Relatório_Exp4_Dureza dos Materiais_Métodos Experimentais em Engenharia_Trim3.2

Experimento 4: Dureza dos Materiais.

Disciplina: BC1707 - Métodos Experimentais em Engenharia.

Discentes: Fernando Henrique Gomes Zucatelli Manuela Petagna Raian Bolonha Castilho Spinelli

Turma: A/Diurno

Prof ª. Dra. Léia Bernardi Bagesteiro.

Santo André, 11 de Julho 2011

Sumário

1. RESUMO ........................................................................................................................... 2

2. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 3

3. OBJETIVOS ....................................................................................................................... 4

4. PARTE EXPERIMENTAL ................................................................................................ 4

4.1. Materiais ...................................................................................................................... 4

4.2. Métodos ....................................................................................................................... 5

4.2.1. Medidas do coeficiente de restituição de diferentes materiais ............................. 5

4.2.2. Obtenção do coeficiente de restituição a partir do gráfico (∆tn x n) .................... 6

4.2.3. Avaliação da incerteza estatística ......................................................................... 6

4.2.4. Medida da transferência de energia em uma colisão inelástica ............................ 7

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ..................................................................................... 11

5.1. Medidas do coeficiente de restituição de diferentes materiais................................... 11

5.2. Obtenção do coeficiente de restituição a partir do gráfico (∆tn x n) .......................... 14

5.3. Avaliação da incerteza estatística .............................................................................. 19

5.4. Medida da transferência de energia em uma colisão inelástica ................................. 20

5.5. Comparação de resultados e métodos ........................................................................ 30

6. CONCLUSÃO .................................................................................................................. 31

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 32

8. APÊNDICES .................................................................................................................... 33

8.1. Aplicações em Engenharia ......................................................................................... 33

8.2. Comparação de resultados e métodos com erro normalizado .................................... 34

8.3. Programa em Matlab® para integração numérica ..................................................... 35

2

1. RESUMO

Tanto na área industrial como experimental é interessante sempre estudar as

propriedades dos materiais. Uma característica de bastante valor é o coeficiente de

restituição (CR) dos materiais, pois é partir dele que se determina a utilidade de um

material para esportes por exemplo. Para se de terminar o CR de alguns materiais

foi utilizado um microfone acoplado a um amplificador operacional que gera

amplificador operacional que gerava sinais para um osciloscópio e a partir da

informação fornecida foi possível determinar o intervalo de tempo entre dois choques

consecutivos e o CR de cada material. A partir deste valor também foi possível obter

a proporção de energia que foi dissipada em cada choque de uma bolinha de

elástico (pula-pula) e estimar o destino dessa energia em cada choque diferente

sendo que os 4 métodos de cálculo convergiram para valores ao redor de 0,64 cada

um com seu respectivo erro.

3

2. INTRODUÇÃO

As interações entre diferentes materiais podem ser caracterizadas pelo

coeficiente de restituição. Essa característica, por exemplo, é o que dá a

possibilidade de haver palmilhas que amortecem o impacto entre o chão e o corpo

da pessoa que usa um calçado com essa característica, ou seja, a palmilha evita

que haja um “reflexo” da reação do impacto da pisada. Quanto mais porosa, com

maior quantidade de sulcos e menos dura for a estrutura do material que receberá o

impacto, ou seja, aquele que esta em repouso inicialmente, maior será a dissipação

de energia e portanto menor é o coeficiente de restituição da colisão [1].

O coeficiente de restituição é caracterizado pelo coeficiente de

proporcionalidade entre a velocidade do objeto que atinge o que estava em repouso,

antes e depois da colisão.

1.n n

v vε −=

As colisões são classificadas em perfeitamente elásticas (ε=1), parcialmente

inelásticas (0<ε<1) e perfeitamente inelásticas (ε =0), sendo as primeiras aquelas em

que as velocidades antes e depois do choque permanecem iguais e as últimas, em

que o material tem toda a sua energia transferida no impacto e passa ao repouso

depois do choque.

Quando o choque possui um ε≠1 explicita um choque em que houve um

amortecimento por meio do material que esta em repouso, que pode ser uma placa

que continuará em repouso após o choque, ou seja, houve uma dissipação de

energia que pode ser dada de diversas formas como por exemplo em energia

sonora e deformação dos materiais devido ao impacto durante o choque.

Dentre as diversas formas para se determinar o coeficiente de restituição uma

delas é a partir do som. O som emitido pelo choque entre os dois materiais pode

captado por um microfone junto de um amplificador operacional, para amplificar o

sinal obtido e esse sinal é fonte de um osciloscópio, a partir dos picos que aparecem

na tela é possível determinar a variação de tempo entre os choques consecutivos e

consequentemente o coeficiente de restituição.

No presente experimento foi utilizado este método para determinar o valor do

coeficiente de restituição de diferentes bolinhas que foram jogadas em queda livre

sobre uma base de granito.

4

3. OBJETIVOS

Determinar o coeficiente de restituição de materiais a partir da análise de suas

características de dureza ou resistência de materiais e estudar a variação de energia

cinética de uma bola em choque parcialmente elástico.

4. PARTE EXPERIMENTAL

4.1. Materiais

• Osciloscópio (Tektronix® TDS 2022B)

• Protoboard (Matriz de contato)

• Fios de conexão com conectores jacaré e banana

• Microfone de eletreto

• Circuito amplificador montado em protoboard baseado no amplificador

operacional LM358

• Fonte de alimentação (+3V)

• Cilindro de Plástico

• Base de granito

• Cronômetro

• Esferas de diferentes materiais:

o Bola de pebolim (material sintético)

o Bola de gude (vidro)

o Bola de tênis (borracha e feltro)

o Bola de aço

o Bola de ping-pong (material sintético)

o Bola pula-pula (borracha)

• Pen drive (memória Flash)

• Régua Acrimet

• Planilha Microsoft Excel 2007®

5

Tabela 1 – Marca e modelo dos equipamentos utilizados.

Equipamento Marca/Modelo Escala de fundo

Resolução Incerteza

(Inst

u )

Osciloscópio Tektronix/TDS2022B Ajustável 1/5 da unidade/ Div da escala

Eq. (5)

Fonte de alimentação CC

Minipa MPL3303 30V 0,1V 0,05V

Cronômetro Cronobio 9:9999 00:0001 0,005s

4.2. Métodos

Para todas as medidas será utilizada uma base de granito, cuja massa é

consideravelmente maior que a das esferas. Logo, pela definição de momento linear,

esta massa deve ser maior que a esfera que colide para que o máximo de energia

da esfera seja usada pela esfera para subir. Esta situação é a mesma do choque

entre um corpo de pequena massa se chocando com outro de grande massa, o

corpo de pequena massa se choca e retorna, enquanto que o de grande massa

permanece praticamente imóvel. Todavia, os coeficientes de restituição devem ser

descritos citando o corpo que se choca e o corpo com o qual o de menor massa se

choca.

4.2.1. Medidas do coeficiente de restituição de diferentes materiais

A equação (1) fornece o tempo em relação a altura e a aceleração da

gravidade (cujo erro de 0,2 m/s² é tomado da referência [2]) para a massa que parte

do repouso e seu erro está calculado em (2). Caso seja usado um cronômetro para

medir t0 o erro ut0 será dado pela limitação do cronômetro e a equação (3) fornece o

coeficiente de restituição ε sendo o erro calculado por (4), onde o erro de ∆t1 é

especificada pelo fabricante do aparelho de acordo com a equação (5).

1 1

2 20

22. .

Ht H g

g

−

= = (1)

6

0

0

1 122 1 1 2 2

2 0 0 0 02 2

1 11 3 2 2

0 02 2

2222 22 0 0 0

1 1 2.. . ; 2. . .

2 2 2

( 1) ( 1) 2. .2. . . . .

2 2 2

. .2 2 4

t H g

gHt H g

t t t tH H gu u u H g

H g H H H H

t tg H gH g

g g g g

ut t t uu u u u

H g H g

−− −

−−

∂ ∂ ∂ = + = = =

∂ ∂ ∂

∂ −− −= = =

∂

− = + = + ∴ 0

22

0

2gH

t

ut u

H g

= +

(2)

1 1

1 0 010

12 . .

22

n n n n nn n n n

n

tt t t t t t

tε ε ε

−

−

∆∆ = − = ⇒ = ⇒ = ∆ (3)

0

1 1

0

0

2 2

2

0

1 11

1 1 10 0 0

1 10 0 0 1

22 2 22

0 0

. .

.( ) .;

. .2 2

. .. .

n

n

n

t t

n

n nn nn n n

n nn n

t t

t t

n n

u u ut t

t n t t n t t t

t t n t t t n t

u uu u u

n t n t n t t

ε

ε

ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

− −

∆

− −− − − −

∆

∆

∂ ∂= +

∂ ∂∆

∆ − ∆ ∆∂ − ∂= = = =

∂ ∂∆ ∆ ∆

− = + = + ∆ ∆

0

2 2 2

0

nt t

n

u uu

n t tε

ε ∆ ∴ = + ∆

(4)

0,0001.( ) 0,004.( ) 0, 4t lido

u Valor Escala ns∆ = + + (5)

4.2.2. Obtenção do coeficiente de restituição a partir do gráfico (∆tn x n)

A partir da equação (3), e comparando com a função exponencial ajusta aos

pontos coletados tem-se a relação que permite obter o coeficiente de restituição a

partir do gráfico dos dados coletados (equação (6)):

0 02 2 ;n bn b

nt t y ae a t eε ε∆ = ⇔ = ∴ = = (6)

4.2.3. Avaliação da incerteza estatística

A partir de um determinado número de repetições do procedimento de análise

dos intervalos de tempo entre impactos consecutivos de uma esfera escolhida

dentre as disponíveis, é possível determinar a incerteza estatística do valor do

coeficiente de restituição ε usando o desvio padrão e a incerteza padrão dos dados

experimentais.

2

1

1( )

1

n

i

i

s x xn =

= −−∑ (7)

7

4.2.4. Medida da transferência de energia em uma colisão inelástica

Figura 1 – Representação de um choque parcialmente inelástico.

A dissipação de energia no impacto pode ser obtida de 2 maneiras.

a) Partindo da energia potencial

Considerando que a esfera parte do repouso, e em todo o ponto de retorno,

onde a altura é máxima sua velocidade no eixo vertical também é zero então a altura

atingida é dada manipulando algebricamente a equação (1) para se ter a equação

(8).

2

2n n

gh t= (8)

O tempo nt é o tempo de subida ou de descida da esfera, como a referência é

a mesma, no caso a base de granito, estes tempos são iguais. Considerando que a

medida de tempo nt∆ feita pelo osciloscópio é feita entre dois impactos consecutivos

tem-se a relação:

2n nt t∆ = (9)

Isto significa que o tempo entre o impacto n=0 e n=1 é 1 12t t∆ = , onde 1t é o

tempo da 1ª subida (o índice zero fica restrito para o tempo 0t referente à queda livre

inicial, logo não há o tempo 0t∆ )

Considerando que a energia potencial da n-ésima altura é dada por

n n

E mgh= (10)

Então a relação entre as energias potenciais da n-ésima subida com a (n-1)-

ésima subida é dada por (11), onde “a” e “b” são usados para simplificar a notação:

1

nn

n

mgER

E −

= =nh

mg

2 2 22 2 2 2

12 2 21 1 11

. 2. . ; 2

2n n n

n n

n n nn

g t t tt t a b n

gt t th

− −

−

− − −−

∆= = = = ∆ ∆ = ∀ ≥

∆ (11)

8

Para o caso n=1 deve-se utilizar o tempo 0t da queda livre inicial.

11

1 1

mgER

E −

= =1h

mg

222 2 2 21 11 02 2

0 00

1 1 1. . .

2 4 4

t tt t p q

t th

− − ∆= = = ∆ =

(12)

Para calcular o erro sobre a medição de n

R usa-se a equação (13)

2 22 2 2 2 2

1

1 2 2 3

2 22 22 2

2

. . ; .

2 22. ; ( 2)

2 2. . 4

2

n

n

n

n nR a b n n n

n n n n

n n a bR a b n

a bR n

R Ru u u R a b t t

a b

R R R Ra ba b a b

a a a b b b

R R u uu u u R

a b a b

u uu R

a b

− −

−

− −

∂ ∂ = + = = ∆ ∆

∂ ∂

∂ ∂ −= = = − =

∂ ∂

− = + = +

∴ = +

1

2 22

1

2 n n

n

t t

R n

n n

u uu R

t t

−∆ ∆

−

∴ = + ∆ ∆

(13)

Para o caso específico de 1R usa-se a equação (14)

1

2 2

2 2 2 2 21 11 1 0

1 2 2 31 1 1

2 22 2

2 21 11

1 1. . ; . .

4 4

2 21 1.2. ; . ( 2)

4 4

2 2. . 4

2

n

n

R p q

n

p q

R p q

p

R n

R Ru u u R p q t t

p q

RR R Rp qp q p q

p p p q q q

u uR Ru u u R

p q p q

uu R

p

− −

− −

∂ ∂= + = = ∆

∂ ∂

∂ ∂ −= = = − =

∂ ∂

− = + = +

∴ =

01

1

222 2

11 0

2 ttq

R

uuuu R

q t t

∆ + ∴ = + ∆

(14)

De onde nota-se que o erro para 1R é calculado da mesma forma para n

R .

OBS: Poderia ser usada a letra grega “η ” (lê-se: eta) para indicar este

coeficiente, mas por sua semelhança com a letra “n” optou-se pela escolha da letra

“R”.

b) Partindo do coeficiente de restituição ε :

O coeficiente de restituição é dado por (15)

1.n n

v vε −= (15)

Como ele relaciona velocidades, usa-se então a energia cinética para o n-

ésimo impacto, dada por (16)

9

2

( )

2

2n n

n cinética n

mv EE v

m= ⇒ = (16)

Dessa forma substituindo em (15) tem-se a razão entre as energias em (17)

211 1

1

2 2. n n n

n n n n

n

E E Ev v E E

m m Eε ε ε ε−

− −

−

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = (17)

Analisando este resultado em relação às equações (3) e (11) percebe-se que

de fato a razão entre as energias n

R é dada pelo quadrado do coeficiente de

restituição ε , e se repetem as argumentações sobre seu cálculo nos casos 2n ≥ e

1n = , o cálculo do erro de 2ε é dado pelo cálculo do erro de n

R .

Pode-se também usar o valor de n

R a partir da referência de 0t , neste caso

tem-se que:

2 2 2

202 . .n n n

nR t tε

− −

= = ∆ (18)

De onde o erro será dado por

0

1 1

0

0

2 2

2

0

2 21

1 1 2. 1 20 0 0

2 20 0 0 1

22 2 22

0 0

. .

.( 2. ) 2. .2 2;

. .2 2

2 2 2. .

. .

n

n

R t t

n

n nn nn n n

n nn n

t

R t t

n

R Ru u u

t t

t n t t n t t tR R R R

t t n t t t n t

u uR R Ru u u

n t n t n t

− −

∆

− −− − − −

∆

∆

∂ ∂= +

∂ ∂∆

∆ − ∆ ∆∂ − ∂= = = =

∂ ∂∆ ∆ ∆

− = + = + ∆

0

2 2 2

0

2n nt t t

R

n n

u uRu

t n t t

∆ ∴ = + ∆ ∆

(19)

A equação (19) pode escrita em função do erro de ε :

0

2 2

0

22nt t

R

n

u u uRu R

n t t

εε

ε ε

∆ = + = ∆

(20)

Este resultado é o mesmo de se calcular o erro sobre R a partir de ε

2 22 ( )

. . 2 . 2R R

uRu u u u u R ε

ε ε ε

ε εε

ε ε ε ε

∂ ∂ = ⇒ = = =

∂ ∂ (21)

Como os resultados usando método com intervalos entre o n-ésimo e (n-1)-

ésimo impacto e o método da raiz n-ésima a partir de 0t obtêm resultados e erro

ligeiramente diferentes. O método entre impactos descrito pelas equações de (11) a

10

(14) será denotado por “Método A” enquanto que o método usando a raiz n-ésima

descrito pelas equações de (18) a (21) será denotado por “Método B”. Observando-

se que os ambos os métodos podem ser obtidos pelas análises de energia potencial

ou cinética descritos.

Outro método, denotado por “Método C”, de se obter o coeficiente de

dissipação R é o uso do método gráfico descrito na seção 4.2.2 baseado no uso da

equação (6).

Por fim, foi utilizado o método denominado “Método D”, cuja característica é a

resolução de uma integral numericamente.

O osciloscópio fornece uma planilha com os dados que coleta. Baseado nestes

dados é possível encontrar a energia correspondente a energia sonora dissipada em

cada impacto devido às relações de proporcionalidade descritas na equação (22).

2 2

2

~ ( ); ( ); ( ) ( )

( )

som som som

som

E p t I p t E I t dt p t dt

E v t dt

≈ = =

∴ ∝

∫ ∫

∫ (22)

Assim os coeficientes ε e R são obtidos da razão entre as energias de cada

impacto obtidas na equação (22) utilizando as relações descritas na equação (17) e

na relação 2R ε= . O fato de se trabalhar com razões elimina a necessidade de se

conhecer as constantes de proporcionalidade entre as grandezas.

Foi necessário utilizar a opção “Single Seq” do osciloscópio para ter uma

melhor forma de onda capturada. O nível de trigger foi ajustado para valores acima

do ruído captado pelo microfone e a escala temporal foi ajustada de modo a capturar

5 impactos da esfera para comparar com os métodos A, B e C.

Os dados gravados do osciloscópio são alocados numa planilha com todos os

valores na mesma célula separados por vírgula e a separação da casa decimal por

ponto (padrão estadunidense), isso necessitou alterar a configuração do computador

para este padrão de forma que o Excel compreende-se aquele dado como número e

facilita-se o trabalho de seleção de dados, isso também foi feito pois o Matlab®

padrão decimal, usou-se o recurso “Texto para colunas” do Excel® para se obter

uma coluna dos tempos de outra das tensões. Usou “formatação condicional” nas

células de tensão para identificar os picos positivos e negativos referentes aos

impactos da esfera, sendo o respectivo tempo comparado com o valor da figura

obtida na tela do osciloscópio e a soma dos Δt’s anotados entre cada impacto com

uso do recurso dos cursores. Em seguida, foram identificados os intervalos em que o

11

valor de tensão era superior ao ruído (notou-se que o ruído tinha amplitude máxima

na faixa de 0,24V, enquanto que os impactos ultrapassam 0,50V). Estes intervalos

de tempo e os respectivos quadrados de tensão foram copiados no Matlab® como

os vetores X e Y do programa para o cálculo desta integral (Anexo 8.3) para

resolução numérica de integrais com o método de Simpson que usa como base 2

vetores de dados, um para as abscissa (X) e outro para a ordenadas (Y).

Figura 2 – Layout da planilha de cálculos usada na medição da dissipação de energia (células em

azul são dados dos tempos medidos no osciloscópio, células em amarelo são dados de outras fontes

usadas nos cálculos).

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

5.1. Medidas do coeficiente de restituição de diferentes materiais

A Tabela 2 mostra os valores coletados de t0, que corresponde ao tempo de

queda do corpo (queda livre) do momento em que este é desprendido de uma altura

H até o impacto com a base de granito como também valores de ∆t1 que

corresponde ao intervalo entre o primeiro e segundo impactos para os quatro

modelos de esferas disponíveis.

Entre a Figura 3 e a Figura 6 pode-se observar o sinal obtido pelo osciloscópio

a partir de um microfone acoplado a um amplificador operacional durante a queda

12

para a esfera de material sintético (tênis de mesa), esfera de vidro (bola de gude),

esfera de aço e da bola de pebolim, respectivamente. Nas imagens pode-se notar

que há duas linhas verticais que se estendem do topo à base da tela do

osciloscópio, estes são os cursores utilizados para delimitar a área do gráfico em

que está compreendido o intervalo de tempo entre o primeiro e o segundo choque.

A partir deste valor pode-se determinar o valor de ∆t1 e consequentemente o valor

de ε calculado pela Equação (3) e os valores dispostos na Tabela 2.

Tabela 2 – Coleta de tempos de descida e entre o 1º e o 2º impactos para todas as esferas.

Esfera t0

(cronômetro)

∆t1

(osciloscópio) Volts/Div s /div ut0 u∆t1 Ε ±uε

1 tênis de mesa 0,29 s 570 ms 2,0 V 250 ms 0,003 s 1,06 ms 0,983 0,010

2 Gude 0,34 s 440 ms 2,0 V 100 ms 0,003 s 0,44 ms 0,647 0,007

3 Aço 0,31 s 200 ms 2,0 V 100 ms 0,003 s 0,42 ms 0,323 0,003

4 Pebolim 0,31 s 320 ms 2,0 V 100 ms 0,003 s 0,43 ms 0,516 0,005

Os valores obtidos para t0 podem ser visualizados na Tabela 2 na qual é

possível notar claramente que variam entre 0,29 s e 0,34 s. Esses valores deveriam

ser iguais devido ao fato de que o tempo de queda de um corpo em queda livre varia

somente com a altura e com o valor da aceleração da gravidade no local, de acordo

com a Equação (8), tal equação leva em consideração o fato de os corpos estarem

no vácuo, o que não acontece no experimento, entretanto, conhecendo-se a

pequena distância percorrida, cerca de 521 mm, não se pode inferir que a

resistência do ar tenha sido fator limitante para o erro obtido. Utilizando a equação

indicada o valor para t0 seria de 0,33 s, muito próximo dos valores encontrados

experimentalmente, logo os erros decorridos devem se relacionar ao erro do

operador. Devido ao tempo ser muito pequeno e o instrumento utilizado, um

cronômetro, não ser muito preciso, o tempo de reação de cada operador influencia

no resultado encontrado, caracterizando um erro do tipo B (sistemático).

Além do erro relacionado ao operador do cronômetro, outra fonte de incerteza

relacionada a este procedimento, que interfere nas medidas dos valores de ∆t, está

relacionada ao movimento vertical da esfera, pois este não se mantém totalmente

vertical durante as sucessivas colisões com a base de granito, pois ocorre o choque

da esfera com a parede do tubo, fazendo com que os intervalos entre os impactos

sejam menores, caso os choques com as paredes sejam inerentes ao movimento.

13

Figura 3 – ∆t1 da esfera de tênis de mesa.

Figura 4 – ∆t1 da esfera de gude.

Figura 5 – ∆t1 da esfera de aço.

14

Figura 6 – ∆t1 da esfera de pebolim.

5.2. Obtenção do coeficiente de restituição a partir do gráfico

(∆tn x n)

A Tabela 3 mostra os valores coletados dos intervalos de tempo entre impactos

consecutivos para a esfera de tênis de mesa medidos com o osciloscópio. O índice

apresentado entre parênteses após o termo ∆t representa uma referência para os

valores do teste, já que nesta etapa houve a repetição do procedimento com o intuito

de comparar os resultados deste método e verificar a influência dos erros.

Tabela 3 – Coleta de tempos de sucessivos impactos para a esfera de tênis de mesa.

Esfera tênis de mesa t0 0,29 s

N 1 2 3 4 5

∆tn (1) 550 ms 450 ms 390 ms 340 ms ---

∆tn (2) 540 ms 480 ms 420 ms 360 ms 330 ms

A Figura 7 e a Figura 8 mostram o sinal de som com o registro dos impactos

consecutivos da esfera de tênis de mesa para o 1º lançamento, sendo que na Figura

7 (a) e (b) foram medidos os valores ∆t1 (intervalo de tempo entre o primeiro e

segundo impacto) e ∆t2 (intervalo de tempo entre o segundo e terceiro impacto),

respectivamente, e na Figura 8 (a) e (b) foram medidos os valores de ∆t3 (intervalo

de tempo entre o terceiro e o quarto impacto) e ∆t4 (intervalo de tempo entre o quarto

e quinto impacto), respectivamente.

15

(a)

(b)

Figura 7 – ∆t1 (a) e ∆t2 (b) da esfera de tênis de mesa para o 1º lançamento.

(a)

16

(b)


Da Figura 9 a Figura 11 pode-se observar a forma do sinal de som com o

registro dos impactos consecutivos da esfera de tênis de mesa para o 2º

lançamento, sendo na Figura 9 (a) e (b) foram medidos os valores de ∆t1 e ∆t2,

respectivamente, na Figura 10 (a) e (b) foram medidos os valores de ∆t3 (intervalo

de tempo entre o terceiro e o quarto impacto) e ∆t4 (intervalo de tempo entre o quarto

e quinto impacto), respectivamente. Por último foi medido o valor de ∆t5 (intervalo de

tempo entre o quinto e sexto impacto) como mostrado na Figura 11.

(a)

17

(b)


(a)

(b)


18

Figura 11 – ∆t5 da esfera de tênis de mesa para o 2º lançamento.

Com os dados da Tabela 3 foram confeccionados os gráficos da Figura 12 e da

Figura 13 utilizados para o cálculo do coeficiente de restituição ε.

Figura 12 – Gráfico com ajuste de função exponencial dos dados de ∆tn (1) da Tabela 3 feito em

Microsoft Excel 2007®.

Figura 13 – Gráfico com ajuste de função exponencial dos dados de ∆tn (2) da Tabela 3 feito em

Microsoft Excel 2007®.

19

Nota-se que em ambos os gráficos o valor do coeficiente “a” conforme previsto

na equação (6) é aproximadamente o valor de 02t (em milissegundos) calculado

com a equação (1) para H = 521 mm.

A partir da função ajustada no gráfico da Figura 12 e com uso da equação (6)

para a primeira sequência de choques analisada, tem-se que ( 0,159) 0,853eε −= =

Para o gráfico da Figura 13, sendo a segunda sequência de choques analisada,

o valor calculado é ( 0,127) 0,881eε −= =

Como neste método o valor do coeficiente de restituição foi determinado com a

repetição do mesmo método de cálculo, pode-se caracterizar o erro como do tipo A

(estatístico) e então a incerteza padrão do método pode ser calculado a partir da raiz

quadrada da variância. A expressão para o cálculo da variância é dada por (7).

Assim, o valor do coeficiente de restituição ε é de 0,8670±0,0004.

As fontes de incerteza deste método estão relacionadas aos mesmos fatores

apresentados na seção anterior.

5.3. Avaliação da incerteza estatística

A Tabela 4 mostra os dados de ∆t1 de 5 lançamentos sendo que do 1º

lançamento é o mesmo da Figura 7 (a) do 2º está na Figura 9 (a) e do 3º, 4º e 5º

lançamento está na Figura 14.

Tabela 4 – Coleta de tempos repetindo para a esfera de tênis de mesa.

t0

(cronômetro)

∆t1

(osciloscópio) Volts/Div s /div ut0 u∆t1 ε ±uε

0,29 s 550,00 s 1,0 V 250 ms 0,003 s 1,06 ms 0,95 0,01

0,29 s 540,00 s 1,0 V 250 ms 0,003 s 1,05 ms 0,93 0,01

0,29 s 550,00 s 1,0 V 250 ms 0,003 s 1,06 ms 0,95 0,01

0,29 s 550,00 s 1,0 V 250 ms 0,003 s 1,06 ms 0,95 0,01

0,29 s 550,00 s 1,0 V 250 ms 0,003 s 1,06 ms 0,95 0,01

Levando em consideração os valores para o coeficiente de restituição

determinados pode-se observar que para vários choques consecutivos houve uma

grande concordância de valores e consequente precisão, entretanto houve um valor

que se distanciou do valor e é possível assim, pelo desvio padrão amostral,

determinar a incerteza associada a esse valor com a equação (7).

20

O valor de incerteza determinado foi s=0,009

Logo o valor de ε encontrado é: ε = 0,946 ± 0,009

(a)

(b)

(c)

Figura 14 – ∆t1 da esfera de tênis de mesa para o 3º(a), 4º(b) e 5º(c) lançamentos.

5.4. Medida da transferência de energia em uma colisão inelástica

A Tabela 5 mostra os valores dos intervalos de tempo entre impactos

sucessivos e suas respectivas incertezas para a esfera de borracha (“pula-pula”)

como também o valor do coeficiente de dissipação de energia para os métodos A, B

e C com suas respectivas incertezas associadas calculadas.

21

Tabela 5 – Coleta de tempos de sucessivos impactos para a esfera pula-pula.

Lançamento 1 Lançamento 2 Lançamento 3

t0 310,00 ms t0 310,00 ms t0 310,00 ms

∆t1 510 ms ∆t1 480 ms ∆t1 490 ms

∆t2 400 ms ∆t2 310 ms ∆t2 390 ms

∆t3 320 ms ∆t3 280 ms ∆t3 320 ms

∆t4 --- ∆t4 230 ms ∆t4 240 ms

∆t5 --- ∆t5 --- ∆t5 210 ms

ut0 3 ms ut0 3 ms ut0 3 ms

u∆tn 1,1 ms u∆tn 1,1 ms u∆tn 1,1 ms

R (A) 0,640 R (A) 0,624 R (A) 0,650

±uR (A) 0,008 ±uR (A) 0,008 ±uR (A) 0,011

Rmédio (A) 0,638 ± 0,009

R (B) 0,647 R (B) 0,569 R (B) 0,628

±uR (B) 0,008 ±uR (B) 0,006 ±uR (B) 0,006

Rmédio (B) 0,615 ± 0,007

R (C) 0,628 R (C) 0,647 R (C) 0,647

Coef. de ajuste 0,999 Coef. de ajuste 0,918 Coef. de ajuste 0,991

Rmédio (C) 0,641 ± 0,013

No 2º Lançamento ocorreu o contato da esfera com as paredes do tubo após o

primeiro impacto, isto pode ser verificado pelo fato dos coeficientes de dissipação de

energia darem menores que nos outros intervalos. O método A e o método C

amenizaram mais este problema, pois o método A calcula cada coeficiente de

dissipação com relação ao intervalo ∆t anterior e o método C ajusta uma curva

exponencial com os intervalos entre impactos ∆t medidos. No gráfico da Figura 18 é

nítido que o segundo ponto experimental está fora da curva e o reflexo disto está no

coeficiente de ajuste da curva que é de 0,918, o menor de todos os 4 Lançamentos

medidos (o dados do 4º encontra-se na Tabela 6). A diferença no método B é maior,

pois este método calcula o coeficiente de dissipação (diretamente relacionado com o

coeficiente de restituição, como dito nas seções anteriores deste relatório) tomando

como base na variação de tempo deste intervalo e no tempo t0, dessa forma cada

valor calculado após o problema carrega consigo o erro nos intervalos de tempo

medidos.

Dessa forma, removendo os R de cada método do 2º Lançamento, para obter

resultados que não tenham a influência dos choques com as paredes do tubo nos

valores de intervalo de tempo, tem-se que para o método A o valor do coeficiente de

22

dissipação de energia é de 0,645, para o método B é de 0,638 e para o método C é

de 0,638.

Observando-se os cálculos de R apresentados na Tabela 5, verifica-se que a

maior variação das médias dos lançamentos foi no método B (devido ao segundo

lançamento), porém os métodos continuam convergindo para o mesmo valor de R.

A Figura 15 e a Figura 16 mostram o sinal de som de impactos consecutivos

para o 1º lançamento com a esfera de borracha (bola “pula-pula”) e o gráfico

construído a partir dos ∆t medidos, respectivamente.

Figura 15 – 1º Lançamento.

Figura 16 – Gráfico Lançamento 1.

23









24



A Tabela 6 mostra os valores de ∆t1 até ∆t5 medidos a partir do 4º lançamento

da mesma esfera.

A Figura 21 mostra a medida do primeiro ∆t do 4º lançamento e a Figura 22

mostra o zoom sobre a região em torno de t=0. A Figura 23 é o gráfico exponencial

obtido com os dados dos valores de ∆t obtidos com o 4º lançamento da esfera de

borracha.

25

Tabela 6 – Coleta de tempos de sucessivos impactos para a esfera pula-pula com integral.

Lançamento 4 Integral

t0 310,00 ms

∆t1 490 ms

∆t2 384 ms

∆t3 308 ms

∆t4 268 ms

∆t5 192 ms

ut0 3 ms

u∆tn 1,1 ms

R (A) 0,628

±uR (A) 0,007

R (B) 0,625

±uR (B) 0,006

R (C) 0,640

Coef. de ajuste 0,986

Figura 21 – 4º Lançamento visualizado em 250ms, visualização dos 4 primeiros dos 5 impactos

medidos.

Figura 22 – 4º Lançamento visualizado em 25ms sobre o 1º pico de impacto.

26


Para o cálculo das integrais para o 4º Lançamento com o programa descrito no

Anexo 8.3, foram usados todos os tempos entre o primeiro e segundo impacto

(referente ao Δt1) e entre o segundo e terceiro (referente ao Δt2), os demais

intervalos sofreram influência do ruído captado pelo microfone, pois os valores de

tensão captados nestes primeiros impactos e nos instantes próximos deles foram

superiores a 1V enquanto que o módulo do ruído é na faixa de 0,24V, quando estes

valores são elevados ao quadrado, a influência do ruído é minimizada nestes casos,

o que não ocorre nos impactos mais tardios, por exemplo, a partir do 4º impacto o

pico de tensão foi abaixo de 0,8V. Tentou-se, inclusive, utilizar somente o valor de

pico e um determinado período após o pico do impacto, mas ambos os métodos se

mostraram insatisfatórios, culminando em resultados absurdos como coeficientes

maiores que 1.

Os gráficos gerados pelo programa em Matlab® com os quadrados da tensão

em função do tempo estão entre a Figura 24 e a Figura 28 para os 5 primeiros

impactos. Nota-se que a diferença entre o pico do impacto da esfera e os picos dos

ruídos diminui ao longo dos impactos.

27

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1

2

3

4

5

6

7

tempo (s)

quadra

do d

a t

ensão (

V²)

Entre 1º e 2º Impactos

Figura 24 – Gráfico Matlab® para o quadrado da tensão após 1º impacto do Lançamento 4.

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

tempo (s)

quadra

do d

a t

ensão (

V²)


Figura 25 – Gráfico Matlab® para o quadrado da tensão após 2º impacto do Lançamento 4.

28

0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

tempo (s)

quadra

do d

a t

ensão (

V²)


Figura 26 – Gráfico Matlab® para o quadrado da tensão após o 3º impacto do Lançamento 4.

1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

tempo (s)

quadra

do d

a t

ensão (

V²)



29

1.44 1.46 1.48 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 1.62 1.640

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

tempo (s)

quadra

do d

a t

ensão (

V²)



A Tabela 7 mostra os valores calculados pela integral para os intervalos de

tempo entre o primeiro e segundo impactos, entre o segundo e o terceiro impactos,

entre o terceiro e quarto impactos e por fim entre o quarto e o quinto impacto como

também os valores dos coeficientes ε e R calculados com base nestes valores

calculados numericamente.

O valor da de R mostrado na Tabela 7 correspondente a Figura 25 mostra que

a razão entre a energia do som nesta figura divida pela anterior é de 0,651 que

pertence a mesma faixa de intervalos visto nos demais métodos. No entanto os

próximos valores de R passa a ser influenciados pelo ruído captado, principalmente

o R das 2 últimas razões, o da penúltima é quase igual a zero e o da última é maior

que um, o que significa que nesta situação já não está sendo calculada a razão

entre as energias dos impactos mas sim entre as energias dos ruídos.

Tabela 7 – Resultados do cálculo da integral do quadrado da tensão de cada impacto.

Figura Resultado da integral ε R

Figura 24 0,0238 --- ---

Figura 25 0,0192 0,807 0,651

Figura 26 0,0127 0,661 0,438

Figura 27 0,0035 0,276 0,076

Figura 28 0,0038 1,086 1,179

30

5.5. Comparação de resultados e métodos

A determinação do coeficiente de restituição de materiais pode ser feita

através de diferentes métodos, cada qual com suas fontes de incerteza que

influenciam no cálculo da incerteza padrão do método utilizado. Neste relatório, são

propostos alguns desses métodos como o método de determinação através da

medida de tempo da esfera em queda livre e do intervalo de tempo entre impactos,

o método gráfico e o método da dissipação de energia em uma colisão

parcialmente inelástica, sendo este subdivido em quatro métodos denominados

Método A, Método B, Método C e Método D.

O primeiro método aqui listado foi usado para que os coeficientes de

restituição de esferas de materiais distintos pudessem ser comparados.

Observando-se as incertezas de ε de cada material, pode-se dizer que os

coeficientes de restituição dos materiais são distintos entre si, já que com o

intervalo de incerteza, nenhum material possui um coeficiente que está inserido no

intervalo de incerteza de outro material diferente.

O segundo método, relacionado ao gráfico construído a partir dos valores de

∆t medidos, foi realizado com a esfera de tênis de mesa com duas repetições das

medidas. O método resultou em um valor ε de 0,8670±0,0004 e o valor obtido no

primeiro método foi de 0,983±0,010, mas esta diferença deve-se ao valor de t0

medido no primeiro método ser feito com o cronômetro e essa medida tem um

grande erro devido ao operador do aparelho e o segundo método apresenta menor

incerteza pois o cálculo de ε não depende de t0.

O método de determinação do coeficiente através da dissipação de energia em

uma colisão parcialmente inelástica é feito utilizando quatro métodos. O método A

calcula o valor de R, coeficiente de dissipação, a partir da energia potencial

dissipada na colisão inelástica de uma esfera de borracha com uma superfície de

granito e o valor médio calculado foi de 0,638. O método B calcula este coeficiente

com base no valor de ε, isto é, sabendo que esse coeficiente é igual ao quadrado de

ε (Provado na seção 4.2.4, equação (18)) e para este método o valor calculado foi

de 0,615. Já o método C calcula o coeficiente R a partir do método gráfico

apresentado na seção 5.2 e o valor calculado neste caso foi de 0,641. Observando

as incertezas calculadas e mostradas na Tabela 5, vemos que está em torno de

0,010 e isto mostra que os métodos A e C convergem para o mesmo valor. Já o

31

método B não convergiu para o mesmo valor, pois em um dos lançamentos (já que

os resultados aqui apresentados são uma média de três lançamentos) o valor

divergiu muito em relação aos demais, devido ao choque da esfera com as paredes

do tubo. Por fim, o Método D calculou o valor de R através de uma solução numérica

da integral do quadrado da tensão correspondente ao sinal mostrado no visor do

osciloscópio. Este resultou um valor R de 0,651, valor semelhante ao encontrado

nos demais métodos. Como o valor de R depende diretamente de ε, então se pode

dizer que os quatro métodos também convergem para o mesmo valor de coeficiente

de restituição da esfera de borracha.

Os Métodos A, B, C e D foram comparados com o conceito de erro

normalizado no Anexo 8.2

6. CONCLUSÃO

Conclui-se que o coeficiente de restituição relaciona as velocidades entre dois

corpos antes e após o impacto, além disso, cada material, dependendo das

condições físicas presentes, possui um coeficiente de restituição diferente,

caracterizando realmente utilidades diferentes para cada um destes materiais na

indústria, por exemplo.

Este coeficiente está no intervalo entre 0 e 1 para os choques parcialmente

elásticos, e pode ser obtido medindo-se o tempo entre dois impactos consecutivos

com utilização de um osciloscópio.

Os valores calculados neste experimento mostraram-se eficientes, pois os

intervalos de incerteza entre eles demonstraram que os valores do coeficiente de

restituição convergem nos métodos apresentados neste relatório. Tendo ocorrido

relações diretas como previsto nos cálculos teóricos entre o coeficiente de

restituição e a energia dissipada.

32

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] ALMEIDA, J.A, et al. Análise de Perigosidade e Risco da Queda de Blocos na Serra de Sintra.Disponível em <http://geomuseu.ist.utl.pt/OG2009/Documentos%20Complementares/Congresso%20Geotecnia%20(resumos)/Congresso_Actas%20(D)/Volume%201/V1-04.pdf> . Acesso em 23 de Jul. de 2011.

[2] LIMA Junior, P.; da Silveira F. L;. Silva, M. T. X.. Medições indiretas e propagação da incerteza. Disponível em <http://www.if.ufrgs.br/~lang/semderivadas.pdf>. Acesso em 26 de Jun. de 2011.

[3] LEITE, Rogério Marques et al. Determinação dos coeficientes de restituição e deamortecimento em palmilhas para calçados esportivos.Lecturas, Educación Fisica yDeportes. v.10, n. 92. Jan. 2006.

[4] NICE, Karim. Como funcionam os testes de colisão. – HowStuffWorks.

Disponível em <http://carros.hsw.uol.com.br/testes-de-colisao3.htm>. Acesso em 21 de Jul. de 2011.

[5] HEIDRICH, Roberto M. Características mecânicas de tatames utilizados no judô. Disponível em <http://www.revistasusp.sibi.usp.br/scielo.php?pid=S1807-55092004000300002&script=sci_arttext>. Acesso em 21 de Jul de 2011.

[6] PISNITCHENKO, Feodor. Cálculo Numérico – Integração Numérica. 7 f. Notas de aula. UFABC, Santo André, Novembro 2010.

33

8. APÊNDICES

8.1. Aplicações em Engenharia

Indústria de Calçados

A utilização de calçados esportivos não está restrita à prática de esportes, pois

esta peça se tornou uma parte do vestuário diário. A utilização de palmilhas

especiais para diversas atividades pode aumentar a sensação de conforto e ajudar

na prevenção de algumas lesões (Mundermann, 2002). A fim de minimizar lesões,

projetos de materiais que dissipam mais energia (sabe-se que a dissipação de

energia está diretamente relacionada ao quadrado do coeficiente de restituição do

material) são colocados em prática nas indústrias de calçados e através de testes de

ensaios mecânicos, estes materiais são avaliados de acordo com a necessidade do

usuário e então palmilhas com características distintas são produzidas para

satisfazer tanto as necessidades do cotidiano como para esportes [3].

Teste de Colisão em veículos automotores

Na produção de veículos, assim como em outras indústrias que dependem

diretamente de materiais com características específicas que determinam a boa

funcionalidade do produto, a escolha de um material que tenha uma menor

deformação após a colisão do veículo com outra superfície é essencial para a

segurança do motorista e dos passageiros do veículo. Então em testes realizados

em fábrica, antes dos veículos prontos serem distribuídos, o realizador do teste pode

determinar, dentre as características físicas contidas neste, o coeficiente de

restituição relacionado à razão entre a velocidade do veículo antes do choque

(velocidade de aproximação) e a velocidade do veículo após o choque (velocidade

de afastamento) e assim as deformações no veículo são analisadas como também

as influências do choque na vida do motorista [4].

Produção de Tatames para lutas

Impactos gerados entre corpos são muito comuns em modalidades esportivas

como, por exemplo, no judô, jiu-jitsu entre outras que necessitam de um tatame

(superfície de queda) para a prática do esporte. Um dos fatores que favorecem para

maior segurança no esporte é a composição do material dos tatames e o objetivo

34

principal é projetar materiais que tenham propriedades físico-mecânicas que

favoreçam a absorção de energia, elasticidade e amortecimento. As empresas neste

setor, atualmente, estão incorporando às informações de dimensão, cor e densidade

do tatame, informações da capacidade de amortecimento do material que é

essencial para a segurança dos praticantes dessas modalidades de esporte [5].

8.2. Comparação de resultados e métodos com erro

normalizado

Para a comparação entre os resultados da seção 5.4 também foi utilizado o

conceito de erro normalizado dado pela equação (23):

exp

exp

2 2

teor

teor

norm

R R

R RE

u u

−=

+ (23)

Cada Rteor e Rexp tal como os respectivos u’s são tomadas tendo um método

fixo em comparação com o outro. Foram adotados os valores de R com as devidas

ponderações da seção 5.4

O erro dos métodos A e B foram tomados da Tabela 5, do método C foi tomado

o desvio padrão amostral conforme discutido na seção 5.2 mas com os dados deste

coeficiente. O erro do método D foi tomado como o desvio padrão dos cálculos com

a integração entre os impactos 1 e 2 e entre 2 e 3, pois os demais apresentam alta

influência do ruído. Os resultados estão na Tabela 8. A matriz é simétrica, pois está

sendo tomado o módulo dos valores.

Tabela 8 – Resultados do erro normalizado entre os métodos A,B,C e D.

sobre R A B C D

A 0,000 0,614 0,443 -0,040

B 0,614 0,000 0,000 -0,087

C 0,443 0,000 0,000 -0,086

D -0,040 -0,087 -0,086 0,000

Como todos os erros normalizados entre cada combinação são menores que 1,

pode-se dizer que todos os métodos são coerentes.

35

8.3. Programa em Matlab® para integração numérica

Programa desenvolvido nas aulas de cálculo numérico do prof° Feodor que

cálculo numericamente a integral definida utilizando um vetor para os pontos das

abscissas e outros com os valores da coordenadas [6].

function I = Integral_Simpson_2(X,Y) %X : vetor com os pts da abscissas; %Y : vetor com os resultados de f(X) ou pts experimentais; n = length(X)-1; m = length(Y); I = 0; if (n+1) == m if mod(n,2) == 0 for i = 1:((n)/2) I = I + ( ((X(2*i)-X(2*i-1)))/3 * (Y(2*i-1) + 4*Y(2*i) + Y(2*i+1)) ); end plot (X,Y,'r'); grid; else fprintf('n pts do intervalo deve ser ímpar'); end else fprintf('Vetores com tamanhos diferentes'); end

end

Documents

Relatório_Exp4_Dureza dos Materiais_Métodos Experimentais em Engenharia_Trim3.2