Freitas IST 2012 Análise Elástica de Estruturas Reticuladas

7/31/2019 Freitas IST 2012 Anlise Elstica de Estruturas Reticuladas

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UNIVERSIDADE TCNICA DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR TCNICO

Anlise Elstica de Estruturas Reticuladas

Joo Antnio Teixeira de Freitas

Carlos Tiago

4 de Junho de 2012

Documento Provisrio


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ndice

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1 Introduo 1

1.1 Objectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Representao da Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Representao das Aces e da Resposta da Estrutura . . . . . . . . . . . . 61.4 Classificao das Estruturas Reticuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Modelos matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Organizao do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Simetria e Anti-simetria 132.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Decomposio da Solicitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Simetria Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 Aco Simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Aco Anti-Simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Procedimento Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Generalizao e Limitaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Relaes de Elasticidade 293.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Anlise da Viga Simplesmente Apoiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Elemento de Prtico Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Elemento de Viga Contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Elemento de Trelia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Elemento de Grelha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7 Elemento de Prtico Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.8 Aco da Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.9 Aco do Pr-Esforo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.10 Aparelhos de Libertao Elstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.11 Relaes Constitutivas da Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.12 Generalizao das Relaes de Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Indeterminao Esttica 514.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Estruturas sem Libertaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 Estruturas com Libertaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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4.4 Determinao dos Graus de Hiperestatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Natureza Vectorial dos Graus de Hiperestatia . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6 Utilizao dos Graus de Hiperestatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Anlise de Estruturas Isostticas 635.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Condies de Equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 Clculo dos Esforos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4 Clculo das Deformaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.5 Condies de Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.6 Propriedades das Condies de Equilbrio e de Compatibilidade . . . . . . . 765.7 Clculo dos Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.8 Reaces e Assentamentos de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.9 Estruturas com Libertaes Elsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.10 Aco da Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.11 Aco de Deformaes Iniciais e do Pr-esforo . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Mtodo das Foras 896.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2 Equao do Mtodo das Foras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3 Montagem da Equao do Mtodo das Foras . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Clculo dos Esforos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.5 Clculo dos Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.6 Reaces e Assentamentos de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.7 Variaes de Temperatura e Deformaes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.8 Estruturas com Elementos Rgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.9 Trabalho e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.10 Generalizao da Formulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7 Anlise da Viga Biencastrada 1317.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2 Equao Fundamental do Mtodo dos Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . 1337.3 Reformulao das Relaes de Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.4 Definio do Vector das Foras de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.5 Definio da Matriz de Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.6 Efeito das Libertaes Internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.7 Deslocamentos Nodais Dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.8 Aplicao a diferentes elementos estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8.1 Elemento de viga contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8.2 Elemento de trelia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8.3 Elemento de grelha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8.4 Elemento de prtico tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.9 Generalizao dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8 Indeterminao Cinemtica 1718.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.2 Estruturas sem Libertaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.3 Estruturas com Libertaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.4 Traado de Deformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

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8.5 Estruturas com Elementos Rgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

9 Mtodo dos Deslocamentos 191

9.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.2 Equao do Mtodo dos Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.3 Clculo dos Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049.4 Clculo dos Esforos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.5 Clculo das Reaces de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.6 Assentamentos de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089.7 Variao de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.8 Deformaes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.9 Pr-esforo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.10 Estruturas com Libertaes Elsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.11 Trabalho das Foras e dos Deslocamentos Nodais . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.12 Estruturas com Elementos Rgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.12.1 Foras nodais equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.12.2 Formulao da equao do mtodo dos deslocamentos . . . . . . . . 2259.12.3 Clculo de deslocamentos, esforos e reaces . . . . . . . . . . . . . 232

9.13 Generalizao da Formulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.14 Equilbrio, Compatibilidade e Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.15 Trabalho e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2389.16 Barras Indeformveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2389.17 Barras com Troos Rgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.18 Barras com Libertaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

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Captulo 1

Introduo

1.1 ObjectivoA anlise estrutural a fase de um processo de engenharia em que so quantificadas

as variveis que caracterizam o comportamento da parte resistente, ou estrutura, de umaconstruo j edificada ou a construir. Essas variveis podem ser determinadas experi-mentalmente, sobre a estrutura existente ou recorrendo a um modelo fsico da estrutura aconstruir, ou utilizando um modelo matemtico que simula esse comportamento, o qual geralmente bastante complexo e cuja caracterizao envolve frequentemente muitas incer-tezas.

Este texto de introduo aos mtodos de anlise estrutural cobre apenas o modelomatemtico mais simples, o modelo definido por um sistema de peas lineares, geralmente

designado porestrutura reticulada

. Para alm disso, admite-se que o comportamento daestrutura linear, isto , que o comportamento mecnico dos elementos estruturais elstico linear, a hiptese de linearidade fsica, e que so muito pequenos os deslocamentose as deformaes que se verificam nos elementos estruturais, a hiptese de linearidadegeomtrica.

Admite-se ainda que se conhecem todas as caractersticas geomtricas e mecnicasdos elementos estruturais e que a solicitao que actua sobre estrutura determinstica eest univocamente caracterizada. Admite-se, finalmente, que essa solicitao provoca umcomportamento estrutural quasi-esttico, isto , que so desprezveis os efeitos variveisno tempo, designadamente as foras de inrcia e de amortecimento.

Por aco entende-se tudo o que possa alterar os campos de tenso e/ou de extenso em

qualquer parte da estrutura, como, por exemplo as sobrecargas, o pr-esforo de elementosestruturais, as variaes trmicas e os assentamentos nos apoios da estrutura. A informaoque se pretende obter de uma anlise estrutural o valor e a distribuio das grandezas quecaracterizam a resposta da estrutura a uma dada aco, designadamente os esforos, asdeformaes e os deslocamentos nas seces das peas lineares, tipicamente vigas e pilares,e as reaces nos apoios que simulam a ligao da estrutura fundao.

Apesar das hipteses simplificativas em que se baseia, o modelo resultante frequente-mente utilizado na anlise de estruturas reais, como as estruturas de edifcios e de pontes,pois a informao que proporciona suficiente para fins de verificao dos critrios de segu-rana. Acresce que o grau de preciso que assegurado na definio dessa informao oadequado para fins de aplicao prtica, desde que o conjunto de hipteses seja apropriado

para o caso em estudo, o que sucede frequentemente em situaes normais de servio dasestruturas.

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2 Introduo

Para obter essa informao, os problemas de anlise estrutural devem ser formuladose resolvidos usando os mtodos que assegurem a mxima eficcia dos meios disponveis.A concepo que aqui se adopta visa a soluo dos problemas de anlise estrutural em

computador. vantajoso, nesse contexto, formular matricialmente o problema da anlisede estruturas, o que justifica a designao alternativa de Anlise Matricial de Estruturaspara a abordagem aqui seguida.

Uma outra designao tambm frequentemente utilizada a de Clculo Automtico deEstruturas, pois a concepo da formulao do problema de anlise estrutural determi-nada pelo objectivo de potenciar a sistematizao e a automatizao das trs fases de umprocesso de anlise estrutural por computador: a definio do problema, isto , a definiodos dados sobre a estrutura e o carregamento; a formulao e a resoluo do problema, oque no contexto da modelao matemtica corresponde a calcular e a resolver o sistema deequaes que caracteriza o comportamento da estrutura; e a apresentao dos resultados,o que na anlise de estruturas reticuladas corresponde a representar e quantificar a defor-mada da estrutura e a distribuio dos esforos nos elementos estruturais e nas reacesnos apoios.

O modelo matemtico do comportamento linear de estruturas reticuladas tipicamentedescrito por equaes diferenciais s derivadas parciais, existindo diversos mtodos para oresolver atravs de um sistema de equaes algbricas equivalentes. O que distingue essesmtodos so as variveis do problema seleccionadas para incgnitas. So aqui tratadosos dois principais mtodos de anlise estrutural, designadamente o mtodo das foras e omtodo dos deslocamentos.

1.2 Representao da Estrutura

Como se ilustra na figura 1.1a, a representao de uma estrutura reticulada idealizadarecorrendo a quatro tipos de elementos: as peas lineares, que recebem as cargas e astransmitem ao meio de fundao, os ns rgidos, que ligam as peas lineares entre si e fundao, os aparelhos de libertao, que permitem controlar os esforos em determinadasseces das peas lineares, e os aparelhos de ligao, geralmente designados por apoios,que caracterizam as condies de ligao da estrutura ao meio de fundao.

Uma pea linear, tambm designada por pea prismtica, um elemento estrutural emque a dimenso longitudinal muito superior s suas dimenses transversais, como as vigase os pilares, que funcionam predominantemente flexo e compresso, respectivamente. representada pelo seu eixo, ao qual se atribui um sistema de referncia utilizado na mediodas quantidades vectoriais que caracterizam o seu comportamento. Por simplicidade, eporque traduzem a situao prtica mais corrente, admite-se geralmente que as peaslineares tm eixo recto e seco constante. As peas curvas podem ser aproximadas porum conjunto adequado de segmentos rectos e as peas de seco varivel por um conjuntode peas de seco constante, como se ilustra nas figuras 1.2 e 1.3.

Os ns rgidos representam os pontos de interseco dos eixos de peas lineares ad-jacentes, podendo ou no ter uma representao fsica na estrutura real. Em termos demodelao estrutural, a sua principal funo identificar as peas lineares contnuas queformam a estrutura. Como adiante se poder verificar, a sistematizao do clculo muitofacilitada se se admitir que as peas lineares so contnuas, isto , que no tm libertaes

nem apoios no vo. desta condio que decorre a discretizao em duas peas linearescontnuas da barra articulada na estrutura representada na figura 1.1.

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1.2. Representao da Estrutura 3

(a) Representao grfica da estrutura e cargas.

(b) Discretizao da estrutura.

Figura 1.1: Estrutura e respectiva discretizao.

(a) Eixo curvo. (b) Aproximao do eixo curvo.

Figura 1.2: Discretizao de uma pea curva.

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4 Introduo

(a) Alado da pea.

(b) Discretizao atravs de peas de seco constante.

Figura 1.3: Discretizao de peas com seco varivel.

Os aparelhos de libertao so sistemas que permitem deslocamentos relativos entreas seces transversais de peas lineares, podendo representar uma idealizao de clculo

ou dispositivos construtivos concebidos para esse efeito. Os aparelhos de libertao soutilizados para controlar directamente o esforo correspondente ao movimento relativo quepermitem. Esto, por isso, tipicamente associados a um dos seis esforos que se podemdesenvolver numa seco transversal de uma estrutura reticulada, designadamente as duascomponentes do momento flector, as duas componentes do esforo transverso, o esforoaxial e o momento torsor, como representado na figura 1.4.

A rtula, ou articulao, um aparelho que permite a rotao relativa entre duasbarras, podendo essa rotao ser livre em relao a um ponto (rtula esfrica) ou a umeixo (rtula cilndrica). O encastramento deslizante um aparelho que permite a translaorelativa entre duas barras, perpendicularmente ao seu eixo e no plano que as contm. Alibertao axial um aparelho que permite a translao relativa entre duas barras, segundoo eixo comum a essas barras. Um aparelho de libertao diz-se ser perfeito se o movimentorelativo que permite livre, independentemente do valor do esforo correspondente. Dizem--se elsticos se esse movimento proporcional ao esforo correspondente.

As representaes usuais dos aparelhos de libertao perfeitos e elsticos so as indica-das nas figuras 1.5 e 1.6.

O mesmo tipo de representao pode ser utilizado para estruturas planas ou tridimen-sionais, desde que, no caso das libertaes de momento flector e de esforo transverso, seindique expressamente qual o movimento ou movimentos permitidos. Como as libertaesde esforo axial e de momento torsor esto associadas a esforos e movimentos segundoo eixo da pea, a sua representao esquemtica tem de especificar univocamente o seucomportamento, sendo tambm necessrio distinguir inequivocamente as rtulas esfricase as rtulas cilndricas na modelao de estruturas espaciais.

Qualquer dos aparelhos de libertao acima referidos, os quais so combinveis parasimular libertaes mltiplas de esforos, pode tambm ser utilizado para simular as con-dies de apoio da estrutura, bastando para tal introduzir uma combinao apropriada deaparelhos de libertao entre o n e a fundao da estrutura. Por combinao apropriadaentende-se um conjunto de aparelhos de libertao que permita os mesmos movimentos, namesma direco e sentido, que os aparelhos de apoio reais, e que sejam portanto capazesde absorver o mesmo tipo de esforos, ou reaces de apoio.

Os aparelhos de apoio, ou de ligao, so sistemas que impedem, total ou parcialmente,os deslocamentos dos ns de extremidade de uma pea linear ligada ao meio de fundao,

podendo tambm representar uma idealizao de clculo ou um dispositivo construtivoespecfico, como se ilustra na figura 1.6. O movimento que est impedido ou restringido

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1.2. Representao da Estrutura 5

Figura 1.4: Aparelhos de libertao.

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6 Introduo

Representao

Esforo noabsorvvel

Movimentopermitido

Momento Flector Esforo Transverso Esforo Axial

Figura 1.5: Representao de aparelhos de libertao perfeitos.

M

N

u

Vv

Figura 1.6: Representao de aparelhos de libertao elsticos.

provoca o desenvolvimento de uma fora, ou momento, que define a reaco transmitidaao meio de fundao.

Podem desenhar-se aparelhos de ligao que restringem apenas um ou qualquer com-binao dos seis movimentos possveis no espao, designadamente trs translaes e trsrotaes. Definem-se na figura 1.8 os aparelhos de apoio mais utilizados na modelao deestruturas reticuladas, designadamente, o encastramento total, que impede todos os movi-mentos do n, o encastramento deslizante, que permite apenas a translao no sentido dalibertao, o encastramento de rotao, que impede a rotao do n segundo o eixo normalao aparelho, o apoio fixo, que impede as translaes do n, e o apoio mvel que impede atranslao segundo o eixo do aparelho. Tal como os aparelhos de libertao, os aparelhosde ligao tambm podem ser perfeitos ou elsticos. Uma ligao diz-se ser perfeita sefor rgida, isto , se impedir o movimento correspondente. Diz-se ser elstica se o movi-mento que restringe for proporcional reaco correspondente, sendo esse comportamento

representado inserindo uma mola segundo esse movimento, linear ou angular.

1.3 Representao das Aces e da Resposta da Estrutura

As aces a que uma estrutura reticulada pode estar sujeita podem ser transmitidasatravs das peas lineares, as cargas de vo, e dos ns, as cargas nodais. So exemplos decargas de vo o peso prprio e as sobrecargas decorrentes das funes da estrutura, o pr-esforo de elementos estruturais, as variaes trmicas nesses elementos. So exemplo decargas nodais as foras e os momentos aplicados nos ns, ou os deslocamentos e as rotaesa impostos, designadamente as cedncias nos apoios. por vezes conveniente falar em

foras generalizadas, ou simplesmente foras, para incluir numa mesma designao forase momentos, concentrados ou distribudos. O conceito de deslocamento ou deslocamento

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1.4. Classificao das Estruturas Reticuladas 7

Figura 1.7: Aparelhos de apoio.

generalizado utilizado no mesmo sentido, agora em termos de componentes de movimento.Admite-se na anlise estrutural que a aco conhecida, sendo o objectivo central

determinar os deslocamentos e os esforos que provocam. Esta informao pode ser pro-porcionada ao analista numericamente, definindo os valores determinados para os deslo-

camentos em determinados ns da estrutura, ou graficamente, representando a deformadada estrutura, a qual descreve o movimento e mudana de forma do conjunto dos elementosestruturais. Analogamente, os esforos podem ser definidos numericamente em seces se-leccionadas ou representados por diagramas que definem a sua variao ao longo das peas.As reaces so definidas numericamente e atribudas aos apoios em que se desenvolvem,utilizando-se o mesmo procedimento relativamente s deformaes.

1.4 Classificao das Estruturas Reticuladas

As estruturas reticuladas so usualmente classificadas em estruturas planas ou espa-ciais, ou tridimensionais, consoante os elementos estruturais existam ou no num mesmoplano. Em cada caso, podem ser classificadas de acordo com o conjunto de esforos quecaracterizam o seu comportamento, o qual decorre das aces a que esto sujeitas e damaneira como os elementos estruturais se ligam entre si e ao meio de fundao.

O modelo de estrutura articulada, ou trelia, o modelo mais simples, em que se admiteque as peas lineares esto apenas sujeitas a esforo axial. Tal pressupe que a estruturaest sujeita apenas a foras aplicadas nos ns e que todas as barras se ligam entre si e aomeio de fundao por rtulas globais, como se ilustra na figura 1.9. A rtula global arepresentao usada para indicar que todas as barras incidentes num n, excepto uma, searticulam nesse n.

O modelo de viga contnua aplica-se a vigas com dois ou mais tramos que funcionam

predominantemente flexo, como se ilustra na figura 1.10. Admite-se que a pea rectae que as aces envolvem apenas foras transversais ao eixo e momentos no plano da viga,

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8 Introduo

Representaodo aparelho

de apoio

Movimento(s)restringido(s)

Designao Representao alternativa

ou

Encastramento

Encastramentodeslizante ()

Encastramentodeslizante ()

Apoio fixo

Apoiomvel ()

Apoio

mvel ()

Encastramentodeslizante

Figura 1.8: Representao dos aparelhos de apoio rgidos.

Figura 1.9: Trelia plana.

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1.4. Classificao das Estruturas Reticuladas 9

Figura 1.10: Viga contnua.

Figura 1.11: Modelo de grelha.

Figura 1.12: Estrutura porticada tridimensional.

de modo a assegurar que nulo o esforo axial em todos os outros elementos estruturais.

O modelo de grelha aplica-se a estruturas reticuladas planas actuadas por foras per-pendiculares a esse plano e a momentos em torno de eixos existentes nesse plano, como seindica na figura 1.11. Os elementos estruturais funcionam, portanto, flexo e ao corte,no sentido das cargas aplicadas, e toro. O esforo axial e a flexo e o corte no planoda estrutura so nulos por se admitir que so nulas as foras aplicadas nesse plano e osmomentos segundo eixos que lhe sejam ortogonais.

O modelo de estrutura porticada plana, exemplificado na figura 1.1, aplica-se a estru-turas reticuladas planas sujeitas a um sistema de foras complementar do descrito para asgrelhas. Os elementos estruturais funcionam, portanto, flexo e ao corte, no plano daestrutura, e ao esforo axial. A toro, a flexo e o corte fora do plano da estrutura sonulos por se admitir que so nulas as foras ortogonais a esse plano e os momentos segundoeixos que nele existam. O modelo de estrutura porticada tridimensional, representado nafigura 1.12, o mais geral e aplica-se a todas as situaes em que os elementos estruturaisesto sujeitos flexo e ao corte em dois planos, ao esforo axial e toro. Esse compor-tamento pode verificar-se em estruturas que existam num plano mas em que a aco, as

ligaes dos elementos estruturais entre si e fundao ou a prpria assimetria das secestransversais das peas induzam um comportamento tridimensional.

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10 Introduo

1.5 Modelos matemticos

A anlise estrutural a disciplina da engenharia de estruturas vocacionada para a de-

terminao da resposta de uma estrutura a uma dada aco. O modelo matemtico aferramenta mais poderosa a que um analista pode recorrer para caracterizar o comporta-mento de uma estrutura: simples de formular e de compreender, se se associar sempreessa formulao ao fenmeno fsico em estudo, geral, pois aplica-se a todos os problemasque cumpram as hipteses do modelo, e pode ser resolvido com grande economia e rapidezatravs dos meios de clculo disponveis.

por isso fundamental que no se olhe para uma equao da anlise estrutural comouma frmula matemtica com origem duvidosa e utilidade incerta, mas como uma relaofsica muito clara entre quantidades que descrevem o comportamento de uma estrutura. Nopresente contexto, so fundamentalmente trs os tipos de equao presentes num modeloestrutural:

a) As equaes de equilbrio, que relacionam as foras generalizadas que constituem a aco(foras exteriores) com os esforos (foras interiores) nos elementos estruturais;

b) As equaes de compatibilidade, que relacionam os deslocamentos generalizados (movi-mento) com as deformaes (mudana de forma) dos elementos estruturais;

c) As equaes de elasticidade, que relacionam os esforos com as deformaes, sendo essarelao unvoca para materiais elsticos lineares.Estas equaes definem as trs leis que determinam o comportamento das estruturas.

So simples em conceito, tm um significado fsico claro e at intuitivo, e a sua compreen-so e manipulao exige apenas a formao adequada num nmero limitado de disciplinas,designadamente: Esttica e Resistncia de Materiais, para compreender o modelo de com-portamento da estrutura; lgebra Linear, por permitir exprimir as equaes do problema

da forma compacta e sistemtica; Programao, por ser bastante simples automatizar osmtodos de anlise estrutural que aqui so abordados.

A sistematizao de procedimentos, isto , a explicitao passo a passo do algoritmode soluo, envolvendo cada um deles um mesmo conjunto de operaes, essencial paraassegurar a eficcia computacional de um mtodo de clculo. Essa opo, que tem ne-cessariamente de ser aqui seguida, pode suscitar a propenso para aprender como se fazsem compreender porque se faz. A questo no saber fazer os clculos, essa a funodo computador, mas saber se os resultados obtidos so coerentes com o problema que sepretende resolver. So frequentes os erros cometidos na entrada de dados e na escolhadas opes de modelao oferecidas pelos programas de clculo disponveis no mercado. Aapreciao crtica dos resultados s pode ser feita conhecendo e compreendendo o mtodo

de clculo utilizado nesses programas, ou seja, os fundamentos, a lgica e a estratgia dosmtodos de anlise estrutural em que esses programas se baseiam.

1.6 Organizao do Texto

Este texto de introduo anlise elstica linear de estruturas reticuladas est organi-zado de modo a iniciar o estudo pelo mtodo de anlise estrutural mais intuitivo, o mtododas foras, e abordar depois o mtodo que mais facilmente automatizvel, o mtodo dosdeslocamentos, no qual se baseia a maioria dos programas de anlise estrutural. No en-tanto, para estabelecer a terminologia e para caracterizar o problema da anlise elstica

linear esttica de estruturas reticuladas, comeou-se, ainda neste captulo, por resumir asdefinies e as hipteses bsicas, e sistematizar a representao do modelo estrutural.

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1.6. Organizao do Texto 11

Os conceitos envolvidos no segundo captulo apelam ao entendimento do comporta-mento de estruturas reticuladas, ainda sem qualquer preocupao de quantificar esse com-portamento. Recorre-se, para isso, aos conceitos intuitivos de simetria e anti-simetria,

aplicados agora aos campos vectoriais que descrevem o movimento e o sistema de forasinteriores em estruturas reticuladas. Define-se o que se entende por estruturas simtri-cas, discute-se a sua resposta a aces simtricas e anti-simtricas e conclui-se sobre assimplificaes de clculo que da podem decorrer.

No terceiro captulo caracteriza-se o comportamento do elemento estrutural que tipi-fica as estruturas reticuladas, a pea linear. So introduzidos dois conceitos, os esforosindependentes e as deformaes independentes, os quais so fundamentais para atingir doisobjectivos centrais. O primeiro substituir o sistema de equaes diferenciais que defineo comportamento da estrutura por um sistema de equaes algbricas equivalente, o maisadequado para processamento automtico. O segundo criar as condies necessrias parasistematizar o clculo: a caracterizao que se obtm para a caracterizao do comporta-

mento da pea linear vlida para todas as peas de qualquer estrutura reticulada.Os dois captulos seguintes incidem sobre matrias introdutrias posterior apresen-

tao do mtodo das foras (Captulo 6), designadamente a determinao dos graus dehiperestatia de estruturas reticuladas (Captulo 4) e o clculo de deslocamentos em estru-turas isostticas (Captulo 5). O primeiro conceito o que determina a identificao dasincgnitas do mtodo das foras, designadamente as reaces de apoio e/ou os esforos quetornam a estrutura hiperesttica. Essas foras e/ou esforos so desconhecidos, sendo porisso designadas por foras indeterminadas ou foras hiperestticas da estrutura. No en-tanto, os deslocamentos, ou os deslocamentos relativos correspondentes, so conhecidos. esta a informao que utilizada para resolver a indeterminao das foras hiperestticas.

Assim, a estratgia do mtodo consiste, fundamentalmente, em libertar as foras hipe-restticas para converter a estrutura numa estrutura isosttica equivalente, designada porestrutura-base. Esta estrutura depois analisada combinando dois carregamentos, a acodada (conhecida) e o conjunto das foras hipertticas (ainda desconhecidas). Calculam-se depois os deslocamentos correspondentes s foras hiperestticas e impe-se que sejamidnticos aos que se verificam na estrutura hiperesttica em anlise. O sistema de equaesque da resulta o sistema resolvente do mtodo das foras e a soluo assegura que a de-formada da estrutura-base seja idntica deformada da estrutura hiperesttica em anlise.Como o nmero de incgnitas do sistema resolvente depende do grau de hiperestatia daestrutura e todos os seus coeficientes do sistema so determinados calculando deslocamen-tos em estruturas isostticas, estes dois conceitos so introduzidos nos Captulos 4 e 5,respectivamente, antes de expor a estratgia e a sistematizao do mtodo das foras, noCaptulo 6.

semelhante a organizao adoptada para a apresentao do mtodo dos desloca-mentos. Neste mtodo escolhem-se para incgnitas os deslocamentos livres nos ns daestrutura, os deslocamentos indeterminados da estrutura, e explora-se o facto de serem co-nhecidas as foras correspondentes. A estratgia do mtodo consiste em definir a estruturacinematicamente determinada correspondente estrutura a analisar, isto , a estruturaque se obtm quando se bloqueiam todos os deslocamentos indeterminados, a qual definea estrutura-base, e assegurar que as foras que nela se geram quando actuada por cadaum dos deslocamentos indeterminados e pelo carregamento dado recuperam o sistema deforas aplicado estrutura em anlise.

Portanto, para calcular os coeficientes do sistema resolvente do mtodo dos desloca-mentos necessrio conhecer as foras que se desenvolvem nos ns de uma pea linear

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12 Introduo

sujeita a dois tipos de aces: a aco das cargas dadas quando so nulos os deslocamentosnodais e a aco independente de cada um dos deslocamentos nodais. Essa a informaoque se rene no Captulo 7. Para alm disso, necessrio identificar as incgnitas do pro-

blema, isto , quantos e quais so os deslocamentos nodais indeterminados da estruturaem anlise. Esse problema, de determinar o grau de indeterminao cinemtica de umaestrutura reticulada, abordado no Captulo 8. Com base nesta informao, apresenta-seno Captulo 9 a estratgia e a sistematizao do mtodo dos deslocamentos.

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Captulo 2

Simetria e Anti-simetria

2.1 IntroduoSo diversas as razes que justificam a opo pela construo de estruturas simtricas,

isto , estruturas com uma topologia (arranjo dos elementos estruturais), com condiesde apoio e com propriedades geomtricas e mecnicas simtricas em relao a um ponto,a um eixo ou a um plano.

Em regime linear, uma estrutura simtrica sujeita a uma aco simtrica responde detal maneira que todas as grandezas vectoriais que caracterizam essa resposta mantm essapropriedade de simetria. Complementarmente, se uma estrutura simtrica sujeita a umaaco anti-simtrica o seu comportamento linear tambm anti-simtrico.

Estes resultados so teis de dois pontos de vista distintos. O primeiro o de permitirem

simplificar a anlise do problema: basta resolver metade da estrutura e inferir, por simetriaou anti-simetria, o comportamento da outra metade da estrutura. O segundo aspecto queinteressa relevar o de permitir ao analista verificar os resultados obtidos e ajuizar seos erros que detecta nos resultados obtidos, em termos da simetria ou da anti-simetriaesperada, resultam de insuficincias de preciso numrica ou de erros na caracterizao doproblema estrutural.

Comea-se neste captulo por definir as trs formas de simetria mais comuns, em relaoa um ponto, a um eixo e a um plano, e caracterizam-se depois as condies que definem asimetria de uma estrutura reticulada. Os conceitos de simetria e anti-simetria so tambmutilizados para decompor uma aco em duas parcelas complementares, simtrica e anti-simtrica, explorando o princpio da sobreposio de efeitos, vlido para a anlise linear de

estruturas. O comportamento das estruturas simtricas e as simplificaes decorrentes doefeito de aces simtricas e anti-simtricas depois analisado para a forma de simetria maiscomum, a simetria em relao a um eixo. O captulo termina com uma breve apreciaodas vantagens e desvantagens do recurso s simplificaes de simetria em anlise estrutural.

2.2 Definies

As propriedades de um conjunto de quantidades, referido ao sistema de coordenadasx apresentam uma distribuio simtrica em relao a um novo sistema de coordenadasy, com a mesma origem de x, se essas propriedades se repetem em ambos os sistemas. O

elemento de simetria poder ser a origem do sistema (simetria em relao a um ponto ),ao eixo xj (simetria em relao a um eixo ) ou ao plano xj = 0 (simetria em relao a um

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14 Simetria e Anti-simetria

plano), consoante a posio relativa entre os sistemas x e y:

Ponto (origem): y1 = x1; y2 = x2; y3 = x3.Eixo (x3) : y1 = x1; y2 = x2; y3 = +x3.Plano (x3 = 0) : y1 = +x1; y2 = +x2; y3 = x3.

Uma estrutura reticulada diz-se ser simtrica em relao a um ponto, a um eixo oua um plano, quando existir em relao a esse elemento: a) Simetria da topologia, isto ,da distribuio das barras; b) Simetria na distribuio dos aparelhos de libertao inte-rior e exterior; c) Simetria das propriedades geomtricas e mecnicas entre cada elementoestrutural e a sua imagem. Os trs casos de simetria esto ilustrados na figura 2.1, ondeimplicitamente se admite a condio de simetria das propriedades geomtricas e mecnicas.

Uma solicitao f diz-se ser simtrica em relao a um ponto, eixo ou plano se a cada

elemento referido ao sistema x corresponde um complemento referido ao sistema y tal que:

Ponto (origem): Fy 1 = Fx 1; Fy 2 = Fx 2; Fy 3 = Fx 3.Eixo (x3) : Fy 1 = Fx 1; Fy 2 = Fx 2; Fy 3 = +Fx 3.Plano (x3 = 0) : Fy 1 = +Fx 1; Fy 2 = +Fx 2; Fy 3 = Fx 3.

A relao complementar define a solicitao anti-simtrica:

Ponto (origem): Fy 1 = +Fx 1; Fy 2 = +Fx 2; Fy 3 = +Fx 3.

Eixo (x3) : Fy 1 = +Fx 1; Fy 2 = +Fx 2; Fy 3 = Fx 3.Plano (x3 = 0) : Fy 1 =

Fx 1; Fy 2 =

Fx 2; Fy 3 = +Fx 3.

A solicitao pode ser uma fora generalizada (fora ou momento) ou um deslocamentogeneralizado (deslocamento linear ou angular). Os trs casos de simetria a anti-simetriaesto representados na figura 2.2.

2.3 Decomposio da Solicitao

Como o princpio da sobreposio estabelece que a resposta de uma estrutura comcomportamento linear independente da ordem pela qual se aplicam as aces, qualquersolicitao assimtrica sobre uma estrutura simtrica pode ser decomposta em duas parce-las, uma simtrica e a outra anti-simtrica, em relao ao elemento de simetria da estrutura.Essa decomposio pode ser definida da maneira seguinte, como se ilustra na figura 2.3.(a) A parcela simtrica igual soma da metade da solicitao com metade do seu com-

plemento simtrico;(b) A parcela anti-simtrica igual soma da metade da solicitao com metade do seu

complemento anti-simtrico.

Exerccio 2.1. Analise a decomposio de uma aco assimtrica nas parcelas sim-trica e anti-simtrica para os seguintes casos:

(i) Variao de temperatura uniforme ao longo da seco da pea;(ii) Variao de temperatura linear ao longo da seco da pea;

(iii) Assentamentos de apoio.

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2.3. Decomposio da Solicitao 15

x1

x2

x3 y1

y2

y3

(a) Simetria de ponto.

x1 x2

x3 y3y1y2

(b) Simetria de eixo.

x1 y1

x3 y3x2

y2

(c) Simetria de plano.

Figura 2.1: Os diferentes tipos de simetria.

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x1

x1

x1

x1

x1x1

x2

x2

x2

x2

x2x2

x3

x3

x3

x3

x3x3

y1

y1

y1

y1

y1

y1

y2

y2

y2

y2

y2

y2

y3

y3

y3

y3

y3

y3

(a) Simetria de ponto. (b) Anti-simetria de ponto.

(c) Simetria de eixo. (d) Anti-simetria de eixo.

(e) Simetria de plano. (f) Anti-simetria de plano.

Figura 2.2: Simetria da solicitao.

2.4 Simetria Axial

A estrutura representada na figura 2.4 satisfaz as condies de simetria em relaoao eixo x3 y3, tendo-se optado por orientar os elementos estruturais em relao aossistemas x e y (o que no estritamente necessrio). Este exemplo vai ser usado paracaracterizar a resposta de uma estrutura com um eixo de simetria sujeita separadamente aaces simtricas e a aces anti-simtricas. Dessa caracterizao vo resultar as condies

que necessrio assegurar para analisar apenas metade da estrutura e para inferir, porconsideraes de simetria ou de anti-simetria, o comportamento da metade da estruturano analisada explicitamente.

2.4.1 Aco Simtrica

Da simetria da estrutura e da solicitao resulta que um ponto da estrutura e a sua ima-gem, por exemplo os pontos A e B na figura 2.5, sofrem deslocamentos iguais segundo umadireco paralela ao eixo de simetria, sendo tambm iguais mas agora de sinais contrriosas rotaes e os deslocamentos segundo a direco normal ao eixo.

Por outras palavras, simtrico o campo de deslocamentos em estruturas simtricas

simetricamente solicitadas. Em consequncia das relaes de compatibilidade, simetriado campo de deslocamentos corresponde um campo de deformaes simtrico. A simetria

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2.4. Simetria Axial 17

q

p

M1

M2

F

H

(a) Aco assimtrica.

q2

q2

p2

M12

M12

F

(b) Parcela simtrica.

q2

q2

p2

p2

M12

M12

M2H

(c) Parcela anti-simtrica.

Figura 2.3: Decomposio de uma aco assimtrica.

x3 y3 x2y2

Figura 2.4: Prtico simtrico em relao a um eixo.

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configurao indeformadaconfigurao deformada

A

A

B

B

A

2 A

3

B

2B

3

A1 B1

x3 y3

x2y2

Figura 2.5: Simetria da deformada.

NAVA

MA

NBVB

MB

Figura 2.6: Simetria das foras internas.

dos campos de deslocamentos e de deformaes ilustrada na figura 2.5 e a do campo deesforos na figura 2.6.

A relao de elasticidade permitiria concluir que os campos de foras interiores sotambm simtricos, pois esto directamente associados s deformaes compatveis comos deslocamentos simtricos. Uma justificao mais intuitiva que se o sistema de forasaplicado estrutura simtrico, tambm o so as reaces de apoio e os sistemas de forasinteriores obtidos para qualquer diagrama de corpo livre (simtrico) da estrutura, como seilustra na figura 2.6.

Conclui-se, portanto, e em consequncia das convenes adoptadas na medio dosesforos, que os diagramas de momento flector so simtricos em traado e que os diagramasde esforo axial e de esforo transverso so, respectivamente, simtricos e anti-simtricosem valor, independentemente da orientao adoptada para os elementos estruturais.

Com base nestes resultados, pode-se concluir sobre o movimento dos pontos sobre oeixo de simetria da estrutura e sobre as deformaes e os esforos de peas que coincidamcom esse eixo.

Como as rotaes e os deslocamentos perpendiculares ao eixo de simetria tm sinaiscontrrios, na vizinhana de pontos que existam sobre o eixo de simetria, como o ponto Cdafigura 2.5, a continuidade fsica da estrutura permite concluir que em estruturas simtricassimetricamente solicitadas, so nulas as rotaes e os deslocamentos perpendiculares ao eixode simetria em pontos da estrutura existentes sobre esse eixo. O deslocamento segundoo eixo de simetria ser livre se, na estrutura dada, no estiver sujeito a uma ligao que

impea esse movimento. anlogo o raciocnio que leva caracterizao do campo de esforos em peas coin-

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cidentes com o eixo de simetria da estrutura. Como os momentos e as foras perpendi-culares ao eixo tm sinais contrrios, a continuidade desses campos exige que sejam nulosos momentos flectores e os esforos transversos sobre o eixo de estruturas simtricas sime-

tricamente solicitadas. O esforo axial ser no nulo em todas as seces que no sejamafectadas por libertaes de esforo axial que possam existir na estrutura dada.

Conclui-se, assim, que o clculo de uma estrutura reticulada plana simtrica em relaoa um eixo e simetricamente solicitada pode ser efectuado considerando apenas a metade daestrutura e da solicitao que ficam para um dos lados do eixo de simetria. A nova estrutura idntica meia-estrutura no que se refere s caractersticas topolgicas, mecnicas egeomtricas, e est sujeita a apenas metade da solicitao dada.

No entanto, necessrio introduzir correces sobre o eixo de simetria da meia-estruturapara assegurar que o seu comportamento isolado replique o comportamento que teriaquando inserida na estrutura simtrica:(a) s ligaes que possam existir nos ns colocados sobre o eixo de simetria devem somar-

se as ligaes (rgidas) que impedem a rotao e o deslocamento perpendicular ao eixo;(b) s libertaes que possam existir nas barras colocadas sobre o eixo de simetria devem

ser adicionadas as rtulas (perfeitas) necessrias e suficientes para assegurar que essaspeas ficam apenas sujeitas aco do esforo axial;

(c) Aos elementos estruturais (barras e libertaes ou ligaes elsticas) que existam sobreo eixo de simetria atribuda metade da rigidez axial das peas correspondentes daestrutura simtrica.Esta ltima correco decorre do facto de ser metade o valor das foras aplicadas

segundo o eixo de simetria, assim como do esforo axial e das reaces em barras e apoiosque coincidam com esse eixo. A reduo para metade da rigidez axial assegura que o

deslocamento axial na meia-estrutura idntico ao deslocamento axial que se verifica nosmesmos pontos da estrutura completa. irrelevante o valor que se atribui rigidez deflexo ou de corte desses elementos, por a condio de simetria assegurar que so nulosos esforos correspondentes. A aplicao deste processo de simplificao est ilustrada nafigura 2.7.

2.4.2 Aco Anti-Simtrica

Da simetria da estrutura e da anti-simetria da solicitao resulta que um ponto daestrutura e a sua imagem, por exemplo os pontos A e B na figura 2.8, sofrem rotaese deslocamentos perpendiculares ao eixo de simetria iguais, sendo tambm iguais mas desinais contrrios os deslocamentos segundo esse eixo.

Pode, portanto, concluir-se que anti-simtrico o campo de deslocamentos em estru-turas simtricas anti-simetricamente solicitadas, assim como os campos das deformaes.Conclui-se, tambm, que se o campo de foras (generalizadas) anti-simtrico, tambmo so as reaces de apoio e os sistemas de foras interiores. A anti-simetria dos camposde deslocamentos e de deformaes ilustrada na figura 2.8, e a do campo de esforos nafigura 2.9.

Em consequncia das convenes adoptadas na medio dos esforos, os diagramas demomentos flectores so anti-simtricos em traado e que os diagramas de esforo axial ede esforo transverso so, respectivamente, anti-simtricos e simtricos em valor, indepen-dentemente da orientao adoptada para os elementos estruturais.

Destas concluses decorre a caracterizao dos deslocamentos dos pontos sobre o eixode simetria da estrutura e das deformaes e dos esforos de peas que coincidam com

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p pF

R1 R2

H

M

R1 = R2M = 0

H = 0(a) Estrutura original.

pF2

A2

(b) Estrutura aps simplificao de simetria.

Figura 2.7: Simplificao de simetria.

esse eixo. O resultado , naturalmente, complementar do obtido para o comportamento deestruturas simtricas sujeitas a aces simtricas.

Como os deslocamentos segundo o eixo de simetria de um ponto e da sua imagem tmsentidos opostos, conclui-se que em estruturas simtricas anti-simetricamente solicitadasso nulos os deslocamentos segundo o eixo de simetria em pontos da estrutura existentessobre esse eixo. As rotaes e os deslocamentos perpendiculares ao eixo so livres se, naestrutura dada, esses pontos no estiverem sujeitos ligaes que impeam esses movimentos.

Como as foras segundo o eixo de simetria, num ponto e na sua imagem, so iguaise tm sentidos opostos, so nulas as foras, e portanto tambm o esforo axial, em peasque coincidam com o eixo de simetria da estrutura e de anti-simetria do carregamento. Osmomentos e as foras perpendiculares podem no ser nulos sobre o eixo, pelo que o mesmo

sucede em relao aos momentos flectores e aos esforos transversos em seces de peascoincidentes com o eixo, desde que a no existem as libertaes correspondentes.

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configurao indeformadaconfigurao deformada

A

AB

B

A2A3 B2B3

A1

B1

x3 y3

x2y2

Figura 2.8: Antissimetria de deformada.

NA VA

MA NBVB

MB

Figura 2.9: Antissimetria das foras internas.

O clculo de uma estrutura reticulada plana simtrica em relao a um eixo e anti-simetricamente solicitada em relao a esse eixo tambm pode ser realizado considerandoapenas a metade da estrutura e da solicitao que ficam para um dos lados do eixo. Comopara o caso do carregamento simtrico, a nova estrutura idntica meia-estrutura no quese refere s caractersticas topolgicas, mecnicas e geomtricas, e est sujeita a apenasmetade da solicitao dada.

As correces que so introduzidas sobre o eixo de simetria da meia-estrutura, ilustra-das na figura 2.10, asseguram que se recupera o comportamento que teria se inserida naestrutura simtrica:(a) s ligaes que possam existir nos ns colocados sobre o eixo de simetria devem somar-

se as ligaes (rgidas) que impedem o deslocamento segundo o eixo de simetria daestrutura;

(b) s libertaes que possam existir nas barras colocadas sobre o eixo de simetria devemser adicionadas as libertaes axiais (perfeitas) necessrias e suficientes para assegurarque nessas peas seja nulo o esforo axial;

(c) Aos elementos estruturais (barras e libertaes ou ligaes elsticas) que existam so-

bre o eixo de simetria atribuda metade da rigidez de flexo e de corte das peascorrespondentes da estrutura simtrica.

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p

FF

R1 R2

R

H

H

M

M

R1 = R2R = 0

(a) Estrutura original.

p2

F H2

M2

I2 ,

A

2

(b) Estrutura aps simplificao de simetria.

Figura 2.10: Simplificao de antissimetria.

Esta ltima correco tambm decorre da necessidade de assegurar que as peas sobreo eixo de simetria tenham a mesma deformao na meia-estrutura e na estrutura completa,tendo em ateno ser metade o valor dos momentos e das foras aplicadas perpendicular-mente o eixo de simetria, assim como do momento flector e do esforo transversal e dasreaces em barras e apoios que coincidam com esse eixo. irrelevante o valor que se

atribui rigidez axial desses elementos, por a condio de simetria assegurar que nulo oesforo correspondente nas barras coincidentes com o eixo de simetria.

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2.5. Procedimento Geral 23

2.5 Procedimento Geral

Os resultados apresentados na seco anterior representam a particularizao dos se-

guintes teoremas para o caso da simetria estrutural em relao a um eixo:Simetria: Uma solicitao simtrica aplicada a uma estrutura simtrica introduz na estru-

tura vectores de deslocamentos generalizados, foras internas generalizadas e reacesde apoio generalizadas com uma distribuio simtrica.

Anti-simetria: Uma solicitao anti-simtrica aplicada a uma estrutura simtrica intro-duz na estrutura vectores de deslocamentos generalizados, foras internas generali-zadas e reaces de apoio generalizadas com uma distribuio anti-simtrica.

Para aplicar estes teoremas no clculo de estruturas simtricas deve proceder-se daseguinte maneira:1. Decompor o carregamento nas parcelas simtrica e anti-simtrica;2. Definir a simplificao de simetria da estrutura, assegurando que:

(a) Os ns existentes sobre o eixo de simetria s podem ter deslocamentos segundo oeixo, se tal for permitido na estrutura original;

(b) As barras sobre o eixo de simetria s podem estar sujeitas a esforo axial, se tal forpermitido na estrutura original;

(c) As barras e as libertaes ou ligaes elsticas existentes sobre o eixo de simetriatm metade da rigidez axial das que lhes est atribuda na estrutura dada.

3. Aplicar a aco simtrica simplificao de simetria da estrutura, resolver o problemade anlise estrutural, determinando as reaces, os diagramas de esforos e a deformada.

4. Recuperar a soluo para a estrutura simtrica sujeita ao carregamento simtrico aten-dendo a que:(a) Os esforos axiais nas barras e as reaces nos apoios existentes sobre o eixo de

simetria so o dobro dos valores obtidos pela anlise da meia-estrutura;(b) A distribuio das reaces simtrica;(c) Os diagramas de momentos flectores e esforos axiais so simtricos e o diagrama

de esforo transverso anti-simtrico;(d) A deformada da estrutura simtrica.

5. Definir a simplificao de anti-simetria da estrutura, assegurando que:(a) Os ns existentes sobre o eixo de simetria no podem ter deslocamentos segundo o

eixo, podendo rodar ou ter deslocamentos perpendiculares ao eixo se tal for permi-tido na estrutura original;

(b) As barras sobre o eixo de simetria s podem estar sujeitas a momento flector e aesforo transverso, onde tal for permitido na estrutura original;

(c) Os barras e as libertaes ou ligaes elsticas existentes sobre o eixo de simetriatm metade da rigidez de flexo e de corte das que lhes est atribuda na estruturadada.

6. Aplicar a aco anti-simtrica simplificao de anti-simetria da estrutura, resolver oproblema de anlise estrutural, determinando as reaces, os diagramas de esforos e adeformada.

7. Recuperar a soluo para a estrutura simtrica sujeita ao carregamento anti-simtricoatendendo a que:(a) Os momentos flectores e os esforos transversos nas barras existentes sobre o eixo e

os momentos de encastramento e as reaces perpendiculares ao eixo nos apoios exis-

tentes sobre o eixo so o dobro dos valores obtidos pela anlise da meia-estrutura;(b) A distribuio das reaces anti-simtrica;

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(c) Os diagramas de momentos flectores e esforos axiais so anti-simtricos e o dia-grama de esforo transverso simtrico;

(d) A deformada da estrutura anti-simtrica.

8. Sobrepor as solues simtrica e anti-simtrica para recuperar as reaces de apoio, osesforos e a deformada da estrutura simtrica sujeita ao carregamento assimtrico.

2.6 Generalizao e Limitaes

Interessa realar dois aspectos sobre simetria de estruturas. O primeiro tem a ver comformas de simetria mltipla e o segundo com o que se pode chamar falsas condies deassimetria, tipicamente associadas distribuio de apoios.

Os casos de simetria mltipla ocorrem quando a primeira simplificao da estruturasimtrica, por simetria ou anti-simetria da aco, expe uma meia-estrutura equivalente

que apresenta ainda outro elemento de simetria, ou uma sequncia dessas situaes. Oprocesso de simplificao pode ser repetido at se esgotar a possibilidade de encontrar umoutro elemento de simetria, como se mostra na figura 2.11.

Como se ilustra na figura 2.12, uma estrutura pode satisfazer todas as condies desimetria mas violar a que incide sobre as condies de apoio. Sempre que a Esttica opermita, as ligaes que violam a condio de simetria podem ser alteradas libertando asligaes e aplicando as reaces que a se desenvolvem, eventualmente introduzindo as liga-es que impeam os movimentos de corpo rgido que a alterao feita possa ter permitido.A estrutura modificada pode ser analisada explorando as condies de simetria ou anti-simetria, sendo vlidos todos os resultados obtidos relativos a reaces de apoio, esforos edeformaes. No entanto, necessrio somar deformada da estrutura os deslocamentosde corpo rgido que recompem as condies de ligao da estrutura original.

A possibilidade de poder substituir uma estrutura simtrica pela meia-estrutura equi-valente traduz-se sempre por uma economia de clculo, tanto mais significativa quantomaior for a complexidade topolgica da estrutura original. Essa economia resulta da re-duo do nmero de barras e dos graus de indeterminao esttica () e cinemtica (),os quais definem o nmero de variveis e de equaes do sistema resolvente quando seutiliza o Mtodo das Foras e o Mtodo dos Deslocamentos, respectivamente. Quando cer-tas simplificaes no so utilizadas, verifica-se que a soma dos graus de indeterminaodos problemas simtrico e anti-simtrico recuperam o grau de indeterminao da estruturaoriginal:

= simetria + anti-simetria (2.1a) = simetria + anti-simetria (2.1b)

Com os meios de clculo actualmente disponveis, s se justifica o recurso s simplifica-es acima referidas se a estrutura simtrica est sujeita a apenas um tipo de carregamento,simtrico ou anti-simtrico, ou quando se deseja avaliar a coerncia do modelo de clculoutilizado.

Quando os meios de clculo so limitados e se pretende analisar uma estrutura simtricasujeita aco de uma solicitao assimtrica, geralmente vantajoso separar a solicita-o nas parcelas simtrica e anti-simtrica, por ser mais econmico resolver cada um dos

problemas, simtrico e anti-simtrico, do que o problema original, a dimenso do qual ,na melhor das hipteses, cerca do dobro de qualquer dos problemas parcelares.

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2.6. Generalizao e Limitaes 25

(a) Primeira simplificao.

(b) Segunda simplificao.

(c) Terceira simplificao.

(d) Quarta simplificao.

p

p

p

p

L

L

L

LL

L

LLLL

L

L2

EAEIGA

EA

EIGA

EAEIGA

EAEIGA

EAEIGA

EAEIGA

EAEIGA

EAEIGA

EA2

EIGA

EA2

EIGA

EA2

EIGA

EA2

EIGA

EA2

EIGA

EA2

EIGA

EA2

EIGA

Figura 2.11: Simplificao de simetria mltipla de prtico.

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p

F

F

(a) Estrutura assimtrica.

p

FF

(b) Estrutura simtrica estaticamente equivalente.

Figura 2.12: Simplificao de uma estrutura assimtrica.

Finalmente, importante lembrar que no se pode recorrer separao das solicitaesassimtricas actuando sobre estruturas simtricas quando se pretende simular o comporta-mento no linear da estrutura, por deixar ento de ser vlido o princpio da sobreposio.Em regime no-linear, o comportamento de uma estrutura simtrica pode no ser sim-trico (ou anti-simtrico) quando sujeita a uma aco simtrica (anti-simtrica), tipicamentedevido possibilidade de bifurcao das configuraes de equilbrio.

Exerccio 2.2. A pea quadrada de lado L representada na figura 2.13a simtrica eestaticamente indeterminada, = 3, se se admitir que os deslocamentos de corpo rgido seencontram bloqueados. Verifique que, utilizando duas simplificaes de simetria e uma sim-plificao de anti-simetria, se obtm a estrutura estaticamente determinada representadana figura 2.13b. Trace todos os diagramas de esforos da estrutura original.

Exerccio 2.3. O prtico simtrico representado na figura 2.14 tem caractersticasgeomtricas e mecnicas uniformes. Efectue todas as simplificaes de simetria e anti-simetria possveis.

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2.6. Generalizao e Limitaes 27

P

P P

P

(a) Original.

P2

(b) Aps simplificaes.

Figura 2.13: Estrutura quadrada.

p

p

L L

L

L

Figura 2.14: Prtico simtrico.

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Captulo 3

Relaes de Elasticidade

3.1 IntroduoConsidere-se o prtico plano representado na figura 3.1 e admita-se que a solicitao a

indicada gradualmente introduzida. Para equilibrar o carregamento desenvolvem-se noselementos estruturais foras internas ou esforos. Estes esforos provocam o aparecimentode deformaes que se traduzem na alterao da geometria da estrutura.

As deformaes que se desenvolvem nos elementos estruturais no so independentesdos esforos que neles existem. Pelo contrrio, os esforos e as deformaes esto associ-ados por uma relao de causa-efeito que lhes especfica. Estas relaes so designadaspor relaes constitutivas por dependerem essencialmente das propriedades mecnicas domaterial que constitui os elementos resistentes da estrutura. Quando, como aqui se ad-

mite, o material apresenta um comportamento elstico, estas relaes so alternativamentedesignadas por relaes de causalidade elstica ou, mais simplesmente, por relaes de elas-ticidade.

O problema que em seguida se pretende abordar o de estabelecer expresses geraispara as relaes de elasticidade de peas lineares, que possam posteriormente ser utilizadasna anlise de estruturas reticuladas. Essas relaes vo ser expressas em termos dos esforose das deformaes independentesdos elementos estruturais, cuja noo a seguir se introduz.

Admita-se que uma pea linear retirada de uma estrutura imediatamente antes e logoaps a actuao da solicitao. O elemento genrico m, orientado da seco i para a secoj, representado na figura 3.2 pode ser identificado, por exemplo, com a barra AB do prticoapresentado na figura 3.1.

Como a pea pertence a uma estrutura plana que se deforma no prprio plano, sosuficientes trs parmetros para caracterizar o seu estado de deformao. Com base narepresentao dada na figura 3.2 pode de facto verificar-se que dos seis movimentos neces-srios para descrever a passagem da posio inicial, AB, para a posio final, AB, apenastrs provocam a alterao da forma do elemento.

Para levar a pea da posio AB para a posio AB basta introduzir sequencialmenteas translaes de corpo rgido d1 e d2, seguidas de uma rotao de corpo rgido, d3. Comoa pea permanece indeformada, recta e com um comprimento igual ao inicial, nenhumdestes movimentos pode ser utilizado para caracterizar o estado de deformao. Todavia,para levar a pea da posio AB para a posio final AB, torna-se necessrio introduzir

movimentos que provoquem a deformao da barra, como se ilustra mais detalhadamentena figura 3.3.

29


36/248

30 Relaes de Elasticidade

A

A

B

B

Figura 3.1: Configurao inicial e deformada de um prtico plano.

A

A

B

B

B

B

i

i

j

j

1

2

3

Lm

Lm

i

j

ej

Figura 3.2: Pea destacada das configuraes inicial e deformada de uma estrutura.

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3.1. Introduo 31

A

A

A

B

B

BB

i j

Lm

i

ij

ej

Figura 3.3: Movimentos que provocam deformao.

i j

Lm + ej

i j

corda

Figura 3.4: Deformaes independentes.

Ao introduzir a extenso axial ej consegue-se trazer o ponto B para a posio finalB. Basta agora introduzir sequencialmente as rotaes i e j para recuperar a curvaturainstalada na pea. Estes movimentos so organizados no vector das deformaes indepen-dentes:

um =

i

j

ej

. (3.1)

(D3.1) As deformaes independentes (3.1) so os parmetros necessriose suficientes para caracterizar o estado de deformao de uma pea linearpertencente a uma estrutura plana que se deforme no prprio plano.

Como se ilustra na figura 3.4, as rotaes i e j so medidas em relao corda doelemento, isto , o segmento de recta que une as seces extremas da pea deformada. Aextenso axial ej representa a diferena entre o comprimento da corda e o comprimento

inicial da pea. Estes parmetros de deformao so medidos positivamente de acordo comas convenes tradicionalmente adoptadas na Resistncia de Materiais.

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i j

Lm

Ni Nj

Vi Vj

Mi Mj

q

1

23

m

Figura 3.5: Diagrama de corpo livre.

Considere-se agora o problema de definir os parmetros necessrios e suficientes paracaracterizar o campo de esforos que se desenvolve numa pea linear. Como se ilustra nafigura 3.5 para manter a barra em equilbrio depois de destacada da estrutura, necessrioaplicar nas seces de corte, as seces extremas i e j, as foras correspondentes ao conjuntode esforos libertados.

Entre todas as foras aplicadas ao elemento, apenas as cargas de vo, q, tm valoresdeterminados. As seis foras de extremidade no so a priori conhecidas, sabendo-se noentanto que tm de satisfazer as trs condies de equilbrio no plano:

Ni =Nj + Q1

Vi =Vj + Q2

Vj = (Mj Mi + Q3) /L.

Nestas expresses gerais, Q1 e Q2 representam as resultantes das foras de vo q nas

direces 1 e 2, respectivamente, e Q3 o momento resultante calculado na extremidade i, deacordo com o referencial local indicado na figura 3.5. Estas condies de equilbrio mostramque s trs das seis foras de extremidade so linearmente independentes. Por outraspalavras, se se conhecerem trs foras de extremidade, que no incluam simultaneamenteos pares Ni e Nj ou Vi e Vj , torna-se possvel calcular todas as outras, e portanto tambmos esforos em qualquer seco intermdia.

As foras de extremidade que vo ser utilizadas para descrever o campo de esforosnuma pea linear so as correspondentes s deformaes independentes (3.1), nomeada-mente os momentos flectores nas seces extremas, Mi e Mj , e o esforo axial na seco j,Nj :

Xm = Mi

Mj

Nj

. (3.2)(D3.2) Os esforos independentes (3.2) so os parmetros necessrios e

suficientes para caracterizar o estado de tenso numa pea linear pertencentea uma estrutura plana solicitada no prprio plano.

Note-se que os elementos do vector dos esforos independentes (3.2) so arrumadossegundo a sequncia adoptada para organizar as deformaes correspondentes (3.1). Estes

esforos so medidos positivamente no sentido indicado na figura 3.5 de acordo com aconveno tradicionalmente adoptada na Resistncia de Materiais.

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3.2. Anlise da Viga Simplesmente Apoiada 33

i j

Lm

Nj

Mi Mjq

m

Figura 3.6: Viga simplesmente apoiada.

i jNi Nj

Vi Vj

Mi Mjq

Figura 3.7: Barra estaticamente equivalente.

ij

ej

Figura 3.8: Deformaes independentes na viga simplesmente apoiada.

3.2 Anlise da Viga Simplesmente Apoiada

A anlise do comportamento da viga simplesmente apoiada representada na figura 3.6vai permitir estabelecer a relao que associa os esforos independentes Xm e as deforma-es elsticas correspondentes, um, para uma qualquer pea de uma estrutura reticulada.Esta relao de causalidade entre os esforos e as deformaes, a qual depende exclusiva-mente das caractersticas mecnicas e geomtricas da pea, ser posteriormente utilizadapara caracterizar as relaes constitutivas das estruturas reticuladas.

Como se ilustra na figura 3.7 a viga simplesmente apoiada estaticamente equivalente barra genrica representada na figura 3.5, pois est sujeita exactamente ao mesmo conjuntode foras aplicadas: as foras de extremidade dependentes, Ni, Vi e Vj , aparecem agora naforma de reaces de apoio.

Do ponto de vista cinemtico, verifica-se que as condies de apoio escolhidas parao elemento tpico impedem que se desenvolvam deslocamentos de corpo rgido. Almdisso, como se pode verificar por comparao das deformadas representadas nas figuras 3.4e 3.8, os deslocamentos que se desenvolvem nos extremos da viga identificam-se com osparmetros escolhidos para descrever o campo de deformaes nas peas lineares.

Na figura 3.9 indica-se a conveno adoptada para medir os esforos positivos numa

seco genrica, de abcissa x, da viga simplesmente apoiada. Estes esforos podem sercalculados recorrendo s equaes da Esttica, encontrando-se as seguintes expresses:

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i j

x

Nj

Mi MjMM

N

VV

Figura 3.9: Conveno para a medio dos esforos.

i j

x = a

L

A

A

d1d2

d3

Figura 3.10: Componentes do deslocamento.

M(x) =

1 xL

Mi +

x

LMj + M0(x) (3.3a)

V(x) =Mj Mi

L+ V0(x) (3.3b)

N(x) =Nj + N0(x) (3.3c)

Nas definies (3.3), as funes M0(x), V0(x) e N0(x) representam as distribuies demomento flector, esforo transverso e esforo axial provocados pela carga de vo, q, naausncia de foras de extremidade (Mi = Mj = 0, Nj = 0). Estas funes esto definidasna tabela 3.1, para as cargas de vo mais correntes.

Os valores das reaces de apoio indicadas na figura 3.7 podem ser obtidos por parti-cularizao dos resultados (3.3b) e (3.3c):

Vi =Mj Mi

L+ V0(0) (3.4a)

Vj =Mj Mi

L+ V0(L) (3.4b)

Ni =Nj + N0(0). (3.4c)

Na figura 3.10 representa-se uma deformada que satisfaz as condies de apoio da viga.Os deslocamentos do baricentro de uma seco de abcissa x = a so definidos por:

dk(a) =

L0

Mk dx +

L0

Vk dx +

L0

Nk dx com k = 1, 2, 3. (3.5)

Se se admitir que a pea de material elstico linear, na definio (3.5) os parmetros,

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3.3. Elemento de Prtico Plano 35

=M

E I+ 0 (3.6a)

= VG A

+ 0 (3.6b)

=N

E A+ 0 (3.6c)

representam a curvatura, a distoro mdia e a extenso axial das fibras baricentricas daseco de abcissa x, com rea A, rea reduzida de corte A e momento de inrcia I. Os pa-rmetros 0, 0 e 0 correspondem a deformaes iniciais devidas, por exemplo, a variaesde temperatura ou aco do pr-esforo. E e G representam o mdulo de elasticidadee o mdulo de distoro do material, respectivamente. Nas expresses (3.6a) a (3.6c) asfunes M, V e N definem as distribuies de momento flector, esforo transverso e deesforo axial provocados pela solicitao a que a pea est sujeita, enquanto as funesMk, Vk e Nk representam as distribuies que equilibram a fora unitria correspondenteao deslocamento dk.

Se se utilizar a informao contida na tabela 3.1, desprezando o efeito da deformabi-lidade devida ao esforo transverso, encontram-se as seguintes expresses para a defini-o (3.5):

d1 =

a0

dx (3.7a)

d2 =

1 aL

a0

x dx +a

L

La

(L x) dx (3.7b)

d3 =

1

L a0 x dx 1L L

a (L x) dx. (3.7c)

3.3 Elemento de Prtico Plano

Do campo de deslocamentos (3.7) so de particular interesse os que se desenvolvem nasseces extremas da viga simplesmente apoiada, indicados na figura 3.8. De acordo comessas definies, estes deslocamentos tm as seguintes expresses:

i =1

L

L0

M(L x)E I

dx (3.8a)

j =1

L L

0

M x

E Idx (3.8b)

ej =

L0

N

E Adx. (3.8c)

Se se admitir que a pea homognea e uniforme, e se se utilizarem as expresses (3.3a)e (3.3c) para as distribuies de esforos, encontram-se os seguintes resultados,

i =

L

3 E I

Mi +

L

6 E I

Mj + i (3.9a)

j =

L

6 E I

Mi +

L

3 E I

Mj + j (3.9b)

ej = LE A Nj + ej , (3.9c)Documento Provisrio


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em que,

i =

1

E I L

0 M0 1 xL dx (3.10a)j =

1

E I

L0

M0

xL

dx (3.10b)

ej =1

E A

L0

N0 dx, (3.10c)

representam as parcelas dos deslocamentos devidos aco das cargas de vo. Estasparcelas esto definidas na tabela 3.2 para as foras de vo mais correntes.

Se se organizar matricialmente os resultados (3.9), de acordo com as notaes (3.7)e (3.3), encontra-se a seguinte expresso,

i

j

ej

=

L3E I

L6E I 0

L6E I

L3E I 0

0 0 LE A

m

Mi

Mj

Nj

+

i

j

ej

(3.11)ou, mais sinteticamente:

um = Fm Xm + um. (3.12)

Esta expresso estabelece uma relao de causa-efeito entre os esforos independentes,e as cargas de vo que actuam no elemento, com as deformaes independentes. Ser poste-riormente utilizada para caracterizar as relaes de elasticidade das estruturas reticuladas.

O vector um designado por vector das deformaes independentes devidas s cargasde vo. Pode verificar-se que a matriz de flexibilidade do elemento m,

Fm =

L

3E IL

6E I 0L

6E IL

3E I 0

0 0 LE A

m

(3.13)

simtrica e no-singular, isto existe a matriz inversa F1m :

FTm = Fm, F1m Fm = I. (3.14)

Nas figuras 3.11 a 3.12 esto representados os coeficientes que intervm na defini-o (3.11) para as relaes de elasticidade do elemento. Conclui-se pois que:

(D3.3) A coluna i da matriz de flexibilidade Fm representa as deformaesindependentes causadas pelo i-simo esforo independente unitrio, quandotodos os restantes so nulos, assim como a solicitao de vo.

(D3.4) O vector um representa as deformaes independentes que se de-senvolvem no elemento devido actuao das cargas de vo, quando so nulos

todos os esforos independentes.

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3.3. Elemento de Prtico Plano 37

Mi = 1

Mj = 1

Nj = 1

f11 =L

3E I

f21 =L

6E I

f31 = 0

f12 =L

6E I

f22 =L

3E I

f32 = 0

f13 = 0 f23 = 0

f33 = LE AL

Figura 3.11: Identificao dos coeficientes da matriz de flexibilidade.

q

i j

ejL

Figura 3.12: Identificao dos coeficientes do vector das deformaes devidas carga devo.

i jq

Ni Nj

L

Figura 3.13: Elemento de trelia.

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Ti

Tj

Mi

Mj

Vi

Vj

xy

z

Figura 3.14: Elemento de grelha.

3.4 Elemento de Viga Contnua

Os elementos de viga contnua funcionam predominantemente flexo. So tambmaplicados a peas em que a deformao axial nula ou desprezvel para o tipo de anliseem causa. Consequentemente, a relao de elasticidade (3.12) simplifica-se para a seguinteforma, em que se controla apenas o modo de deformao por flexo:

i

j

=

L

3E IL

6E IL

6E IL

3E I

m

Mi

Mj

+

i

j

. (3.15)

3.5 Elemento de Trelia

Os elementos de trelia caracterizam-se por estarem apenas sujeitos a esforo axial,pelo que os vectores dos esforos e das deformaes independentes se reduzem a:

X =

Nj

m

, um =

ej

. (3.16)

Na relao de elasticidade (3.12), a matriz de flexibilidade do elemento toma agora aforma:

Fm =

LE A

m

. (3.17)

3.6 Elemento de Grelha

Admita-se que o elemento recto e uniforme representado na figura 3.14 pertence auma grelha que existe no plano horizontal xy e solicitada por foras segundo a direcoortogonal, z. Em consequncia das restries impostas solicitao, os deslocamentos noplano xy e as rotaes em torno do eixo z so nulos.

Nestas condies, para caracterizar o estado de tenso na pea basta considerar aflexo no plano xz e a toro em torno do eixo x. Na definio do vector dos esforosindependentes inclui-se, portanto, os momentos flectores nas seces extremas, Mi e Mj ,e o momento torsor numa delas, por exemplo, Tj:

Xm = Mi

Mj

Tj . (3.18)

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3.6. Elemento de Grelha 39

Tj

i jq

j

x

yz

Figura 3.15: Rotao e momento de toro.

As deformaes correspondentes aos esforos independentes (3.18) so, para alm dasrotaes de flexo i e j medidas em relao corda, a rotao de toro j relativa entre

as seces extremas,

um =

i

j

j

. (3.19)como se ilustra na figura 3.15. Note-se que agora se admite que o apoio na extremidade iimpede rotaes em torno do eixo x.

Para que as condies de equilbrio (3.3) e (3.4) possam ainda ser utilizadas paracaracterizar o elemento de grelha, basta substituir as expresses para o esforo axial pelasque definem o modo de toro:

T(x) =Tj + T0(x) (3.20a)

Ti =Tj + T0(0). (3.20b)

Na definio (3.20a), a funo T0(x) representa a distribuio de momento torsor pro-vocada pela solicitao de vo. Esta funo est definida na tabela 3.1 para as cargas devo mais correntes.

A expresso (3.5) para o clculo dos deslocamentos toma agora a forma,

dk(a) =

L0

Mk dx +

L0

Tk dx com k = 1, 2, 3 (3.21)

em que,

=T

G J(3.22)

representa o ngulo de toro, G o mdulo de distoro do material e J o factor de rigidez toro da seco da pea.

Repetindo o procedimento anteriormente descrito para determinar agora as deforma-es independentes (3.19) encontra-se a seguinte definio para a matriz de flexibilidadedo elemento de grelha:

Fm = L

3E IL

6E I 0L

6E I

L

3E I0

0 0 LG J

m

. (3.23)

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Ti

Tj

Ni

Nj

Vyi

Vyj

Vzi

Vzj

Myi

Myj

Mzi

Mzj

xy

z

Figura 3.16: Pea de uma estrutura tridimensional.

O vector das deformaes independentes associadas s cargas de vo, um, presente nasrelaes de elasticidade (3.12) passa a ser expresso por,

um =

i

j

j

(3.24)em que:

j =1

G J

L0

T0 dx. (3.25)

A rotao por toro (3.25) est definida na tabela 3.2 para as solicitaes de vo

anteriormente consideradas.

3.7 Elemento de Prtico Tridimensional

O estudo do elemento tridimensional pode ser realizado recorrendo aos procedimentosanteriormente adoptados, desde que se admita no existir interaco entre os vrios modosde deformao. Supe-se aqui que a flexo no plano xy {xz} introduz deslocamentos nadireco y {z} e rotaes segundo a direco z {y}; a deformao axial apenas provoca oaparecimento de deslocamentos segundo o eixo da pea, x, e a toro provoca rotaes noplano que lhe perpendicular, yz.

Para caracterizar o campo de esforos so agora necessrios 6 parmetros: os momentosflectores nas seces extremas, o esforo axial e o momento torsor na seco j:

Xm =

Mzi

Mzj

Myi

Myj

Nj

Tj

. (3.26)

Para que as restantes foras de extremidade apaream como reaces da viga sim-plesmente apoiada, considera-se que a pea tem na seco i um apoio que impede os

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3.8. Aco da Temperatura 41

i j

Tj

Nj

Myi

MyjMzi Mzj

xy

z

Figura 3.17: Viga simplesmente apoiada estaticamente equivalente.

deslocamentos nas trs direces, x, y e z, e a rotao em torno do eixo x, e na seco jum apoio mvel segundo a direco x, o qual impede, portanto, os deslocamentos segundoas direces y e z mas permite rotaes em torno de qualquer dos eixos.

Os deslocamentos sofridos pelas seces extremas da pea continuam a ser utilizados

para definir o vector das deformaes independentes, o qual toma agora a seguinte expres-so:

um =

zi

zj

yi

yj

ej

j

. (3.27)

Para estabelecer as relaes de elasticidade (3.12) para o elemento tridimensional, bastacombinar os resultados anteriormente obtidos para o elemento de grelha e de prtico plano,

encontrando-se a seguinte expresso para a matriz de flexibilidade:

Fm =

L3E Iz

L6E Iz

0 0 0 0L

6E IzL

3E Iz0 0 0 0

0 0 L3E IyL

6 E Iy0 0

0 0 L6E IyL

3 E Iy0 0

0 0 0 0 LE A

0

0 0 0 0 0 LG J

m

(3.28)

Os valores resumidos na tabela 3.2 podem ser utilizados para caracterizar o vector dasdeformaes associadas s cargas de vo, u

m.

3.8 Aco da Temperatura

Quando a temperatura de um corpo se altera, o material que o constitui varia devolume. Se esta alterao do estado de deformao se verifica num corpo formado pormateriais de diferente natureza, ou se o corpo est impedido de se deformar livremente porligaes que existam ao exterior, gera-se no seu interior um campo de tenses.

Na figura 3.18 est representada a viga simplesmente apoiada sujeita a uma varia-o de temperatura. Em cada ponto da seco transversal admite-se que a variao detemperatura linear ao longo do eixo da pea:

T = Ti + (Tj Ti) xL

. (3.29)

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i jm

T

x

Ti Tj

Figura 3.18: Variao de temperatura ao longo do eixo.

xy

z

T(x, z)

Figura 3.19: Variao de temperatura ao longo da seco.

Admite-se todavia, tal como se ilustra na figura 3.19, que em cada seco transversal,a temperatura constante em pontos existentes em eixos paralelos direco principal y,

mas linearmente varivel ao longo da altura da seco. Dado que as condies de apoiopermitem que a pea se deforme livremente, a variao de temperatura em causa no acompanhada pelo desenvolvimento de esforos. Para o comportamento plano tem-se, pois:

M(x) = 0, V(x) = 0 e N(x) = 0. (3.30)

Se m representar o coeficiente de dilatao trmica do material, a extenso axial numponto de coordenadas (x,y ,z) , por definio,

(x,y ,z) = m T(x, z), (3.31)

em que T(x, z) representa a variao de temperatura nesse ponto. vantajoso separar a variao da temperatura ao longo da seco nas parcelas uniforme

e linear, ou seja,

T(x, z) = TU(x) +z

hTL(x), (3.32)

onde a primeira parcela representa a variao de temperatura no centro de rigidez da secotransversal e a segunda parcela traduz o gradiente trmico entre as fibras extremas, comose ilustra na figura 3.20.

Substituindo a expresso (3.32) em (3.31) obtm-se

(x,y,z) = 0 + z 0, (3.33)

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3.9. Aco do Pr-Esforo 43

+

_

+ +

y

z

hCR

TUTU

TLTL

Figura 3.20: Parcelas uniforme e linear da variao de temperatura.

onde a curvatura e a extenso axial no centro de rigidez devidas variao de temperaturaso definidas por,

0 =TL

hm, (3.34a)

0 =TU m. (3.34b)

Para a variao linear (3.29) admitida tem-se

0 =m

h

TLi + (TLj TLi) x

L

, (3.35a)

0 =m

TU i + (TU j TU i) x

L

. (3.35b)

Substituindo as expresses (3.35a) e (3.35b) nas definies (3.5) e repetindo o pro-

cedimento anteriormente descrito, encontram-se as deformaes independentes devidas variao de temperatura definidas na tabela 3.3.

3.9 Aco do Pr-Esforo

O pr-esforo de elementos estruturais uma das tcnicas mais frequentemente utili-zadas para melhorar a capacidade resistente das estruturas. Definido o traado do caboe avaliadas as perdas, calculam-se as deformaes independentes devidas aco do pr-esforo a partir das definies (3.10) onde agora,

M0 =t(x) e(x) (3.36a)N0 =t(x), (3.36b)

em que t(x) representa o esforo no cabo e e(x) a sua excentricidade.Admita-se, por simplicidade, que a excentricidade do cabo descrita por uma funo

polinomial,

e(x) =

n

en xn, (3.37)

e que o seu andamento tal que o esforo axial pode ser considerado constante:

t(x) = t0. (3.38)

Documento Provisrio


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Substituindo os resultados (3.36) a (3.38) nas definies (3.10), encontram-se as seguin-tes expresses para as deformaes devidas aco do pr-esforo:

i =t0

E I

n

en Ln+1

(n + 1)(n + 2)(3.39a)

j =t0

E I

n

en Ln+1

n + 2(3.39b)

ej =t0 L

E A(3.39c)

Estes resultados esto particularizados na tabela 3.4 para os casos de andamento cons-tante, linear e parablico.

3.10 Aparelhos de Libertao Elstica

Descreveram-se anteriormente os 6 tipos bsicos de aparelhos de libertao que podemser utilizados para representar a ligao entre as peas que formam uma estrutura reticu-lada, ou dessas peas ao meio de fundao. Referiu-se ento que essas libertaes podiamser perfeitas ou elsticas.

Esses aparelhos tinham um comportamento per

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Freitas IST 2012 Análise Elástica de Estruturas Reticuladas