RELACIONES PROPORCIONALES 1

LA CIRCUNFERENCIA- CÍRCULO

Prof. José Mardones Cuevas

E-Mail: cumarojo@yahoo.com

as

: Angulo del centro.: Arco, comprendido por el ángulo del centro y los radios.

: Sector, comprendido por el ángulo del centro, radio y arco.

Para mayor claridad en el establecimiento de las relaciones proporcionales en la Circunferencia - Círculo, usamos la siguiente notación:

as

r

r : Radio de la circunferencia.

º360

a

r

De acuerdo con la figura, podemos comparar el ángulo , comprendido por los radios, con el ángulo completo. Y escribimos la razón:

Del mismo modo, podemos comparar el arco , comprendido por el ángulo del centro y los radios, con la longitud de la circunferencia. Y escribimos la razón:

a

r

a

2

sFinalmente, podemos comparar el sector , comprendido por el ángulo del centro, con la medida del círculo. Y escribimos la razón:

2r

s

r

s

r

a

2º360

as

r

Es así que, como el arco y el sector están comprendidos por el mismo ángulo, podemos establecer las siguientes proporciones:

2º360 r

s

22 r

s

r

a

22º360 r

s

r

a

as

r

También podemos escribirlo de manera resumida …

as

r

La siguiente tabla resume estas relaciones, y sugiere una forma de trabajar con ella.

AREALONGITUDANGULO

º360

r

a

2 2r

s

Ejemplo1:

Determina el área de un sector que es subtendido por un ángulo de 60º. Se sabe que el círculo tiene un radio de 4 cm.

Solución:

AREALONGITUDANGULO

º360

r

a

2 2r

s

2º360 r

s

Según los datos entregados, el problema involucra los conceptos Angulo y Área. Entonces, de la tabla tomamos los elementos que nos interesa trabajar:

Enseguida corresponde sustituir los valores correspondientes y resolver la proporción:

24º360

º60

s

166

1 s

166 s

6

16s

3

8s

Luego, el área del sector es

cm cuadrados.3

8

2º360 r

s

AREALONGITUDANGULO

º360

r

a

2 2r

s

Según los datos entregados, el problema involucra los conceptos Longitud y Área. Entonces, de la tabla tomamos los elementos que nos interesa trabajar:

Ejemplo2:

Determina el área de un sector que subtiende un arco igual a cm. Se sabe que el círculo tiene un radio de 6 cm.

Solución:

22 r

s

r

a

Ahora corresponde sustituir los valores correspondientes y resolver la proporción:

2662 s

3612

1 s

3612 s

12

36s

3sLuego, el área del sector es

cm. cuadrados.

3

22 r

s

r

a

OBSERVACIÓN:

2º360 r

s

Como frecuentemente se trabaja con ángulos, es bueno considerar las siguientes relaciones:

2º360 rs

r

a

2º360

ra 2º360

º360

2rs

º360

2 ra

Por ejemplo:

Angulo Arco Sector

45º

60º

90º

8

2r88

2 Cr

6

2r

4

2r

66

2 Cr

44

2 Cr

Ejercicio importante

En la figura: AB diámetro; Triángulo ABC, rectángulo en C; Triángulo OBC, equilátero; OB=r, radio de la circunferencia.

¿Qué relación proporcional existe entre el cateto menor del T. ABC y el diámetro de la circunferencia? ¿Esta relación es válida siempre?

Del T. OBC, equilátero, se tiene que OB=BC=r.

Del diámetro se sabe que equivale a dos radios, y se escribe AB=2r.

Por lo tanto, si se reemplaza r en AB se tiene:

AB=2 · r =2 · BC

AB=2 BC, es decir, AB:BC=2:1

Si el cateto menor de un triángulo rectángulo es adyacente a un ángulo de 60º, entonces la hipotenusa mide el doble de éste.

r

rr

Solución