UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

Curso de Graduação em Engenharia Aeronáutica

Laboratório de Mecânica de Estruturas Prof. José Eduardo Tannús Reis

RELATÓRIO DA QUARTA AULA PRÁTICA DA DISCIPLINA ESTRUTURAS DE AERONAVES I (FEMEC43050)

ENSAIO DE FLEXAO EM PLACAS FINAS

Prof. Thiago Augusto Machado Guimarães, Prof. Antonio Marcos

Gonçalves de Lima, Prof. Domingos Alves Rade e Profa. Núbia dos Santos Saad

Ademar Nunes do Vale (11121EAR001)

Alexandre Felipe Medina Corrêa (11021EAR001)

Uberlândia, Janeiro de 2014.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

Curso de Graduação em Engenharia Aeronáutica

Laboratório de Mecânica de Estruturas Prof. José Eduardo Tannús Reis

RELATÓRIO DA QUARTA AULA PRÁTICA DA DISCIPLINA ESTRUTURAS DE AERONAVES I (FEMEC43050)

ENSAIO DE FLEXÃO EM PLACAS FINAS

Prof. Thiago Augusto Machado Guimarães, Prof. Antonio Marcos

Gonçalves de Lima, Prof. Domingos Alves Rade e Profa. Núbia dos Santos Saad

Relatório realizado por alunos

do Curso de Graduação em

Engenharia Aeronáutica da

Universidade Federal de Uberlândia,

referente à disciplina Estruturas de

Aeronaves I.

Uberlândia, Fevereiro de 2014.

Sumário Índice de Ilustrações ...................................................................................................... 4

1. Introdução ............................................................................................................. 5

2. Objetivos ............................................................................................................... 6

3. Equipamentos Necessários ................................................................................... 7

3.1 Relógio comparador............................................................................................. 7

3.2 Pesos Calibrados e Contrapeso. ........................................................................... 7

3.3 Sistemas de suporte ............................................................................................. 8

3.4 Placa de alumínio ................................................................................................. 8

4. Fundamentação Teórica ............................................................................................ 9

5. Descrição do Experimento ....................................................................................... 15

6. Apresentação de Dados e Cálculos .......................................................................... 16

6.1. Dados Aquisitados em Prática Laboratorial ...................................................... 16

6.2. Análise de Dados Experimentais ....................................................................... 16

6.3. Análise Teórica através do Método de Elementos Finitos ............................... 18

7. Conclusões ............................................................................................................... 22

8. Referências Bibliográficas ........................................................................................ 23

8.1. Bibliografia....................................................................................................... 23

8.2. Figuras e Imagens ............................................................................................ 23

ANEXO I ........................................................................................................................ 24

Índice de Ilustrações

Figura 1 - Relógio Comparador utilizado na experimentação. ...................................... 7 Figura 2 - Pesos e contrapesos utilizados na experiência. ............................................. 7 Figura 3 - Sistema de engaste utilizado. ........................................................................ 8 Figura 4 - Placa de alumínio a ser analisada. ................................................................. 8 Figura 5 - Placa sob carregamento transversal distribuído e condições de contorno arbritárias....................................................................................................................... 9 Figura 6 - Placa sob carregamento distribuido, dividida em elementos e seus respectivos nós. ........................................................................................................... 10 Figura 7 - Anális de elemento genérico. ...................................................................... 10 Figura 8 - Representação esquemática do experimento. ............................................ 15 Figura 9 – Análise gráfica da Carga Aplicada e Deslocamento Vertical e respectiva regressão linear. .......................................................................................................... 18 Figura 10 – Malha de Elementos Finitos ...................................................................... 19 Figura 11 - Análise gráfica da Carga Aplicada e Deslocamento Vertical e respectiva regressão linear para o Método dos Elementos Finitos. ............................................. 20 Figura 12 - Comportamento da Placa Fina sob carregamento, (a) 1N; (b) 3N; (c) 5N e (d) 7N. .......................................................................................................................... 20

1. Introdução

Placas são elementos estruturais de utilização frequente nas mais diversas áreas tecnológicas de engenharia civil, mecânica, química, naval, aeronáutica e aeroespacial. Pelas suas propriedades intrínsecas de leveza e resistência, são utilizadas na construção de pontes, coberturas de pavilhões industriais e grandes superfícies, aeronaves, veículos aeroespaciais e muitos outros tipos de equipamentos onde o reduzido peso da estrutura é essencial.

A aplicação de métodos de otimização desses projetos estruturais é uma importante ferramenta na medida em que permite a busca por redução de peso sem que os requisitos estruturais do projeto sejam comprometidos. No projeto estrutural de uma asa de aeronave comercial, um procedimento de otimização pode ser adotado para que se busque a redução do peso através da variação de dimensões como espessura dos painéis, espessura das almas das longarinas e largura dos reforçadores. Porém, os valores destas dimensões não podem comprometer estruturalmente a asa. O emprego do Método de Elementos Finitos viabiliza elaboração de um procedimento automatizado de otimização da asa.

Durante o século passado, alguns pesquisadores passaram a buscar uma solução para o problema da análise estrutural, isso fez com que surgisse a técnica de Elementos Finitos. Este método consiste basicamente numa forma de resolução numérica de um sistema de equações diferenciais parciais.

Para um maior entendimento da resposta de uma estrutura aeronáutica sob esforços, a quarta aula prática em Estruturas de Aeronaves I visou o estudo das deformações e deslocamentos de pontos específicos causados por pesos concentrados em uma placa delgada engastada. Foram realizadas as medições de deformações e deslocamentos, e então verificados os cálculos teóricos com o modelo de elementos finitos para as dadas cargas, de modo a verificar a validade do modelo utilizado ao se comparar os desvios entre experimentação e aplicação teórica. O estudo de flexão de placas finas é de suma importância para um engenheiro aeronáutico, já que as asas de uma aeronave são uma aplicação direta de placas finas.

2. Objetivos

Determinar, experimentalmente, deslocamentos transversais de uma placa retangular

fina em balança, sujeita a carregamento transversal.

Comparar resultados experimentais com os resultados numéricos, estes últimos

obtidos pelo método aproximado de Elementos Finitos (MEF).

3. Equipamentos Necessários

Os materiais necessários para a realização do experimento são:

1. Relógio comparador.

2. Pesos calibrados e contrapeso.

3. Sistema de suporte.

4. Placa de alumínio.

3.1 Relógio comparador Relógio comparador é um aparelho de grande precisão, podendo

ser analógico ou digital, para medições da ordem de um micro. É utilizado para medir as dimensões de uma peça por comparação, determinando assim a diferença existente entre ela e um padrão de dimensão predeterminado que, por exemplo, pode ser uma peça original com medidas conhecidas. Nesta experimentação foi utilizado para realizar as leituras dos deslocamentos transversais dos pontos analisados. Resolução de .

Figura 1 - Relógio Comparador utilizado na experimentação.

3.2 Pesos Calibrados e Contrapeso. Foram utilizados para aplicar uma determinada força em um ponto específico da

placa.

Figura 2 - Pesos e contrapesos utilizados na experiência.

3.3 Sistemas de suporte Utilizado para engastar a placa e fornecer a condição de contorno do problema.

Figura 3 - Sistema de engaste utilizado.

3.4 Placa de alumínio Problema a ser analisado.

Figura 4 - Placa de alumínio a ser analisada.

4. Fundamentação Teórica

Para que se possa calcular e comparar os deslocamentos transversais obtidos em experimentação com valores esperados através de cálculo teórico faz-se uso do Método de Elementos Finitos para que se possa calcular os valores teóricos. O Método dos Elementos Finitos é um método aproximado cuja formulação pode ser feita através da aplicação do Princípio da Energia Potencial Estacionária.

Ao se considerar uma placa de dimensões AxB e espessura t em equilíbrio sob ação exclusiva de um carregamento transversal distribuído por unidade de área ( ) , com condições de contorno arbritárias. A placa é homogênea e isotrópica; garantindo que suas propriedades mecânicas são as mesmas em todas direções.

Figura 5 - Placa sob carregamento transversal distribuído e condições de contorno arbritárias.

Considerando a energia potencial total resultante, que inclui a energia potencial elástica, resultante do deslocamento vertical da placa e seus esforços internos, e o trabalho total realizado pelo carregamento externo, tem-se:

Onde:

( ) designa o campo de deslocamentos transversais da placa;

( ) é o coeficiente de rigidez à flexão da placa.

O objetivo do Método dos Elementos Finitos é fracionar o domínio da placa em subsequentes subdomínios, ou seja, em um número finito de elementos, onde cada um contém um determinado número de pontos notáveis, os chamados nós, como pode-se observar na figura que se segue. Nota-se que a placa fora dividida em vários elementos retagulares, cada qual contendo quatro nós, correspondentes aos seus vértices. O número de nós é dependente da forma do elemento, que pode varia dependendo da estrutura analisada.

Figura 6 - Placa sob carregamento distribuido, dividida em elementos e seus respectivos nós.

Pode-se então partir para uma análise fundamental, observando a distribuição de tensões e momentos em um único elemento genérico.

Figura 7 - Anális de elemento genérico.

O elemento em questão possui dimensões axb, com nós indicados por i, j, k e l. Em cada nó, são indicados seus graus de liberdade, correspondentes aos deslocamentos transversais e rotações das seções transversais em cada nó em torno dos eixos x e y, indicados

por ( ) ( )

, respectivamente. Na figura acima, as setas (ou vetores) em vermelho

indicam os deslocamentos, como setas simples, e as rotações, como setas duplas.

No interior de cada elemento, o campo de deslocamentos conhecidos podem ser aproximados através das seguintes equações:

De modo que define-se:

Em consequência:

Pode se então rearranjar as equações (2), (3) e (4) de forma matricial-vetorial, sendo que dependem dos fatores , obtendo-se:

Os fatores constantes podem ser determinados impondo que as aproximações utilizadas devem fornecer os valores dos deslocamentos em rotações nodais, quando avaliadas nas coordenadas referentes aos quatro nós:

Ao se resolver os sistema acima, obtém-se:

A matriz obtida em (9), ( ), é chamada de Matriz de Funções de Forma ou de Interpolação. A Eq. (8) indica que os campos de deslocamentos e os campos de roações sobre o elemento são expressos como combinações lineares dos deslocamentos e rotações dos quatro nós do elemento. Logo, se forem determinados os valores dos deslocamentos e rotações em cada nó, os valores correspondentes em um ponto qualquer no interior do elemento pode ser obtido através da aproximação indicada em (8).

Assim, através da aproximação indicada em (8), é possível equacionar derivadas parciais da expressão de energia potencial indicada em (1), conforme demonstrado a seguir:

Associando as equações encontradas acima e (1), pode-se desenvolvê-las e chegar a:

A Eq. (12) corresponde à matriz de rigidez do elemento de placa. O vetor de esforços generalizados associados ao carregamento transversal é encontrado por:

Assim, a energia potencial da placa pode ser expressa como:

Através do Princípio da Energia Potencial Estacionária, é possível impor a seguinte condição, de modo a satisfazer a condição de equilíbrio:

Levando ao sistema de equações linares que se segue:

Até agora apenas fora analizado um único elemento genérico, o que impede a obtenção dos valores de deslocamentos e rotações nodais. Considerando o fato que os nós são compartilhados entre elementos vizinhos, logo chega-se à conclusão que os mesmos apresentam deslocamentos e rotações em comum, logo, faz-se uso da conectividade através do processo que será detalhado a seguir.

Supondo a divisão da placa em questão em elementos, a energia potencial total é dada pelo somatório das energias potenciais de cada elemento. Assim, pode se escrever, a partir da equação da energia obtida em (11), a seguinte relação:

Para cada elemento, a relação entre o vetor dos graus de liberdade elementares e o vetor de graus de liberdade globais (cujo número é igual a três vezes o número total de nós, considerando três graus de liberdade por nó) pode ser expressa por:

Associando-se (17) e (18) é possível concluir que:

Onde:

É a matriz de rigidez global do sistema.

Mais uma vez aplicando o Princípio da Energia Potencial Estacionária, tem-se a partir de (17) a seguinte relação:

Para a resolução da equação dada, deve-se impor as condições de contorno geométricas, de modo a definir os deslocamentos transversais e rotações nos bordos da placa em análise. Para este efeito, considera-se o procedimento utilizado no particionamento de vetores e matrizes que figuram na Eq. (22) em termos de coordenadas livres e coordenadas impostas, conforme detalhamento abaixo. O procedimento permite também que forças e momentos desconhecidos aplicados segundo as coordenadas impostas (as reações de apoio) sejam determinados.

Ao se realizar a reordenação das equações, pode-se expressar o sistema da seguinte maneira:

De onde podem ser observadas duas equações matriciais, conforme relacionadas a seguir:

A Eq. (24.a) permite que os deslocamentos livres sejam calculados, podendo assim calcular as reações de apoio associadas às coordenadas impostas através da Eq. (24.b).

Assim, a partir das duas equações matriciais globais obtidas, podem ser obtidos os dados necessários para cálculo teórico dos deslocamentos e reações de apoio para posterior comparação com dados obtidos em experimentação laboratorial.

5. Descrição do Experimento

Foi utilizada uma placa de alumínio engastada-livre, posicionada em um plano horizontal conforme indicada a figura:

Figura 8 - Representação esquemática do experimento.

Com as seguintes características:

Dimensões: A = 535 mm; B = 400 mm; t = 2,0 mm;

Módulo de elasticidade:

Coeficiente de Poisson:

Densidade:

Visando facilitar a localização dos pontos de aplicação de carga e medição de deslocamentos, na superfície superior da placa foram desenhadas malhas regulares ( )

Cargas de valores crescentes serão aplicadas por meio de pesos calibrados que serão suspensos no ponto R da placa, cujas coordenadas, em relação ao sistema de referência indicado são ( )

Para cada valor da carga, com o auxílio de relógios comparadores, cuja resolução é de 0,01 mm, foram medidos os deslocamentos transversais dos pontos ( ) ( ) designados por

6. Apresentação de Dados e Cálculos

6.1. Dados Aquisitados em Prática Laboratorial A partir do experimento descrito anteriormente, puderam ser aquisitados dados

necessários para que análise teórica a partir do Método dos Elementos Finitos, conforme descrito no desenvolvimento teórico detalhado neste relatório.

Para a análise na placa em questão, foram considerados os deslocamentos transversais em dois pontos arbritários, de modo que a carga P fora aplicada em um ponto genérico da placa. As coordenadas dos pontos de interessa são dadas a seguir, considerando a Fig. (8), relacionada no item de descrição do experimento. Desse modo, os pontos de interesse foram alocados nas seguintes posições:

Conforme descrito, foram aplicadas sete (7) cargas diferentes e medidos os deslocamentos transversais nos pontos S e T, discriminados na tabela a seguir:

Tabela 1 - Valores de Deslocamentos aquisitados durante Experimentação Laboratorial.

Carga Aplicada

Deslocamentos Transversais

P [N] [mm] [mm]

0 0,070 0,000

1 1,050 0,435

2 2,030 0,890

3 3,050 1,330

4 4,060 1,770

5 4,975 2,230

6 5,960 2,675

7 6,895 3,110

6.2. Análise de Dados Experimentais A partir dos dados obtidos durante experimentação, é possível analisar a relação

entre a força aplicada e deslocamento transversal. Considerando o material isotrópico e homogêneo, é esperado um comportamento linear para tal deslocamento. Sendo assim, pode-se fazer a regressão linear dos dados aquisitados fazendo uso do Método dos Mínimos Quadrados, através das equações a seguir:

∑

∑

( )

∑

∑

∑

( )

No cálculo da regressão linear deve ser considerado os deslocamentos iniciais, ou seja, quando não há aplicação de carga. Como a placa está engastada em toda sua dimensão B para qualquer posição ,logo, tem-se uma pequena deformação inicial do placa devido a seu peso, aplicado no centro de massa, que corresponde ao seu centro geométrico devido a sua homogeneidade. Isso leva a um deslocamento transversal inicial , quando não há aplicação de carga, conforme discriminado na Tabela 2.

A partir dessa consideração, obtém-se os seguintes valores para a regressão linear através do Método dos Mínimos Quadrados:

Tabela 2 – Dados para Regressão Linear para análise experimental.

Regressão Linear - Mínimos Quadrados

0 0,070 0,000 0 0,0000

1 1,050 0,435 1 1,0500

2 2,030 0,890 4 4,0600

3 3,050 1,330 9 9,1500

4 4,060 1,770 16 16,240

5 4,975 2,230 25 24,875

6 5,960 2,675 36 35,760

7 6,895 3,110 49 48,265

Soma 28 28,090 12,440 140,000 786,52

Ds A 0,0875

B 0,9782

Dt A 0,0000

B 0,4456

Como não há deslocamento inicial no ponto T, pode-se considerar apenas a Eq. (25) para determinação da reta de regressão, de modo que obtém-se:

( )

( )

Dessa maneira, com os dados obtidos experimentalmente pode-se analisar o comportamento da placa sob carregamento a partir do gráfico a seguir. Pode-se notar que a placa apresenta comportamento linear do deslocamento vertical sob carregamento, conforme esperado, confirmando assim as hipóteses teóricas no que tange a relação Carregamento vs. Deslocamento. Isso ocorre devido à característica homogênea da placa e também devido à isotropia, que garante que o comportamento e distribuição da carga na estrutura é o mesmo independente da direção analisada.

Figura 9 – Análise gráfica da Carga Aplicada e Deslocamento Vertical e respectiva regressão linear.

6.3. Análise Teórica através do Método de Elementos Finitos Para a realização da análise em elementos finitos, deve-se realizar o fracionamento

da placa de modo a gerar um número de elementos de placa, conforme detalhado do item Fundamentação Teórica. Para tal, a placa em questão é fracionada em 40 elementos, distribuidos em 5 elementos na direção e 8 elementos na direção .

Através do uso do programa MATLAB®, é possível escrever rotinas capazes de realizar o cálculo do equacionamento já demostrado através dos dados característicos do material e das condições de contorno aplicáveis.

A placa em análise apresenta dimensões 535mm x 400mm (5 elementos x 8 elementos) e espessura 2,0 mm. O módulo de elasticidade do material é de , equivalente a , e apresenta coeficiente de Poisson .

Dessa maneira, o particionamento da placa em elementos no software utilizado se apresenta da maneira indicada na Fig. (10). No diagrama, o número (ou nome) do elemento está indicado em seu centro, e cada nó é enumerado para cálculo dos deslocamentos e rotações em cada nó. Para aplicação do Método dos Elementos Finitos, devem ser aplicadas as condições de contorno válidas para o mesmo. Neste caso, os nós cujo coordenada x é nula (nós 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43 e 49) estão engastados, logo não há deslocamento vertical nos mesmos. O ponto R, ou ponto de aplicação de carregamento é encontrado no nó 41. Os pontos de análise T e S são encontrados, respectivamente, nos nós 15 e 40.

Figura 10 – Malha de Elementos Finitos

Após aplicação das condições de contorno, para cada carregamento aplicado é possível encontrar os seguintes valores de deslocamento vertical para os pontos de interesse T e S (nós 15 e 40, respectivamente).

Tabela 3 – Deslocamento Vertical dos Nós obtidos através do Método de Elementos Finitos.

Método dos Elementos Finitos

Carga Aplicada

Deslocamentos Transversais

P[N] [mm] [mm]

1 0,8771 0,3544

2 1,7542 0,7087

3 2,6313 1,0631

4 3,5084 1,4174

5 4,3855 1,7718

6 5,2626 2,1261

7 6,1397 2,4805

Pode-se então realizar o mesmo procedimento feito para tratamento de dados experimentais e analisar o comportamento da curva dado pelo seguinte gráfico. Também fora feita regressão linear através do Método dos Mínimos Quadrados para obtenção da reta de regressão. Observa-se que, como esperado, a curva apresenta comportamento linear e está bem ajustada com a regressão, porém com pequeno desvio relativo aos valores obtidos através de experimentação.

Figura 11 - Análise gráfica da Carga Aplicada e Deslocamento Vertical e respectiva regressão linear para o Método dos Elementos Finitos.

Além da análise elementar de deslocamentos verticais e rotações em cada nó, é possível, como demonstrado nas equações (24.a) e (24.b), analisar o deslocamento global da placa sob dado carregamento. A Fig. (Z) mostra o comportamento (em diferente escala) da placa sob diferentes carragamentos, onde o software consegue representar com fidelidade geometrica o comportamento obtido durante experimentação.

Figura 12 - Comportamento da Placa Fina sob carregamento, (a) 1N; (b) 3N; (c) 5N e (d) 7N.

Para análise e comparação com os dados experimentais, deve-se considerar o deslocamento absoluto experimental do ponto em questão, de modo que o deslocamento de cada ponto em relação à posição inicial (carga nula) para os dados aquisitados em prática laboratorial são dados por:

Tabela 4 – Deslocamento Vertical Absoluto dos nós durante Prática Laboratorial.

Dados Aquisitados Experimentalmente

Carga Aplicada

Deslocamentos Transversais

P [N] [mm] [mm]

1 0,980 0,435

2 1,960 0,890

3 2,980 1,330

4 3,990 1,770

5 4,905 2,230

6 5,890 2,675

7 6,825 3,110

Dessa maneira, é possível calcular o desvio relativo entre os dados teóricos obtidos através do Método de Elementos Finitos e os dados experimentais obtidos em prática laboratorial, conforme é calculado segundo a tabela a seguir.

Tabela 5 – Análise de desvio relativo para dados teóricos e experimentais.

Carga Aplicada

Método dos Elementos Finitos

Dados Aquisitados Experimentalmente

Desvio

P[N] [mm] [mm] [mm] [mm] [%] [%]

1 0,8771 0,3544 0,980 0,435 11,73184 22,74266

2 1,7542 0,7087 1,960 0,890 11,73184 25,58205

3 2,6313 1,0631 2,980 1,330 13,25200 25,10582

4 3,5084 1,4174 3,990 1,770 13,72706 24,87653

5 4,3855 1,7718 4,905 2,230 11,84586 25,86071

6 5,2626 2,1261 5,890 2,675 11,92186 25,81722

7 6,1397 2,4805 6,825 3,110 11,16178 25,37795

Nota-se que existe uma tendência nos desvios encontrados, o que pode ser conferido ao comportamento linear das curvas para ambos os casos. Além disso, existem erros inerentes aos dois métodos que influenciam nos valores encontrados, erros que incluem tanto hipóteses realizadas nas aproximações do método quanto defeitos nos equipamentos e materiais utilizados, que não são contabilizados nos cálculos realizados.

7. Conclusões

A realização da prática laboratorial para estudo do comportamento de placas finas em flexão devido a carregamento foi de grande importância para entendimento de sua aplicação em aeronaves em revestimentos de asas e fuselagens. Foi possível analisar a flexão da placa sob tensão e observar o comportamento linear do deslocamento resultante, independentemente do ponto analisado.

Através da comparação entre valores calculados teóricamente e valores aquisitados durante prática experimental dos deslocamentos verticais, envidenxia-se que os erros relativos entre ambos os casos segue uma tendência, ao se considerar os pontos em questão. Apesar dos erros estarem em uma faixa maior do que os 10% aceitáveis, uma série de fatores deve ser considerada na avaliação. Erros de leitura dos equipamentos, como o erro de paralaxe, e calibração dos equipamentos utilizados podem ser um dos fatores que levam aos desvios encontrados. Também existem erros causados por incerteza de medição e também erros de leitura do equipamento causados por posicionamento do relógio comparador, além de aproximações nos parâmetros físicos fornecidos.

Existem também erros causados por defeitos causador por cargas concentradas na placa, devido a seu uso em experimentação, e também pela aproximação ao considerar a mesma homogênea e isotrópica, assim como é utilizado no modelo teórico aplicado.

Ao avaliar-se todos os parâmetros evidenciados, espera-se que ao se garantir melhor precisão dos equipamentos utilizados e também no método de medição aplicado possa-se alcançar resultados de maior acuracia, validando assim o experimento.

Pode-se concluir que o Método dos Elementos Finitos aqui empregado foi capaz de modelar o comportamento esperado e chegar a valores relativamente próximos dos obtidos, ao considerar os fatores causadores de desvio, de modo que comprova-se que o modelo é capaz de representar com fidelidade o comportamento observado em prática laboratorial, como esperado já que o método é consagrado nas análises estruturais de grandes indústrias e centros de pesquisas.

8. Referências Bibliográficas

8.1. Bibliografia

1. Megson, T.H.G; Aircraft Structures for Engineering Students, 4th Edition, Elsevier Aerospace Engineering Series.

2. Guimarães, T.A.M, Lima, A.M.G., Rade, D.A., Saad, N.S., 2013; Roteiro da Aula de Laboratório da disciplina de Estruturas de Aeronaves I do Curso de Graduação em Engenharia Aeronáutica da Universidade Federal de Uberlândia – UFU (Minas Gerais, Brasil).

3. Rade, D.A., 2012; Programa para a simulação da flexão de placas retangulares finas baseado na Teoria de Kirchhoff, Laboratório de Mecânica das Estruturas – Prof. José Eduardo Tannús Reis, Universidade Federal de Uberlândia – UFU (Minas Gerais, Brasil).

8.2. Figuras e Imagens

1. Roteiro da Aula de Laboratório da disciplina de Estruturas de Aeronaves I.

ANEXO I

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

% Programa para a simulação da flexão de placas

% retangulares finas baseado na Teoria de Kirchhoff

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

% Domingos Alves Rade

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

% Última modificação: 27/06/2012

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

% Subprogramas utilizados:

%

% 1. gera_malha

% 2. gera_mat_ele

% 3. loc_gdl

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all; clc; close all;

disp(' ')

disp('---------------------------------------------------')

disp(' ')

disp ('Programa para análise estática de placas

retangulares finas')

disp(' ')

disp('---------------------------------------------------')

disp(' ')

%

% Definição das propriedades físicas e geométricas da placa

%

A = 0.535; % Comprimento (m)

B = 0.400; % Largura (m)

t = 2.0e-3; % Espessura (m)

E = 7.2594e10; % Módulo de elasticidade (Pa)

nu = 0.3; % coeficiente de Poisson

dados_placa = [A B t E nu];

% Geração da malha de EF

n_x=5; % número de elementos na direção x

n_y=8; % número de elementos na direção y

n_ele=n_x*n_y; % número total de elementos

a = A/n_x/2;

b = B/n_y/2;

disp(' ')

disp('---------------------------------------------------')

disp(' ')

disp ('Gerando a malha de elementos finitos')

disp(' ')

disp('---------------------------------------------------')

disp(' ')

[list_node,list_code,mat_conect,mat_node,coord_node_x,coord

_node_y,X,Y]=gera_malha(A,B,n_x,n_y);

n_node=(n_x+1)*(n_y+1);

n_gdl_node=3;

n_gdl_glob=n_node*n_gdl_node;

% Montagem da matriz de rigidez da placa

K_glob=zeros(n_gdl_glob);

disp(' ')

disp('---------------------------------------------------')

disp(' ')

disp ('Construindo matrizes elementares e montando matrizes

globais')

disp(' ')

disp('---------------------------------------------------')

disp(' ')

for ii=1:n_ele

% Construção das matrizes elementares

K_ele = gera_mat_ele(a,b,dados_placa);

% Inclusão das matrizes elementares nas matrizes globais

mat_ident=eye(n_gdl_glob);

mat_transf_q=[mat_ident(mat_conect(ii,1),:);

mat_ident(mat_conect(ii,2),:); ...

mat_ident(mat_conect(ii,3),:);

mat_ident(mat_conect(ii,4),:); ...

mat_ident(mat_conect(ii,5),:);

mat_ident(mat_conect(ii,6),:); ...

mat_ident(mat_conect(ii,7),:);

mat_ident(mat_conect(ii,8),:); ...

mat_ident(mat_conect(ii,9),:);

mat_ident(mat_conect(ii,10),:); ...

mat_ident(mat_conect(ii,11),:);

mat_ident(mat_conect(ii,12),:)];

K_glob=K_glob+mat_transf_q'*K_ele*mat_transf_q;

end

% Imposição das condições de contorno mecânicas pelo

processo de eliminação

% de linhas e colunas

% Identificação dos g.d.l. bloqueados e livres

cond_cont;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

% Subrotina cond_cont -> Condições de Contorno

gdl_bloq=[1 1

1 2

7 1

7 2

13 1

13 2

19 1

19 2

25 1

25 2

31 1

31 2

37 1

37 2

43 1

43 2

49 1

49 2];

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

list_node_bloq=gdl_bloq(:,1);

list_code_bloq=gdl_bloq(:,2);

loc_gdl_bloq=loc_gdl(list_node,list_code,list_node_bloq,lis

t_code_bloq);

loc_gdl_liv=(1:n_gdl_glob)';

loc_gdl_liv(loc_gdl_bloq)=[];

K_glob(loc_gdl_bloq,:)=[];

K_glob(:,loc_gdl_bloq)=[];

list_node_red=list_node;

list_code_red=list_code;

list_node_red(loc_gdl_bloq)=[];

list_code_red(loc_gdl_bloq)=[];

n_gdl_red=length(list_node_red);

ident_force=input('Força concentrada aplicada: [

value_force node_force code_force]:');

val_force=ident_force(1);

node_force=ident_force(2);

code_force=ident_force(3);

loc_force=loc_gdl(list_node_red,list_code_red,node_for

ce,code_force);

vet_force=zeros(n_gdl_red,1);

vet_force(loc_force)=val_force;

% resolução do sistema de equações lineares

[desloc]=K_glob\vet_force;

% complementação do vetor de deslocamentos para

consideração do

% bloqueio de gdl

desloc_completo=zeros(n_gdl_glob,1);

desloc_completo(loc_gdl_liv)=desloc;

% seleção dos gdl de deslocamento transversal

desloc_transv=desloc_completo(1:3:end);

desloc_transv_plot=reshape(desloc_transv,n_x+1,n_y+1);

rot_x=desloc_completo(2:3:end);

rot_y=desloc_completo(3:3:end);

% plotagem dos resultados

figure(2)

surf(X,Y,desloc_transv_plot');

title('STATIC ANALYSIS WITH APPLIED FORCE')

xlabel('x (m)')

ylabel('y (m)')

zlabel('Displacement (m)')

% geração de matriz de resultados

list_node_x=(1:n_node)';

placa_result=[ list_node_x desloc_transv rot_x

rot_y];

save('resultados', 'placa_result')