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RELAÇÕES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS NA LÂMPADA HEXAGONAL

Profº.: Ulisses Marçal de Carvalho

HEXÁGONO TRIGONOMÉTRICO

Construímos um hexágono regular que tenha, “colocados” em seus vértices, as funções trigonométricas y = sen x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x, y = sec x e y = cossec x, em seus domínios, dispostos como na figura abaixo:

Chamaremos, agora, sen x, cos x, tg x, cotg x, sec x e cossec x de “vértices”. Associando, ainda, o número 1 ao centro do hexágono, como mostra a figura abaixo, podemos observar que:

i) Em cada triângulo eqüilátero em destaque, na figura acima, a soma dos quadrados dos vértices superiores é igual ao quadrado do vértice inferior (o 1, ao centro, é vértice também, dos triângulos em destaque).

sen2 x + cos2 x = 12 tg2 x + 12 = sec2 x 12 + cotg2 x = cossec2 x

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ii) O produto dos vértices simétricos em relação ao centro do hexágono é sempre igual a 1.

iii) Cada vértice do hexágono é igual ao quociente dos dois vértices subseqüentes, na ordem em que ficam, no sentido horário ou no sentido anti-horário.

iv) Inscrevendo, agora, no hexágono a “Estrela de Davi” e tomando-se três pontas consecutivas da estrela, o produto das pontas extremas é sempre igual à ponta interna.

Por exemplo, sejam as pontas consecutivas sec x, cossec x e cotg x, temos:

sec .cot cossecx g x x= De fato,

1 cos 1sec .cot . cossec

cos

xx g x x

x sen x sen x= = =

sen x . cossec x = 1 cos x . sec x = 1 tg x . cotg x = 1

cos

sen xtg x

x=

sec

cossec

xtg x

x=

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OBS.: Notemos que (iii) e (iv) se equivalem, pois, por exemplo, tomando-se (sec x, cossec x, cotg x) nesta ordem ou na outra ordem (cotg x, cossec x, sec x), temos:

No sentido anti-horário:

cos sec( ) sec ( ) sec .cot cos sec

cot

xiii x e iv x g x x

g x= =

ou no sentido horário:

cos sec( ) cot ( ) cot .sec cos sec

sec

xiii g x e iv g x x x

x= =

OBS.: Como exercícios, demonstrem todas as identidades que foram aqui diretamente desenvolvidas, com exceção daquelas verdadeiras por definição, ou seja, que constituem a própria definição e mais as seguintes:

1) Provar que 2 2(1 cot ).(1 cos ) 1 ,g x x x x kπ+ − = ∀ ∈ ≠ℝ

2) Provar que 1 1

2.sec . , , .cossec 1 cossec 1 2

x tg x x x kx x

π

π= + ∀ ∈ ≠ +− +

ℝ

3) Provar que 2 2 2(1 ) (1 cot ) (sec cossec ) , ,2

ktg x g x x x x x

π

− + − = − ∀ ∈ ≠ℝ

4) Provar que 1 cos 1 cos

, ,.cos 2

x x ksen x x x

sen x x tg x

π− −+ = ∈ ≠ℝ .

5) Provar que 4 4 2cos 2.( .cos ) 1x sen x sen x x+ + = .

6) Provar que cos

1cossec sec

sen x x

x x+ = .

7) cot sec .cossectg x g x x x+ = .

8) ( cot ).(sec cos ).(cossec ) 1tg x g x x x x sen x+ − − = .

4

9) 2 2 2 2sec cossec sec .cossecx x x x+ = .

10) 2

22

cotcos

1 cot

g xx

g x=

+.

11) 3 3cos

1 .coscos

sen x xsen x x

sen x x

−= +

−.

12) 2 2 2 2cossec sec cotx tg x x g x+ = + .

13) 22.( ).(cos cot ) (1 cos )sen x tgx x gx sen x x+ + = + + .

14) 2 2(1 cot ) (1 cot ) 2.cossecg x g x x+ + − = .

15) 2 4

42 4

1 2.cos cos

1 2.

xtg x

sen x sen x

− +=

− +.

16) 2 2 2(cot cos ) (1 ) (1 cossec )g x x sen x x− + − = − .

17) cos cos

cos cos

x y sen x sen y

sen x sen y y x

+ +=

− −.

18) cos cot

cos .cotsec

x g xx g x

tg x x

+=

+.

19) 2 2

2 22 2

cos1 .

cos cos

sen x ytg x tg y

x y

−+ =

−.

20) 21 cos(cossec cot )

1 cos

xx gx

x

−= −

+.

21) cot cot

cot .cotg x g y

g x g ytg x tg y

+=

+.

22) 2 2(sec .sec . ) 1 (sec . sec . )x y tg x tg y x tg y y tg x+ = + + .

23) 1

secsec

x tg xx tg x

− =+

.

24) 6 6 2 2cossec cot 1 3.cot .cossecx g x g x x− = + .

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Algumas técnicas MNEMÔNICAS.

As técnicas de memória (mnemônicas) foram

aplicadas aqui, com a finalidade de

revolucionar a aprendizagem das identidades

trigonométricas e relações.

Através de desenhos divertido e fácil de

aprender, você vai Descobrir um grande

segredo: o hexágono trigonométrico.

Se você colocar as funções

trigonométricas em torno de um

hexágono, você pode literalmente... entrar

em uma nova dimensão! Uma dimensão

onde você pode relacionar tudo entre si

de forma rápida e facilmente encontrar

fórmulas que servirão para resolver

muitos exercícios de trigonometria.

A TARTARUGA OU HEXÁGONO TRIGONOMÉTRICO

A tartaruga ou hexágono trigonométrico é a base

para todos os outros desenhos, com tempo e

prática suficiente, para se lembrar da maioria das

fórmulas trigonométricas.

1. Desenhe as linhas superior e inferior de um

quadrado imaginário,

2. Em seguida, coloque em cada lado um ponto para definir um hexágono.

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3. Depois, trace as linhas restantes.

4. Por último escreva as funções na ordem ilustrada.

A FLÔR

Com flor pode jogar com as três funções que

estão nas visinhanças.

OBSERVE AS RELAÇÕES:

01. Cada uma das funções é igual ao produto

das que estão ao seu lado (direito e esquerdo).

Exemplo:

02. Cada uma das funções é igual à

função vizinha sobre a seguinte função

vizinha à última.

Exemplo:

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Como podemos observar as relações são MULTIDIREDIONAIS, podemos avançar

tanto no sentido horário (da esquerda) quanto no sentido da direita (anti-horário).

Uma forma simples de recordar a segunda relação é percorrendo toda a flor em

uma direção, apontando com o dedo indicador a partir de cada função, dizendo:

“Esta é igual a esta sobre esta”.

O seguinte quando ilustra todas as relações trigonométricas que poderá encontrar

com a flor.

Ufa! ... que montão de fórmulas, mas legal. Só temos que aprender a desenhar a

flor e as relações que se encontram no slide anterior, para recordar todas.

Sempre poderá relacionar três funções que estejam juntas. Se, por exemplo,

aparecer um exercício onde tenha os valores de Seno e Cosseno, ao olhar a flor

notará que estes dados são suficientes para deduzir tanto a Tangente quanto a

Cotangente.

Se tiveres, em outro exercício, Sec / Cossec, ao usar a flor, rapidamente notará

que se pode simplificar a Tangente.

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A TEIA DA ARANHA

A teia ilustra uma nova direção, dentro de todas as

MULTIDIREÇÕES.

Se observar frente a frente, diametralmente,

poderá relacionar:

S com CSC

C com SC

T com CT

RELAÇÕES:

Qualquer função é igual a 1 sobre a função que

tenha a frente.

COMO MEMORIZAR O DESENHO DA TEIA:

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1º. Desenhe as linhas pintadas de PRETO;

2º. Depois as de roxo;

3º. As azuis;

4º. Os círculos verdes;

5º. As letras que representam as funções e você deve saber que:

S C

T CT

SC CSC

Você pode memorizar os lados assim:

Aprenda esta palavra: “OAHAO” (como se algo te surpreendesse e diga:

OAHAO!).

Agora coloque letra por letra seguindo uma direção em forma de “Z”, como mostra

a ilustração.

O BOXER

Com o boxer recordará soma de

quadrados e derivadas.

Dentro do hexágono está a pista

para um grupo de relações. Fora,

as do outro grupo.

Obs.: O número 2 no peito do boxer

lembra a soma do quadrado. Todas

as somas (ou subtrações) são

iguais a 1.

As setas à esquerda e a direita indica qual das

duas funções é subtraída.

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FORA:

Na parte externa do hexágono estão

as ajudas para lembras derivadas.

Desta vez, os sinais de (+) e de (-),

não representam somas e

subtrações, mas sim, os sinais das

funções.

A CURVA DA CABEÇA DO BOXER

RELACIONA AS FUNÇÕES SENO

E COSSENO.

Os olhos e sobrancelhas ajudam a lembrar dos sinais das derivadas dessas

funções.

Exemplo:

É que a derivada do cosseno é igual ao seno (com o sinal negativo). Porque, se

percorro a linha desde o cosseno até o seno, circulando a cabeça do boxer, esta

direção coincide coma que marca a sobrancelha que cobre o sinal negativo.

Seguindo as linhas das luvas do boxer,

encontramos as demais derivadas.

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Exemplo:

Encontrar a derivada da Cotangente. Siga a linha da luva que sai dessa função,

nota-se que a linha toca duas vezes a Cossecante (a primeira vez com sinal

negativo), ou seja:

Se, ao contrário, queremos encontrar a derivada da Cossecante, siga a linha que

sai da luva até a função. Note que a linha toca novamente (porém, desta vez com

o sinal negativo) e por último, toca a Cotangente.

Em outras palavras: Cossecante é igual menos a Cossecante (não menos

importante, como um sinal) multiplicado pela Cotangente.

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