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MÉTODOS MATEMÁTICOSMÉTODOS MATEMÁTICOS

55aa AulaAula

Claudia Mazza Dias

Sandra Mara C. Malta

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SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAISSISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

F Motivação: Modelo Logístico de Competição entre duas Espécies

Partindo-se da equação logística (mesma do exemplo de aplicação de EDO),

O modelo a ser considerado incorpora não só a competição intraespecífica como também a competição interespecífica.

Seja y1 a população da espécie original, com capacidade de transporte k1 e taxa de crescimento r1. E seja y2uma segunda espécie, com k2 e r2.

−

=k

ykyr

dt

dy

3

Vamos supor que 10 indivíduos da espécie 2 tenham os mesmos efeitos de competição e inibição da espécie 1. O efeito competitivo total será equivalente a,

Chamamos a constante 1/10 de coeficiente de competição, ou seja, α12= 1/10, uma vez que ela mede o efeito competitivo das espécies 1 e 2. Logo, se α12 <1, a espécie 2 tem menor efeito inibidor do que a espécie 1, e se α12 > 1, ocorre o oposto.Assim, para a espécie 1,

(1)

Procedendo-se da mesma forma paea a espécie 2,

(2)

+

10

yy 2

1

α−−=

α+−=

1

2121111

1

1

2121111

1

k

)yykyr

dt

dy

k

)yy(kyr

dt

dy

α−−=

2

1212222

2

k

)yykyr

dt

dy

4

Temos então definido um sistema de equações diferenciais dado por(1) e (2),

α−−=

α−−=

2

1212222

2

1

2121111

1

k

)yykyr

dt

dy

k

)yykyr

dt

dy

5

F Definição:

Ao considerarmos um sistema de equações diferenciais, estaremos procurando um conjunto de funções que satisfaçam simultaneamenteas várias equações diferenciais que compõem o sistema. Procuramos também a solução geral do sistema.

Ou ainda,

Se B for nulo, o sistema é dito homogêneo.

+

=

n

2

1

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n

2

1

b

b

b

y

y

y

.

aaa

aaa

aaa

y

y

y

dt

d

MM

L

MOMM

L

L

M

BXAX

+= .dt

d

XAX

.dt

d=

6

Uma solução será uma matriz,

cujos elementos são funções que solucionam o sistema. XAX

.dt

d=

=

n

1

x

x

MX

F Exemplo:

−=

−=

y4x5dt

dy

y3x4dt

dx

=

=

−−

==

dt

dydt

dx

dt

d

y

x

45

34.

dt

d

XX

AXAX

7

Para solucionar o sistema, vamos proceder da seguinte forma: combase na solução geral da equação, que é

espera-se que a solução do sistema seja do tipo,Então,

Podemos assim reescrever o sistema,

Ou seja,

Pensando em como um autovetor de A,

que é exatamente a equação de autovalores e autovetores de A.

x.adt

dx=

teb

a

y

x λ

=

=X

t

t

t

t

t

eb

a

eb

ea

eb

ea

dt

d

y

x

dt

d

dt

d λλ

λ

λ

λ

λ=

λλ

=

=

=

X

tt eb

ae

b

a λλ

=

λ A

=

λ

b

a

b

aA

b

a

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Vamos então procurar os autovalores de A

Assim, temos

que são os autovalores procurados. Vamos procurar então pelos autovetores de A . Para λ1, temos

Note que o sistema acima é indeterminado já que as duas equações são idênticas. Se tomarmos x = 1, como conseqüência y = 1, e teremosassim definido o autovetor,

045

34=

λ−−−λ−

1e10

0)5)(3()4)(4(

212 −=λ=λ∴=λ

=−−λ−−λ−

=−=−

=−−+=−−

0y5x5

0y3x3

0y)14(x5

0y3x)14(

=

1

11v

9

Repetindo-se a operação para λ2, e tomando-se x = 3, teremos que y = 5, e assim definiremos o segundo autovetor,

Logo, as soluções do sistema são,

e a solução geral do sistema será,

=

5

32v

t.1t.1 e5

3yee

1

1x −

=

=

++

=

+

=

−

−

−

t2

t1

t2

t1

t2

t1

eC5eC

eC3eC

e5

3Ce

1

1C

X

X