Resistência dos Materiais 2

PROF.: KAIO DUTRA

AULA 9-10 – DEFLEXÕES DE VIGAS E EIXOS

A Linha Elástica◦A deflexão de uma estrutura é causada por seu

carregamento interno como a força normal,força cortante, ou momento fletor.

◦Muitas vezes é interessante fazer um esboço daforma defletida da estrutura quando ela estácarregada a fim de conferir parcialmente osresultados.

◦Esse diagrama de deflexão representa a curvaelástica ou lugar geométrico dos pontos quedefine a posição deslocada do centroide daseção transversal ao longo dos membros.

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A Linha Elástica◦Normalmente é necessário, para facilitar a análise,que o diagrama de momento para a viga ouestrutura seja traçado primeiro.

◦Para isto, relembramos que:◦Um momento positivo tende a flexionar uma viga ou

membro horizontal côncavo para cima:

◦Um momento negativo tende a flexionar a viga oumembro côncavo para baixo:

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A Linha Elástica◦Na figura ao lado podemos observar algumas curvas de deflexãopara duas situações.

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Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta

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◦Convenção de sinais. Ao aplicar aequação anterior, é importante usar osinal apropriado para M comoestabelecido pela convenção de sinaisque foi usada na derivação dessaequação.

◦Também, tendo em vista que oângulo de inclinação será muitopequeno, o seu valor em radianospode ser determinado diretamente:

Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta

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◦Além disso, lembre-se que adeflexão positiva, υ, é para cima,e como resultado, o ângulo deinclinação positivo θ serámedido no sentido anti-horáriodo eixo x.

Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta

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Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta

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Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração DiretaExmplo 12.2

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Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração DiretaExmplo 12.2

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Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração DiretaExmplo 12.2

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Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração DiretaExmplo 12.2

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Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração DiretaExmplo 12.2

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Funções de Descontinuidade◦Esta seção apresenta um métodoalternativo para encontrar a equação dalinha elástica de uma viga comcarregamentos múltiplos usando umaúnica expressão.◦A fim de informar a carga da viga ou seumomento interno em uma únicaexpressão, usaremos dois tipos deoperadores matemáticos conhecidos comofunções de descontinuidade.

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Funções de DescontinuidadeFunções de Macaulay

◦Estas funções podem ser usadas paradescrever cargas distribuídas. Elas podemser escritas da forma geral:◦Onde x representa a posição de um pontoao longo da viga e a, o local da voga emque ocorre a descontinuidade, ou seja, oponto em que a carga distribuída começa.◦A integração das funções de Macalaysegue as mesmas regras das funçõescomuns.

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Funções de DescontinuidadeFunções de Macaulay

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Funções de DescontinuidadeFunções de Singularidade

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◦Essas funções são usadas apenas paradescrever a localização do ponto deforças concentradas ou conjugados queatuam sobre a viga ou um eixo.

◦De maneira similar, o conjugado Mo,considerado positivo no sentido anti-horário é representado como:

◦A integração das funções desingularidade não seguem as mesmasregras das funções comuns. Nesse casoapenas o expoente n aumenta umaunidade.

Funções de DescontinuidadeFunções de Singularidade

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◦Como exemplo de aplicação dasfunções de descontinuidade paradescrever a carrega ou o momentointerno em uma viga, consideremos aviga carregada da Figura.

Funções de DescontinuidadeFunções de Singularidade

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◦Como segundo exemplo, considerea Figura ao lado.

Funções de DescontinuidadeExemplo 12.5

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Funções de DescontinuidadeExemplo 12.5

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Funções de DescontinuidadeExemplo 12.5

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Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados

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◦Um elemento de qualquer tipo é classificado como estaticamenteindeterminado se o número de reações desconhecidas excede onúmero de equações de equilíbrio disponíveis.

◦As reações de apoio na viga ou no eixo que não são necessárias paramantê-los em equilíbrio estável são chamadas redundantes. O númerode reações redundantes é denominado grau de indeterminação.

Vigas e Eixos Estaticamente IndeterminadosMétodo da Integral Direta

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◦O método da integração direta requerduas integrações da equação diferencialda deflexão. Se a viga for estaticamenteindeterminada, M também poderá serexpresso em termos das equaçõesredundantes desconhecidas. Depois deintegrarmos essa equação, teremos duasconstantes e as reações redundantes paradeterminar.

Vigas e Eixos Estaticamente IndeterminadosMétodo da Integral Direta

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◦No caso do exemplo ao lado, existem umareação redundante, que pode ser Ay, Maou By.◦Deve-se escolher uma destas reações paraencontrar a equação do momento emfunção dela.◦Desta forma, utilizando três condições decontorno é possível encontrar as duasconstantes de integração e a reaçãoredundante.

Vigas e Eixos Estaticamente IndeterminadosMétodo da Integral Direta – Exemplo 12.17

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Vigas e Eixos Estaticamente IndeterminadosMétodo da Integral Direta – Exemplo 12.17

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Vigas e Eixos Estaticamente IndeterminadosMétodo da Integral Direta – Exemplo 12.17

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