ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAS · 1.2- Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.): é a toda equação que apresenta ... Observe que a equação que aparece no item a é uma EDO

ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAS

Apresentação

Sejam bem vindos ao aprendizado das Equações Diferenciais. Elas fazem

parte da grade curricular dos cursos de Engenharia (Civil, Produção e Meio

Ambiente) e de Bacharelado em Ciências da Computação.

No decorrer de seu curso, você verá que vários modelos matemáticos se

basearão nas Equações Diferenciais, onde seu conteúdo objetiva auxiliar o

alunado no desenvolvimento do raciocínio lógico, da compreensão de conceitos

básicos e da verificação formal da linguagem matemática visando disciplinas futuras

que utilizam cálculo.

Neste trabalho, você irá aprender na Unidade I: Equações

Diferenciais, Equações Diferencias Lineares, Soluções das Equações

Diferenciais, Solução Geral e Solução Particular, Problemas De Valor Inicial e

Problemas de Valores no Contorno. Na Unidade II: Classificação das Equações

Diferenciais de 1a Ordem, Forma Diferencial de uma Equação Diferencial de 1a Ordem,

Equações Separáveis, Equações Diferenciais de 1a Ordem Separáveis, Equações

Lineares de 1a Ordem - Fator Integrante, Equação Diferencial de Bernoulli. Na

Unidade III: Equações Homogêneas, Equações Exatas, Equações Diferenciais

de 1a Ordem Homogêneas, Equações Diferenciais de 1a Ordem Exatas,

Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de Segunda ordem com

Coeficientes Constantes.

É relevante observar que em cada unidade são sugeridos ao alunado,

exercícios de aprendizagem objetivando um conhecimento mais tranquilo.

Sabendo da importância que as Equações Diferenciais têm para os cursos

de exatas, espera-se que este trabalho seja um instrumento a mais para os

estudos que você está realizando no se curso universitário.

Anicio Bechara Arero.

Introdução

Ao iniciar o estudo sobre Equações Diferenciais, o estudante tem a

curiosidade de querer saber o significado dessas equações e qual a sua

aplicabilidade. Em relação a essas indagações podemos responder que, numa

equação algébrica habitual, sempre procuramos encontrar o valor de uma

incógnita que pode ser um número pertencente ao conjunto dos Números

Reais ou um número pertencente ao conjunto dos Números Complexos. Já, na

resolução de uma equação diferencial, apesar de querermos encontrar também

uma incógnita, observa-se que esse valor desconhecido não é um número,

mas sim uma função, logo, uma equação diferencial inclui uma função

desconhecida com as suas derivadas (de qualquer ordem). Sua importância

baseia-se na necessidade de formular, descrever e modelar certos problemas

físicos, construindo uma modelagem matemática do problema.

Para resolver equação diferencial, você terá que utilizar alguns

conhecimentos prévios de técnicas e métodos, como irá observar no decorrer

desse trabalho.

Devido à grande importância desse assunto na ciência e tecnologia atual

(suas soluções são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis,

aviões e circuitos elétricos), esse trabalho objetiva estudar os modelos dessas

equações de primeira ordem tanto na área de exatas, como em outras áreas,

como humanas, biológicas etc. Após essa iniciação vamos dá início aos

estudos dessas equações.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1.0 – DEFINIÇÕES

1.1- Equação Diferencial: quando você se depara com uma equação que

envolve uma função desconhecida e suas derivadas, pode concluir que está

diante de uma equação diferencial.

Exemplos:

07)

53)

03cos.3)

42).()

24)

2

2

2

2

23

2

2

2

2

3

3

2

2

2

x

y

t

ye

xdx

dyy

dx

ydd

xydx

ydx

dx

ydc

dx

dy

dx

ydyLnb

xdx

dya

1.2- Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.): é a toda equação que apresenta

a função desconhecida (y) dependendo de apenas uma variável independente

(x). Se a função incógnita depender de duas ou mais variáveis independentes,

denominamos a mesma de Equação Diferencial Parcial (E.D.P.).

Observemos que os itens de a, b, c, d são EDO, pois a função

desconhecida y depende unicamente da variável x. Já, a equação do item e é

uma EDP, pois y depende de duas variáveis independentes x, t.

1.3- Ordem de uma EDO: é a ordem da mais alta derivada que nela

comparece.

Observe que a equação que aparece no item a é uma EDO de primeira

ordem, as equações dos itens b e d são de segunda ordem e a equação do

item c é de terceira ordem.

1.4- Grau de uma EDO: é a potência a que se acha elevada a derivada de

ordem mais alta onde, a função tem que ser polinomial.

Observe que a equação que aparece no item d é a uma EDO de terceiro

grau. Já, as equações dos itens a e c são EDO de primeiro grau.

Nota: nem toda EDO pode ser classificada conforme o grau. Observe que

o item b não possui grau, pois, a função não pode ser escrita na forma de

polinômio, em virtude do comparecimento do termo Ln(y).

2.0- EQUAÇÕES DIFENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES.

Introdução:

Dada a função f(x) = x + k (k = constante arbitrária). Sendo uma função do

10 grau, seu gráfico pode ser representado por uma reta para qualquer valor de

k, por exemplo. Se adicionarmos os valores 1, -2 e -4 a k, encontramos as

seguintes funções representas pelos gráficos:

y

y=x+1(k=1) y=x-2(k=-2) y=x-4(k=-4)

1

-1 0 1 2 3 4 5 x

-2

-4

Observe que todas as retas são paralelas para diferentes valores de k.

Calculando dxdy (eliminando a constante), encontramos 1dxdy . Isso

significa que a inclinação apresenta valor 1, que é denominado de coeficiente

angular da reta, significando que a reta forma um ângulo de 450 com o eixo-x

no sentido anti-horário, então, dizemos que 1dxdy representa a equação

diferencial de todas essas retas. Se integrarmos 1dxdy em relação a x, tem-

se a função primitiva f(x) = x + k (k = constante) que representa a solução da

equação diferencial. Como essa solução representa qualquer das retas acima,

dizemos que é uma solução geral. Uma solução particular necessita do valor

da constante, então, a função f(x) = x – 2 é uma solução particular, pois

intercepta o eixo-x em (2, 0), que gera a constate k = -2.

Exemplo:

Seja a família de curvas representada pela função y = p.e-x + q.e2x (p e q

constantes arbitrárias). Encontre a equação diferencial de segunda ordem de

toda a família de curvas y = p.e-x + q.e2x .

Solução:

Como, temos duas constantes arbitrárias, derivamos duas vezes a função y.

y = p.e-x + q.e2x.

y’ = -p.e-x + 2q.e2x

y” = p.e-x + 4q.e2x

Tira-se o valor de p.e-x da função y e substitui na 1a e 2a derivada.

y = p.e-x + q.e2x

p.e-x = y - q.e2x

y’ = -p.e-x + 2q.e2x y” = p.e-x + 4q.e2x

y’ = -(y - q.e2x) + 2q.e2x y” = y - q.e2x + 4q.e2x

y’ = -y + 3q.e2x y” = y + 3q.e2x

Isola-se 3q.e2x na 1a derivada e substitui na segunda.

y’ = -y + 3q.e2x 3q.e2x = y’ + y

y” = y + 3q.e2x.

y” = y + (y’ + y)

y” – y’ – 2y = 0 ou 022

2

ydx

dy

dx

yd

Essa equação

02

2

2

ydx

dy

dx

yd representa a equação diferencial de

segunda ordem de toda a família de curvas y = p.e-x + q.e2x.

Se integrarmos duas vezes em relação a x, terá a função primitiva que

representa a solução geral, e assim por diante. Logo, temos o seguinte

teorema:

Há n constantes arbitrárias na solução geral de uma equação diferencial

linear ordinária de n-ésima ordem.

Uma equação diferencial ordinária linear apresenta a seguinte forma:

)().(...).().().(012

2

21

1

1xfyp

dx

dyxp

dx

ydxp

dx

ydxp

dx

ydxp

n

n

nn

n

nn

n

n

Observe que todas as derivadas e y são elevadas a uma potência de expoente

unitário. As EDO que não se apresentam na forma acima são denominadas

EDO não-lineares.

Observe que:

1) A equação do item a ( 24 xdx

dy) é uma EDO de primeira ordem, com p1 =

1, p0 = 0 e g(x) = 4x – 2.

2) A equação do item c ( 03cos.32

2

3

3

xydx

ydx

dx

yd) é linear de terceira

ordem, com p3 = 3, p2 = cós x, p1 = 0, p0 = 5x e g(x) = 0.

3) As equações b

2

2

).(dx

ydyLn e d

x

dx

dyy

dx

yd53

23

2

2

são não-lineares.

Notação:

n

n

n

dx

ydy

dx

ydy

dx

dyy ,...,",´

2

2

Exercícios:

1) Em cada EDO abaixo, determine a ordem, o grau (quando possível), a

linearidade, a função incógnita e a variável independente:

a) 353

3

x

edx

dyx

dx

yd b) ttyt

dx

dyt

dx

ydt 3cos.

22

2

2

c) sds

dtst

ds

tdp 5

2

2

2 d) pbb

dp

db

dp

bd

3

74

4

4

5.5

e) y. 2

2

dy

xd= y2 +3 f) (y``)2`- 3yy` +xy = 0

Solução:

a) 353

3

x

edx

dyx

dx

yd

R) 1) 3a ordem

2) 1o grau

3) Linear: b3(x)=1, b2(x)=0,

b1(x)=-5x e b0(x)=0 e g(x)=ex-3

4) Incógnita y e variável Independente x

b) ttytdx

dyt

dx

ydt 3cos.

22

2

2

1) 2a ordem

2) não tem grau (não polinômio - termo y)

3) não-linear


c) sds

dtst

ds

tdp 5

2

2

2

R) 1) 2a ordem

2) 1o grau

3) não-linear(2 variáveis s,t)

4) Incógnita t e variável Independente s

d) pbbdp

db

dp

bd

3

74

4

4

5.5

1) 4a ordem

2) 4o grau

3) não-linear

4) Incógnita b e variável Independente p

e) y. 2

2

dy

xd= y2 +3

R) 1) 2a ordem

2) 1o grau

3)linear: : b2(y) = y, b1(y)=0, b0(y)=0 e g(y)=y2+3.

4) Incógnita x e variável Independente y

f) (y``)2`- 3yy` +xy = 0

1) 2a ordem

2) 2o grau

3) não-linear


2 – Encontre a equação diferencial associada a cada equação abaixo:

a) y = px + q R) y” = 0

b) y = p.sen(2x) + q.cos(2x)

c) pxy R) 2xy’ – y = 0

d) y = (p +qx).e2x R) y” + 4y’ + 4y = 0

Solução:

b) y = p.sen(2x) + q.cos(2x)

y’= 2pcos(2x) – 2qsen(2x)

y”= -4psen(2x) -4qcos(2x)

Tira-se o valor de sen(2x) em y e substitui nas derivadas.

0404"

4"

)2cos(4)2cos(44")2cos(4)2cos(

4"

)2cos(2)2cos(2'

2

2

ydx

ydouyy

yy

xqxqyyxqp

xqypy

p

xqyqxpy

Logo, 042

2

ydx

yd representa a equação diferencial de segunda ordem de toda

a família de curvas y = p.sen(2x) + q.cos(2x).

3.0- SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

- Conhecemos como solução de uma equação diferencial, no intervalo I, toda

função y(x) que, ao ser substituído na equação diferencial dada a transforma

em uma identidade.

Exemplos:

1) Verifique se y(x) = k1sen(2x) + k2cos(2x) (k1 e k2 constante arbitrárias), é

solução da equação y” + 4y = 0.

- Observe que a equação é de segunda ordem, logo, diferenciamos duas vezes

y(x).

y(x) = k1sen(2x) + k2cos(2x)

y’(x) =2 k1cos(2x) - 2 k2sen(2x)

y”(x) = -4k1sen(2x) - 4k2cos(2x)

Substituindo em y” + 4y = 0, temos:

y” + 4y = 0

y” + 4y = [-4k1sen(2x) - 4k2cos(2x)] + [4(k1sen(2x) + k2cos(2x)]

y” + 4y = -4k1sen(2x) - 4k2cos(2x) + 4(k1sen(2x) + k2cos(2x)

y” + 4y = [-4k1sen(2x) + 4k1sen(2x)] + [- 4k2cos(2x) + 4k2cos(2x)]

y” + 4y = 0

Portanto, y(x) = k1sen(2x) + k2cos(2x) satisfaz a equação diferencial para

qualquer valor de x, por conseguinte, uma solução no intervalo (-, +).

2) Verifique se y = x2 -1 é uma solução de (y’)4 + y2 = -1.

- Observe que a equação diferencial (y’)4 + y2 = -1 apresenta a soma de

potências pares, logo, o resultado só pode ser um número positivo e não

negativo (-1), portanto, ela não apresenta solução.

Observamos que as equações diferenciais apresentam infinitas soluções (ex.

1) ou nenhuma solução (ex.2). Contudo, tem equação que apresenta apenas

uma solução, como por exemplo, (y’)4 + y2 = 0 cuja solução é nula (y = 0).

4.0- SOLUÇÃO GERAL E SOLUÇÃO PARTICULAR

- Solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as soluções

particulares dessa equação.

A solução geral da equação diferencial é representada por y(x) = k1sen(2x)

+ k2cos(2x) e, toda solução particular da referida equação tem esta forma

geral. Observe os exemplos de soluções particulares: a) y(x) = 5sen(2x) +

3cos(2x) (k1 = 5 e k2 = 3) b) y(x) = 2sen(2x) - 5cos(2x) (k1 = 2 e k2 = -5).

5,0- PROBLEMAS DE VALORES INICIAIS E PROBLEMAS DE VALORES

NO CONTORNO

5.1- O problema de valor inicial consiste:

1) Uma equação diferencial.

2) As condições secundárias relativas a variável independente e suas

derivadas tem que visar valor igual.

5.2- O problema de valores no contorno consiste:

1) Uma equação diferencial.

2) As condições secundárias relativas a variável independente e suas

derivadas tem que visar valores diferentes.

5.3- Uma solução de um problema de valores iniciais ou de valores no contorno

é uma função f(x) que, simultaneamente, resolve a equação diferencial e

verifica todas as condições secundárias dadas.

Exemplos:

1) O problema y” + 2y’ = ex, onde y() = 1 e y’() = 2, é um problema de valor

inicial?

R) Sim, pois em ambos os casos x = .

2) O problema y” + 2y’ = ex, onde y(0) = 1 e y’(1) = 1, é um problema de valores

de contorno?

R) Sim, pois os valores de x são diferentes.

3) Verifique se alguma das funções abaixo é solução do problema de valor

inicial y”(x) + 4y(x) = 0, onde y(0) = 0 e y’(0) = 1.

a) y1(x) = sen(2x)

b) y2(x) = x

c) y3(x) = 1/2.sen(2x)

Solução:

a) y1(x) = sen(2x) é solução da equação diferencial, pois satisfaz a 1a condição

inicial: y1(x) = sen(2x) y(0) = 0. Observe:

00

0)2(4)2(4

0)(4)("

)2(4)(

)2cos(2)(

)2()(

"

1

'

1

1

xsenxsen

xyxy

xsenxy

xxy

xsenxy

.

Contudo, y1(x) = sen(2x) não satisfaz a 2a condição inicial, pois:

y1(x) = sen(2x)

y’1(x) = 2.cos(2x)

y’(0) = 2.cos0

y’(0) = 2

1 2

Logo, não é solução do problema de valor inicial.

b) y2(x) = x satisfaz ambas as condições: y(0) = 0 e y’(0) = 1, contudo, não

verifica a equação diferencial, logo, não é solução do problema de valor inicial.

Observe:

04

040

0)(4)("

0)(

1)(

)(

"

2

'

2

2

x

x

xyxy

xy

xy

xxy

c) y3(x) = 1/2.sen(2x) satisfaz ambas as condições: 0)0.2(.2

1)0(

3 seny e

1)0.2cos()0()2cos()('

3

'

3 yxxy . Verifica a equação diferencial, logo, é

solução do problema de valor inicial. Observe:

00

0)2(.21.4)2(2

0)(4)("

)2(2)(

)2cos()(

)2(.21)(

"

3

'

3

3

xsenxsen

xyxy

xsenxy

xxy

xsenxy

PROBLEMAS

01) Verifique se f(x) = 2e-x + xe-x é solução de f”(x) + 2f’(x) + f(x) = 0.

(Diferencia-se duas vezes a função f(x) e substituindo na equação diferencial,

verificando a identidade).

R) É solução.

02) Verifique se f(x) = 4 é solução de f(x)” + 2f’(x) + f(x) = x.

R) Não é solução.

03) f(x) = Ln(3x) é uma solução de xf”(x) +f’(x) = 0 em I = ]0, +)? R) Sim.

04) Verifique quais das funções abaixo são soluções das equações:

a) y(x) = -4 + e2x, y’ – 2y = 8 b) f(x) = (x2 – 3)2 , 3f’(x)- 2f(x) = 3x

c) f(p) = 3p + 6, f”(p) – pf’(p) + f(p) =6 d) y(x) = e2x , y” – 4y’ + y = -3.e2x

Resposta:

a) sim b) não c) sim d) sim

05) Determine uma solução do problema de valor inicial f’(x)’ + f(x) = 0, onde

f(3) = 2, sendo a solução geral da equação é f(x) = c1e-x, com c1 constante

arbitrária.

Resposta: f(x) = 2.e(3-x)

06) Encontre uma solução de valores de contorno y” + 4y = 0, onde y(/8) = 0 e

y’(/6) = 1, sabendo que a equação geral da equação diferencial é y(x) =

p.sen(2x) + q.cos(2x).

Resposta: 31

)2cos(

31

)2(

xxseny

07) Determine p e q de modo que y(x) = p.sen (2x) + q.cos(2x) +1 satisfaça as

condições y(/8) = 0 e y’(/8) = 2.

Resposta: 2

21

2

21

qep

08) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1.e2x + c2.e

x + 2senx satisfaça as

condições y(0) e y’(0) = 1.

Resposta: c1 = -2 e c2 = 3

09) Verifique se a função y = k1.cos(2x) + k2.sen(2x) é uma solução da equação

y” + 4y = 0, sendo k1 e k2 constantes.

Resposta: Sim

10) y = sen(3x) é solução da equação y’2 +3y2 = 1 ou da equação y’2 +9y2 = 9?

Resposta: da equação y’2 +9y2 = 9.

11) Encontre os valores de p, tais que y(x) = xp, é solução em todo real da

equação diferencial x2y” + 2xy’ – 6y = 0.

Resposta: 3 e -2

6.0- CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM

- Forma Normal (padrão) de uma Equação Diferencial de 1a Ordem:

),(' yxfdx

dyy

Ex: a) senxyyxfdx

dyy ),('

b) 43

23

),('yx

yxyxf

dx

dyy

c) A equação diferencial senxyeyexx

.'.2 não se encontra na forma normal,

contudo, podemos colocar nessa forma isolando y’ da seguinte maneira:

yesenxedx

dyy

eyesenxye

senxyeye

xx

xxx

xx

..'

.'.

.'.

2

2

- Forma Diferencial de uma Equação Diferencial de 1a Ordem:

0),(),( dyyxNdxyxM .

Transformando para forma normal de uma equação diferencial de 1a ordem,

temos:

),(

),(

),(),(

0),(),(

yxN

yxM

dx

dy

dxyxMdyyxN

dyyxNdxyxM

Ex.: Dada a função 2

),('y

yxyxfy

. Vamos decompô-la em um quociente de

duas outras funções, da seguinte maneira:

a) Se M(x,y) = x + y e N(x,y) = -y2, então, 22

)(),(

),(

y

yx

y

yx

yxN

yxM

b) 22

2

)2

(

2

),(

),(,,

2),(

2),(

y

yx

y

yx

yxN

yxMentão

yyxNe

yxyxMSe

Obs.: A função acima pode ser decomposta em mais de duas funções.

6.1- EQUAÇÕES SEPARÁVEIS

- Denomina-se equação diferencial separável a equação diferencial que se

apresenta na forma diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM , onde M(x,y) = f(x)

(função somente da variável x) e N(x,y) = f(y) (função somente da variável y).

Ex.: a) senx dx + y2 dy = 0

- Observe que M(x,y) = f(x) = senx e N(x,y) = g(y) = y2.

c) xy2 dx – x2y2 dy = 0

- Note que na forma dada, essa equação é não separável, pois M(x,y) = f(x)

= xy2 não é função somente de x. Contudo, podemos transformá-la numa

equação separável do seguinte modo:

Divide-se toda a equação por x2y2, obtendo a equação 0 dyx

dx. Agora,

podemos dizer que M(x,y) = f(x) = 1/x e N(x,y) = g(y) = -1.

- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM SEPARÁVEIS

1- Solução Geral:

Seja a equação diferencial de primeira ordem, separável:

f(x)dx + g(y)dy = 0

ydesomentefunçãoyf

xdesomentefunçãoxf

)(

)(

Aplicando a integral, temos:

f(x)dx + g(y)dy = c (constante arbitrária)

2- Problema de Valor Inicial:

f(x)dx + g(y)dy, sendo y(x0) = y0

x

x

y

y

dyyfdxxf0 0

0)()(

Exemplo:

1) Resolva as equações diferenciais de 1a ordem separáveis:

Nota: para obtermos a resolução da equação diferencial, devemos

resolver explicitamente a mesma, em relação a y. Contudo, tem problema

que não é possível resolver explicitamente, neste caso, deixa-se na forma

implícita.

a) xdx – y2dy = 0 b) y’ = y2x3

c) y’ = 5y d) exdx – ydy = 0, sendo y(0) = 1

e) 3

3

3

2

y

x

dx

dy f) 92

2 yx

dx

dy

Solução:

a) xdx – y2dy = 0 b) y’ = y2x3

3

2

3

2

2

3

23

32

2

2

3

)3(32

3

32

3

23

32

0

kx

y

ckcx

y

cx

y

cxy

cyx

dyyxdx

4

44

4

14

23

2332

4

)4(4

41

4

1

1

4

14

0

0

xky

ckxc

y

xc

y

cy

x

cyx

dyydxx

dyydxxxydx

dy

c) y’ = 5y d) exdx – ydy = 0, sendo y(0) = 1

1

x

cxc

cx

cx

eky

ekeey

eey

eycxy

cyx

cy

dydx

y

dydxy

dx

dy

5

5

5

5

.

)(.

.

5ln

ln5

5

055

012,12

121

)01(2

)2(22

2

)(

02

2

2

2

xx

x

x

x

x

eey

kke

xeykey

ckcey

cy

e

cdyydxe

Obs.: Resolvendo o item d utilizando integral definida.

01212122

1

21

2

1

21

2)(

2

2

2

1

2

00 1

xxxx

x

y

xxx y

x

eeyeycy

e

cy

ecy

ecdyydxe

.

,log,exp

,lg

363364

)12(12363364

)12(34

33

33

0333

3)

43

43

43

32

32

3

2

implicitaformana

permaneceolícitaforma

naficarpodenãoeebricamentA

kyyxx

ckkyyxx

mmccyy

xx

cdyydxx

dyydxxy

x

dx

dye

kxtgy

kccxtgy

cxtgy

cxy

arctg

cxy

arctg

xdxy

dy

yxdx

dyf

)3(3

)9(9)3(3

3)3(3

33)3

(

)3

(3

1

29

92)

2

2

2

2

2

2

2

2) Resolva as equações diferenciais de 1a ordem separáveis:

a) x cosx dx + (1-6y5)dy = 0, sendo y() = 0.

R) xsenx + cosx + 1 = y6 - y .

Não é possível resolver na forma explicita, logo, deixamos na forma implícita.

b) 0 dyx

dx R) kc

x

ky ln,ln

c) 0y

dyxdx R) c

x

ekkey

,2

2

d) 0122

dyyydxx R) ckkyyxx 6,3262233

e) 0 ydyxdx R) ckxk 2,2

f) 0y

dy

x

dx R) c

ekkxy

,

g) y’ = x2y + y R) x

x

eky

3

3

.

h) 0)0(,.12

ysendoe

x

dx

dyx

y R) 2

1ln.2

1xy

i)

01

11'

2

3

xyx

yy R)

x

xky

2

32

3 1.1

j) y

xy

2'

2

R) kxx

y 43

23

l) 1)0(, yy

e

dx

dyx

R) 12 x

ey (condição inicial: y tem que ser +)

m) 222

yydx

dy R) )(1 cxtgy

* 1)1(11222222 yyyyy

9.0- EQUAÇÕES LINEARES DE 1a ORDEM

9.1- Definição:

- Denomina-se equação diferencial linear de 1ª ordem a toda equação

diferencial que pode ser escrita pela forma f(x, y) = y’ = -p(x).y + q(x) ou y’ +

p(x).y = q(x), onde p(x) e q(x) são funções de x.

Ex.: a) y´= (senx).y + ex

Observe que y’ – (senx).y = ex , logo, temos p(x) = -senx e q(x) = ex.

b) y´= 3

Nesse caso temos p(x) = 0 e q(x) = 3

9.1- Fator integrante.

Para resolver a equação y’ +p(x)y = q(x) que representa uma Equação

Diferencial Linear de 1a Ordem, temos que determinar um fator que

denominamos Fator Integrante(F.I.), que deve multiplicar toda a equação,

sendo representado pela função dxxp

eyxI)(

),(

.

Exemplo:

1) Determine um F.I. para y’ – 2y = 5.

Neste caso p(x) = -2, logo,

xdx

eeyxI2

2

),(

.

Escrevendo a equação na forma diferencial, temos:

..),(,

.5.

.5.2'.

52'

2

22

222

2

IFoéeyxILogo

eeyd

ExataEquaçãoeeyye

eyy

x

xx

xxx

x

9.2- Método de Resolução.

Ao multiplicar a equação y’ + p(x)y = q(x) pelo FI, o 1º membro da equação

resulta em uma derivada do produto

dx

FIyd .. Integrando esta nova equação,

encontramos a solução de y’ +p(x)y = q(x).

Exemplos:

1) Resolva as equações diferenciais de 1a ordem lineares:

a) y’ – 2y = 5. b) y’ – 2ty = t

c) y’ + 4x-1y = x4 d) y’ + y = senx

Solução

a) y’ – 2y = 5.

Determina-se o F.I. para y’ – 2y = 5.

Neste caso p(x) = -2, logo,

xdx

eeyxI2

2

),(

.


b) y’ – 2ty = t

Determina-se o F.I. para y’ – 2ty = t.

Neste caso p(t) = -2t, logo, 22

),(t

dtt

eeytI

.


2

22

2

2

2

22

22

22

.2

1

2

12

2.

..

.int,

..

.

..2'.

2'

2

2

t

tt

t

t

t

tt

tt

ttt

t

ecy

e

c

e

ce

y

ce

ey

dtetdteyd

membrososambosegramosAgora

eteyd

produtododerivadaumatemosmembroprimeironoqueObserve

etetye

ettyy

12.

22

2

2

2

2.

2

.4.

.4.

.int,

.4.

.

.4.2'.

42'

2

22

2

2

2

22

2

2

22

22

222

2

x

xx

x

x

x

xx

x

x

xx

xx

xxx

x

cy

cecey

ceey

ce

ey

dxedxeyd


eeyd


ExataEquaçãoeeyye

eyy

c) y’ + 4x-1y = x4

Neste caso p(x) = 4x-1 = 4/x, logo, 4.4

4

4

2),( xeeyxIxLnxLn

dxx

.


4

5

4

5

9

4

84

84

834

4444

44

.9

9

9.

.

.int,

.

.

4'.

.4

.'.

4'

xcx

y

oux

cxy

cx

xy

dxxdxxyd


xxyd


xyxyx

xxyx

xyx

xxyx

y

d) y’ + y = sen(2x)

Neste caso p(x) = 1, logo, xdx

eeyxI

),( .


).1(.cos.

)().(')().()(').(

)(cos)('

)(')(cos.

intcos.

.2

1cos.

2

1

.cos.2

.cos..

.cos..

)1(cos.cos..

)cos.()cos.(.

)().(')().()(').(

cos)()('

)(')(..*

int.

..2

1cos.

2

1

)(.2

1cos.

2

1.

..

..

.int,

..

.

..'.

'

**

**

**

*

*

emdosubstituinsenxdxesenxexdxe

dxxgxfxgxfdxxgxf

senxxgxxg

exfexfdxe

parteporegraçãooutradxe

csenxexesenxdxe

senxexesenxdxe

senxexesenxdxesenxdxe

senxdxesenxexesenxdxe

dxexesenxdxe

dxxexesenxdxe

dxxgxfxgxfdxxgxf

xxgsenxxg

exfexfdxsenxe

parteporegraçãosenxdxe

finalresultadoecsenxxy

ecsenxexeey

senxdxeey

senxdxedxeyd


senxeeyd


senxeyeye

esenxyy

xxx

xx

x

x

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxx

xxx

xx

x

x

x

xxxx

xx

xx

xx

xxx

x

2) Resolva o problema de valor inicia y’ + y = senx, onde y() = 1.

Determina-se o F.I. para y’ + y = senx.

Neste caso p(x) = 1, logo, xdx

eeyxI

),( .


2

3

2

)(cos

2/32

11

2

)(cos1

2

)(cos

2

)(cos.

..

..

..'.

'

senxxy

cc

csen

csenxx

y

csenxxe

ey

dxesenxeyd

esenxeyd

ExataEquaçãoesenxeyye

esenxyy

x

x

xx

xx

xxx

x

R) )cos(2

1xsenxe

x

Exercícios:

1- Resolva as equações diferenciais de 1a ordem lineares:

a) y’ – 5y = 0 R) xecy

5.

b) y’ – 7y = ex R) y = ce7x –ex/6

c) y’+6xy=0; y()=5 R) 223

5

x

ey

d) 4.210

2'

y

xy R) 5

210

4402

x

X

cxxy

e) y’ + 2xy =0 R) 2

.x

ecy

f) y’+3x2y=0 R) 3

.x

ecy

g) qqpdq

dp condição inicial p(0) =-4 R) p(q) = 2

2

.51x

e

h) 022

'4 x

ey

xy R) 5

9

2.

2

xecyx

i) y’ – 7y = 14x R) y = c.e7x – 2x – 2/7

j) )100)2((4210

2

sinicialcondiçãos

tdt

dsR) 5

102

1304442

t

t

tty

l) )0)1((2

yinicialcondiçãoxyxdx

dy R)

2

2 1

4

1

xxy

10.0- EQUAÇÃO DIREFENCIAL DE BERNOULLI

A equação diferencial de Bernoulli (Jacob Bernoulli) é uma equação diferencial

ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

y’ +p(x)y = q(x)yn, com n real (n ≠ 0 e n ≠ 1)

Para resolver esse tipo de equação, devemos substituir z = y1-n. Com isso,

transformamos a equação dada em uma equação linear com solução.

Exemplo:

1) Resolva as equações de Bernoulli:

a) y’ + xy = xy2 b) 31

43' yxy

xy

c) 22' xyy

xy R) d) 4

3

1' yeyy

x

Solução:

a) y’ + xy = xy2 (p(x) = x, q(x) = x e n = 2.

Como n = 2, temos, 2

121 ''

11

z

zye

zy

yzyzyz

Substituindo em y’ + xy = xy2, temos:

xezedx

d

xexzeze

eeFI

solvendo

linearequaçãoxxzz

xxzz

zmmcz

xz

xz

z

xx

xxx

x

xdx

22

222

2

2

22

22

222

2

.

'

Re

)('

)1.('

)(1

.1

.'

1.

11

;,

1..

.

2

222

22

2

222

22

x

xxx

xx

ecz

y

éoriginalequaçãoaLogo

eczceze

xdxedxzedx

d

b) 31

43' yxy

xy

Como n = 1/3, temos, '.2

3'

2/12/33/23/11zzyezyyzyz

Substituindo em 21

43' yxy

xy , temos:

43/142/32/1

3

22'

3'.

2

3xz

xzouzxz

xzz

3

2

5

2

5

3/23/2

2

53

22222

23242

2

2

2ln2

2

9

2

9

2:,,

9

2

9

2.

3

2.

3

2.

3

22'

3

22'

Re

2

cxx

ycxx

ytemosyzComo

cxx

zcx

zxdxxzxxzxdx

d

xzxzxxxzx

xzx

xeeeFI

solvendo

xlxxdx

x

Exercício:

- Resolva as equações diferenciais de Bernouili:

a) 21' yy

xy R)

)(

1

Lnxcxy

b) 3' xyyxy R)

2

2

2

1

cxxy

c) 22cos

2xyx

x

y

dx

dy R)

)(

1

2csenxx

y

d) Lnxyxyxy22

' R) R)x

x

eLnc

y

1

11.0- EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS

- Denomina-se equação diferencial homogênea a equação diferencial y’ = f(x,y)

quando acontece f(tx, ty) = f(x, y) (t ).

),(),()(

),(

),():.

yxftytxfy

yx

ty

yxt

ty

tytxtytxfqueObserve

y

yxyxfaEx

),(),(),(

)hom(),()

222

2

yxftytxfx

ty

tx

yt

tx

tytytxfqueObserve

ogêneaénãox

yyxfb

12.0- RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM

HOMOGÊNEAS

12.1- Primeiro Método de Resolução:

- Na equação diferencial homogênea ),( yxfdx

dy ,onde, ),(),( yxftytxf ,

façamos a substituição y = xv. A derivada correspondente é .dx

dvxv

dx

dy

Simplificando o resultado encontramos a equação diferencial com

variáveis x e y separáveis. A solução é obtida mediante volta à variável

original.

12.2- Método Alternativo de Resolução

- Escrevendo a equação diferencial como ),(

1

yxfdx

dy e fazendo a

substituição x = yu, a derivada correspondente é .dy

duyu

dy

dx

Simplificando o resultado encontramos a equação diferencial com

variáveis u e y separáveis. A solução é obtida mediante volta à variável

original.

Exemplo:

1) Resolva as equações diferenciais de 1a ordem homogêneas:

a) x

xyy

' (lembrando que

dx

dyy ' )

Fazendo y = xv e dx

dvxv

dx

dy na equação

x

xyy

' , obtemos:

separávelequaçãodvx

dx

dx

dvx

vvdx

dvx

x

xvxxv

dx

dvx

vx

xxv

dx

dvx

x

xxv

dx

dvxv

0

1

1

Resolvendo 0 dvx

dx, encontramos:

./ln/

:,

./ln/ln/ln/

ln/ln//ln/

kxxy

trmosxvyemdoSubstituin

kxvkxv

kccxvcvxcdvx

dx

3

442

')xy

xyyb

4

1

48

1

4) kcxxcyR

kyyxRyx

yxyc

22

22)

2')

xy

xyyd

22

')

2224ln) xxxyR

13.0- EQUAÇÕES EXATAS

- Uma equação diferencial na forma 0),(),( dyyxNdxyxM é exata se:

x

yxN

y

yxM

),(),(.

Exemplo:

a) 3x2ydx + (y + x3)dy = 0

- Sendo M(x,y) = 3x2y, N(x,y) = (y + x3), 223

),(3

),(x

x

yxNex

y

yxM

,

concluímos que a equação 3x2ydx + (y + x3)dy = 0 é exata.

b) xydx + y2dy = 0

- Não é exata, pois 0),(),(

x

yxNex

y

yxM.

14.0- RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM EXATAS

- Uma equação diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM é exata se existe uma

função tal que dyyxNdxyxMyxdg ),(),(),( .

Note que )tancos(.),(,log,0),( teccyxgoyxdg

É relevante salientar que se M(x,y) e N(x,y) são contínuas, então,

0),(),( dyyxNdxyxM é exata, se somente se x

yxN

y

yxM

),(),(.

Exemplo:

1) Verifique se as equações abaixo são de 1a ordem exatas. Caso afirmativo,

encontre as soluções:

a) 2xydx + (1 + x2)dy = 0

exataé

xx

yxNxyxN

xy

yxMxyyxM

2),(

1),(

2),(

2),(

2

Solução:

1) xyyxMx

g2),(

e 2) 2

1),( xyxNy

g

Integrando (1), temos:

)3()(),(

2

2yhyxyxg

xydxdxx

g

Observe que, ao integrarmos em relação a x, a constante (em relação a

x) de integração pode depender de y.

Agora, determinemos o valor h(y).

- Deriva-se )(),(2

yhyxyxg em relação a y, obtemos )('2

yhxy

g

.

- Leva-se )('2

yhxy

g

e 2

1),( xyxN , em (2), temos:

),(),(

yxNy

yxg

)('2

yhx = 21 x

h’(y) = 1

- Agora, integramos h’(y) = 1 em relação a y.

1)(

1)('

cyyh

dydyyh

- Levando1

)( cyyh em (3), temos:

)(),(2

yhyxyxg

licitaformanaexataEDdasoluçãox

cy

ou

implicitaformanaexataEDdasoluçãocyyx

cccccyyx

cyyxc

temoscyxgcomocyyxyxg

exp1

)(

:,),(,),(

2

2

2

2

211

2

1

2

1

2

b) (x+seny)dx + (xcosy-2y)dy = 0

exataé

yx

yxNyxN

yy

yxMyxM

cos),(

2y-xcosy),(

cos),(

seny+x),(

Logo, seny+x),(

x

gyxM .

Integrando, temos:

)(.2

1),(

seny+x

2yhsenyxxyxg

dxdxx

g

Agora, determinemos o valor h(y).

- Deriva-se )(.2

1),(

2yhsenyxxyxg em relação a y.

)('cos yhyxy

g

.

- Leva-se )('cos yhyxy

g

e yyxyxN 2cos),( , em

),(),(

yxNy

yxg

.

)('cos yhyx = yyx 2cos h’(y) = -2y

- Agora, integramos h’(y) em relação a y.

1

2

1

)(

2)('

cyyh

dyydyyh

- Levando1

2)( cyyh em )(.

2

1),(

2yhsenyxxyxg , encontramos:

)(2

1

:,),(2

1),(

122

22

1

22

ccccyxsenyx

temoscyxgcomocyxsenyxyxg

c) (xy + x2)dx - dy = 0 (NÃO É EXATA)

d) xy

xy

exy

eyy

.2

.2'

R) 2x + exy – y2 = c2 (c2 – c1)

e) 5)2(;1

2'

2

y

x

xy :

1

25)

2

xyR

f) (2xy + x)dx + (x2 + y)dy = 0 R: 2

222

2

1

2

1cyxyx

g) y.exy dx + x.exy dy = 0 R) exy = c2

15.0- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS DE

SEGUNDA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES

15.1- Equação Característica:

Surge de uma equação diferencial do tipo y” + a1y’ + a0y = 0 (a1 e a0

constantes) quando substituímos y”, por 2, y’ por e y por 0 = 1, da

seguinte maneira:

2 + a1 + a0

0 = 0.

Como, a equação característica 2 + a1 + a0 = 0 é uma equação do

segundo grau, podemos fatorar do seguinte modo:

( - 1).( - 2) = 0.

Exemplo:

- Encontre as equações características das seguintes equações

diferenciais fatorando-as:

a) y” + 5y’ + 6y = 0 b) y” - 8y’ + 16y = 0

c) y” + 2y’ = 0 d) y” - 4y’ + 3y = 0

Solução:

a) y” + 5y’ + 6y = 0 2 + 5 + 6 = 0

Para fatorar, calculamos as raízes da equação do 20 grau utilizando a fórmula

de Bháskara, em seguida, substituímos na forma fatorada ( - 1).( - 2) = 0.

Nesse caso, temos duas raízes reais e desiguais 1 = -2 e 2 = -3.

Logo: ( + 3)( + 2) = 0

b) y” - 8y’ + 16y = 0 2 - 8 + 16 = 0

Nesse caso, as raízes são reais e iguais 1 = 4 e 2 = 4. Logo: ( - 4)( -4) = 0

ou ( -4)2 = 0.

c) y” + 2y’ = 0 2 + 2 = 0

Nesse caso, as raízes são reais e desiguais 1= 0 e 2= -2. Logo: .( + 2) = 0.

d) y” - 4y’ + 3y = 0 2 - 4 + 3 = 0

Nesse caso, as raízes são complexas 1=2+i e 2= 2-i. Logo: (-2-i)(-2+i) = 0

15-2- Solução de Equação Diferencial utilizando as raízes característica.

Para encontrar a solução da equação diferencial y” + a1y’ + a0y = 0 (tem que

ser linear) a partir das raízes da equação característica 2 + a1 + a00 = 0,

devemos observar três casos:

10- caso: quando as raízes da equação característica são reais e desiguais,

temos como solução geral xxececy 21 ..

21

.

Nota: quando as raízes são simétricas (1 = -2), a resolução da

equação xxececy 21 ..

21

pode ser escrita na seguinte forma

xsenkxky1211

.cosh. , onde k1 = c1 + c2 e k2 = c1 - c2.

20- caso: quando as raízes da equação característica são complexas, sendo

pares conjugados 1= a + bi e 2= a – bi, temos como solução geral complexa

xbiaxbiaececy

)~(

2

)(

1..

. Sendo equivalente a ).(.)cos(.21

bxsenecbxecyaxax

30- caso: quando as raízes da equação característica são reais e iguais (1 =

2), temos como solução geral xxxececy 11 ..

21

.

Exemplo:

1) Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas de segunda

ordem com coeficientes constantes:

a) y”- y’ -2y = 0

Transformando numa equação característica, temos:

λ2 – λ – 2y = 0

01.21"

2'

, como as raízes são desiguais, temos:

xxececy

2

21..

b) y” – 2y’ = 0


λ2 – 2λ = 0

02.0"

2'

, como as raízes são desiguais, temos:

x

x

eccy

xececy

2

21

2

2

0

1

.

..

c) y” – 2y’ + 3 = 0


λ2 – 2λ + 3 = 0

0)].21()][.21([

.21"

.21'

ii

i

i

, como as raízes são complexas,

temos:

21,,..).21(

2

).21(

1

beacomoececy

xixi , temos

)..2(.).2cos(.21

xsenecxecyxx

BIBLIOGRAFIA

Bronson, Richard. Equações Diferenciais/ Richard Bronson; tradução

Alfredo Alves de Farias: revisão técnica Antonio Pertence Júnio, -- 2. Ed.

– Aão Paulo: Makron Books, 1994. 1. Equações Diferenciais I. Título.

(515.35).

Leighton, Walter. Equações diferenciais ordinárias/ Walter Leighton;

tradução de Luiz Adauto da Justa Medeiros. 2a. ed. ver. e suplementada

pela 3a. ed. americana por Danilo Marcondes. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos, 1978. Tradução de: Ordinary differential

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GRENVILLE, W.A.B Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de

Janeiro: Atual, 1983. (517.D765e).

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ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAS · 1.2- Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.): é a toda equação que apresenta ... Observe que a equação que aparece no item a é uma EDO