Livro – Fisica Teorica Experimental 2

8/18/2019 Livro – Fisica Teorica Experimental 2

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autora do original

LUCIANE MARTINS DE BARROS

1ª edição

SESES

rio de janeiro 2016

FÍSICA TEÓRICA

EXPERIMENTAL II


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Conselho editorial regiane burger, luiz gil guimarães, roberto paes, gladis linhares

Autora do original luciane martins de barros

Projeto editorial roberto paes

Coordenação de produção gladis linhares

Projeto gráfico paulo vitor bastos

Diagramação bfs media

Revisão linguística bfs media

Revisão de conteúdo robson florentino

Imagem de capa focal point | shutterstock.com

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida

por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em

qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2016.

Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento

Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa

Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063


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Sumário

Prefácio 9

1. Mecânica dos Fluidos 11

1.1 Introdução 13

1.2 Densidade 14

1.3 Peso específico 16

1.4 Pressão 181.4.1 Introdução 18

1.4.2 Pressão em um fluido 19

1.4.2.1 Consequências do Teorema de Stevin 22

1.4.3 Medidores de Pressão 24

1.4.3.1 Pressão absoluta e Manométrica 25

1.4.3.2 Manômetros de tubo em U 27

1.4.4 Empuxo 29

1.4.5 Escoamento de um fluido 331.4.5.1 Equação da Continuidade 34

1.5 Atividade experimental I – Verificação da Massa

específica de objetos sólidos 38

1.5.1 Objetivos gerais 38

1.5.2 Material necessário: 38

1.5.3 Procedimento experimental: 39

1.6 Atividade experimental II – Verificação da Pressão que um corpo sólido

exerce sobre uma superfície plana 401.6.1 Objetivos gerais 40



1.7 Atividade Experimental III – Princípio de Arquimedes (Empuxo) 41




1.8 Atividade Experimental IV – Densidade de líquidos 43


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1.8.3 Procedimento experimental: Forma Direta 43

1.8.4 Forma Indireta (vasos comunicantes) –

Não utiliza nenhum dado obtido anteriormente 44

2. Oscilações e Ondas 47

2.1 Introdução 49

2.2 Movimento harmônico simples (MHS) 50

2.3 Energia mecânica do oscilador massa-mola 562.4 Oscilações amortecidas, forçadas e ressonância 60

2.4.1 Cinemática do MHS 63

2.5 Gráficos do MHS 65

2.6 Ondas 67

2.6.1 Introdução 67

2.6.2 Conceito de onda e definição de onda 68

2.6.3 Forma de propagação, dimensões e frente de ondas 69

2.6.4 Função de onda harmônica 712.6.5 Princípio da superposição- Interferência 74

2.6.6 Ondas estacionárias 75

2.6.6.1 Relação entre o comprimento de onda das ondas (l)

em cordas limitadas a um comprimento fixo (l). 76

2.7 Atividade experimental V – Estudo qualitativo e

quantitativo de ondas em uma cuba de ondas. 77


2.7.2 Material necessário: 772.7.3 Introdução teórica 78

2.7.4 Procedimento Experimental 80

2.7.5 Montagem da cuba de onda 80

2.7.6 Comprimento da onda (γ) 81

2.8 Parte 2 – Reflexão Em Barreira Retilínea 81

2.8.1 Fundamentos Teóricos 81



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2.8.3 Material 83


2.9 Parte 1- Reflexão de pulsos retos em barreiras retilíneas 83

2.10 Parte II – Reflexão de pulsos circulares em

barreiras retilíneas 85

2.11 Atividade experimental VI - Vibrações num disco metálico -

Figuras de Chladni 86


2.11.2 Material necessário 87

2.11.3 Procedimento experimental 87

2.12 Atividade experimental VII – Ondas sonoras:

Experimentos de Interferência e Ondas em Tubos. 882.12.1 Objetivos gerais 88



3. Temperatura 91

3.1 Introdução 933.1.1 Equilíbrio térmico e temperatura 94

3.1.2 Termômetros e escalas de temperatura 95

3.1.2.1 3.3.1. Como relacionar as principais escalas

Kelvin, Celsius e Fahrenheit 98

3.1.3 Dilatação térmica 100

3.1.3.1 Dilatação Linear 102

3.1.3.2 Gráfico da dilatação linear 103

3.1.3.3 Dilatação superficial 1063.1.3.4 Dilatação volumétrica 107

3.2 Atividade experimental VIII – Dilatação Térmica 110


3.2.1.1 Material necessário: 110

3.2.1.2 Procedimento experimental: 110


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4. Calor e as Leis da Termodinâmica 113

4.1 Introdução 115

4.1.1 Conceito de calor 118

4.1.2 Capacidade térmica, calor específico e de transformação 119

4.1.2.1 Caloria e calor específico da água 122

4.1.2.2 Calor de transformação 122

4.1.2.3 Transmissão de Calor 124

4.2 Primeira Lei da Termodinâmica 132

4.2.2.1 Transformação isobárica (Pressão Constante) 133

4.2.2.2 Transformação isocórica (Volume Constante) 134

4.2.2.3 Transformação isotérmica (Temperatura Constante) 1354.2.1 Segunda lei da termodinâmica 136

4.2.1.1 Segunda lei da termodinâmica- Entropia 136

4.2.2 Máquinas térmicas e refrigeradores 138

4.2.2.1 Rendimento de uma máquina térmica 139

4.2.2.2 4.6.2 Refrigeradores 141

4.3 Atividade experimental IX –

A Transferência de Calor 142

4.3.1 Objetivos gerais 1424.3.2 Procedimento experimental: 142

4.4 Atividade experimental X – Equilíbrio Térmico e Curva de

Aquecimento 147



4.4.3 Procedimento experimental 148

5. Óptica Geométrica 151

5.1 Introdução 153

5.2 Luz e fontes de luz 154

5.3 Propagação da luz e princípios da óptica geométrica 155

5.4 Reflexão da luz 157

5.4.1 Leis da Reflexão 157

5.5 Refração da Luz 158


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5.5.1 Leis da Refração 159

5.6 Polarização da luz 162

5.7 Espelhos 164

5.7.1 Espelho plano 164

5.7.1.1 Imagens de um objeto entre dois espelhos planos 166

5.7.2 Espelho esférico 167

5.7.3 Espelhos esféricos de Gauss 168

5.7.4 Propriedades dos espelhos esféricos 168

5.7.5 Formação de imagens nos espelhos esféricos 168

5.8 Lentes esféricas 171

5.8.1 Tipos de lentes 172

5.8.2 Lentes Convergentes e Divergentes 1735.8.3 Estudo analítico das lentes 174

5.8.3.1 Equação de Gauss para lentes 174

5.8.3.2 Aumento Linear Transversal 176

5.9 Atividade Experimental XI – Espelhos Planos 177

5.9.1 Objetivos: 177

5.9.2 Material Utilizado 178


5.10 Atividade Experimental XII – Espelhos Esféricos 1795.10.3.1 Objetivos 179

5.10.1 Material Utilizado 180



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9

Prefácio

Prezados(as) alunos(as),

Bem-vindos à Física Teórica e Experimental II, seu livro de apoio aos seus es-

tudos que foi estruturado em 5 capítulos, onde o conteúdo está dentro da Física

Clássica: Mecânica dos Fluidos, Oscilações e Ondas, Temperatura e Equilíbrio

Térmico, Calor e Leis da Termodinâmica e Óptica Geométrica.

Nosso intuito, é motivar e despertar em vocês a vontade e o prazer em ter

conhecimento científico. Tenham em mente que, todo processo de conheci-

mento é marcado por experiências, trabalhos, erros e acertos, e também mui-

ta dedicação.No capítulo 1, apresentamos a Mecânica dos Fluidos dividida em

Hidrostática e Hidrodinâmica, no capítulo 2 conheceremos as Oscilações e

Ondas com os seus modos de vibração e seus fenômenos associados, estuda-

remos as ondas mecânicas, o oscilador harmônico, estudaremos as Oscilações

Amortecidas, forçadas e Ressonância, a equação fundamental das ondas e os

modos de interferência das ondas

Nos capítulos 3 e 4, mudamos radicalmente para falar de uma física cercada

de várias imposições para seus sistemas, a temperatura, as escalas principaisde temperatura, a capacidade térmica, o calor específico e o que é calor, suas

formas de transferências e transformações, tudo isso para entender melhor a

Termodinâmica com as suas Leis e processos, as máquinas térmicas quentes e

frias, a entropia e sua desordem.

No capítulo 5, fecharemos nosso estudo com os principais conceitos da óp-

tica geométrica, discutiremos a característica ondulatória da luz como sendo

uma oscilação eletromagnética, as fontes de luz, das leis da reflexão, refração e

do fenômeno da polarização e terminaremos com espelhos e lentes esféricas.Espero que de alguma maneira eu tenha conseguido apresentar a física

como uma ciência interessante e agradável, e que nossos objetivos sejam ple-

namente atingidos, felicidades e sucesso.

Dedique-se!

Bons estudos!


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Mecânica dos

Fluidos

1


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12 • capítulo 1

OBJETIVOS

•

Destacar a importância da Mecânica dos Fluidos;• Definir fluido;

• Definir densidade, massa específica e peso específico;

• Definir pressão absoluta e manométrica;

• Enunciar o Princípio de Stevin;

• Enunciar o Princípio de Pascal;

• Definir Empuxo;

• Enunciar o Princípio de Arquimedes;

•

Deduzir Equação da Continuidade;• Deduzir a Equação de Bernoulli.


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capítulo 1 • 13

1.1 Introdução

Mecânica dos Fluidos é a parte da física que estuda os fluidos em re-

pouso (hidrostática) e os fluidos em movimento (hidrodinâmica). Neste ca-pítulo, vamos estudar as equações que nos permite conhecer e dimensionar

os fenômenos relacionados com fluidos. Voce sabe qual é o melhor lugar

para observar os efeitos da Mecânica dos Fluidos? Se você respondeu praia,

acertou! A praia é um lugar maravilhoso para observar o movimento das águas

provocado pela gravidade e por diferenças de pressão nas vizinhanças do

fluido e o escoamento da água que muda de laminar para turbulento quan-

do as ondas se quebram.

Figura 1.1 – Praia. Fonte: http://www.agencia.se.gov.br

No cotidiano, nós bebemos, respiramos, mergulhamos em fluidos, e tam-

bém sabemos que os mesmos sustentam aviões e fazem enormes navios

flutuarem. O que podemos chamar de fluido? Temos a seguir a definição de

dois autores:


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14 • capítulo 1

CONCEITODenomina-se fluido qualquer substância que pode fluir; o termo pode ser usado para um gás

ou para um líquido.Fluido é uma substância que não tem forma própria, assume o formato do recipiente.

Os gases se deixam comprimir e por este motivo surgem enormes aplica-

ções que são estudadas em uma área específica chamada pneumática, e os

líquidos são quase incompressíveis, salvo algumas exceções, e é por isso que

temos inúmeras aplicações estudadas na hidráulica.

Para se entender o comportamento dos fluidos em repouso (hidrostá-tica), analisaremos situações de equilíbrio, baseadas nas leis de Newton, mais

especificamente a primeira e terceira leis. O estudo dos fluidos em movimento

(hidrodinâmica) é bem mais complexo, mas felizmente podemos usar as leis

de Newton e a lei da conservação da energia.

1.2 Densidade

Todo material tem uma propriedade chamada densidade, vamos utilizar a letra

grega ρ (rô) para densidade. A densidade ρ de um material homogêneo é a re-

lação entre a sua massa m e o volume V que ocupa. A densidade se confunde

com outro conceito a de massa específica. Vale a pena esclarecer esta diferença.

A massa específica é relacionada à substância que constitui certo objeto de que

estamos falando, que é definida pela razão entre a massa de substância e o vo-

lume desta amostra. Equação 1.

Material homogêneo significa que em todos os pontos de sua extensão pos-suem as mesmas propriedades, incluindo densidade.

ρ=m

v

(1)


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capítulo 1 • 15

A massa específica (m) é relacionada à substância que constitui certo objeto

de que estamos falando, que é definida pela razão entre a massa da subs-

tância e o volume desta amostra. Assim, para obter a massa específica

de certa substância, é necessário subtrair o volume da parte oca do volumeocupado pelo objeto.Equação 2.

µ =−

massa

Volume Volumeobjeto parteoca

(2)

ATENÇÃO

Estes dois conceitos se confundem, uma vez que objetos maciços terão igual valor paradensidade e massa específica. Entretanto, objetos ocos ou porosos apresentarão diferentes

valores para densidade e massa específica, haja vista que o volume ocupado pelo objeto

não é equivalente ao volume de matéria que o constitui.

COMENTÁRIODensidade é uma característica do corpo, independe de sua forma e só é igual a massa es-pecífica se o corpo for homogêneo.

CURIOSIDADEO material mais denso encontrado na superfície terrestre é o Ósmio (ρ = 22,5x103 kg/m3),

porém é muito pequena se comparada com a densidade de estrelas de neutrôns entre outras.

A unidade de densidade no S.I é o kg/m3,, mas também é muito utilizada as unidades do

sistema CGS, grama por centímetro cúbico g/cm3.

Fator de conversão 1 103

33

g

cm

kg

m=


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16 • capítulo 1

A tabela 1.1 a seguir mostra a densidade de algumas substâncias comuns.

MATERIAL DENSIDADE (kg/m3) MATERIAL DENSIDADE(kg/m3)

Ar 1,20 Ferro, aço 7,8x103

Álcool Etílico 0,81x103 Latão 8,6x103

Benzeno 0,90x103 Cobre 8,9x103

Gelo 0,92x103 Prata 10,5x103

Água 1,00x103 Chumbo 11,3x103

Água do mar 1,03x103 Mercúrio 13,6x103

Sangue 1,06x103 Ouro 19,3x103

Glicerina 1,26x10 Platina 21,4 x103

Concreto 2x103 Anã Branca x1010

Alumínio 2,7x103 Estrelas de Nêutrons x1018

Tabela 1.1 – Densidade de algumas substâncias comuns.

1.3 Peso específico

Peso específico (g) é o peso do fluido por unidade de volume, ou seja,

γ =⋅m g

V

em unidades do SI Newton/m3 = N/m3

EXERCÍCIO RESOLVIDO01. Em um recipiente mistura-se um volume V1 de um líquido de densidade r1 com um vo-

lume V2 de outro líquido de densidade ρ2. Determine a densidade da mistura, admitindo que

não haja diminuição de volume devido a mistura.


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capítulo 1 • 17

Figura 1.2 – rmistura

= ?

Resolução:

A densidade da mistura é dada por: ρ =m

V

Como m = m1 + m2, temos: m= r1 V1 + r2 V2

O volume total é V= V1 + V2 Então, a densidade é:

ρρ ρ

=+( )+

1 1 2 2

1 2

V V

V V

ATIVIDADES01. A nata do leite apresenta densidade de 865 kg/m3 quando pura e constitui 2% do

volume do leite. Qual a densidade do leite desnatado, sabendo que sua massa é de 1,052 kg?

02. Escreva a expressão do peso de um corpo em função de sua densidade r seu volume V

e da aceleração da gravidade g*.


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18 • capítulo 1

03. Um cubo de ouro tem 1 cm de aresta. Calcule a massa do cubo. Consulte a densidade

do ouro na tabela 1.

04. Calcule o peso específico da água e do mercúrio. Considere g = 10m/s2

05. Ache a massa e o peso do ar no interior de uma sala com altura 2,80m, 7,00 m

de comprimento e 10m de largura. Qual seria a massa e o peso de um igual volume

de água?

1.4 Pressão

1.4.1 Introdução

O conceito de pressão está vinculado ao conceito de força, mas são grandezas

físicas completamente diferentes.

Quando aplicamos uma força F em uma área A, conforme na figura abaixo:

F

A

A força F terá duas componentes, uma perpendicular (FN

) e outra tangencial

(Ft ) à área A. No nosso curso vamos nos concentrar na componente normal (F

N)

que dá origem a Pressão de Compressão, deixando a componente tangencial

(Ft ), cisalhamento, para Resistência dos Materiais.

FN

Ft

F

A

* letras em negrito representam grandezas vetoriais


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capítulo 1 • 19

EXERCÍCIO RESOLVIDO01. Em um jogo de Biribol (Volei praticado dentro de uma piscina), um atleta ao impulsionar-

se verticalmente para cima com os dois pés apoiados em uma área de aproximadamente3x10–2 m2 exerce uma força de 784N. Qual a pressão exercida neste movimento dos pés do

atleta? Considere g = 9,8 m/s2. A força exercida ao impulsionar é FN =784N

P F

AP

F

AkPaN N= ⇒ = = =

784

0 0326133

,,

1.4.2 Pressão em um fluido

Quando um fluido está em repouso, ele exerce uma força perpendicular

sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele, tal como as paredes

de uma piscina ou nas paredes internas de garrafas e em corpos submersos, o

fluido exerce uma pressão P em todos os pontos da superfície A , definida como:

PF

A

N=

Onde FN

é a força que o fluido exerce perpendicularmente às paredes do

recipiente que o contém sobre a área A. A unidade de Pressão no SI é N/m 2 = 1

Pa (Pascal)

FN

A

Figura 1.3 – A água de uma piscina exerce pressão na parede da piscina.

A Pressão Atmosférica, Patm

, é a pressão exercida pela atmosfera terrestre, é

influenciada com as condições do tempo e com a altitude. A Pressão atmosféri-

ca normal no nível do mar 1 atm equivale a 101 · 325 Pa ou

1atm

= 1,01 · 105 Pa


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20 • capítulo 1

A pressão atmosférica em grandes altitudes é menor do que a pressão at-

mosférica ao nível do mar e é maior quando mergulhamos. Como a pressão

está relacionada com a elevação ou depressão de um local? Considere um fluí-

do com densidade r , queremos descobrir a diferença de pressão entre doispontos 1 e 2, por exemplo:

ρh

2

1

Mentalmente, vamos destacar um cilindro no fluido que está em equi-

líbrio, está em repouso

F1

F2

Peso

Análise do equilíbrio:

• Na horizontal as forças se anulam, pois tem o mesmo módulo, dire-

ção, mas sentidos contrários.

• Na vertical agem as forças na tampa superior do cilindro F1, a força na

tampa inferior do cilindro F2 e a força peso do fluido.

No equilíbrio: S Forças = 0

F1 + Peso – F

2 = 0 (3)


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capítulo 1 • 21

ATENÇÃO(Observação: a resultante aponta no sentido de F1 e Peso)

Da equação (2) tiramos que: F1 = p1 · A e F2 = p2 · A. Substituindo na equação (3)p1 · A + m · g + p

2 · A = 0 onde peso = m · g (4)

mas m=r · V onde r= densidade e V=volume, substituindo em (4), temos:

p1 · A + · V g + p

2 · A = 0 (5)

mas V = Volume = A · base h, substituindo em 5, temos p1 · A+ r · A h g + p2 · A = 0

Podemos cancelar a Área pois em todos os termos ela está multiplicando, chegamos

a equação (6).

p A Ahg p A1 2 0⋅ + ⋅ + ⋅ =ρ

p1 + r · h g + p2 = 0

p2 – p

1 = r · h g (6)

A Equação 6 é conhecida como Teorema de Stevin.

CONCEITOTeorema de Stevin diz que a diferença de pressão entre dois pontos de uma mesma

massa fluida homogênea (densidade constante), em equilíbrio sob a ação da gravidade, é

igual ao produto da densidade do fluido pela aceleração da gravidade e pela diferença de

profundidade entre os pontos:

MULTIMÍDIASaiba mais sobre a vida de Stevin:

http://geocities.ws/saladefisica9/biografias/stevin.html


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22 • capítulo 1

EXERCÍCIO RESOLVIDO01. Princípio de Stevin- Em um recipiente, colocam-se dois líquidos imiscíveis cujas densida-

des são r1 = 800 kg/m3

e r2 = 1.200 kg/m3

. Considerando a pressão atmosférica no localigual a 1,01 x 105 Pa, determine:

3m

1m

ρ1

ρ2

A

C

B

a) a pressão no ponto A;

b) a pressão no ponto B;

c) a pressão no ponto C.

Resolução:

a) A pressão no ponto A é a pressão atmosférica:

PA = Patm = 1,01 x 105 Pa

b) A pressão no ponto B é a pressão atmosférica acrescida da pressão devida à coluna do

líquido 1.

PB = 1,01 x 105 + r1 g h1 = 1,01 x 10

5 + 800 · 9,8 · 3 = 124,520 kPa

c) A pressão do ponto C é a pressão no ponto B acrescida da pressão devida ao líquido 2.

PC = P

B + r

2 g h

2 = 124,520 kPa + 1200 · 9,8 · 1= 136,280 kPa


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capítulo 1 • 23

1.4.2.1 Consequências do Teorema de Stevin

Se aumentarmos a pressão p1 na superfície do fluido, a pressão p2 aumenta de

um valor exatamente igual.Lei de Pascal: a pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente

é transmitida sem nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as

paredes do recipiente.

O Princípio de Pascal é aplicado no funcionamento dos elevadores hi-

dráulicos (figura 1.4) e prensas hidráulicas.

A pressão aplicada em uma área pequena (A1) é transmitida integralmente

pelo fluido hidráulico através dos tubos até um pistão maior (A2).

A1

Fluído hidráulico

A2

F1

F2

Figura 1.4 – Princípio de funcionamento de um elevador hidráulico, uma aplicação da Lei

de Pascal.

PF

A

F

A= =

1

1

2

2

• Em um fluido em equilíbrio a pressão é igual para todos os pontos

situados na mesma horizontal, já que não existe desnível entre eles.


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24 • capítulo 1

Princípio dos vasos comunicantes. (Figura 1.6)

A B C D

Figura 1.5 – Vasos comunicantes.

Os pontos A, B, C e D estão na mesma horizontal, a forma do recipiente não

altera a pressão, por isso:

P A = PB = PC = PD

Se um líquido está em equilíbrio, sua superfície livre é horizontal

1.4.3 Medidores de Pressão

A Pressão atmosférica é medida com um aparelho chamado barômetro (fi-gura 1.7) do século XVII inventado por Torricelli [2], figura 1.7a e um barômetro

atual figura 1.7b.

Experimento

de TorricelliVacío

Mercúrio

Altura de

la columnade mercurio

(76 cm)

Tubo

de vidro

Cubeta

(a) (b)

Figura 1.6 – Modelos de Barômetros.


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capítulo 1 • 25

Segundo Torricelli, a pressão atmosférica é igual à pressão exercida por uma

coluna de mercúrio de 76 cm, ou por uma coluna de água de 10,3m.

A pressão quando vamos calibrar pneus nos postos e em geral é medida com

um aparelho chamado de manômetro figura 1.7, nestes encontramos outrasunidades de pressão, como quilograma-força por centímetro quadrado (kgf/

cm2) , libra-força por polegada quadrada (lib/pol2) e bar.

1 bar equivale a 105 Pa.

1.4.3.1 Pressão absoluta e Manométrica

Quando enchemos um pneu com ar, estamos fazendo com que a pressão no

interior seja maior do que a pressão atmosférica, caso contrário este continua-ria murcho. Quando dizemos que a pressão de um pneu é “4 atm”, queremos

dizer que o ar no interior do pneu possui uma pressão total de 5 atm.

Chamamos o excesso de pressão acima da atmosférica de pressão mano-

métrica e a pressão total denomina-se pressão absoluta.

EXEMPLO

Cálculo da pressão manométrica e da pressão absoluta. Um sistema de aquecimento deágua aproveitando a energia solar usa painéis solares sobre um telhado situado a uma altura

de 12,0 m acima do tanque de armazenamento. A pressão da água no nível dos painéis

é igual a uma atmosfera. Qual é a pressão no tanque? Qual é a pressão manométrica?

Solução de acordo com a equação (6), a pressão absoluta é

p = p1 + rgh

Onde p1 = pressão atmosférica = 1,01 x 105 Pa

p = p1 + r · h g

p = 1,01 x 105 + 1.000 · 9,8 · 12 = 2,19 x 105 Pa

A pressão manométrica é:

p – p1 = 2,19 x 105 – 1,01 x 105 = 1,18 x 105 Pa


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26 • capítulo 1

O manômetro da figura 1.8 é chamado de manômetro metálico ou de

Bourdon. Ao ligar o manômetro pela tomada de pressão, o tubo fica interna-

mente submetido a uma pressão P que o deforma, havendo um deslocamento

de sua extremidade que, ligada ao ponteiro por um sistema de alavancas, rela-cionará sua deformação com a pressão do reservatório.

A leitura do manômetro quando este está exposto a pressão atmosférica é

chamada de leitura na escala efetiva de pressão.

Pmanômetro

= Pressão Entrada – Pexterna ao manômetro

Pressão

externa

Pressão

externaPressão

externa

Pressão

externa

Pressão entrada

0

100

200 400

500

600

300

Figura 1.7 – Manômetro Metálico.

No caso da figura abaixo a pressão mostrada no manômetro, sendo que p1 é

a pressão de entrada no tubo metálico e p2 é a externa ao tubo.

p2

p1

Pmanômetro

= p1 – p

2


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capítulo 1 • 27

EXERCÍCIO RESOLVIDODetermine a leitura dos manômetros A, B, C e D. Considere Patm = 1,013 x105.

79kPa

45kPa

A

D

C

B

patm

Calculando para o manômetro A

Pmanômetro = p1 – p2P

A= 45k – 1,013 x 105 = – 56,3 KPa

PB = 45k – 79k = –34kPa

PC = 79k – Patm = – 22,3 kPa

PD = Patm – 45k = 56,3 kPa

1.4.3.2 Manômetros de tubo em U

A figura 1.9 mostra manômetros de tubo em U. Na figura 1.9(a) e 1.9(b), são os

manômetros abertos e os chamados diferenciais, respectivamente. Este manô-

metro é útil quando temos leituras de pressões manométricas negativas.

h1

h2

A

fluido

monométcro

A B

(a) (b)

Figura 1.8 – Exemplos de Manômetros em tubo U.


29/185

28 • capítulo 1

EXERCÍCIO RESOLVIDOCalcule a pressão no reservatório (PA). Considere g = 9.8 m/s2, h1=5 cm e h2= 7cm

Dados: rHg = 13.600 kg/m

3

rágua = 1.000 kg/m

3 .

A

Mercúrio (Hg)

h1

h2A

fluidomonométcro

Água

PA = ?

Resolução:

Aplicamos a condição equilíbrio para um fluido estático

Pfe = Pfd (1)

Pfe = Pressão no fundo do lado esquerdo = P

A + r

água g h

1

Pfd = Pressão no fundo do lado direito = Patm + rHg · g h2

Substituindo em (1), temos:

PA + rágua g h1 = Patm + rHg · g h2

PA = Patm + rHg · g h2

rágua g h1 ⇒ PA = 1,01 x 105 + 13.600 · 9,8 0,07 – 1.000 · 9,8 0,05

PA = 92,160 kPa

ATENÇÃOPontos que estão a uma mesma altura como consequência do Teorema de Stevin, tem a

mesma pressão. No exercício anterior a linha pontilhada inferior indicam estes pontos no

fluido mercúrio tanto do lado esquerdo quanto no lado direito do tubo por isso, vão se cancelar.


30/185

capítulo 1 • 29

1.4.4 Empuxo

Quando estamos em uma piscina ou no mar, sentimos não somente os efeitos

do aumento da pressão sobre nosso corpo quando mergulhamos, mas tam-bém observamos que podemos flutuar (boiar) na superfície, isso devido ao

fato que nosso corpo possui uma densidade menor que a da água. Quando

mergulhamos um corpo em um líquido, aparentemente seu peso diminui, e

em certas situações o corpo flutua, quando o seu peso é totalmente anulado. A

explicação para isso é que existe naturalmente uma força vertical de baixo para

cima, exercida pelo líquido sobre o corpo, chamada empuxo.

Arquimedes, na Grécia antiga, estabeleceu experimentalmente que:

Um corpo mergulhado em um fluido em equilíbrio recebe uma força vertical de baixo

para cima chamada empuxo (E), cuja intensidade é igual ao peso (W) do fluido deslo-

cado pelo corpo.

volume de águadeslocado na cuba

corresponde ao volumeda coroa

E

w


31/185

30 • capítulo 1

MULTIMÍDIAPara saber mais sobre a fascinante história de Arquimedes

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1404

Podemos encontrar uma equação matemática para o princípio de

Arquimedes, considerando que o fluido tem densidade constante.

E = W fluido

, onde

W fluido

= Peso do fluido deslocado E = rfluido

V fluido

g

Situações:• Corpo Totalmente imerso, o volume do fluido deslocado (V fluido ) é o vo-

lume do próprio corpo (V C)

VC

Vfluido

• Corpo Flutuando, o volume do fluido deslocado é igual à parcela do corpo

que se acha imersa.

Vfluido


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capítulo 1 • 31

EXEMPLOCorpo Imerso: Uma coroa de massa 150g e volume V = 90 cm3 é mergulhado em água. Qual

o peso aparente da coroa dentro do líquido? g = 9,8 m/s

2.

E

w

O peso aparente da coroa é a força resultante entre seu peso e o empuxo exercido

pelo líquido.

Wap = W – E

W = 150 · 10–3 · 9,8 = 1,47 N

E = rfluido Vfluido g = 1.000 · 90 · 10–6 · 9,8 = 0,882 N

Wap = 1,47 – 0,882 = 0,59 N

Um bloco de metal é mergulhado em um recipiente contendo mercúrio. Sabendo que a den-

sidade do metal é de 7,8 x103 kg/m3 e a do mercúrio é 13.600 kg/m3, determine que porção

do volume do bloco ficará submersa no mercúrio.

w

VHg

deslocado

E

W = peso do bloco

Vb ´= volume do bloco


33/185

32 • capítulo 1

O peso do bloco é dado por:

W= rbloco Vbloco g = 7,8 · 103 · Vb · g

O empuxo exercido pelo mercúrio é dado por:

E = rHg VHg g = 13.600 · VHg g

Estando o bloco em equilíbrio, podemos escrever:

E = W

13.600 · VHg g = 7,8 · 103 · Vb · g

VHg = 0,57 Vb

COMENTÁRIOComo o volume do mercúrio deslocado é igual ao volume do bloco que fica submerso,

podemos afirmar que a porção do volume do bloco que ficará submersa é 0,57 Vb , ou

seja, 57% do seu volume.

ATIVIDADESDensidade

Considere g = 9,8 m/s2

01. Qual é a densidade do material do núcleo de um átomo de hidrogênio? O núcleo

pode ser considerado uma esfera de 1,20.10-15 m de raio e de 1,67. 10-27kg de massa.

02. O ar tem densidade de 1,29 kg/m3 em condições normais. Qual é a massa de ar em

uma sala de dimensões 10 m X 8 m X 3 m?

03. Um bloco de metal flutua num recipiente de mercúrio, de modo que 2/3 do seu

volume ficam submersos. Sendo a densidade do mercúrio de 13,6 g/cm3, qual a densidade

do metal?

04. A densidade do óleo é de 0,85 g/cm3.


34/185

capítulo 1 • 33

a) Quanto pesa o óleo contido em uma lata de 900ml?

b) Quantas latas de 900ml podem ser preenchidas com 180 kg de óleo?

05. Uma esfera de alumínio ocupa um volume de 150 cm

3

e possui massa de 100 g.

06. Qual a densidade da esfera?

07. Colocada numa piscina cheia de água, ela flutuará ou não? Explique.

Pressão

01. O que acontece com a pressão exercida por um tijolo apoiado sobre uma mesa, se mu-darmos sua posição de modo a apoiá-lo por uma das faces cuja área é um terço da anterior?

02. Quando um submarino desce a uma profundidade de 120 m, qual a pressão total a

que está sujeita sua superfície externa?

Dados: densidade da água do mar = 1030 kg/m3; pressão atmosférica = 1,01.105Pa;

03. O que é pressão atmosférica? A pressão atmosférica aumenta ou diminui com a alti-

tude? Por quê?

04. Se não existisse pressão atmosférica, seria impossível tomar um refresco por

canudinho. Explique a afirmação.

05. Enuncie o princípio de Arquimedes.

06. Explique o que determina se um corpo sólido vai flutuar ou afundar num líquido.

07. Escreva a expressão matemática que determina o valor do empuxo que age num corpo

imerso num fluido. Especifique cada termo dessa expressão.


35/185

34 • capítulo 1

1.4.5 Escoamento de um fluido

Estudar fluidos em movimento ( mar agitado, correnteza de um rio) é ainda

um grande desafio, pois não nos deparamos com situações simples (com-portadas). Porém, a boa notícia é que podemos utilizar modelos ideali-

zados simples dessas situações e isso, vem dando bons resultados. Na

disciplina, Fenômenos de Transporte o estudo do movimento dos fluidos é

mais aprofundado.

Para seguir no nosso estudo, precisaremos definir as condições

que utilizaremos:

Fluido Ideal: É aquele cuja densidade é constante, ou seja, incompressível.

E que não tem viscosidade.Linha de escoamento: É também chamada linha de fluxo.

Tubo de escoamento Figura 9: Formato que as linhas de escoamento

formam ao atravessar seções imaginárias de áreas A e A’.

Fluido está em um escoamento estacionário: Escoamento que não depende

do tempo, é chamado também de permanente.

COMENTÁRIONo escoamento estacionário todo elemento que passa através de um dado ponto seguesempre a mesma linha de escoamento.

Linha de

escoamento

A

A’

Figura 1.9 – Um tubo de escoamento seção de área A e A’ delimitado por linhas

de escoamento

Escoamento Laminar: É quando as camadas finas ( lâminas) adjacentes ao fluido

deslizam uma sobre as outras e o escoamento é estacionário.

Escoamento turbulento: Escoamento que varia continuamente com o tempo, irregular

e caótico.


36/185

capítulo 1 • 35

1.4.5.1 Equação da Continuidade

A massa do fluido que passa pela seção de área A1 é a mesma que passa na

seção de área A2 (a massa se conserva), este fato determina uma relação impor-tante chamada de equação da continuidade.

Considere o tubo de escoamento delimitado entre duas seções de áreas

A1 e A2 , a velocidade do fluido na seção A1 chamamos de v 1 e na seção de

área A2 de v 2 o fluido tem densidade constante.

∆X1

∆X2

m1 m2

A A

v1 v

2

Onde Dx1 é o deslocamento do fluido com massa m1 em um instante de

tempo dt e Dx2 é o deslocamento do fluido de massa m2 no mesmo instante

de tempo dt.

m1

= m2

r V 1 = r V

2 (1)

mas o volume V 1 = A

1 · Dx

1 e V

2= A

2 · Dx

2, substituindo em (1), temos:

A1 · Dx

1 = A

2 · Dx

2

mas Dx1 = v

1 dt e Dx

2= v

2 dt

A1 v

1 dt = A

2 v

2 dt

Equação da Continuidade fluido incompressível

A1 v 1 = A2 v 2 (3)

O produto A. v é a vazão volumétrica m3/s 4.5.

Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é uma importante equação na análise de escoa-

mentos em sistemas de encanamentos, em usinas hidrelétricas e no vôo

de aeronaves, pois relaciona a velocidade do escoamento com a pressão em

pontos de diferentes alturas no fluido.


37/185

36 • capítulo 1

Vamos considerar que o fluido seja incompressível e que esteja em es-

coamento estacionário conforme a figura a seguir:

A1

A2

h1

h2

v1∆t = s

1

v2∆t = s

2

P1

P2

P1

P2

Figura 1.10 –

Pela equação da continuidade o volume do fluido que passa nas dife-

rentes seções é o mesmo, então V 1= A1 s1 = A2 s2, calculando o trabalho total

realizado pelas vizinhanças sobre o fluido durante um intervalo de tempo t,

t = p1. A1 s1 - p2. A2 s2 = ( p1 – p2) V (4)

ATENÇÃOO sinal de menos no segundo termo da equação (4) é porque a força se opõe ao sentido

do deslocamento.

A variação total da energia cinética K durante o intervalo de tempo t,

K mv=

2

2

mas m = rV

KV v v

=−( )ρ 22 12

2

(5)

A variação da energia potencial U durante o intervalo de tempo t

U = m g h = rV g (h2

– h1

) (6)


38/185

capítulo 1 • 37

Substituindo as equações 4, 5 e 6 na equação do trabalho- energia t = K + U

ρ ρρ

ρ1 222

12

2 12−( ) =

−( )+ −( )V

V v vVg h h

podemos cancelar o volume e rearranjar

ρ ρρ

ρ1 222

12

2 12− =

−( )+ −( )

v vg h h (7)

A equação (7) é a Equação de Bernoulli, ela afirma que o trabalho realizado pelo

fluido das vizinhanças sobre uma unidade de volume do fluido é igual à soma das varia-

ções da energia cinética e da potencial.

Podemos expressar de uma maneira mais conveniente:

p v

g h p v

g h112

1 222

22 2+ = + = + +

ρρ

ρρ Equação de Bernoulli

EXERCÍCIO RESOLVIDOA água é descarregada de um tubo cilíndrico horizontal com uma taxa de 465 cm3/s. Em umponto do tubo onde o raio é 2,05 cm a pressão absoluta é igual a 1,60x105 Pa. Qual é o raio

do tubo em um ponto onde a pressão se reduz para 1,20x105 Pa?

Estratégia para usar Equação de Bernoulli

Comece identificando os pontos 1 e 2 mencionados na equação

1 2

Faça uma lista das grandezas conhecidas e desconhecidas:

Ponto 1

r1 = 2,05 cm = 0,0205 m p1 = 1,60 x105 Pa

Ponto 2

r2

= ?

p2 = 1,2 x105 Pa


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38 • capítulo 1

Importante:

Vazão em 1 = Vazão em 2 = 465 x10–6 m3 Podemos calcular a velocidade em 1

v Vazª o

Av

g h p v

1

6

2

112

1 222

465 10

0 0205

0 35

2 2

= =×

( )

=

+ + = +

−

π

ρρ

ρ

,

, m/s

p ++

=

+ + = +

pg h

h h tubo

vg h p

vg h

2

1 2

112

1 222

22 2

( horizontal)

p

1,6

ρρ

ρρ

00 10 1,20 10

8,95 m/s

5 + = × +

=

1 000 0 35

2

1000

2

25 2

2

2

. ( , ) . v

v

Substituindo na equação para vazão, temos que o raio 2 (r2):

rvazªo

v= =

×

=

−

π π2

6465 10

8,950,0041 m = 0,41 cm

1.5 Atividade experimental I – Verificação da

Massa específica de objetos sólidos

1.5.1 Objetivos gerais

Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de:

• Usar o micrômetro para medir o comprimento e o volume de objetos;

• Usar uma balança para medir a massa de objetos;

• Calcular a massa específica de objetos sólidos.

1.5.2 Material necessário:

• Objeto de diversos materiais (blocos de madeira, esferas de vidro ou aço,

bloco metálicos...)

• Micrômetro (detalhes na última página);

• Balança digital (usar balança de precisão e ± 0,1g).


40/185

capítulo 1 • 39

1.5.3 Procedimento experimental:

• Usando o micrômetro faça as medidas necessárias para se calcular o volu-

me do objeto. Calcule e anote os valores obtidos na tabela abaixo;• Usando a balança meça a massa do objeto e anote os valores obtidos na

tabela abaixo;

• Usando seus conhecimentos de geometria espacial, calcule o volume e a

densidade da esfera. Anote o valor obtido na tabela abaixo;

• Calcule a Incerteza da Densidade e anote na tabela abaixo.

σ σ σ

σ σ

f x y

d m

f

x

f

y

f

m

f

v

= ∂

∂

+

∂

∂

+

= ∂

∂

+

∂

∂

2

2

2

2

2

...

2

σv

VOLUME (CM3) MASSA(G) DENSIDADE (G/CM3)INCERTEZA DA DEN-

SIDADE (G/CM3)

OBJETO 01

OBJETO 02

Tabela 1.2 –


41/185

40 • capítulo 1

1.6 Atividade experimental II – Verificação daPressão que um corpo sólido exerce sobre

uma superfície plana1.6.1 Objetivos gerais


• Usar o paquímetro para colher medidas do objeto a ser analisado;

• Calcular área de contato do objeto com superfície;

• Usar uma balança para medir a massa de objetos;

•

Calcular a pressão exercida pelo objeto sólido na superfície plana.


• Objeto de estudo (material que tenha, pelo menos, três superfícies dife-

rentes. Pode ser um paralelepípedo);

• Paquímetro;

• Balança digital.


• Usando o paquímetro faça as medidas necessárias para se calcular a área

de contato do objeto com a superfície. Calcule e anote os valores obtidos na

tabela abaixo;

• Usando a balança meça a massa do objeto e anote os valores obtidos na

tabela abaixo;

• Usando seus conhecimentos de geometria espacial, calcule as três áreaspossíveis de contato para que haja equilíbrio. Anote o valor obtido na tabe-

la abaixo;

• Calcule a pressão exercida pelo corpo sobre a base de apoio;

• Explique o fato da grande diferença entre os valores encontrados.


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43/185

42 • capítulo 1


• Usando o paquímetro faça as medidas necessárias para se calcular o vo-

lume do cilindro. Calcule e anote os valores obtidos completando a tabela 1.4;• Com o dinamômetro, meça o peso real (anote na tabela 1.5);

• Megulhe o cilindro no béquer com água e meça o peso aparente (anote na

tabela 1.5);

• Calcule o empuxo observado (E = PR – P A)

• Com o recipiente aparador, colha a quantidade de água ocupada por

todo o seu volume, meça seu peso, anote na tabela 1.6 e compare o valor

com os valores teóricos e experimentais do Empuxo e comprove o princípio

de Arquimedes. (E = Peso do volume deslocado)

DIÂMETRO (M) RAIO (M) ALTURA (M) (VOLUME) (M3) EMPUXO (N)

Tabela 1.4 – Dados teóricos.

PESO REAL (N) PESO APARENTE (N) EMPUXO (N)

Tabela 1.5 – Dados experimentais.

PESO DO RECIPIENTE (N)PESO DO RECIPIENTE +

LÍQUIDO (N)PESO DO LÍQUIDO (N)

Tabela 1.6 – Dados experimentais.

Proponha um mergulho do mesmo cilindro em outro líquido, de maior ou

menor densidade, e explique o que aconteceria.


44/185

capítulo 1 • 43

1.8 Atividade Experimental IV – Densidadede líquidos



• Determinar a densidade de líquidos de forma direta e indireta;

• Determinar a densidade de líquidos através da lei de Stevin.


• Sistema de vasos comunicantes

• Seringa de injeção ou funil;

• Óleo;

• Água;

• Corante;

• Balança digital;

• Provetas.

1.8.3 Procedimento experimental: Forma Direta

• Com a balança, verifique a massa das duas provetas;

• Acrescente água na proveta 1 e óleo na proveta 2;

• Verifique a massa das provetas, após o acréscimo dos líquidos;

• Verifique o volume ocupado pelos líquidos nas provetas;

• Calcule a densidade dos dois líquidos.

MASSA (G)(PROVETA)

MASSA (G)(CONJUNTO)

MASSA (G)(LÍQUIDO)

VOLUME(CM3)

DENSIDADE(G/CM3)

ÁGUA

ÓLEO

Tabela 1.7 –


45/185

44 • capítulo 1

1.8.4 Forma Indireta (vasos comunicantes) – Não utiliza nenhumdado obtido anteriormente

•

Acrescente água com corante no vaso comunicante e nivele-o para a águaesteja à mesma altura em todos os vasos.

• Com a seringa coloque um pouco de óleo em um dos ramos e anote na

tabela os valores de h1 e h

2 (1a medida);

• Aumente a quantidade de óleo em seu respectivo ramo, determinando as

alturas e anotando os valores na tabela (2a medida);

• Através da equação de Stevin que iguala a pressão do óleo com a pressão

da água, calcule o valor da densidade do óleo nos dois casos.

(Dados da água: µ = 1 g/cm3

)• Em todas as determinações calcule as médias e os erros médios relativos

comparados aos valores tabelados.

h2

h1

µ1

1

µ2

2

Tabela 1.8 –

Nº MEDIDAS H0 (CM) H1 (CM) H2 (CM) (H1 - H0) CM (H2 – H0) CM1

2

Tabela 1.9 –


46/185

capítulo 1 • 45

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASYOUNG, H. D.; Freedman, R. A. FISICA II: Termodinâmica e Ondas. Editora Pearson Addison Wesley.

12 ed. 2003. Capítulo 14 ISBN 85-88639-03-3BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Prentice-Hall, 2008. Capítulo 2. ISBN 978-85 7605

182-4.

CHIQUETTO, M. J.; PARADA, A. A.; Física, Vol1, Mecânica. Editora Scipione: São Paulo, 1991

SALES, Vítor, Ensino de hidrostática através de atividades investigativas, 2012. (Dissertação

de Mestrado) – Instituto de Física Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2012.


47/185

46 • capítulo 1


48/185

Oscilações e

Ondas

2


49/185

48 • capítulo 2

OBJETIVOS

•

Estudar as causas da oscilação;• Estudar o Movimento Harmônico Simples (MHS);

• Compreender Energia no MHS;

• Estudar Oscilações Amortecidas, forçadas e Ressonância;

• Definir Onda;

• Classificar Ondas quanto a natureza e formas de propagação;

• Descrever matematicamente as ondas;

• Definir período, frequência e amplitude;

•

Definir a velocidade de propagação das ondas;• Definir princípio da superposição;

• Compreender Interferência Construtiva e Destrutiva;

• Definir Onda Estacionária.


50/185

capítulo 2 • 49

2.1 Introdução

Neste capítulo, vamos estudar as oscilações e os movimentos que tem origem

em um movimento oscilatório (ondas). A importância de se estudar estes fe-nômenos está relacionada ao fato de que tudo oscila, desde os átomos em es-

truturas cristalinas até mesmo estruturas maiores como pontes, monumentos,

torres de energia, etc. Estudar sistemas com oscilações permite-nos entender

sistemas oscilatórios mais complexos, por exemplo o batimento cardíaco.

Desde as contribuições de Galileu até os nossos dias o estudo e pesquisa das

oscilações aumentou a compreensão da nossa própria visão de universo e da

constituição da matéria. O prêmio Nobel em física de 2015 foi atribuído a dois

pesquisadores, o japonês Takaaki Kajita e o canadense Arthur McDonald, peladescoberta da oscilação dos neutrinos, o que demonstra que essas partículas

têm massa, fato de enorme relevância. A descoberta de ambos os físicos “mu-

dou nossa compreensão do funcionamento mais profundo da matéria e pode

ser crucial para nossa visão do universo”. Vale a pena conferir no link abaixo a

matéria sobre essa pesquisa.

MULTIMÍDIAhttp://brasil.elpais.com/brasil/2015/10/06/ciencia/1444125814_641821.html

As figuras abaixo mostram um movimento oscilatório bem comum na nossa

infância. Oscilar é se movimentar de um lado para outro. Qual é o tipo de osci-

lação de um balanço? Você vai descobrir ao longo do capítulo, vamos começar?

Figura 2.1 – Movimento oscilatório de um balanço.


51/185

50 • capítulo 2

2.2 Movimento harmônico simples (MHS)

A palavra harmônico lembra-nos de harmonia que ligamos a consenso e ordem,

na música é a perfeita combinação de sons que tem origem em oscilações descri-tas matematicamente por funções chamadas harmônicas simples seno e cosseno.

Chamamos de Movimento Harmônico Simples (MHS) um movimento de

um ponto material que possui características bem simples e pontuais, ou seja,

o movimento do ponto material é unidimensional e o sentido da sua velocidade

se inverte periodicamente.

O sistema mais interessante que utilizamos para estudar o MHS é o sistema

constituído de um bloco de massa m preso em uma mola de constante elásticak ,

esse sistema chama-se Oscilador Massa-Mola.

m

k

(a)

F

x

m

(b)

Figura 2.2 – Oscilador Massa - Mola.

O bloco de massa m está em repouso na posição (a), preso a uma mola de

constante elástica k sobre um plano horizontal sem atrito. Quando se aplica

uma força

F desloca-se o bloco de sua posição de equilíbrio alongando a mola

(b), abandonando-o em seguida, ele passa a oscilar em trajetória retilínea.Dessa forma, enquanto oscila, o centro de massa do bloco passa, contínua e

alternadamente, de posições de abscissa positiva para posições de abscissa ne-

gativa. A origem desse movimento está na força elástica

F , exercida pela mola.

Seu módulo varia de acordo com a lei de Hooke:

F = Kx

em que K é a constante elástica e x é o alongamento sofrido pela mola sob

a ação de uma força externa

F exercida sobre a mola. Mas não é essa força a

causa direta do movimento; ele se deve à força de reação exercida pela mola

sobre o bloco.


52/185

capítulo 2 • 51

ATENÇÃOA lei de Hooke leva em conta apenas a força externa exercida sobre a mola, não considera a

força de reação que a mola exerce sobre o agente que a traciona. [1]Observe a figura 2.3, abaixo, em (a) deslocamos o bloco, alongando a mola para a direita

da posição de equilíbrio de um valor +A (Amplitude) e soltamos, o bloco tende a voltar para

a posição de equilíbrio, essa tendência é a mola exercendo sobre o bloco uma força que

chamamos restauradora, pois restaura a posição de equilíbrio do sistema.

Posição

Equilíbrio

–A 0 A

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

Figura 2.3 – Movimento do Oscilador Massa - Mola.


53/185

52 • capítulo 2

Em (c) a mola está comprimida do mesmo valor (-A), mas a mola tende a

voltar sempre para a posição de equilíbrio, como em (d), mas o sistema tem

energia suficiente para alcançar a posição +A novamente (e), e ficar neste movi-

mento oscilatório indefinidamente. A linha tracejada vermelha indica o movimento do centro de massa do blo-

co no movimento oscilatório. Do ponto de vista da dinâmica, define-se movi-

mento harmônico simples como o movimento retilíneo do ponto material de

massa m sujeito à ação de força resultante elástica restauradora. Assim, pode-

mos escrever que a força resultante

F m a Kx

m a Kx

R

= ⋅ = −

⋅ = −

Que nos permite obter a expressão do módulo e sinal da aceleração do MHS:

aK

mx=− (1)

A equação (1) é considerada a equação fundamental do MHS, pois estabele-

ce condições que definem como movimento harmônico simples o movimento

de um ponto material como sendo:• trajetória retilínea e posição descrita por uma única coordenada x.

• aceleração diretamente proporcional a essa coordenada.

Definem-se para o MHS mais duas grandezas, período efrequência, caracte-

rísticas dos movimentos periódicos. Para isso precisamos definir o que é uma

oscilação completa.

Vamos voltar a analisar a figura 2.4. Uma oscilação completa é quando o

bloco sai de uma posição e retorna a esta mesma posição.


54/185

capítulo 2 • 53

Situação inicial

Situação final

Figura 2.4 – Oscilação completa.

O sistema massa-mola oscila entre as abscissas +A e -A diz-se que o centro

de massa do bloco efetua uma oscilação completa quando passa duas vezes su-cessivas pela mesma posição com a mesma velocidade. Na situação inicial o

bloco está em +A vai até -A e retorna até a situação final em +A. Definimos então

para um bloco em MHS:

Frequência (f) de um ponto material em MHS é o número de oscilações

completas por ele efetuadas na unidade de tempo. No SI é dada em hertz (Hz)

Período (T) de um ponto material em MHS é o intervalo de tempo em que ele

efetua uma oscilação completa. No SI é medido em segundos (s).

Amplitude (A) é o módulo da abscissa de valor máximo,

A A

– Xmáx

+ Xmáx

Ox


55/185

54 • capítulo 2

A frequência e o período tanto no MCU e MHS são os mesmos, portanto

as equações:

Tf

f T

= =

1 1

e

Como o ponto material no MHS não descreve ângulo algum a velocidade

angular (ω) passa a ser chamada no MHS de frequência angular ou pulsação,

cuja a unidade no SI é radiano por segundo (rad/s). Portanto:

ω = 2p f

A equação que vincula o MCU ao MHS é:

a = –ω 2

· x

então, da equação 1, obtemos que a frequência angular do sistema é:

ω=

K

m

Da expressão ω = 2p f e da relação Tf

=

1

podemos obter as expressões da

frequência e do período do oscilador massa-mola.

f K

mT

m

K= =

1

22

π

π

COMENTÁRIO

Note que as expressões de ω , f e T são equivalentes e evidenciam uma característica impor-

tante desse sistema oscilante: essas grandezas não dependem da amplitude de oscilação,

mas apenas da mola e da massa do corpo.


56/185

capítulo 2 • 55

EXERCÍCIO RESOLVIDOUm bloco de massa m =0,35 kg está preso a uma mola de constante elástica K=35 N/m.

Suponha que o bloco apoiado sobre um plano horizontal sem atrito, seja deslocado por umagente externo 5 cm de sua posição de equilíbrio, como indica a figura abaixo, e solto, pas-

sando a oscilar.

m

k

F

x

m

Adotando como origem do referencial a posição de equilíbrio do bloco, determine:

a) a amplitude do MHS descrito pelo bloco.

b) a frequência angular, a frequência e o período desse movimento.

Resolução:

a) Deslocando 5 cm de sua posição de equilíbrio, o bloco vai se movimentar com essa

amplitude, portanto A = 5 cm = 0,05 m.

b) Sendo m = 0,15 kg e k = 35 N/m, a frequência angular é:

ω

ω

=

= =

K

m

35

0 3510

, rad/S

A frequência é:

fK

mf= ⇒ = ⋅ =

1

2

1

210

π π

1,59 Hz

O período é:

T

f

T= ⇒ = =1 1

1,59

0,63 s


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56 • capítulo 2

2.3 Energia mecânica do osciladormassa-mola

Para descobrir ou justificar como o sistema massa-mola entra em equilíbrio,

vamos voltar a figura:

–A 0 +A

Figura 2.5 – Oscilador Massa-Mola.

Quando deslocamos o bloco para a posição +A alongando a mola, realizamos

trabalho sobre o sistema e dessa forma fornecemos energia para o sistema, eleadquiriu uma energia potencial elástica (cap 5, Física Teórica e Experimental I).

E Kxpel =1

22

Depois de solto o sistema passou a oscilar como essa energia, transforman-

do a energia potencial elástica Epel

em energia cinética EC

e vice- versa. Nesse

caso, a energia mecânica (EM

) do oscilador massa- mola é dada pela expressão:

E E EM pel c= +

Enquanto o sistema massa-mola oscila, há uma transformação contínua

da energia potencial elástica em cinética, e vice-versa, mas a energia mecânica

permanece constante. Quando o sistema está nas posições de alongamento ou

compressão máximas a energia potencial elástica coincide com a energia me-

cânica do sistema.


58/185

capítulo 2 • 57

Logo,

E KAM

=

1

2

2

A Energia cinética nessas posições é zero é onde o bloco pára (velocidade

zero) para inverter seu movimento. Observe o gráfico figura 2.7, abaixo, ele

apresenta a Energia Mecânica em função da posição do bloco.

–A 0 A

Ep

Em

Ec

x

Energia

Figura 2.6 – Gráfico da Energia do oscilador massa-mola em função da posição. A curva

tracejada é a variação da Energia Cinética, a rosa representa a variação da energia potencialelástica e a preta, a energia mecânica.

EXERCÍCIO RESOLVIDOO gráfico energia cinética x posição, abaixo, é de um oscilador massa-mola de massa

m =0,20 kg.

EC (J)

–0,12cm 0,12cm


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58 • capítulo 2

Determine:

a) a amplitude e a constante elástica;

b) o módulo e sinais das velocidades máximas do bloco;

Resolução:

a) Deslocando 0,12 cm de sua posição de equilíbrio, o bloco vai se movimentar com essa

amplitude, portanto A = 0,12cm = 1,2 x10-3 m.

Pelo gráfico quando o oscilador passa pela origem temos Ec máxima que é a EM do sis-

tema, então:

E KA

K

K

M

=

= ×

=

×

= ×

−

−

1

2

2 1

2

4

12 10

2

3 2

36

(1,2 10

2,7 10 N/M

)

( , )

b) A velocidade máxima corresponde a energia cinética máxima, que é igual à energia

mecânica, sendo a massa 0,20kg, temos:

E =

mv

2

v = 2E

m=

2 × 2

0,20= ±4,47 m / s

cmáx máx

2

máxcmáx

ATIVIDADES

01. A corda de um piano emite um dó médio vibrando com uma frequência primária igual a

220 Hz.

a) Calcule o período e a frequência angular.

b) frequência angular de um soprano emitindo um ‘’dó alto’’, duas oitavas acima, que é igual

a quatro vezes a frequência da corda do piano.

02. A extremidade de um diapasão executa 440 vibrações completas em 0,500 s. Calcule a

frequência angular e o período do movimento.


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capítulo 2 • 59

03. Um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal cuja constante é igual a

120 N/m. Verifica-se que ele oscila com uma frequência igual a 6,00 Hz.

a) Calcule o período;

b) A frequência angular;c) A massa do corpo.

04. Um oscilador harmônico possui massa de 0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é

igual a 140 N/m.

a) Calcule o período;

b) A frequência;

c) A frequência angular.

05. A corda de um violão vibra com uma frequência igual a 440 Hz. Um ponto em seu centro

se move com MHS com amplitude igual a 3,00 mm e um ângulo de fase igual a zero.

a) Escreva uma equação para a posição do centro da corda em função de tempo.

b) Quais são os valores máximos dos módulos da velocidade e da aceleração do centro

da corda?

c) A derivada da aceleração em relação ao tempo pode ser chamada ‘’arrancada’’.

06. A extremidade da agulha de uma máquina de costura se move com MHS ao longo doeixo Ox com uma frequência igual a 2,5 Hz. Para t = 0 os componentes da posição e da

velocidade são +1,1 cm e -15 cm/s.

a) Ache o componente da aceleração da agulha para t = 0.

b) Escreva equações para os componentes da posição, da velocidade e da aceleração do

ponto considerado em função do tempo.

07. Um bloco de massa m = 0,20 kg está preso a uma mola de constante elástica k = 5,0

N/m. Suponha que o bloco, apoiado sobre um plano horizontal sem atrito, seja deslocado por

um agente extremo 8,0 cm de sua posição de equilíbrio, como indica a figura abaixo, e solto,

passando a oscilar.

Adotando como origem do referencial a posição de equilíbrio do bloco, determine:

a) a amplitude do MHS descrito pelo bloco;

b) a frequência angular, a frequência e o período desse movimento.


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60 • capítulo 2

08. A expressão da aceleração do oscilador massa-mola é a = –ω2 · x. Qual o significado

desse sinal negativo? O bloco está sempre freando?

09. Quando o bloco de um sistema massa-mola passa pela origem, a força exercida pelamola sobre ele é nula. Por que ele não para nessa posição?

10. Você dispõe de um sistema massa-mola em repouso. O que você deve fazer para que ele

oscile com maior ou menor energia? E com maior ou menor frequência? Explique.

2.4 Oscilações amortecidas, forçadas eressonância

Estamos admitindo que a energia mecânica do MHS se conserva, mas sabemos

que em situações reais isso não acontece, o oscilador perde energia com o pas-

sar do tempo através do atrito e da resistência do ar, o que resulta em oscila-

ções amortecidas.

Nosso estudo sobre oscilações amortecidas, forçadas e ressonância serámais do ponto de vista qualitativo, uma vez que a matemática das oscilações

amortecidas é muito complicada e será assunto das disciplinas de cálculo avan-

çado e equações diferenciais. Em uma representação bastante simplificada, as

equações descrevem o decréscimo da amplitude com o tempo dessas oscila-

ções, pois como vimos a energia é uma função direta da amplitude, melhor di-

zendo do quadrado da amplitude, observe a equação abaixo:

E KAM =1

22

Oscilações Subcrítica: é a oscilação cuja amplitude reduz-se de acordo com

uma curva exponencial (tracejada) definida. Este tipo de oscilação é o mais co-

mum na prática, pois a redução gradativa da amplitude é inevitável devido a

perda da energia mecânica. Movimento Harmônico Amortecido.


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capítulo 2 • 61

t

–A0

A0

x

0

Figura 2.7 – (a) Modelo de um oscilador com meio amortecedor. (b) Gráfico da amplitude

linha tracejada decaindo exponencialmente com o tempo. Essa linha tracejada também é

chamada de envoltória.

Um amortecedor de carro é um exemplo de oscilador amortecido, bem

como um dispositivo usado nas raquetes de tênis que diminui as vibrações. fi-

gura 2.9.

Antvibrador

Figura 2.8 – Exemplo de oscilador amortecido.

Oscilação Crítica: Chama-se oscilação crítica quando o oscilador pára na

posição de equilíbrio, antes de completar a primeira oscilação, ele nem sequer

oscila e Oscilação Supercrítica é quando o oscilador não consegue chegar naposição de equilíbrio. Estes casos, a redução drástica da amplitude é geralmen-

te provocada artificialmente para evitar oscilações inconvenientes, como no

caso da raquete de tênis colocou-se o dispositivo com essa finalidade.

Existem sistemas que possuem dispositivos que compensam a perda de

energia em cada oscilação, o sistema é “forçado” a oscilar com uma amplitude

constante. Consequentemente, esses sistemas passam a executar oscilações


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62 • capítulo 2

forçadas. É desse modo que brincamos em um balanço: a cada oscilação pe-

quenos impulsos são dados para manter a amplitude constante. As oscilações

dos tímpanos dos nossos ouvidos são oscilações forçadas, exercidas sobre es-

ses sistemas oscilantes pelas ondas sonoras.Todos os sistemas oscilantes possuem suas características próprias como

a massa e a constante elástica, isso confere aos sistemas uma frequência natu-

ral (f 0) para o oscilador, porém um fenômeno interessante acontece quando as

oscilações forçadas coincidem com a frequência natural do sistema oscilante,

trata-se do fenômeno da ressonância.

Observe o gráfico da figura 2.10.

f

Amplitude

f 0

Figura 2.9 – A frequência externa ( f ), das oscilações forçadas coincide com a frequência

natural (f0 ).

Quando a frequência externa (f), das oscilações forçadas coincide com a

frequência natural (f 0), o sistema entra em ressonância com a fonte. A ampli-

tude, então, pode atingir valores altíssimos, e isso depende da resistência do

sistema.

COMENTÁRIOA ressonância possibilita a máxima transferência de energia entre a fonte excitadora,

que produz as oscilações forçadas, e o sistema oscilante daí sua importância na física e

nas engenharias.


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capítulo 2 • 63

CURIOSIDADEUm exemplo histórico do fenômeno de Ressonância foi a queda de uma ponte pênsil no

estreito de Tacoma (Washington-EUA) quando ventos soprando sobre a ponte provocaramoscilações de ressonância que levaram à sua destruição em novembro de 1940, apenas 4

meses após ter sido inaugurada. Assista o impressionante vídeo no link abaixo sobre o epi-

sódio Ressonância-Tacoma.

https://youtu.be/dvRHK4yA8rc

Figura 2.10 – Ponte de Tacoma.

2.4.1 Cinemática do MHS

Na figura 2.12, a seguir, vemos um oscilador constituído de uma caneta presa

a mola em movimento oscilatório, em vermelho a caneta registra o movimento

oscilatório, já vimos até aqui , os conceitos de amplitude (A) e frequência angu-

lar (ω); vamos completar esses conceitos iniciais com o conceito de fase.


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64 • capítulo 2

x

A

Figura 2.11 – Mola com uma caneta.

Embora no MHS o ponto material (bolinha azul) não descreva ângulos, as-

socia-se ao seu movimento a fase j, expressa em radianos, correspondente ao

ângulo descrito pelo ponto material (bolinha vermelha) em MCU.

Exemplo: Observe a figura abaixo:

AA

–x xx0

C

MCU

MHS

1

Quando o ponto material em vermelho, está em MCU, está na posição 1,a fase do seu correspondente ponto azul, no MHS, é j ?

1 = ≠

2

rad, pois este é o

ângulo descrito pelo ponto material bolinha vermelha.

São funções cinemáticas do MHS:

1. A função da posição x em relação ao tempo t

x = A cos (ω t +j)

2. A função da velocidade v em função do tempo t

v = - A ωsen (ω t + j)


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capítulo 2 • 65

3. A função da aceleração a em função do tempo t

a = - A ω2 cos (ω t +j)

4. A função da aceleração em relação a posição:a = - A ω2

5. A função da velocidade em relação à posição:

v A x= −ω 2 2

2.5 Gráficos do MHS Acoplamos junto a um oscilador harmônico simples uma caneta que oscila

junto a uma folha de papel que se move uniformemente, enquanto ambos se

movimentam, vai se formar no papel uma figura (linha vermelha) que destaca-

mos na figura 9. Obtemos assim os gráficos: posição (ou elongação) X tempo;

velocidade X tempo e aceleração X tempo. Que colocamos na figura 2.13.

T

A c e l e r a ç ã o

V e l o c i d a d e

D e s l o c a m e n t o

Tempo (t)

t

t

x

0

0

0

– xm

+ xm

+ xv

– xv

+ 2xa

– 2xa

v

a

(a)

(b)

(c)

8

8

8

8

Figura 2.12 – Gráficos MHS - deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo

com fase j =0.


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66 • capítulo 2

EXERCÍCIO RESOLVIDO01. O gráfico posição X tempo, abaixo, é de um ponto material em MHS.

t (s)

x (m)

4

–4

0 14

12

34

Determine:

a) a amplitude e a fase inicial;

b) o período, a frequência e a frequência angular;

c) a função da posição (ou elongação) em relação ao tempo;

d) o módulo e sinais das velocidades e acelerações máximas;

Resolução:

a) O gráfico da posição em função do tempo mostra que, para t=0, x = -A. Portanto afase inicial é j0 = p rad (se tiver dúvida é só consultar o gráfico do cosseno)- note que, para

x= -A, o gráfico deve sofrer um deslocamento j para a direita). A amplitude se obtém por

leitura direta do gráfico A= 4m.

b) O período T é o tempo de uma oscilação completa. O gráfico mostra que, no instante

t=4s o ponto material passa novamente pela posição inicial, correspondente ao instante t=0.

Portanto o período T= 4 s e como a frequência fT

=

1, e frequência angular p = 2p f temos:

f = 0,25 Hz e ω = 2p 0,25= 1,57 rad/s

c) x = A cos (ω t + j) x = 4 cos (1,57t + j)

d) vmáx

= ± Aω (Veja gráfico da velocidade figura 10)

vmáx= ± 4.1,57 = ± 6,28 m/s

amáx = ± Aω2 ( veja gráfico da aceleração figura 10)

amáx

= ± 4 (1,57)2= 9,86 m/s2

02. Mostre a equação 5 partindo das equações 1 e 2, e lembrando da relação trigonométrica

sen2(pt +j) + cos2 (ωt +j) = 1.


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capítulo 2 • 67

2.6 Ondas

2.6.1 Introdução

Em uma sala de aula do curso de engenharia civil, foi perguntado aos alunos o

que vinha a mente quando falamos a palavra onda. A maioria respondeu quase

que ao mesmo tempo que lembravam das ondas do mar em uma praia. Eu me

lembro da música de Lulu Santos,

Como Uma Onda - Lulu Santos

Nada do que foi será

De novo do jeito que já foi um diaTudo passa

Tudo sempre passará

A vida vem em ondas

Como um mar

Num indo e vindo infinito

….

A ideia cotidiana de onda está ligada a forma das ondas do mar, neste mo-mento do estudo vamos falar desse novo tipo de movimento, em que a matéria

não se desloca, mas é suporte para o deslocamento de deformações que se pro-

pagam e transportam energia- o movimento ondulatório. [1]

Em dias chuvosos escutamos o trovão muito depois do clarão do relâmpago,

por que isso acontece? A resposta vai ser dada nas próximas seções.

Figura 2.13 – Descarga elétrica entre a nuvem e a terra.


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68 • capítulo 2

2.6.2 Conceito de onda e definição de onda

As ondas sonoras e luminosas têm naturezas diferentes. Esse é o primeiro foco

do nosso estudo, distinguir a natureza das ondas com relação ao seu meiode propagação.

PERGUNTAMas o que seria uma onda?

Existem várias respostas, mas uma simples seria, uma onda, figura 2.15, surge quando

um sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio e a perturbação pode se deslocar ou se

propagar de uma região para a outra do sistema. [2] Exemplos de fenômenos ondulatórios: osom, a luz, as ondas do mar, a transmissão de rádio e televisão e terremotos. A= Amplitude e

l é chamado comprimento de onda, que vamos detalhar nas seções seguintes.

λ

A

Figura 2.14 – Onda com amplitude A e comprimento de onda l.

CONCEITOPropagação vem da palavra propagar, que pode ser difundir, multiplicar, generalizar,

transmitir, entre outros, todos relacionados de alguma forma com um movimento.

Dependendo do meio de propagação e a natureza, as ondas são classificadas em:

Mecânicas, que necessitam de um meio para se propagar. Ondas em molas, na água, no

ar, ou em qualquer meio elástico que torne possível a sua propagação.

Exemplos de ondas mecânicas: O som, um pulso (perturbação) em uma corda ou mola.

Eletromagnéticas que não necessitam de um meio de propagação. Exemplos: A luz, as

ondas de rádio, a radiação infravermelha, a radiação ultravioleta, os raios X e os raios gama.


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capítulo 2 • 69

CURIOSIDADEOs cientistas que defendiam a natureza ondulatória da luz comparavam-na com o som,

reconhecidamente um fenômeno ondulatório que necessita de um meio para se propagar,por isso viam a necessidade da existência de um meio vibratório, através do qual a luz se pro-

pagaria, pois sem esse não entendiam de que forma a luz das estrelas chegava até a Terra.

A esse meio deram o nome de éter. Acesse o link para saber mais!

http://www.cdcc.usp.br/fisica/Professores/Einstein-SHMCarvalho/node10.html

2.6.3 Forma de propagação, dimensões e frente de ondas

As ondas também podem ser classificadas quanto a direção de vibração:

Ondas longitudinais

Ondas transversais

Figura 2.15 – Ondas longitudinais e transversais.

No exemplo da figura 2.16 vemos que:

Longitudinal – vibra na mesma direção de propagação. Ex.: ondas sonoras

e em uma mola;

Transversal – vibra perpendicularmente à direção de propagação. Ex.: on-

das na superfície da água, na corda e ondas eletromagnéticas.


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72/185

capítulo 2 • 71

COMENTÁRIOChristian Huygens (1629-1695), no final do século XVII, propôs um método de representação

de frentes de onda, onde cada ponto de uma frente de onda se comporta como uma nova fon-te de ondas elementares, que se propagam para além da região já atingida pela onda original

e com a mesma frequência que ela. Sendo esta ideia conhecida como Princípio de Huygens.

frente de onda em t1

frente de onda em t2

Fonte

2.6.4 Função de onda harmônica

Chamamos onda harmônica àquelas produzidas por um dispositivo capaz de

produzir oscilações regulares (pulsos), de período constante. Essa série contí-


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72 • capítulo 2

nua de pulsos é chamada de trem de ondas periódicas. Vamos voltar a analisar

essas ondas harmônicas simples, definindo suas características:

A

B

C

D

E

F

G

H

I

λ (comprimento de onda)

(pico)

(vale)

Figura 2.17 – Onda periódica.

• Os pontos B e F são chamados picos ou crista da onda.

• Os pontos D e H são chamados vale ou depressão da onda.

• l é o comprimento da onda e é a distância entre dois picos ou cris-

tas sucessivas.

O período T para essa onda corresponde ao mesmo tempo que um ponto da

corda levaria para percorrer do ponto A até o ponto E, ou seja, um comprimento

de onda (l)

Com isso podemos deduzir a velocidade de propagação para a onda:

v T

= λ

mas lembrando que Tf

= 1

então:

v = l f (1)

A equação 1 é conhecida como equação fundamental das ondas!

Quando a fonte é harmônica simples, o período e a frequência são constan-

tes, a velocidade de propagação na onda também é constante, pois depende


74/185

capítulo 2 • 73

apenas do meio em que ela se propaga, pode-se demonstrar por análise dimen-

sional (Disciplina Fenômenos de Transportes I) que a velocidade de propaga-

ção de uma onda em uma corda é dada por:

v F

=

µ

onde

F é a força tensora na corda e m a sua densidade linear.

EXERCÍCIO RESOLVIDOUma fonte oscilante harmônica simples gera um trem de ondas em uma corda de densidade

linear m =0,20 kg/m, tracionada pela carga de massa 10 kg. A figura mostra a distânciaentre dois pontos sucessivos em que essa corta o eixo x. Determine:

a) a velocidade de propagação dessa onda;

b) a frequência de oscilação da fonte.

Fonte

0,2 m

Resolução:

a) O módulo da tração na corda é igual ao peso

W m g= ⋅ = ⋅10 ,8 = 98 N9 sendo

m =0,20 kg/m, da expressão v F=

µ

, temos:

v F= = =

µ

980,20

22,14 m/s

b) Pode-se concluir da figura que o segmento representado é metade do comprimento

de onda da onda. Logo o comprimento de onda dessa onda é:

l =2.0,2=0,4m

Portanto v = l f

22,14 = 0,4 f ⇒ f =55,35 Hz

Essa é a frequência da onda igual à frequência da fonte.


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74 • capítulo 2

2.6.5 Princípio da superposição- Interferência

Existem situações em que em uma mesma corda são gerados dois pulsos em

extremidades opostas, como mostra a figura abaixo:

interferência construva

Figura 2.18 –

Vemos pela figura que neste caso durante o cruzamento, a ordenada de

cada ponto do pulso resultante é a soma algébrica das ordenadas de cada um

dos pontos que se cruzam nesse instante. Essa afirmação denomina-se princí-

pio da superposição.

CONCEITOO princípio da superposição expressa o fato de que pulsos ao contrário de partículas não

alteram suas características quando interagem.

Chamamos de interferência figura 2.20 ao fenômeno e à configuração resultante des-

sa soma algébrica das coordenadas de cada ponto. Na figura acima temos uma interferência

construtiva, pois a amplitude foi aumentada (a).

interferência construva interferência devstruva

(a) (b)


76/185

capítulo 2 • 75

Figura 2.19 – Interferência Construtiva (a) e Interferência Destrutiva (b).

Na interferência destrutiva a amplitude se reduz. A interferência e o princípio da super-

posição podem ser entendidos como consequência do princípio da conservação da energia.

2.6.6 Ondas estacionárias

Uma situação importante acontece, quando as duas ondas idênticas se propa-

gam ao longo da mesma direção, mas em sentidos opostos. O padrão formado

é chamado onda estacionária, que é o resultado da superposição de duas ondas

de mesma frequência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mes-

ma direção e sentidos opostos. figura 2.21.

A B

N

V

V

Figura 2.20 – As ondas se refletem em extremidades fixas A e B e voltam no sentido opos-

to. A interferência entre a onda incidente e a onda refletida pode gerar ondas estacionárias.

A letra N indica os pontos onde a oscilação é mínima- chamada nó. A letra V

indica regiões onde a oscilação é máxima chamada ventre.

EXEMPLOA figura representa uma configuração de ondas estacionárias em uma corda, vibrando com

frequência de 400 Hz. Determine:

a) o comprimento de onda das ondas componentes dessa configuração.

b) a velocidade de propagação na corda das ondas componentes dessa configuração.


77/185

76 • capítulo 2

A B

60 cm

Resolução:

a) Observamos 4 ventres então temos dois comprimentos de onda em 60 cm = 0,60 m,

ou seja:

2l = 0,60

l = 0,30m

b) Sendo f = 400 Hz podemos usar a equação fundamental das ondas:

v = l fv = 0,30 · 400=120 m/s

2.6.6.1 Relação entre o comprimento de onda das ondas (l) em cordas limitadas

a um comprimento fixo (l).

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

Fundamental

l


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capítulo 2 • 77

Generalizando nós podemos obter a relação:

l n= λ

2

n é o número de ventres. Os valores de n são conhecidos como modos de

vibração; o modo n = 1 é conhecido como modo fundamental e a frequência a

ele associada chama-se frequência fundamental.

2.7 Atividade experimental V – Estudoqualitativo e quantitativo de ondas em umacuba de ondas.

Parte 1 – Formação De Ondas


• Produzir pulsos circulares e retos;• Analisar qualitativamente os pulsos produzidos;

• Determinar a frequência de uma onda periódica;

• Determinar o comprimento de onda;

• Determinar a velocidade de propagação das ondas na cuba;


O kit cuba de ondas

• Cuba de vidro com pés niveladores

• Retroprojetor

• Gerador de ondas

• Vibradores: de uma ponta, de duas pontas, de placa retangular

• Refletor côncavo de acrílico

• Refrator triangular de acrílico


79/185

78 • capítulo 2

2.7.3 Introdução teórica

• Ondas na água

Quando observamos as ondas na água pela parede lateral de um aquário,elas apresentam uma forma como vista na figura 2.22. A parte superior da onda

é denominada crista e a parte inferior, depressão ou vale. A distância entre duas

cristas ou dois vales é igual ao comprimento de onda.

cristacrista

vale vale

V

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Livro – Fisica Teorica Experimental 2