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Professor: Carlos Carvalho Horrio da Aula: 07:30
Resistncia Interna de Fontes e o Conceito de Fora Eletromotriz
Estela Hirata, Morgana Giatti.
Universidade Federal do Paran
Centro Politcnico Jardim das Amricas 81531-980 Curitiba PR - Brasil e-mail: [email protected]; [email protected]
Resumo: O experimento visa o entendimento dos conceitos de fora eletromotriz, resistncia
interna de fontes e mxima transferncia de potncia. Utilizando uma fonte de constituio
interna desconhecida (caixa preta), medimos os valores de corrente e tenso para diferentes resistores conectados em srie com a fonte em um circuito. Com esses dados em mos, pudemos
estudar como a tenso da fonte varia em funo da corrente injetada por ela no circuito. Plotando
a tenso da fonte em funo da corrente para os diferentes resistores, pudemos ajustar uma reta
tima, e atravs da anlise dos coeficientes da reta, determinar a resistncia interna da fonte e
sua fora eletromotriz. Os dados coletados tambm permitem estudar como o fluxo de potncias e
o rendimento da fonte funcionam em funo do resistor conectado ao circuito.
Palavras chave: Fora eletromotriz, resistncia interna, potncia.
Introduo
No estudo dos fenmenos relacionados
eletricidade, muitas simplificaes so utilizadas a
fim de facilitar os clculos e o entendimento do
fenmeno em questo. Na prtica, muitas dessas
simplificaes so vlidas apenas para casos
especficos que dispe de equipamentos e
componentes no utilizados no cotidiano. Um
exemplo disso so as pilhas e baterias, que no
obedecem lei de Ohm (Eq.1), que afirma que o
produto entre a corrente e a resistncia conectada a
um circuito uma constante:
(1)
A tenso medida quando os terminais da bateria
esto em aberto chamada Fora Eletromotriz , onde o trabalho por unidade de carga que uma fora no
eletrosttica realiza sobre uma carga que
transportada de um ponto a outro por um determinado
trajeto, isto , diferentemente da diferena de
potencial, a fora eletromotriz depende do caminho
percorrido pela carga. Sua unidade no sistema
internacional o volt (V).
Todos os tipos de materiais exercem resistncia ao
fluxo de eltrons (corrente eltrica), o que acarreta em
uma perda de energia por efeito Joule. O mesmo
ocorre internamente nas fontes de tenso, como a
bateria. Enquanto a corrente passa do polo negativo
para o positivo, h uma perda de energia devido
resistncia interna da prpria bateria, isso faz com que
a tenso medida em seus polos (quando conectada a
um circuito fechado) seja diferente de sua fora
eletromotriz. A Fig. 1 mostra o modelo equivalente de
uma bateria real, onde a fora eletromotriz, V a tenso nos terminais da bateria, r a sua resistncia
interna, e i a corrente no circuito.
Fig. 1: Modelo eltrico de uma bateria real.
Equacionando este circuito chegamos a uma
expresso para V, esta expresso chamada de
Equao do gerador, e escrita da seguinte forma:
(2)
Assim, se forem conhecidos os valores de V, e i, podemos determinar r. Conhecidos esses valores,
podemos calcular outras grandezas relevantes para
nosso estudo, a potncia dissipada na resistncia
interna da fonte e a potencia dissipada no resistor
externo, quando h uma carga R conectada ao circuito. Quando h uma carga R conectada ao
circuito, a tenso V sobre a carga calculada da
seguinte forma:
(3)
Substituindo a Eq. 3 na Eq. 2, podemos isolar a
corrente no circuito:
(4)
Essa equao da corrente ser importante para o
clculo das potncias envolvidas no experimento.
A potncia pode ser calculada de diferentes
maneiras, as equaes utilizadas so:
(5)
(6)
2
(7)
A potncia dissipada na resistncia interna da
fonte a perda de energia mencionada anteriormente,
e pode ser calculada substituindo a Eq. 4 na Eq. 5,
assim temos a equao para a potncia dissipada na
resistncia interna da fonte:
(8)
J a potncia dissipada no resistor externo R, ou
seja, na carga, obtida substituindo a Eq. 3 na Eq. 6:
(9)
Substituindo a Eq. 4 na Eq. 9 chagamos equao
final para a potncia dissipada na carga R:
(10)
Conhecendo o valor da potncia dissipada na
carga, podemos aprofundar a anlise e calcular o
rendimento do circuito. O rendimento a razo entre a potncia
consumida na carga, e a potencia total fornecida pela
bateria, e indica quanto da energia total fornecida pela
bateria de fato consumida externamente. Para
calcul-lo precisamos primeiro descobrir qual a
potencia total disponibilizada pela fonte (Pt), que
obtida da seguinte forma:
(11)
Substituindo a Eq. 4 na Eq. 11:
(12)
Agora podemos calcular o rendimento, que dado
por:
(13)
O rendimento pode assumir valores de 0 a 1, onde
indica que toda a potncia fornecida pela fonte foi dissipada internamente e no entregue carga, e
indica que toda a potncia fornecida pela fonte foi entregue carga, ou seja, o rendimento funciona
como um fator de qualidade para determinar perdas de
potncia. Essas equaes compem a base terica do
experimento, e sero utilizadas na anlise de
resultados.
Procedimento Experimental
Para este experimento, os materiais utilizados
foram uma fonte de corrente contnua com
constituio interna desconhecida (caixa preta), voltmetro, ampermetro, placa para conexes,
resistores diversos, cabos de conexo e um interruptor
de campainha.
Iniciamos o experimento montando na placa para
conexes o circuito mostrado na Fig. 2, com a fonte
de tenso em srie com o interruptor de campainha e o
resistor R. Para coletarmos os dados relevantes ao
experimento, conectamos o voltmetro em paralelo e o
ampermetro em srie com a fonte. Em srie tambm
estavam o interruptor e resistor R, sempre respeitando
a polaridade dos componentes (vermelho positivo,
preto negativo). Com esse arranjo, podemos obter a
tenso da fonte e a corrente que percorre o circuito
quando o interruptor acionado.
Fig. 2: Esquema de montagem do circuito.
Em seguida, com o circuito aberto (sem pressionar
o interruptor), anotamos o valor de tenso da fonte,
esse valor corresponde fora eletromotriz . Concluda esta etapa, demos sequncia ao
experimento e separamos 8 resistores cujos valores
nominais de resistncia so 22, 34, 68, 100, 220, 320,
560, 780 e 1000 . Utilizando um multmetro na funo Ohmmetro, medimos o valor efetivo de
resistncia para cada resistor, e anotamos esses
valores, que sero utilizados na anlise de resultados.
Enfim, conectamos o resistor R ao circuito,
comeando pelo valor mais alto de resistncia.
Para cada resistor, pressionamos o interruptor por
tempo suficiente para fazer a leitura e anotar os
valores da tenso V e corrente I no circuito, assim
encerramos a coleta de dados do experimento.
Anlise e Resultados
A tenso medida quando os terminais da bateria
esto em aberto representa a fora eletromotriz . As foras eletromotriz medidas foram V e V. As resistncias efetivas, correntes e tenses medidas para os diferentes resistores esto
relacionados na Tabela 1.
Tabela 1: Valores de resistncia efetiva, tenso e
corrente para diferentes resistores utilizados no
experimento.
Fonte 1 Fonte 2
Resistncia
Efetiva
Tenso
(V)
Corrente
(A)
Tenso
(V)
Corrente
(A)
23,6 0,16 0,0064 0,65 0,0577
34,9 0,22 0,0061 1,37 0,0403
69,8 0,38 0,0054 1,88 0,0275
98,7 0,5 0,0049 2,13 0,0215
229 0,8 0,0035 2,56 0,0112
320 - - 2,69 0,0082
562 1,14 0,002 2,83 0,0050
835 1,25 0,0015 2,89 0,0036
1018 1,3 0,0013 2,92 0,0030
3
As medidas devem ser feitas rapidamente, logo
aps o interruptor ser acionado. Isso importante,
pois como a fonte utilizada de origem qumica (uma
bateria), ela se descarrega se ficar ligada por perodos
prolongados de tempo, o que acarretaria em erros nos
valores obtidos no experimento. Isso justifica o uso do
interruptor, que permite uma leitura instantnea de
corrente e tenso no circuito.
Plotando os pontos de Tenso(V) em funo de
i(A), podemos ajustar uma reta, como mostrado na
Fig. 3:
(a) Fonte 1
(b) Fonte 2
Fig. 3: Grfico da tenso em funo da corrente no circuito, com a reta ajustada e sua equao.
As equaes obtidas para as retas ajustadas so:
(14.1a)
(14.1b)
Essa equao j foi estudada, basta lembrar-se da
Equao (2): V=-ri. Comparando as equaoes (14.1a), (14.1b) e (2), constatamos que o coeficiente linear
encontrado corresponde fora eletromotriz, e o
coeficiente angular resistncia interna da fonte. Se
compararmos a fora eletromotriz medida diretamente
com a encontrada a partir do ajuste da reta,
percebemos que os valores so prximos, o que valida
a teoria envolvida, bem como o experimento em si.
Ao analisar o grfico obtido, observa-se que a tenso
de fonte diminui medida que a corrente fornecida
aumenta. O modelo eltrico da Fig.1 mostra que a
resistncia interna da fonte est em srie com a carga
conectada ao circuito. Nos circuitos em srie, a
corrente que flui pelos resistores a mesma, logo, a
corrente que passa pela resistncia interna da fonte a
mesma que passa pelo resistor externo R conectado ao
no circuito. Assim, a corrente no circuito depende
diretamente dos valores de R e r, o que est
demonstrado matematicamente na Equao (4). Como
os valores de e r so constantes, o valor de R que determina a corrente que flui pelo circuito. Quanto
menor o valor de R, maior a corrente que flui pelo
circuito. V diminui para valores baixos de R, pois
quanto maior a corrente no circuito, maior parte da
fora eletromotriz da bateria fica sobre a resistncia
interna da fonte, o que mostrado na Equao (2). A
partir dos dados da Tabela 1 e dos valores encontrados,
calculamos a potncia dissipada, P, no resistor R, no
resistor interna r e a potncia total. As potncias
calculadas so mostradas nas Tabelas 2 e 3:
Tabela 2: Potncias calculadas por diferentes mtodos.
Fonte 1
Experimental Teorico
PR (W) Pr (W) Pt (W) PR (W) Pr (W) Pt (W)
0,001 0,009 0,010 0,0003 0,0021 0,0102
0,001 0,008 0,010 0,0005 0,0019 0,0098
0,002 0,007 0,009 0,0010 0,0015 0,0086
0,002 0,005 0,008 0,0012 0,0012 0,0078
0,003 0,003 0,006 0,0018 0,0006 0,0056
0,002 0,001 0,003 0,0022 0,0002 0,0032
0,002 0,001 0,002 0,0023 0,0001 0,0024
0,002 0,000 0,002 0,0023 0,0001 0,0020
Tabela 3: Potncias calculadas por diferentes mtodos.
Fonte 2
Experimental Terico
PR (W) Pr (W) Pt (W) PR (W) Pr (W) Pt (W)
0,038 0,138 0,175 0,0111 0,392 0,145
0,055 0,067 0,122 0,0187 0,277 0,122
0,052 0,031 0,083 0,0355 0,132 0,084
0,046 0,019 0,065 0,0460 0,079 0,065
0,029 0,005 0,034 0,0651 0,023 0,035
0,022 0,003 0,025 0,0721 0,012 0,025
0,014 0,001 0,015 0,0797 0,004 0,015
0,010 0,001 0,011 0,0829 0,002 0,011
0,009 0,000 0,009 0,0848 0,001 0,009
y = -223,32x + 1,5869
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,002 0,004 0,006 0,008
Ten
so
(V
)
Corrente (A)
y = -41,405x + 3,0322
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08
Ten
so
(V
)
Corrente (A)
4
Com os dados das Tabela 2 e 3, podemos plotar os
grficos das a potncia dissipada, P, no resistor R, no
resistor interna r e a potncia total, como segue:
Fig 4.1.a: Potncia total, dissipada na resistncia
interna da fonte e no resistor externo em funo do
resistor externo para Fonte 1.
Fig. 4.1.b: Curvas tericas para as potencias
dissipadas no resistor externo e resistncia interna da
fonte e potncia total para Fonte 1.
Fig 4.2.a: Potncia total, dissipada na resistncia
interna da fonte e no resistor externo em funo do
resistor externo para Fonte 2.
Fig. 4.2.b: Curvas tericas para as potencias
dissipadas no resistor externo e resistncia interna da
fonte e potncia total para Fonte 2.
Percebe-se que h diferenas entre valores obtidos
pelos dois mtodos, que teoricamente deveriam ser
idnticos, mas ainda assim os valores so prximos.
Essa diferena ocorre, pois existem erros de
medida no ampermetro e voltmetro, visto que a
resistncia interna do voltmetro real no infinita,
nem a do ampermetro zero, porm o erro do
ampermetro mais significativo. Ao calcularmos a
potncia utilizando a Eq. 5, o erro do ampermetro
est elevado ao quadrado, o que o torna ainda mais
significativo. Por essa razo, a potncia obtida
utilizando a Eq. 6 mais confivel e prxima da
realidade.
Para saber em qual valor de R ocorre a mxima
transferncia de potncia, derivamos a Eq. 10 em
relao a R:
(15)
Igualando a Eq. 15 a zero, obtemos a mxima
transferncia de potncia que ocorre quando R = r, e
realmente foi o que aconteceu. Observando os
grficos de P em funo de R, percebe-se que a
mxima potncia dissipada ocorreu para e , um valor bem prximo do obtido de r que foi 223.32 e 41.405 .
Para estudar melhor como a potncia se comporta,
podemos calcular tambm a potncia dissipada no
resistor interno, r. Utilizando a Eq. 5 e os valores de
corrente, i, da Tabela 1, obtivemos os dados da Tabela
3.
Os grficos da Fig 4.1.a, Fig. 4.1.b, da Fig 4.2.a e
da Fig. 4.2.b, aliado com a Eq. 12, permite
entendermos porque a potncia total diminui com o
aumento de R.
Comparando o grfico da Fig 4.1.a com o da Fig.
4.1.b e o grfico da Fig 4.2.a com o da Fig. 4.2.b,
conclumos que os valores obtidos experimentalmente
so condizentes com os tericos.
Com os valores de Potencia total e da Potncia
dissipada em R, podemos calcular a eficincia da
fonte para os diferentes valores de R. A eficincia
calculada utilizando a Eq. 13, e o grfico da Fig. 5
mostra o rendimento em funo de R.
5
Fig. 5: Rendimento da fonte em funo de R.
O grfico mostra que o rendimento diretamente
proporcional a R. Isso acontece, pois com o aumento
de R, maior parte da energia fornecida pela fonte ser
de fato transmitida para a carga. Levando ao limite
extremo, o rendimento ser mximo, isto , igual a 1.
quando R = , o que faria com que toda a potncia da fonte fosse transmitida para a carga. Levando para o
outro extremo, quando R=0, o rendimento igual a
zero, e toda a potncia da fonte dissipada em sua
resistncia interna. Obviamente, quanto mais prximo
de 1 for o rendimento, melhor, pois assim as perdas
(correspondem potncia dissipada internamente) so
muito pequenas.
Fig 6:
em funo de
Fig 7:
em funo .
Da eq: V = portanto a tenso proporcional ao rendimento. No ponto de mxima potncia externa,
onde = 1/2, a tenso apenas metade da mxima. Nos sistemas usuais de alimentao eltrica, onde a
tenso varia bem pouco com a carga, o rendimento
bem prximo de 1, o que mostra que esses sistemas
operam na regio R>> r, e que a potncia disponvel
muito menor que a mxima.
Concluso O tratamento dos dados coletados no experimento
em questo nos possibilita determinar a fora
eletromotriz e a resistncia interna de uma fonte de
tenso real, bem como a potncia dissipada na
resistncia interna e no resistor externo, que nos
permitiu verificar a validade do teorema da mxima
transferncia de energia de potncia.
Determinou-se a partir do primeiro ajuste de reta,
feita no grfico plotado de tenso versus corrente, a
fora eletromotriz (1,5869 V e 3,0322 V) e a
resistncia interna da fonte (223,32 e 41,405 ).
Observou-se que a tenso de fonte diminui medida
que a corrente fornecida aumenta, ou seja, V diminui
para valores baixos de R pois quanto maior a corrente
no circuito, maior parte da fora eletromotriz da
bateria fica sobre a resistncia interna da fonte.
A anlise da potncia dissipada no resistor externo
do circuito permitiu descobrirmos qual o valor de R
para maior transferncia de potncia, o que ocorre
quando o resistor externo possui a mesma resistncia
que a resistncia interna da fonte. Tambm pudemos
observar que apesar de existirem meios diferentes de
se calcular a potncia em um circuito, e que
teoricamente todos levam ao mesmo resultado, existe
um meio mais confivel quando aplicado prtica em
virtude das no idealidades dos equipamentos de
medio
Para verificar o teorema da mxima transferncia
de potncia, plotou-se um grfico de Pr , PR e PT
versus R, onde se observou um ponto de encontro
entre as curvas correspondente a potncia mxima
dissipada. Esse ponto ocorreu num valor de ). A ltima anlise feita foi a do rendimento da fonte, e para isso um grfico do
rendimento () versus R foi plotado. Verificou-se, como j esperado, que o rendimento diretamente
6
proporcional a R. Quando R = a maior parte da energia fornecida pela fonte e transmitida pela carga,
ou seja, o rendimento mximo. Portanto, o
rendimento ser mnimo quanto menor for a
resistncia oferecida, pois quando R = 0 toda a
potncia da fonte e dissipada em sua resistncia
interna.
Em suma, o experimento possibilitou o
entendimento de um fenmeno importante no estudo
da eletricidade, por meio da interpretao dos
resultados experimentais e comparao com os
resultados obtidos teoricamente.
Referncias
[1] Halliday, Resnick, Jearl Walker; Fundamentos
de Fsica, vol. 3: Eletromagnetismo 7 edio pp 161-167 / traduo e reviso tcnica Ronaldo Srgio
de Biasi. Rio de Janeiro: LTC. [2] Sears, Francis Weston; Zemansky, Mark Waldo;
YOUNG, Hugh D. Fsica. 2a ed. Rio de Janeiro