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Equação diferencial
Prof. Sandro
Aula 1 – Equação diferencial exata.
Objetivos:
Apresentar os conceitos de Equações
Diferenciais Exatas e aplicar a teoria em
exercícios práticos.
“Aço e plástico são forjados no fogo”
1) EXISTÊNCIA E UNICIDADE DA SOLUÇÃO
Teorema de Picard: ),( yxfdx
dy 00 )( yxy
Se a função f(x,y) e a derivada parcial de f(x,y) em
função de y são contínuas numa vizinhança do ponto
(x0,y0), existe uma solução que é única:
g(x) y
em certa vizinhança do ponto (x0,y0) que verifica a
condição inicial g(x0) = y0.
Obs. Se f ou f’ são descontínuas, o teorema simplesmente não é
aplicável. Outras formas de avaliar a solução devem ser
consideradas.
“Aço e plástico são forjados no fogo”
1) EXISTÊNCIA E UNICIDADE DA SOLUÇÃO
Exemplo - 1: Resolva a equação diferencial abaixo e
identifique o tipo de solução e o intervalo onde a é única.
y
x
dx
dy
“Aço e plástico são forjados no fogo”
2) Equação diferencial
de 1ª ordem
Forma normal,...),(
,...),(,...),('
yxN
yxMyxfy
ds
dy
Forma diferencial dxdx
dhdh
0)()()(
)( dyyNdxxM
yN
xM
dx
dy
Exemplo: y
x
dx
dy Forma normal
0 ydyxdx Forma diferencial
“Aço e plástico são forjados no fogo”
0)()()(
)( dyyNdxxM
yN
xM
dx
dy
Equação diferencial separável.
M,N funções de uma variável.
Se M,N são funções de mais de uma variável, como
encontrar a solução?
2) Equação diferencial
de 1ª ordem
“Aço e plástico são forjados no fogo”
2.1) Equação diferencial
Exata de 1ª ordem
0),(),( dyyxNdxyxMForma diferencial
0),(),(
),(
dy
y
yxFdx
x
yxFyxFSolução é
y
yxFyxN
x
yxFyxM
),(),(;
),(),(
F(x,y) é a solução procurada.
Como saber se a solução é exata ou não?
“Aço e plástico são forjados no fogo”
Uma equação diferencial é considerada exata
quando:
x
yxN
y
yxM
),(),(
Exemplo:não exata
exata
022 xdyyydxx
022 ydyxxdxy
2.1) Equação diferencial
Exata de 1ª ordem
“Aço e plástico são forjados no fogo”
Exemplo - 2: Verifique se as equações diferenciais
abaixo são exatas.
02)
0535)
1)
0)2()1(2)
2
2
dyyxdxyxd
xdydxyc
dx
dy
xy
xb
dyxxdxxya
“Aço e plástico são forjados no fogo”
3) Verifique se o seguinte problema de valor de
contorno:
0432 2 dyyxdxxy 21 y
é representado por uma equação diferencial exata.
A
10 y
4) Determine o valor de A na equação abaixo para com condição
de contorno:
043 22 dyyAxdxxyx
se torne um problema dado por uma equação diferencial
exata.
Exemplo - 2: cont...
“Aço e plástico são forjados no fogo”
2.2) Equação diferencial
Exata de 1ª ordem
y
yxFyxN
x
yxFyxM
),(),(;
),(),(
xx
yxMyxFyxM
x
yxF
),(),(),(
),(
dxdx
yxdMyxF
),(),(
)(),(
),( ydxdx
yxdMyxF
O trabalho consiste
em integrar e
encontrar a função
(y).
“Aço e plástico são forjados no fogo”
2.2) Equação diferencial
Exata de 1ª ordem: Solução
0)22()23( 2 dyyxdxyx
5) Encontre a solução da equação diferencial abaixo e
classifique a solução.
“Aço e plástico são forjados no fogo”
6) Verifique se as equações diferenciais abaixo são
exatas e resolva-as.
Exercícios
0)cos(cos)
0)2()1(2)
0)1()
0)1()
2
dyxyxdxxyyd
dyxxdxxyc
dyxdxb
dxxdya
