REPRESENTAÇÃOREPRESENTAÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃO

Gráficos de uma funçãoRepresentação gráfica

Esse gráfico apresenta a variação da taxa de desemprego relativa à população brasileira economicamente ativa entre 2006 e 2010. 

A(1, 3): tem abscissa 1, ordenada 3 e está no 1o quadrante. 

B(–1, 2): tem abscissa –1, ordenada 2 e está no 2o quadrante. 

C(–2, –2): tem abscissa –2, ordenada –2 e está no 3o quadrante.

Nesse plano, observamos: Plano cartesiano

Observe que: A cada par ordenado corresponde um único ponto no plano

cartesiano. A cada ponto do plano cartesiano corresponde um único par ordenado. Todo ponto P(x, y) do 1o quadrante

tem x > 0 e y > 0; Todo ponto P(x, y) do 2o quadrante

tem x < 0 e y > 0; Todo ponto P(x, y) do 3o quadrante

tem x < 0 e y < 0; Todo ponto P(x, y) do 4o

quadrante tem x > 0 e y < 0.

Plano cartesiano

Construção do gráfico de uma funçãoMarcamos os pontos no plano cartesiano.

Esses pontos do plano cartesiano compõem o gráfico da função f. 

x y = f(x) = x (x, y)

0

1

2

y = f(0) = 0

y = f(1) = 1

y = f(2) = 2

(0, 0)

(1, 1)

(2, 2)

a)Esse gráfico representa uma função.

Considerando D = ℝ e CD = ℝ, vejamos quais gráficos representam ou não uma função.

Exemplo

Reconhecimento dos gráficos que representam uma função

b) Esse gráfico não representa uma função.

Exemplo

Reconhecimento dos gráficos que representam uma função

c) Esse gráfico não representa uma função.Exemplo

Reconhecimento dos gráficos que representam uma função

d) Esse gráfico representa uma função.

Reconhecimento dos gráficos que representam uma função

Exemplo

OBS.: Para verificar se o gráfico é de uma função, traça-se linhas verticais por todo o gráfico. Se pelo menos uma dessas linhas cortar o mesmo em mais de um ponto, não é função.

1) Construir o gráfico da função f: A → B, definida pela lei f(x) = 2x – 3, em que A = {–1, 0, 1, 3} e B = {–5, –3, –1, 3, 7, 9}.

Para determinar os pontos (x, y) do gráfico, calculamos y = f(x) para cada x do domínio A, substituindo o valor de x na lei da função. Depois, marcamos os pontos no plano cartesiano. 

Resolução

EXERCÍCIOS

Para determinar os pontos (x, y) do gráfico, calculamos y = f(x) para cada x do domínio A, substituindo o valor de x na lei da função. Depois, marcamos os pontos no plano cartesiano. 

Resolução

x y = f(x) = 2x – 3 (x, y)

Os pontos do plano cartesiano compõem o gráfico da função f.

‒1

0

1

3

y = f(‒1) = 2 ∙ (‒1) ‒ 3 = ‒5

y = f(0) = 2 ∙ 0 ‒ 3 = ‒3

y = f(1) = 2 ∙ 1 ‒ 3 = ‒1

y = f(3) = 2 ∙ 3 ‒ 3 = 3

(‒1, ‒5)

(0, ‒3)

(1, ‒1)

(3, 3)

Análise de gráficos de funçõesIntervalos de crescimento e de decrescimento

Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 14 fev. 2011.

Intervalos de crescimento e de decrescimento

Essa reta representa uma função crescente, pois, quanto maior o valor de x, maior o valor de y.

Exemplo

Essa reta representa uma função decrescente, pois, quanto maior o valor de x, menor o valor de y.

Intervalos de crescimento e de decrescimentoExemplo

Nesse caso, a função é crescente para x ≤ 0 e decrescente para x ≥ 0.

Intervalos de crescimento e de decrescimentoExemplo

Uma função f é crescente em um intervalo do domínio se, e somente se, para quaisquer valores x1 e x2 desse intervalo, com

x1 < x2, tem-se f(x1) < f(x2).

Uma função f é decrescente em um intervalo do domínio se, e somente se, para quaisquer valores x1 e x2 desse intervalo, com

x1 < x2, tem-se f(x1) > f(x2).

Intervalos de crescimento e de decrescimento

Im(f) = {y ∈ ℝ / y ≤ 3} f tem um máximo em (2, 3).

Logo, ym = 3 é o valor máximo de f(x).

Valor máximo e valor mínimoExemplo

Im(g) = {y ∈ ℝ / y ≥ –4} g tem um mínimo em (5, –4).

Logo, ym = –4 é o valor mínimo de g(x).

Valor máximo e valor mínimoExemplo

Assim, podemos dizer que:f é positiva para x > –2;f é negativa para x < –2;f é nula para x = –2.

Estudo do sinal

2) Indicar o(s) intervalo(s) do domínio no(s) qual(is) a função f: ℝ ℝ, representada no gráfico, é crescente e o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) ela é decrescente.

EXERCÍCIOS

Resolução

A função é:• crescente em [–1, 1], pois, nesse intervalo,

quanto maior o valor de x, maior o valor de y.

• decrescente em ]–∞, –1] e [1, +∞[, pois, nesses intervalos, quanto maior o valor de x (domínio), menor o valor de y (imagem);

EXERCÍCIOS3) A função f: ℝ → ℝ está representada no gráfico abaixo.

a) Em que intervalos do domínio a função f é positiva?

b) Em que intervalos do domínio a função f é negativa?

c) Para que valores de x a função f é nula?

d) Qual é o valor mínimo de f?

Resolução

a) A função f é positiva nos intervalos ]–∞, –1[ e ]1, +∞[. b) A função f é negativa no intervalo ]–1, 1[.c) A função f é nula em x = 1 e em x = –1.d) O valor mínimo de f é –1.

Funções definidas por mais de uma sentença

Exemplo

Observe que o comportamento do gráfico varia conforme o intervalo do domínio.

f: ℝ → ℝ tal que:

Gráfico e determinação de valores

Observe que o comportamento do gráfico varia conforme o intervalo do domínio.

f: ℝ → ℝ tal que:

Funções definidas por mais de uma sentença

ExemploGráfico e determinação de valores

a) g(1)4) Considerando a função g(x) = , calcular:

a) Para x = 1, usamos a primeira sentença: g(1) = 1 + 4 = 5;

Resolução

b) g(3)

b) Para x = 3, usamos a segunda sentença: g(3) = 3 ∙ 3² = 3 ∙ 9 = 27.

EXERCÍCIOS