Apostila Fisica Experimental i

7/25/2019 Apostila Fisica Experimental i

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Apostila de Fsica Experimental 1

Departamento de Fsica e Matemtica

Prof. Fernando Saliby de Simoni

Prof. Carlos Magno da Conceio

Prof. Robson Brito Rodrigues

Tcnicos: Viviane Amorim e Johnatan Pacheco


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Contedo

1 Conceitos Bsicos 5

1.1 O conceito de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Tipos de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Erros de medidas diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Medidas indiretas e propagao de erro . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Erro relativo percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Algarismo Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Elaborao de grficos 15

2.1 Grficos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Construo de grficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Escolha dos eixos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Determinao das escalas (O clculo do passo): . . . . . . . 202.2.3 Marcao de referncia nos eixos . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.4 Marcao dos pontos no grfico . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Ajuste dos Parmetros do Modelo 29

3.1 Relaes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Linearizao de grficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Mtodo dos mnimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Elaborao de Relatrios 33

5 Movimento Retilnio Uniforme - MRU 39

5.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Modelo Terico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5 Anlise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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4 CONTEDO

6 Plano Inclinado 436.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Modelo Terico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.5 Anlise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Movimento Retilnio Uniformemente Variado com Peso 477.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 Modelo Terico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.5 Anlise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 Queda Livre 518.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.2 Modelo Terico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.5 Anlise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9 Trabalho e Energia 559.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.2 Modelo Terico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.5 Anlise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10 Colises Elstica e Inelstica 6110.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2 Modelo Terico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.5 Anlise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A Mtodo dos mnimos quadrados - verso avanada 67


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Captulo 1

Conceitos Bsicos

A comprovao de um modelo Fsico se faz necessariamente atravs de observa-es de fenmenos da natureza que esto previstos por esse modelo. O mtodocientfico estipula que somente quando o modelo concordar com uma srie (todas!)de observaes ele ser elevado ao status de teoria. Desta forma, junto com todoo ferramentrio matemtico desenvolvido nos cursos de Fsica terica, de funda-mental importncia tambm termos conhecimento de como devemos determinarse esses modelos esto de acordo com a natureza de fato. Este tipo de anlise feita atravde experimentos.

Nesta apostila iremos introduzir o mtodo cientfico para determinarmos seum modelo terico est de acordo ou no com a natureza. Desta forma iremos

determinar como as medidas de uma certa quantidade devem ser apresentadas, adeterminao do erro das medidas, algo to importante quanto a medida em s.A anlise grfica dos dados medidos e como escrever um relatrio com todas asinformaes relevantes do experimento realizado e com a concluso principal: omodelo terico corresponde ou no a natureza?

1.1 O conceito de medida

O conceito de medida e sua apreentao so de fundamental importncia paraqualquer cincia e para a Engenharia. Uma medida nunca perfeita, ou seja, elaestar sempre associada uma incerteza (erro). O bom experimental, alm decriar ferramentas para medir uma certa quantidade da natureza, tem que levantartodas as fontes de erros possveis que afetem essa medida. Desta forma uma medidaexperimentalm de uma quantidade Mesta obrigatoriamente associada a um errom. Desta forma, uma medida deve ser apresentada como:

M= (m m)unidade de medida . (1.1)

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6 CAPTULO 1. CONCEITOS BSICOS

A letra grega (delta minsculo) na frente da quantidade medida denota o erroassociado.

Como exemplo, suponha que determinamos que a distncia entre o Rio deJaneiro e Rio das Ostras de D = 178km, mas como os dois municpios tem umacerta dimenso, isto , no so pontuais temos de associar um erro nesta distncia,que iremos assumir serD= 5km. Num relatrio de um experimento essa medidadeve ser apresentada como

D= (1785) km . (1.2)

1.2 Tipos de erros

1.2.1 Erros de medidas diretasUma medida direta de uma quantidade feita normalmente por aparelhos analgi-cos ou digitais. Um exemplo tpico uma medida de distncia feita por uma rgua,ou a medida da massa de um corpo com uma balana. De uma forma simples,podemos classificar os equipamentos analgicos como aqueles que possuem umagraduao feita por uma escala de subdivises impressa no aparelho.

Utilizando a rgua graduada com um exemplo, vemos na figura 1.2.1 que amnima diviso da graduao desta rgua de 0.1centmetros (cm). Claramente,no possvel fazermos uma medida com uma preciso abaixo deste valor. Destaforma o erro associado a rgua, ou qualquer outro instrumento analgico ser dado

por:Erro analgico=

menor diviso da escala2

. (1.3)

Figura 1.1: Rgua graduada com mnima diviso de 0.1centmetros.


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1.2. TIPOS DE ERROS 7

Para equipamentos digitais normalmente os prprios equipamentos j vm in-formando a sua incerteza nos manuais, mas quando no possuem essa informao,podemos definir o seu erro como sendo:

Erro digital= menor diviso da escala . (1.4)

Na figura 1.2 mostramos uma balana digital com medida de at 1 grama. Caso omanual no possua o erro associado balana, devemos estipular o seu erro comosendo 1 grama.

Figura 1.2: Balana digital com medio at 1 grama.

1.2.2 Medidas indiretas e propagao de erro

Na grande maioria das vezes quando efetuamos um experimento para verificaralguma teoria fsica, as quantidades que realmente aparecem na teoria no sodiretamente medidas no experimento. Um bom exemplo do nosso dia-a-dia, queabrange esta questo, seria a verificao da velocidade mdia vde um carro. Nor-malmente, para inferirmos v de um certo veculo, no medimos essa quantidadediretamente, ou seja, no possuimos um aparelho de medida que nos fornea dire-

tamentev. Na prtica efetuamos a medida da posio do carro em pelo menos doisinstantes, x(t1) e x(t2), dessa forma utilizamos a definio de velocidade mdia,dada por:

v=x(t2) x(t1)

t2 t1=

x2 x1t2 t1

. (1.5)

Outro exemplo de medida indireta a estimativa da rea de um tampo de umamesa. Para fazer essa estimativa temos de medir em separado dois comprimentos,


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a sua largura y e o seu comprimento x, e assumindo que o tampo da mesa umretngulo perfeito, a rea encontrada atravs da relao

A= xy . (1.6)Desta forma necessitamos propagar os erros das quantidades medidas para as

quantidades que realmente desejamos, ou seja, para os dois casos acima desejamosencontrar uma relao do tipo:

v= F(x2, x1, t1, t2, x1, x2, t2, t1) (1.7)

A= F(x,y, x, y) . (1.8)

Na duas equaes acima apenas determinamos que o erro propagado s poderdepender das quantidades medidas e de seus respectivos erros, algo intuitivo. Mas

qual ser exatamente esta relao? Antes de apresentarmos a relao de erropropagado, vamos tentar tirar algumas concluses intuitivas: para o caso da ve-locidade, assumindo que o erro da medida do tempo desprezvel com relao asoutras medidas, ou seja, t1 = t2 0, um primeiro chute inocente poderia ser aseguinte relao

vchute= x2 x1

t2 t1, (1.9)

onde utilizamos que o erro das quantidades so muito pequenos com relao aoseus valores medidos, desta forma associamos o erro a diferencial (x dx). Semmuita dificuldade podemos concluir que este chute no pode ser correto. Neste

caso em particular para a velocidade mdia, as medidas das posies x1 e x2 sofeitas com o mesmo aparelho. Logo, esto sujeitas ao mesmo erro de medida,x2=x1= x, desta forma o nosso chutenos forneceria um erro

vchute= x x

t2 t1= 0 (1.10)

Ou seja, apartir de medidas com erro chegamos em um resultado sem nenhumerro! Obviamente, uma concluso completamente equivocada.

Da tentativa acima tiramos uma importante concluso: Erros no podemsubtrair, somente se somam. Para este caso em particular, onde queremos

propagar o erro de uma subtrao

f=

(y x), temos a seguinte regra:f2 = y2 +x2 . (1.11)

Aplicando esta regra para v, ainda assumindo que a medida de tempo tem umerro desprezvel e as posies tm o mesmo erro, obtemos

v=

x22+ x

21

t2 t1=

2 x

t2 t1. (1.12)


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Note que o erro propagado no apenas a soma dos erros, mas sim a sua somaquadrtica1.

A frmula genrica de propagao de erros faz uso da noo de derivada. Dada

uma grandeza f, que obtida de outras grandezas medidas no experimento, x, y ,z, ...,

f=f(x,y,z,...) (1.13)

e com erros associados x, y, z, ..., assumindo que essas medidas so indepen-dentes, o erro f ser

f2 =

f

x

2x2 +

f

y

2y2 +

f

z

2z2 + ... (1.14)

Esta a frmula geral de propagao de erro quando as medidas so independentes.

Segue abaixo alguns exemplos de propagao de erros:

Uma nica varivel:Neste caso a equao (1.14) nos fornece

f2 =

df

dx

2x2 = f=

dfdx x . (1.15)

Soma de variveis, f=x + y+ z+ ...:

f

x = 1 ,

f

y = 1 ,

f

z = 1 , .... (1.16)

Substituindo os valores encontrados na equao (1.14), obtemos:

f2 =x2 +y2 +z2 + ... (1.17)

Diferena de variveis, f=x y z ...:

f

x= 1 ,

f

y = 1 , f

z = 1 , .... (1.18)

Substituindo os valores encontrados na equao (1.14), obtemos:f2 =x2 +y2 +z2 + ... (1.19)

Como era de se esperar o erro da soma igual ao erro da diferena.

1Essa relao para o erro propagado encontrada utilizando conceitos de probabilidade eestatstica, algo fora do escopo desta apostila. Para um leitor interessado em se aprofundar nesteassunto veja a referncia [3].


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Erro da rea do tampo da mesa, A= xy:

Ax =y ,

Ay =x . (1.20)


A2 =y2x2 + x2y2 . (1.21)

Assumindo que o errox= y = L, pois medimos ambas as distncias coma mesma rgua, obtemos:

A= L

x2 + y2 . (1.22)

Velocidade mdia, desprezando o erro na medio do tempot, dadapela equao (1.5):

v

x2= (t2 t1)2 ,

v

x1= (t2 t1)2 . (1.23)


v2 = x22

(t2 t1)2+

x21(t2 t1)2

(1.24)

Colocando o termo do tempo em evidncia e assumindo que x2=x1=xobtemos:

v=

2 x

t2 t1 , (1.25)

como encontrado anteriormente.

Abaixo apresentamos uma tabela com algumas propagaes de erro mais uti-lizadas no nosso curso de Fsica Experimental do PURO:


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Funo Erro

f=x + y f2 =x2 +y2

f=x y f2 =x2 +y2

f=Ax (A= cte) f2 = (Ax)2

f=xy

f

f 2

=

xx

2+

y

y 2

f= xy

f

f

2=xx

2+y

y

2

f=x2 f2 = (2xx)2

Exerccios

1. Encontre o erro na medida do volume de um cilindro, onde foram medidosdiretamente o comprimentoL, com erroLe o seu raioRcom erro associadoR.

2. Encontre o erro na medida da velocidade mdia, como feito anteriormente,mas neste caso, alm das posies terem o mesmo erro, no suponha que otempo tem erro desprezvel, mas apenas que eles so iguais t2= t1= t.

1.2.3 Erro relativo percentual

Uma outra forma de avaliar o resultado da medida de uma grandeza compararesse resultado com um valor preestabelecido, ou um valor de referncia. O errorelativo de uma medida x, dado um valor de referncia x definido por:

x= x xx 100 . (1.26)

Como um exemplo, suponha que fizemos uma medio da acelerao da gra-vidade, e encontramos o seguinte resultado g = 997 cm/s2, comparando com oresultado terico g= 980 cm/s2, o erro relativo percentual ser:

g=997 980

980 100 = 1.7% , (1.27)


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ou seja, uma diferena de 2%com o esperado teoricamente.

1.3 Algarismo SignificativosNa matemtica aplicada, algarismos significativos so utilizados para monitoraros erros ao se representar nmeros reais na base 10. Por exemplo, 1/7 = 0,14 comdois algarismos significativos (j que o erro est na terceira casa decimal: 1/7 =0,1428571429). Analogamente, 1/30 = 0,0333 com trs algarismos significativos(erro na quinta casa decimal).

Como identificar os algarismos significativos:

Os algarismos zero que correspondem s ordens maiores no so significati-vos. Exemplos: em 001234,56 os dois primeiros zeros no so significativos,

o nmero tem seis algarismos significativos; em 0,000443 os quatro primeiroszeros no so significativos, o nmero tem trs algarismos significativos.

Os algarismos zero que correspondem s menores ordens, se elas so fra-cionrias, so significativos. Exemplo: em 12,00 os dois ltimos zeros sosignificativos, o nmero tem quatro algarismos significativos.

Os algarismos de 1 a 9 so sempre significativos. Exemplos: em 641 o nmerotem trs nmeros significativos; em 38,984 o nmero tem cinco algarismossignificativos.

Zeros entre algarismos de 1 a 9 so significativos. Exemplo: em 1203,4 todosos cinco algarismos so significativos.

Especificamente para dados experimentais, os algarismos significativos estoassociados com os erros das medidas. Vamos fazer um exemplo para entendermosmelhor: suponha que medimos duas posies em dois instantes de tempos de umcarro numa estrada, dados por: x1 = 10.5 m, x2 = 32.1 m, com erros dados porx1 = x2 = 0.3 m, os instantes tm erros desprezveis e so t1 = 0 e t2 = 3.3segundos. Desta forma podemos determinar a sua velocidade mdia e a respectivaincerteza:

v=32.1 10.5

3.3 0 m/s = 6.545454545454546... m/s (1.28)

v=

2 0.3

3.3 0 m/s= 0.12856486930664501... m/s . (1.29)

Note que escrevemos os resultados sem fazer nenhum arredondamento. Se fsse-mos escrever o resultado desta forma estaramos colocando valores sem sentidofsico para o nosso experimento, pois o erro nos fornece o grau que conseguimosdeterminar a medida da velocidade. Neste caso especfico o erro esta na primeira


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1.3. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 13

casa decimal, e fornecer valores menores que a primeira casa decimal no gerainformaes relevantes ou mesmo confiveis. Em experimentos, usual escrever-mos os resultados com apenas 1 algarismo significativo no erro, neste exemplo, o

resultado deveria ser mostrado como:

v= (6.50.1) m/s. (1.30)

Observe que a medida vtem 2 algarismo significativos. A obrigatoriedade que oerro da medida tenha apenas 1 algarismo significativo2.

Como um segundo exemplo, vamos escrever a distncia at a Lua, que fica adlua = 384405.085711...km, com erro de dlua = 1922.02598282...km. Escrevendocom 1 algarismo significativo no erro, temos:

dlua = (3840002000) Km= (3842) 103 Km . (1.31)

Na segunda igualdade utilizamos a notao cientfica para ficar mais evidente queo erro realmente s tem 1 algarismo significativo. Quantos algarismos significativospossuia a medida da distncia da Lua?

2Na verdade no obrigtrio que o erro possua somente 1 algarismo significativo, mas nocurso de Fsica Experimental iremos usar esse critrio.


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Captulo 2

Elaborao de grficos

O uso de grficos na fsica e nas engenharias to importante quanto o conceitode funo na Matemtica. Sua utilizao na representao de fenmenos permiteilustrar propriedades importantes. Um grfico serve, entre outras coisas, paramostrar a conexo entre duas ou mais grandezas fsicas, sendo uma representaovisual do modo como umas variam em relao s outras.

Em vez de olhar para uma tabela com um conjunto de medidas realizadas, oscientistas e ou engenheiros, olham para o grfico traado a partir dessas medi-das e percebem o comportamento geral das grandezas fsicas envolvidas naquelaparticular medio.

Neste curso, vamos trabalhar apenas com a relao entre duas grandezas fsi-

cas, sendo uma independente e a outra dependente desta. Por exemplo, a grandezafsica velocidade dependente da grandeza fsica tempo, que independente. Ouseja, o tempo flui independentemente de como a velocidade varia, porm, a ve-locidade varia em funo de como o tempo flui. Atualmente, quase impossvelimaginar alguma rea da cincia ou tecnologia em que a construo e o estudo degrficos no seja necessrio.

Na disciplina de Fsica Experimental I indispensvel ao aluno um bom co-nhecimento a respeito da elaborao de um grfico. Existem inmeros tipos degrficos. No entanto, aprenderemos a trabalhar apenas com grficos que envolvamduas variveis e que podem ser traados em papel milimetrado. Em particular,iniciaremos com o estudo de grficos cartesianos em papel milimetrado e seus fun-damentos.

2.1 Grficos cartesianos

Vamos considerar uma grandeza fsica dependente Yque varia como funo deuma grandeza independenteX. Matematicamente, isto pode ser representado por

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16 CAPTULO 2. ELABORAO DE GRFICOS

uma funo:Y =f(X) (2.1)

Se for conhecida de forma explcita a funo Y = f(X), pode-se represent-la graficamente em um sistema de coordenadas cartesianas, que consiste de duasretas perpendiculares: o eixox (eixo das abscissas), onde deve ser representadaa varivel independente (X), e o eixo y (eixo das ordenadas), onde deve serrepresentada a varivel dependente (Y).

Vamos considerar um determinado valor da grandeza X, por exemplo, seja Xntal valor, da relao dada pela equao (2.1), temos que associado a esse valorexiste um outro valor Yn = f(Xn), portanto, fazendo uso de um par ordenado,podemos introduzir um ponto Pn = (Xn, Yn), cuja representao grfica dadapor:

X

Y

Xn

Yn Pn= (Xn, Yn)

Se considerarmos agora o conjunto dos vrios pontos (P1, P2, . . . , P i, . . . ), ob-teremos o seguinte grfico

X

Y

Xn

Yn Pi = (Xn, Yn)

P1

P2

O conjunto de todos os pontosPn denominado de curva da funoY =f(X),e os grficos construdos atravs de relaes desse tipo so chamados de grficoscartesianos.


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2.2. CONSTRUO DE GRFICOS 17

2.2 Construo de grficos

Na observao de um fenmeno fsico medidas so feitas, logo faz-se necessrio a

coleta de dados, os quais geralmente so apresentados em tabelas de valores. Porexemplo, vamos considerar a queda de tenso eltrica (voltagem) em funo dacorrente eltrica que atravessa um resistor, vejamos como se constri o grfico apartir desta tabela, usando o papel milimetrado.

i Corrente(mA) Voltagem(V)

1 10,0 1,402

2 20,0 1,428

3 30,0 1,450

4 40,0 1,470

5 50,0 1,492

6 60,0 1,511

7 70,0 1,530

8 80,0 1,549

Cada par de valores(in, Vn), onde o subscriton o ndice que indica a ordemda medida (n = 1, 2, 3, ..., 9), deve ser representado por um ponto em um grfico

cartesiano deV i, onde esta ordem significa (varivel dependente versus varivelindependente1), pois a queda de voltagem dependente da corrente eltrica queatravessa um resistor. Nota-se na prpria tabela, que medida que a correnteaumenta, a voltagem tambm aumenta, como conseqncia.

1Por exemplo, quando um experimentador mede a distncia (d) que um corpo mvel percorreem um certo intervalo de tempo (t), verifica que essa distncia varia de acordo com o tempomedido, e no o contrrio. Assim, o grfico yxdeve ser de dt, e nunca de td, pois d = d(t).


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Para construir o grfico, a partir da tabela acima, necessrio que algumasinstrues sejam seguidas.

2.2.1 Escolha dos eixos:

No eixo das abcissas (eixo horizontal) deve ser registrada a varivel independenteassociada grandeza fsica que, ao variar, assume valores que no dependem dosvalores da outra grandeza fsica. No eixo das ordenadas (eixo vertical) deve serregistrada a varivel dependente associada grandeza fsica cuja variao dependede como varia a outra grandeza fsica. Para a tabela em questo devemos ter umgrfico V i.

i V

V

i

Vn

in Pn = (Vn, in)

ER

RADO

V i

i

V

in

Vn Pn= (in, Vn)

CORR

ETO

Na parte inferior do eixo das abcissas, direita, e preferencialmente fora daregio quadriculada do papel milimetrado, deve ser registrada a varivel indepen-dente, com sua unidade entre parnteses. Na parte superior do eixo das ordenadas, esquerda, e preferencialmente fora da regio quadriculada do papel milimetrado,deve ser registrada a varivel dependente, com sua unidade entre parnteses.


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i(mA)

V (V)

No caso da unidade de uma grandeza fsica incluir uma eventual potncia de10, que pode ter expoente positivo ou negativo, deve-se explicitar essa potncia noeixo em questo, no nosso exemplo, ao invs de expressarmos a corrente em (mA)podemos express-la em (A). Assim temos:


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i(103A)

V (V)

2.2.2 Determinao das escalas (O clculo do passo):

Geralmente, uma folha de papel milimetrado tem 280 mm no eixo vertical, e180 mm no eixo horizontal, ento podemos escolher us-la nesta posio (re-trato) ou em outra posio, invertendo os eixos (paisagem). A escolha feita demodo a otimizar a construo do grfico visando ocupar o melhor possvel a folha.Entretanto, ocupar o melhor possvel a folha no significa que se deve usar aescala que preencha todo o papel. Na prtica, deve-se escolher uma escala quefacilite a leitura dos pontos experimentais, ou qualquer outro ponto representadono grfico.

No que segue vamos fazer o clculo do passo2 da escala para representar asvariveisi e V, separadamente, ou seja, faamos o clculo do passo primeiramentepara a varivel dependente e em seguida para a varivel independente.

Varivel independente: a corrente eltrica (i)

Da tabela, vemos que a grandeza fsica varia entre os valores 10 mA e 80 mA.Vamos considerar um papel milimetrado com 150 mm na vertical e 120 mm nahorizontal.

2O passo corresponde ao valor referencial de marcao do eixo e ele que define a escala.


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Vamos considerar o papel na posio retrato, o eixo vertical maior do que ohorizontal. Teremos duas possibilidades:

(a) Comeando do zero:Se comearmos o grfico a partir do zero, o clculo do passo para a corrente:

pi=Valor mximo da medida

Comprimento do papel (2.2)

Para os valores de corrente eltrica da tabela, temos o passo:

pi= (80 0) mA(120 0) mm = 0, 666...(mA/mm) 0, 7...(mA/mm) (2.3)

Este resultado significa que para cada 0, 7 unidade de mA corresponde 1unidade demm do papel milimetrado. Note que, se usarmos qualquer escala

diferente cujo passo seja menor do que esse, isto , se ao invs de arredon-darmos tivessemos truncado em 0, 6, no teramos como marcar o ltimoponto que 80 mA, pois teramos o ltimo ponto do grfico marcvel em(120 mm0, 6 mA/mm= 72 mA), ou seja, o grfico no iria caber no papel.No entanto nada nos impede de considerar valores maiores para o passo, po-rm necessrio que alguns aspectos estticos sejam levados em conta, poisquanto mais nos afastamos do valor do passo mais diminumos a ocupaodo papel: por exemplo, podamos escolher um passo igual api = 2 mA/mm,porm essa escolha nos levaria a fazer uso de menos da metade do papel.

Para a marcao adequada da escala, tanto no eixo horizontal, quanto no

vertical, devem ser indicados os valores dos passos que sejam, preferencial-mente,mltiplos de 2, 5, 10, 20, 50, 100, etc. Nunca use mltiplos ousubmltiplos de nmeros primos ou fracionrios, tais como 3, 7, 9, 11, 13,15, 17, ou 2,5; 3,3; 7,5; 8,25; 12,5; 16,21; etc.

Quando o passo for menor do que um e maior do que meio, ou seja, se valera desigualdade 0.5 < pi < 1 podemos sempre arredondar o valor do passopara um, sem alterar muito a ocupabilidade da folha do papel, ou seja, parafacilitar, tanto para quem faz o grfico quanto para quem vai l-lo, adota-sea escala mais prxima desta que seja bem clara para todo mundo. Mesmoque isso signifique no ocupar todo o papel milimetrado.

Portanto, para o passo da corrente eltrica comeando a partir do zero, po-demos considerar o valor do passo igual a:

pi= 1, 0(mA/mm) (2.4)

Deve-se adotar uma escala limpa e fcil de ser lida de modo que no sejanecessrio fazer clculos para achar a localizao dos pontos no grfico. Alis,se se precisar fazer muitos clculos, algo est inadequado.


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(b) No comeando do zero:Se no comearmos o grfico a partir do valor zero, o clculo do passo feitoda seguinte forma:

pi=(Valor mximo Valor mnimo)

comprimento do papel (2.5)

Iniciamos a partir do valor mnimo da medida desde que esse seja um nmeromltiplo de 10, caso contrrio escolhemos o nmero mais prximo que sejamltiplo de 10.

Para o nosso exemplo da corrente eltrica, teremos:

pi = (80 10) mA

(120 0) mm= 0, 5833...(mA/mm) (2.6)

portanto, seguindo as consideraes anteriores, o passo deve ser arredondadopara:

pi= 1, 0 (mA/mm) (2.7)

O primeiro ponto da escala a ser marcado passa a ser agora o valor mnimo, ouseja, a origem da nossa escala no mais o zero (0) e sim o valor 10 mA

Varivel dependente: a voltagem eltrica (V)

Da tabela, vemos que a grandeza fsica varia entre os valores 1,402 V e 1,549 V.Novamente vamos considerar um papel milimetrado com 150 mmna vertical e 120mmna horizontal. Vamos ento calcular o passo em duas situaes

(a) Comeando do zero:

Seguindo os mesmos procedimentos feitos anteriormente temos para o clculodo passo, com a origem da marcao partindo do zero:

pV =Valor mximo medidocomprimento do papel

(2.8)

o que nos fornece

pV =1, 549 V

150 mm= 0, 0103266...(V/mm) (2.9)

Das consideraes referentes a escolha dos valores do passo, temos que um possvelvalor seria arrendondar para pV = 0, 015 (V/mm), que um mltiplo de 5, no


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entanto, tambm um mltiplo de 3, logo no adequado. O valor mais adequadoseria

pV = 0, 016 (V/mm) (Mltiplo de 2) (2.10)

Este valor nos diz que para cada 0,016 Vcorresponde a 1 mmda escala do papelmilimetrado.

(a) No comeando do zero:Neste caso a origem da nossa marcao no mais o zero e sim o valormnimo da medida. O valor mnimo 1, 402 Vque no um mltiplo de10, logo, podemos escolher o nmero 1, 400 Vque o nmero redondo maisprximo de 1, 402 V. Seguindo os procedimentos anteriores temos para oclculo do passo:

pV =(Valor mximo medido Valor mnimo medido)comprimento do papel (2.11)

Para a tabela em questo

pV =(1, 549 1, 400)V

150 mm = 0, 0009933...(V/mm) (2.12)

Logo, o valor mais adequado para o passo fazer o arredondamento para ovalor

pV = 0, 001 (V/mm) (Mltiplo de 10) (2.13)

Este valor significa que para cada 1 Vcorresponde 0,001 mm da escala dopapel milimetrado.

Note que os valores dos passos devem ter a mesma quantidade de algarismossignificativos das medidas.

2.2.3 Marcao de referncia nos eixos

O prximo passo consiste na marcao de referncia, que nada mais do que marcarnos eixos os valores mais adequados para a leitura do grfico. Uma forma rpidae organizada de fazer a marcao de referncia considerar os valores espaadosde 10 mm na escala, mas nada impede de considerarmos valores maiores. Porexemplo, no caso de escolhermos a marcao, considerando um espao de 10 mm,basta multiplicar esse valor pelo passo em questo, de tal maneira que a cada10 mm do papel milimetrado corresponde a um valor (10 punidade) para amarcao de referncia.

importante ter em mente que a escala usada em um eixo totalmenteindependente da escala usada no outro. Isto significa que, para representar


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graficamente as medidas de voltagem, podemos adotar uma escala diferente da-quela que determinamos para apresentar as medidas de corrente eltrica no grfico.Portanto, existem quatro formas distintas para fazermos os grficos:

i) o eixo horizontal e vertical tm suas origens partindo do zero;

ii) o eixo horizontal tem sua origem no zero e o eixo vertical tem sua origemdiferente de zero;

iii) o eixo horizontal tem uma origem diferente de zero e o vertical tem suaorigem a partir de zero;

iv) tanto o eixo vertical quanto o eixo horizontal tem origens diferentes de zero.

No que segue vamos estabelecer um grfico considerando duas das possibilidades.

2.2.4 Marcao dos pontos no grfico

Possibilidade (i): (pi = 1 mA/mm) e (pV = 0, 016 V/mm)

Uma maneira mais adequada de colocar os pontos no grfico criar uma tabela demarcao, onde podemos obter diretamente a que valor da medida corresponde emmmna escala do papel milimetrado, ou seja, vamos construir a tabela da seguintemaneira:


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n i(mA) i/pi (mm) V (V) V /pV (mm)

1 10,0 10,0 1,402 87,6

2 20,0 20,0 1,428 89,2

3 30,0 30,0 1,450 90,6

4 40,0 40,0 1,470 91,9

5 50,0 50,0 1,492 93,3

6 60,0 60,0 1,511 94,4

7 70,0 70,0 1,530 95,6

8 80,0 80,0 1,549 96,8

Jamais indique nos eixos os valores dos pontos experimentais. Os valores in-dicados nos eixos devem ter a mesma quantidade de algarismos significativos dasmedidas.


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i(mA)

V (V)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.16

0.32

0.48

0.64

50

0.96

1.12

1.28

1.44

100

//0.80

///1.60


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O grfico acima est correto, no entanto, perceba que uma vez que os valoresdas medidas da voltagem esto muito prximos uns dos outros, a inclinao da reta muito pequena e a ocupao do grfico no feita da melhor maneira, pois muito

espao vazio existe abaixo dos pontos. Portanto, todas as vezes que os valores dasmedidas forem muito prximos uns dos outros, mais adequado mudar a origemdos eixos.

Possibilidade (ii): (pi= 1 mA/mm) e (pV = 0, 001 V/mm)

Do grfico anterior podemos concluir que mais adequado e esteticamente melhor,mudar a origem da marcao, ao invs de partir do zero, podemos partir do menorvalor medido.

Novamente vamos fazer uma tabela de marcao:

n i(mA) i/pi (mm) V (V) V /pV (mm)

1 10,0 10,0 1,402 1402

2 20,0 20,0 1,428 1428

3 30,0 30,0 1,450 1450

4 40,0 40,0 1,470 1470

5 50,0 50,0 1,492 1492

6 60,0 60,0 1,511 1511

7 70,0 70,0 1,530 1530

8 80,0 80,0 1,549 1549


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i(mA)

V (V)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001.400

1.410

1.420

1.430

1.440

50

1.460

1.470

1.480

1.490

100

1.510

1.520

1.530

1.540

//1.450

///1.500

Este grfico, alm de ocupar o papel mais adequadamente, permite uma leitura

melhor do que o grfico anterior.Depois de marcados os pontos experimentais, importante que no se faa

nenhuma marcao adicional, tal como fazer tracejados desde o ponto at os ei-xos, isto sobrecarrega o grfico e no adiciona nenhuma informao importante.Portanto, identifique apenas os pontos experimentais, e indique os clculos dospassos.


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Captulo 3

Ajuste dos Parmetros do Modelo

Um experimental deve determinar os parmetros de um modelo terico dado umconjunto de dados medidos. No curso de Fsica Experimental 1 iremos tratar demodelos tericos que seguem uma relao linear, ou quadrtica. No caso de umamovimento retilneo e uniforme (MRU), temos que o modelo terico da posio dapartcula com o tempo dado por:

x(t) =x0+ vt . (3.1)

Mas nem sempre o modelo segue uma relao linear. No caso de um movimentoretilneo uniformemente variado (MRUV), com a partcula saindo do repouso v0=0, a relao entre a posio da partcula e o tempo dado por:

x(t) =x0+1

2at2 (3.2)

No primeiro caso o experimental quer encontrar quais so os valores de x0 e v domodelo terico que se ajustam aos dados medidos no experimento. E no caso doMRUV, quais so os melhores valores da acelerao e da posio inicial. Destaforma, antes de introduzir um mtodo para encontrar esses valores, vamos re-lembrar as propriedades bsicas de uma reta e como manipulamos relaes no-lineares.

3.1 Relaes lineares

Quando a relao matemtica entre duas grandezas fsicas xe y linear, repre-sentada por uma equao do primeiro grau do tipo:

y = Ax + B , (3.3)

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30 CAPTULO 3. AJUSTE DOS PARMETROS DO MODELO

ondeB o coeficiente linear e A o coeficiente angular da reta. O coeficiente linearfornece o valor de y quando x nulo, o que caracteriza uma condio inicial. Nocaso do MRU seria a posio da partcula no tempo zero x0. O coeficiente angular

representa a taxa de variao de y com x. Dados dois pares de pontos (x1, y1) e(x2, y2)que satisfazem a equao da reta, o coeficiente angular obtido por:

A= y2 y1x2 x1

. (3.4)

Deve-se ter cuidado para no confundir o coeficiente angular Acom a inclina-o geomtrica (angular) da representao grfica da equao da reta. Enquantoo coeficiente angular A independe da escala atribuda a cada eixo, a tangentegeomtrica depende.

3.2 Linearizao de grficosMuitas vezes, as relaes estudadas no so descritas por equaes lineares. En-tretanto, em alguns casos possvel transformar grficos no-lineares em grficosque seguem uma relao linear, ou seja, possvel linearizar a curva.

O processo de linearizao consiste em se aplicar uma transformao nas esca-las, para que a curva representada assuma uma forma de uma reta. No caso darelao entre posio e tempo para um MRUV, como mostrado acima, se fizemoso grfico de x t teria a forma de uma parbola, mas se fizemos um grfico dex t2, esta assume a forma de uma reta com coeficientes B x0 e A a/2 1.

3.3 Mtodo dos mnimos quadrados

A idia bsica no processo de ajuste analtico de uma funo f(x), a partir de umconjunto de dados experimentais {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}, o de se obter acurva que melhor represente o conjunto de pontos. Para isso deve-se minimizaras distncias de cada ponto experimental a curva terica do modelo fsico (veja afigura 3.1).

Definindo as distnciasdi=f(xi)yi, como mostrado na figura 3.1, temos quecriar uma forma de achar o mnimo para todas as distncias ao mesmo tempo. O

mtodo dos mnimos quadrados, como o prprio nome sugere, faz uso do quadradodas distncias, d2i = [f(xi) yi]2, e desta forma temos de encontrar o mnimo dafuno

2 =Ni=1

d2i , (3.5)

1Essa forma de linearizao ser a nica aplicada no curso de Fsica Experimental 1. Nosprximos curso de Fsica Experimental sero apresentadas as outras formas.


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3.3. MTODO DOS MNIMOS QUADRADOS 31

x

y

Reta qualquer

d1

d2

d3

d4

d5

Figura 3.1: Esquema das distncias entre os pontos experiemntais e os pontos deuma reta qualquer utlizado no mtodo do mnimos quadrados para encontrar omelhor ajustes para os parmetros de uma reta.

onde a soma em todos os pontos se deve ao fato de querermos minimizar todas asdistncias ao mesmo tempo. Para achar o mnimo devemos derivar a funo 2

com relao a cada um dos parmetros a serem ajustados da funo f(x)e igualarestas derivadas a zero.

Para o curso de Fsica Experimental 1 iremos ajustar somente os pontos ex-perimentais uma reta, f(x) =Ax+B, desta forma vamos desenvolver todos osclculos para este caso particular. Neste caso a funo a ser minimizada :

2(A, B) =Ni=1

[Axi+ B yi]2 (3.6)

onde os parmetros que queremos encontrar so os coeficientes linear B e angularA, logo devemos tomar duas derivadas com respeito a estes parmetros e igualar


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32 CAPTULO 3. AJUSTE DOS PARMETROS DO MODELO

a zero (condio de mnimo):

2

A =

Ni=1

[Axi+ B

yi]2

A = 0 (3.7)

2

B =

Ni=1

[Axi+ B yi]2B

= 0 (3.8)

Desenvolvendo as duas equaes e eliminando os termos constantes temos, final-mente, duas equaes para as duas icgnitas Ae B:

AN

i=1

x2i + BN

i=1

xi N

i=1

xiyi = 0 (3.9)

ANi=1

xi+ N B Ni=1

yi= 0 (3.10)

onde N o nmero total de medidas, no caso da figura 3.1 N = 5. Resolvendopara Ae B encontramos os melhores ajustes para os dados observados. Nos diasde hoje, com os computadores cada vez com mais capacidades de processamento,a resoluo das equaes acima muito rpida e simples. Para uma anlise maiscompleta e que leva em conta o erro nas medidas e com a demonstrao dos errosno parmetros Ae B veja o apndice A.


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Captulo 4

Elaborao de Relatrios

Um relatrio consiste na apresentao organizada de informaes provenientes daatividade experimental. Em um experimento todos o resultados parciais ou totaisdevem estar organizados de modo a facilitar a leitura. Um relatrio para transmitiralgo e ser apresentvel, necessrio que ele satisfaa certos requisitos: deve terclareza e exatido, ser objetivo e conciso e acima de tudo deve destacar todos osaspectos importantes.

Ao escrever um relatrio apropriado usar a 3a pessoa do plural ou fazer usode expresses que indetermine o sujeito, por exemplo: Nesse experimentofoi feitoas medidas x de uma grandeza Y"ou Fizemosuma tabela com os valores x deuma grandeza Y".

Uma dica ao escrever um relatrio estruturar melhor o que se pretende es-crever, para isso siga o esquema abaixo:

0 A capa: comum ouvirmos falar que a primeira impresso a que fica, pois bem, omesmo pode-se dizer de um relatrio. A organizao de um relatrio comeapela capa. necessrio escrever um ttulo para o relatrio, onde deve constaro nome da experincia realizada e o nmero do relatrio e as especificaesreferentes a pessoa que escreve o relatrio, por exemplo: o nome e a turmaa qual pertence. Abaixo segue uma sugesto:

Relatrio IMedida do volume de um objeto"

Jos Fulano de TalTurma: A

1 Objetivo:Nesta parte deve constar quais os principais objetivos para a realizao de

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34 CAPTULO 4. ELABORAO DE RELATRIOS

um determinado experimento, ou seja, devem ser colocados a finalidade e asmetas a serem atingidas, por exemplo:

Neste experimento faremos medidas a respeito das dimenses espaciais deum determinado objeto, largura, comprimento e altura e de posse dessasmedidas obteremos o volume e analisaremos qual o papel da incerteza nessasmedidas."

2 Introduo terica:Esta parte deve consistir de uma breve introduo terica, onde hiptesesso feitas e um modelo terico introduzido, por exemplo:

Todo processo de medio consiste de fazer comparaes entre grandezasfsicas que possuem a mesma natureza, por exemplo, no existe forma de secomparar a grandeza tempo com a grandeza densidade dada suas diferentesnaturezas. Para se medir uma grandeza necessrio antes de tudo fixarum padro previamente escolhido com o qual comparaes devem ser feitas.Vamos tomar um metro (1 m ) como sendo a distncia percorrida pela luzem um tempo de um segundo (1 s). Se medirmos o comprimento de umobjeto e dizermos, por exemplo, que ele tem c = 1, 5 m significa que ele 1, 5 vezes maior que o comprimento padro adotado. No que se refere sdimenses de um determinado objeto, vamos considerar o seu volume, queconsiste do produto das medidas de seu comprimento (c), da sua largura (l)e da sua altura (h), isto , temos que o seu volume (V) por definio:

cl

h

V =c l h (4.1)

Uma vez que estamos tratando com grandezas de mesma natureza podemosfazer comparaes entre elas usando o mesmo padro, o metro, logo a equaopara o volume leva a uma nova unidade de medida, no caso o metro cbico(m3)".

3 Material Utilizado:Todo relatrio deve conter uma listagem dos materiais que foram utilizadospara a elaborao da experincia. Por exemplo:


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35

Neste experimento, fez-se uso do seguinte material:

Rgua;

Uma caixa de papelo de formato retangular;"

4 Procedimento experimental e coleta de dados:Nesta parte do relatrio deve estar contido todos os detalhes de como aexperincia foi montada e de como os dados foram coletados. Dependendoda experincia, podemos apresentar os dados em uma tabela, por exemplo:

Com o uso de uma rgua graduada em centmetros(cm)foram feitas medi-das do comprimento, da largura e da altura da caixa de papelo. As medidasforam feitas separadamente por cada uma das pessoas do grupo, sendo que

cada um dos integrantes do grupo no conhecia o valor das medidas feitaspelo outro, de tal forma que foi obtido os seguintes resultados dispostos natabela:

Integrante comprimento c (cm) largural (cm) alturah (cm)

Chico 25, 12 13, 05 16, 50

Maria 25, 15 13, 00 16, 51

Joo 25, 11 13, 01 16, 50

Jos 25, 10 13, 09 16, 58

Olga 25, 15 13, 00 16, 55

Na tomada das medidas, devido a dificuldade de se posicionar a rgua, nofoi possvel obter um valor uniforme e homogneo, os resultados sofreramuma ligeira flutuao."

5 Anlise de dados:Esta parte do relatrio a mais importante, ela deve conter os clculosnecessrios para constatar a veracidade ou no das hipteses sugeridas naintroduo terica e verificar a validade do modelo terico proposto. Toda


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a anlise referentes aos erros devem ser tratados nessa parte. Caso sejanecessrio, grficosdevem ser anexados. Por exemplo:

Como houve variaes nas medidas feitas por cada um dos integrantes, umamaneira adequada de obter um valor mais prximo ao valor mais provvelda grandeza fazer uso dos valores mdios, ou seja,

c=

5

i=1ci

5 =

25, 12 + 25, 15 + 25, 11 + 25, 10 + 25, 15

5 = 25, 13 (4.2)

igualmente temos,

l=

5

i=1 li5

=13, 05 + 13, 00 + 13, 01 + 13, 09 + 13, 00

5 = 13, 03 (4.3)

e

h=

5

i=1hi

5 =

16, 50 + 16, 51 + 16, 50 + 16, 58 + 16, 55

5 = 16, 53 (4.4)

Analisando os dados coletados da tabela, vemos que existe uma incerteza noltimo algarismos1, podemos estimar que a cada uma das medidas existeuma impreciso de cerca de x = 0, 05 cm. Ento podemos reescrever osdados a serem utilizados no clculo do volume da seguinte forma:

l= (lx) = (25, 130, 05) cm

c= (c x) = (13, 030, 05) cm (4.5)

h= (h x) = (16, 530, 05) cm

Portanto, calculando o volume, temos

V= 5413 cm3 (4.6)

Para calcularmos o erro associado medida indireta2 do volume, seria razo-vel pensar que bastaria multiplicar os erros de cada uma das medidas, o quenos daria um valor insignificantemente menor do que o erro x = 0, 05 cmassociado a cada uma das medidas, o que no fisicamente razovel, no en-tanto, veremos que a frmula abaixo nos fornece o valor adequado ao erroda medida indireta do volume3

V =x

(c h)2 + (l h)2 + (c l)2 (4.7)1No captulo de introduo a teoria de erros discutido em detalhe o papel da incerteza desse

ltimo algarismo que provm diretamente da preciso da escala utilizada.2Medidas diretas, so obtidas diretamente atravs do uso de um dispositivo de medida, j

medidas indiretas so aquelas provenientes de relaes matemticas.3Na introduo a teoria dos erros discutidos como feita a propagao de erros e como esta

frmula deduzida.


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Portanto, obtemos para a incerteza na medida indireta do volume

V = 29 cm3 (4.8)

Neste resultado foi considerado somente valores naturais, ou seja, desconsiderou-se casas decimais."

6 Resultados principais e concluses:Esta parte do relatrio consiste de uma sntese de tudo que foi feito no expe-rimento; nesta parte deve constar de forma organizada os resultados obtidose ou calculados e quais as principais concluses que esses resultados levaram.Geralmente, deve-se perguntar se os resultados confirmam ou no as hipte-ses sugeridas, ou seja, se o modelo terico proposto est de acordo ou no.Em alguns experimentos para obter um determinado resultado comum fa-zer uso de duas formas de medidas, uma diretamente e outra indiretamente,quando isto se faz necessrio comparaes podem e devem ser feitas o queenriquece muito muito mais a confiabilidade no modelo terico. Caso o mo-delo esteja de acordo com os resultados experimentais dizemos que o mesmorepresenta uma viso de mundo adequada. Por exemplo:

Como resultado do nosso processo de medida, obtemos para o volume doobjeto o valor V = (541329) cm. Isto significa que o valor mais provveldo volume do objeto est dentro de intervalo I= [5384 cm; 5442 cm]."

Um erro que no se deve cometer ao escrever um relatrio fazer uso de grias

ou linguagem muito tcnica, deve-se procurar transmitir o que interessa de formacoerente.


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Captulo 5

Movimento Retilnio Uniforme -

MRU

5.1 Objetivo

Este experimento tem como objetivo estudar o movimento de um corpo sem a aode foras e verificar que este movimento retilnio e uniforme (MRU), e por fim,determinar a sua velocidade durante este movimento.

5.2 Modelo Terico

Pela primeira Lei de Newton, um corpo com fora resultante nula deve ficar paradoou seguir um movimento retilnio e uniforme, ou seja, para intervalos de temposiguais o corpo percorre distncias iguais. Desta forma a velocidade mdia do corpo igual a velocidade instntanea:

v=dx

dt =

x

t . (5.1)

Desta relao encontramos a dependncia da posio com o tempo,

x= x0+ vt (5.2)

onde, x0 a posio no instante t = 0 do carrinho, v a sua velocidade e t otempo.

5.3 Procedimento Experimental

Neste experimento ser utilizado o trilho de ar, de tal forma que poderemos despre-zar o atrito do carrinho. Por se tratar de um MRU devemos colocar o cronometro

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40 CAPTULO 5. MOVIMENTO RETILNIO UNIFORME - MRU

na funo MRU ou F1, dependendo do aparelho que se encontra na sua bancada.Para darmos uma velocidade inicial ao carrinho ser utilizado um peso ligado

ao carrinho por um fio ideal. Esse peso no poder atuar no carrinho quando elepassar pelo primeiro sensor, ou seja, o peso dever tocar no cho antes do carrinhopassar no primeiro sensor. Utilize uma massa de aproximadamente 30 gramas, jcom o porta pesos includo.

1. Posicione os cinco sensores de tal forma que fiquem a uma distncia relativade aproximadamente 10 cm.

2. Verifique se os sensores esto conectadas corretamente.

3. Com o eletroim ligado, prenda o carrinho na sua posio inicial.

4. Faa algumas tomadas de dados testes e verifique se todos os sensores estofuncionando adequadamente e se o cronmetro est fornecendo resultadosestveis.

5.4 Tomada de Dados

1. Registre o movimento do carrinho com os sensores e o cronmetro.

2. Construa uma tabela de medidas de tempo e posio como mostrado abaixo.

P t(s) x(cm) x(cm)

1 0.000

2

3

4

5


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5.5. ANLISE DE DADOS 41

5.5 Anlise de Dados

Para esta anlise de dados vamos assumir que as medidas dos tempos so despre-

zveis, ou seja, t= 0.

1. Encontre a velocidade mdia para cada um dos intervalos e a sua incerteza(erro) associada. Coloque todos os passos necessrios para encontrar a fr-mula do erro da velocidade. Construa uma tabela com os resultados, comomostrado abaixo:

v (cm/s) v (cm/s)

2. Construa um grfico no papel milimetrado da posio em funo do tempo(x t). No se esquea de colocar as barras de erro se for possvel na suaescala adotada. Qual a forma funcional esperada pelo modelo terico paraesse grfico?

3. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesmareta? Obtenha, apartir da reta encontrada o seu coeficiente angular .

4. No computador, utilize o programa deregresso linearpara fazer o ajuste dosseus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatvel com o dogrfico feito no papel milimetrado? Pelo seu modelo terico, os coeficientesangular e linear correspondem a quais quantidades fsicas? O coeficientelinear encontrado est de acordo com o esperado pelo seu experimento?

5. As velocidades mdias calculadas no primeiro item esto compatveis com osresultados obtidos pelo mtodo do grfico?


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42 CAPTULO 5. MOVIMENTO RETILNIO UNIFORME - MRU


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Captulo 6

Plano Inclinado

6.1 Objetivo

O objetivo deste experimento observar e estudar um movimento retilneo uni-formemente variado (MRUV) de um corpo descendo um plano inclinado. Esteexperimento tem como objetivo principal a determinao da acelerao da gravi-dade g, e comparar o resultado encontrado no experimento com o valor

g= 9.8 m/s2 . (6.1)

6.2 Modelo TericoAplicando as Leis de Newton numa partcula de massa m que se encontra numplano inclinado com inclinao com relao a horizontal (veja figura 6.1), encon-tramos que a partcula sofrer uma acelerao constante, dada por (encontre essaigualdade):

a= g sen . (6.2)

Desta forma se conseguirmos medir a acelerao da partcula e a inclinao doplano inclinado, podemos estimar a acelerao da gravidade g.


Neste experimento ser utilizado o trilho de ar, de tal forma que poderemos despre-zar o atrito do carrinho. Por se tratar de um MRUV devemos colocar o cronometrona funoMRUV ouF2, dependendo do aparelho que se encontra na sua bancada.

1. Nivele o trilho de ar antes de inclin-lo.

43


44/71

44 CAPTULO 6. PLANO INCLINADO

Figura 6.1: Diagramas de foras para um corpo num plano inclinado.

2. Incline ligeiramente o trilho de ar, levantando o ponto de apoio com duas

bases a uma altura h.


4. Posicione os sensores com distncias relativamente constantes com aproxi-madamente 10 centmetros entre eles e inclusive com a posio inicial docarrinho. O ltimo sensor no utilizado no experimento.

5. Com o eletroim ligado coloque o carrinho na sua posio inicial.

6. Faa uma tomada de dados teste e verifique se todos os sensores esto fun-cionando adequadamente.

6.4 Tomada de Dados

1. Determine seno do ngulo de inclinao do trilho de ar.




45/71


P t(s) x(cm) x(cm)

1 0.000

2

3

4

5

Como foi medida a posio inicial do carrinho? O erro associado a esta medidaser o mesmo que o erro associado as medidas das posies dos sensores? Discutasobre essa questo com os integrantes da sua bancada e o professor.

6.5 Anlise de Dados

Para esta anlise de dados vamos assumir que as medidas dos tempos tem errodesprezvel, ou seja t= 0.

1. Encontre a velocidade mdia para cada um dos intervalos e a sua incertezaassociada. Monte uma tabela com esses resultados.

2. Calcule a incerteza para a quantidade sen . Utilize a tabela de propagaode erro fornecida nesta apostila. Voc mediu diretamente a altura hque foilevantado o trilho de ar e a distncia entre os seus ps L, logo, o ngulo ser dado por:

sen = h

L

(6.3)

Qual ser a frmula de propagao de erro associado a esta medida? Faaessa demonstrao com todos os passos necessrios. Discuta qual ser o erroassociado as medidas de he L. Eles sero os mesmos que para a posio xdos sensores?

3. Construa um grfico no papel milimetrado da posio em funo do tempo aoquadrado(x t2). No se esquea de colocar as barras de erro se for possvel


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46 CAPTULO 6. PLANO INCLINADO

na sua escala adotada. Qual a forma funcional esperada pelo modelo tericopara esse grfico?

4. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesmareta? Obtenha, a partir desta reta, a acelerao do carrinho. Qual a relaoentre o coeficiente angular deste grfico e a acelerao do carrinho?

5. No computador, utilize o programa de regresso linearpara fazer o ajustedos seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatvel como do grfico feito no papel milimetrado? O coeficiente linear esta de acordocom os seus dados experimentais?

6. Utilizando a equao (6.2), determineg apartir da acelerao encontrada naregresso linear e sen obtida anteriormente. O seu valor experimental esta

de acordo com o resultado esperado? Por que? Qual a frmula do erroassociado a esta medida?


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Captulo 7

Movimento Retilnio Uniformemente

Variado com Peso

7.1 Objetivo

Este experimento tem como objetivo estudar o movimento retilnio uniformementevariado (MRUV) e determinar a acelerao da gravidade g, e comparar o resultadoexperimental obtido com o valor:

g= 9.8 m/s2 . (7.1)

7.2 Modelo Terico

Aplicando as leis de Newton no sistema mostrado na figura, obtemos a seguinte re-lao entre a acelerao das massasmAe mBe a acelerao da gravidade (encontreessa relao!):

a= mA

mA+ mBg . (7.2)

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48/71

48CAPTULO 7. MOVIMENTO RETILNIO UNIFORMEMENTE VARIADO COM PESO

Desta forma, se medirmos a acelerao das partculas e as suas respectivas massas,podemos fazer uma estimativa da acelerao da gravidade.




2. Posicione os sensores com distncias relativamente constantes com aproxi-madamente 10 centmetros entre eles e inclusive com a posio inicial docarrinho. O ltimo sensor no utilizado no experimento.


4. Faa uma tomada de dados teste e verifique se todos os sensores esto fun-

cionando adequadamente.

Neste experimento devem ser analisados 5 movimentos diferentes com 5 massasdiferentes para massamA, em passos de 10 gramas, ou seja, ser medido o movi-mento do carrinho paramA 20, 30, 40, 50 e 60 gramas (as massas no precisamser exatamente essas, s aproximadamente).

7.4 Tomada de Dados1. Registre o movimento para as 5 massas diferentes com os sensores e o cron-

metro.

2. Construa uma tabela de medidas de tempo para as cinco massas e posiocomo mostrado abaixo.


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P t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) x(cm)

1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

2

3

4

5

Como foi medida a posio inicial do carrinho? O erro associado a esta medidaser o mesmo que o erro associado as medidas das posies dos sensores? Discutasobre essa questo com os integrantes da sua bancada e o professor.

7.5 Anlise de Dados

Para esta anlise de dados vamos assumir que a medida do tempo tem erro des-prezvel, ou seja t= 0 s.

1. Para cada um dos sistemas com massas diferentes estime a acelerao docarrinho. Para tal, utilize o programa de regresso linear para ajustar amelhor reta a cada um dos grficosx t2. Pelo seu modelo terico, o que soos coeficientes angular e linear deste ajuste? (No precisa fazer esses grficosno papel milimetrado).

2. Os coeficientes lineares dos 5 ajustes so iguais dentro da barra de erro? Porque eles deveriam ser iguais de acordo com o nosso modelo terico?

3. Da relao do modelo terico entre o coeficiente angular e a acelerao docarrinho, construa uma tabela com os resultados, como mostrado abaixo(demonstre a frmula para o clculo da incerteza do fator das massas):


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50CAPTULO 7. MOVIMENTO RETILNIO UNIFORMEMENTE VARIADO COM PESO

mAmA+mB

mAmA+mB

a a (cm/s2)

4. Construa um grfico no papel milimetrado da acelerao em funo de mAmA+mB

.No se esquea de colocar as barras de erro se for possvel na sua escalaadotada. Qual a forma funcional esperada para esse grfico? Voc saberiaexplicar o porqu desta forma funcional?

5. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesmareta? Obtenha, apartir da reta encontrada o seu coeficiente angular . Pelo

seu modelo terico, o coeficiente angular corresponde a que quantidade fsica?6. No computador, utilize o programa de regresso linearpara fazer o ajuste

dos seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatvel como do grfico feito no papel milimetrado?

7. Compare o seu resultado com o modelo terico. O seu resultado esta con-sistente com este modelo, ou seja, voc encontrou g compatvel com o valoresperado? O modelo terico tambm fornece o valor esperado do coefeicientelinear? No seu experimento, qual o valor esperado do coefeciente linear?


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Captulo 8

Queda Livre

8.1 Objetivo

Este experimento uma reproduo do clssico e polmico experimento suposta-mente realizado por Galileu na Torre de Pisa. O objetivo deste experimento observar e estudar o movimento de um corpo em queda livre. Este experimentotem como objetivo principal verificar a independncia do movimento de queda li-

vre com a massa do corpo e tambm a determinao da acelerao da gravidadeg, e comparar o resultado experimental com o valor

g= 9.8 m/s2 . (8.1)

Antes de Galileu era esperado que a queda de um corpo sob ao pura dafora da gravidade dependia da sua massa, corpos mais pesados cairiam maisrapidamente ao cho do que corpos mais leves (com menor massas). Galileu foi oprimeiro a perceber que a queda livre no depende da massa do corpo, verificandoprimeiramente a igualdade entre massa inercial (que aparece na segunda lei deNewton) e massa gravitacional(o quanto um corpo sente o campo gravitacional).Essa propriedade da natureza foi um dos pontos de partida para a formulao daRelatividade Geralpor Albert Einstein em 1915.

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52 CAPTULO 8. QUEDA LIVRE

8.2 Modelo Terico

Aplicando as leis de Newton numa partcula de massa mque se encontra apenassob a ao da sua fora gravitacional, isto , o seu peso, assumindo que a massagravitacional (mg) diferente da sua massa inercial (mi), a segunda lei nos fornecea seguinte relao (colocando o referencial na vertical para baixo):

F=mia= mgg= mia (8.2)

Dessa forma a acelerao que a partcula ir sofrer de acordo com as leis de Newton

a=mgmi

g (8.3)

Conclumos que somente se a massa inercial for igual a massa gravitacional, obte-mos o resultado

a= g . (8.4)

Desta forma teremos 2 objetivos no experimento de queda livre:

1. Verificar a igualdade entre massa inercial e massa gravitacional, verificandoque a acelerao de queda igual para dois corpos com massas distintas;

2. encontrar a acelerao da gravidade g , dado que as massas inerciais e gravi-tacionais so iguais.


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8.3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 53


Neste experimento ser utilizado o equipamento de queda livre, desprezando o

arrasto do ar com o corpo. Por se tratar de um MRUV devemos colocar o cron-metro na funo MRUV ou F2, dependendo do aparelho que se encontra na suabancada.

1. Posicione os sensores de tal forma a ficarem a uma distncia relativa deaproximadamente 10 cm.


3. Com o eletroim ligado coloque uma bola de metal na sua posio inicial.

4. Faa uma tomada de dados teste e verifique se todos os sensores esto fun-cionando adequadamente.

8.4 Tomada de Dados

1. Registre o movimento de duas bolas de metal com massas diferentes com ossensores e o cronmetro.

2. Construa duas tabelas de medidas de tempo e posio como mostrado abaixo,

para cada uma das massas.

P t(s) x(cm) x(cm)

1 0.000

2

3

4

5


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54 CAPTULO 8. QUEDA LIVRE

Como foi medida a posio inicial da bola de metal? O erro associado a estamedida ser o mesmo que o erro associado as medidas das posies dos sensores?Discuta sobre essa questo com os integrantes da sua bancada e o professor.

8.5 Anlise de Dados

Para esta anlise de dados vamos assumir que as medidas dos tempos tem errodesprezvel, ou seja t= 0.

1. Construa dois grficos no papel milimetrado da posio em funo do tempoao quadrado (x t2). No se esquea de colocar as barras de erro se forpossvel na sua escala adotada. Qual a forma funcional esperada para essegrfico? Voc saberia explicar o porque desta forma funcional?

2. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesmareta? Obtenha, a partir das retas encontradas nos dois grficos, as acelera-es das bolas de metal.

3. No computador, utilize o programa de regresso linearpara fazer o ajustedos seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatvel como do grfico feito no papel milimetrado?

4. Compare o seu resultado com o modelo terico. O seu resultado esta con-sistente com este modelo, ou seja, voc encontrou g compatvel com o valor

esperado? Justifique a sua resposta.

5. Podemos dizer que a massa inercial igual a massa gravitacional pelos seusresultados? Justifique a sua resposta.


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Captulo 9

Trabalho e Energia

9.1 Objetivo

Este experimento tem como objetivo verificar o teorema Trabalho-Energia parauma fora constante e estudar o balano da energia de um sistema sob a ao dagravidade como mostrado na figura.

9.2 Modelo Terico

Aplicando as leis de Newton no sistema mostrado na figura, obtemos a seguinte

relao para a tenso do fio sobre o bloco B (encontre essa relao!):

T = mA mBg

mA+ mB. (9.1)

Desta forma, se medirmos as massas do carrinho e do porta pesos, e dada a ace-lerao da gravidade g = 9.8 m/s2, podemos fazer uma estimativa da Tenso.Utilizando a definio de trabalho para o caso de uma fora constante, podemos

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56 CAPTULO 9. TRABALHO E ENERGIA

encontrar o trabalho realizado pela tenso sobre o carrinho WTnum certo deslo-camento x:

WT =Tx= mA mBg

mA+ mBx (9.2)

O teorema trabalho-energia nos fornece que a variao da energia cintica K igual ao trabalho realizado por todas as foras sobre a partcula em questo.Para o caso da massa B (carrinho no trilho de ar), e assumindo que o sistemaparte do repouso, temos

KB =1

2mBv

2B =WT+ WN+ Wg =WT . (9.3)

Para verificarmos o balano de energia do sistema temos de definir o ponto zeroda energia potencial gravitacional do bloco pendurado (por que no precisamos

medir a energia potencial gravitacional do carrinho?). Neste experimento vamosdefinir o ponto zero da energia como sendo a posio inicial do bloco pendurado,desta forma, com o sistema saindo do repouso, a energia inicial ser nula

Ei= 0 . (9.4)

A energia do sistema em qualquer instante ser dada por:

E=KB+ KA+ UA . (9.5)

Onde KA e KB so as energias cinticas do peso e do carrinho respectivamente e

UA a energia potencial gravitacional do peso, que pela nossa escolha de pontozero ser dada por

UA= mA g x , (9.6)onde utilizamos que o fio que liga os blocos ideal, nos permitindo igualar odeslocamento xdo carrinho com a altura que o peso desce (voc saberia explicaro sinal?).



1. Nivele o trilho de ar.

2. Posicione os sensores de tal forma a ficarem a uma distncia relativa deaproximadamente 10 cm, incluindo a posio inicial do carrinho.


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9.4. TOMADA DE DADOS 57

3. Verifique se os sensores esto conectadas corretamente. O ltimo sensor no utilizado no experimento.


5. Faa pelo menos 4 tomadas de dados testes de posio e tempo e verifiquese todos os sensores esto funcionando adequadamente.

Para a massa pendurada utilize uma massa entre os valores30 < mA < 50 gramasj incluso o porta-pesos.

9.4 Tomada de Dados



P t(s) x(cm) x(cm) v(cm/s) v(cm/s)

1 0.000

2

3

4

5

As colunas com a velocidade e o seu erro sero explicadas mais adiante.

9.5 Anlise de Dados

Para esta anlise de dados vamos assumir que as medidas dos tempos e das massastem erro desprezvel, ou seja m= 0e t= 0.


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1. Construa um grfico no papel milimetrado da posio em funo do tempoao quadrado (x t2). No se esquea de colocar as barras de erro se forpossvel na sua escala adotada. Qual a forma funcional esperada para esse

grfico?

2. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesmareta? Obtenha, a partir desta reta, a acelerao do carrinho.

3. No computador, utilize o programa de regresso linearpara fazer o ajustedos seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatvel como do grfico feito no papel milimetrado?

4. Para estimar as velocidades instantaneas do carrinho e do peso utilize arelao v = v0 + at, com a acelerao obtida do programa de regressolinear. Lembre-se que a acelerao possui erro.

5. Faa a estimativa do trabalho da tenso para os intervalos entre cada sensore a posio inicial utilizando a equao (9.2). Qual ser o erro associado?Ele vai variar?

6. Faa a estimativa da energia cintica para o carrinho e o peso, KB e KA,utilizando a sua definio e a estimativa da acelerao encontrada.

7. Encontre a energia potencial gravitacional do peso UApara quando o carrinhopassa pelos sensores.

8. Encontre a energia total quando o carrinho passa em cada um dos sensores?

9. No esquea de colocar o erro associado de todas as quantidades para cadainstante. Utilize a unidade (cm2 Kg/s2)para as energias e o trabalho.

10. Construa uma tabela com os resultados, como mostrado abaixo:


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WTWT KB KB KAKA UA UA E E

11. Compare o seu resultado com o modelo terico. O seu resultado est consis-tente com este modelo? Justifique a sua resposta.

12. A energia foi conservada? O teorema trabalho-energia foi confirmado?

13. Quais so os possveis fatores que explicariam a no conservao da energia,se esse fato ocorreu?


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Captulo 10

Colises Elstica e Inelstica

10.1 Objetivo

Este experimento tem como objetivo verificar a conservao do momento linear deum sistema de duas partculas em um processo de coliso elstica e inelstica emuma dimenso.

10.2 Modelo Terico

Coliso Elstica: Para uma coliso elstica, como mostrada na figura 10.2, tantoo momento linear quanto a energia cintica total do sistema iro se conservar, logo,

Pi=p1i+p2i = p1f+p2f=Pf (10.1)

Ki = p2

1i

2m1+

p22i

2m2=

p21f

2m1+

p22f

2m2=Kf (10.2)

Utilizando essas duas relaes, podemos encontrar a velocidade final, aps o cho-que, das duas partculas:

v1f=m1 m2m1+ m2

v1i+ 2m2

m1+ m2v2i (10.3)

v2f=

2m1

m1+ m2v1i+

m1

m2

m1+ m2 v2i (10.4)Para o caso a ser analisado no experimento, o alvo, partcula 2, estar em repouso,ou seja,v2i = 0e tambm s ser medida as velocidades iniciais da partcula 1 e avelocidade final da partcula 2, logo s precisaremos da seguinte relao entre v1ie v2f:

v2f= 2m1m1+ m2

v1i (10.5)

61


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62 CAPTULO 10. COLISES ELSTICA E INELSTICA

Figura 10.1: Esquema de uma coliso elstica (figura no topo) e uma colisoinelstica (figura debaixo).

Coliso Inelstica: Para uma coliso inelstica, temos pela conservao domomento linear:

Pi=m1v1i+ m2v2i= (m1+ m2)vf=Pf (10.6)

O que j nos permite determinar a velocidade final aps a coliso:

vf=m1v1i+ m2v2i

m1+ m2, (10.7)

e com a mesma configurao especificada anteriormente, alvo em repouso, temos

vf= m1

m1+ m2v1i (10.8)

Desta forma, medindo as velocidadesv1ido carrinho em movimento e as velocida-des v2f e vfdo alvo aps o choque, com o auxlio das equaes (10.5) e (10.8) do

nosso modelo terico descrito acima, podemos estimar as seguintes relaes entreas massas:

Elstica: 2m1m1+m2

;

Inelstica: m1m1+m2

.

Estas duas quantidades sero comparadas com a medio direta da balana nolaboratrio.


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10.3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 63


Neste experimento ser utilizado o trilho de ar, de tal forma que poderemos despre-

zar o atrito do carrinho. Por se tratar de uma coliso devemos colocar o cronometrona funochoqueouF3, dependendo do aparelho que se encontra na sua bancada.

1. Nivele o trilho de ar. Neste experimento de fundamental importncia queo trilho esteja nivelado da melhor maneira possvel.

2. Posicione os 4 sensores da seguinte forma: voc quer medir a velocidade docarrinho antes do choque e a velocidade do outro carrinho depois do choque.Desta forma coloque os 4 sensores em pares, um par para antes do choque,e outro para depois do choque, com uma distncia de 10 centmetros entre

cada par. Tome cuidado para que o posicionamento dos dois pares de sensoresseja tal que no haja interao entre os carrinhos durante as medies (vejaa figura 10.2).

3. O carrinho que servir de alvo deve ficar entre os dois pares de sensores. Eo carrinho que ser lanado dever ser empurrado antes do primeiro par desensores.

4. Verifique se os sensores esto conectadas corretamente. O ltimo sensor no utilizado no experimento.

5. Verifique se todos os sensores esto funcionando adequadamente.

No acrescente massas adicionais aos carrinhos, para evitarmos atrito entre eles eo trilho de ar.

Trilho de ar

x x

Figura 10.2: Posicionamento dos sensores e carrinhos antes da coliso no experi-mento.


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10.4 Tomada de Dados

Neste experimento sero feitas duas tomadas de dados, uma para a coliso eltica

e outra para a coliso inelstica.

1. Mea a massa dos dois carrinhos e suas respectivas incertezas (erros). Denotepor m1, o carrinho a ser lanado em2o carrinho alvo, de tal forma a utilizar-mos a notao do modelo terico descrito anteriormente. Neste experimentono iremos desprezar o erro na medida das massas dos carrinhos. Discutacom o seu professor qual seria uma estimativa deste erro e sua justificativa.

2. Para os dois casos iremos dar 7 impulsos iniciais diferentes para o carrinho1. Tente coletar intervalos de tempos variando de 0.100 s a 0.400 s comintervalos de t = 0.05 s. Como voc far isso "na mo"no ter um

controle perfeito sobre a velocidade do carrinho 1, entretanto tente fazer omais prximo possvel.

3. Construa uma tabela de medidas de t1, v1i, t2 e v2f como mostradoabaixo.

t1(s) v1i(cm/s) t2(s) v2f(cm/s)

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

Para o caso de coliso inelstica, faa uma tabela idntica, trocando apenasv2fpor vf.


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10.5 Anlise de Dados

Para esta anlise de dados vamos assumir que as medidas dos tempos tem erro

desprezvel, ou seja t= 0.

1. Com as medidas dos intervalos de tempo t, e o espaamento xentre ossensores para os dois carrinhos, calcule as velocidades do carrinho 1 (v1i)antes da coliso e do carrinho 2 (v2f, vf) depois da coliso. Qual a frmulapara o erro associado a essa medida da velocidade?

2. Construa dois grficos no papel milimetrado, um para a coliso elstica eoutro para a inelstica. Os grficos sero (v2f v1i) e (vf v1i) respecti-vamente. No se esquea de colocar as barras de erro para o parmetro noeixo vertical se for possvel na sua escala adotada. Qual a forma funcionalesperada para os dois grficos?

3. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesmareta? Obtenha, a partir destas duas retas, as relaes entre as massas obtidasno modelo terico.

4. No computador, utilize o programa de regresso linearpara fazer o ajustedos seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatvel comos dos grficos feitos no papel milimetrado?

5. Com as medidas das massas, feita diretamente da balana, obtenha as re-

laes das massas para os dois tipos de colises e os seus erros associados.Compare essas duas medidas com os resultados obtidos nos grficos.

6. Podemos concluir que o momento linear do sistema se conservou nos doistipos de colises? Por que?


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Apndice A

Mtodo dos mnimos quadrados -

verso avanada

Nos experimentos com o carrinho em MRUV sobre o trilho de ar, medimos duasgrandezas, o quadrado do instante de tempo, t2 e a posio do carrinho, x, que,segundo nosso modelo, deveriam relacionar-se de uma maneira linear, ou seja, suarelao era do tipo x= at2 +b. De posse de vrios pontos experimentais preten-damos determinar os valores dos coeficientes a e b. Contudo, ao construirmos umgrfico desses pontos, descobrimos que eles no se alinhavam perfeitamente, for-mando uma reta, mas apresentavam certa aleatoriedade em sua distribuio. Naverdade, j deveramos esperar por isso, pois esses pontos so pontos experimentais

e suas medidas esto sujeitas a erros aleatrios. Devido distribuio dos pontos,vrias retas com diferentes coeficientes a e b, poderiam ser boas candidatas paradescrever o comportamento de nossos pontos experimentais. Precisvamos, por-tanto, descobrir qual era a reta que melhor se ajustava aos pontos experimentais.

Essa uma situao comum no laboratrio: temos um conjunto de pontosexperimentais e gostaramos de obter a melhor funo para descrever esses pontos.Esse procedimento chamado de regresso ou ajuste de curva. Naturalmente, aprimeira pergunta que deve passar por sua cabea : que critrio deve ser usadopara definir objetivamente o que a melhor funo? Geralmente, usamos comocritrio o princpio de mxima verossimilhana. Admitimos que, ao realizarmos umconjunto de medidas, ocorre o resultado que tem maior probabilidade de ocorrer.Note que isso no acontece necessariamente. No entanto, essa ainda parece ser amelhor hiptese a ser feita. Segundo esse princpio, a melhor funo aquela para aqual a probabilidade de ocorrncia de um dado conjunto de pontos experimentais mxima, quando tal funo considerada como a verdadeira. importantenotar que esse critrio estatstico no permite ajustar uma funo arbitrria a umconjunto de pontos experimentais. Por isso o que se considera o ajuste de umafuno particular, dentro de uma famlia de funes com forma pr-determinada,

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68APNDICE A. MTODO DOS MNIMOS QUADRADOS - VERSO AVANADA

aos pontos experimentais. Por exemplo, procura-se determinar entre todas asretas y = ax+b , quais os valores particulares dos coeficientes a e b que melhorse ajustam aos pontos experimentais.

O mtodo dos mnimos quadrados um mtodo baseado no princpio de m-xima verossimilhana e que pode ser aplicado quando as distribuies de errosexperimentais so gaussianas. O que, na prtica, acontece frequentemente. Almdisso, a melhor funof(x), deve ser determinada a partir de uma funo tentativaf(x) =f(x; a1, a2,...,ap), previamente escolhida. Isso significa que as variveis aserem ajustadas so os parmetros a1, a2,...,ap.

Considere que num processo de medida de duas grandezas x e y, obtemos umconjunto de n pontos experimentais que designaremos por

{x1, y1,1} , {x2, y2, 2} ,..., {xn, yn, n}

onde a varivel independentexi considerada isenta de erros e a varivelyitemincerteza estatstica dada pelo desvio padro i. Na prtica a varivel xi tambmapresenta erros estatsticos. Quando esses erros forem significativos, eles podemser transferidos para a varivel yi atravs das regras de propagao de erros.

Considere, agora, o ponto experimental , {xi, yi, i}. Como estamos conside-rando que a distribuio estatstica de yi gaussiana, ento, a probabilidade Pide ocorrncia desse ponto determinada pela funo gaussiana de densidade deprobabilidade correspondente a:

Pi= C

iexp

1

2yi i

i2

onde i o valor mdio verdadeiro correspondente a yi e C uma constante denormalizao. Como a probabilidade total Ptotal de ocorrncia do conjunto dos npontos experimentais o produto das probabilidades de ocorrncia de cada ponto,pois eles so estatisticamente independentes, temos que:

Ptotal =ni=1

Pi= Cn

12...nexp

1

2

ni=1

yi i

i

2

Se substituirmos o valor mdio verdadeiro ipela funo tentativa f(x) =f(x; a1, a2,...,ap)

teremos:

Ptotal =ni=1

Pi = Cn

12...nexp

1

2

ni=1

yi f(x; a1, a2,...,ap)

i

2=

Cn

12...nexp

1

22

onde

2 =ni=1

yi f(x; a1, a2,...,ap)

i

2


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69

Segundo o princpio da mxima verossimilhana, a funo f(x) =f(x; a1, a2,...,ap)que melhor se ajusta aos pontos experimentais aquela que maximiza a probabi-lidade totalPtotal, se for considerada como a funo verdadeira. Portanto, tudo o

que devemos fazer determinar os parmetros a1, a2,...,ap que maximizam Ptotal.Devido exponencial na expresso acima para Ptotal, essa probabilidade umafuno decrescente de2. Portanto, para maximizarPtotal, basta minimizar 2 emrelao aos parmetrosa1, a2,...,ap.

Resumindo, sef(x; a1, a2,...,ap) uma funo tentativa previamente escolhida.Ento, o mtodo dos mnimos quadrados consiste em determinar os parmetrosque minimizam a soma dos quadrados na expresso de 2.

Nas situaes em que as incertezas i so todas iguais, teremos 2 = S/2,onde

S=n

i=1

(yi

f(x; a1, a2,...,ap))2

Nesses casos, os parmetrosa1, a2,...,apdevem ser tais que minimizam S. Noteque, num grfico, S representa a soma dos quadrados das distncias verticais dospontos experimentais curva que representa f(x).

Regresso linearO problema da minimizao de 2, no mtodo dos mnimos quadrados, se

torna especialmente simples quando a funo tentativa representa uma reta, ouseja, f(x) = ax+b. O problema do ajuste de uma reta a um conjunto de dadosexperimentais se chama regresso linear. Como nesse caso a aplicao do mtodo

dos mnimos quadrados bastante simples, vamos realiz-la aqui explicitamentepara que voc tenha uma idia de como o mtodo funciona.Nosso problema consiste em minimizar a expresso

2 =ni=1

yi (axi+ b)

i

2

em relao aos parmetros a e b. Para isso, vamos derivar em relao a ae beigualar essas derivadas a zero:

2

a = 2

n

i=1

[yi (axi+ b)] xi2i

2

b = 2

ni=1

[yi (axi+ b)]2i

Ou

aSx2+ bSx = Sxy

aSx+ bS = Sy (A.1)


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70APNDICE A. MTODO DOS MNIMOS QUADRADOS - VERSO AVANADA

onde

S =n

i=1

1

2i; S

x=

n

i=1

xi

2iSx2 =

n

i=1

x2i

2iSy

=n

i=1

yi

2iSxy

=n

i=1

xiyi

2i(A.2)

A soluo desse sistema de equaes pode ser facilmente obtida, fornecendo:

a=SSxy SxSySSx2 SxSx

(A.3)

b=Sx2Sy SxSxy

SSx2 SxSx(A.4)

As grandezasaebforam obtidas em funo das variveis yique possuem incertezas

estatsticas i. Portanto, a e b tambm esto sujeitas a erros estatsticos. Suasincertezas podem ser computadas atravs da frmula de propagao de erros:

2a =ni=1

a

yi

22i = 2a =

SSSx2 SxSx

(A.5)

2b =ni=1

b

yi

22i = 2b =

Sx2

SSx2 SxSx(A.6)


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Bibliografia

[1] Introduo ao Laboratrio de Fsica, J. A. Piacentini, B. C. S. Grandi, M. P.Hofmann, F. R. R. de Lima e E. Zimmermann, Editora da UFSC; 3rd edition(2008).

[2] Curso de Fsica Bsica: 1- Mecnica, H. M. Nussenzveig, Editora Edgard Bl-cher Ltda; 3rd edition (1997).

[3] Fundamentos da Teoria de Erros, J. H. Vuolo, Editora Edgar Blcher Ltda;(1992)

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Apostila Fisica Experimental i