Circunferência e círculo

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página

Revisão............................................................................................................................ 1

Circunferência e Círculo .......................................................................................... 1

Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo ....................................... 2

Raio, corda e diâmetro.............................................................................................. 2

Posições relativas de uma reta e uma circunferência ............................................... 3

Relações métricas na circunferência............................................................................... 3

Relação entre as cordas ............................................................................................ 4

Relação entre secantes.............................................................................................. 4

Relação entre secante e tangente.............................................................................. 4

Polígonos regulares inscritos na circunferência.............................................................. 7

Elementos de um polígono regular inscrito.............................................................. 8

Propriedades ............................................................................................................. 9

Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência ................................... 12

Quadrado inscrito na circunferência ...................................................................... 12

Hexágono regular inscrito na circunferência ......................................................... 14

Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência ..................................................... 15

Comprimento da circunferência.................................................................................... 18

Referências bibliográficas............................................................................................. 21

1

Circunferência e círculo

Revisão

Circunferência e Círculo

Circunferência Círculo

A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que

estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo

denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a

curva mais importante no contexto das aplicações.

É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma

distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. Na figura abaixo, a circunferência é a linha de cor preta que envolve a região cinza, enquanto o círculo é toda a região pintada de cinza reunida com a circunferência.

2

Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo

Pontos interiores Pontos exteriores

Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na

circunferência.

Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.

Raio, corda e diâmetro

Raio Corda Diâmetro

Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento

de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a

outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na

figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são

raios.

Corda de uma circunferência é um

segmento de reta cujas extremidades pertencem

à circunferência. Na figura, os segmentos de

reta AC e DE são cordas.

Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que

passa pelo centro da circunferência.

Observamos que o diâmetro é a maior corda

da circunferência. Na figura, o segmento de

reta AC é um diâmetro.

3

Posições relativas de uma reta e uma circunferência

Reta secante Reta tangente

Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a

circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que

é a reta que contém uma corda.

Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que

intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta

tangente à circunferência.

Relações métricas na circunferência

A circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos. Vejamos essas relações.

4

Relação entre as cordas

Se duas cordas de uma circunferência se interceptam em um ponto P então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das

medidas das duas partes da outra corda.

PDPCPBPA ⋅=⋅

Relação entre secantes

Quando duas secantes se interceptam externamente a uma circunferência, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é

constante.

PDPCPBPA ⋅=⋅

Relação entre secante e tangente

O quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do segmento secante inteiro pela medida de sua parte externa.

PBPAPC2 ⋅=

5

Exemplos:

a) Na circunferência abaixo, determine a medida x do segmento PD, sabendo que PA = 7 cm, PB = 4 cm e PC = 2 cm.

Através da relação entre secante e tangente, temos:

PDPCPBPA ⋅=⋅ De acordo com os dados do problema, podemos escrever:

14228

282

247

=

=

=⋅=⋅

x

x

x

x

Logo, a medida do segmento PD é 14 cm.

b) Calcular o comprimento r do raio da circunferência abaixo, sendo dados PA = 20 cm e PC = 10 cm.

Através da relação das cordas, temos:

PCPBPA2 ⋅= De acordo com os dados do problema, podemos escrever:

15r20300

r

300r20

100400r20

r20100400

10)r210(202

=

=

=−=+=

⋅+=

Logo, o comprimento do raio é 15 cm.

6

EXERCÍCIOS A

(1) Determine a medida x indicada nas figuras abaixo:

a)

c)

b)

d)

(2) Na figura abaixo, determine as medidas x e y indicadas.

7

(3) De um ponto P, situado a 3 cm de uma circunferência, traça-se um segmento de tangente PC cuja medida é 9 cm. Nessas condições, determine o comprimento do raio dessa circunferência.

Polígonos regulares inscritos na circunferência

Polígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número de lados.

Nomenclatura

8

Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência, dizemos que:

• o polígono está inscrito na circunferência;

• a circunferência está circunscrita ao polígono

Elementos de um polígono regular inscrito

Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O).

Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele (OC). Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados (OM ). Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos.

A medida do ângulo central é dada por: n

360ºac = (n = número de lados).

Ângulo interno é aquele cujos lados são dois lados consecutivos do polígono.

A medida do ângulo interno é dada por: n

0º812)-(nai

⋅= (n = número de

lados). Soma dos ângulos internos: a soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é dada por: 180º2)(nSi ⋅−= (n = número de lados).

9

Propriedades

1ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais aos comprimentos dos respectivos raios.

2ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos lados.

3ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas.

Exemplos:

a) Determinar a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de um pentágono regular inscrito.

Indicando por ca a medida do ângulo central, temos:

º72a5

º360a

n360º

a

c

c

c

=

=

=

Indicando por ia a medida do ângulo interno, temos:

º108a540º5

a

50º813

a

50º812)-(5

a

n0º812)-(n

a

i

i

i

i

i

=

=

⋅=

⋅=

⋅=

Logo, o ângulo central do pentágono inscrito é 72º e o ângulo interno é 108º.

10

b) Dois hexágonos regulares estão incritos em circunferências de raios 14 cm e 21 cm. Se o perímetro do hexágono inscrito na menor delas é 84 cm, determinar o perímetro do outro hexágono.

Indicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a 1ª propriedade, temos:

12614

1764

176414

842114

=

=

=

=

x

x

xx

Logo, o perímetro do outro hexágono é 126 cm.

EXERCÍCIOS B

(1) Determine a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos:

a) triângulo eqüilátero

b) quadrado

c) hexágono regular

d) octógono regular

11

(2) O perímetro de um polígono regular inscrito numa circunferência cujo raio mede x é 60 cm. Sabe-se que outro polígono regular com o mesmo número de lados está inscrito numa circunferência de raio 25 cm e tem 150 cm de perímetro. Quanto mede o comprimento x do raio da primeira circunferência?

(3) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados medem 48 cm e 60 cm, respectivamente. Quanto mede o apótema do segundo se o apótema do primeiro mede 34 cm?

(4) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados são, respectivamente, 28,28 cm e 39,592 cm. Quanto medem o raio e o apótema do primeiro se o raio e o apótema do segundo medem, respectivamente, 7 cm e 3,5 cm?

12

Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência

Quando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida do apótema do mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde o polígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas medidas.

Quadrado inscrito na circunferência

13

Exemplo:

► Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas condições, determine:

a) a medida do lado do quadrado:

cm224

2r

=

=

l

l

b) a medida do apótema do quadrado:

cm212a

2242

a

22r

a

=

=

=

c) o perímetro (P) do quadrado:

P = l4

P = 2244 ⋅

P = cm296

d) a área (S) do quadrado:

S = 2l

S = 2)224(

S = 2cm1152

14

Hexágono regular inscrito na circunferência

Exemplo:

► Determine a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 30 cm.

a) a medida do lado do quadrado:

cm30

r

==

l

l

b) a medida do apótema:

cm215a

2230

a

23r

a

=

=

=

15

Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência

Exemplo:

► Um triângulo eqüilátero está inscrito numa circunferência de raio 360 cm. Determine:

a) a medida do lado do triângulo:

cm180

3306

3r

=⋅=

=

l

l

l

b) a medida do apótema do triângulo:

cm330a

2360

a

2r

a

=

=

=

16

EXERCÍCIOS C

(1) Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine a medida do lado e do apótema de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos nessa circunferência:

a) quadrado

b) hexágono regular

c) triângulo eqüilátero

(2) Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência. Determine o comprimento r do raio dessa circunferência.

17

(3) Sabendo que o apótema de um triângulo eqüilátero incrito em uma circunferência de raio r mede 15 cm, determine:

a) o comprimento do raio

b) a medida do lado do triângulo, fazendo 73,13 =

(4) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede cm315 .

a) Qual é a medida do raio dessa circunferência?

b) Qual é a medida do apótema de um triângulo eqüilátero inscrito nessa circunferência?

18

Comprimento da circunferência

Quando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seu perímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo comprimento da circunferência (contorno do círculo), pois um círculo é contornado por uma circunferência que é formada pela união das extremidades de uma linha aberta.

O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro, foi concluído que a razão entre o comprimento (C) de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será sempre uma mesma constante.

Assim: 14,3DC ≅

O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi"). Costuma-se considerar π = 3,14.

Logo:

πr2C

πDC

πDC

=⋅=

=

rπ2C =

Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência.

19

Exemplos:

a) Determinar o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio.

cm56,52C

93,142C

rπ2C

=⋅⋅=

=

Logo, o comprimento da circunferência é 56,52 cm.

b) Qual é o comprimento r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm de comprimento?

cm3r

6,2818,84

r

r28,684,81

r3,14284,81

rπ2C

=

=

=⋅⋅=

=

Logo, o raio da circunferência é de 3 cm.

c) Qual é o comprimento x de um arco de 60º numa circunferência que tem 21 cm de raio?

Sabemos que a medida completa da circunferência, em graus, é 360. Portanto, para resolver esse problema vamos usar uma regra de três simples e direta:

360º rπ2

60º x

cm98,21688,131

88,1316

2114,3216

rπ260º360º

=

=

=

⋅⋅=

=

x

x

xx

x

Logo, o comprimento do arco pedido é 21,98 cm.

20

EXERCÍCIOS D

Todo domingo Carla passeia pelo parque com sua bicicleta.

(1) Sabendo que 1 polegada equivale, aproximadamente, a 2,54 cm, quantos centímetros tem uma volta da roda da bicicleta de Carla?

(2) No último domingo, Carla andou 4 km com sua bicicleta. Quantas voltas deu cada roda?

(3) De casa ao clube, ida e volta, cada roda dá 2000 voltas. A que distância da casa de Carla fica o clube?

21

Referências bibliográficas

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matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:

FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

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Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e

descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José

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GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São

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MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São

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<http://www.moodle.ufba.br>. Acesso em: 15 de outubro de 2008.