UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS

FILTRO PASSA-TUDO

CIRCUITOS ELÉTRICOS III

Marcelo Luiz Staub

São Leopoldo, 15 de outubro de 2014

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1. INTRODUÇÃO

Os filtros passa-tudo consistem em sistemas onde sinais de todas as

frequências que entram no circuito, são transmitidos para a saída, porém com

uma mudança de fase.

Geralmente estes filtros são utilizados quando é necessário realizar alguma

correção de fase.

Se, por exemplo, um circuito possui vários estágios de amplificação de

sinal, que acabam por causar mudanças de fase no sinal, pode-se colocar um

filtro passa-tudo na saída, para realizar o ajuste de fase do sinal.

2. FILTRO ALL-PASS DE PRIMEIRA ORDEM

O livro Continous Signal and Systems, de Teaan AlAli e Mohammad A. Karim,

apresenta uma topologia para um filtro All-pass, onde é aplicado apenas um

elemento armazenador de energia, em associação com resistores. A topologia

sugerida no livro é apresentada abaixo.

Figura 1: Passa-Tudo com atenuação.

Fonte: Continous Signal and Systems.

2.1 Função de Transferência

Para obtermos a função de transferência do filtro, vamos partir do circuito

equivalente da figura 2 e determinar Vo(s)/Vi(s), onde Vo(s) = V1 – V2.

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Figura 2: Passa-Tudo.

Fonte: Autor.

Passando para o domínio das frequências complexas, temos que:

Vo(s)Vi (s)

=H (s)

Vo ( s)=V 1−V 2

V 1=R2

R1+R2xVi (s)

Considerando R1 = R2 = R3 = R, a tensão V1 fica:

V 1=R2R

xVi ( s )=12xVi (s)

Já para V2, o capacitor fica representado por 1/(sC) e temos a seguinte

equação:

V 2=R

R+1sC

xVi (s )

V 2=sCRsCR+1

xVi (s )

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Equacionando V1 – V2, a tensão Vo(s) pode ser obtida:

Vo ( s)=V 1−V 2=(12 xVi ( s))−( sCRsCR+1x Vi(s))

Vo(s)Vi (s)

=H (s )=( 12 )−( sCRsCR+1 )

H (s )=−sCR+1s2CR+2

Dividindo tudo por CR:

H (s )=−s+ 1

CR

s2+2CR

Com a função de transferência determinada, é possível determinar os polos e

zeros:

Zero:

s= 1CR

Polo:

s2=−2CR

−→s=−1CR

Concluímos que o módulo do zero obtido é igual ao módulo do polo obtido.

Resultando no diagrama de polos e zeros que pode ser visto na figura 3.

Figura 3: Polo e zero do circuito passa-tudo de peimeira ordem.

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Agora precisamos arbitrar algumas condições do circuito. Vamos determinar

que a mudança de fase deve ocorrer na frequência de 1kHz. Em radianos por

segundo, w0 = 1000 x 2 x 𝛑 = 6283 rad/s.

| 1CR|=|w|=1000Hz=6283 rad / s

Ficaremos então com duas variáveis, sendo elas o valor do capacitor e do

resistor. Vamos considerar então o resistor com o valor de 1,0 ohm. Podemos assim,

calcular o valor do capacitor:

6283= 1Cx1,0

C= 16283

C=159,15uF

Assim, com os valores dos componentes definidos, a função de transferência

do circuito fica assim:

H (s )=−s+ 1

159,15 x10−6

2x (s+ 1159,15 x10−6 )

H (s )= s−6283−2 (s+6283 )

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Magnitude:

|G( jw)|dB=20 log(0,5x √w2+62832√w2+62832 )

Como o polo e o zero tem mesmo módulo, para todas as frequências, a

magnitude será de: 20xlog(0,5) bB, ou seja -6,02dB.

A figura 4 mostra o circuito com os valores definidos, para w0 = 1000 hertz.

Figura 4: Circuito defasador para frequência de 1kHz.

2.2 Diagrama de Bode

Nas figuras 5 e 6 podem ser vistos os gráficos de Ganho[dB] x

Frequência[Hz] e de Fase[°] x Frequência[Hz] da resposta em frequência do circuito

proposto.

Figura 5: Diagrama de Bode do Ganho x Frequência.

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Como esperado a partir da equação da magnitude, o Ganho do circuito

apresenta uma atenuação constante de 6dB, para todas as frequências. Isso ocorre

devido ao divisor resistivo do circuito.

Figura 6: Diagrama de Bode da Fase x Frequência.

No diagrama de Bode da Fase x Frequência, é possível verificar que a

defasagem da saída em relação à entrada, muda de acordo com a frequência do

sinal. Como era esperado, em 1kHz a defasagem é de 90°.

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2.3 Simulação no Matlab

Para verificação da resposta do circuito, também foi feito o experimento

através do Matlab, a partir da função de transferência obtida anteriormente.

O código implementado foi o seguinte:

% Início

s=tf('s');

% Atribuição de valores

R = 1;

C = 159.15E-6;

% Função de Transferência

H = (-s+1/(C*R))/(2*(s+(1/(C*R))));

grid on;

% Plotar Diagrama de Bode

bode(H)

% Fim

Figura 7: Resposta obtida no Matlab.

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2.4 Simulação no LTSpice

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Figura 8: Circuito simulado no LTSpice.

Figura 9: Resposta em frequência do circuito passa-tudo com atenuação.

A simulação realizada no LTSpice para um range de frequência entre 1Hz e

10MHz, é compatível com os resultados obtidos anteriormente. É possível visualizar

a atenuação constante de 6dB e também o comportamento da fase, onde a

defasagem de 90° ocorre em 1kHz, como era esperado.

2.5 Simulação no Multisim

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Através do Multisim, foram realizadas simulações com diferentes frequências

para o sinal de entrada a fim de se observar o comportamento da defasagem entre

os sinais de entrada e de saída.

Figura 10: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 10Hz.

Figura 11: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 200Hz.

Figura 12: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 1kHz.

Figura 13: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 5kHz.

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Figura 14: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 100kHz.

Figura 15: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 100MHz.

Com a simulação realizada no Multisim, fica muito fácil observar o

comportamento da amplitude entre os sinais de entrada e saída. Para todas as

frequências, o sinal de saída fica com a metade da amplitude do sinal de entrada.

Igualmente, o comportamento da diferença de fase entre os sinais também é

facilmente observada. Em frequências muito abaixo de 1kHz, a defasagem é

próxima a zero. A medida que a frequência do sinal de entrada é aumentada, a

defasagem também aumenta, atingindo 90° para a frequência de 1kHz. A

defasagem continua aumentando com o aumento da frequência, até chegar-se a

uma diferença de fase de 180° entre o sinal de saída e o sinal de entrada.