� ;�- ��.�����

�� �.�; �� �� ������ 5'�7 � �� &�����"�����.�� �.���. ��� ��� ��� � �� ��; ����

��� �� ��.�N��& 5��7� ��.(�@ ��� ������ �� ��.�N��& �� ��.� �� "��&���� &��� �

��;� ������@ ��.����� ��� �� ; �� �� ����� �� � ���� ��&����; ���.�@ .1 ��� "=� ��

��.����� �� �H���� �� �.�� $%��@ �� �.�; ���� �� ������ 5'�7 � �� ������ �� ��.�N��&

5��7 &��;����� " � ���� ���"�&.�;�� ; ���� ��. &���4�����

Page 31: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�)

����� �/ ������ ������� �

���. �.�@ � ������ �� 1 �# .�@ "�� � �� �� ��"����. $(� �= "���� ��� A��.

������& ���.�@ � �.��&�����.��.�@ J4 ��� � "�.��&� �� ��"���� � ������ �� ��.�N��&

��� 1 �� ���- ��� �� ����J ��.����� ��

�9# -�������(�� ��� ���;�� �� ���� � ���1

��� �

!"�� � � *�@ &��"��. "��� .����� � �� �������������� S�T � "� � ��� $%�� ��

���� � �� � S T@ ��� �# . @ G&�� �� �� ��� &�� �� ��� ��- ���"��.� I ������ �� .��&

� &���� $(� 5��7@ "��� ���� A���� $(� �(� �4 �� ��&��. ��� ��.������ �# . ���.�

���� � L��� .�� ���� ;� �� ��H��� � "������ �@ ����� ��� �� ��. ���&�� � �� �&��&��

� *� .1 ��J�� �#&�.� " � ���.�� � �� ������ " �.�&� ���@ �(� �4 &��� ����-��

�# . ���.� � A��&��� �� .��& � &���� $(�@ "��� &����&>�� ��"�& ����;�� �# . ���.�

��� $(� �� �&��������� " � � ���.�� @ � ��"�������� �� " � . 1 ��.�; $(� �

&�� $(� �� A��� ���� *��

Page 32: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

�9#9� -������� � �� ��������� 7����

! !"��#�� $(� � *����� �� +�& 5+*!�+�& *����.O !""��#�� .���7@ "������

� � "��#�� $%�� " � ������ �� .��& � &���� $(�@ A�� "��"��. "�� ���� � �� �

�� ����� �.��� �� ��� 1 ���&��.� � &��J��.� �� ��� $%�� �.��&�����.��.�� S T� �

"��&������.� &�����.� � "�& $(� �& � ������ �� .��& � &���� $(� �� �4� ��

�1.���� �����>���� ! ������ �� .��& "�� ���� �� �� ;���� 1/

��� � �� ���� � �)�

!

������������ 5����7

��� ��� �� .��� � ��" $�@ .����� ��� ������ �� .��& .�. �� �� ���.�� �����>���

1 � � "��/

� ��� � ���� ��� �

���� ��� � ������� 5��� 7

! +*! " � � A��&��� � ������ �� &���� $(� � ��� 1 ��.����� � " �.�� �

" � ��.��- $(� ��� ����. ��� �� ���.� ' �� ��K�.�&� S0 T�S6�T�

! +*! 1 ���.� �.��- � �� ��.��� �� �=���� ��.4�&��@ "��� 1� �� �G&���.�@ "���

��� �� � �#� &��.� &��"�. &��� � B� ��. �.�@ " � 4.���� � ��1&� �@ ��� �� ��

���.�����$(� ��.�N��& 1 . ���.� �(�������>�� @ +*! 1 �� "1���� "��#�� $(��

�9#9� -������� � >������0��� �� >������� �� ���������

B .��. .�; �� &������� �� ����� "��;�����.�� � �(������������ �� � ������ ��

��.�N��& �� ��" $�@ "���&�" ���.� ��� ���.�� � ���&� ���@ ��.����-����� &����$%�� I

+*! ��� ��"���� � �� �� ����.� � ������ �� ��.�N��& � � "������� ������ ������ A��

� ,�! 5,� ����. �#" ����� !""��#�� .���7@ �� �� A�� � ��.����-���� .����� &���

� �� ����.� � ������ �� 5. �� &��� ������� �@ ��� ���@ �.&7� :� �#��"� ����� 1 �

A��&��� �� V���[&Q�� S0�T/

� � �� �

������� ������� ���

5����7

Page 33: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

B� ��. �.�@ ��.����$(� �� �� ����.�@ 1� �� .��� � �� &4&��� ���.� � �� &��"�#��@

�� ��� @ �(� ��"�& �� ����. ��� � �� ��G� ��� ��� �� �1.��� +*!�

B �1& � �� 3�@ " ������� .��. � �#" ��%�� � �� ��� �� �� � ��� � �����@ ��� ����� A��&��� �� ,,! 5,� ����. ,���� �-�� !""��#�� .���7 ���@ �� A��� ��� @ �(� ��

.�"�/

����� ��� �

���� (�� ��� �� ���� 5���07

���� ��A����$ ��.�� �� ,,!\� ���� A��$(� ( ��&���� � �� ,,!\� � �� �� ���

�(� )�� 5����. ��� � A��&��� "��"��.� �� �))0 "�� )����P@ ���Q�@ � ���-����A7@ �

�78) 5����. ��� &����� $(� �� A��&��� �� .��& �� D�&Q� S0T &�� � A��&��� ��

&���� $(� �� +��@ U �� � � �� S6T7�

�� A��&��� �� ,,! �(� � �. �.� "��&���� ��� &4&��� �� ������ .1 � "��.� � �

�� $%�� ��2��& �� B� ��. �.�@ A � � �� &4&�� � � A��$ � � �� A� & �@ � ��� .� � ���

��&��.�� ;>� .��. ��� ���&��;�� �� � ���� � �� �G&���.�� :� �#��"� �����@ 1 � A���

&��� �(���& "��"��.� "�� B� !� +�� � �� C ' � � S6�T@ ��� ���&��;� � ��.�� $%�� ��

; � ��� V � �� ���.� ����.=.�&�@ � � ��� ��� "��&�� �� �� � ��� �����;�;����.�

" � " � "�& ���� �� �� &4&��� �� ��.��.�� ��.�N��& �

Page 34: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���%���� �

������ � �� ��� ��� � ����� ��

!�""��

�9� : ����� �� !�""��

� ����� �� ���� �� � �1& � �� ��@ A�� �� �� "�� � �����@ ��"� � � � �� " �

&4&��� �� ����. �� � ��1&� �� < �� $%�� �� ����� A�� � �� � � ������M��.����.�

"�� �� !������� � ��.���@ �� ��A����.�� &��.�#.���

! A��� ������ �� ����� �� ���� �� A�� ��.����-�� ����"�����.����.� "��

,�.-P��� S6�@ 6�T@ ���� �� S6 T�S60T � � � ���O S66T �� ��2&�� � �1& � �� 0�� �

��J�.�;� �� ��.�� � �� ��. �� �� .� ���$(�� !"�� � � " ���.� ���"�&�� ��@ � �����

�� ���� �� ��� �(� A�� &��"�������� &��"�. ���.� S63T�

!.� ���.�@ � ����� �� ���� �� .�� ���� �� �� �� ��.��� �� ���.�� � A��.����.�

&���� &��� ��� � �� ��"������� � ��1.�& �� '������� ��� ��� ��.� 1 � ����� " ��(�

� A2��& �� ��. �� �=���� ! "���&�" � -(� ����� 1 ��&��(� � &���� $(� ��.�N��& @

��� A - &�� ���@ "�� � � " ���.� ���"�&�� ��@ � ����� ���&��; �� A��� �G&���.�

�� �����;�;����.� �� �1.���� &��"�. &��� �� "�& ��� 4 ��&K��& �MK�.�& @ ������ ��"�@ ���>��� B��� �� W�2��& �� �))3@ J��. ���.� &�� V .�� �����

��

Page 35: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

���.�� ���.�� � �#"������. ���

B� ����� �� ���� �� �� �� �2;� �� ������ "�� �2.��@ ��� 1 ��.� $(� ��� ���

��.����� @ �� �1.���� ��.(� ���.����2��� ��� �2.��� � ����@ � & � �2.�� "��� ��. � ; -��

�� &��.�� � �� � �1.����@ � ���.� H.��� & ��@ �� �1.���� .�� ��� .�� �"��� �"��.�� "��

& �� �� "���&2"�� �� �#&��(� �� � ��� ! ������ �� ��.�N��& 1 ��.����-�� �� �����

.� ;1� � ������ �� ���� �� .� ��A��>�&� ��.�� �2.���@ � �� �1.���� "���� ��.�� ���

��.�� �� �� &�� � �H&���

'�������� � � ��.��� �� �� �&��Y������ �� "������ �� �.�- $(� 5���7/

� ��

���

� ��

����

�� �

��

���

� ����

�� �

��

��������

��

��� � ��� ��

� 5���67

B "������ �� �.�- $(�@ A��$ ��.�� " �.2&� � 1 .� . � & ���& ���.�@ ����� ���

"�� � "���$(�@ �����.�� � ��.� � �����;4;��� �(� ��"�����. � � "�� �"�� ������ B����

& ��@ �� �"�� ����� "���$(� �� � �����.�� ��@ ���"��. � � "���&2"�� � ��&��.�- /

��� ��� � ��� 5���37

*� ���� �4���@ & �"�� ��K�.�&�� �(� ��.���� ����.�.����� � & �"� &4���&� ���

� ��� �����.� &��J�� �� ! ��� "�� �"�� ����� �����&���� �� $%�� �� &���. $(� � �.��

&���. $(� " � �=���� � A1������@ ���"�&.�; ���.� 5������ �� �.�- $(�7� !� &������

� � � " �� � ��� "�� � " �K��.���@ ��A����.� � ��&K��& ��K�.�& ���� � .��"�

1 �� " �K��.��@ ���� �.� "���$(� 1 �� �����;4;�� L�.� 1 ��"��. �.� " � ��� ��

� �.��� ��; ��K�&� �� .�;2�.�& � .���� �

! " �� ��� � "������ " � ������ �� �.�- $(� �#��� ��G��$(� �� ���� �"��

� �����/ �� ����� $(� ���� � &�� $(� ������ � �"�� ��� �� ����� $(� ���� ���.�=� ��

�1.��� �� �"�� � 5 �� �7 �� �2.�� �@ ���� �.� � �"�� ��� &�� $(� ����� &�� �� �1.��� ��

�"�� � 5 �� �7 �� �2.�� �� '������� ��� �� ��. �� �� �� ���.�� &��"��.� "�� A1������

Page 36: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

5��� 1 ��.� $(� �� ��.������7@ ����. ��� �� ��. �� "��/

� � � ��� �� ��� �� 5���)7

���� �� � � � ��"�����. �H���� �� �1.���� �� ����. �� ! $(� ��� �"�� ����� ��

����� $(� � &�� $(� �� �� � �� ��. �� "���� ��� ������� � /

���� ��� ��� �� ��� �� � ��� ��� �� ��� �� 5�� � 7

���� ��� ��� �� ��� �� � � 5�� ��7

����� ��� ��� �� ��� �� � ��� ��� �� ��� �� 5�� � 7

����� ��� ��� �� ��� �� � � 5�� ��7

:� ��.����� �� ��. ��@ "��� ��� &���.��2�� " �.�� �� "�& $%�� ��&����; � ��

�"�� ��� &�� $(� � ;4&���

������

�� ������

����������

����� � ��� �� ��� �� 5�� �7

!1� �����@ &������� ��� � & �� �� A1������@ �� �"�� ����� �� ����� $(� � &�� $(�

�����&�� I� ������.�� �� $%�� �� &���. $(� �/

����� ����� ����� �

��

�� � 5�� � 7

����� �

����

�� &�� �

���� �� � � *

� �� � � *5�� ��7

!�� ��.����� �.�@ 1 ��� � �"�� ��� �H���� &�J �#"����(� 1 � � "�� �� � ����� A -

&��. ��� �� �H���� �� �1.���� �#��.��.� �� �2.�� �@ &��A����@ ���4 "��; �� �������

�'� � ��� �� �.�&���. ��� I �#"����(� ����� � �� ���

Page 37: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

!"�& ��� � �"�� ��� �H���� �� ��. �� ���1��&� � � �

�� ��� � ��������� ��� ��� �� ��� �� 5�� 7

'��� �� � � �/

7 �� �� � � �

�� ��� � ��������� ��� ��� �� ��� �� � �

�7 �� �� � � �

�� ��� � ��������� ��� ��� �� ��� �� � ����� ��� ��� �� ��� �� � ���

+���@ � ; �� ��"�� �� �� �"�� ��� �H���� �� �2.�� � 1 � �H���� �� �1.���� ����� �2.���

�� �� � � ��.(� ��� �� ��� � � � �� �� � � .����� ��� �� ��� � ��� �� � �@ � ��� .�����

"��; �

��&��;���� �#"����(� &�����"�����.� 5���67 �� ������ �� �.�- $(� " � ��

���.�� �� � �1.���� �� � �2.���@ &��� ��� � � ��.��� �� �� ���� �� �/

� � ���

�������

������������ �

��

���

�� ��� ��� ���

�����

�� ����� 5�� �7

B��� �#"����(�@ � "������� .���� �� ��A��� ������ �� ���� �� �2.�� � " � � �2.�� *@

� ������� .���� �� ��A��� ��.�� $(� �1.�����1.��� �� & � �2.�� � � .��&���� �� ��A���

��.�� $(� �1.�����H&��� ! ��. $(� �� *� �����G& ��� � ��� � �� � � * �(� .�� � �

"�� � ����� �� �2.��� ;�-�����@ �� ��J @ * � �� �@ � ���� 1 � �"�� ��� �H���� �� �1.����

&�� �"�� � �� �2.�� ��

�� " �K��.��� ���� �� � �� �(� ������� ��� ��.��� �� ����@ �� '����� � ��

�! " �� ��� �� � ��.��� �� �� �&��Y������ " � � � ��.��� �� �� ���� ��@ ���� &��� ����$(�" �K��.��� ���� � �� � � 1 A��. �� ��#��

Page 38: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�0

��.�� $(� �1.�����H&��@ ���"�&.�; ���.�/

��� �

�+� ���

�� �

����

�+� ��

�� �� 5�� 0 7

�� ��

����

�+� ����+

� ����

���

�����

�+� ����+ ���� ������ 5�� 0�7

�� �

�+� ���� ����+� ��

�� ��� 5�� 0&7

B���� �����@ ��.��� �� ���� 1 "��� ���� �� �� �� �1.��� �� �2.�� � ��A���

.��� ���.� " � � �2.�� *� ���� "��&���� �� �4 �2.�� �2.��@ �� A��� ��� ����� .� � ��

�= A�� &������� �� � ���� ��.�� �� "�������� ;�-������ L��� �� ��;�@ �(� I ��"��������

� �� �� ���� �&����� ��.�� �� �2.�� � � ������� ;�-����@ � � I "��� ���� �� 2�G�

����� �&����� �� �.� �� ��� � ����� �&��� " � � "������� ;�-����� ��.(�@ ���"��- �

���� .���� �(� ��&���� �� ���� �����G& .�;�� ���1�@ ��"����� � "�& $(�@ "��� ���

&������� �� � ���� &�� � "������� � � ������� ;�-���� S� @ ��T�

�9� ��� ��� � ����� �� !�""��� ���������

>���

! ��$(� �� ����� �� ���� �� " � ��.�� � ����&����.���� A�� A��. "������ ���.�

"�� �� ,��� �����@ �� �&�Y�� ��� S6)@ 3�T� *� &���� &�� ���@ .� � ��� �.�������

� �� ��� � +*! A � ; � � ���&��;�� � � " ��� ����&����.����@ ��� �� �����.�� ��@

��;��� "�����$ �� �� ���&��.����� �� �� "�.��&� �� .��& � &���� $(� �# .�@ ��

����� I "�="�� +*!@ ��� �(� �� "��"�� � " � ���&��;�� . �� ���.�� ��

B ����>�&� @ �� ,��� ����@ �� �&�Y�� ��� � ?� �� B� &Q S3�T@ A��� �- � �

"�& $(� � *� � ��.��� �� ����� ������������ �� �� ���� ��� !� ��;1� � ����

��� �� ��.�N��& @ ���� A��� ���� .��� &��� ; ��4;� � �H���� �� �&�" $(�� *���

A��� @ ��.����� ���� �� .����� � �������������� � � ������ ������� �@ "�="����

Page 39: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�6

� *� .� ��&��� " � ��� ��; ;���(� � *�� B "�4.�& @ ���� A��� ���� ��. ;

�� � ��� ��.�� ������ �� ��.�N��& ���� � � �H���� �� �&�" $(� ��� '�� � ��

���. � ��� @ A�� �� �� � A��&��� +*! � *� " ��(� " � � ����� �� ���� ���

� � ��� "��.������� ���.� � � ����. ��� ��� "��. ����� �� .�& �.� � ��� � +*!

"�� ���� A��� ���� S3�T� � ��.�;� ���.� A� & ��� A�� "��. �� &��� ����� �� ���.��

�� ��A��>�&� ��. �� " � &���.��$(� ��� A��&��� �� �� .��& � &���� $(�@ J4 ��� �(�

�� "��� ��.�� � ���� � ���.� � "��"���� ��� ��.�N��& � �� �� ���.�� ���������

���� 52����� �� +�..����� 7 " �.�� �� �� A��&��� ��� A�� &���.��2��@ &�� � �� � �

"��"���� ��� �� �� ���.�� ��.�N��&� .����������� 52����� �� �����7�

:� "����� ��.����� �.� 1 � �� �� ��� �.�� �� ��..� :� �#��"� ����� .�"� ��

� .��� 1 � B��� ����� � .��� ��@ �� ��� ���� ��� "� .���� �� � �� �@ &��"��. ��

�� &��� &����.����@ � � � "�4.�& �(� ��� �.��� � &��"��. ���.� ��� �.�@ ����� & ���@

.�� &��� & �� � �A��.� &��"�� .�;� ��� �1.����� ! �#.���(� +*! � �� � �� �����

�� ���� �� A� & ���� �� ��� "�& � �� ��� �.�� �� ��.. S3�T@ � ��� �;�� &��� ���

+*! �(� �� "��"�� � " � ���� .�"� �� ���.�� �

B� ��. �.�@ +�� � &� ��� ����� S 0T &��G�� � � ��� ���� A� & ��� �(� �� ��;� �

A��&��� +*!@ � � ��� � ���.�� �� ��A��>�&� ��. ��@ �� ��J @ � A .� �� A��&���

+*! A��&��� � ��� " � �� ��. �� � � " � �� ��� �.�� �� ��;� � A .� �� ��� ��

��. �� �(� ��� ���� ��� "�� �4� �����>��� �� �1.���� � �� ��� �.�� �(��

B ���M��&� @ B� !� +�� �.� � A���� � � � ��� A�� &� � �� �� A��&��� D!�+*!

S �T� ���� ���� �� ��;� � A .� �� ��� �� A��&��� �& "�& �� � ����� �� ���� ��

�� ��� � !�� .- �� D�.�� S �T/

�������� ��� � � �

����� ���� ��� 5�� 67

����

� 2����� �� +�..����� 1 �� ����� .�=��&� ��� ���&��;� ��.�� $(� ��.�� �1.���� �� �� ���.�� ������������ �

Page 40: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�3

����� ���� � �

�, ���

!���

�!�

, ���

� 5�� 37

&�� , ��� ����� �� �H���� ��.����� �� " � & � � @ "� �� $(�/

��, ���!

���

�!

,

�� ��

��-� ���-� ���

� �� � ��� ������� 5�� )7

���� -� ��� � -� ��� �(� � A��$%�� �� D���� �� ����� � � �� �� �����@ ���"�&.�; ���.��

W� �.� �� ����. ��� �� A��&��� D!�+*!@ �� &��" � $(� &�� ��.��� �1.����@

. �� &��� *?�, 5� .��# ?����� �- .��� ,���"7 S��T �� � ���.� ' �� W�K�.�&�

S3�T@ �� ���.� � � ����; ��.�� " � ;4���� &��J��.�� �� " �K��.�� S�0@ 3 T@ � � ��A�����

��� " � ��.��� 5��.�� ��.��@ ����� "����� �7� ���� ����. �� 1 � �. �.� �����G& .�;�@

"������ ���.� "�����@ � *?�, 1 �� .1&��& ���1��& ��� ��. ���&�� � .�� ��

"��&��(� � ����� �� ���� �� ������ ��� ��.�� ��@ �� &4&��� ;� *?�, �� ���.�

' �� W�K�.�&� .>� �� .� &��.� &��"�. &��� @ � ��� �#��� �� �� ��.��.�� &���

"�. &��� " � ��� �� ������ �� �� �-��� !����@ *� "�����. ��� &��� �� ��

.��� .�; @ ;��.� ��� .�� �� "��&��(� � .��A .=�� 5��"������� �� A��&��� �� .��& �

&���� $(� � �� ���.�� ��.�� ��7 � �� � �#� &��.� &��"�. &��� �

* ��� &��.����� �� ��. � "������ � �#.���%�� � *� " � � ����� �� ���� ��@

���. ������. $(� "�����. �����4 ����$(� �� A��&��� �# .� � ������ �� .��& �

&���� $(� �� ����� �� ���� �� �� ���� �2.���� ! ���$(� �# . ����� ���.�� 1 "���2;�@

� ��"����� �� �H���� �� �1.����@ ���$(� "��� ��� ��.�� � �.�& ���.�� B

�.�� .�� �(� � �2������ �� ���.�� � ��.�N��&�� ��.�� ���.�� " � �� �� �� �� &����&��

�� A��&��� �� �� .��& �&���� $(�@ � ��.�� & ��� �(� �� "��&� ��.������ "�4.�&� ��;��� I

�� ��� ���.K�&� &��&��.� ��� ������ �� �� $(� �� ���.�� � ��.�N��&�� �� ��� B(�

1 � & �� �� � ��.��� �� �� ���� �� �� ���� �2.��� ��� ���� ���.� ��� ���.�� �

����� �.�� I ��1&� �� ������>��� S� T@ ���� �� �2.��� �(� �� 4.���� &�� �� �� �� ��

�1.���� ��.�� ���� ��� ��.�@ ��"�� ��� " �.�� �� ��.��� *� �� ����� �� ���� ��

���.� ���.�� � �� ���"�� ��.�� &����&����.�� ��� &����- � I A��&��� �� �� .��& �

Page 41: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�)

&���� $(� � �� "��&���� " � ����� �� ���� �� � �� &��"�# ��

�� �� .� . ��� �� �� ���.�� �� ���� �2.��� �� ��� �� ��� � ����� �� ���� ��

��.������ 5�� �� �� �1.���� �� �2.��� ;�-����� ��.�� ��� ��.�� ��7@ �� ����� �� ���

� �"�� " ��� ��.��A���� � ��.�� $(� �1.�����H&��@ "����� ��� .�� � " �K��.��� ��

&���&��. � .����� � ����� �.��- �� ���.� .� � ��@ �� A��� ����;�� � "����� @ �

��� ���� A &��. �� �(� �= "�� �� � ��� ��� ���$(� �# . 1 "���2;�@ &��� "�� &����&��

���$(� "�����. � ���.� .�#.�� ��� ��.�� ��@ �� �� .� . ��� �� �� ���.�� &�� � ��

�2.���@ "����� ��� ����-�� �� "��#�� $(� ����� ��� D!�+*!@ " �.���� �� A��&���

�# .� " � � ���.�� �� ���� �2.��� ��� ����-����

Page 42: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���%���� #

��� ��� � ����� �� !�""�� ��

���� $%����

� � ��.��� �� �� ���� ��@ &�����"�����.� � ���.�� �� ���� �2.���@ ��� ���4 �.��- ��

�� ��� �� �� �.�@ 1/

� � ����

�����

���������� ������ ���

���

�� ��� ��� ���

���

�� ��� 5 ���7

&�� ���� � ��������� 5�����.� �� &��J�� ��7�

'��A���� ���� �� ����@ � � "���&2"�� �� �#&��(� �� � ��@ � ���.�� �� ����

�2.��� "��� .�� �� �4#��� �1.����@ � �� �� ����� �2.�� "���� � ;�� �� �4#��� ����

�1.����@ � ��.�� ��;�� .�� �"��� �"��.��� *��� A��� @ ����� & "2.�� ���(� ����;����

� ����� �� ���� �� " � �� ���.�� � �� ���� �2.��� &�� ���"�&.�; ���.� �@ �@ � �

�1.�����

! ��.������ ��� ��. � " � &��� � �� ���"�&.�;�� A��&��� �� �# .�� �� &�����

$(� 1 " �.�� �� �� A��$(� �� ��� @ �#"���� &��� &����� $(� ��� � � � "���2;���

&��G��� $%�� �� ���.�� @ � ��.(� ����-�� �� �#"����(� " � ������ .�. "�� � ��

.����� � � .��- ������ ��� !����@ �� ��� � "���&2"�� ; �� &��� �� ��. �� A��� ����

Page 43: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

. @ &��� ��� I �#"����(� � ������ .�. �� �� �� ���� �����;4;� �� .����� "�� �

��� �H����� �� �&�" $(� ��� �2.���@ ��� ���(� &� � ��� �� ������ ��� �� � ��� &��

;���(� �� "������ �� �.�- $(��

� ����.�� ��� "��"��.� ���. ������. $(� " � &���.���� A��&��� �� � ������ ��

" � ������ .�. @ � "��. �.� " � ������ �� .��& �&���� $(�@ .�� &��� "��.� ��

" �.�� �� A��$(� �� ��� ��&��. &��� �� &����� $(� ��� � � � �� �� &��G��� $%��

�� �1.���� ��� ���� �2.���� ! ��.�; $(� �� . ��&�� 1 ��� �� ��. �� A��� ���.

A��$(� �� ��� �� ���.�� 1 ���&��. "� &����� $(� ��� � � � "���2;��� &��G��� $%��

�� ���.�� @ � �� &��G&���.�� ���� &����� $(� "���� ��� ��.���� ;� �� ��� �- $(� ��

� ��.��� �� 5 ���7 � .��A -���� ��� $(� ��&� � �� �.�; ����� � "��.� �� " �.��

���. ���� ��� 1 ��� �� A��&��� �� �� .��& �&���� $(� �# .�� ��"�����(� �#"�&�. �

���.� �� �H���� �� �1.���� ��� &��"%� � ���.�� ��.�N��&� �� ��.��� � ���@ &��A����

�� � ��@ 1 ��1��.� � �.�� .�� �

#9� ���������� �� ��������� ��� �� ���;��� ��

����1������ � ��� �� �� � � � ��?����

@� ��?���

'�������� �� ���.�� �� �� � H��&� �1.��� .�� �"�� �" 5 7� ! � �� �� ��" $� � �

&��G��� $%�� "���2;��� 1/

����� ��� ���� ���� 5 ���7

�� ��J @ � �1.��� "��� ��. � �� �2.�� � �� �� ! A��$(� �� ��� ��� ���.� ���.�� 1 ��

&����� $(� ��� � ���.�� ���� ��. ���/

��� ��.��

��� � .��

���

���� � 5 ���7

Page 44: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

����� A��$(� �� ��� �� &����� $(� � � &��G��� $%�� "���2;���@ �� ��� �(�

� � � � "���$%�� ��� �1.���� ��� �2.���@ ���4 �� � &��� ��A��>�&� � .��- ������ ��

&���.��2� " �.�� ��� �H����� �� �&�" $(�/

��� �

�� ��� ���

��� ���

� �

�� ��� �

������ � �

������ ��� ��� ��

����� � ������� ���

��� ������� � �

������ ��� ��� ��

����� � ������� ���

� � 5 ���7

��� � .��- .�� &��� �����.�� � �� ��� "���&�" @ �� �H����� �� �&�" $(� �� & �

�� ��� �2.��� 5��� � ���7@ �� A��� ��� � .� $� � ���� 1 ��� ��� �H����� ��

�&�" $(�@ ��� ����� & �� 1 ��@ J4 ��� � ���.�� .�� "�� � �� �1.���/

�� ����� ���

���

��� � ��� � ��� � � 5 �� 7

'���.������ ��A���� � .��- ������ �� " �.�� �� 5 ���7@ � ��&��;���� �� �H�����

�� �&�" $(� �� A��$(� ��� &��G&���.�� .� � .� � &����� $(� ��� � �#"���� �� 5 ���7

.�����/

��� � ��� ������� � �

������ ��� � ��� �.������ ���

��� � .��� 5 ���7

!� �� ���.�/

��� � .�� 5 ��07

��� � ��� � ��� ������� � ������� ���� � ��� �.������ ���

��� � ��� � .�.� 5 ��67

Page 45: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

!1� �����@ ��;���� &������� � ���@ ����� �� ���.�� �� "�� � �� �1.���@ �(� �4

&���� $(� ��.�N��& @ �� ��J /

���

���

�� ��� �� ��� ���

���

�� ��� �������������� ��� � � 5 ��37

&��

�� � �������������� 5 ��)7

?��������@ �� 5 ���7@5 ��07@5 ��67@ � 5 �� 7 .����� ���/

��� � .�� 5 �0� 7

��� � .�� 5 �0��7

��� � ��� � .�.� 5 �0�&7

��� � ��� � �� 5 �0��7

'�� � ��.��.� �� ��&��;�� ������ .�. &��� �� A��&��� � ������ �� 5�����.��

�� ��� �� � � .��- ������ ��7@ �� "����.� �� 5 �0� 7 "�� 5 �0��7 �� 5 �0�&7@ ��.1����/

��� � ��� �������� 5 �0�7

� ��.�� ��� 5����7���/

��� � �� ��� � �� ��� � � ��� � � ���

�B� ���.�� &�� �� �1.���@ ������ �� .��& 1 -���@ � "��. �.� ������ �� .��& � &���� $(� 1&��"��. "�� � � " �.� �� &���� $(�@ �� ��J �� � ��

�! " �.�� � ���@ � &��J��.� �� ; ���� ��� �H����� �� �&�" $(� ���4 ����. ��@ "�� � � ����� ���� ����@�� A��� ��� .�� � � A��$%�� ��� .�� ����� �H����� �� �&�" $(� &��� ; ��4;���@ ���(� ����. � � &���A��$%�� �� ��

Page 46: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

����

� � �� � ��� � � ��� �

*���� ��� � & �� &������� �� 1 � �� �� " �.2&� @ ���� � ���@ .�����/

���� � ��

�� ��������� 5 �0�7

!����@ ������ �� &���� $(� �� �� " �.2&� 1 J��. ���.� &����$(� � ������ ��

�.����.�� $(� "�����.� � ������ �� � �.���@

���� � ��

����

��� � ���

���

� "��. �.�/

��� � ������� � ����� � ����� 5 �0�7

*�;��� I ���"�&�� �� �� A��&��� @ ���(� ��.������ � � ������ ��� � ������ ��

��. �� A��� ���. @ ������- ����� "�� �1.��� ��� ��.�"�& ����� �� + �� ���@ &��

�� ;2�&��� ��.���� � � ��� $%�� 5 �0��7 � 5 �0�7/

� � ��� � ��� �� ( ��� � ��� � ��� � � � � 5 �0 7

���� �

������� �� / ��� � ���

�� � ������ 5 �0 �7

:� ��� .1&��& ��� ��.�"�& ����� �� + �� ���/

���� � "��( ��� � "��/ ��� 5 �0�7

Page 47: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���� � �"�� ��� ��0 5�7 1 ��G���� "��/

� ��

1

1���1

1���1

1���

�5 �007

! " �.�� �� 5 �0�7@ 5 �0 7@ � 5 �0 �7@ &��"%���� � ������.� ���.�� �� ��� $%��/

�� � "� � ���"� 5 �06 7

�� � "� � ���"� 5 �06�7

��� � �����"� 5 �06&7

� � ��� � ��� � � 5 �06�7

� � ����� � ������� 5 �06�7

?���;���� � ���.�� &�� @ ��. ��� � �� � �� � � � �� � �� � &��& ��� �����

����. ��� �� A��&��� @ ��.1����/

� � �

��� � ���

�� 5 �037

� ��. �� A��� ���. 1 ���� �� ����� ������ 5�7@ �� A��� ��� ������ �� ��. ��

A��� ���. 5�� ������ �����������7 1/

�� � �

��� � ���

� 5 �0)7

� � ������ ��� ���&� � � �(�/

���� �

��� ��

�� � ���

� 5 �6� 7

���� � �� ���

� � 5 �6��7

� ������� ��. �� 57 &�����"���� � "������� ��. �� �#&�. ���

!��� @ ���4 A��. �4��� �� &��"��. ���.� ���� � �#"����%�� �� ��� � ��.� $%��

Page 48: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

0

���.�/

7 W� ��� � � �@ �(� �4 ����@ � ��"�� ��� ��� � �1.��� G��� &��G� ��

�� �� ��� �2.���@ J4 ��� �� " �K��.��� �� �� �(� �� ��.�� $(� �1.�����H&�� � �(�

&��.������ ����. ���.� " � � .� ��"��.� �� �1.��� �� �� �2.�� � ��.��� !� �� ���

� &��"��. ���.� � � �#"����%��/

�� � � ����

5 �6� 7

�� ��

��� �

���

�@ 5 �6��7

�� ��

�� �

���

�� 5 �6�&7

�� ��J @

�� �

���������

��� �� �� $ ��

��� �� �� 2 ��

�� �� �� � �� � �

5 �6� 7

�� � �E �� � �� �� �� $ �� 5 �6��7

�� � �E �� � �� �� �� 2 �� 5 �6�&7

�� � �

�E �� �

�� �� �� � �� � � 5 �6��7

�����G& ��� ��� �� �� $ �� � �1.��� G& &��G� �� �� �2.�� �@ � ;�&��;��� &��� 1 "��;��.�

" � �� ���.�� �#"������. @ ;��.� ��� �

�7 W� ��� � 22 �� ��@ ��"�� ��� ��� � �1.��� �� &��"��.� &��� �� A���� �;��@

� "��. �.� �� ��;� "������ ���� "��� ���� �� �� ��. � �� �2.�� � � �� L�.� 1 "���. �

Page 49: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

6

���.� ��.��� ��� ������ ����. ��� &�� 5��� 5 �0)7�5 �6��77@ J4 ��� ���.� ���.�/

�� � �� 5 �6� 7

�� � �� ��

�� 5 �6��7

&7 �� �� ���.�� �����>���@ �� ��� �� � �� � �@ .�����/

�� � � � �

�� � �� ��

� ��� ����& ��� ���.�����$(� �� �1.���� "�� �2.�� 1 �����>�� �

�������� ������� .�� � ��� � &������� $%�� ���"��.� �� �H���� �� �&�" $(� ���

��&��;���� �#"����(� �� ��/

���� �

� �� ���!

������ � �

"# 5 �6�7

B� ��4G&� � ����� �@ ���.� ��� � &��"��. ���.� � ������ �� �� �2.�� � �� A��$(�

� � -(� ���� �� �2�.���@ ��. ��� ��� " � �� � G#�@ �� �.� ����� A�� � �� 2 �� 5�

"��. �.� � ��� ��� ��7@ � ��� 1 .���>�&� �� � �1.��� G& � &��G� �� �� �� ��� �2.����

' �� ���� �&��� @ � A .�� ��� ����& � �2.�� �� ��� � �1.��� G& &��G� ��@ 1 �� $(�

��.�� �� � ��@ �� A��� ��� & �� �� 2 �� 5�� ��J � 2 � � ��� 2 �7@ .����� �� � �@ ��

��J @ � �1.��� ��.4 &��G� �� �� �2.�� �@ � ;�&� � ;��� � !1� �����@ �� ���.�� �����>���

5�� � ��7@ . ��1� ��. ��� ��� �� � � � "��. �.� �� � � �

Page 50: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

3

����� �/ ,�4G&� �� �� �� A��$(� � � -(� ����

���� ��?����

B��. ��$(�@ ���4 ��.����� �� � A��&��� � ������ �� �# .� " � ������ �� ���.��

&��"��.� "�� � �2.��� � � �1.����@ � � A��&��� � ������ ���4 ������- �� "�� ������

�� ������� �@ ��A����.����.� � ������- $(� ����. ��� ��. � � ��$(� �.������

?�.�� ��� � � ��.��� �� �� ���� �� " � � ���.�� �� ���� �2.��� 5 ���7/

� � ���

�����

���������� ������ ���

���

�� ��� ��� ���

���

�� ��� 5 �6�7

���4 &������� � ��.� $(� � �� � ���.�� "����� � �1.���� &�� �"��� �"��.���

*� &���� &�� � "���&2"�� � �#&��(� �� � ��@ � &��G��� $%�� �� ���.�� �(� �� .��/

���� �1.���� �� ����� �2.�� 5�� �2.�� � �� �� �2.�� �7@ �� �� �2.��� ���.��.�� 5�1.��� �� �2.�� � � � � �� �2.�� �@ � ;�&��;��� 7@ &��A���� ����� �/

Page 51: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

)

����� �/ '��G��� $%�� "���2;��� " � �� ���.�� �� ���� �2.��� � ���� �1.�����

!� &��G��� $%�� &�� ���&��. � &��"%�� � �� �� ��" $� ;�.��� &�����"�����.�

� "����� @ ����� �� ���� �.�A��$(�@ �� &����� $(� ������ ��. ���/

��� ��.���

����

��� � .���

����

��� � .���

����

��� � .���

����

���

���� � 5 �6 7

�����; ��� "� A��� � �#"����(� �� � ��.��� ��@ ��� "�� � �� �� ��� �� .�"�

A����N��&�@ �� ��J @ �"�� � ����� �� �1.���� �� &���� &�� � �"��@ "�� ����.�� @ "������

G�� � ��� �� &��G&���.�� .�� � .�� �(� ��� ��@ � ��� �� &��G�� �� �.� � ��"=.��� ��

��� ���"�� .��& �� �����& .�� ��� �2.��� �(� "��� ��"�& � �� �� ��� �$ ��

���.�� � !����@ �� .�� � .�� � ,@ .�����/

��� �$.���

����

��� � .���

����

��� � ,

������

��� � �

����

���

�%��� � 5 �6�7

!��. ��� � .��- ������ �� �� .����� ��� �H����� �� �&�" $(�@ ���� &��� ��

& �� �� �� �1.���@ ��.1����/

��� �

�� ��� ���

��� ���

� �

�� ��� �

������ � �

������ ��� ��� ��

����� � ������� ���

��� ������� � �

������ ��� ��� ��

����� � ������� ���

� � 5 �607

�� ���� �����.�� �� .����� ��� &��G&���.�� � �#" ��(� ��� � 5 �6�7 �(�/

Page 52: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

��� � ��� ������� � �

������ ��� � � ��� �.���������� � ,��������� ���

��� � ��.��� � ,

�� 5 �667

� �� ���.�/

��� � ��.��� � ,

�� 5 �637

��� � ��� � ��� ������� � ������� ��� � � ��� �.���������� � ,��������� ���

��� � ��� � �,�.�� � .���� 5 �6)7

! ������ '������ � �� ���.�� 1 � � "��/

���

���

�� ��� �� ��� ���

���

�� ��� �������������� ��� � ��.��� � ��.

��� 5 �3�7

&��

�� � ��������������� 5 �3�7

*�;���� ��&��;�� @ �� .����� "�� � ��� �����.�� � � .��- ������ ��� ! " �.��

�� 5 �6)7@ .����� ���/

������ � �,��.��� � .

��� � �.��.��

� 5 �3�7

� ��G�����/

3 � .��� � .��� 5 �3�7

Page 53: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

��&��;���� ��.� "����.� &���

������ � �,� �3 � �.��.��� � 5 �3 7

* � ��� $%�� 5 �667@ 5 �637@ 5 �3 7@ � � ;2�&��

�� ����� ���

���

��� � ��� � ��� � � 5 �3�7

A��� ��� � ���.�� �� ��� $%��/

.��� � ,� �

���� 5 �30 7

.��� � ,� �

���� 5 �30�7

��� � ����

� � 5 �30&7

������ � �,� �3 � �.��.��� � 5 �30�7

! " �.�� ���. � ��� $%�� "������ ��&��;�� ������ �� A��$(� "�� � �� 3 � � � ������ ���

��� 5 ��#� 0����7@

������ � � ��� 3� �3 �&3� � �

����� � ����

��� 5 �367

B�.� ��� " �

������ � � ��� 3� �3 �&3� � �

����� � ����

�� 5 �337

�� ���.� �� ���.�� �����>��� 5�� ��� ��� � ���7 .����� ��� ��� � �@ � ��� �����G&

��� ������ &��1.�& ���� �� @ �� ����. �� ��� �(� &��;1�@ "��� �� �� ���.�� &��

���� �1.���� �� �"��� �"��.�� � ���� �2.���@ "�� "���&2"�� �� � ��@ �4 ������ ��@ �(�

A -���� ���.��� �� ���.�� ����. ���.� ��.4.�&�@ &��� ��.� . �� ��� � �� !����@ ���4

Page 54: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

&������� �� "�� � � & ��/

������ � � ��� 3� �3 �

&3� � �

����� � ����

��� 5 �3)7

L�� ��� 3 ���. H.�� .�����/

3 � �� ��

������

��'��� ���

5 �)�7

&�� ��� ��� � �������������@ ��� ��.(� ����.�.�2� � � ��� $%�� 5 �30 7�5 �30&7 "����.�

��.�� �� &��G&���.�� .�� �@ "��. �.�@ ������ �� ��.�� $(� 5 �3�7 �� A��$(� ��� �����.��

� � .��- ������ ��/

� ��.��� � ��.

��� � ��.

��� � ��.

��� � ��� � ���.

���

��

���� � ���

��� ������

��������� � ������

���

���� � ��� ���� � ���� �5 �)�7

� ��� �����G& ��� "������ ��&��;�� ������ .�. �� ���.�� &��� �� A��&��� �

� .��- ������ ��/

��� � �� ��� � �� ��� � � ��� � �� ���

� ������� ��G��$(� �� ������� � 5���07/

�� � �� � ��� � � ��� �

+���� ��� ��� ������ �� � �.���@ &��1.�& ��.�� ���.� � ������ &��1.�& ��

Page 55: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

" �.2&� ����"�����.� �(� ���"�&.�; ���.�/

� ��� ��

����

��� � ���

���

� 5 �)� 7

� ��� � ������ 5 �)��7

����� � ������� � ���

������� 5 �)�&7

.����� ���/

��� � ����

�����

���� �

��

���

������ �

��

���

����� � �����

��� � ������� �

����

��� � ���

���

�� ����� � ����� � ����� 5 �) 7

���� 5;�� ��#� 0����7/

����� � ������� � ����� �

���� � ���

(�� ������

��'��� ���

)

��

���� � ��� ���� � �����

����

��� � ���

���

�� 5 �)�7

��� 1 �#"����(� ��� �� ������ " �.�� � �� � ��. �� A��� ���. ���4 ��.���

��� �� ������- ���� � !�.�� �� �� � � "��&������.� �� ������� � 1 "��&��� ��&��;��

5 �)�7 &��� A��&��� "�� � � � ������ ��� ��� � ���@ ��� ��"�& �� ��&��;�� ��� &���

�� A��$(� ��� .����� �� ��� �� ��� � ���� �� $(� "��� ��� ��.�� ������- ��� �

A��&��� � ������ �� �� $(� ���/

&���

&���� ���� ��� � ���

*� ����

��'������

�������

���'��������

(� ������'������

)+� �

� ��� ��� � ����

*�

��'������

� ������

�'���������

'��������

+��� � �� 5 �)07

Page 56: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

� � ����;�� ��. ��� $(� " � ��� ��G�����/

� ���� � ���

��@ 5 �)6 7

� �'������ �

������� � ������ 5 �)6�7

�� ���� ��� 5 �)07 1 ���

� � ��

��

�� �� ����������� ���

���� � � 5 �)37

�� ����; ��.����.�@ ����� ��� � ��J ��A����.� �� �@

�� � ��� � � � �� � ���������

� � ���� � �

� � ����

��� �� � ���������������

� � ���� � �

��������� ��

� � ��� � ��������

� ��

� � ��� �� 5 �))7

��. �#"����(� "��� ��� ���"�G& � "� ����.�.��$(�

4 ���

� � �� 5 ����7

� ����@ .����� ���/

�� � ��� � .�� � ,�� � 5�� � 6� � 7 � � 5 ����7

Page 57: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

����

. � �� ��� �������4 5 ���� 7

, � ����� 4� 5 �����7

5 � �� �� � �� � ��������������4 5 ����&7

6 � � ��������� 4 5 �����7

7 � � ��������� 4� 5 �����7

�� ��J @ � 1 � �- �� "���N��� 5 ����7@ � ���� ��.1���� "�� 5 �)6�7 ���/

��� � ��� �'������ � �������� 5 ����7

+���� ��� ���/

������ � ��� ��� ���� � ���� � ����� 5 ����7

��.� "����.� ����� � �4#��� ; �� �������� �� � � " � ��� � ��� � � � ; �� �2����

�������� �� � � �� ��� ��� �� ��� 1 -���� !1� �����@ ��;���� .�� ������ ������

" � ��� ��� ��J �� �H���� �� @ "��. �.�@ � � � 2-�� � ��� $(� 5 ����7@ � ��� �(�

�����G& .�; � G��& ���.�@ ��;�� �����&�� I &����$(�/

� � � $ �� 5 ��� 7

��G�@ ����.�.����� 5 ����7 �� 5 �)�7@ ��.1���� ��� � A��&��� �# .� �� .��& � &���

�� $(� �� ���.�� �� ���� �2.��� � ���� �1.���� ��"�����.� "�� � ��� .����� �� ��� ��

��� � ���/

�� ��� � ���!������ � � �����

� � ��������� �

���� � ��� ���� � ����

��

���� � ���

��� ������ � � �����

�� � �����

�� ��

����

��� � ���

���

� 5 ����7

Page 58: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�0

� ����� ���� "������ ������- � ������ .�. 5 �) 7@ ��� ��&��. �� .����� "�� �

��� �����.�� �� ��� �� � � .��- ������ ��@ "�� ������ ������� �@ � ��� ���4 A��.�

�� �.�� �����

�.� ��?����

B� & �� �� .�>� �1.����@ ���� &�� �"�� � �� &�� �"�� � �@ "�� �#��"�@ � �� ��

�.����. ��� 1/

������

����

��� ��� ������������ ���� 5 ���07

� �� A��$(� �� ��� ��� 1 � � "� &����� $(� ��� � ���.�� ���� �����.��/

��� � .��������

����

��� ���� .��������������� ��� � 5 ���67

* &����$(� �� ���� �- $(�/

.���� � .���� � �� 5 ���37

�������� � "��&������.� ��. �� �� ���.�� �� �� �1.���@ .����� ��� �� �����.��

� � .��- ������ �� �(�/

��� � �.���� � .���� 5 ���) 7

��� � �.���� � .���� 5 ���)�7

��� � ��� � .���.���� 5 ���)&7

�B� ���.�� &�� ���� �2.��� � .�>� �1.����@ �= �4 � �� �� &��G��� $(� "���2;� 5 ��7@ � ����� & ��@"�� ����.�� @ "������ G�� � ��� �#"����(� �� ������ 1 ���� �

Page 59: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�6

!1� �����@ � ������ ��� ��.�N��& � �����&�� � ;2�&��

��� � ��� � � 5 ����7

! " �.�� �� 5 ���)&7@ 5 ���) 7 � 5 ���)�7 ��.1����/

��� �������� � �� 5 ����7

5������.� $(� �� ��#� 0����7

!��� @ ������ .�. �� ���.�� �� .�>� �1.����@ ���4 �#"���� �� .����� � � .��-

������ ��� ! ��.�� $(� &������ � 1 � � "��/

���

���

�� ��� �������������� ��� � ��.���� � ��.

���� 5 ����7

� �

��.���� � ��.

���� �

���� � ���

�.���� � .

����

���

���� � ���.

���� �

���� � ���.

����

��� � ���

��.���� � .

����

��

��� � ���

��.���� � .����

�5 ����7

� &��� �� 5 ���37 .����� ��� .���� � .���� � � ��.(�/

��� � ���

��

��� � ���

��.���� � .����

�� 5 ��� 7

:� ;�- ��� " �.�� �� � ���) �� � ���)��@ .�����/

��� � ��� � .���� � .���� 5 ����7

��.(�/

��� � ���

��

��� � ���

����� � ���� 5 ���07

Page 60: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�3

�� ���� ��� "������ ��&��;�� ������ �� .��& � &���� $(� &���/

�� ��� � �� ���� ������ � � ���� � ����

�� ��� � ������� � ����� �

��� � ���

��� � ���

����� � �����

����

��� � ���

���

�� 5 ���67

!���� &��� �� & �� �� ���.�� &�� "�� � �� �1.���@ ������ .�. @ � � "��/

��� � �� ��� � �� ��� � � ��� � � ���

� ������ � ����� � ����� ���� � ���

��

��� � ���

����� � ���� 5 ���37

���4 ������- � ����. ���.� "�� �1.��� ��� ��.�"�& ����� �� + �� ���� B���� & ��

A��$(� ��� ������- � 1 5 ���37 � �� ;2�&��� �(� 5 ����7 � 5 ����7� '��� ����. ��

����� "��&������.� .����� ��� ������ � � ������ ��� �� ��. �� A��� ���. @ ��� �(�

���"�&.�; ���.�/

�� �

���� � ��� �

�� � ���

�!��� � �� � �� � ���

� � ��� 5 ���) 7

����� �

� � �� � �� � �� � ��!

��� � �� � �� � ���� � ���

"# 5 ���)�7

����� �

� � �� � �� � �� � ��!

��� � �� � �� � ���� � ���

"# 5 ���)&7

!� �� ��� � &��"��. ���.� ���� � �#"����%��@ � &��" � ��� &�� � ��� �� ��"��

Page 61: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

�)

�� �� ���.�� �#"������. /

7 � ���.� �� ���.�� �����>���@ �� ��J @ &�� �� � �� � � � �� � �� � �@ 1/

�� � � � � � ��

����� � ���

�� �

� ��� �����G& ��� ���.�����$(� ��.�N��& "�� �2.�� 1 �����>�� �

�7 �� � 1 ��� � ��� ��� �� ��� �� " �K��.���@ .�����/

�� � ���

����� �

���� �

� ��� �����G& ��� ���.�����$(� ��.�N��& 1 ���A���� ��.�� �� �2.���@ &�����.����.� &��

� ��� 1 ��"�� �� �� �� ���.�� �#"������. �

&7 �� �� �/

�� �

���� � ��� �

�� � ���

� ��� � �� � �� � ��� 5 ���0 7

����� �

�� �� � �� � �� � ��

��� � �� � �� � ���

� 5 ���0�7

����� �

� �

�� � �� � �� � ����� � �� � �� � ���

� 5 ���0&7

Page 62: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

0�

����� / '��"��. ���.� �� ��@ " � �� ��

*��.�� �� .�>� �1.���� �� ���.�� @ �� ���� �1.���� �� ����� �"�� "��� ��&�� &���

G� ��� �� �� & � �2.��@ � � �1.��� ��� .�� �"�� ��A����.�@ "��� ��. � �� �� ����

�� ��� �2.���� B ��>�&� �� ����@ ���� �1.��� G& &��G� �� �� �� ��� ���� �2.���@

&��A���� ���.� ����� @ � ���� �2.�� 1 ��G���� "� ��� � � ��A����$ � �� " �K���

.��� �� ��.�� $(� 5��� � ��� � ��� � ���7@ �� ��J @ �� �� � �� 2 �� � �� � �1.��� ��

�"�� ��A����.� G& &��G� �� �� �@ � & �� &��.�4��� G& &��G� �� �� �� :� A .� ��.��

���� �.� 1 ��� �� ��� ��� � ��� � ��� � ��� � �@ .����� � � � @ � ��� ����. ��

���.�����$(� ��.�N��& ���A����@ &�����.� &�� �� ���.�� �#"������. @ "��� �� �� ��

� �� �(� " �K��.��� �� &��� ��� .� $(�]��"��(� ��.�� � " �.2&� � �� ���.�� @ �

�� ��� ��� ��� " �K��.��� ��� �2.��� � � � �(� ��� ��@ �4 .���>�&� �� ����2�����

�7 ?���&��;���� �� �H����� �� �&�" $(�/ 5�� � �� � �� � �� 2 �7

Page 63: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

0�

����� �

� � �!

� � ��� ��� � �� � �� � �����

"# 5 ���67

����� �

� � �!

� � ��� ��� � �� � �� � �����

"# 5 ���37

����� �/ ��.��� �� &��"��. ���.� �� �H���� �� �&�" $(� ��@ �� A��$(� �� �

5� �.���� ��� � �� � �� � ��� G#�7 5���.�� �� ���� �2.��� � � �1.����7

* �����; $(� �� ��4G&� �� �� �� A��$(� �� � 5����� �7@ ��. ��� ��� ����� ��

��� � ����. @ .���>�&� 1 ��� � J �� ���.�����$(� ���A���� �� �1.���� ��.�� ��

�2.���@ � ��� �� ��� � �������@ �4 �� ���.�����$(� "������� �.� " � � �2.�� �@ � �

&����$(� �� � �� � �� � �� 2 � 5�� ��J @ �� " �K��.��� �� �2.�� � �(� � ����� ��� �� ��

�2.�� �7�

Page 64: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

0�

A���� ��?����

� ���.�� &�� �1.���� �= .�� �� &��G��� $(� "���2;�@

�����

���

���

�� ����� 5 ���)7

! A��$(� �� ��� 1 � � "��/

��� � .�����

���

���

���

�� ��� 5 ����7

� � &����$(� �� ���� �- $(� .����� ����� . ���.� ���/

.����� � �� 5 ����7

*�.����� ��� �� �����.�� � � .��- ������ ��/

��� � �.����� � � 5 ���� 7

��� � � 5 �����7

��� � ��� � � 5 ����&7

�� ��J @ & � " � �� �1.���� � � ��.4 G#� ��� �2.����

! ������ �� ��"��(� �1.�����1.��� 1/

���

�� �� ���

���

�� ��� �������������� ��� � .������� � .������� � �� � �� 5 ����7

� "��. �.� ������ .�. �� ��. �� A��� ���. 1/

�� � �� � �� � ���� � ���� 5 ��� 7

* �4��� ����� ����. ��@ &��� ��� I &��&��(� �� ��� � ���.�� �� � �2.��� �

Page 65: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

0�

�1.���� �(� .�� ����@ � ��� �� �H����� �� �&�" $(� �(� G#��@ � ��� 1 &�����.� &��

� ���� � �� "����&�����.� �� ����. �� ��.�N��&���

#9� $���� � ��� �=���(�� �� <�4�1$4�� ��� ����

��?����

!�.�� �� ��.�� ������ �� ��. �� A��� ���. �� ���.�� �� ���� �1.���� "�� ������

������� �@ ���4 A��. �� ��� �- $(� �# . �� ��� � ��.��� ��� �� ����. ��� ��.����@

��� �(� �# .��@ ���(� �� ��� &��� ��A��>�&� � &��" � $(� &�� �� ��� ��.���� �� ���

*�@ .� ;1� �� A��&��� �# .��

#9�9� ���;�����0�� � ����� �� !�����������

� � ��.�� ������ �� ��. �� A��� ���. �# . �� ���.�� &�� ���� �1.����@ � � ���

.��� �� �� ���� �� 5 ���7 ���4 ��&��.� � A��� � .��&� /

� � ����

�����

���������� ������ ���

���

�� ��� ��� ���

���

�� �� 5 ����7

� � ��.� .�� ��� &��� � �� � &��J��.� �� ��. ���/

����� � ����

�� ��� ���� � ����

�� ��� ���� � ����

�� ��� ���� � ����

�� ����� 5 ���07

'�� ��.� .����� ���/

Page 66: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

0

! �

��������

���� � ���� ���� � ���� ���� � ���� ���� � �������� � ���� ���� � ���� ���� � ���� ���� � �������� � ���� ���� � ���� ���� � ���� ���� � �������� � ���� ���� � ���� ���� � ���� ���� � ����

�������

��������

��� � �� �� �� �

�� �� � �� � ���� � �� � �� ��� �� �� ��� � ��

�������

5 ���67

�� �.�; ���� ���. � .��- ������ �� �(� �� �2;��� �� ������ @ � &�� �� �.���. ���

��.����� ��� � ������ ���� !"�� � �� ��� "���2;� ��&��;�� �����& ���.� � ����. ��

��� �.�; ���� � �.�;�.���� ���� � .��-@ �(� &��;1� A ->��@ ;��.� ��� �� ��� �-4�

& �� & �� 1 ����� .� � ����� � � ����;�� & � & �� " �.�&� �@ ���4 �� �� � � "�

3 5 .1 ����� "����� � .��- 1 # 7�

#9�9� ��=���� <�4�1$4��

B� ������ ������� � � ���.�� ��.�� ���.� �� ���� �1.���� 1 ����.�.���� "�� ��

���.�� �(����.�� ���.� �� ���� �1.���� ��� "����� �# . ���.� �� ������ �� �� ��. ��

A��� ���. � ��.� ���.�� �(����.�� ���.� 1 ��G���� "�� "�.��&� �A�.�;�/

��� ���� � ���

� � �������� � �������� 5 ���37

���� ��� � 1 � "�.��&� �#.���� �� ���.�� ��.�� ���.�@ �������� 1 � "�.��&� �� � �.���

�������� ��

����� 5 ���37

Page 67: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

0�

� 5��. ��� �� ��#� 0����7

��������� ��

��� �

� ��� � ������� �! ������

� ������

� ���'���� � ��! ������

���������

5 ���)7

��������� ��

��� �

� ��� � ������� �!������

� ������

� ���'���� � ��! ������

���������

5 ����7

�(� �� "�.��&� �� �� .��& � &���� $(� �� & � �2.���

� "�.��&� 5 ���37 ��G�� � � ��.��� �� �(����.�� ���.� �� ���� �2.���/

,�� � ���

�����

������� � 8���� ���

���

��� ����,�� 5 ����7

&�J � ������ ��� �� " � � ��. �� A��� ���. �(� ��.�� � �.��&�����.��.����.� J4 ��� �

"�.��&� �& ��� ��"���� � ������ ��� '��� �� ���� �1.���� � � �(� �(����.�� ���.��@

& � �� ���� "��� ��� � �� �� ��" � � ���.�@ �� ���� ��� "������ �� � ������.�

� �� �� ��" $�/

���� � � ��

�� ��� �� � � ���� ��� �� �� � ��

�� ��� �� �� � ���� ����

�� 5 ����7

��&��;���� � � ��.��� �� � A��� � .��&� /

Page 68: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

00

!� �

��������

����� � �

�� ���

� �

� � �����

� � �� ���

�������� 5 ����7

*� ��� �- ��� 5 ����7 "�� ��&�� ��.1���� ���� �.�; ���� ��" ���.� ������� ���@

'����� �������� � �

�������

'��������� ��

������� � ���

� 5 ��� 7

��� &�����"����� �� ���� �2;��� �� ������ ��� "���� ��� �&�" ��� "��� �1.����� B�

��. �� A��� ���. ���� �1.���� �&�" �(� � ��;� �� ����� ������ @ ��� 1 '�@ ���

&�����"���� �� ���.�����$(� �� & �� ��� ���� �2.��� � � "��/

�� � � ������ ���

������ ��������'

��� � ��������� ��

�������� 5 ����7

� � ��.����� � ������ �� ���� " � �� � �� &��J��.� �� " �K��.��� 5�� �� �� ��7

�� �� ��1&� �� .N��& @ &���$ ��� &�� �� "��#�� $(� ������ " � ������ ��

�� ������� ������ � ��� $(� 5 ����7� *�.����� ��� ��.(� � ; �� �� �� �� ��������

� A=��� ��� " �� ��� � ��;� ������� ?�"�.���� � "��&������.� .1 ��� ��� $(�

5 ����7 �� .���� �� ���.��$ ;��� ���� @ �� ��J @ � ������ ��� �� ��� ���� �������

&��;��J �@ ���.�� �� �� "��&��(� ����J � 5��� ��� A�� ��&���� �� ����7� ! ����

��� �� G� ��� � � ���.� &4&�� 1 ������ �� �� ��. �� A��� ���. ���� �� ���.��

��.�� ���.� ��� ���4 &�� 5 ����7� ��� ��.�� ��.4 ���.� � � ����� 0�

����� " �K��.��� �(� �� ��� �� ���� ��� �� �@ �� ��J @ � � ��

Page 69: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

06

����� 0/ ������ ������� � " � � ���.�� �� ���� �2.��� � ���� �1.�����

��� ��"����. � �� ���.� � � ������ ��@ ��� $%�� 5 ���37�5 ����7 � 5 ����7@ ��

"���� � *�9�8!' &�J .� ��&��$(� ��&��.� ��� �� ��#� 0� � '��" ������ ��

����. ��� *� &�� �� ��.���� ;� �� ��� �- $(� �# . � B �� � "�����. ��

�� ���� ����. ��� ��.���� " �.�� �� �� ��.����� �� &��J��.� �� " �K��.���� *

&��" � $(�@ �� .���� �� & ��� ��. ��� ��� ������ �� ��. �� A��� ���. .�� ��

"��&��(� �� ���� �� ��� A�� ��"��. �� "��&��(� �� ���� " � � ������ ��� �� � ���

Page 70: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

03

�� �/ '��" � $(� ��.�� �� ����. ��� �� ���&��� �# .� � � *� ��� �- $(�

�# . � 5���.�� �� ���� �2.��� � ���� �1.����7

Page 71: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

0)

#9� ������� �

������� ��� &�� �4��� ��� A��&��� �� ��.����� W� �.� �� ���.�� � �� �@ � � �1.����@

� A��&��� A�� ��.����� �� ����. ���.�@ ;��.� ��� � �� �� ��" $� � � &��G��� $%��

"����� �� �H���� �� �����.�� "������@ � ��� "�������.�� ��&��;�� ��� �� A��$(� ��

��� � ��� ��� ��� �� ��&������� I ��� ��.� .1�� � �� � ��� � �

!"=� �4���@ �� A��&��� �� �� &��"��. � � �� � ���� ���� � @ ��� ���.�� �����

.=.�&��@ � �� � ���� ��� @ ��"����-�� � � &��"��. ���.� � ������ � ��� �H����� ��

�&�" $(� ��"�� ��� " � �� ���.�� �#"������. @ �� �.� � ; �� $(� ������ " �K��.����

!1� �����@ "������ ��-�� ��� �� & �� �� � �1.���@ � "��&���� �� �� ��� �- $(� �# .

���� ���� � I ���$(� �� ���.�� �(����.�� ���.�@ � �� A .�@ �� &����� �� �#"����(�

�� ������ ����; ��.�@ &��� �� "��� ��. � &��" � ��� 5 �0)7 � 5 ��� 7/

�� � �

��� � ���

� ���� � �� � �� � � � �� � ��

'����� �������� � �

�������

'��������� ��

������� � ���

B� ���.�� �� � �� �����"����&��� 5� � �7@ � �� �� ��" $� � � &��G��� $%��

.�� ������(� @ � ��� ��"�& �� �� �H���� � ��� �� ��&=���. �� ��� ����@ �� ��� A��

��&��.� ��� �� A��$(� �� ��� � ���@ ��.�;���� 5 ����7/

��� � ��� �'������ � �������

�� A��� ��� ��� ��"���� � ; ��4;� �@ ��� "�� �� ;�- 1 �� � � � �-�� � ��� $(�

�� 0� �� � 5 ����7/

�� � ��� � .�� � ,�� � 5�� � 6� � 7 � ��

Page 72: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

6�

� . ������ �� �� ��� $(� &�J ���$(� � 2.�& 1 ���&����&�� @ ������� � �1.���

B�P.���? "���� � &������� ��� &��� ��.�� .�; ���&� " � � � �- &�����"�����.� �

���.�� �����>����

!����@ "��&������� &�� ��"����. $(� �� "���� � *�9�8!'0@ �� ���� ���

���.� �@ " � ��� �� G-����� �� &4&��� �.��&�����.��.�� �� ���.�� �� � �� �����

"����&��� � B� �����@ A�� ������� �����$(� ���1��& �� 5 ����7 ;� �1.��� B�P.���

? "���� @ &��� �� �����.�� �� "���� � "���&�" 5������.��� B�P.��7� !����@

" �.�� � � ��.� � � �� �� �� � �� 6@ � ������ �� ���&� ������ 5��� � �� ���.��

�����>���@ �� ��J @ ���7@ � "���� � �� �- � &4&�� �.��&�����.��.� �� ������� �

. �. � ;�-�� �� �.� A���� ��&���4�� � " � ��� �� ; ���� �� ������ �� ��.�N��& � ��

��� &��;��J ��

*�;��� � ��� �� ���$%�� ���1��& �@ .�� ��� �� � ��� .1 ��� "��.� �� ����� &��

�� ��� "���� ��"�����. � �� �� $ ��"����. $(� �� A��&��� �� ������ � � �

.��. � �G&�>�&� �� A��&��� �# .� "��"��.�@ ������� &��� ��A��>�&� �� ����. ��� ��.��

��� "�� �� ��� �- $(� ����. @ ��� 1 �� �1.��� �# .�� ! �� ��� �- $(� ����. &�����.�

�� ���"�����.� & &� � � �.�������� � � �� �.����. ��� � � .��- �� � ��.��� ��

��.�� ���.� 5 ���67@ ��� " � � ���.�� �� ��.��� 1 �� � �����@ � ��� "��� ��� A��.�

�� ��� � � "� 3@ � � ���"�&�� �� � � .��-�

�� ����. ��� ��.���� "�� "���� � *�9�8!'@ �� &��" � $(� �� ����. ���

��.���� ;� �� ��� �- $(� �# . 5 �� �7@ "������ "��&��(� � ����� �� ���� �� & ��

� ������ @ �� ��� ��"��. "��&��(� �� ���� " � � ������ ��� ��.�N��& �@ &��A����

"N�� ��� ;���G& �� � �� ��

���1.��� B�P.���? "����@ 1 �� "��&������.� ���1��&� " � & &� � � 2-�� �� "���N����� D ��� ��� � ����; � � A��$(�@ � "�����. &��� ; �. ��� &��;���>�&� �4"�� � !"�� � �� ��� ���.�A���M��.� ��;���>�&� ����� �1.���@ � ����� �(� "�����.�� "����� � " � ���� "�& $(��

0� "���� � *�9�8!'@ �� ���� ��� ���.� �@ ��.4 .� ��&��.� �� ��#��6�� � ������ � ��.(� �� ���� �� �� �@ � ��� ����; � A -�� � � ��

Page 73: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

6�

����� 6/ ?���. �� � ; �� $(� �� " �K��.�� ���� �� �.� ��� " �K��.��� G#��

���� � ���� � ���� � ��

������������ &�� �4��� ��� ����. ���/ ! ����� 6@ ��"�����. �� ��4G&�� ��

��� �� � ��3@ " �.�� ��� " �K��.��� G#�� ���� � ���� � ���� � � � � ; �� $(� ��

" �K��.�� ����� ������� ��. � ��� ����� �� ��� ���� ����. @ �4 �� ����.� ��

������ @ � ��� �� ��"�� ��@ "��� &�� � ����.� �� �� " �K��.�� ��"���;�@ �� ��.�� $(�

�1.�����1.���@ �� ���.�� �#"������. .���� G& � � �� �����1.�&�� B�. ��� . ��1�

��� ����; � �� ��� �� ������� ����� �� ��� ���� &���&�@ � ��� �����G& ���

����� �� ��� ���� " �K��.�� ����. @ �� ; �� $(� �� .��� ����� �����G& .�; @

���� &��� �&������ �� �� ���.�� �#"������. � W� �.� � �H���� �� �&�" $(� ��@

"��&������ �� �������$(� "��������; � ! ��.��"��. $(� A2��& ����� A��N����@ 1 ���

� ����.� �� ����@ ��� 1 �� " �K��.�� ��"���;� �� �2.�� �@ A - &�� ��� �� �1.����

������ " � � �2.�� ��

3B��� ��$(�@ "�� ����.(� �� ���"�&�� ��@ �� ����� �� " � ��"�����. � ��� � �� " � ��"�����. �����

Page 74: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

6�

'��.��� ��� �4��� �� &��� � � ��" &.� � ; �� $(� �� ����@ � ������ �����

3@ ��� &��.1� �� ��4G&�� " � � &��J��.� �� " �K��.��� G#�� ���� � ��E ���� � � ���� �� � �� B�. ��� ��� � &��"��. ���.� � ������ ��� ��@ 1 ���� � � "�����. �� ��

& �� �.�����@ �� ��� �� " �K��.��� �(� .���� "���.�;��� ��1� 1 ��"����-�� �����

��4G&� 5����� 37@ ��1� �� ��� � ����.� �� �� � ��@ ��"�& � �� � ��� ��.�� $(�

��.�N��& � &�����M��.����.� � ��� ������ �

����� 3/ ��.��� �� &��"��. ���.� �� �����@ " � �� " �K��.��� G#�� ���� � ��E���� � � &�� ���� ; �� ��� �� � �� � ���� &�� ; ���� G#�� 5� � �7

B ����� 3@ ��. ��� ��� ����; � �� ��� �� ������� "��������; ���.�@ � ����

A��� @ �� ����;�� &��.���� � ��4G&� � ����� )@ �� �� @ � �.���� �� " �K��.���@

; ������� ���� �� � ���� B�. ��� ���@ " �.�� �� ���� � ��@ ����; � �� ��� ��

�������@ "��1� �(� �� �� � ! �#"�& $(� ����� A��N����@ 1 � A .� ��� �� ��&�����.�

�� ���� ��� ���.�� �� ��� ���� " �K��.�� J4 .����� " . � ��� � �� .�� .�� ��

��" &.� ��� ����� ��� �� �� ��.� $(� �� ��� ���� $ ���

Page 75: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

6�

����� )/ ��.��� �� &��"��. ���.� �� �����@ " � �� " �K��.��� G#�� ���� � ��E���� � � � ���� � � &�� ���� ; �� ��� �� � ����

'������� ��� � ���.�� �� " �K��.��� ���� � ��E ���� � � ���� � � ��"�����. ��� ����� ��@ ��. ��� ��� ����� & ��@ � �H���� �� �&�" $(� �� . ��1� ������� �����

�� ��� ���� ����. @ ����� � ;���� " �K��.��� ��� .�;��@ � ��� ��A��$ G�� $(� ��

��� ����� ���� �� " �K��.�� ��"���;�@ ����� �� ��� ��"��(� � �2.�� � ����. @

� �H���� �� �&�" $(� �� ��������

Page 76: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

6

0 2 4 6 8 10

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

U1/t

E[n]/t

n1

����� ��/ < �� $(� �� " �K��.�� ��@ � �.���� G#�� �� � �� �� � ��� �� � ��'��" � $(� �� &��"��. ���.� �� �� �� �� $(� � �H���� �� �&�" $(��

� �� ��� " � �4��� �� ��4G&�� &�� ; �� $(� �� "�.��&� �@ �����;���� �����

��/ ����� ��4G&�@ A�� � ��. ��� �� " �K��.��� G#�� ���� � ���� � ���� � � � ��. ���

��� � ����.� �� ���� "��;�&�� � ����.� � ������ ��� �� � �������$(� �� �H����

�� �&�" $(� ��� � ����.� � ������ �� ��;� � ����.� �� " �K��.�� �� ��.�� $(�@ �

�������$(� �� ��@ �&���� ��;��� � ����.� ����� " �K��.�� �� ��.�� $(� �1.�����H&��@

��� 1 .� .�;�@ � A - &�� ��� �� �1.��� .��� � � �� G��� �� "�� �2.�� � ����� ��

��� �� ����. �

Page 77: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

6�

����� ��/ ��.��� � ; �� $(� �� ��� �� � �� �� �.� � ; �� $(� �� ���� � ���

" �(��.��� G#�� ���� � ���� � ���� � ��

B � ����� � �� � ��@ "������ ��. � ��� ������ �� �.� �� ����.� �� �@ ����"���

���.� �� � ;�� " �K��.��� ��� .�;��@ 1 &���&��.� � ��� ����� �� ��� � ����. @

����; � �� ��� �� �������@ � ���� A��� ��� " � ; �� $(� �� " �K��.�� ��

Page 78: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

60

����� ��/ ��.��� �� &��"��. ���.� �� �����@ " � �� " �K��.��� G#�� ���� � �E

���� � �� &�� ���� ; �� ��� �� � �� � ���� &�� ; ���� G#�� 5� � 7

����� ��/ ��.��� �� &��"��. ���.� �� �����@ " � �� " �K��.��� G#�� ���� � �E

���� � �� � ���� � ��� &�� ���� ; �� ��� �� � ����

'�������� ���� 4.���� ����; ��.�� ���1��&��@ 9 � �@ ���� � 1 ����� ��.����� .�;�

��� 9@ � � "���2;��� ��1&� � �� .N��& � A��� � � "�� ����� 4.����@ 9�@ �� � 9�� !

Page 79: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

66

����� ��.����� .�;�� �� �� � �� �� $(� 9@ "��� �� ��^�.�� ��� " �K��.��� �� ����

� ��/ �� ���� 2 ����@ "��� 1 �� " �K��.�� ��"���;� 5��.�� $(� �1.�����1.���7@ � �����

� ����� ��.����� .�;�@ ��� ��"��(� ���4 � ���E �� ���� $ ����@ "��� 1 �� " �K��.��

.� .�;� 5��.�� $(� �1.�����H&��7@ � ����� � ����� ��.����� .�;�@ ��� .� $(� ���4

� ���/ �� ��.(�@ � �� � ��.� $%�� �(� ��"����-�� � ����. �� ���.� )�

� � ��1&� 9�@ � �H���� �� �&�" $(� �� � ��;� ��� ����� �� ��� �� 9@

"��� � 1 ����� ��.����� .�;�� �����; ��� G��� 6@ ��. ��� ��� ����� �� ���

���� ����. @ �� �������@ &�����.� &�� � ��"�� �� " � ��1&� 9�@ �� ��� �

���� 2 ���� � �&���� �� ����� �&�" $(� ��� ��� ��.�� ��@ � �����; $(� � G���

��@ ��. ��� ��� ����� �� ��� ���� ����. @ �� �������@ &�����.� &�� � ��"�� �� " �

��1&� 9�@ "��� ����� & �� ���� $ ���� � �� $ ���

)B��� �4���@ &������� ��� � G#�@ �� A��� ��� � � -%�� ��� � �� ��"����� "�� � �� � � ���"�&.�; ���.��

Page 80: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���%���� '

�������(�� � )�������*��

B��� ������. $(� "�&����� *� � ����� �� ���� �� &�� � ��J�.�;� �� ��.����� �

� A��&��� �� .��& � &���� $(� �# .� " � � ���.�� �� ���� �2.��� 5� � �7@ &��

���"�&.�; ���.�� � �@ �@ � � �1.����� �� .���� �� & ���@ ��.���������� �#"����%�� ���

& &� � ������ �� ��. �� A��� ���. �� ���.�� @ � ��� �� " �K��.��� �� �����@

��.� 1@ � �� � ��� :� � ��� .��$(� A�� � � � ���.�� &�� ���� �1.����@ ��� 1 � & ��

�� � ��� ��.������@ .���� �� ;��. ��� 1 ����� ���� �� � �� �����"����&��� 5�H����

�� �1.���� ��� � �H���� �� �2.���@ � ��. �� ���� &�� �"�� 7@ 1� �� ��� � �����

&�� &���� $(� � �� ���"�� " � ��1&� � 9�@ &�� �� $(� &�; ��.� ���"��� � �

��.� ���.�� A�� "��"��.� �� A��&��� � ������ �� " � ������ �� .��& � &���� $(�

��� ���.��� ��� �# .�@ �����; ��� ��� J4 " � ��.� ����� .(� ���"�G& �� � A��&���

�� .��& � &���� $(� 1 �(� .��;� � �= "��� ��� ��.����� �� ������& ���.�� �����

�� �� ��� � ��.(� &��"�#�� �� �� A��&��� �4��� " � �� �1.���� ��.�� ����� ��

��" $� .����������� �

����� *� � �� ��� �- $(� �# . �A���$ � ����. ��� ���� ���@ *� ��

.��� � �� ; �. J�� �� ��� ���� �� ���� �� 1 � ���@ &��� ��� �� "��.� 5� � ��7 " �.�� �� �� �� ��� �- $(� ���1��& �# . �� .��� ��;�4;� ��;��� � .� &��.�

&��"�. &��� � � � ��. ; �. ��� ��"���� . ��1� � "��&��(� ��� ����. ��� ��.����

63

Page 81: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

6)

&�� *�@ ��� "�� �� ;�- ��"���� "�� � � "��#�� $(� � � I ������ �� .��& �

&���� $(�� ! ���; �. ��� � *�@ J4 " � � & �� �� ���� �2.���@ 1 ��� � �4 "�� �

������ � ������ ��� �� ��. �� A��� ���. @ ���� �.� �� ��� �- $(� �# . ��� �

������ � � &�����"�����.�� ������ ��� . �.� �� ��. �� A��� ���. &��� ��� ��. ���

�#&�. ���� �� ��J @ ���� �.� � "��"���� ��� �� ��. �� A��� ���. �(� .�. ���.�

&���2;��� .� ;1� � *�@ ��. ��� �#&�. ��� &���.�.��� �� "����� � <4�� � .��. .��

; � A�� � A��. � " � ����� �- � *� " � ��. ��� �#&�. ���@ � .� ���.� ����.(�

&��.��� �� ���.� &�� ���� � *����� �� *�"�����.� �� ��"� 5*�7 �����

����� "��"��. � B� ��. �.�@ �� ��� � ����� �� ���� �� �� ���� �2.���@ "������ � "���

���� ��� �� �- � � "�� ����� ���"� "��. � " � �� ���� ��� ��A����.� � *�

" � .� . � � "����� ��� ��. ��� �#&�. ���@ ���� 1 "���2;� ��.�� . �� ��. ��� " �.��

�� A��� ���� .� ��&��� � *��

��G�@ .����� �#"�&. .�; �� ��"��. �.�� ������� ���.�� ���.� .� � �� ���&� @

��.�� ���/ �7 �� ;���(� � �� ��� ���@ ;4�� " � "�.��&� �� �& �� ��� ��"�����.��

�� �"�� � &�� �� �1.���� "������ ��.�� ��� �� ��� ��.(� �� �2.��� ��A����.�� 5� �����

�� ���� �� ��.������7E ��7 �� �#.���(� � *� " � .� . � ��. ��� �#&�. ���E � ���7

��;��.�� $(� �� "��#�� $%�� " � ������ �� &���� $(� " � .� . � �� ����� �� ����

&��.���� �� &��.�� � �� ��� ��� �� �2.����

Page 82: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���%���� ,

-�.������

,9� )��%���� ��������� � !�����;

*�G����� ���� &��� ����� � "��&���� �� .�� ���.� ��� �� �1.��� ��A�� �� �� �2.��

" � �� ��.�� �2.�� ;�-����� ���� "��&���� �� �4 "�����. �� ���.� ��.�� �� �2.�� � ���

"������� ;�-���� �� A��� ��� � ���� &�� � ������� �� .��&���� ;�-���� 1 ���"��-2;��

���1�@ �#��.�� .� � ��� ��� &������� � � ���� . ��1� &�� � ������� ;�-����

S� @ ��T� ���� &��&��.� 1 ���.� ��"��. �.� �� &�>�&� ��� � .��� ��@ "����� �#"�& ��

�1��� �� "��&����� ��.�N��&��@ ��� "�� �� ;�-@ ��"�& � �� �� � � �� "�& $%��@

��&����� �� "�2����� &����.�����

�� "�2����� �(� �#��"�� �� ��;�� � .��� �� ��� � �� � � � H.�� �1& � ��

�1��� �� "�& $%��� ���� �����;�;����.� A�� ��"����� ��@ "���&�" ���.� "�� � �#�

&��.� ����� .�"� �� � .��� @ ��� "���&2"��@ .�;� ��� � ���H�.�� �1.��& @ &��� ��� �.��

B �1& � �� 0�@ ������ � �� "�2����� &����.���� �#.�2���&��@ ��� .��� � ��&��"�� � �

& �� � &����.�� � �� �� � .��-@ . �� &��� G�� � ��.4�& �� � ���� R�#.�2���&�R@ ��

��;� � A .� �� ��� &����$(� �1.��& �&���� "�� ���� ��.�� ��� � & �� � ��&��"�� � �

� � .��-� ! ��" ��� A -� &�� ��� �����.>�&� �1.��& �� .��� ��� �����@ � &���

"�& $(� ����� . @ ���� � .��� A�� �� �� � ���H�.�� " � ���� ��� &��.� � �� $(�

3�

Page 83: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

3�

��.��� ��1.�& � "��.�$(� �.����.4.�& �� &��&��.�� &����.���� S3�T�

�� �)66@ ���� Q P �.� � S�0T ���&����� � ��� � .� . ���.� �� "�� &�.���� &��

���� "��;�& ; �� ����.� ��4�.�&� � &����.�;�� �� �� "�2����@ ��� " �� ; ���

&��" �4;� I �� &����@ � ��� ����� �� ��.��� "������ � 4�� � �� ����@ ������@ � &

*� ���� � ���� Q P � �� � � � ������ B��� �� W�2��& @ "�� "������ � � 4�� ��

"�2����� &����.����� ! ���& "�� ����.� � &����.�;�� �� �� "�� &�.���� �2;���

��� �� �� ��"������� �� &���� � � " .�� @ ��"������� � ��� ��"����� ���.��

"������ ����� ��.�� ��� "�2����� &����.����@ J4 ��� .��� �� "���2;� A ���& $(� �

&����&� �- $(� �� .� ����.���� "���1��&��@ �� ����� �� � .��� � �� "�2�����2.�� S3�T�

! �#"�& $(� ���&� �� &��� �� � ; &����$(� �� � �� � �� ����� �� � �� �

�� ������ S30T� B���� �����@ �4 �� � � �� � �� ������ / � �� �� ; >�&� � ��

&����$(�@ ����� ��� "������ 1 A��� � "��� �2;��� �&�" ��� � ������ @ �� � ���

������ @ "��� �2;��� ; -��� � �� ����� ������ � ����� �2;��� �(� ��" � ��� "�� �� A �#

"������ �� ������ @ ������� � ��� ! �#.���(� �� �� ��.����� �� � "��"���� ���

�1.��& � ��.�2���& � ��� "�2������

�� ��� @ �� "�2����� .>� �� " �.� ���A � ��.� &���. �� �� �� ��.��.�� �

B " �.� ���A @ �#��.�� ��. ��� �& �- ���@ . �� &��� ���"�� ����.�.���.��@ � ��G�

& $%��@ ���� � �� & ��� @ ��"���@ �� $%�� &��- � �@ G� �� �� & ��� @ ��.��A &��@ ; �� $%��

���A�=��& �@ �.&@ � &����$(� �1.��& �� � �� .� ;1� �� ���� ��.�� ����� ��. ���

�& �- ��� S36T� ��.��. �.�@ ��.� ����� �� � �� � �(� �#"�& &����.�;�� �� �� "��

� &�.����@ "��5"�A������7 � �� "��"����@ ��� ��.4 ���&� � "��. ����� �� & �� &��

�"�� -��� � �(� �� �1.���� �����" ��� ��� S33T�

� "��.=.�"� �� "�2���� �� �� ; �. ���.� �� ��.��� .�=��&� 1 � "�� &�.����@ �

"�2���� &��J�� �� � �� ���"��@ ��� &�����.� ��� & ��� �� ��������������� ��

���� ��� &��"��. � "�� �� 4.��� �� & ����� � �� 4.��� �� ������>���

��� � ��� � �� ��������

Page 84: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

3�

&�� � � ����! ���� ��� .�=��& � �� ���"�� " � � ����� �� � �� �� "�� &�.���� A�� "���

"��. "�� �M&Q�� B��.� �����@ .�>� ��� �� .�� �1.���� �� ; >�&� �� & � 4.��� ��

& ����� ��.(� ��� ����. �� �������- ��� ��E ���� " �.�&�" � � � �� $%�� � A��� ���

��.��.�� � ���� ������������ @ � � .��&���� 1 ���"���4;� "� �� $(� &�� � 4.���

�� ������>���� ��. � .�>� �� $%�� A��� � �� K���� �� ����@ � .��A��.� "� � ��.��.�� �

.� ����! 5�!7 � &����! 5'�!7 5;�� ����� � 7@ &�� ���� � �� .�� ���N����� � ��

"�� &1� ���.4�� @ ���"�&.�; ���.�� ! ���.�����$(� ��" &� �� �� �.� �1.��� .>�

����.�� �� ����. ��"@ &�� �� =���� "��"����&� ��� � " �� ��G���� "� � �� $%��

�.������� 5;�� ����� ��7� ! ��"��"���$(� � ��.�� $(� ������ ����. �� A��� � �� $(�

! ���"���4;� "� .���K�&� � � �� $%�� ��" � � ���"��@ A��N���� &����&��� &���

������- $(��

����� � / ��.��.�� � & ��� �� &���"�� &�.���� 5 7 � �� .� ���"�� &�.���� 5�7�

Page 85: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

3�

����� ��/ ������ ��"�����. ��� �� �� $(� ��" ��.�� 4.���� �� & ������/ !

"������ �� $(� �&���� �� " �� �� 1 A��.� ��.�� $(� � ��" �� $(� A��� �

"��� ����. �� "���� 1 &� � � �� �� $(� � � ! ��" �� $(� ��.�� & ������ 1

�#"�& � "� �������- $(� �� �

� � � "�� &�.����@ �� �.� �S3)T@ "��"���� � � ����� ���@ � �� �� ��� ��A��.��

��.��.�� ��@ ������� ��� �=�.���� ���� ��A��.� �; � " ��&����.� �� �� �1.��� �;��

� ����(� �� � "@ ��� "�� �� "��&���� �� �#�� $(� �� ����$(�@ A��� ��� �� �=�.��

& ���� �� �� �"�� -��� 5����� �07�

� ����� ��� � � � �� 1 �� ��� � ����� �� ���� �� ������������ �� &�����

$(� ��.�N��& 1 ���"��- � 5� � �7�

Page 86: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

3

����� �0/ ?�"�����. $(� ��� �=�.��� �� &���"�� &�.����/ 5 7 �=�.�� ���.��E 5�7

�=�.�� ��� .�;� � 5&7 �=�.�� "���.�;��

���1�@ �� �=�.��� �(� �#"�& � � &��"��. ���.� �� ��.��� "�2�����@ &��� � "��"���

��@ "��.��A���@ "�� ���� � "��5"�A������7� !.� ���.� �� ��.��.�� � ��� "�2�����

&����.����@ �� ���� ��. ��� ��" ��� � �(� ��" ��� �(� ���&����&�� �@ � .���� ��

� ��� �; � &��� ��� �4 �� �H���� ���.� �� ��� �� ��A��.�� � ��.��.�� ������

"�2������

,9� !����������� �� !�""�� � ���� �� !������1

����� �� �: =�����0�� �

B� � ��.��� �� �� "������ �� �.�- $(�@ �4 ���� .�"�� �� �"�� �����/ �� �� � �� �

" �.2&� �� � �"�� ��� �� �� " �.2&� @ ��.4 �� &��� �� I ������ �� �� " �.2&� @

Page 87: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

3�

���� &��� "�� �#��"�@ � �"�� ��� ������ &��1.�& @ ���� �.�@ � �"�� ��� �� �� �

" �.2&� �@ ��.4 �� &��� �� 4 ������ � �� ��.�� $(�@ &��� "�� �#��"� ��.�� $(� �1.����

�1.��� � ��.�� $(� �1.�����H&��� *� &���� &�� S)�T@ � ��� �� �"�� ����� �� ��

" �.2&� ( @ � �� �� � " �.2&� � /��@ �� "������ �� �.�- $(�@ " �� ��� " � ������

�� �.�- $(� 1 A��. "��/

# ��

��

�� �( � *� ����� �� �# ��� ( # ��� �� 50���)7

;�� ��

����

������ ��� �30 �/������

��

� �# ����

�# ���� /�� # ���� # ���� ����� 50�� �7

���� # � ;�� �(� �"�� ����� �� �� " �.2&� �� �� � " �.2&� � �� ������ �� ��

.�- $(�@ # � �# �(� �"�� ����� �� & �"�� �� �"�� ����� �� & �"� �� �� &��� � &��

A��$(� �� ��� "� �#"����(� �/

# ��� ��

+� ��� �� � �# ��� ��

+� ��� ���

!"�& ��� ����� ����. ���@ ���4 ��.����� �� � ��� &��.�&� � " �� ��� � "������

" � ������ �� �.�- $(� &�� �� �"�� ����� �� ������ &��1.�& @ ��.�� $(� �1.����

�1.���@ � ��.�� $(� �1.�����H&��@ �#"�& ��� ����@ � �����G& �� ��� " �K��.��� ��

�:� A��� ���. $(� ��. � � ���"��.� � ������ �� �.�- $(�@ "��� ��� ��&��.� � � ��A��>�&� S)�T�

Page 88: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

30

���� ��� '�������� � � ��.��� �� �� �&��Y������ �� "������ �� �.�- $(� 5���7/

� ��

���

� ��

����

�� �

��

���

� �����

�� �

��

��������

��

���� � ���� ��

� 50�� �7

� � � �"�� ��� ������ &��1.�& @ .�����/

� � � ��

����

� ��

��

-�

�������

�����

���� *.�����

� �# ���

�� �

�����

� # ��� ��

� ��

��

/�+� ���

���

�����

�+� ��

�� ��

0�����

�� ��J @ "������ ����� ��- � �� .����� �� A��� �� ��.��/

� � ��

�������

������������� 50���3 7

&�� ��� �

�+� ���

���

�����

�+� ��

�� �� 50���3�7

���� ��� 1 ��.����� � ��.��� �� �����

� � � �"�� ��� �� ��.�� $(� �1.�����H&��� �� ��� . ��1� 1 ����;��� @ .�����/

� � � ����

� ��

��

�� �� ����� �� ��������� �� �# ��� �� ����� # ��� ��

��

��

/�+� ���� ����+� ��

�� ��

0���������

Page 89: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

36

��� ����� ��- ��@ G& /

� ���

���

�� ���� 50���0 7

&�� �� �

�+� ���� ����+� ��

�� �� 50���0�7

���� �� 1 ��.��� �� ��.�� $(� �1.�����H&��@ ���� � ��������� 5�� ��J @ � �"�� ��� �H����7

� � � �� � �� � � �"�� ��� �� ��.�� $(� �1.�����1.���@ ��� 1 �� �� � " �.2&� �@ .�����/

� ��

���

��

�����

� ��

��

130

������

���

��

�����

�������2����

�� ���

� ��

���

3�

����

�+� ����+

� ����

���

�����

�+� ����+ ���� ������

4����

�� ���

!���.���� ��� �� ����� �� ���� �� &������� ��@ �= �4 ��.�� $(� �1.�����1.���

���.�� �� "�="��� �2.��@ �� ��J @ ��� �� �1.��� �= ��.�� �� &�� ��.�� �1.��� �� �����

�2.��@ "������ ����&��;�� " � �� " � �� �1.��� �� �2.�� �/

� ��

3�

����

�+� ����+

� ����

���

�����

�+� ����+ ���� ������

4������

������������

Page 90: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

33

��� ����� ��- ���@ G& /

� ���

���

�� ���� ���� 50��� 7

&�� �� ��

����

�+� ����+

� ����

���

�����

�+� ����+ ���� ������ 50��� �7

���� �� 1 ��.��� �� '������ B��� �#"����(�@ 2���&� �30��� A�� .��& �� "�� ���@

"�� ���� .���� ��-�� ���"��.� ��.�� $(� ��� �1.���� �� �2.�� ��

,9� �������� -��������

,9�9� �=��� � B#9�+C

������ � � ��� 3�

(3 �

&3� � �

����� � ����

)

*� 5 �30 7 � 5 �30�7 .�����/

,� ������ .��� 50���� 7

,� ������ .��� 50�����7

'��" � ��� ��� � H.�� �/

����� .��� �

����� .��� 50���0 7

������

�,�� 3

�� .��.�� 50���0�7

��� ��� 5 �30 7 � 5 �30�7

Page 91: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

3)

3 � �,� � �

,� ��� 3

�50���67

*� 5 �3�7@ .�����/

3 � .��� � .���

.��� � 3 � .��� 50���37

*� 50���37 �� 50���0 7

����� .��� �

������3 � .���

�.��� � 3 � ������ � ���� 50���)7

!� �� ���.�/

�.��� � 3 ��

����� � ���� 50�� �7

*� "����.� �� 50���)7 "�� 50�� �7

�.���.��� � 3� � �

����� � ����

�.��.�� � �&3� � �

����� � ����

� 50�� �7

Page 92: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

)�

����.�.����� 50���67 � 50�� �7@ ��.1����/

������ � � ��� 3�

(3 �

&3� � �

����� � ����

)

,9�9� ���;�� �� ���� � ������ � B#92'C

�� ��� � ������ � ���� � ������ � �

���� �

���� � ���

(�� ������

��'��� ���

)

��

���� � ��� ���� � �����

����

��� � ���

���

*� &���� &�� 5����7 � 5���07@ .����� ���/

��� � �� ��� � �� ��� � � ��� � �� ��� 50�� 7

���� �� � �� � ��� � �� � ��� � �� � �� � ���

!� ������ &��1.�& .�. 5� 7 ��A��� � ������ &��1.�& ������" �.�&� 5��7 "� � ����

��� ��� ��.�N��& �/

�� ��� � ��� ���� � �

��� ��

���� �!��� �

� 50�� � 7

� ��� � ������ � ��� �� � �!��� �

� 50�� ��7

Page 93: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

)�

�� "�.��&� �� �(�/

� ��� � < ��

���� � ���

(�� ������

��'��� ���

)��

���� � ��� ���� � ����50�� 0 7

�� ��� ��

����

��� � ���

���

�50�� 0�7

��.(�/

�� ��� � ������ � ���� � ������ � �

���� �

���� � ���

(�� ������

��'��� ���

)

��

���� � ��� ���� � �����

����

��� � ���

���

�50�� 67

,9�9� ��������� � ��� ������(�� �� � �� � � ��

*�G����� ������ � = � ����; ��� ��"�&�. ���.� 5 ����7 �� �� $(� = ��.1����/

&�

&=�

�4�� � �� ���4 � �4=�� �4=� � 4=���� � ���� � ��� ���4 � 4=� �� � �� ��4 � �� � ��

��4 � �4=� 4=� � �

�� �4=�

50�� 37

?���&��;���� 5 �)�7/

����� � ������ � ���� � ������ � �

���� �

���� � ���

(�� ������

��'��� ���

)

��

���� � ��� ���� � �����

����

��� � ���

���

�50�� )7

'��� ��� � ��� .�����/

��� � ��� � ���� � ��= 50����7

Page 94: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

)�

!1� �����@ �� 5 �6)7@ .�����/

��� �'������ � �� 50����7

*� 50����7@5 �6)7 �� 5 �)�7/

����� � ����=� ����

�� � ����� �

���� � ���

��� ������ � ��

�� �

��

��

���� � ��� ���� � �����

����

��� � ���

���

�50����7

������� ��.(�@ ��.����� � �� "�.��&� �� �� .��& � &���� $(� ��� �2.���@ " �.�� � �

����; � � ���. H.�� �#"����(�/

���� �&��

&��

���� �&��

&3�� �

&��

&��

&��&=

�� �&��

&���50����7

���� � ���=� ����� � ������

��

�� ����� � �� � =��� ���

�&�

&=

���

���� � ����

�����

50��� 7

!� �� ���.�/

���� � ���=�� �

���� � �����

��

�� ������ � �� � =��� ���

�&��&=

�� ����� � ����

�����

50����7

,9�9# : ���� �������� �� � �� � � �� ������� �� "���� ����1

�����4���

B���� & �� " �.�&� �@ �&���� �� ���"�G& $(� �����G& .�; �� A��&��� �� ������ ��

.��& � &���� $(� �� ���� �2.��� � ���� �1.����� �� ��� �� � �� � � �� 5 �) 7 �

Page 95: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

)�

5 �)�7/

��� � ������� � �

���� �

������� � �

���

�� ����� � ����� � ����� 50���07

����/

����� � ������ � ���� � ������ � �

����

��

��

(�� ������

��'��� ���

)� �������� � �

���

�50���67

*� 5 �30&7@ .�����/

��� � ����

� �� ������� � �

���

�� �������

�� ���� � ����

�� ������ 50���37

*�50���67/

����� � ������ � ���� � ������ � �

����

��

��

(�� ���� � �

���

�� ������

��'��� ���

)50���)7

*� 50���37 �� 50���)7

����� ��

(������ �

������

��'��� ���

)

����� � ���

'��� ���

(������ �

'��� ���

��'��� ���

)50��0�7

Page 96: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

)

'��� � ������� ���.� �� .����� �� ��� $%��@ ���� ��� ��� � �'��� ��� � ��� �

1 ���$(� � 5 ����7@ "��&�&������ ���"�G& $(� �����G& .�; �� A��&��� �

,9�9' �=��� � B#9���C

��� �������� � �

*� 5 ����7@ 5 ���) 7 � 5 ���)�7/

��� � ��� � .���.��� 50��0� 7

��� � �.���� � .���� 50��0��7

��� � �.���� � .���� 50��0�&7

*� "����.� �� 50��0� 7 "�� 50��0��7

������ ���.���� � .

����

� ��.���� � .

����

� �.���� � �.���� � .

����.

����

� �$�.���� � .

����

�� � �.����.����%� .����.

����

� ��.���� � .

����

��� .����.

����

*� 50��0�&7 ���. H.�� �#"����(�@ &��� ��� 5 ����7/

��� �������� � �

Page 97: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

)�

,9# : ��;��� �D-��E���

� "���� � *�9�8!'@ � �#� .� ��&��.�@ ���&� �� I �����.�� B�V�B@ ���

����;� ��� $(� 5 ����7@ ����;� ������& ���.� � "����� �� ���� �2.��� � ���� �1.����

)F:>F- ���E�D-��

_ ����� � +�� ���; ��� & &� �8!!��B� ������ .�. � � .��-

������ �� �� ����� �� ���� �� ��.������

_ " �.�� � .���� �� A��&��� � ������ �� �� ����@ �� � � ����������

L��+L'L B�B�

LB�,�? �@J@�@L@L�@C@L9�!8@+

?�!+` ;5�7@;9�5�7@;9#&5�7@;9�5�7@:5�7

?�!+` ���.5�7

?�!+` Q5�7@"5�7

?�!+` �� #@:�@:�@<��@;�@;�@:�����@.�@;�@�+@��@??

?�!+` &567@�&567@W@O@�O@��@*@***@�;@�;@�!@�D

?�!+` ������@�O��@�O��9*@�O�����@ �9�����5�7@ �9������@ �9������@ �9������

?�!+` *�+!

?� ` ��@��

?�!+` �5�@���7@ ���5���7

?�!+` ��@9�@�9�@<�#@�9#&@�9��@�9��9 � O@�9��9 � O9�

?�!+` ##@OO@�@.��. @A@�L@��;@��@��#@&�

?� ` ����@����

�?LB`@ \:�@ :�@ <@ ;� ;�\

?�!*`@ :�@:�@<��@;�@;�

:�����a5:�b:�7]���

:5�7 a :�

:5�7 a :�

:5�7 a :�

Page 98: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

)0

L9�!8 a ����

�+ a �������

;� a ���

.� a ���

�a�

�L a &��5����7

��# a ����

�O����� a ���

;5�7 a ;�

;5�7 a ;�

�� # a ��]���.55:������<��7``�b�0��7

�� a 5:������<��7``�]55:������<��7``�b�0��7

O a ���.5��7

"���.`@ \ O a\@O

�9������ a ���

*� La�@L9� #

L�5L��W��7 ��B

L� 5;5�7�;5�7�,���+7 ��B

�5�@L7 a �9������

�5�@L7 a �����5�@L7

�5�@L7 a �9������

�+��

�5�@L7 a �9������

�5�@L7 a �����5�@L7

�5�@L7 a �9������

�B*L�

�! a �9������

Page 99: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

)6

�D a �����!

�+��

�5�@L7 a �!

�5�@L7 a �D

�5�@L7 a �!

�B*L�

*� � a �@�

L�5L�,��7 ��B

�5�@L7 a ��#`�5�@L7 b 5����#7`�5�@L��7

�B*L�

�B**�

&5�7 a �5�5�@L7`�5�@L77``�`��

&5�7 a b `5�5�@L7`�5�@L77``�`��

&5�7 a b��5�b5 b �5�@L7`�5�@L77`�5�@L7`�5�@L77`��

&5 7 a � `5����7

&5�7 a b0�5� � �5�@L7`�5�@L77`��

&507 a � ��

&567 a b���

&� a �5�@L7`�5�@L7

L�5O�,�������7 & B�V�B5&@O7

�?LB`@ \ O9��P.���� "��� a \@ O

���5L7 a ���.5 ��5�5�@L7`�5�@L7�O``�7 7

_����& ���.� �5�@L7`�5�@L7�O``�2a� ���"��@ � � ������ �� &4&�� �.��&�����.��.�

"��� &��.�&�� �� ��� ����� ��� -���_

��a���`O`` �5O``�7`5� `����`��`&�7�3`��`&�`Ob�`��`&�``�

��a0`O``����`O`` b5 `O``�7`5��``��b��`&�b07��`5O``�7`5 ``��� 7

cb�`O`5���� `��`&����`&�``�b�7b `�`&�``�

Page 100: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

)3

�O��9*a��]��

*� � a �@�

* a 5 5��7``5�b�7`5�5�@L7��5�@L77 b �5�@L7 b �5�@L7 7]� _��

;9�5�7 a :�����`�5�@L7]�

�O�� a �O��9*`*

������ a 5*��`O`�O��7]5�`���5L77

;9#&5�7 a 5:������<��7]�`5 ��`���5L7`������]5��O7 � ���5L7``�]5��O7``�`�O��

7 �

c �`.�`������ b �`.�]5�`���.5�5�@L7`�5�@L777`* � ;9�5�7

�A5������7 .���

;9#&5�7 a ;9#&5�7 b :5�7]���

���

;9#&5�7 a ;9#&5�7 b :5�7]��� _5:5�7�:5�77] ��

����A

;9�5�7 a ;5�7 b ;9�5�7 b ;9#&5�7

�B**�

�; a 5;9�5�7�;9�5�77]���

�; a 5;9�5�7b;9�5�77]���

*� Ja�@�

�A5J�+���7 .���

"5J7 a ��

���

"5J7 a b�

����A

���.5J7 a �;b"5J7`���.5.�``�b�;``�7

�B**�

Page 101: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

))

�! a �`5���;] ��5���.5�7��;77]���

�D a �`5�b�;] ��5���.5�7��;77]���

L�5L�,��7 ��B

L�5 ��5�5�@L7��5�@L��77�+�� ��5�5�@L7`�+77 ��B

�� a �`���.5�7

9� a ��

�9� a ���

<�# a ���

*� �a�@�

9� a 9� � ;9�5�7`�5�@L7

�9� a �9� b :5�7`5�5�@L77``�] ��

<�# a <�# b ;5�7`�5�@L7

�B**�

�9#& a � �`.�`���5L7 b �`.�`���.5�5�@L7`�5�@L77 �

c 55:������<��7]�7`5&��O``�7]5��O7b

c :5�7`�5�@L7]�b:5�7`�5�@L7]� � �9�

�9�� a 9� b �9� b �9#& b <�#

�?LB`@ \�9��*� a\@ �9��

�� a ;5�7�;5�7

��; a ;5�7b;5�7

A a :�����``�b�0`.�``�

## a �5Ab�`.�``��)`��``�7`:�����

OO a �`���.5���7`���.5��``0����`5A���`.�``�7`��``

Page 102: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���

cb5A``����`A`.�``���0`.�`` 7`��``�b `A`.�`` 7

� a ���.5##``�bOO``�7

.��. a &��5##]�7

�9��9 � O a ����]�`5�``5���]�7`&��5���]�`5.��. ��L77�:�����7b��;

�9��9 � O9� a �5���.5:�����``�b�07�:�����7]� b ��;

�?LB`@ \�9��9 � O a\@ �9��9 � O

�?LB`@ \�9��9 � O9� 5:�a:�7 a\@ �9��9 � O9�

�?LB`@ \��� a \@ ���5L7

�?LB`@ \�� a \@ �5�@L7@\ \@\�� a \@ �5�@L7

"���.`@ \ O a \@ O

���

�B*L� _ A�&� L�5 ��5�5�@L7��5�@L��77�+�� ��5�5�@L7`�+77

�B*L� _ A�&� L�5L�,��7

�B**� _ A�&� *� La�@L9� #

�G� )F:>F-

$�"������ G�H�:GB�I3C

_ *�.����� O � ��� $(� �� 0� �� � �5O7a�@ �� "����� �� ���� �2.��� � ����

�1.����

_ &��.���� �� " � ���/ �"� 5���� ����.� �� #7 � B 5������ � # �.�� &���7

_ ?����$(� � ��� $(� �� 0� �� � ����

?� &567

�� �!@�D@&�@:�����@.�@��

Page 103: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���

_< ��4;��� �� "���� � �.�����

LB�,�? L@L9� #

?�!+ O@���@*�+!O

?�!+ �@ *�*O@#

L9� # a ����

. a���

��� a �����

B a ����

_ L��&� �- & � 5����a��A7

*�+!Oa���� _.������ � "�� �

La�

_OaO�

_

_ �.�� & �/

_

_\ � � �;�. � � �-�� ��� .�; � O '�+�W:�L �d*:+� O a ��5O�*�+!O7\

*� V�L+� 5!D�5*�+!O7�,���� �!B*� L�+�L9�!87

LaLb�

���& �a&567`O``0b&507`O``�b&5�7`O`` b&5 7`O``�b&5�7`O``�b&5�7`Ob&5�7

*�*Oa0`&567`O``�b�`&507`O`` b `&5�7`O``�b�`&5 7`O``�b�`&5�7`Ob&5�7

*�+!Oa���& �]*�*O

Oa ��5O�*�+!O7

�B**�

_

_���& �/

_

V?L�5`@`7 \? �-a\@O@\ ``````A5O7a\@���& �@ \ B�� �.��a\@L

?�.���

Page 104: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���

�G� ��"������ ��6���

_

_ A��& � � ����; � ��;�� ��� ����G& � � " � & � & �� ��"�&�G&�/

Page 105: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��"���;�J�

S�T +� �� ��� � @�� & &� .��� �A .���& G���� ���&� ' ������� ���� ��&� ��@

� �e� 3 5�)�67

S�T �� �����@ :� ��.��� �. .��.�&� "�� *�.����� -���� �� &��� �������.

��\!.���� ?���� !&& �� B -� +��&��@ 0@ 0��e0�6 5�)�67�

S�T �� ��������� � V� ����@ ��O�� ?�;� ��0@ D30 5�)0 7�

S T V� ���� � +� C� �� � ��O�� ?�;� � �@ ! 5�)0�7

S�T C� �� �����PE �� D��Q� � �� ���-����A@ ��O�� ?�;� +�..� 66@ �30� 5�))07 E 63@ ��)0

5�7 5�))67

S0T !� *� D�&Q�@ ��O�� ?�;� ! �3@ ��)3 5�)337�

S6T '� +��@ V� U �� � ?� ,� � ��@ ��O�� ?�;� D �6@ 63� 5�)337�

S3T :� ;�� D �.� �� +� �����@ C� ��O�� ' �@ �0�) 5�)6�7�

S)T �� ,��� ����� �� D� L� +����;��.@ ��O�� ?�;� D ��@ �6 5�)607�

S��T +� B� ��;��� @ �� �� :� ,���� � V� ����@ ��O�� ?�;� +�..� 0�@ � �� 5�)337�

S��T V� ����@ �� �� :� ,���� � +� B� ��;��� @ C� �� ��O����� ��@ �0�� 5�)3)7�

S��T V� �� ������ �� �. �@ ��O�� ?�;� +�..� 60@ ��6 5�))07�

���

Page 106: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��

S��T �� ���.� �. �@ ��O�� ?�;� +�..� 3�@ �0�3 5�)))7�

S� T �� ' "�� � +� B� ��;��� @ ��O�� ?�;� D 0�@ ����3 5����7�

S��T �� ' "�� � +� B� ��;��� @ ����"�O�� +�..� D )@ �60 5����7�

S�0T V� ��&� � �� '� ��.� ����@ ! '�����.\� ,���� .� *����.O ���&.��� ����O

5C��� V��O c ����@ B�P U��Q@ ����7�

S�6T ?� �� B �P J�Q� 5���7 *����.O ���&.��� ����O L�L< 5�"������@ �"�&� �� '�����.

'�����.�O <��� �3���)�@ �)))7�

S�3T <� L� !������; 5���7 �.���� '����� '���� .���� �� ��&.����& �.��&.��� ' &� �

.����/ D�O��� .�� +�& *����.O !""��#�� .��� 5,����� c D�� &�@ �)))7�

S�)T B� �� � �&�@ ��&.��� *����.O ����O �A !.��� �� ���&��� 5!& ����& �����@

+�����@ �))�7�

S��T D� D� + ���@ ?� D� ?��� � � f����� 5����7 '����& !""�& .���� �A *����.O ���&�

.��� ����O 5!����& � '����& ��&��.O@ �))07�

S��T C� �� *�����@ ,� <��� � � �� �� * � 5����7 *����.O ���&.��� ����O/ ?�&��.

�������� �� B�P *���&.���� 5�����@ B�P U��Q@ �))37�

S��T �� ��&����@ �� ���� ���. � �A *����.O ���&.��� ����O 5������@ +��"-��@

�))07�

S��T �� ��&���@ C� �&�� &Q � C� �&��������@ ��O�� ?�;� D� 60@ �)���0 5���67�

S� T �� B������.�@ � ���� Q P � U� ��. @ ��O�� ?�;� D@ 66@ ������ 5���37�

S��T ?� ��.��� � � ����&�Q�@ ��O�� ?�;� D@ 6) � ���3 5���)7�

S�0T �� ���� Q P @ �� C� +����@ !� ,� � & *� ����@ '� �� '�� ��@ C� !� ������@ C� '����

��&� �63 5�)667�

Page 107: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

���

S�6T ? ,� � ��@*� �� '� �� � L� ,� ?���@ C�'���� ��O���3@ ��0� 5�)��7�

S�3T ,� ,�M��� *����.O V ;� �� �����@ !�������V���O 5�)) 7�

S�)T +� + .��� @ !� ��&&�� � !� *� ' ��@ C� '��"�.� ��&.��� � )6���� 5���07�

S��T �� +� *��&����@ , � �&� � C� �4�Q �O�.�.�& ��. � ��) ������0 5����7�

S��T V� �� ��� C� ?� �&����g�� � !� C� ������ ��O�� ?�;� D� ��@ ��)) 5�)3�7�

S��T *� D ����PO �����.�& !�"�&.� �A D �� �.��&.���� �� ��.����& ���"��.��� �A

�����������*�������� �����@ �� � ����� @ 5?����@ �)3�7�

S��T *� D ����PO@ *� �� ' �"�� � �� � -��� �@ ��O�� ?�; +�..� �0@ ���) 5�)307�

S� T ,� '�� ""�@ �� +����@ �� � �� ��4� � C� !� <����� ��O�� ?�;�D 6�@ �)��� 5���67�

S��T C� ����� � � U � �@ C� ��O�� ��&� C"�� �@ � � 5�)667�

S�0T C� ���� ��@ ��O�� ?�;�D �6@ ) 5�)637�

S�6T +� !�� &�� � !� !� !��� @ ��O�� ?�;�+�.. 6�@ �� � 5�)) 7�

S�3T �� ' ""���@ *� ���� �& � � ,� �� &��@ ��O�� ?�;�D 0�@ �� �� 5����7�

S�)T ��.���� ��� � � � � �� . @ ��O�� ?�;�D 0 @ ������ 5����7�

S �T D� < ��-�� @ �� �� .��� � *� D ����PO ��O�� ?�;�D 03@ � ���� 5����7�

S �T � * ���A�� � � ����&�@ ��O�� ?�;�D 6�@ �����0 5���67�

S �T � D������.� � U� ��. @ ��O�� ?�;�D 03@ ����� 5���67�

S �T � ����&�@ � ��G�@ �� � O� � �� C ����@ ��O�� ?�;�+�.. ) @ �60 �� 5����7�

S T � .�� � � O� � ��.�� ����&�@ ��O�� ?�;�D 6�@ �)���� 5���07�

Page 108: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��0

S �T B� !� +�� @ �� �� ��; @ +� B� ��;��� � �� ' "��@ ��O�� ?�;� +�.. )�@ � 0 ��

5����7�

S 0T B� !� +�� � +� B� ��;��� 5�����. ���7@ R���� �� ���&��� � *����� �� " �

���.�� � ��" &� ���.� '���� &��� ���R@ .��� �� ���.�� ��@ L��.�.�.� �� �2��& ��

�(� ' ��� � :��;����� �� �� �(� � ��@ 5����7�

S 6T �� !�&��..� ��@ L�.� C� ���� ��O�� ��@ ��� 5�))67�

S 3T C� <��.@ ?�"� ����� ��O�� �3@ )66 5�))�7�

S )T �� �� +��� � �� U� V�@ ��O�� ?�;� +�..� ��@ � � 5�)037

S��T �� !� D�.��@ f� ��O�� 6�@ ��� 5�)��7�

S��T U� �� . � �� ���� @ ��O�� ?�;�D �@ ���0 5�))�7�

S��T �� �&��-@ ��O�� ?�;� +�..� 0 @ �3�� 5�))�7�

S��T �� ?� V��.�@ ��O�� ?�;� +�..� 0)@ �30� 5�))�7�

S� T �� ?� V��.�@ ��O�� ?�;� +�..� 66@ �0�� 5�))�7�

S��T !� +� � ;�--�@ D� -� C� ��O�� ��@ �� 5����7�

S�0T �� �� ��; @ B� !� +�� @ !� +� � ;�--� � �� ' "��@ ��O�� ?�;� D� 6�@ ������

5����7

S�6T '� <����--�@ ��O�� ?�;� +�..� ���@ �00 �� 5���37�

S�3T �� �&��������@ !� ���� .��O ����O �A .�� ��&� ��&� �A !.��� �� ���&����

��O�� ?�;�+�.. �3 �� )e��6� 5�)�07�

S�)T � ' �&�@ !� * .. @ �� ����&��;@ �� � -O@ � �� f���@ ��O�� ?�;� ! 03@ ������

5����7

Page 109: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��6

S0�T '� �� ������ � �� � ���� Q��@ ��O�� ?�;� D@ 0�@ �6 5����7�

S0�T �� D��Q�@ �. �� !D' �A *� 5���67 $*��"��2;� ��

�.."/]]&����"���&�]hQ�����]�A.]���Q]2

S0�T V� ?�.-@ i��� ���� ���� ��.���� -�� +Y���� ��P����� < �� .����"������ ��� � .��

�� .��&��� ��O��Q@ S�� ��P��.��� A�� .�� ���.��� �A &��. �� ; �� .��� "������

�A � .��� .�& "�O��&�T@ C���� AM� ����� ��� ���P ��.� � .��� .�Q ;�� ���

""� �e0� 5�)�37

S0�T �� ' "�� @'� !� :��&� � ,� <��� �@ ��O�� ?�;�! 60@ �����3 5���67�

S0 T +� '��.�@ �� � �.@ �� ��@ � �� ������; @ ��O�� ?�;� D@ 6)@ ������ 5���)7�

S0�T *� �� '�"���O � D� C� !���@ ��O�� ?�;� +�..� �@ �00 5�)3�7�

S00T C� V� ���Q�P�.-@ �� �� �&����.@ �� !� +��@ � �� �� � ��@ C� '���� ��O�� 66@ � )

5�)3�7�

S06T �� C� ?�O����@ *� �� '�"���O@ D�C� !���@ � V� !� +��.��@ C� '���� ��O�� 66@ ��)�

5�)3�7

S03T �� � �O@ 8� V� V ��@ � �� ,� +����@ ��O�� ?�;� D �@ ���� 5�))�7

S0)T 8� �� +�@ *� �� '�"���O@ � ?� �� � �.��@ ��O�� ?�;� D@ @ ��)�) 5�))�7

S6�T !� C� V�� ����@ C� '� ,����� �@ ?� W� ����@ !� ��-���@ � ,� , �@ ��O�� ?�;�

+�..� 3)@ �)03�� 5����7

S6�T B� !� +�� � �� C� ' � �@ ��O�� ?�;� D@ 6�@ �����) 5����7

S6�T �� '� ,�.-P���@ ��O�� ?�;� +�..� ��@ ��) 5�)0�7

S6�T �� '� ,�.-P���@��O� ?�;� �� @ !)�� 5�)0�7

S6 T C� ���� ��@ ���& ?� ��&� !@ <�� �60 B�� ��0� 5�)0�7 ��3���6

Page 110: teoria do funcional da densidade exata para o modelo de hubbard

��3

S6�T C� ���� ��@ ���& ?� ��&� !@ <�� �66 B�� ��0) 5�)0 7 ��6���)

S60T C� ���� ��@ ���& ?� ��&� !@ <�� �3� B�� ��30 5�)0 7 ��� �)

S66T C� � � ���O@ ����� ����� ��O�� ��@�6� 5�)0�7

S63T �� D����@ ���� ��.����&.��O ��.�� �� .�� ���� �� ����� *��"��2;� ��

$�.."/]]PPP����������.]� ���]G��]��.��9��9���� ���"�A2

S6)T �� ,��� ����� � �� �&���� ����@ ��O�� ?�;� +�..� �0@ �)03 5�)307�

S3�T �� �&���� ���� � �� ,��� �����@ C� ��O�� ' ��@ �06� 5�)367

S3�T �� �&���� ����@ �� ,��� ����� � ?� �� B� &Q@ ��O�� ?�;� D ��@ ��� 5�))�7

S3�T �� ?���� � � fP�&Q� �@ !�� ��� ��O��Q@ �@ ��� 5�))07

S3�T V� ;�� ��� +������ ��O�� ?�"� ���@ �� 5�))�7

S3 T B� !� +�� @ !� +� � ;�--� � �� ' "��@ ���� �. .� '������& .���� ;� � @ "�

��6��0� 5���67�

S3�T ?� !� f�""� � �� !� �� � ��@ W����& ��; @ ;�� �0@ ��� 0@ �0� 5�))�7

S30T �� ,� � � .�-����@ B�P '����& c �����������@ ;�� �@ "� �0�� 5�))�7

S36T � �.���@ '� ?� � ' �"��@ C� �� '� '��"=��.�� ��]��O/ R�2�.��� A�.���2��& �

& � &.���- $(� G��&����2��& R@ ������. $(� �� ���.� ��@ � &�� �� �� ������ ��

W�2��& � :��;����� �� ��. �� �� ' �"�� � 5�))37

S33T C� +� D��� � � ,� D� �.���.@ !&&� '���� ?���@ ;�� �3@ "� ��)���� 5�)3�7

S3)T V� �� ��@ C� ?� �&����g�� � C� ?� ������@ ��O�� ?�;� +�..� �@ "� �0)3 5�)6)7

S)�T �� V������.� !.��� � ���&���@ !& ����& ����� 5�)637�