Resumo – Ci rcunferênc ia e Pol ígonos. Rotações 1

ESCOLA SECUNDÁRIA DA RAMADA MATEMÁTICA – 9º Ano

Resumo – Circunferência e Polígonos. Rotações

Circunferência

Raio, Corda e Diâmetro

Posições relativas de uma recta e de uma circunferência

Os eixos de simetria de uma circunferência são todas as rectas que passam pelo seu centro. Propriedades: Cordas e arcos compreendidas entre cordas paralelas são geometricamente iguais.

Ângulo ao centro

Ângulo ao centro é o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.

Semicircunferência

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Arcos, cordas e ângulos ao centro correspondentes

1- Numa circunferência, a arcos iguais correspondem cordas e ângulos ao centro iguais.

2- Numa circunferência, a ângulos ao centro iguais correspondem cordas e arcos iguais.

3- Numa circunferência, a cordas iguais correspondem arcos e ângulos ao centro iguais.

Arco de uma circunferência A um arco de circunferência podemos fazer corresponder: - a sua amplitude - o seu comprimento A amplitude de um arco de circunferência é a amplitude do ângulo ao centro correspondente.

Comprimento de um arco de circunferência – é directamente proporcional à amplitude do ângulo ao centro correspondente.

rl ×=

2π α360

Os arcos de circunferência têm a mesma amplitude mas comprimentos diferentes.

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Propriedades das secantes e das tangentes

Se uma recta s, secante a uma circunferência de centro O, intersecta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à recta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB (e vice-cersa).

Toda a recta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Ângulo Inscrito Ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e os seus lados são cordas da mesma circunferência. A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.

2ABAVB =

O AVB∠ é um ângulo inscrito (no arco AVB). O arco AB é o arco compreendido entre os lados do ângulo. O arco AVB é designado por arco capaz do ângulo.

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Propriedades dos ângulos inscritos

1- Os ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência são geometricamente iguais.

2- Qualquer ângulo inscrito numa semicircunferência é recto.

Polígonos é uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada.

Polígonos Convexos Polígonos Côncavos

Classificação dos Polígonos

A classificação de um polígono depende do número dos seus lados.

Nº. de lados Polígono Nº. de lados Polígono 1 não existe 11 undecágono 2 não existe 12 dodecágono 3 triângulo 13 tridecágono 4 quadrilátero 14 tetradecágono 5 pentágono 15 pentadecágono 6 hexágono 16 hexadecágono 7 heptágono 17 heptadecágono 8 octógono 18 octadecágono 9 eneágono 19 eneadecágono

10 decágono 20 icoságono

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Polígono Regular - É o polígono que possui todos os lados geometricamente iguais e todos os ângulos internos geometricamente iguais.

Propriedades de um Polígono convexo qualquer de n lados

Exemplo Hexágono Regular

O número de diagonais (d) de um polígono.

( )32

n n − ( )6 6 3 9

2− =

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados.

( ) 180º2n ×− ( ) 180º 720º6 2 × =−

A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados

( ) 180º2nn×−

( ) 180º6 2 120º6×− =

A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados

360º 360º

A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados 360º

n

360º 60º6

=

OU 180º 120º 60º− =

A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados

360ºn

360º 60º

6=

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Polígonos inscritos na circunferência Um polígono está inscrito numa circunferência se todos os seus vértices são pontos dessa circunferência.

A circunferência diz-se circunscrita ao polígono.

Propriedades

1- Qualquer triângulo pode ser inscrito numa circunferência. 2- Os polígonos regulares podem ser inscritos numa circunferência.

Os lados de cada polígono são cordas da circunferência em que se encontram inscritos. Como os polígonos são regulares, essas cordas (lados do polígono) são iguais.

3- Quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito numa circunferência

então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180º e a soma de todos os quatro ângulos é 360º.

 + Î = 180º Ê + Ô = 180º  + Ê + Î + Ô = 360º

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Caso particular – Hexágono Regular

O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio dessa circunferência.

Área de um polígono regular Chama-se apótema de um polígono regular ao segmento de recta que une o centro do polígono com o ponto médio de qualquer um dos lados.

2PA ap= ×

em que: P = perímetro do polígono ap = apótema do polígono

Ângulos Orientados

Por convenção fala-se em sentido negativo, para descrever o sentido dos ponteiros do relógio e sentido positivo, no caso contrário.

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Rotações

Uma rotação transforma uma figura F1 noutra figura F2.

F2 diz-se a imagem de F1 pela rotação.

As figuras F1 e F2 são geometricamente iguais.

Uma rotação dica definida se conhecemos o centro da rotação e a amplitude do ângulo orientado da rotação.

Exemplo:

Mais exemplos …

Propriedades das rotações:

1- A imagem de um segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual.

Ex: [ ] [ ]´ ´AB A B≅

2- A imagem de um ângulo é um ângulo geometricamente igual.

Ex: ´ ´ ´CAB C A B∠ ≅ ∠

ISOMETRIA Chama-se isometria a uma transformação geométrica em que são conservados os comprimentos dos segmentos de recta e as amplitudes dos ângulos.

Exemplos de isometrias: simetrias, translações e rotações. Simetria

Translação

Rotação