Relatorio 1 de Física - Calculo de Incertezas e Histogramas

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

ENGENHARIA CIVIL

CÁLCULO DE INCERTEZAS E HISTOGRAMAS

VICTOR MAGALHÃES SILVA (201210108)

ILHÉUS – BAHIA

2012

1

VICTOR MAGALHÃES SILVA (201210108)

CÁLCULO DE INCERTEZAS E HISTOGRAMAS

Relatório apresentado como parte dos critérios

de avaliação da disciplina CET788 – FÍSICA

EXPERIMENTAL I. Turma P01. Dia da

execução do experimento: 02/04/2012.

Professora: José Rafael León Fernández

ILHÉUS – BAHIA

2012

2

Sumário

1- RESUMO...................................................................................................................................4

2 – INTRODUÇÃO.........................................................................................................................4

3 - OBJETIVOS.............................................................................................................................5

4 - MATERIAIS E MÉTODOS.......................................................................................................5

4.1 Materiais...............................................................................................................................5

4.2 Métodos...............................................................................................................................5

5 – APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS.................................................................................6

6 - CONCLUSÃO.........................................................................................................................18

7- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................................18

3

1- RESUMO

As medidas envolvem incertezas que dependem da técnica utilizada. Com isso, torna-se necessário o conhecimento a respeito de algumas medidas estatísticas que auxiliam no cálculo dessa incerteza, tais como a média, os desvios, dentre outras. Um exemplo de aplicação, é no uso da medida do diâmetro de palitos de madeira através de um micrômetro. Após os cálculos necessários e a repetição dos mesmos com diferentes quantidades, veremos a importância de um histograma e das medidas estatísticas na distribuição de dados .

2 – INTRODUÇÃO

Média, desvio padrão, desvio padrão correspondente aos erros estatísticos, desvio padrão correspondente aos erros sistemáticos, desvio padrão médio e incerteza da média são cálculos realizados, a partir de objetos mensurados, para encontrar o intervalo que contém o real valor da grandeza medida.

A média aritmética é um valor obtido da divisão das somas dos números observados pela quantidade deles. Tendo uma série de n valores de uma variável y, a média será determinada pela equação abaixo:

y=1n∑i=1

n

y i Eq. 1

Onde: y é a média aritmética (valor médio).

As medidas sempre envolvem incertezas. Ao medirmos o tamanho de um lápis com uma régua comum, jamais poderíamos ter certeza do resultado obtido, visto que a menor distância que podemos medir com tal material é 1 mm. Já se utilizarmos um micrômetro, dispositivo capaz de medir distancias de até 0,05 mm, o resultado poderia ser expresso com mais segurança.

A incerteza ou erro no valor da grandeza depende da técnica usada na medida. A incerteza instrumental de um medidor digital é a menor medida obtida por ele, já se o medidor for analógico, a incerteza é a menor medida obtida, dividida por 2.

Toda repetição de uma medição também possui uma incerteza, a qual é chamada incerteza da média, calculamos a mesma, levando em consideração a incerteza do instrumento e as repetições das medidas. Para descobrirmos o valor da incerteza da média, usaremos as formulas de desvio padrão da medida, desvio padrão correspondente aos erros estatísticos, desvio padrão correspondente aos erros sistemáticos, que são dadas por:

4

σ=√ 1n−1∑i=1

n

( y i¿− y )² ¿ Eq. 2

Onde: σ é o desvio padrão.

σ m=σ

√n Eq. 3

Onde: σ m é o desvio padrão correspondente aos erros estatísticos.

Tendo os resultados acima, para calcular a incerteza da média fazemos:

σ p²=σ m ²+σr ² Eq. 4

Onde σ r é a incerteza instrumental, também conhecido como desvio correspondente aos erros sistemáticos. No caso da distribuição gaussiana:

σ r≈L2

, sendo L o limite de erro sistemático. Eq. 5

Por fim, chegaremos ao valor correto da medida do diâmetro ( D ). Eq. 6

D = y ± σ p

3 - OBJETIVOS

O objetivo de tal experimento é aprender a trabalhar com a teoria dos erros, média e

desvio padrão, fazendo uso de histogramas para estudar a distribuição de dados, o que irá

auxiliar no tratamento estatístico do conjunto de medidas.

4 - MATERIAIS E MÉTODOS

4.1 Materiais

50 Palitos de Dente

Micrômetro

5

4.2 Métodos

O estudo foi realizado no laboratório de Física. Utilizamos a medida externa de um

micrômetro (Fig.1) para mensurar os diâmetros dos palitos de dentes.

Figura 1 - Micrômetro - Instrumento de medição de medidas lineares utilizado quando a medição requer uma precisão acima da possibilitada, com um paquímetro e é fabricado com resolução entre 0,01 mm e 0,001mm.

5 – APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

De acordo com as medidas do micrômetro, tendo como base a análise de 50 palitos, o diâmetro dos palitos variaram entre 1,83 x 10-3 m e 2,22 x 10-3 m, como mostra a Tabela 1, onde N é o número do palito medido e d é o diâmetro do respectivo palito:

PALITOS DE MADEIRA

N d x 10-3 m

1º 1,93

2º 1,91

3º 1,94

4º 1,99

5º 1,96

6º 1,91

7º 2,15

6

8º 2,11

9º 1,95

10º 2,02

11º 1,97

12º 2,16

13º 2,15

14º 2,02

15º 1,87

16º 1,86

17º 2,16

18º 2,00

19º 2,06

20º 1,92

21º 1,92

22º 1,87

23º 2,00

24º 2,06

25º 1,89

26º 1,97

27º 1,83

28º 2,02

29º 1,86

30º 2,01

31º 1,90

32º 2,00

33º 1,85

34º 2,10

7

35º 2,11

36º 1,97

37º 1,96

38º 1,99

39º 1,98

40º 1,88

41º 1,98

42º 1,95

43º 1,95

44º 2,22

45º 1,97

46º 1,92

47º 1,94

48º 2,03

49º 2,01

50º 1,86

TOTAL 99,04

Tabela 1 – Representa os valores encontrados durante a aferição dos palitos de madeira.

Agora, com os resultados obtidos e computados, podemos buscar a incerteza da média. Para começarmos, temos que descobrir qual o valor médio, de acordo com a Eq. 1:

y=1n∑i=1

n

y i

Visto que o valor da soma dos diâmetros dos palitos foi igual a 99,04 x10−3, dividimos esse valor pelo número total de palitos (50 palitos). Então encontraremos como resultado:

y = 99,04 x10−3 : 50 = 1,9808 x10−3 ≈ 1,98 x10−3

Agora, iremos calcular o desvio padrão, de acordo com a Eq. 2:

8

σ=√ 1n−1∑i=1

n

( y i¿− y )² ¿

σ=√ 150−1∑i=1

50

( y i¿−1,98x 10−3) ² ¿

Após fazer o cálculo para cada y i, encontraremos como resultado:

σ = 0,106589 mm

σ ≈ 0,106 mm.

A partir daí, torna-se possível encontrar o desvio correspondente aos erros estatísticos, através da Eq. 3:

σ m=σ

√n

σ m = 0,106

√50

σ m ≈ 0,015 mm.

Agora, encontraremos o desvio correspondente aos erros sistemáticos, através da Eq. 5:

σ r≈L2

, onde L = 0,5N

= 0,550

= 0,01. Então:

σ r≈0,01

2

σ r≈0,005mm.

Desta forma, torna-se possível encontrar o desvio padrão do conjunto de dados, utilizando a Eq.4:

σ p²=σ m ²+σr ²

σ p²=¿0,015² +0,005 ²

σ p²≈0,00025

σ p ≈√0,00025

σ p ≈ 0,0158 mm.

9

Com isso, o valor da medida, através da Eq. 6, corretamente será:

D = y ± σ p

D = 1,98 ± 0,0158 mm, onde D é o diâmetro.

Com os dados obtidos e tendo a frequência absoluta de cada medida, torna-se possível a criação de um histograma, para facilitar a observação da frequência com que cada diâmetro aparece. Se somarmos os valores da frequência de cada um, perceberemos que o resultado encontrado será igual ao número de palitos (50 ao todo). As medidas encontradas na medição variaram de 1,83mm a 2,22mm, portanto foram utilizadas apenas as medidas entre essas para criar o histograma.

1.83-1.868

1.869-1.907

1.908-1.946

1.947-1.985

1.986-2.024

2.025-2.063

2.064-2.102

2.103-2.141

2.142-2.18

2.181-2.219

2.220

2

4

6

8

10

12

Histograma

Freqüência

Bloco

Freq

üênc

ia

Figura 2 - Histograma utilizado para mostrar a frequência das medidas do diâmetro de cada um dos palitos, onde o eixo y representa a frequência e o eixo x representa o diâmetro dos palitos.

Observando o gráfico, é possível notar que foi dada através do histograma, a frequência em que os dados presentes em um determinado intervalo, apareceram. Para isso foi necessário calcular:

O valor de m = Vmáx – Vmín = 2,22-1,83 = 0,39mm.

Posteriormente, o valor de ∆y, que corresponde ao intervalo, dividindo m em 10 partes iguais.

∆y = m10

= 0,3910

= 0,039mm.

10

Repetindo os passos com os 35 primeiros palitos:

De acordo com as medidas do micrômetro, tendo como base a análise dos 35 primeiros palitos, o diâmetro dos palitos variaram entre 1,83 x 10-3 m e 2,16 x 10-3 m, como mostra a Tabela 2, onde N é o número do palito medido e d é o diâmetro do respectivo palito:

PALITOS DE MADEIRA

N d x 10-3 m

1º 1,93

2º 1,91

3º 1,94

4º 1,99

5º 1,96

6º 1,91

7º 2,15

8º 2,11

9º 1,95

10º 2,02

11º 1,97

12º 2,16

13º 2,15

14º 2,02

15º 1,87

16º 1,86

17º 2,16

18º 2,00

19º 2,06

20º 1,92

21º 1,92

11

22º 1,87

23º 2,00

24º 2,06

25º 1,89

26º 1,97

27º 1,83

28º 2,02

29º 1,86

30º 2,01

31º 1,90

32º 2,00

33º 1,85

34º 2,10

35º 2,11

Total 69,43


Calculando a incerteza da média: novamente, para começarmos, temos que descobrir qual o valor médio, de acordo com a Eq. 1:

y=1n∑i=1

n

y i


y = 69,43 x10−3 : 35 = 1,9837 x10−3 ≈ 1,98 x10−3


σ=√ 1n−1∑i=1

n

( y i¿− y )² ¿

12

σ=√ 135−1∑i=1

35

( y i¿−1,98 x10−3) ² ¿


σ = 0,297835 mm

σ ≈ 0,298 mm.


σ m=σ

√n

σ m = 0,298

√35

σ m ≈ 0,050 mm.


σ r≈L2

, onde L = 0,5N

= 0,535

≈ 0,0143. Então:

σ r≈0,0143

2

σ r≈0,007mm.



σ p²=¿0,050² +0,007 ²

σ p²≈0,0025 + 0,000049

σ p ≈√0,002549

σ p ≈ 0,0505 mm.


D = y ± σ p

13


Segue então o histograma com as frequências dos 35 primeiros palitos:

1.83-1.862

1.863-1.895

1.896-1.928

1.929-1.961

1.962-1.994

1.995-2.027

2.028-2.06

2.061-2.093

2.094-2.126

2.127-2.159

2.160

2

4

6

8

Histograma

Freqüência

Bloco

Freq

üênc

ia



O valor de m = Vmáx – Vmín = 2,16-1,83 = 0,33mm.


∆y = m10

= 0,3310

= 0,033mm.

Repetindo os passos com os 20 primeiros palitos:

14

De acordo com as medidas do micrômetro, tendo como base a análise dos 20 primeiros palitos, o diâmetro dos palitos variaram entre 1,86 x 10-3 m e 2,16 x 10-3 m, como mostra a Tabela 3, onde N é o número do palito medido e d é o diâmetro do respectivo palito:

PALITOS DE MADEIRA

N d x 10-3 m

1º 1,93

2º 1,91

3º 1,94

4º 1,99

5º 1,96

6º 1,91

7º 2,15

8º 2,11

9º 1,95

10º 2,02

11º 1,97

12º 2,16

13º 2,15

14º 2,02

15º 1,87

16º 1,86

17º 2,16

18º 2,00

19º 2,06

20º 1,92


Calculando a incerteza da média: mais uma vez, para começarmos, temos que descobrir qual o valor médio, de acordo com a Eq. 1:

15

y=1n∑i=1

n

y i


y = 40,04 x10−3 : 20 = 2,002 x10−3 ≈ 2,00 x10−3


σ=√ 1n−1∑i=1

n

( y i¿− y )² ¿

σ=√ 120−1∑i=1

20

( y i¿−2,00 x10−3) ² ¿


σ = 0,096518 mm

σ ≈ 0,096 mm.


σ m=σ

√n

σ m = 0,096

√20

σ m ≈ 0,0215 mm.


σ r≈L2

, onde L = 0,5N

= 0,520

≈ 0,025. Então:

σ r≈0,025

2

σ r≈0,0125mm.


16


σ p²=¿0,0215² +0,0125 ²

σ p²≈0,00046225 + 0,00015625

σ p ≈√0,0006185

σ p ≈ 0,025 mm.


D = y ± σ p


Segue abaixo o histograma gerado com base na observação dos 20 primeiros palitos:

1.86-1.889

1.89-1.919

1.92-1.949

1.95-1.979

1.98-2.009

2.01-2.039

2.04-2.069

2.07-2.099

2.1-2.129

2.13-2.159

2.160

1

2

3

4

Histograma

Freqüência

Bloco

Freq

üênc

ia



O valor de m = Vmáx – Vmín = 2,16 - 1,86 = 0,30mm.


17

∆y = m10

= 0,3010

= 0,03mm.

6- CONCLUSÃO

Sendo assim, percebemos que a incerteza é um valor pequeno e inevitável existente em qualquer medição, visto que todos os medidores têm certo grau de incerteza e que quanto menor for esse grau, mais confiável é o medidor, e diante da proposta estabelecida e realizada e da análise dos cálculos feitos, pode-se concluir que a variação ( y ± σ p) nos mostra que a incerteza média faz com que o valor da média dos palitos de madeira varie. Além disso, as fórmulas deixam claro que quanto mais palitos forem utilizados, mais próximo do valor médio será o resultado.

7- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para

Engenheiros. 2ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 463p.

HOLTZAPPLE, M. T.; REECE, W.D. Introdução à engenharia. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

220p.

FREEDMAN, R. A.; YOUNG, H. D. Física I: mecânica. 12ª Edição. São Paulo: Prentice Hall,

2008. 424p.

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