Reometria Capilar - PUC-RioO reômetro capilar Análise Problemas e limitações Correções Outras informações O reômetro capilar • foi o primeiro reômetro, e ainda é o método

O reômetro capilar Análise Problemas e limitações Correções Outras informações

Reometria Capilar

Grupo de Reologia - GReo

Departamento de Engenharia MecânicaPontifícia Universidade Católica - RJ

28 de julho de 2015


SumárioO reômetro capilar

descriçãoexemplo de reômetro comerical

Análisehipótesestensão cisalhantetaxa de cisalhamento e viscosidade

Problemas e limitaçõesfratura e deslizamento na parede“Shark Skin”turbulência e dissipação

CorreçõesComposição de ∆pcorreção de Bagley

Outras informações


O reômetro capilar• foi o primeiro reômetro, e ainda

é o método mais comum demedir viscosidade

• o escoamento no capilar não éhomogêneo

• impõe-se uma velocidade v nopistão, e mede-se a pressãointerna ∆p

• deseja-se determinar a vis-cosidade η em função da taxade cisalhamento γ̇

η(γ̇) =τ(γ̇)

γ̇

F

2Rb

2R

∆pe∆pL

fluido

capilar

transdutor "de pressão

termopar

pistão se move"com velocidade"conhecidaaquecedores"

elétricos

fluido


Um reômetro capilar comercial

Motor de passo

Pistão

Transdutor de pressão

"Die" e capilar

Aquecimento


Componentes

pistão extrudado

geometrias


Hipóteses

r

z

θ

R

L

p1

p2

• Regime laminar• Regime permanente• Escoamento desenvolvido

(vr = 0,vθ = 0, vz = vz(r))• Não deslizamento nas paredes• Fluido incompressível• Viscosidade independente da

pressão• Escoamento isotérmico


distribuição radial da tensão cisalhante

τrz =dpdz

r2⇒ τ(r) =

∆pL

r2

onde τ ≡ |τrz | = −τrz , e ∆p ≡ p1 − p2

na parede, i.e. em r = R,

τR = τ(R) =∆pL

R2

Logo,τ(r) = τR

rR

i.e. a tensão cisalhante é uma função linear de r , independen-temente do comportamento mecânico do material em escoa-mento.


Tratamento das grandezas mensuráveis Q e τR

Q =∫ R

0 vz(r)2πrdr =

=0︷︸︸︷π[r2vz(r)]R0 −π

∫ R0 r2

−γ̇︷︸︸︷dvz

drdr

Mudança de variáveis: r =RτRτ → dr =

RτR

dτ

Q = πR3 1τ3

R

∫ τR

0γ̇τ2dτ

Da regra de Leibnitz (diferenciação de integrais),

1πR3

d(τ3RQ)

dτR=

ddτR

∫ τR

0γ̇τ2dτ = γ̇τ2

∣∣∣τR

0= γ̇Rτ

2R

onde γ̇R ≡ γ̇(R) é a taxa de cisalhamento na parede do capilar.


equação deWeissenberg-Rabinowitschrearranjando e resolvendo para γ̇R,obtém-se

γ̇R =14γ̇aR

[3 +

d ln Qd ln τR

]onde

γ̇aR ≡ γ̇a(R) =4QπR3 =

4vz

R

é a taxa de cisalhamento aparente naparede (ou newtoniana).

0.83RR

γaR.

γ.

γR.

γa.


Cálculo da viscosidade

viscosidade

η =τR

γ̇R=πR4∆p

8LQ

[4n′

3n′ + 1

]

onde1n′

=d ln Qd ln τR

=τR

QdQdτR

.

viscosidade aparente

ηa =τR

γ̇aR=πR4∆p

8LQ

logo, η = ηa

[4n′

3n′ + 1

]

fluido power-law (η = K γ̇n−1)n′ = n, e portanto

η =τR

γ̇R=πR4∆p

8LQ

[4n

3n + 1

]

fluido newtoniano (η = µ)

n′ = n = 1

η = ηa = µ =τR

γ̇R=πR4∆p

8LQ


Comentários• As equações acima fornecem a taxa de cisalhamento e a

viscosidade, ambas na parede, em função das grandezasmensuráveis Q e τR .

• Não há hipótese constitutiva, e portanto servem para qualquermaterial.

• Os cálculos acima servem justamente para contornar adesvantagem deste escoamento, a saber, não é homogêneo (atensão e taxa de cisalhamento não são espacialmenteuniformes).

• Em princípio, a derivada

d ln Qd ln τR

=τR

QdQdτR

tem que ser avaliada, para cada τR , a partir dos dadosexperimentais Q × τR . Mas existe uma alternativa interessante;veja a transparência a seguir.


Obtendo η(γ̇) a partir do método de ponto único“single-point method”

Observa-se que γ̇ = γ̇a em r ≈ 0.83R. Como γ̇ae τ variam linearmente com r , então γ̇(0.83R) =0.83γ̇aR e τ(0.83R) = 0.83τR . Logo,

η(0.83γ̇aR) =0.83τR

0.83γ̇aR=

τR

γ̇aR= ηa(γ̇aR)± 2%

Ex.: Fluido Power-law

0.83RR

γaR.

γ.

γR.

γa.


Fratura

• Causas: perda de aderência na parede, deslizamento, in-stabilidades na entrada do capilar.

• Aparece com altas taxas de deformação (ou quando τ ≈105 Pa).


Evolução do processo de fratura com aumento de ∆p(polímero fundido)



Deslizamento na parede

• Ocorre principalmente comdispersões concentradas epolímeros fundidos.

• Teste: realizar medidascom capilares de difer-entes diâmetros, mantendoa razão L/R constante.Se ocorre deslizamento, ocapilar com menor diâmetrofornece menor valor de ηa. escorregamento + fratura


deslizamento + fratura com o aumento da vazão


“Shark Skin”

Falhas na superfície do extrudado, devidas a altas tensões


∆p = 13x105 Pa ∆p = 15x105 Pa ∆p = 25x105 Pa


Turbulência e dissipação

turbulência

• Impõe um limite para a taxa de cisalhamento.

Re =ργ̇aRR2

2η≤ 2100 v̄ =

γ̇aRR4

• Ex.: água, R = 0.5 mm→ γ̇aR,max = 17000 s−1.• Para polímeros fundidos, o limite de Re cresce, sendo muito

difícil atingir.

dissipação viscosa

• A dissipação viscosa pode gerar calor no interior do capilar• o aumento da temperatura reduz a viscosidade perto da

parede.


Distribuição de pressão∆pt = ∆pa + ∆pr + ∆pent + ∆pc + ∆psai

∆pt - queda de pressão total(medida)∆pa - queda de pressão devidaao atrito na parede (quando γ̇ <1)∆pr - queda de pressão noreservatório∆pent - queda de pressão na en-trada∆pc - queda de pressão no capi-lar∆psai - queda de pressão nasaída do capilar


comentários

• Quando o transdutor é posicionado bem próximo àentrada do “die”, ∆pa e ∆pr são desprezíveis

• ∆psai em geral é desprezível• Para L/R grandes, ∆pent é desprezível• Para L/R pequenos, ∆pent pode chegar a 70% de ∆pt

• Em geral, pode-se escrever:

∆pc = ∆pt −∆pent


Cálculo do ∆pent : correção de Bagley• mede-se ∆p com diferentes valores de L/R• extrapola-se a L/R → 0 para obter ∆pent

Exemplo:


exemplo


Campo de Tensão

Padrões de birefringência, num capilar 2D

∆p = 8× 105Pa

∆p = 25× 105Pa


Viscosidade extensional

Relação entre viscosidade extensional e ∆pent (Cogswell, 1972)

φ

r

ε̇ =4γ̇aRη

3(n + 1)∆pent

ηe =9

32η

[(n + 1)∆pent

γ̇aR

]

σ =38

(n + 1)∆pent


Primeira diferença de tensões normaisA primeira diferença de tensões normais pode ser medida a par-tir do “die swell”:

De

D

N1 = ψ1γ2 =

√8τ2

R(B6 − 1)

B =De

D−0.13

Hipóteses

• Escoamento isotérmico e in-compressível

• Sem efeitos de inércia• Forças gravitacionais e de ten-

são superficial desprezíveis• L/D > 20• Tensão ≈ 0 na saída• (De/D)N = 1.13 (Re < 2)

é descontado para encontrar o“swell” puramente elástico


Utilização do Reômetro Capilar

vantagens

• Altas taxas de deformação• Simulação de processos

(extrusão)• Geometria fechada (não

tem evaporação)• Primeira diferença de ten-

sões normais• Comportamento exten-

sional

desvantagens

• Distribuição de tensãocisalhante não homogênea

• Dificuldade em atingirbaixas taxas de defor-mação

• Só fornece função viscosi-dade em regime perma-nente

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